10-最大流问题解析
运筹学最小费用最大流流问题
在实际的网络系统中，当涉及到有关流的问 题的时候，我们往往不仅仅考虑的是流量，还经 常要考虑费用的问题。比如一个铁路系统的运输 网络流，即要考虑网络流的货运量最大，又要考 虑总费用最小。最小费用最大流问题就是要解决 这一类问题。
最小费用最大流问题提法:
设一个网络G=（V，E，C），对于每一个弧(vi ,vj )∈E ,给 定容量cij外，还给出单位流量的费用dij 0 ，网络记为 G=（V，E，C，d）。网络系统的最小费用最大流问题，
bij bij
我们将 bij bij 叫做这条增广链的费用。
结论：如果可行流 f 在流量为w(f )的所有可行流中 的费用最小，并且 是关于f 的所有增广链中的费
用最小的增广链，那么沿增广链μ调整可行流f，得
到的新可行流f ’ ，也是流量为w(f ’)的所有可行流中 的最小费用流。依次类推，当 f ’ 是最大流时，就是 所要求的最小费用最大流。
对偶算法基本思路：
零流f ={0}是流量为0的最小费用流。一般地，寻求最小 费用流，总可以从零流f ={0}开始。下面的问题是：如果 已知f 是流量为w(f)的最小费用流，那么就要去寻找关于 f 的最小费用增广链，用最大流的方法将f(0)调整到f(1)， 使f(1)流量为w(f(0))+θ，且保证f(1)在w(f(0))+θ流量下的
(5, 2)
(4, 2)
v2 (10, 3) v3
v1
(7, 1)
解：（(110）, 4取) 初始可行流(2,为6)零流f
(cij, dij) (0)v=t{0},构造赋权
有 (vs
向vs图 L(f(0)), 用
,v2 ,v1(,8v,t)1,)如图
[全]中考物理高频考点详解：电路安全问题
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中考物理高频考点详解：电路安全问题考点扫描☆名师点拨一、考点解析中学物理电学内容中还涉及到电路安全问题，如用电器的额定值问题、元件接入电路安全问题、安全用电问题。
中考中，电路安全问题占有一定比例，出现频率较高。
电路安全试题主要以选择题、填空题出现。
电路安全考题多以选择题形式出现，尤其是多选题，具有一定难度。
解答时需要照顾到电路中各个元件都要在额定值范围内工作。
在分析问题时常常会因为需要考虑的因素过多而出现选择题漏选的问题，导致答案不准确。
一、电路安全的含义1.测量仪表安全问题：电压表、电流表在使用中，被测值不能超过仪表的量程。
2.滑动变阻器：通过滑动变阻器的电流不能超过其允许通过的最大电流。
3.额定值：所有用电器工作时，其电压和通过的电流不能超过其额定值。
二、解题思路1.串联电路中，取单个元件的正常电流的电流最小值作为电路最大电流。
2.并联电路中，取单个元件的正常电压的电压最小值作为电路最大电压。
1.测量仪表的安全问题常用测量仪表有电流表、电压表和电能表。
电流表在使用时必须与被测电路或元件相串联，电压表使用时必须和被测元件并联，这是测量仪表安全的首要问题。
其次是测量仪表的量程问题，电路中的电流和电压不能超过仪表的量程，否则会烧坏仪表或者损坏仪表，使其不能正常工作，也无法进行测量。
2.额定值问题额定电压、额定电流和额定功率是电器设备常见的额定值，它表示用电器正常工作时所需的电压和通过的电流。
用电器如果实际电压比额定电压高，就会烧坏电器，如果低很多，用电器就不能正常工作，有时还会损坏用电器。
二、考点复习1.欧姆定律：导体中的电流与导体两端的电压成正比，与导体的电阻成反比。
2.公式：，其中：U为电源电压，I为通过导体的电流R为导体的电阻。
注意：应用欧姆定律的公式进行计算时，一定要统一到国际制单位后再进行计算。
欧姆定律公式中的各个物理量具有同一性，即I,U,R是对同一段导体、同一时刻而言的。
3.额定电压：用电器正常工作时所需的电压，叫做额定电压。
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
5-5 最小费用最大流问题-xfj
v2
v3
(10, 0) ①流量调整量 总流量v(f 总流量v(f(1))=5
v2
v3
=min{8-0,5-0,7ε1=min{8-0,5-0,7-0}=5 ②最小费用增广链的费用 ∑bij=1+2+1=4 ③新的可行流为f(1),总费 新的可行流为f =4× 用b1=4×5=20
vs →v2 →v1 →vt
2、最小费用流 对于一个费用容量网络，具有相同 对于一个费用容量网络， 流量 v(f) 的可行流中，总费用b(f)最小的 的可行流中，总费用b(f)最小的 可行流称为该费用容量网络关于流量 v(f) 的最小费用流，简称流量为 v(f) 的最小 的最小费用流，简称流量为 费用流。 费用流。
3、增广链的费用 当沿着一条关于可行流 f 进行调整，得到新的可行流 f 进行调整， 称 b( f ) − b( f ) 的增广 ，则 链（流量修正路线）µ，以修正量 流量修正路线） ，以修正量ε=1 增广链µ的费用。 为增广链µ的费用。
v2
v3
即是f 的最小费用增广链。 即是f(1)的最小费用增广链
第3次迭代
-4 4
v1
-2 6
பைடு நூலகம்
-1
(10, 2)
v1
(7, 7) (2, 0)
vs
-1
1
vt
2 (8, 8)
vs
(5, 5)
vt
(4, 3)
v2
3
v3
①零流弧保持原边，非饱和非 零流弧保持原边， 零流弧增添后向弧， 零流弧增添后向弧，饱和弧去 掉原边增添后向弧 ②用列表法求得最短路
增广费用网络图的 增广费用网络图的构造方法 将流量网络中的每一条弧（ 将流量网络中的每一条弧（vi,vj）都看 作一对方向相反的弧，并定义弧的权数如 作一对方向相反的弧， 下： vi (cij,fij) c vj
一类流量增减最大值可预见的不确定网络最大流的模型与算法
—
的最大量为定值 ， 流的最大增加和减少最多 只能进 行一次 ， 给发点 以一定的初始流量 ， 求收点的流量最
大值 ．
１ 定义与模型
在有 向 图 Ｄ 一 （ Ａ）中 ， 表 示 发 点 ， 表 示 ，
≤ ， ＞ ｄ ≤ ｄ — ｄｄｄ ｄ ， ＞ ｄ
一
收点 ， 其余为中间点． 对于每个弧（ ） Ａ， ， ∈ 对应 有 Ｃ ≥ ０称为弧的容量 ， 表示弧 （ ） 由ｉ ｄ ， ， 上 点 的流出量 ， 表 示弧 （ ） 进入 ．点 的流量． ， 上
０≤ 一 ， ＞ ｄ ｄ
ｄ —ｄ ≤ Ｃ 一 ， ＜ ｄ ｄ
一
一
ｄ —ｄ ｄ ＜ ｄ ，
（） ， 称为可行流的发端输入量， ， 称 为可行流 ∥（ ）
的收端输入量． ０ ｄ 表示弧上流的还需要减 少量 ， ｄｄ
表 示 弧上 流 的增加量 ． 网络 中不 允许 出现 负 流量 ， 即
收 稿 日期 ：０ ７０— １ ２ ０ —３２
一 ｌｄ ， ｏ— ｄ ≥ ０ ≥ ０ （ｉ ）∈ Ａ ， ，ｖ ，
（ 兰州交通 大学 交通运输学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘
要： 不确定 网络最 大流 问题是现 实中普遍存在 的一种 网络 流 问题 ， 针对 该 问题 中的流在传输 过程 中增减 并存
的特征 给 出了一种模 型及 算法． 将其 网络上增加 弧上 的增加量作 为初 始输入 量之 一， 经过 特定运 算将其 转化 为只 损耗 网络 ， 用有损耗 网络最 大流 问题 的算 法进行 最终求解． 运 最后 ， 通过 实例 验证 了其正确性．
Ｖｏ． ６Ｎｏ ４ １２ ．
10n06场效应管参数 -回复
10n06场效应管参数-回复中括号内的主题是"10n06场效应管参数"。
那么，让我们一步一步回答这个问题，以便更好地理解和掌握该主题。
第一步：介绍场效应管（MOSFET）场效应管（MOSFET）是一种常见的半导体器件，通常由金属氧化物半导体（MOS）结构组成。
根据其工作原理和结构，MOSFET可以分为N沟道型和P沟道型两种类型。
本文主要关注N沟道型的10n06场效应管。
第二步：解析型号中的"10n06"在"10n06"中，"10"代表了阻控型场效应管的阈值电压（Vth），通常表示为Vgs(th)。
它是指在给定的温度下，当漏极源极之间的电压（Vds）为零时，需要加在栅极源极之间的电压（Vgs）才能使场效应管的导通电流（Id）达到特定值（一般为1mA）。
对于"10n06"，阈值电压Vth约为10V。
接下来的"n"代表了场效应管的沟道型，即N沟道型场效应管。
最后的"06"表示了10n06场效应管的封装规格或特定参数编码，对于不同制造商的产品可能会有所不同。
第三步：解析场效应管的参数1. 阈值电压（Vth）：如前所述，阈值电压指的是在特定的条件下，使场效应管导通所需的栅极-源极之间电压。
2. 漏极-源极电压（Vds）：这是场效应管的漏极与源极之间的电压。
3. 栅极-源极电压（Vgs）：这是应用在栅极和源极之间的电压。
4. 最大漏极电流（Id）：这是场效应管能够承受的最大漏极电流。
5. 最大功率（Pd）：这是场效应管能够承受的最大功率，通常由包括漏极-源极电压和最大漏极电流的乘积计算得出。
6. 工作温度范围：这是场效应管可以正常工作的温度范围。
第四步：10n06场效应管参数的具体值具体的10n06场效应管参数值可能因制造商和具体产品而异。
以下是一些可能的参数范围：- 阈值电压（Vth）：约为10V- 漏极-源极电压（Vds）：常见值为60V- 栅极-源极电压（Vgs）：通常在0~10V之间可控- 最大漏极电流（Id）：通常为10A- 最大功率（Pd）：常见值为40W- 工作温度范围：通常为-55C至+150C需要注意的是，以上参数仅供参考，实际的10n06场效应管参数可能会有所不同。
16.网络最大流问题
l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。 （二）调整过程
从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ ，并在µ 上进 行流量调整。 （1）找增广链 如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i （或-i），则(vi,vk) ∈µ (或(vk,vi) ∈µ )。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ 。
5. 增广链 对可行流 f ={ fij }： 非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0 饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ 是联结vs和vt的一条链，定义链的方 向是从vs到vt 。 v2 v4 5.2
10.5 3.2 4.1 5.1 3.3 11.6
v1
8.3
已检查 标号点 网络中的点 未检查 未标号点
标号：（前点标记，前点到该点的弧流量可调整量） 开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。 （1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(vi ，l(vj))， l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。 （2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(- vi, l (vj))， l (vj)=min[l (vi), fji], vj 成为标号而未检查的点。 vj vj (i , l(vj)) vi (-i , l(vj)) vi fij<cij f ji>0
关于求网络最大流问题的另一种图解法
ｌ ２
ｌ
３
５
。 卜Ｖ 、 ｌ —２ ＿『 — 呻 ◆
ｌ
Ｔ Ｖ ． ｔ ｔ ５ ｜
ｌ 一
Ｖ’ ｕ ｆ
Ｉ
ｌ ｌ
ｌ ３
ｌ ０
ｌ ０
ｌ ｌ
约束条件：ｆ２ ｆ３ ｆ５ １Ｔ２＋２ ， Ｍ
丹络 最 大漉问题 是 丹络 问题 中的一 类经典 问
题 ，对于 这类 问题 ，可以根据 题 意建 立 线性 规 划模型 ，运 用运筹 学软件 求解 ，也 可以 用
综 上 ，我 们 可 以 得 到 这 种 解 法 的 一 般 步骤 ： ｌ 、按 照 流 量 从 低级 流 向高 级 的 原 则 将 不同节 点 划分 为不 同等级 ， 不宜划分 者 ，可以按标 号由４ Ｎ大的顺序排 列成由 － ， 低到 高 。 ２、按 原 题 意标 画出 各 个支 路 及流
校管 理运筹学 教材 （ 管理运 筹学 高等 教育 出版社 ，韩 伯棠 ）给最大流问题的定
义是 ：给 了一个带收发点的网络 ，其每条 弧的赋权称之为容量 ，在不超过每条弧容 量 的 前 提 下 ，求 出从 发 点 到 收 点 的 最 大 容
量 。
Ｌ
， 。
【】 １， 韩伯棠． 管理运筹学． 高等教育 出版杠
Ｌ
对这类问题 ，可以对系统建立线性规 划模型 ，利用软件求解 ；亦可用教材提供 的 网络 图论 解 法 求 解 。 笔 者 在 练 习 过 程 中，发现 了另外一种 图解法 ，下面进行简 单 说 明 ，以教 材提 供 例题 为例 。 例题 某石油公司拥 有一个管道网络 ， 使用这 个网络可以把石油从采地运送到一 些 销售 点 。这 个网络 的 一部分 如 图 ｌ所 示 ，由于管道的直径的变化 ，它的 各段管 道 （ ， ）的流 量 （ Ｖｉ Ｖｊ 容量 ）Ｃｉ 也是 不 ｊ
最大流与最小费用流
c67 = 7 − P = 7 - 6 = 1
通过第1次修改，得到图3。
图3 返回步骤①，进行第2次修改。
次修改： 第2次修改 次修改 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由 于 P = c25 = 3 ，所以，将 c12 改为2 ， 25 改 c 为0，c57 改为5，c 21 、 52 、 75 改为3。修改后 c c 的图变为图4。
x12 + x13 + x14 = x57 + x67 = f
x12 + x32 x + x 23 13 x14 + x34 x + x 35 25 x36 + x 46 = x 23 + x 25 = x32 + x34 + x35 + x36 = x 46 + x65 = x56 + x57 + x56 = x65 + x67
所以取 P = c13 = 6 。
③在路①—③—⑥—⑦中，修改每一 条弧的容量
c13 = 6-P = 6-6 = 0
c36 = 7 − P = 7 - 6 = 1
c31 = 0 + P = 0 + 6 = 6
c63 = 0 + P = 0 + 6 = 6
c76 = 0 + P = 0 + 6 = 6
f = f 0 ≤ f max
（15）
使其代价最小，即
d=
( i , j )∈V
∑d
ij
xij = min
（16）
式中：d ij 指单位车辆数通过弧 (i, j )的代价。
图11 代价条件
图1 约束条件
最大流问题标号法例题详解
最大流问题标号法例题详解最大流问题标号法例题详解本文以一道标号法求解最大流问题的例题胶加以详细讲解，帮助读者了解其原理及运算步骤。
题目如下：给定一个网络结构如下：s (源点) 0----1----2----3----4---- t (汇点)a 25 10 12 15 20其中 s 是源点，t是汇点，aij（i,j=0,1,2,3,4)是每条弧的容量，求整个网络的最大流量。
解：1、设置标号：在最大流问题中，为了求解最大流，最常用的方法是标号法。
首先，要设置各结点标号，因为本题中有5个结点，s源点的标号为0，t汇点标号为4，其他结点即1，2，3依次标号，标号的设定不仅便于求解，而且可以在初始化的时候使用。
2、初始化标号：初始化标号即将各结点初始化为两个空集合{}，即各结点的访问和未访问标号都是空集合，即无访问的结点标号为{}，访问过的结点标号也为{}。
3、依据标号法，从源点(s=0)计算，得出每条弧的剩余容量Cij，具体推导如下：源点0 1 2 3 41 0 25 10 12 152 0 0 10 7 103 0 0 0 8 104 0 0 0 0 20其中：Cij=aij-fij (i,j=0,1,2,3,4)其中，aij 为每条弧的容量，fij 为每条弧的流量，在初始情况下，fij=0，故Cij=aij。
4、找增广路径：从源点s开始，用深度优先搜索法查找从s到t的增广路径，具体步骤如下：设置一个数组P[i]用以记录路径，P[i]表示从s到i节点所经过的上一个结点，先从源点s开始，P[0]=-1，然后查找s出发可以到达的结点，若Cij>0，则有路可达，将P[j]=i（j为s出发可达的结点），接着查找j出发可以到达的结点（该结点未被访问过）若Cjk>0，则有路可达，把P[k]=j，以此类推，直到找到P[t]=-1，即从s到t 的一条增广路径找到，这条增广路径的路径上的容量称为Cmin，它是该增广路径上各结点之间的容量最小值。
专题15 电学范围与极值的计算(解析版)
专题15 电学范围与极值的计算电学有关“极值”、“范围”的问题在近几年中考中频繁出现，也是电学中的重点考查知识，多呈现在选择题填空题、综合应用题中，主要考查有滑动变阻器、电表仪器及用电器规格等引起的滑动变阻器的变化范围、电流、电压的极值及电路消耗电功率的极值问题。
一、电学范围计算：电路中用电器往往有额定电压或额定电流限制、电压表和电流表有量程限制、滑动变阻器有最大电流限制，当电路发生动态变化时，电流、电压表示数、滑动变阻器接入电路的电阻或电功率等物理量出现范围（或极值）问题。
例题1 （2021黑龙江）（多选）如图所示的电路中，电源电压为4.5V 且保持不变，电流表量程为0～0.6A ，电压表量程为0～3V ，小灯泡标有“3V 1.2W ”字样（不考虑温度对灯丝电阻的影响），滑动变阻器上标有 “20Ω 1A”字样。
闭合开关，在保证电路元件安全情况下，下列说法正确的是（ ）A ．电压表的示数变化范围是1.5～3VB ．滑动变阻器接入电路的阻值变化范围是3.75～15ΩC ．小灯泡的最小功率是0.6WD ．电路总功率变化范围是1.2～1.8W【答案】AB 。
【解析】当小灯泡正常发光时，电路中的电流L L L 1.2W ==0.4A 3VP U I =，电流表量程0～0.6A ，滑动变阻器允许通过的最大电流为1A ，为保证电路元件安全，电路中最大电流I max =I L =0.4A ，此时灯泡两端的电压最大，为U Lmax =3V ，电压表示数最小为U Rmin =U-U Lmax =4.5V-3V=1.5V ，即滑动变阻器接入阻值最小，为min min m 1.5V =3.750.4AR ax U R I ==Ω，电路消耗的最大功率Pmax=UImax=4.5V ×0.4A=1.8W ；灯泡的电阻为L L L 3V ==7.50.4A U R I =Ω，滑动变阻器的最大电阻R max=20Ω，灯泡与滑动变阻器串联，根据串联正比分压可知，滑动变阻器分得的最大电压max max Lmin Lmin Lmin L 208==7.53R R U U U U R Ω=Ω，U=4.5V ，所以，max 88= 4.5 3.3V 3V 1111R U U V =⨯≈>所以滑动变阻器不能全部接入电路，当电压表示数为3V 时，滑动变阻器两端的电压最大，考点透视迷津点拨与点对点讲为U Rmax =3V ，此时灯泡两端的电压最小，为U Lmin =U-U Rmax =4.5V-3V=1.5V ，电路中的电流最小，为Lmin min L 1.5V ==0.2A 7.5U I R =Ω，灯泡的最小功率P Lmin =U Lmin I min =1.5V ×0.2A=0.3W ，电路消耗的最小功率P min =UI min =4.5V ×0.2A=0.9W ，滑动变阻器接入的最大阻值为max max min 3V =150.2A R U R I ==Ω，综上可知，电压表的示数变化范围是1.5～3V ，滑动变阻器接入电路的阻值变化范围是3.75～15Ω，小灯泡的最小功率是0.3W ，电路总功率变化范围是0.9～1.8W ，A 、B 正确，C 、D 错误。
运筹学最大流问题例题
运筹学最大流问题例题摘要：I.引言- 介绍运筹学最大流问题- 问题的背景和实际应用II.最大流问题的定义- 给定图和容量- 源点和汇点- 中间点III.最大流问题的求解方法- 增广链法- 最小费用最大流问题IV.例题详解- 例题一- 例题二- 例题三V.结论- 总结最大流问题的求解方法和应用- 展望未来研究方向正文：I.引言运筹学最大流问题是运筹学中的一个经典问题，主要研究在给定的有向图中，如何从源点向汇点输送最大流量。
最大流问题广泛应用于运输、通信、网络等领域，具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍运筹学最大流问题的相关概念和方法，并通过例题进行详细解析。
II.最大流问题的定义最大流问题给定一个有向图G(V, E)，其中包含一个源点(vs)、一个汇点(vt) 和若干个中间点。
对于图中的每一条边(vi, vj)，都有一个非负容量cij。
我们需要从源点向汇点输送流量，使得总流量最大。
III.最大流问题的求解方法最大流问题的求解方法主要有增广链法和最小费用最大流问题。
1.增广链法增广链法是一种基于动态规划的方法。
假设我们已经找到了从源点到汇点的最大流量f，现在要寻找一条增广链，使得流量可以增加。
增广链的定义是：从源点出发，经过若干条边，最后到达汇点的路径，且这条路径上所有边的容量之和c > f。
如果找到了这样的增广链，我们可以将源点与增广链的起点之间的边(vs, v1) 的容量增加c，同时将增广链上所有边的容量减少c，从而得到一个新的最大流量f"，满足f" > f。
不断寻找增广链，直到无法找到为止，此时的最大流量即为所求。
2.最小费用最大流问题最小费用最大流问题是在最大流问题的基础上，要求源点向汇点输送的流量所经过的路径的费用最小。
求解方法是在增广链法的基础上，每次寻找增广链时，不仅要满足c > f，还要满足从源点到汇点的路径费用最小。
IV.例题详解以下是三个最大流问题的例题详解：例题一：给定一个有向图，源点vs 的入次为0，汇点vt 的出次为0，其他点的入次和出次均为1。
网络最大流问题
以经过调整，得到一个新的可行流，其流量比原来的可
行流要大，重复这个过程，直到不存在关于该流的增广 链时就得到了最大流。
寻求最大流的思路：利用定理1中对V1*定义，根据vt是 否属于V1*来判断D中有无关于f的增广链。 实际计算时，可以用给顶点标号的方法来确定属 于V1*的点。
在标号过程中，有标号的顶点表示是V1*中的点，
l(v3) = min[l(v2), f32]=min[1, 1]=1
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) (0,+∞) vs (5,1) v1 (vs,4) (2,2) v4 (v2,1) (5,3) (3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt
(1,1)
(1,1)
(5) 在v3, v4中任选一个进行检查。
v4 (v2,1) (5,3)
(3,0) (2,1) v3 (-v2,1) vt (v4,1)
(二) 调整过程 (1) 按点的第一个标号找到一条增广链。
v2 (-v1,1) (4,3) (3,3) v4 (v2,1) (5,3)
(0,+∞) vs
(5,1)
(1,1)
(1,1)
(3,0)
(2,1)
vt (v4,1)
(2)未标号点。
标号过程: (1) 给发点 vs 标上 (0 ， +∞) ；这时 vs 是标号而未检查
的点，其余都是未标号点。
(2) 取一个标号而未检查的点 vi，对于vi的所有未给 标号的相邻点vj按下列规则处理： (a)若在弧(vi,vj) 上，fij<cij，则给vj标号(vi，l(vj))。这 里l(vj)=min[l(vi), cij-fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 (b) 若在弧 (vj,vi)上， fji>0 ，则给 vj 标号 (-vi ， l(vj))，这 里l(vj)=min[(l(vi),fij]。这时点vj成为标号而未检查的点。 这样，vj成为标号而已检查过的点。
2020年注册公用设备工程师(给水排水)《专业知识考试(下)》真题及详解
2020年注册公用设备工程师（给水排水）《专业知识考试（下）》真题及详解一、单项选择题（共40题，每题1分，每题的备选项中只有1个符合题意）1．城市供水管网中设置水塔的作用，以下哪项说法是错误的？（）A．可以调节二泵站供水量与用户用水量之差B．可以提高水泵效率，节省二泵站的电耗C．可以减小管网最高日最高时的设计流量D．可以减少最高日最高时二泵站的供水水量【答案】C【解析】A选项，主要任务是调节二级泵站供水流量和管网实际用水量之间的差异。
B选项，设置水塔的给水系统，二级泵站可以分级运行。
C选项，管网的最高日最高时设计流量由用户决定。
D选项，当城市管网内设有水塔（或高位水池）的时候，在最高日最高时用水的条件下，水塔作为一个独立的水源，和二级泵站一起共同向管网供水。
2．关于城市供水系统中清水池和水塔容积，以下哪项说法是错误的？（）A．清水池的调节容积是根据最高日平均时供水量及二泵站的供水曲线计算确定的B．水塔的调节容积是根据二泵站的供水曲线与用户用水量曲线计算确定的C．城市供水系统中清水池与水塔调节容积之和是常数D．确定水塔容积时，需要考虑储存消防用水量【答案】C【解析】A选项，清水池用来调节一级泵站供水量和二级泵站送水量之间的差值。
清水池调节容积根据水厂净水构筑物的产水曲线和二级泵站的送水曲线计算，一级泵房和水厂内的净化构筑物通常按照最高日平均时流量设计。
B选项，水塔的调节容积根据水厂二级泵站的送水曲线和用户的用水曲线计算。
D选项，水塔（高位水池）的主要作用是调节二级泵站供水量和用户用水量之间的差值，同时备用一部消防水量。
3．关于输水管网的下列说法，正确的是哪项？（）A．管网布置成环状不仅可以提高供水的可靠性，也可以减轻因水锤对管网产生的危害B．枝状管网末端可能出现水质变差，主要原因是水流单向流动、水锤作用较大导致管垢脱落C．枝状管网供水的可靠性较差，管网中任一管段损坏时，会导致整个管网断水D．企业内的生产用水管网和生活用水管网必须分别设置【答案】A【解析】A选项，环状管网中任一段管线损坏时，可以关闭附近的阀门，然后进行检修，水还可以从另外管线供应用户，从而增加了用水的可靠性。
西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分
《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念 定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。
其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。
3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。
—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。
2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。
3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。
4 图的表示不唯一。
如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。
点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。
2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。
在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。
最大流标号法
8
12 6 10
00
30 上8
10
京 18
广
0
沈
W ( f* ) =10+6+12+30+12+10+5 = 85
多个发点多个收点的情形
对于多发点多收点的容量网络的最大流问题可 以通过添加两个新点vs与vt扩充为新的单发点 与单收点的容量网络的方式解决。
+∞ x1
vs
x2
使fij＝0的弧称为零流弧，使fij>0的弧称为非零
流弧。
v2 3,1
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4 5,2
3,1 2,1vt
若μ是联结发点vs 和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
弧被分成两类：前向
弧、后向弧。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若
号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零 弧(vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的 点。vi成为已标号已检查的点。 • 重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点，表 明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这 时的可行流就是最大流，算法结束。
1 x3
1
[xv4s,1] 1
x5
[vs,1]
y1
1
y2
y3 [x3,1y]4 1 [x3,1y]5
[x2,1y]1 [x1,1y]2 1 [x1,1y]3 [x5,1y]4 1
专题47 电路最大值问题-决战中考物理压轴题、高频题、高分值题解题技巧(解析版)
考点扫描☆名师点拨一、考点解析电学最值问题，是电学计算题类题目中常见的一种类型，也是难度较大的计算题类型，在近几年中考试题中出现的频率很高，同时也给考生带来恐惧和压力。
现就电学最值问题概述如下：1.地位：电学最值考题一般属于电学计算题，经常出现在压轴题中，分值较高，难度属于中等偏上。
2.常见类型：电学最值问题基本上分为最大值问题、最小值问题和变化范围问题三个类型。
二、考点分类与解析解题思路：无论是哪种最值问题，都离不开所学理论知识和计算方法。
拿到考题考生首先要看清题目给出的条件和问题，分析属于哪种最值问题，然后再插手计算。
最大值问题：常见的类型是求电路最大电流、最大功率和滑动变阻器最大值等。
解此类问题，一定要分清在什么情况下出现最大值，电路出现最大值时具有什么特点，从哪个角度入手进行计算。
但有一点，无论是哪类最大值问题，电路的计算都离不开欧姆定律、电功和电功率、焦耳定律等知识，计算方法也相同。
考点剖析☆聚焦高频高频考点：最大值问题【典例】（2017·邵阳）小明在医院看到一种输液警报器，当管内药液流完时，电铃发声，报警器内部电路如图所示，其中R是一个随药液量减少而变小的电阻。
当闭合开关，输液报警器工作时，下列分析正确的是（）。
A．开始输液时，电流表示数最大；B．输完药液时，电压表示数最小；C．输完药液时，电铃响的原因是其两端电压最大；D．开始输液时，电铃不响的原因是电铃没有电流通过【考查角度】电路的动态分析、欧姆定律的应用。
【解答】由电路图可知，可变电阻与电铃串联，电压表并联在电铃两端，电流表测电路中的电流。
A．由R的阻值随药液量减少而变小可知，开始输液时，R的阻值最大，电路中的总电阻最大，由I=可知，电路中的电流最小，故A错误。
B．由R的阻值随药液量减少而变小可知，输完药液时，R的阻值最小，由串联电路中电阻越大分得的电压越大可知，R两端的电压最小，电铃两端的电压最大，即电压表示数最大，故B错误。
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在可增广路径的基础上计算最大流
• 最大流算法的核心是计算可增广路径
可增广路径的基本概念
• 退流的概念和弧的分类
• 若p是网络中连接源点s和汇点t的一条路，且路的方向是从 s到t的，则路上的弧有前向弧和后向弧两种。 • 前向弧：弧的方向与路的方向一致。前向弧的全体记为p+ • 后向弧：弧的方向与路的方向相反。后向弧的全体记为p-
• 流的容量限制：对于每条弧（u,v）∈E来说，弧流量为一个不大于弧容量的 非负数，即0<=f(u,v)<=C(u,v)。 • 流的平衡条件：除源点和汇点外的任意中间点u，流入u的“流量”与流出u 的“流量”相等。
（3）网络的流量V(F)：指源点的净流出流量和汇点的净流入流量。
寻找网络G上可能的最大流量即为网络G上的最大流问题
在可增广路径p上改进流量
•
残留网络
• 按照上述方法对弧进行分类，初始流图中的每条弧既有容 量又有前向弧流量和后向弧流量，因此不够简洁，不方便 寻找可增广路径。 • 所谓残留网络，就是将初始流图上的前向弧的容量调整为 “剩余容量”=C(u,v)-f(u,v)；后向弧的容量调整为“可退流 量”=f(v,u)；去除“剩余流量”为0的弧。在这样的图上找 可增广路经变得更加容易。
可增广路径的定义
• 设F是一个可行流，p是从s到t的一条路，若p满足下述两个 条件，则称p是关于可行流F的一条可增广路径，亦称可改 进路径： • 在p+的所有前向弧（u,v）上，0<=f(u,v)<C(u,v)。 • 在p-的所有后向弧（u,v）上，0<f(u,v)<=C(u,v)。
增广路径SACBDET
最大流问题
• 在一个单源单汇的简单有向图引入流量因素，且要求计算 满足流量限制和平衡条件的最大可行流时，就产生了最大 流问题。
基本概念
（1）网络的定义：设D是一个简单有向图D=(V,E)。在V中指定了一个源点 （记为Vs）和一个汇点（记为Vt），对于每一条弧（Vi，Vj）∈E，对应有 一个Cij>=0，称为弧的容量。也记为D=（V，E，C）。 （2）网络的可行流F。满足下述条件的流F称为网络的可行流。
Dinic算法
• Dinic算法的基本思路是分阶段地在层次图中改进流量。层 次图是在残留网络的基础上对每个节点加一个层次标记 level，标出该节点到源点的距离。显然，源点的level为0。
• 由节点的层次引出了层次图D3=（V3，E3）的概念：对于 残留网络D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当 level（u）+1=level（v）时，边（u,v）∈E3；V3=｛v|E3中 边与u相连｝。也就是说，在程序实现的时候，层次图并 不是构建出来的，而是对每个节点标记层次，扩展可增广 路径时只需判断边（u,v）是否满足约束条件level（u） +1=level（v）即可。
procedure add(a,b,c:longint); begin inc(tot); g[tot].y:=b; g[tot].r:=c; g[tot].next:=h[a]; h[a]:=tot; g[tot].op:=tot+1; inc(tot); g[tot].y:=a; g[tot].r:=0; g[tot].next:=h[b]; h[b]:=tot; g[tot].op:=tot-1; end;
function bfs:boolean; var i,f,r,tmp,v,u:longint; begin fillchar(level,sizeof(level),0); f:=1; r:=1; q[f]:=vs; level[vs]:=1; repeat v:=q[f]; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; if (g[tmp].r<>0) and (level[u]=0) then begin level[u]:=level[v]+1; inc(r); q[r]:=u; if u=vt then exit(true); end; tmp:=g[tmp].next; end; inc(f); until f>r; exit(false); end;
Dinic递归版
program maxflow_Dinic; type edge=record y,r,next,op:longint; end; var g:array[1..400] of edge; level,q,h:array[1..200] of longint; n,m,i,ans,a,b,c,tot,vs,vt:longint;
基于最大流定理上的最大流算法
• 如果残留网络上找不到可增广路径，则当前流为最大流； 反之，如果当前流不为最大流，则残留网络上一定有可增 广路径。
初始化一个可行流：对所有u,v∈V f(u,v)←0 现有网络流的残留网络上有增广路径吗？
按上面方法对增广路径进行改进
F为最大流
• 计算最大流的关键在于怎样找出可增广路经。寻找一条可 增广路径的常用方法有3种：DFS，BFS，标号搜索（PFS）
function dfs(v,a:longint):longint; var ans,flow,tmp,u,value:longint; begin if (v=vt) or (a=0) then exit(a); ans:=0; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; value:=g[tmp].r; if (level[u]=level[v]+1) then begin flow:=dfs(u,min(a,value)); if flow<>0 then begin g[tmp].r:=g[tmp].r-flow; g[g[tmp].op].r:=g[g[tmp].op].r+flow; ans:=ans+flow; a:=a-flow; if a=0 then break; end; end; tmp:=g[tmp].next; end; exit(ans); end;
Dinic算法的基本流程
初始化网络流图 根据残留网络计算层次图 汇点不在层次图内
否 是
Байду номын сангаас
在层次图内用一次DFS过程改进流量
算法结束
由流程图可以看出，算法呈循环结构。每一次循环为一个阶段。在 每个阶段中，首先根据残留网络建立层次图（一般采用BFS算法建立层次 图），然后用DFS过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。增广完毕 后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不在层次图内出现为止。 汇点不在层次图内意味着残留网络中不存在从源点到汇点的路径，即没有 可增广路径。对于有n个节点的网络流图，Dinic算法最多有n个阶段。