两条直线所成的角

合集下载

两直线的夹角

两直线的夹角
一二.夹角的定义：夹角的求法：
d2
d1
2 1
d d θ 1.余弦形式：平面上两条直线相交时，构成了四个角。它们 θ 是两对对顶角。规定两条直线相交成的锐角（或直 L1 :a1x b1y c1 0 角）称为两直线的夹角。
如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0 设 L1 ， L2的夹角为 α 。直线L 1 ， L2的一个方向向量夹角的范围：[00 , 900] y 分别为： d1 ( b1 ,a1 ),d2 ( b 2 ,a 2 )y则 L2： L1 L1 π L2 α ； (1)若d1 ,d2夹角为θ [0 ， ]，则：α＝ α 2 x x π O O (2)若d1 ,d2夹角为θ ( , π)，则：α＝π -. 2 a1a 2 b1b 2 cosα ……夹角公式的余弦形式 2 2 2 2 a 1 b1 a 1 b 1
D A(- 5,3) B(0,6) B1
0
P(x,0)
C(0,2) C C O x O L B O O A(1,-2) B
x L xx
练习： 1.已知直线 1 L ： 3x y 4 0 ,L 2 : mx 4y 7 0, 当m
0 为何值时，1 L 与 L2夹角为 45 。
若直线L ，L2的斜率分别为k k2 (k1 k2 1) 1 1,
则： α＝θ θ 2 1
或： α＝π (θ θ 1 2)
x
O
k 2 k1 tanα 1 k 2 k1
……夹角公式的正切形式
π 注：当 k1 k 2＝ 1时，α＝。 2
例 2.已直线 L过点 P（角 2 ， 3），且另与直线 L ： x 3y 例5.已知B（0，6 ），C（0，2），在 x轴的负半轴上求 4.已知知正方形 AB CD的对角线 AC在直线 x 2y 1 0 2 0 3.等腰 RtΔ AB C的直顶点 C和一点 B都在直线 0 π 一点P，使 BPC最大，并求出最大值。上，且 A（ 5，， 3）， 1， B（ m ,0） (m AB， 5), 求顶点 y B， C， 2x 3y 6 0上 A（ 2），求 AC所在的夹角为，求直线 L的方程。 y y y 3。 D的直线坐的标方程 P(2, 3 ) L

夹角的计算知识点总结

夹角的计算知识点总结一、夹角的概念夹角是指平面上的两个角共同拥有一个公共的边，形成的角。

在几何学中，夹角通常用来描述两条直线或者曲线之间的角度关系。

夹角可分为内夹角和外夹角。

内夹角是两直线夹角的两个角之一；外夹角是两直线交叉所成的四个角中不与内夹角共边的两个角。

二、夹角的性质1. 同位角同位角指的是两条直线被一条直线所切割形成的一对内夹角和一对外夹角的对应角。

同位角的特性是它们的度数相等。

例如：在一条直线上，有两个相邻的内夹角a和b，以及两个相邻的外夹角c和d；如果a的度数等于c的度数，那么b的度数等于d的度数。

2. 互补角和补角互补角指的是两个角的度数之和等于90度的角。

例如，如果两条直线相交，那么相交处的两个内夹角的度数之和等于90度，这两个内夹角就是互补角。

补角指的是两个角的度数之和等于180度的角。

例如，如果两条直线相交，那么相交处的两个外夹角的度数之和等于180度，这两个外夹角就是补角。

3. 角的平分线角的平分线指的是将一个角分成两个度数相等的角的直线。

平分线将一个角分成两个度数相等的角。

例如，一个60度的角，可以使用角的平分线将其平分为两个30度的角。

4. 夹角的性质若两条直线相交于一点O，并且形成4个角(∠AOD,∠BOD,∠BOC,∠AOC)，则：∠AOD+∠BOD=180°，∠BOC+∠AOC=180°。

这意味着两条相交直线所形成的内夹角之和是180度，两条相交直线所形成的外夹角之和也是180度。

三、夹角的计算夹角的计算主要是根据其性质进行计算。

根据同位角、互补角、补角的性质可以计算出夹角的度数。

夹角的计算也常涉及到角的平分线，通过角的平分线可以将一个角分成两个度数相等的角。

夹角的计算过程中需要注意以下几点：1. 角度单位的统一。

在夹角的计算中，需要统一角度的单位，通常使用度数为单位。

2. 利用夹角的性质进行计算。

根据同位角、互补角、补角的性质进行夹角的计算。

证明两直线垂直的几种常用方法

数学篇解题指南两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系.证明两条直线垂直，实际上就是证明两条相交直线所成的角为直角.因为直接判定两条直线垂直的定理不多，且较为分散，所以证明两条直线垂直问题是初中几何证明题中难度较大的一类问题.下面结合一些经典例题就这类问题的证明方法进行剖析.一、证明两条直线所成的角等于已知直角在证明两条直线互相垂直时，若题目中存在明显的已知直角，同学们要注意善用已知条件中的直角，灵活运用三角形全等的知识，证明两条直线相交所成的角等于已知直角，从而得出两条直线垂直.例1如图1所示，已知MN =MP ，NR =PQ ，NQ ⊥MP .求证：PR ⊥MN .分析：本题中要证明PR ⊥MN ，需要证明∠MRP =90°.因为NQ ⊥MP ，所以可知∠MQN =90°，故而需要证明∠MRP =∠MQN ，也就是证明△MRP ≌△MQN .证明：因为MN =MP ，NR ＝PQ ，所以MN -NR ＝MP -PQ ，即MR ＝MQ .在△MRP 和△MQN 中，ìíîïïMN =MP ,∠M =∠M ,MR =MQ ,所以△MRP ≌△MQN （SAS ），所以∠MRP =∠MQN .因为NQ ⊥MP ，所以∠MQN =90°，所以∠MRP =90°，所以PR ⊥MN .评注：本题中的已知直角较为明显，直接利用三角形全等即可得证.但有时直角条件不明显，要证明某个角等于已知直角，需要挖掘隐含条件，或添加辅助线构造直角，然后再利用三角形全等证明两角相等.二、证明两条直线相交所成的邻补角相等两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.一个角与它的邻补角的和等于180°.它们相等就是两个角分别为180°2=90°，由此即可证明这两条直线是互相垂直的.所以，要证明两条直线垂直，可以借助两条直线相交所成的邻补角相等来证明.例2如图2所示，已知△ABD 与△BDC 均为等边三角形，连接AC ，交BD 于点E .求证：AC ⊥BD .分析：要证明AC ⊥BD ，需要证明∠BEC =90°或∠BEA =90°，即证明∠BEA 与其邻补角∠BEC 相等，而要证明∠BEA =∠BEC ，只需要证明△BAE ≌△BCE .证明两直线垂直的几种常用方法江苏省宿迁市泗洪姜堰实验学校刘为芹图1图219数学篇解题指南证明：因为△ABD 与△BDC 均为等边三角形，所以可知AB =BD =BC ，∠ABD =∠CBD =60°.在△BAE 和△BCE 中，ìíîïïBA =BC ,∠ABD =∠CBD ,BE =BE ,所以△BAE ≌△BCE （SAS ），所以∠BEA =∠BEC =12×180°=90°，所以AC ⊥BD .评注：两条直线相交所成的四个角中，有一组邻补角相等时，可根据邻补角互补，得出这两个角都是90°，由垂直的定义即可得出这两条直线互相垂直．三、证明两相交直线的夹角所处的三角形中，另外两个锐角互余相加等于90°的两个角称作互为余角.直角三角形中的两个锐角是互余的.因此，要证明两条直线垂直，可以证明两条相交直线的夹角所在的三角形中，另外两个锐角互余，那么两条相交直线所成的夹角即为90°.例3如图3所示，已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，BE 、AD 相交于点F .求证：BE ⊥AD .分析：本题中要想证明BE ⊥AD ，只需证明∠EFD =90°，也就是需要证明∠1+∠2=90°，又∠3+∠4=90°，∠2=∠3，这样只需要证明∠1=∠4.而要证明∠1=∠4，只需要证明△BCE ≌△ACD .证明：因为∠BCA =∠DCE =90°，所以∠BCA +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，ìíïïCE =CD ,AC =CB ,所以有∠4=∠1.又因为∠3+∠4=90°，∠2=∠3，所以∠2+∠1=90°，所以∠EFD =90°，所以BE ⊥AD .例4如图4所示，已知在△ABC 中，AB =BC ，高AD 、BE 交于点F ，BG =GF ，DH ⊥AC 于H ，M 在BE 的延长线上，EM =DH .求证：AG ⊥AM .分析：要想证明AM ⊥AG ，需要证明∠GAM =90°，也就是需要证明∠AGM +∠M =90°.因为∠EAM +∠M =90°，所以只需要证明∠EAM =∠AGM .证明：连接DE 、DG .因为AD 、BE 为△ABC 的高，所以∠EBC =90°-∠C =∠DAC .因为AE =DE ，所以∠DEH =2∠DAC .因为BG =GF =GD ，所以∠DGE =2∠EBC ，所以∠DEH =∠DGE .因为DH ∥BE ，所以∠EDH =∠DEG ，所以△DEH ∽△GED ，所以ED DH =GE ED ，AE EM =GE AE .因为∠AEG =∠AEM =90°，所以△GAE ∽△AME ，所以∠AGM =∠EAM .因为∠EAM +∠AEM =90°，所以∠AGM +∠M =90°，所以∠GAM =90°，所以AG ⊥AM .评注：证明三角形中的两个锐角互余，是证明三角形的一个内角为直角的常用方法，我们由此即可证明三角形的直角边所在的两图3图4。

直线与平面所成角范围

直线与平面所成角范围
一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。

0°表示这条直线和平面平行，而180°表示这条直线和平面垂直。

两条直线之间的角可以用很多不同的方法来描述，其中之一就是角范围。

它表示两条直线之间从0°到180°所形成的角，也就是说两条直线之间最大可能形成的角就是180°。

当一条直线和一个平面相交时，它们之间也可能形成角。

两条直线之间的角范围仍然是0°到180°。

当它们交叉时，这个角就被称为交叉角，其角度可以是90°。

如果两条直线平行，则它们之间的角度将为0°。

另一方面，当它们垂直时，它们之间的角度则为180°。

因此，一条直线与平面之间的角范围从0°到180°。

这种形式的角范围在几何学以及物理学中都非常重要，因为它被用来描述不同物体之间的关系。

比如，物理学家研究电磁学时，就需要了解直线与平面的角的范围，以确定电磁波的性质。

几何学家也有类似的用途，比如当他们研究空间结构时，几何形状之间的各种角的范围便可以得出一个准确的结论。

因此，一条直线和一个平面所形成的角的范围是0°到180°。

它们可以交叉，并形成一个90°的交叉角，也可以平行或垂直，分别形成0°和180°的角。

无论它们之间形成何种角度，都将在0°到180°范围内。

两条直线的夹角

θ的取值范围是（0,π）.
设l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角是θ2，
则θ1与θ2不一定相同，它们的关系是：
θ1+θ2= π其中θ1，θ2∈（0， π）
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1

2
1
1
2

1
求“两条直线的夹角 ”
l2

l1
l1

l2
设直线 l1：y = k1 x +b 1 、l2： y = k2 x +b2 ，
的夹角为α， l1 到l2 的角是θ1， l2到 l1的角
是θ2 若若
1+k1 1+k1
k2= k2≠
0时， 0时，

2
1
2
tg1

k2 1
k1 k2k1
l2
:
y

x

1 5 0 l2 : 2x 3y 1 0
(3) l1 : x 5 0
l2 : 2x 4y 3 0
(4) l1 : 2 y 3 0
l2 : x 3y 2 0
例2、已知锐角△ABC的三边所在的直线方程为：lAB:y=x+6; lBC:y=0; lCA:7x+4y-35=0,求△ABC 的三个内角。
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2
km k2 1 km k2

(
1 2
)

线和角的认识知识点总结

线和角的认识知识点总结一、线的概念1. 线的定义在数学中，线是由无数个点组成的图形，是一种只有长度而没有宽度的几何图形。

通常表示一条直线的方法是给定两个点，然后用这两个点来确定这条直线。

2. 线的性质线有一些基本性质，如不同的线之间可能相交、平行、垂直等。

线段是线的一部分，有长度，可以度量。

3. 线的分类根据不同的特性，线可以分为直线、射线、线段等。

直线没有起点和终点，射线只有一个端点，线段有两个端点。

二、角的概念1. 角的定义角是由两条射线共同端点组成的图形，通常用∠A来表示。

其中A是角的顶点。

2. 角的性质角的大小是用度来表示的，所以它有度数。

根据角的大小可以划分为锐角、直角、钝角等。

3. 角的度量角的度量是以度、分、秒来表示的，一个圆的周长为360度。

通过角的度量可以进行角的比较、加减、乘除等运算。

三、线和角的关系1. 线和角的交叉关系当一条直线与另一条直线相交时，形成的交叉部分就构成了角。

根据相交的角的不同位置和性质，可以划分为内角、外角、邻补角、对顶角等。

2. 线和角的平行关系当两条直线平行时，它们所成的对应角相等。

这是线和角的一个重要性质，常用于解几何题中。

3. 线和角的垂直关系当两条直线相互垂直时，它们所成的角是90度的，被称为直角。

这种垂直关系也常常出现在几何题中。

四、线和角的运算1. 线的运算线段之间可以进行加减运算，得到的结果是新的线段。

线段的加减运算可以利用数轴的概念进行分析。

2. 角的运算角之间也可以进行加减运算，得到的结果是新的角。

角的加减运算是利用角的度数和角的性质进行计算。

3. 线和角的综合运算在解决几何题的过程中，线和角通常要进行一些综合运算，比如已知线段和角的信息，求解未知的线段和角。

五、线和角的应用1. 几何图形的构造几何图形的构造通常离不开线和角的概念和性质，通过线和角的构造，可以画出各种形状的几何图形。

2. 几何问题的解决在解决几何问题的过程中，线和角的概念和性质常常被运用，可以通过线和角的分析和计算来得到问题的解答。

七年级数学交点、垂直、垂足

交点、垂直、垂足
两条直线相交，只有一个交点(intersection p oint )．
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直(perpen dicular )，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足(foot of a perpendicular )．
直线AB 、CD 互相垂直，记作“AB ⊥CD ”．两直线互相垂直时，所成的四个角都是直角．
⊥垂直号
建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线，来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，如图1．这条带铅锤的线叫做铅垂线．测量时，这条线在空中自由摆动划出了圆弧，当它静止下来时，铅垂线和地面成直角．当铅垂线与墙壁面平行时，自然墙面和水平面就垂直了．
在平面几何中，把相交成直角的两条直线叫做两条直线互相垂直．“垂直”用“⊥”表示，读作“垂直于”．在图2中，直线AB 和CD 垂直时，记作：AB ⊥CD ．
垂直号简便易写，是几何学里常用的符号之一．空间直线和平面垂直，平面和平面垂直，两条异面直线互相垂直等，都是通过平面里两条直线的垂直来判定的，因而可以看作是平面几何里垂直概念的拓广． C A D
B
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直．
如图3中，直线l垂直于平面α，记作：l⊥α．
可以证明：只要直线l垂直于平面α内两条相交直线，就有l⊥α．
同样，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，叫做两个平面互相垂直．
图4中，当平面α和平面β垂直时，记作α⊥β．
也可以证明：若平面α通过一条垂直于平面β的直线，则α⊥β．
垂直号“⊥”十分形象地表达了直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，是几何中常用的符号之一．
图3图4。

七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳

七年级下册数学相交线与平行线知识点归纳相交线与平行线1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补;相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。

性质是对顶角相等。

2、三线八角：对顶角(成正比)，邻补角(优势互补)，同位角，内错角，同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截：同位角f(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)内错角z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)同旁内角u(在两条直线内部，坐落于第三条直线同侧)4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。

5、横向三要素：横向关系，横向记号，像距6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

7、垂线段最长。

8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

9、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

如果b//a,c//a,那么b//c10、平行线的认定：①同位角相等，两直线平行。

②内错角成正比，两直线平行。

③同旁内角互补，两直线平行。

11、推断：在同一平面内，如果两条直线都旋转轴同一条直线，那么这两条直线平行。

(一)正负数1.正数：大于0的数。

2.负数：小于0的数。

3.0即不是正数也不是负数。

4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

(二)有理数1.有理数：由整数和分数组成的数。

包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。

可以写成两个整之比的形式。

(无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。

如：π)2.整数：正整数、0、正数整数，泛称整数。

3.分数：正分数、负分数。

(三)数轴1.数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。

线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
一、直线面平行定理
定理：如果两条直线平行，那么任何一个由两条直线夹成的角都是相等的。

证明：设直线AR、AB为两直线，角A、A’R为AR与AB所成角，角A’B为AB与AR
所成角，设AR ∥ AB，则知AR与AB所成的角A = A’B（因两条直线平行），∴角A＝
A’R，证毕。

证明：设平面Alpha、Beta为两个平面，角α为Alpha与Beta所成角，角β为
Beta与Alpha所成角，设Alpha ∥ Beta，则β＝α（因两个平面平行），∴角β＝α，证毕。

证明：设直线AB与平面S、T垂直，则知AB∥S；AB∥T；∴S∥T，证毕。

结论：当直线与两个不同的平面都垂直时，两个平面一定是平行的。

这就是平面八大定理。

它揭示了直线与平面之间的相互关系，也提供了重要的绘画几
何图形的基础。

人教版七年级数学下册各章节知识点归纳

七年级数学下册知识点归纳第五章相交线与平行线相交线一、相交线两条直线相交，形成4个角。

1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边长线。

性质是对顶角相等。

①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。

具有这种关系的两个角，互为邻补角。

如：∠1、∠2。

②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。

如：∠1、∠3。

③对顶角相等。

二、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。

4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。

1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。

如：∠1和∠5。

2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。

如：∠3和∠5。

3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。

如：∠3和∠6。

平行线及其判定(一) 平行线1.平行：两条直线不相交。

互相平行的两条直线，互为平行线。

a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

）2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。

如果b两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

两直线所成角的取值范围：

P69例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证 :平面PAC⊥平面PBC.
7/1/2019
三、新知建构，交流展示
题型一
求二面角的大小
【例 1】如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求二面角 D1-BC-D 的平面角的大小.
解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥平面 D1C.
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)你能举出日常生活中平面与平面垂直的例子?
7/1/2019
7/1/2019
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
7/1/2019
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
课堂设问，任务驱动
两直线所成角的取值范围： [ 0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ]
O
平面的斜线和平面
所成的角的取值范围： 1
( 0o, 90o )
A
B
7/1/2019
课堂设问，任务驱动
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。

论立体几何中的所成角问题

论立体几何中的所成角问题所成角问题是立体几何中很重要的一部分，它包括了三种角：直线与直线所成角，直线与平面所成角以及平面和平面所成角。

讨论所成角问题主要是要讨论用什么方法去寻找这些角。

一、直线与直线所成角（就是指异面直线所成角）直线与直线所成角是立体几何的所成角问题中最简单的一种，只需要在固定一点之后把两条直线都平移，使它们都过这一点就可以了。

通过平移就可以把求两条异面直线所成角的问题转变为求平面中两条相交直线所夹角的问题了。

要注意的是求直线与直线所成角的时候，我们找到的那个角是这两条直线的所成角或者它的补角。

它的范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π。

二、直线与平面所成角直线与平面所成角的找法就是在直线上找到一点，然后往那个平面内做垂线，得到直线在那个平面内的射影。

线面成角就是直线与它在那个平面内的射影所夹的角。

直线与平面所成角不存在补角的问题。

它的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π。

三、平面与平面所成角（就是所谓的二面角）面面成角是立体几何中的所成角问题中的重点，一般来说考试测验都会把二面角作为重点考核的对象，也是学生最头痛的一类问题。

我们大概可以把找二面角平面角的方法归结为以下几类：1、按照定义来找二面角的平面角从二面角的棱上一点在两个平面内分别作垂直于棱的射线，两条射线所夹的角就是二面角的平面角。

2、利用三垂线定理来寻找二面角的平面角这个方法是寻找二面角的平面角最常用的。

首先要找到一条垂线，这条垂线指的是要垂直于其中的一个面。

垂线上有两点是我们要关注的，一点是垂足，另外一点是它与另一个面的交点。

其次我们可以过这两点中的任意一点在那个平面内做棱的垂线，再连接垂足和另外一点，得到一条我们连接的线段。

我们找到的二面角的平面角就是那条垂直于棱的线段和我们所连接的线段所夹的角。

这种方法不适用与两个互相垂直的面。

3、二面角中的特殊情况有时候我们可以通过证明两个平面是垂直的以得到它们的二面角的平面角是90度。

线面角二面角线线角的公式

线面角二面角线线角的公式线面角、二面角和线线角是在几何学中常见的概念，它们有各自的计算公式。

下面将分别介绍这三个角的定义和计算方法。

1.线面角：线面角是由一条线与一个平面相交所形成的角。

设平面上有一条直线L，平面上有一点A和直线上的一点B，在平面上从点A引一条垂线，与直线L相交，就形成了一个线面角。

线面角的度量是直线L的角度与平面的夹角。

线面角的计算公式如下：线面角=直线L与平面的夹角2.二面角：二面角是由两个平面相交所形成的角。

设有一个平面P1和一个不与P1平行的平面P2，两个平面相交于一条直线L。

通过P1和P2的交线L 可以确定两个交点A和B。

二面角的计算公式如下：二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）值得注意的是，二面角没有固定的度量单位，它的度量取决于直线L 在两个平面上的角度度量单位。

3.线线角：线线角是由两条直线相交所形成的角。

设有两条直线L1和L2，它们相交于一点O。

通过O可以确定L1上的一点A和L2上的一点B。

线线角的计算公式如下：线线角=∠AOB其中，∠AOB表示点A、O和B所形成的角。

总结：线面角、二面角和线线角是几何学中常见的角度概念。

线面角由一条直线与一个平面相交所形成，计算公式为线面角=直线L与平面的夹角。

二面角由两个平面相交所形成，计算公式为二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）。

线线角由两条直线相交所形成，计算公式为线线角=∠AOB。

这些角度概念在几何学的应用中起着重要的作用。

两直线所成角的取值范围

? ???
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
7/5/2020
线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作 __无__数_个平面
与平面 α垂直.
2.过一点可作 _无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作 __一__个平
面与平面 α垂直.
4.过平面α的一条平行线可作 __一__个平
7/5/2020
解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥平面 D1C.
又 D1C? 平面 D1C, ∴BC⊥D1C,∴∠D1CD 是二面角 D1-BC-D 的平面角. 在△D1CD 中,D1D⊥CD,D1D=CD, ∴∠D1CD=45°.∴二面角 D1-BC-D 的平面角的大小是 45°. 题后反思:异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角统称为空间角 ,
课堂设问，任务驱动
两直线所成角的取值范围： [ 0o, 90o ] 直线和平面所成角的取值范围： [ 0o, 90o ]
O
平面的斜线和平面
所成的角的取值范围： ?1
( 0o, 90o )
?A
B
7/5/2020
课堂设问，任务驱动
2.在立体几何中, 异面直线所成的角是怎样定义的？直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中, 直线和平面所成的角是怎样定义的？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。
9
?

空间中直线与直线所成的角(夹角)

感谢您的观看
THANKS
详细描述
当两条重合的直线在空间中相交，它们之间的夹角是0度。这是因为重合的直线实际上是同一条直线，所以它们在任何点处的角度都是相同的。
05
直线与直线所成的角的计算方法
利用三角函数计算角度
总结词
利用三角函数计算直线与直线所成的角度，需要知道直线的倾斜角，然后通过三角函数关系计算出两直线之间的夹角。
详细描述
首先，我们需要确定两条直线的倾斜角。然后，使用三角函数中的正切或余切函数，通过两条直线的斜率来计算它们之间的夹角。具体地，设两直线的斜率为k1和k2，夹角为θ，则有 tan(θ/2) = |k2 - k1| / (1 + k1 * k2)。
利用向量计算角度
总结词
通过向量的点积和模长来计算直线与直线所成的角度。首先，我们需要将直线表示为向量，然后利用点积公式和向量的模长来计算两向量之间的夹角。
夹角的几何意义在解析几何、射影几何等领域有着广泛的应用。
夹角的大小反映了直线之间的倾斜程度。
03
直线与直线所成的角的实际应用
空间几何问题
确定物体位置关系
在空间几何问题中，通过计算两条直线所成的角，可以确定物体之间的相对位置关系。
判断形状和性质
通过分析直线之间的夹角，可以判断几何形状的性质，如平行、垂直、相交等。
通过作出的几何图形，利用量角器或三角板测量夹角的度数。
利用向量计算
通过向量的点积和模长，利用向量公式计算夹角的余弦值，从而得出夹角的度数。
02
直线与直线所成的角的性质
角度的范围
01
02
03
04
直线与直线所成的角，其角度范围在0°到180° 之间。

异面直线所成角余弦值公式

异面直线所成角余弦值公式
向量的内积是物理学的一个功数概念，它泛指两个向量的乘积，特别是相应元素的乘积之和。

由于向量的乘积可以用来表示内积，因此可以用它表示异面直线所成角余弦值公式。

这个公式定义为：两条直线向量a和b的余弦值为a*b/||a||*||b||，其中，||a||和||b||是这两条直线各自的模，即向量a和向量b的“长度”，而a*b则表示它们的内积。

更具体地说，如果我们想要计算两条直线之间的角度，我们可以使用它们的向量表示，计算它的余弦值。

从余弦值可以推断出两条直线之间的角度，即两个向量a和b之间的夹角，用该公式可以很容易的求出两条直线所成角余弦值，进而算出两条直线之间的夹角。

应用这个异面直线所成角余弦值公式是相当常见的，它可以应用到物体运动学中，两个物体的螺旋运动轨迹的绘制等，因此，熟练应用这个公式，是帮助学生掌握物理知识的非常重要的一部分。