1.2二次根式的性质(2)教案(浙教版八年级下)
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教案2一. 教材分析《二次根式》是初中数学八年级下册的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
浙教版教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
本节课的内容为1.1二次根式，主要包括二次根式的定义、性质和运算。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生对其概念和性质的理解可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的运算方法；3.能够运用二次根式解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的运算方法；3.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的运算规律；2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生理解并掌握相关知识；3.实践操作法：让学生在实际操作中，运用二次根式解决相关问题，提高学生的运算能力；4.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式的相关课件，包括图片、动画等素材，以便于引导学生直观地理解二次根式；2.练习题：准备一些有关二次根式的练习题，用于巩固所学知识；3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便于进行板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生发现这些问题都与二次根式有关。
然后提问：“这些二次根式有什么共同特点？我们可以如何对其进行简化？”从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
二次根式的性质课件(浙教版)
( a)
2
a
a≥0
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
( a)
2
=a
a (a≥0)
2
a =∣a∣ =
-a(a＜0)
例1 计算:
(1) (−10)2 − ( 15)2
(2)( 2 − (−2)2) × 2 + 2 2
解： （1）（-10）2 -（15）2 = -10 -15=10-15=-5
(2)
( 2 − (−2)2) × 2 + 2 2
1
3
( 0) =
2
2
2
0
2是2的算术平方根，
根据算术平方根的意义，
2是一个平方等于2的非负数，
2
因此有（ 2）
2
性质.( a )2=a (a≥0)
文字叙述：任何一个非负数的算术平方根的平方都等于这个数.
温故知新：齐声朗读
非负数的三种表现情势：a2, ︱a︱,
(-13)2 = 169
(-12)2 = 144
= 2−1+1+ 2
=2 2
6、如图，P是直角坐标系中一点。
（1）用二次根式表示点P到原点O的距离。
（2）如果x= , y=
y
┓
┓
，求点P到原点O的距离。
1.
OP= 2 + 2
2.
OP=
( 2)2 + ( 7)2
x
=
=3
2+7
连续递推，豁然开朗
7.实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1 − )2 + | 2 − p |
= ( 2 − 2) × 2 + 2 2
1.2二次根式的性质(积与商的算术平方根)
2 ___6__ 33
(5) 18 _3__2__ (6) 24 _2__6
(7) 27 3___3
(8)
1 8
_4_2
练习、化简：
（1） 2 25
3
（2）
5
解：
2
22
（1） 25 =
= ；
25
5
（2）
3
=
5
3 5 15 1
55
=
=
25 5
15
二次根式化简的要求：
1.根号内不再含有开得尽方的因式
运用
a2 | a |
a (a a (a
≥0)
<0)
(3) 18
解：
（3） 18
= 92
= 9× =3 2
化简结果 (1)根号内不再含有开得尽方的因式 满足： (2)根号内不再含有分母．
(3)分母中没有根号．
4 5
9
(4) 5 9
5 9
2
5
3
5 2
7
化简结果 (1)根号内不再含有开得尽方的因式 满足： (2)根号内不再含有分母．
文字表达：
1、积的算术平方根等于算术平方根的积 2、商的算术平方根等于算术平方根的商
化简结果 (1)根号内不再含有开得尽方的因式
满足： (2)根号内不再含有分母．
(3)分母中没有根号．
1 121 225
2 42 7
解（：1） 121 225 = 121 × 225
= 11 × 15
25 5
6 5 10
84
辨一辨
132 122 132 122 13 12 1
32 42 32 42 3 4 7
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
八年级数学下册二次根式二次根式的运算教学课件新版浙教版
ab
x2
xy 1 x2 y2
巩固提升：
1. 8 18 50 __0__. 2. 75 48 27 _6___3_.
3.3 2 4 1 1 8 _4__2__.
22
4. 12
1 3
11 3
__53___3_.
5. (2 2 3)2 12 =_4___3_ 2
6.( 2 3 5)( 2 3 5) =__4___2__1_0__
把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 37
（2） 2a a＋b
（3） 2 3 40
解：（1）－4 2 ＝－4 2 • 7 ＝－4 14 .
3 7 3 7• 7
21
（2） 2a ＝ a＋b
2a a＋b
a＋b • a＋b
＝
2a a＋b a＋b
.
（3） 2 ＝
2
＝ 2 • 10 ＝ 20 ＝ 2 5 ＝ 5 .
3 25x
9y2
19 ＝ 19 ＝ 19
16
16 4
25x 5 x
9y2
3y
注意： 如果被开方数是带 分数，应先化成假 分数再进行运算。
把分母中的根号化去,使分母变成有理数,这个过程叫做分
母有理化。
例：计算 1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
解：1 解法1: 3 3 3 5
5 5 55
解法2 :
5 26 5
3 6＝ 6
2
5
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数
a
b
a b
a 0,b 0
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教学设计
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》教学设计一. 教材分析《二次根式》是浙教版数学八年级下册第1.1节的内容，本节主要让学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
教材通过引入二次根式，让学生在已有实数知识的基础上，进一步拓展对实数的认识。
本节内容是后续学习二次根式混合运算的基础，对于学生来说，理解并掌握二次根式的概念和性质至关重要。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数和无理数的相关知识，具备了一定的数学基础。
但二次根式较为抽象，学生可能在学习过程中存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，采取合适的教学策略。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.能够进行二次根式的运算。
3.培养学生的抽象思维能力和数学运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的性质和运算方法。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次根式的运算过程。
3.采用小组合作学习，让学生在讨论中加深对二次根式的理解。
4.注重个体差异，针对不同学生采取有针对性的教学策略。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如计算物体体积、求解方程等，引导学生思考如何利用二次根式解决问题。
从而引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，让学生了解二次根式的基本形式。
并通过示例，展示二次根式的性质，如平方、乘除等。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的基本运算练习，如化简、求值等。
教师引导学生运用二次根式的性质进行运算，并及时给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结二次根式的运算规律。
教师参与讨论，指导学生得出正确结论。
5.拓展（10分钟）利用多媒体展示一些二次根式的实际应用问题，让学生运用所学知识解决问题。
二次根式的有关概念及性质专题(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于二次根式的概念和性质的理解存在一些困难。在讲解二次根式的定义时，我意识到需要更多具体的例子来帮助学生形象地理解被开方数和根指数的概念。例如，通过展示√9=3和√(-3)²=3的例子，学生们更能明白被开方数的正负性对于二次根式的意义。
在讲授二次根式的性质时，我发现学生们在运用这些性质进行化简和计算时容易出现混淆。我意识到，除了提供例题，还需要让学生们通过小组讨论和实际操作来加深记忆。比如，在讲解性质（1）√a²=|a|时，可以让同学们通过剪纸活动来直观感受这一性质。
1.培养学生的数学抽象能力：通过二次根式的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学模型，理解并运用二次根式表示实际问题中的数量关系。
2.提高学生的逻辑推理能力：引导学生通过探索二次根式的性质，培养其从特殊到一般的推理方法，并能运用这些性质进行数学证明和解决问题。
3.增强学生的数学运算能力：让学生掌握二次根式的化简与计算方法，提高四则运算的速度和准确性，培养解决实际问题时运用数学运算的能力。
举例：解释为什么√(-3)²=3，而非-3。
（2）二次根式性质的灵活运用：学生在运用二次根式性质进行化简和计算时，容易忘记或混淆性质，导致错误。
举例：在计算√2+√8时，学生可能会直接相加，而忘记化简为√2+2√2。
（3）二次根式的混合运算：学生在进行二次根式的混合运算时，容易出错，如加减乘除运算的顺序和法则。
举例：解释为什么(√2+√3)(√2-√3)=1，而非0。
（4）实际问题中的二次根式应用：学生往往难以将实际问题转化为二次根式的数学模型，从而解决问题。
举例：在求边长为√3的等边三角形面积时，学生可能不知道如何应用二次根式。
浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 课件(共17张ppt)
记作 a . 2. 2是什么数的平方根？所以 2的平方等于什么？
2的一个平方根.
3（. 7）2，（ 1）2呢？ 2
（ 2）2 =2. （ 7）2 =7,（ 1）2 = 1 .
22
你能猜想 ( a )2 ?
二次根式的性质1: 二次根式的平方等于被开方数
2
a aa 0
4.能用几何图形作出直观解释吗？
1.2 二次根式的性质
（1）
复习回顾
1.怎样的式子叫二次根式？
一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式。
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）形式上： a ； （2）被开方数a≥0.
3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
复习回顾
72
7
(5) 22 52
解:(1)原式=
4 7
1 2
4 7
1
4 7
1 2
1
4 7
=
4 7
1 2
4 7
+1=
1 2
.
(2)原式= 1 2 2+1 2-1+ 2+1 =2 2 .
拓展提升
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
a2
|
a
|
a a≥0； a a＜0.
1 102
2
15 ;
2
2
7
25 9 ;
(4)（ 11）2 （－13）2 .
2
(5)
2 5
－
0.12－
1. 4
浙教版初中数学八年级下册《二次根式》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1、1二次根式教学目标：1．经历二次根式概念的发生过程；2．了解二次根式的概念；3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围；4．会求二次根式的值。
教学重点与难点：重点：是二次根式的概念难点：确定二次根式中字母的取值范围．设计教学程序：一、创设情境，引入课题数学是思维的体操，问题是数学的心脏。
生活中多提炼些数学问题，我们就会学好数学这门课。
小明是个数学爱好者，喜欢编数学题。
今天他来到了一个奇异的宫殿，那里的大门口镶嵌着几何图案。
他选择了其中三个，出了这样的三道题目。
请帮助完成。
根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：直角三角形的斜边长是____________；正方形的边长是____________；等边三角形的边长是_________。
让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子。
问：看到这些代数式，你想到了你已经学过的哪个知识点？（简单复习平方根和算术平方根）问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？（学生通过观察，从中感知二次根式的特征。
鼓励学生用自己的语言总结出共同特征。
从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题）。
二、新课讲授，探究新知1、二次根式的概念1这样表示的算术平方根，2cmacm 图1—12）概念深化：1. 判断下列代数式是不是二次根式？2.1呢？①表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评。
教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式大于或等于零。
2、 讲解例题例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ， （2（3）按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：① 被开方式需满足什么?② 由此可得怎样的不等式？③ 第（1）（2）两题可以转化为解怎样的不等式？第（3）题不解不等式就能确定a 的取值范围吗？解：（1） 由a+1≥ 0 ， 得 a ≥ -1∴字母a 的取值范围是大于或等于-1的实数。
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》说课稿
浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.1《二次根式》是初中数学的重要内容，它为学生提供了研究函数、几何等高级数学的基础。
这一节内容主要介绍二次根式的定义、性质和运算方法，使学生能够理解和运用二次根式。
教材通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生探究二次根式的相关性质，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析在学习本节内容之前，学生已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但二次根式较为抽象，学生可能难以理解其本质，因此需要教师在教学中引导学生通过实际问题去探究和理解二次根式。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生理解二次根式的定义，掌握二次根式的性质和运算方法，能运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法：通过探究二次根式的性质，培养学生抽象思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.重点：二次根式的定义、性质和运算方法。
2.难点：二次根式的性质探究和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、教学卡片等辅助教学，使抽象的二次根式形象化、具体化。
六. 说教学过程1.引入新课：通过实际问题引入二次根式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解概念：讲解二次根式的定义，使学生理解并掌握二次根式的基本概念。
3.性质探究：引导学生分组讨论，探究二次根式的性质，如：单调性、奇偶性等。
4.运算方法：讲解二次根式的运算方法，让学生通过实际例题掌握加减乘除等运算。
5.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次根式解决，提高学生的应用能力。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式的定义、性质和运算方法。
主要包括以下几个部分：1.二次根式的定义2.二次根式的性质3.二次根式的运算方法八. 说教学评价通过课堂问答、练习题、课后作业等方式对学生的学习情况进行评价，关注学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的全面发展。
数学浙教版八年级下册全册教案
第1章 二次根式1.1 二次根式【教学目标】知识与技能1．理解二次根式的概念。
2．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值范围。
过程与方法1．经历探究二次根式意义的过程，并能观察思考得出二次根式的特点。
2．通过探究，进一步发展观察、归纳、概括等能力。
3．培养与提高灵活运用知识的能力、准确计算能力以及语言表达能力。
情感态度与价值观1．通过探究二次根式，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2．通过探究,鼓励学生敢于发表自己的观点，尊重与理解他人的见解，从交流中获益。
3．通过对二次根式特点的归纳，提高学生的逻辑思维能力。
教学重难点重点：二次根式的概念和二次根式有意义的条件。
难点：确定较复杂的二次根式中字母的取值范围。
【教学过程】知识回顾求一求：（1）3的平方根是_____；（2）3的算术平方根是_____；（3呢？归纳：①一个正数有____个平方根，负数_____________；②一个非负数a 的算术平方根可以表示为 。
情景导入根据图1.1-1的直角三角形、正方形和圆的条件，完成以下填空：2 cm a cm图1.1-1直角三角形的斜边长是_____；正方形的边长是______；圆的半径是________。
学生写出表示算术平方根的式子。
问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？ 学生通过观察，感知二次根式的特征，从而引出课题。
探究新知1.二次根式的概念引导学生概括二次根式的概念：像这样表示算术平方根的代数式叫做二次根式。
2.深化二次根式的概念：① 提问：9-1呢？② 表示什么意义？此算术平方根的被开方数是什么？被开 方数必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a 需满足什么条件？为什么？经学生讨论后，让学生回答，并让其他学生点评。
③ 教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于0。
④ 巩固练习一： 下列式子，哪些是二次根式？3.讲解例题例1 求下列二次根式中字母a 的取值范围：（1）1+a ； （2）a 43-； （3）x - .教师提问，学生回答，教师板书解题过程。
2024年八年级下数学全套教案浙教版八年级下数学全套
2024年八年级下数学全套教案浙教版八年级下数学全套一、教学内容二、教学目标1. 理解并掌握平方根、立方根、勾股定理、因式分解、分式、二次根式等基本数学概念和性质，提高数学运算能力。
2. 能够运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 通过图形的翻折与旋转，培养观察能力和动手操作能力，激发学习数学的兴趣。
三、教学难点与重点1. 教学难点：平方根与立方根的性质、勾股定理及其逆定理、因式分解、分式的运算。
2. 教学重点：平方根与立方根的应用、勾股定理在实际问题中的应用、平行四边形的性质。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、直尺、圆规、计算器、多媒体设备。
2. 学具：三角板、直尺、圆规、练习本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入新课，如通过建筑物的翻折与旋转现象引出图形的翻折与旋转章节。
2. 新课：讲解各章节的基本概念、性质和定理，结合例题进行讲解。
3. 随堂练习：针对每个知识点设置练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 课后作业：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、板书设计1. 2024年八年级下数学全套教案2. 章、节第一章平方根与立方根，第二章勾股定理与逆定理，以此类推。
3. 重点、难点：用不同颜色粉笔标注，突出重点、难点。
4. 例题：书写清晰，步骤详细。
七、作业设计1. 作业题目：（1）计算下列各式的平方根和立方根：2^2，3^3，5^2，8^3。
（2）已知直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
（3）分解因式：x^24，a^29。
（4）化简下列分式：1/(x+1) + 1/(x1)。
（5）计算：√(9+4√7)。
2. 答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：布置一些提高题，让学生在课后进行拓展学习，如：（1）探究勾股定理在非直角三角形中的应用。
（2）研究图形的翻折与旋转在实际生活中的应用。
（3）利用因式分解解决实际问题，如面积计算等。
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2
浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2一. 教材分析浙教版数学八年级下册1.3《二次根式的运算》教案2，主要讲述了二次根式的加减乘除运算方法。
这部分内容是中学数学中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次根式的基本运算方法，为后续学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对于数学运算有一定的认识。
但二次根式的运算相对于其他运算更为复杂，需要学生能够灵活运用已知知识，进行推理和计算。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和解答疑问。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次根式的加减乘除运算方法，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方法，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算方法。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二次根式运算的规律，以及如何将实际问题转化为二次根式运算问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式运算，使学生能够直观地理解二次根式的实际意义。
2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式运算的规律，培养学生的观察能力和推理能力。
3.小组合作法：学生在小组内进行讨论交流，共同解决二次根式运算问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，以便于展示和讲解二次根式的运算方法。
2.练习题：准备一些二次根式运算的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式运算的概念，例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的加减乘除运算方法，引导学生观察和总结运算规律。
浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教学设计1
浙教版数学八年级下册《1.2 二次根式的性质》教学设计1一. 教材分析《二次根式的性质》是浙教版数学八年级下册的教学内容。
这部分内容主要让学生掌握二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、化简、以及最简二次根式的概念。
这些知识点是进一步学习分式、二次函数等数学内容的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、有理数等基础知识，对数学运算有一定的理解。
但二次根式的性质较为抽象，需要学生有较强的逻辑思维能力和抽象思维能力。
此外，学生可能对二次根式的实际应用场景感到困惑，需要教师进行引导。
三. 教学目标1.了解二次根式的性质，能进行二次根式的乘除运算和化简。
2.掌握最简二次根式的概念，能找出一个二次根式的最简形式。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质的理解和应用。
2.最简二次根式的找出和判断。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习的方式，理解和掌握二次根式的性质。
同时，运用实例解析、练习巩固等方法，帮助学生熟练运用所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件：包含二次根式的性质、实例解析、练习等内容。
2.教学素材：包括二次根式的运算题目、化简题目、实际应用题目等。
3.学生活动材料：笔记本、笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题，如物理中的速度、面积等问题，引导学生思考如何用二次根式表示这些问题。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现二次根式的性质，包括乘除运算、化简、最简二次根式的概念。
同时，结合实例进行解析，帮助学生理解和掌握二次根式的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，每组挑选几道题目进行二次根式的运算、化简和最简形式的找出。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师选取一些典型题目，进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。
同时，引导学生总结二次根式的性质，形成自己的知识体系。
1.2二次根式的性质(2)
1 18 24 2
0.001 0.5
3
12 24
2
2
1
9 25
2
121 16
3
2 7
4
二次根式化简方法二：
5 8
5
0.027
有分母的要分母有理化，分母凑 成平方数。
2 15 5
2
2
3 1 5 3
3
1 根号内不再含有开得尽方的因式. 最简二次根式： 根号内不再含有分母． 2
8 2 2 ( ) 13 13
判断！
1 4 9 4 9 2 2 2 2 2 13 12 13 12 13 12 1 3
4a 4a 4 2对任意实数a都成立 a a
1.二次根式的性质:
ab a b (a 0, b 0) a a (a 0, b 0) b b
1.2二次根式的性质(2)
一般地,二次根式也有下面的性质:
ab a b (a 0, b 0) a a (a 0, b 0) b b
1
3
25 4
3 44Βιβλιοθήκη 220.01 0.49
4
12 15
5
18 6
二次根式化简方法一：
被开方数分解出平方数，分解到 不能再分解为止。
根号内不再含有开得尽方的因式. 1 2.运用性质化简: 根号内不再含有分母． 2
2 2 2 _______, 2 _______ 3 3
3 3 3 ______, 3 ______ 8 8
4 4 4 ______ 4 ______ 15 15
5 5 5 _______ 5 ______ 24 24
二次根式的性质(第2课时 商的算术平方根的性质及最简二次根式)
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简，化去根号
内的分母.
例1
化简：
（1）
解：（1）
3
25
；（2）
3
3
3
= .
5
25
25
（2）
=
45
.
169
45
45
9×5 3 5
=
= 2= .
169
169
13
13
议一议
如何化去
根号内的分母？
1
可以先利用分式的基本性质将 的分子与分母同乘2
2
，使分母成为完全平方数，再利用商的算术平方根
A． 7
B． C．
D．
3
1
2
2
）
3.化简:
解:
3
（1）
;
100
75
（2）
;
27
3
3
3
（1）
=
=
.
100
100 10
75
（2）
=
27
补充解法：
52 × 3
52 5
=
= .
2
2
3 ×3
3
3
5 3 5
75
75
=
= .
=
27
3 3 3
27
81
(3)
>0 ;
2
25
还有其他解法
吗?
81
(3)
>0 ;
2
2 二次根式的性质
第2课时 商的算术平方根的性质及最简二次根式
学习目标
1．理解商的算术平方根的性质. （重点）
八年级数学下册 第1章 二次根式复习教案 浙教版(2021年整理)
浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册第1章二次根式复习教案（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册第1章二次根式复习教案（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二次根式知识一二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数，只有当是一个非负数时,才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x 〉3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么,直角坐标系中点P(m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路:式子a (a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时,1取值最小，并求出这个最小值。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
2.ba b a =(a ≥0，b >0) 二、最简二次根式 像33、22、a a 2这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.【经典例题】【例1】下列二次根式中，最简二次根式（ ）A ．√12B ．√0.7C ．√8D ．√x 2+1 【例2】已知 a >0 ，那么 √−4a b 可化简为（ ） A ．2b √−ab B ．−2b √ab C ．−2b √−ab D ．2b √−ab【例3】观察下列各式：√1+112+122=1+11×2=1+(1−12) ， √1+122+132=1+12×3=1+(12−13) ， √1+132+142=1+13×4=1+(13−14) ， ……请利用你发现的规律，计算：√1+112+122+√1+122+132+√1+132+142+⋯+√1+120202+120212 其结果为【基础训练】1．下列根式是最简二次根式的是（ ）A ．√a 2B ．√a +2C ．√1aD ．√a 2b2．下列化简错误的是（ ） A ．√1625=45B ．√1916=134C ．√2764=38√3D ．−√715=−65√5 3．下列二次根式中，最简二次根式的个数有（ ）①√0.2②√3a (a>0)③√a 2+b 2④√25A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．√(−4)2 = ； √(−64)×(−81) = .5．在下列二次根式 √5a ， √2a 3 ， √b ， √8x 中，最简二次根式有 .6．计算： √3×√8√6= 。
7．计算：√48a 3÷√6a b= . 8．王聪学习了二次根式性质公式 √a √b = √a b 后，他认为该公式逆过来 √a b= √a √b 也应该成立的，于是这样化简下面一题： √−27−3 = √−27√−3 = √(−3)×9√−3 = √9 =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由.9．观察下列式子：√2+23 =2 √23 ； √3+38 =3 √38 ； √4+415 =4 √415 ； √5+524 =5 √524 你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．10．求代数式(√1a −√b)·√ab 的值，其中a ＝3，b ＝2．【培优训练】11．下列二次根式中，是最简二次根式的是 （ ）A ．√4a 2+4a +1B ．√0.5C ．√4x +y 3D ．√xy 3 12．已知b ＞0，化简 √−a 3b 的结果是（ ）A ．a √abB ．−a √abC ．−a √−abD ．a √−ab 13．已知n 是正整数，√3n 是整数，则n 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．－3 14．若k ，m ，n 都是整数，且√135＝k √15，√450＝15√m ，√180＝6√n ，则下列关于k ，m ，n 的大小关系，正确的是( )A ．m ＜k ＜nB ．m ＝n ＞kC ．m ＜n ＜kD ．k ＜m ＝n 15．已知a =√2023×2021，b =√20202+4×2021，c =2021×2020−2019×2021，则(a −b)(b −c)的值（ ）A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．无法确定16．记S n =√1+112+122+√1+122+132+⋯+√1+1n 2+1(n+1)2，则S 20162016=（ ） A ．20162017 B ．20172016 C ．20172018 D ．20182017 17．已知a 为实数，化简 √−a 3−a √−1a= ． 18．借助于计算器可以求得√42+32 ＝ ，√442+332 ＝ ，√4442+3332 ＝ ，√44442+33332 ＝ ，……仔细观察上面几道题的结果，试猜想 √44⋯42︸2011个＋33⋯32︸2011个＝ .19．已知 √9−x x−6=√9−x √x−6 ，且x 为偶数，求（1+x ） ⋅√x 2−5x+4x 2−1的值.20．若a=3+ √2 ，b=3- √2 ，求a 2b -ab 2的值【直击中考】21．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√19B ．√4C ．√a 2D ．√a +b 22．化简 √8 的正确结果是（ ）A ．4B ．±4C ．2√2D ．±2√223．下列等式成立的是（ ） A ．√16=±4 B ．√−83=2C ．−a √1a=√−a D ．−√64=−8 24．计算： (√2+√3)2−√24= ．25．已知m 为正整数，若√189m 是整数，则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7=21.设n 为正整数，若√300n是大于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 .。
《1.2二次根式的性质》作业设计方案-初中数学浙教版12八年级下册
《二次根式的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在帮助学生巩固和加深对二次根式性质的理解，能够熟练运用二次根式的性质进行计算和推理，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容本节课的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理解二次根式的定义及基本性质，包括正负数的开方、根式的化简等。
2. 掌握二次根式的基本运算法则，如加法、减法、乘法等，并能够熟练运用这些法则进行计算。
3. 掌握二次根式与实数之间的关系，理解实数集的扩充和实数的大小比较。
4. 通过具体实例，让学生运用二次根式的性质解决实际问题，如求最值问题、几何问题等。
5. 练习题的设计应注重层次性，从基础题到提高题，逐步加深难度，让学生逐步掌握二次根式的运用。
三、作业要求为保证作业的质量和效果，对学生提出以下要求：1. 必须认真阅读教材和笔记，熟悉二次根式的定义、性质及基本运算法则。
2. 独立完成作业，不得抄袭他人作业或答案。
3. 注重计算过程的规范性和准确性，保证计算结果的正确性。
4. 对于练习题，应先思考再求解，理解题意后再进行计算。
5. 作业完成后，应自行检查并修正错误，确保作业质量。
四、作业评价作业评价应注重学生的理解程度和运用能力，具体评价标准如下：1. 对二次根式的定义、性质及基本运算法则的理解程度。
2. 计算过程的规范性和准确性。
3. 运用二次根式解决实际问题的能力。
4. 独立思考和自主解决问题的能力。
5. 作业完成的速度和态度。
五、作业反馈为及时了解学生的学习情况和问题，采取以下反馈措施：1. 教师及时批改作业，对错误的地方进行标注和指导。
2. 对共性问题进行课堂讲解和辅导。
3. 对个别问题通过课后辅导或线上解答等方式进行个别指导。
4. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题经验和技巧。
5. 定期总结学生的学习情况和问题，为后续教学提供参考。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固和拓展学生对二次根式性质的理解，通过练习和思考，加深对二次根式运算规则的掌握，并能够灵活运用这些规则解决实际问题。
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1.2二次根式的性质（2）
【教学目标】 1．探索二次根式的性质的由来，体验归纳、类推的思想方法．
2．会用二次根式的性质进行简单的计算和化简．
【教学重点、难点】
重点：二次根式的积和商的性质．
难点：例3中（4）及探究活动涉及的较复杂的化简过程与技巧．
【教学过程】
一、 引入新课
动手做一做：填空（可用计算器计算）：
（1）
49⨯=＿, 4×9=＿; （2） 45⨯=＿, 4×5=＿;
（3） 916
=＿, 916=＿; （4） 32=＿, 32
=＿. 比较每一组左右两边的等式，结果相等吗？多试几组类似的计算，想一想能否推广到一般形式？如果能，请用字母表示你发现的规律。
二、 新课讲解
1、 一般地，二次根式的积与商的性质： 积的性质：ab =a ·b (a≥0,b≥0);
商的性质：
a b =a b （ a≥0,b ＞0） 2、讲解例题：
例3 化简：（1）121225⨯；（2）247⨯；（3）59； （4）27
； 解：（1）121225⨯=121×225=11×15=165；
（2）2
47⨯=24×7=47； （3）59=59=53； （4）27=2777⨯⨯=1714；
注：①一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除1以外的自然数的平方数。
②被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简
练习：
1、化简：⑴254⨯； ⑵
0.010.49⨯； ⑶2235⨯. 2、化简：⑴
925； ⑵ 213；⑶58. 例4 先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0．01）
⑴ (18)(24)-⨯-； ⑵ 1149；⑶0.0010.5⨯ 解：⑴(18)(24)-⨯-=2938⨯⨯⨯=
4323⨯=42×33=123≈20.78； ⑵ 1149=5049=5049=527≈1.01； ⑶ =3
110105--⨯⨯=4105-⨯=22(10)-×5=210-×5=0.015≈0.02 总结：化简的结果要求：①根号内不再含有可以开方的因式；②根号内不再含有分母.
三、探究活动：
化简下列两组式子： ①223=＿，223
+=＿； ②338
=＿，338+=＿； ③4415=＿，4415
+=＿； ④55
24=＿，5524+=＿ 你发现了什么规律？请用字母表示你所发现的规律，并与同伴交流。
请再任意先几个数验正你发现的规律。
四、 小结：
师生共同完成：通过今天的学习，你有那些收获或困惑？
五、 布置作业
1.课后作业题
2.作业本。