两条直线所成的角

例4.等腰三角形一腰所在直线l1 的方程是 x -2y –2=0 ，底边所在直线 l2 的方程是 x+y –1=0，点（- 2，0）在另一条腰上， 求这条腰所在直线 l3 的方程.
测评题
1、直线l1:x-3y+1=0到直线l2:x+2y-5=0的角是( C )
A.600
B.300
C.1350
D.450
2、直线x=－3和x+3y-5=0的夹角为 ( B )
A.arctg 1 3
B. arctg 1
2
3
C. arc tg 1
3
3、直线x= －2和2x－3y+6=0的夹角为( C )
D. arc tg 1
2
3
A. arctg 2 3
B. arctg 3
2
C. arctg 2
x m
又
由
方程
组
x x

6 2
y y

13 0 30

P(1，2)

直
线l2的
方
程
为y

2


27 14
(
x

1)
即27x 14 y 1 0
例7、已知入射光线所在直线l1的方程是x 6 y 13 0， 入射光线在定直线m：x 2 y 3 0上反射，
例7、已知入射光线所在直线l1的方程是x 6 y 13 0， 入射光线在定直线m：x 2 y 3 0上反射，
求反射光线所在直线l2 的方程。 l2
y
1 2
1 2k2 8 2 k2 11
k2


27 14
或 k2

1（舍去） 6
2
P
1
o
l1
例6、已知两条直线的方程是18x+6y-17=0 和14x-7y+15=0，求它们的夹角的平分线所 在的直线方程。
例7、已知入射光线所在直线l1的方程是x 6 y 13 0， 入射光线在定直线m：x 2 y 3 0上反射，
求反射光线所在直线l2 的方程。
解：设直线l1与m的夹角为1，直线l2与m的夹角为 2
tg2 tg1 k2 k1 1 tg2tg1 1 k2k1
y
l2

l1
1 o
y l1

2 o
wenku.baidu.com x
图(3)
l2
1 x
图(4)
直线l1的斜率存在而直线l2的斜率不存在
y l2 l1
y l1
l2
1
1
2
o
x
1
2 o
1 x
1


2
1
1
2

1
2
3
D. arc tg 3
2
2
4 、 已 知 l1到l2的角为 θ ， 且 tgθ=a<0, 则 l2到l1的角可 表 示 为
(
) arctga或 arctg(a)
例5、已知锐角△ABC的三边所在的直线方 程为：lAB:y=x+6;lBC:y=0;lCA:7x+4y-35=0,求 △ABC 的三个内角。
设: l1: y=k1 x + b1 l2 : y= k2 x + b2
且 1+k1k2≠0 ，l1到l2的角记为θ
在图（3）中 θ=α2－α1
α1<α2,
得
在图（4）中 即α1>α2时，得：
θ=π+（α2－α1）
tg tg(2 1) 或
tg tg[ (2 1)]
即：tgθ=tg（α2-α1）
直 线l1的 斜 率k1

1 6
，直
线m的
斜
率km


1， 2
设直线l2的斜率为k2
tg 1
km k1 1 km k1

(1) 1 26
1 ( 1) 1
8 11
26
tg 2

km k2 1 km k2


(
1 2
)

k2
1 1 ( 2) k2

1 2k2 2 k2
解: 两条直线的斜率分别为k1= －2, k2=1 ,设l1与l2的 夹角为θ
l12
得： tg k2 k1 1 (2) 3
1 k2k1 1 1 (2)
因为 (0， ）
2
所以：θ=arc tg3
练习题2： 求下列直线的夹角
（1）y=3x－1, y 1 x 4
两条直线所成的角（简称夹角）的定义 两条直线相交，称不大于900时的角叫做两直线所
成的角，简称夹角. 范围是：00 ≤θ ≤900
（三）两 直 线 夹 角 公 式 推 导 夹角与到角的关系
tg ' k2 k1
1 k2k1
例1：求直线l1：y=－2x+3,
l2:
y
=
x
－
3 2
的夹角。
y
x o
提问：１.解析几何中怎样判断两条直线的平行和垂直？
直线的斜率(数）倾斜角（形）或 以方程的特点观察 ２、区分以下两组直线的相交程度用什么量刻画？
２ １
４ ３
1.8两条直线所成的角
想一想 ？
观察下列两组相交直线，自己下定义以便区
分两组对顶角
l2
l4
2
3
1
4
甲
l1
2
3 1
4
l3
乙
一、概念的建立
1、l1到 l2角的定义
两直线相交，把l1直线依逆时针方向旋转到与l2重 合时所转的角，叫做 l1 到 l2 的角. 范围是：00 ≤θ<1800
把l1到l2的角记为 θ1，把l2到l1的角记为θ2，
那么θ1与θ2的关系为:
θ1+ θ2= 1800
l2
θ2 ）θ1
l1
1、两条直线的斜率都存在时
90o
3
（2） x－y=5, y=4
45o
（3）5x－3y=9, 6x+10y+7=0
90o
注 意 ：两条直线垂直时直接判断
求两直线所成角的步骤： 1、判断 A、是否存在斜率 B、是否垂直
2、求斜率 3、利用公式计算 4、写出角（一般用反三角表示）
例3、如果直线l1, l2的斜率分别是二次方程 x2 4x 1 0的两个根，求l1,l2所成的角。

3
2
1
L1到L2角的正切值计算公式
tg k2 k1
1 k2k1
公式结构特征：
①公式中分子是方向角中终边所在直线的斜率减 去始边所在直线斜率，其顺序不能改变。
②分母为1+k2k1不为零:当1+k2k1=0时,两直线垂直，到 角为900
③这个公式只能计算到角θ的正切值，而且正切 值有可能为正，也有可能为负。
课堂练习1: 求l1到l2的角和l2到l1的角
(1)
l1
:
y

1 2
x
2
,
l2 : y 3x 7
l1到l2的角为450
l2到l1的角为1350
(2) l1 : x y 5 ,l2 : x 2y 3 0
l1到l2的角为 arctg3 l2到l1的角为arctg3
注意 注意到角的方向性，做好分子的差 即终边的斜率减去始边的斜率