10-最大流问题解析

Dinic算法
• Dinic算法的基本思路是分阶段地在层次图中改进流量。层 次图是在残留网络的基础上对每个节点加一个层次标记 level，标出该节点到源点的距离。显然，源点的level为0。
• 由节点的层次引出了层次图D3=（V3，E3）的概念：对于 残留网络D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当 level（u）+1=level（v）时，边（u,v）∈E3；V3=｛v|E3中 边与u相连｝。也就是说，在程序实现的时候，层次图并 不是构建出来的，而是对每个节点标记层次，扩展可增广 路径时只需判断边（u,v）是否满足约束条件level（u） +1=level（v）即可。
function dfs(v,a:longint):longint; var ans,flow,tmp,u,value:longint; begin if (v=vt) or (a=0) then exit(a); ans:=0; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; value:=g[tmp].r; if (level[u]=level[v]+1) then begin flow:=dfs(u,min(a,value)); if flow<>0 then begin g[tmp].r:=g[tmp].r-flow; g[g[tmp].op].r:=g[g[tmp].op].r+flow; ans:=ans+flow; a:=a-flow; if a=0 then break; end; end; tmp:=g[tmp].next; end; exit(ans); end;
Dinic递归版
program maxflow_Dinic; type edge=record y,r,next,op:longint; end; var g:array[1..400] of edge; level,q,h:array[1..200] of longint; n,m,i,ans,a,b,c,tot,vs,vt:longint;
可增广路径的定义
• 设F是一个可行流，p是从s到t的一条路，若p满足下述两个 条件，则称p是关于可行流F的一条可增广路径，亦称可改 进路径： • 在p+的所有前向弧（u,v）上，0<=f(u,v)<C(u,v)。 • 在p-的所有后向弧（u,v）上，0<f(u,v)<=C(u,v)。
增广路径SACBDET
procedure add(a,b,c:longint); begin inc(tot); g[tot].y:=b; g[tot].r:=c; g[tot].next:=h[a]; h[a]:=tot; g[tot].op:=tot+1; inc(tot); g[tot].y:=a; g[tot].r:=0; g[tot].next:=h[b]; h[b]:=tot; g[tot].op:=tot-1; end;
基于最大流定理上的最大流算法
• 如果残留网络上找不到可增广路径，则当前流为最大流； 反之，如果当前流不为最大流，则残留网络上一定有可增 广路径。
初始化一个可行流：对所有u,v∈V f(u,v)←0 现有网络流的残留网络上有增广路径吗？
按上面方法对增广路径进行改进
F为最大流
• 计算最大流的关键在于怎样找出可增广路经。寻找一条可 增广路径的常用方法有3种：DFS，BFS，标号搜索（PFS）
• 流的容量限制：对于每条弧（u,v）∈E来说，弧流量为一个不大于弧容量的 非负数，即0<=f(u,v)<=C(u,v)。 • 流的平衡条件：除源点和汇点外的任意中间点u，流入u的“流量”与流出u 的“流量”相等。
（3）网络的流量V(F)：指源点的净流出流量和汇点的净流入流量。
寻找网络G上可能的最大流量即为网络G上的最大流问题
Dinic算法的基本流程
初始化网络流图 根据残留网络计算层次图 汇点不在层次图内
否 是
在层次图内用一次DFS过程改进流量
算法结束
由流程图可以看出，算法呈循环结构。每一次循环为一个阶段。在 每个阶段中，首先根据残留网络建立层次图（一般采用BFS算法建立层次 图），然后用DFS过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。增广完毕 后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不在层次图内出现为止。 汇点不在层次图内意味着残留网络中不存在从源点到汇点的路径，即没有 可增广路径。对于有n个节点的网络流图，Dinic算法最多有n个阶段。
function bfs:boolean; var i,f,r,tmp,v,u:longint; begin fillchar(level,sizeof(level),0); f:=1; r:=1; q[f]:=vs; level[vs]:=1; repeat v:=q[f]; tmp:=h[v]; while tmp<>-1 do begin u:=g[tmp].y; if (g[tmp].r<>0) and (level[u]=0) then begin level[u]:=level[v]+1; inc(r); q[r]:=u; if u=vt then exit(true); end; tmp:=g[tmp].next; end; inc(f); until f>r; exit(false); end;
最大流问题
• 在一个单源单汇的简单有向图引入流量因素，且要求计算 满足流量限制和平衡条件的最大可行流时，就产生了最大 流问题。
基本概念
（1）网络的定义：设D是一个简单有向图D=(V,E)。在V中指定了一个源点 （记为Vs）和一个汇点（记为Vt），对于每一条弧（Vi，Vj）∈E，对应有 一个Cij>=0，称为弧的容量。也记为D=（V，E，C）。 （2）网络的可行流F。满足下述条件的流F称为网络的可行流。
在可增广路径p上改进流量
•
残留网络
• 按照上述方法对弧进行分类，初始流图中的每条弧既有容 量又有前向弧流量和后向弧流量，因此不够简洁，不方便 寻找可增广路径。 • 所谓残留网络，就是将初始流图上的前向弧的容量调整为 “剩余容量”=C(u,v)-f(u,v)；后向弧的容量调整为“可退流 量”=f(v,u)；去除“剩余流量”为0的弧。在这样的图上找 可增广路经变得更加容易。
在可增广路径的基础上计算最大流
• 最大流算法的核心是计算可增广路径
可增广路径的基本概念
• 退流的概Βιβλιοθήκη Baidu和弧的分类
• 若p是网络中连接源点s和汇点t的一条路，且路的方向是从 s到t的，则路上的弧有前向弧和后向弧两种。 • 前向弧：弧的方向与路的方向一致。前向弧的全体记为p+ • 后向弧：弧的方向与路的方向相反。后向弧的全体记为p-