2019年全国研究生考试数学(一)真题

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2019年考研数学一真题附答案解析

2019年考研数学一真题附答案解析

2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】(C )【详解】当0x →时,331tan ()3x x x o x =++,所以331tan ()3x x x o x -=-+,所以3k =. 2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的( )(A )可导点,极值点 (B )不可导的点,极值点 (C )可导点,非极值点 (D )不可导点,非极值点【答案】(B )【详解】(1)01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===,所以函数在0x =处连续;(2)0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞,所以函数在0x =处不可导;(3)当0x <时,2(),()20f x x f x x '=-=->,函数单调递增;当10x e<<时,()1ln 0f x x '=+<,函数单调减少,所以函数在0x =取得极大值.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )(A )1n n u n ∞=∑ (B )11(1)n n n u ∞=-∑ (C )111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (D )2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】(D )【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列,由单调有界定理知lim n n u →∞存在,记为lim n n u u →∞=;又设n ∀,满足n u M ≤,则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-,且2210n n u u +-≥,则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑,前n 项和:221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛.4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为( )(A )22x y y - (B )221x y y - (C )11x y- (D )1x y -【答案】(D )【详解】显然,由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂,也就是1(,)()P x y C x y=-+,其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数.只有(D )满足.5.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---【答案】(C )【详解】假设λ是矩阵A 的特征值,由条件22A A E +=可得220λλ+-=,也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-.而1234A λλλ==,所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-,根据惯性定理,二次型的规范型为222123y y y --.6.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则( )(A )()2,()3r A r A == (B )()2,()2r A r A == (C )()1,()2r A r A == (D )()1,()1r A r A == 【答案】(A )【详解】(1)显然三个平面没有共同交点,也就是非齐次方程组无解,从而()()r A r A <; (2)从图上可看任何两个平面都不平行,所以()2r A ≥;7. 设,A B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 ( )(A )()()()P A B P A P B =+ (B ) ()()()P AB P A P B =(C )()()P AB P B A = (D )()()P AB P AB =【答案】(C )【详解】选项(A )是,A B 互不相容;选项(B )是,A B 独立,都不能得到()()P A P B =; 对于选项(C ),显然,由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-,()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8.设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ.则{1}P X Y -<( )(A )与μ无关,而与2σ有关 (B )与μ有关,而与2σ无关 (C )与μ,2σ都有关 (D )与μ,2σ都无关【答案】(A )【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ,则2~(0,2)X Y N σ-,从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】cos cos y x x y+ 解:cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = .【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=,即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =,所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑,我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答. 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑,从而有:110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧,则∑= .【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.设123(,,)A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且3122ααα=-+,则线性方程组0Ax =的通解为 .【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =,从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量.由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系,通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为其分布函数,()E X 其数学期望,则{()()1}P F X E X >-= .【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩,2204()23x E X dx ==⎰.012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15.(本题满分10分)设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点. 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解:22x y Ce -=,其中C 为任意常数;再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解,设22()x y C x e-=为其解,代入方程,得2222(),()1x x C x eeC x --''==,1()1C x dx x C ==+⎰,也就是通解为:221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入,得10C =,从而得到22().x y x xe -=(2)2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===.当x <0x <<0y ''<,是曲线的凸区间;当0x <<或x >0y ''>,是曲线的凹区间.曲线的拐点有三个,分别为3322()--.16.(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34l i j =--的方向导数最大 ,最大值为10.(1)求常数,a b 之值;(2)求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积. 【详解】(1)222z ax by =++,则2,2z zax by x y∂∂==∂∂; 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭;gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同,且10gradf ==.也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩(舍).即11a b =-⎧⎨=-⎩.(2)22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰. 17.(本题满分10分)求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积.【详解】先求曲线与x 轴的交点:令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时,sin 0xy e x -=>;当2(22)k x k πππ+<<+时,sin 0x y e x -=<.由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰,22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18.(本题满分10分)设1(0,1,2,)n a x n ==⎰(1)证明:数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+;(2)求极限1lim n n n a a →∞-. 【详解】(1)证明:1n a x =⎰,110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时,显然有1n nxx +<,1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰,所以数列{}n a 单调减少;先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时,12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈,则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理,2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述,可知对任意的正整数n ,均有212n n a n a n --=+,即21(2,3,)2n n n a a n n --==+; (2)由(1)的结论数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞,由夹逼准则,可知1lim1nn n a a →∞-=.19.(本题满分10分)设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.【详解】先计算四个三重积分:22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =.注:其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体,则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰,且由对称性,明显0x =,2y =.20.(本题满分11分)设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基,111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,,a b c 之值;(2)证明:23,,ααβ也为3R 空间的一组基,并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵.【详解】(1)由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解方程组,得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时,()123111111,,23301110123012ααα===≠,即123,,ααα线性无关,确实是3R 空间的一组基.(2)()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-,显然23,,ααβ线性无关,当然也为3R 空间的一组基. 设()()23123,,,,a P αβααα=,则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=. 【详解】(1)由矩阵相似的必要条件可知:A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩.(2)解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-;分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭,则1P 可逆,且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;同样的方法,可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则2P 可逆,且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;由前面111122P AP P BP --=,可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭,就满足1P AP B -=. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为:{1}P Y p =-=,{1}1P Y p ==-,(01)p <<.令Z XY =.(1)求Z 的概率密度;(2)p 为何值时,,X Z 不相关;(3)此时,,X Z 是否相互独立.【详解】(1)显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩.先求Z XY =的分布函数:(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--()再求Z XY =的概率密度:,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩(2)显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-;由于随机变量,X Y 相互独立,所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-;22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-;(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-;要使,X Z 不相关,必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=,也就是0.5p =时,X Z 不相关;(3),X Z 显然不相互独立,理由如下:设事件{1}A X =>,事件{1}B Z =<,则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰;11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-;11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=,当0.5p =时,显然()()()P AB P A P B ≠,也就是,X Z 显然不相互独立.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,其中μ是已知参数,σ是未知参数,A 是常数,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(1)求常数A 的值;(2)求2σ的最大似然估计量.【详解】(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他, 取对数,得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑,得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑.。

(完整版)2019考研数学一真题及答案解析参考,推荐文档

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2019年考研数学一真题一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当时,若与是同阶无穷小,则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 0=x )(x f A.可导点,极值点. B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是{}n u A. B...1∑∞=n n nu nn nu 1)1(1∑∞=-C.. D..∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u ()∑∞=+-1221n nn u u4.设函数,如果对上半平面()内的任意有向光滑封闭曲线都2),(y xy x Q =0>y C 有,那么函数可取为⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(),(y x P A..B..32yx y -321yx y -C.. D..y x 11-yx 1-5.设是3阶实对称矩阵,是3阶单位矩阵.若,且,则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A.. B..232221y y y ++232221y y y -+C.. D..232221y y y --232221y y y ---6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,则A A ,A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设为随机事件,则的充分必要条件是B A ,)()(B P A P =A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量与相互独立,且都服从正态分布,则X Y ),(2σμN {}1<-Y X P A.与无关,而与有关.μ2σB.与有关,而与无关.μ2σC.与都有关.2,σμD.与都无关.2,σμ2、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.9.设函数可导,则= .)(u f ,)sin (sin xy x y f z +-=yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅1110.微分方程满足条件的特解.02'22=--y y y 1)0(=y =y 11.幂级数在内的和函数 .nn n n ∑∞=-0)!2()1()0∞+,(=)(x S12.设为曲面的上侧,则=.∑)0(44222≥=++z z y x dxdy z x z⎰⎰--224413.设为3阶矩阵.若线性无关,且,则),,(321αααA =21αα,2132ααα+-=线性方程组的通解为.0=x A 14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数,X ⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F X 为的数学期望,则 .X E X {}=->1X X F P E )(3、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)设函数是微分方程满足条件的特解.)(x y 2'2x e xy y -=+0)0(=y (1)求;)(x y (2)求曲线的凹凸区间及拐点.)(x y y =16.(本题满分10分)设为实数,函数在点(3,4)处的方向导数中,沿方向b a ,222by ax z ++=的方向导数最大,最大值为10.j i l 43--=(1)求;b a ,(2)求曲面()的面积.222by ax z ++=0≥z 17.求曲线与x 轴之间图形的面积.)0(sin ≥=-x x ey x18.设,n =(0,1,2…)dx x xa nn ⎰-=121(1)证明数列单调减少,且(n =2,3…){}n a 221-+-=n n a n n a (2)求.1lim-∞→n nn a a19.设是锥面与平面围成的锥体,求的形Ω())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 0=z Ω心坐标.20.设向量组,为的一个基,T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα3R 在这个基下的坐标为.T )1,1,1(=βT c b )1,,((1)求.c b a ,,(2)证明,为的一个基,并求到的过度矩阵.32,a a β3R ,,32a a β321,,a a a 21.已知矩阵与相似⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012(1)求.y x ,(2)求可可逆矩阵,使得P .1B AP P =-22.设随机变量与相互独立,服从参数为1的指数分布,的概率分布为X Y X Y 令{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P XYZ =(1)求的概率密度.z (2)为何值时,与不相关.p X Z (3)与是否相互独立?X Z 23.(本题满分11分)设总体的概率密度为X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中是已知参数,是未知参数,是常数,来自总体的简μ0>σA n X …X X ,,21X 单随机样本.(1)求;A(2)求的最大似然估计量2σ2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析(数学一)1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.x cos 12.33213.为任意常数.,T)1,2,1(-k k 14.3215.解:(1),又,)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰0)0(=y 故,因此0=c .)(221x xex y -=(2),22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''令得0=''y 3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以,曲线的凹区间为和,凸区间为和)(x y y =)0,3(-),3(+∞)3,(--∞,拐点为,,.)3,0()0,0()33(23---e )3,3(23-e16.解:(1),,)2,2(by ax z =grad )8,6()4,3(b a z =grad 由题设可得,,即,又,4836-=-ba b a =()()108622=+=b a z grad 所以,.1-==b a (2)=dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1====dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441ρρρθπd d ⎰⎰+20224120232)41(1212ρπ+⋅.313π17.18.19.由对称性,,2,0==y x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ10212101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.(1)即,123=b c βααα++11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得.322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩(2),所以,则()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,()233r ααβ=,,可为的一个基.23ααβ,,3R ()()12323=P αααααβ,,,,则.()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,21.(1)与相似,则,,即,解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩(2)的特征值与对应的特征向量分别为A ,;,;,.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在,使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ,;,;,.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭所以存在,使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以,即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解:(I )的分布函数Z (){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当时,;当时,0z ≤()zF z pe =0z >()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则的概率密度为.Z ()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩(II )由条件可得,又()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,从而当时,,即不相关.()()1,12D X E Y p ==-12p =(),0Cov X Z =,X Z (III )由上知当时,相关,从而不独立;当时,12p ≠,X Z 12p =121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而,,显12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭然,即不独立. 从而不独立.1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,X Z ,X Z 23. 解:(I )由,()2221xAedx μσμσ--+∞=⎰t=201t e dt +∞-==⎰从而A =(II )构造似然函数,当()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,1,2,,i x i n μ≥=L 时,取对数得,求导并令其()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑为零,可得,解得的最大似然估计量为()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑2σ.()211n ii x n μ=-∑。

2019考研数学(一)题目及答案,2019年考研数学真题含答案

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一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

1.当时,若与是同阶无穷小,则 等于( )AB CD 2.设函数,则是的( )A 可导点,极值点B 不可导点,极值点C 可导点,非极值点D 不可导点,非极值点3.设是单调增加的有解数列,则下列级数中收敛的是( )A BC D 4.设函数。

如果对上半平面()内的任意有向光滑封闭曲线都有,那么函数可取为( )A BCD 5.设是阶实对称矩阵,是阶单位矩阵。

若,且,则二次型规范形为( )ABCD 2019年研究生统一入学考试数学(一)CBDDC6.如图所示,有张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,则( )A B C D7.设为随机事件,则充分必要条件是( ) A B C D8.设随机变量和相互独立,且都服从正态分布,则( ) A 与无关,而与有关 B 与有关,而与无关C 与,都有关 D 与,都无关二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。

9.设函数可导,,则。

10.微分方程满足条件的特解。

11.幂级数在 内的和函数。

12.设为曲面的上侧,则。

13.设为阶矩阵,若,线性无关,且,则线性方程组的通解为。

14.设随机变量的概率密度为,为的分布函数,为的数学期望,则。

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A C A15.设函数是微分方程满足条件的特解。

(本题满分10分)(1)求;解:因的解可以通过分开变量法求解,,所以,有,于是方程两边同时乘以时的特解,有所以解得,最后,有。

(2)求曲线凹凸区间及拐点。

解:由(1)得令,解得或。

当时时,;当时,当时,;;当时,。

所以的拐点是当时,曲线是凹的;当时,曲线是凸的。

16.设,为实数,函数在点(,)处的方向导数中,沿方向的方向导数最大,最大值为。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案共16页

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案共16页

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)(1)曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型,相当于已知切线的斜率为1,由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由11)(ln =='='xx y ,得x=1, 可见切点为)0,1(,于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y , 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ,曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ,得10=x ,由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y , 即 1-=x y . (2)已知xx xe e f -=')(,且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式,再积分即可。

【详解】 令t e x=,则t x ln =,于是有t t t f ln )(=', 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0,故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示,相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法,作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

2019年考研数学(一)真题及解析

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2019年硕士研究生入学考试数学一 试题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的( )(A )可导点,极值点 (B )不可导的点,极值点(C )可导点,非极值点 (D )不可导点,非极值点 3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )(A )1n n u n ∞=∑ (B )11(1)n n n u ∞=-∑ (C )111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (D )2211()n n n u u ∞+=-∑4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为( )(A )22x y y - (B )221x y y - (C )11x y- (D )1x y -5.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是 ( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---6.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则( )(A )()2,()3r A r A == (B )()2,()2r A r A == (C )()1,()2r A r A == (D )()1,()1r A r A ==7. 设,A B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 ( )(A )()()()P A B P A P B =+U (B ) ()()()P AB P A P B = (C )()()P AB P B A = (D )()()P AB P AB =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ.则{1}P X Y -<( ) (A )与μ无关,而与2σ有关 (B )与μ有关,而与2σ无关 (C )与μ,2σ都有关 (D )与μ,2σ都无关二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ .10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = .11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑,我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答. 12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧,则∑= .13.设123(,,)A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且3122ααα=-+,则线性方程组0Ax =的通解为 .14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为其分布函数,()E X 其数学期望,则{()()1}P F X E X >-= .三、解答题 15.(本题满分10分)设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点.16.(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34l i j=--v v v 的方向导数最大 ,最大值为10.(1)求常数,a b 之值;(2)求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积. 17.(本题满分10分)求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积.18.(本题满分10分)设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L(1)证明:数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ;(2)求极限1lim n n n a a →∞-. 19.(本题满分10分)设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.(本题满分11分)设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基,111β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,,a b c 之值;(2)证明:23,,ααβ也为3R 空间的一组基,并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵.21.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为:{1}P Y p =-=,{1}1P Y p ==-,(01)p <<.令Z XY =.(1)求Z 的概率密度;(2)p 为何值时,,X Z 不相关;(3)此时,,X Z 是否相互独立.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,其中μ是已知参数,σ是未知参数,A 是常数,12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本. (1)求常数A 的值;(2)求2σ的最大似然估计量.2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】(C )【详解】当0x →时,331tan ()3x x x o x =++,所以331tan ()3x x x o x -=-+,所以3k =. 2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的( )(A )可导点,极值点 (B )不可导的点,极值点 (C )可导点,非极值点 (D )不可导点,非极值点【答案】(B )【详解】(1)01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===,所以函数在0x =处连续;(2)0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞,所以函数在0x =处不可导;(3)当0x <时,2(),()20f x x f x x '=-=->,函数单调递增;当10x e<<时,()1ln 0f x x '=+<,函数单调减少,所以函数在0x =取得极大值.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )(A )1n n u n ∞=∑ (B )11(1)n n n u ∞=-∑ (C )111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (D )2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】(D )【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列,由单调有界定理知lim n n u →∞存在,记为lim n n u u →∞=;又设n ∀,满足n u M ≤,则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-,且2210n n u u +-≥,则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑,前n 项和:221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛.4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ那么函数(,)P x y 可取为( )(A )22x y y - (B )221x y y - (C )11x y- (D )1x y -【答案】(D )【详解】显然,由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂,也就是1(,)()P x y C x y=-+,其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数.只有(D )满足.5.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是 ( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---【答案】(C )【详解】假设λ是矩阵A 的特征值,由条件22A A E +=可得220λλ+-=,也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-.而1234A λλλ==,所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-,根据惯性定理,二次型的规范型为222123y y y --.6.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则( )(A )()2,()3r A r A == (B )()2,()2r A r A == (C )()1,()2r A r A == (D )()1,()1r A r A == 【答案】(A )【详解】(1)显然三个平面没有共同交点,也就是非齐次方程组无解,从而()()r A r A <; (2)从图上可看任何两个平面都不平行,所以()2r A ≥;7. 设,A B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 ( )(A )()()()P A B P A P B =+U (B ) ()()()P AB P A P B =(C )()()P AB P B A = (D )()()P AB P AB =【答案】(C )【详解】选项(A )是,A B 互不相容;选项(B )是,A B 独立,都不能得到()()P A P B =; 对于选项(C ),显然,由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-,()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8.设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ.则{1}P X Y -<( )(A )与μ无关,而与2σ有关 (B )与μ有关,而与2σ无关 (C )与μ,2σ都有关 (D )与μ,2σ都无关【答案】(A )【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ,则2~(0,2)X Y N σ-,从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】cos cos y xx y+解:cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = .【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=,即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =,所以y =.11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑,我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答. 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑,从而有:110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧,则∑= .【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.设123(,,)A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且3122ααα=-+,则线性方程组0Ax =的通解为 .【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =,从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量.由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系,通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为其分布函数,()E X 其数学期望,则{()()1}P F X E X >-= .【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩,2204()23x E X dx ==⎰.012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15.(本题满分10分)设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点. 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解:22x y Ce -=,其中C 为任意常数;再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解,设22()x y C x e-=为其解,代入方程,得2222(),()1x x C x eeC x --''==,1()1C x dx x C ==+⎰,也就是通解为:221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入,得10C =,从而得到22().x y x xe -=(2)2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===.当x <0x <<时,0y ''<,是曲线的凸区间;当0x <<或x >0y ''>,是曲线的凹区间.曲线的拐点有三个,分别为3322()--.16.(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34l i j=--v v v的方向导数最大 ,最大值为10.(1)求常数,a b 之值;(2)求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积. 【详解】(1)222z ax by =++,则2,2z zax by x y∂∂==∂∂;所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭;gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--v v v方向相同,且10gradf ==.也就得到683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩(舍).即11a b =-⎧⎨=-⎩.(2)22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰. 17.(本题满分10分)求曲线sin (0)xy ex x -=≥与x 轴之间形成图形的面积.【详解】先求曲线与x 轴的交点:令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==L 当2(21)k x k ππ<<+时,sin 0xy e x -=>;当2(22)k x k πππ+<<+时,sin 0x y e x -=<.由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰,22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18.(本题满分10分)设1(0,1,2,)n a x n ==⎰L(1)证明:数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ;(2)求极限1lim n n n a a →∞-. 【详解】(1)证明:1n a x=⎰,110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰L当(0,1)x ∈时,显然有1n nxx +<,1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰,所以数列{}n a 单调减少;先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰L则当2n ≥时,12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+L 令sin ,[0,]2x t t π=∈,则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理,2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述,可知对任意的正整数n ,均有212n n a n a n --=+,即21(2,3,)2n n n a a n n --==+L ; (2)由(1)的结论数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+L 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞,由夹逼准则,可知1lim1nn n a a →∞-=.19.(本题满分10分)设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.【详解】先计算四个三重积分:22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =. 注:其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体,则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰,且由对称性,明显0x =,2y =.20.(本题满分11分)设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基,111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,,a b c 之值;(2)证明:23,,ααβ也为3R 空间的一组基,并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵.【详解】(1)由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解方程组,得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时,()123111111,,23301110123012ααα===≠,即123,,ααα线性无关,确实是3R 空间的一组基.(2)()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-,显然23,,ααβ线性无关,当然也为3R 空间的一组基. 设()()23123,,,,a P αβααα=,则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=. 【详解】(1)由矩阵相似的必要条件可知:A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩.(2)解方程组221232(2)(2)(1)002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-;分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭,则1P 可逆,且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;同样的方法,可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则2P 可逆,且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;由前面111122P AP P BP --=,可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭,就满足1P AP B -=. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为:{1}P Y p =-=,{1}1P Y p ==-,(01)p <<.令Z XY =.(1)求Z 的概率密度;(2)p 为何值时,,X Z 不相关;(3)此时,,X Z 是否相互独立.【详解】(1)显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩.先求Z XY =的分布函数:(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--()再求Z XY =的概率密度:,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩(2)显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-;由于随机变量,X Y 相互独立,所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-;22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-;(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-;要使,X Z 不相关,必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=,也就是0.5p =时,X Z 不相关; (3),X Z 显然不相互独立,理由如下:设事件{1}A X =>,事件{1}B Z =<,则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰;11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-;11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=,当0.5p =时,显然()()()P AB P A P B ≠,也就是,X Z 显然不相互独立.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,其中μ是已知参数,σ是未知参数,A 是常数,12,,,n X X X L 是来自总体X 的简单随机样本. (1)求常数A 的值;(2)求2σ的最大似然估计量.【详解】(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏L 其他, 取对数,得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑L解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()nn ii d L X X X n Xd σμσσσ==-+-=∑L ,得未知参数2σ的最大似然估计量为¶2211()n i i X n σμ==-∑.。

2019年全国研究生招生考试考研数学一历年真题及详解

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2019年全国研究生招生考试考研数学一真题及详解一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

)1.当x→0时,若x-tanx与xk是同阶无穷小,则k=()。

A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】无穷小的比较,泰勒展开式;【解析】tanx在x=0处的泰勒展开式为:tanx=x+(1/3)x3+o(x3)。

因此当x→0时有x-tanx~-(1/3)x3,即x-tanx与-(1/3)x3是x→0时的等价无穷小,进一步可得x-tanx与x3是同阶无穷小,所以k=3。

故选C。

2.设函数则x=0是f(x)的()。

A.可导点,极值点B.不可导点,极值点C.可导点,非极值点D.不可导点,非极值点【答案】B【考点】函数在一点处的性质;【解析】由于因此f+′(0)不存在,因此x=0是f(x)不可导点。

又当-1<x<0时,f(x)=x|x|<0=f(0),当0<x<1时,f(x)=xlnx<0=f(0)。

因此x=0是f(x)的极大值点。

故选B。

3.设{un}是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是()。

A.B.C.D.【答案】D【考点】数项级数的收敛性判别;【解析】由单调有界定理,数列{un}的极限存在。

令级数的部分和Sn=(un+12-un2)+(un2-un-12)+…+(u22-u12)=un+12-u12。

因此故部分和Sn的极限也存在,从而级数收敛。

故选D。

4.设函数Q(x,y)=x/y2,如果对上半平面(y>0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有那么函数P(x,y)可取为()。

A.y-x2/y3B.1/y-x2/y3C.1/x-1/yD.x-1/y【答案】D【考点】曲线积分与路径无关的等价条件;【解析】由题意可知,y>0时积分与路径无关,因而∂Q/∂x=∂P/∂y=1/y2,排除选项A和B。

虽然C选项满足上述条件,但其在y轴正半轴无意义,故选D。

5.设A是3阶实对称矩阵,E是3阶单位矩阵。

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方)一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(y xy x Q =,如果对上半平面(0>y )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9. 设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设),,(321αααA =为3阶矩阵.若21αα,线性无关,且2132ααα+-=,则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )( . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.(1)求)(x y ;(2)求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.(本题满分10分)设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点(3,4)处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.(1)求b a ,;(2)求曲面222by ax z ++=(0≥z )的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=1021,n =(0,1,2…)(1)证明数列{}n a 单调减少,且221-+-=n n a n n a (n =2,3…) (2)求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3R 的一个基,T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.(1)求c b a ,,.(2)证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似(1)求y x ,.(2)求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =(1)求z 的概率密度.(2)p 为何值时,X 与Z 不相关. (3)X 与Z 是否相互独立?23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,,21来自总体X 的简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.332 13. ,T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解:(1))()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰,又0)0(=y ,故0=c ,因此.)(221x xex y -=(2)22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---='',令0=''y 得3,0±=x所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(23---e,)3,3(23-e .16. 解:(1))2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z =grad ,由题设可得,4836-=-ba ,即b a =,又()()108622=+=b a z grad ,所以,.1-==b a(2)dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性,2,0==y x ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.(1)123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.(2)()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,,所以()233r ααβ=,,,则23ααβ,,可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ,,,,则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,.21.(1)A 与B 相似,则()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩(2)A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,,使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭;2=1λ-,21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ,即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解:(I )Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时,()zF z pe =;当0z >时,()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. (II )由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又()()1,12D X E Y p ==-,从而当12p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关.(III )由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当12p =时,121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭,121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭,显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解:(I )由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =201t e dt +∞-==⎰,从而A =(II )构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他,当时,取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.,1,2,,i x i nμ≥=。

2019考研数学一考试真题及答案详解(完整版)

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2019考研数学一考试真题及答案详解来源:文都教育一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。

下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =A.1.B.2.C.3.D.4.解析:3tan 3x x x -- ,若要tan x x -与k x 是同阶无穷小,3k \=\选C2.设函数||,0,()ln ,0,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则x =0是f (x )的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.解析:①0(0)lim 0x x x f x --®-¢==,00ln (0)lim lim ln xx x xf x x+++¢==不存在0x \=处()f x 不可导②当0x <时,2()f x x =-()20f x x ¢=-> ()f x \单增当0x >时()ln f x x x =()ln 1f x x ¢=+ 1(0,e )x -Î时()0f x ¢<.()f x \单减0x \=为()f x 的极值点.\选B.3.设{u n }是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A.1.nn u n∞=∑B.11(1).nn nu ∞=-∑C.11(1nn n u u ∞=+-∑D.2211().n n n uu ∞+=-∑解析:∵{u n }单调增加且有界∴由单调有界收敛定理可得{u n }极限存在,设lim n n u A →∞=.()2211n n n uu ∞+=-∑则的前n 项和为22222221111n u n n S u u u u u u ++=-++-=- (222)111lim lim n n n n S u u A u +→∞→∞=-=-.选(D )4.设函数2(,)xQ x y y =.如果对上半平面(y >0)内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰,那么函数P (x ,y )可取为A.23x y y -.B.231.x y y-C.11.x y-D.1.x y-解析:由题意知,积分与路径无关,则P Q y x∂∂=∂∂存在u (x ,y )使得(,),(,)u u P x y Q x y x y∂∂==∂∂∵2x Q y =∴(,)()xu x y c x y=-+则1()u P c x x y∂'==-+∂又∵x 可为0∴排除(C ),选(D )5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若22A A E +=,且|A |=4,则二次型x T Ax 的规范形为A.222123.y y y ++B.222123.y y y +-C.222123.y y y --D.222123.y y y ---解析:由22A A E +=得22λλ=+,λ为A 的特征值,2=-l 或1,又1234A =λλλ=,故1231λ=λ=-2λ=,,规范形为222123y y y --,选(C )6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则A.()2,() 3.r A r A ==B.()2,() 2.r A r A ==C.()1,( 2.r A r A ==D.()1,() 1.r A r A ==解析:由条件知3张平面无公共交点,方程组无解,故()()r A r A ¹.又两平面交于一条直线,故()2r A =,因此()2,()3,r A r A ==选(A ).7.设A ,B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是A.()()()P A B P A P B =+ .B.()()()P AB P A P B =.C.((P AB P B A =.D.()()P AB P AB =.解析:()()()P AB P A P AB =-,()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选(C )8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布2(,)N m s ,则{}1P X Y -<A.与m 无关,而与2s 有关B.与m 有关,而与2s 无关C.与m ,2s 都有关D.与m ,2s 都无关解析:因为22(,)(,)X N u Y N u s s 且X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}121222X Y P X Y Pss s -ç\-<==F -çç\与m 无关,而与2s 有关选择(A )二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z z x x y y×+×=.解析:因为:所以:10.微分方程22'20yy y --=满足条件(0)1y =的特解y =.'(sin sin )(cos )'(sin sin )(cos )zf y x x y x zf y x y x y∂=--+∂∂=-+∂11111'(sin sin )(cos )cos '(sin sin )cos cos cos cos cos cos cos cos z z xf y x x y yf y x x x y y x x y yy x x y∂∂+⋅=--⋅+⋅+⋅-+∂∂=+.解析:2222'202'222yy y y y y ydy dx y --=+==+两边积分得2ln(2)ln y x C+=+22xy Ce +=由y (0)=1得C =3所以32x y e =-11.幂级数0(1)(2)!n nn x n ¥=-å在()0,+¥内的和函数()S x =.解析:200(1)(1)()()cos (2)!(2)!n nn n n n s x x x xn n ∞∞==--===∑∑12.设å为曲面22244(0)x y z z ≥++=的上侧,则.解析:13.设()123,,A a a a =为3阶矩阵,若12,a a 线性无关,且3122a a a =-+,则线性方程组0Ax =的通解为.解析:∵12,αα线性无关.∴()2r A ≥∵3132ααα=-+∴()3r A <∴()2r A =∴Ax =0为基础解系有()321n r A -=-=个线性无关的解向量∵12320ααα-+=22222222222422204444d d 4(4)d d d d ||d d 2d sin 323x y x y x y x z x yx x y x y y x y y x y r drπθθ+≤+≤+≤--∑=----====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴1231(,,)201ααα⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭∴通解为12.1k k R ⎛⎫ ⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭14.设随机变量X 的概率密度为,02()()20,.x x f x F X ìïï<<ï=íïïïî,其他为X 的分布函数,EX 为X 的数学期望,则{}()1P F X EX >-=.解析:X 的概率密度为02()2xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他32222000222232231184d d |2223630()02412112{()1}{()}{}2d 343231412(4)144333x x EX x x x x x x F x x x x xP F x EX P F x P P x xx =⋅==⋅==<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩⎫≥-=≥=≥=<=⎨⎬⎩⎭==-=-=⎰⎰⎰三、解答题:15~23小题,共94分。

2019年全国硕士入学统考数学(一)试题及解析

2019年全国硕士入学统考数学(一)试题及解析

2019年全国硕士入学统考数学(一)试题及解析一、填空题〔此题共6小题,每题4分,总分值24分.把答案填在题中横线上〕〔1〕)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式,化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x , 故原式=.121ee=-【详解2】因为2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x , 因此原式=.121ee=-〔2〕曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x . 【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可依照曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=,那么x F x 2-=',y F y 2-=',1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ,那么切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --,其与平面042=-+z y x 平行,因此有 11422200-=-=-y x , 可解得2,100==y x ,相应地有.520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即542=-+z y x .〔3〕设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,那么2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】依照余弦级数的定义,有x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.〔4〕从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】n 维向量空间中,从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ,因此过渡矩阵P 为:P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】依照定义,从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 〔5〕设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=那么=≤+}1{Y X P 41. 【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤,一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】由题设,有=≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x y 1 D O211x 〔6〕)1,(μ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm),那么μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】方差12=σ,对正态总体的数学期望μ进行可能,可依照)1,0(~1N nX μ-,由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ,进而确定相应的置信区间. 【详解】由题设,95.01=-α,可见.05.0=α因此查标准正态分布表知.96.12=αu 此题n=16,40=x ,因此,依照95.0}96.11{=<-nX P μ,有 95.0}96.116140{=<-μP ,即95.0}49.40,51.39{=P ,故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39(.【二】选择题〔此题共6小题,每题4分,总分值24分.每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内〕〔1〕设函数f(x)在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如下图,那么f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析共4.【3个,而x=0那么是导数不存在的点.一个极大值点;在x=0左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见x=0为极大值点,故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应选(C).〔2〕设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,那么必有(A)n n b a <对任意n 成立.(B)n n c b <对任意n 成立. (C)极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在.[D]【分析】此题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可马上排除(A),(B);而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可;极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型,必为无穷大量,即不存在.【详解】用举反例法,取n a n 2=,1=n b ,),2,1(21==n n c n ,那么可马上排除(A),(B),(C),因此正确选项为(D).〔3〕函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,那么 (A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)依照所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.[A]【分析】由题设,容易推知f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值,关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零依旧变号.【详解】由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知,分子的极限必为零,从而有f(0,0)=0,且222)(),(y x xy y x f +≈-y x ,(充分小时〕,因此.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时,04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ;而当y=-x 且x 充分小时,04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f .故点(0,0)不是f(x,y)的极值点,应选(A).〔4〕设向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,那么 (A)当s r <时,向量组II 必线性相关.(B)当s r >时,向量组II 必线性相关. (C)当s r <时,向量组I 必线性相关.(D)当s r >时,向量组I 必线性相关. [D]【分析】此题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理:假设向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,那么当s r >时,向量组I 必线性相关.或其逆否命题:假设向量组I :r ααα,,,21 可由向量组II :s βββ,,,21 线性表示,且向量组I 线性无关,那么必有s r ≤.可见正确选项为(D).此题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法:如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα,那么21100ββα⋅+⋅=,但21,ββ线性无关,排除(A);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα,那么21,αα可由1β线性表示,但1β线性无关,排除(B);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα,1α可由21,ββ线性表示,但1α线性无关,排除(C).故正确选项为(D).〔5〕设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ①假设Ax=0的解均是Bx=0的解,那么秩(A)≥秩(B); ②假设秩(A)≥秩(B),那么Ax=0的解均是Bx=0的解; ③假设Ax=0与Bx=0同解,那么秩(A)=秩(B); ④假设秩(A)=秩(B),那么Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的选项是 (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.[B]【分析】此题也可找反例用排除法进行分析,但①②两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住③与④,迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=0与Bx=0同解,那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B),命题③成立,可排除(A),(C);但反过来,假设秩(A)=秩(B),那么不能推出Ax=0与Bx=0同解,如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ,那么秩(A)=秩(B)=1,但Ax=0与Bx=0不同解,可见命题④不成立,排除(D),故正确选项为(B).〔6〕设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,那么 (A))(~2n Y χ.(B))1(~2-n Y χ. (C))1,(~n F Y .(D)),1(~n F Y .[C] 【分析】先由t 分布的定义知nV U X =,其中)(~),1,0(~2n V N U χ,再将其代入21XY =,然后利用F 分布的定义即可. 【详解】由题设知,nV U X =,其中)(~),1,0(~2n V N U χ,因此21XY ==122U n V U n V =,那个地方)1(~22χU ,依照F 分布的定义知).1,(~12n F X Y =故应选(C). 三、〔此题总分值10分〕过坐标原点作曲线y=lnx 的切线,该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体〔圆锥〕体积减去一小立体体积进行计算,为了关心理解,可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为0x ,那么曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知01ln 0=-x ,从而.0e x =因此该切线的方程为.1x ey =平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y 〔2〕切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为dy e e V y 212)(⎰-=π,因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππy1 D O1ex四、将函数x x f 21arctan )(+=∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】幂级数展开有直截了当法与间接法,一般考查间接法展开,即通过适当的恒等变形、求导或积分等,转化为可利用幂级数展开的情形。

2019年考研数学一真题及全面解析(Word版)

2019年考研数学一真题及全面解析(Word版)

2019年考研数学(一)真题及完全解析(Word 版)一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、当0x →时,若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量,则k=( )A . 1.B . 2.C . 3.D . 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --,所以3k =,选 C .2、设函数,0()ln ,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x=是()f x 的( )A . 可导点,极值点。

B .不可导点,极值点。

C .可导点,非极值点。

D .不可导点,非极值点。

【答案】B . 【解析】因为(0)lim ln lim 0,x x f x x x x +-→→=== 所以()f x 在0x =处连续。

又因为 000()(0)ln (0)lim lim lim ln x x x f x f x xf x x x++++→→→-'====-∞,所以()f x 在0x =处不可导。

而 2,0()ln ,0x x f x x x x ⎧-<=⎨>⎩,即在0x =的去心左、右邻域内()(0)0f x f <=,所以0x =是极大值点。

故选B. 3、设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )A . 1n n u n ∞=∑. B . 11(1)n n n u ∞=-∑. C . 11(1)n n n u u ∞=+-∑. D . 2211()n n n u u ∞+=-∑.【答案】D .【解析】解法一:排除法。

取11n u n =-,排除(A );取1n u n=-,排除(B ),(C ),故选(D )。

解法二:对选项(A ),如果{}n u 是单调增加的有界正项数列,则有1n u u n n >,而 11111n n u u n n ∞∞===∑∑发散,根据比较判别法,可知 1n n u n∞=∑发散,排除(A )。

2019研究生数学考试数一真题

2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。

(1)当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k = (A )1. (B )2. (C )3.(D )4.(2)设函数(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.(3)设{}n u 是单调递增的有界数列,则下列级数中收敛的是A.1mn n u n=∑B.()111mnn nu =-∑ C.111m n n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D.()2211mn n n u u +=-∑ (4)设函数()2,xQ x y y=.如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ,那么函数(),P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-. C.11x y-. D.1x y-. (5)设A 是3阶实对称矩阵,E 是3 阶单位矩阵。

若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++.B.222123y y y +- C.222123y y y --D.222123y y y ---(6)如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则A.()()2,3r A r A == B.()()2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()()1,1r A r A ==(7)设A ,B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 A. ()()()P A B P A P B =+U B.()()()P AB P A P B =C.()()P AB P BA = D.()()P AB P AB =(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布()2,N μσ,则{}1P X Y -< A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2,μσ都有关. D.与2,μσ都无关.二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上. ()9 设函数()f u 可导,()sin sin z f y x xy =-+,则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂(10)微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =(11)幂级数()()012!nnn x n ∞=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥的上侧,则2244zx z dxdy --=()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且312=2ααα-+。

2019年考研数学一真题_最新修正版

2019年考研数学一真题_最新修正版

12019 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1) 当 x → 0 时,若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小,则 k =()(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4≤ 0,则 x = 0 是 f (x ) 的()(A)可导点,极值点 (B) 不可导点,极值点 (C)可导点,非极值点(D) 不可导点,非极值点(2) 设{u n }是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是()(3) 设函数Q (x , y ) =x . 如果对上半平面( y > 0) 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有y2⎰CP (x , y )dx + Q (x , y )dy =0, 那么函数 P (x , y ) 可取为()x 2(A) y - (B) y31 x 21-(C) y y 3x -(D) x - 1yy(4) 设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵,若A2+ A = 2E , 且 A = 4,则二次型x T Ax 的规范为( ) (A) y 2+ y 2+ y2 (B) y 2 + y 2 - y2123 12 3 (C) y 2 - y 2- y2(D) - y 2- y 2- y2 123123(5) 如图所示,有 3 张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程 a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i(i = 1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A , A , 则()(A)r ( A ) = 2, r ( A ) = 3 (B)r ( A ) = 2, r ( A ) = 2n =0-( )(C) r ( A ) = 1, r ( A ) = 2(D) r ( A ) = 1, r ( A ) = 1(7) 设A , B 为随机事件,则P ( A ) = P (B )的充分必要条件是()(A) P ( A B ) = P ( A ) + P (B )(B) P ( AB ) = P ( A )P (B )(C)P ( A B ) = P (BA )(D) P ( AB ) = P ( AB )(8) 设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从于正态分布N (μ,σ2),则P {X - Y < 1}()(A) 与μ无关,而与σ2有关 (B) 与μ有关,而与σ2无关(C) 与μ,σ2都有关 (D) 与μ,σ2都无关二、填空题:9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分。

2019年考研数学一真题附答案解析

2019年考研数学一真题附答案解析

2019年考研数学一真题解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k =( )(A )1 (B )2 (C )3 (D )4【答案】(C )【详解】当0x →时,331tan ()3x x x o x =++,所以331tan ()3x x x o x -=-+,所以3k =. 2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则0x =是()f x 的( )(A )可导点,极值点 (B )不可导的点,极值点 (C )可导点,非极值点 (D )不可导点,非极值点【答案】(B )【详解】(1)01ln(00)lim ln lim 0,(00)lim 0,(0)01x x x x f x x f x x f x++-→→→-+===-===,所以函数在0x =处连续;(2)0ln (0)lim x x xf x++→'==-∞,所以函数在0x =处不可导;(3)当0x <时,2(),()20f x x f x x '=-=->,函数单调递增;当10x e<<时,()1ln 0f x x '=+<,函数单调减少,所以函数在0x =取得极大值.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )(A )1n n u n ∞=∑ (B )11(1)n n n u ∞=-∑ (C )111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑ (D )2211()n n n u u ∞+=-∑【答案】(D )【详解】设{}n u 是单调增加的有界数列,由单调有界定理知lim n n u →∞存在,记为lim n n u u →∞=;又设n ∀,满足n u M ≤,则221111()()2()n n n n n n n n u u u u u u M u u ++++-=+-≤-,且2210n n u u +-≥,则对于正项对于级数2211()n n n uu ∞+=-∑,前n 项和:221111111()2()2()22nnn k kk k n n k k S uu M u u M u u Mu Mu ++++===-≤-=-≤→∑∑也就是2211()n n n uu ∞+=-∑收敛.4.设函数2(,)xQ x y y=,如果对于上半平面(0)y >内任意有向光滑封闭曲线C 都有 (,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰那么函数(,)P x y 可取为( )(A )22x y y - (B )221x y y - (C )11x y- (D )1x y -【答案】(D )【详解】显然,由积分与路径无关条件知21P Q y x y ∂∂≡=∂∂,也就是1(,)()P x y C x y=-+,其中()C x 是在(,)-∞+∞上处处可导的函数.只有(D )满足.5.设A 是三阶实对称矩阵,E 是三阶单位矩阵,若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形是( )(A )222123y y y ++ (B )222123y y y +- (C )222123y y y -- (D )222123y y y ---【答案】(C )【详解】假设λ是矩阵A 的特征值,由条件22A A E +=可得220λλ+-=,也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-.而1234A λλλ==,所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-,根据惯性定理,二次型的规范型为222123y y y --.6.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程123(1,2,3)i i i i a x a y a z d i ++==组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则( )(A )()2,()3r A r A == (B )()2,()2r A r A == (C )()1,()2r A r A == (D )()1,()1r A r A == 【答案】(A )【详解】(1)显然三个平面没有共同交点,也就是非齐次方程组无解,从而()()r A r A <; (2)从图上可看任何两个平面都不平行,所以()2r A ≥;7. 设,A B 为随机事件,则()()P A P B =的充分必要条件是 ( )(A )()()()P A B P A P B =+ (B ) ()()()P AB P A P B =(C )()()P AB P B A = (D )()()P AB P AB =【答案】(C )【详解】选项(A )是,A B 互不相容;选项(B )是,A B 独立,都不能得到()()P A P B =; 对于选项(C ),显然,由()()(),()()()P AB P A P AB P B A P B P AB =-=-,()()()()()()()()P AB P B A P A P AB P B P AB P A P B =⇔-=-⇔=8.设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ.则{1}P X Y -<( )(A )与μ无关,而与2σ有关 (B )与μ有关,而与2σ无关 (C )与μ,2σ都有关 (D )与μ,2σ都无关【答案】(A )【详解】由于随机变量X 与Y 相互独立,且均服从正态分布2(,)N μσ,则2~(0,2)X Y N σ-,从而{1}{11}21P X Y P X Y P -<=-≤-<=≤≤=Φ- 只与2σ有关.二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数()f u 可导,(sin sin )z f y x xy =-+,则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ . 【答案】cos cos y x x y+ 解:cos (sin sin ),cos (sin sin )z zx f y x y y f y x x x y∂∂''=-⋅-+=⋅-+∂∂ 11cos cos cos cos z z y xx x y y x y∂∂⋅+⋅=+∂∂ 10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解为y = .【答案】y =【详解】把方程变形2220yy y '--=得22()()20y y '--=,即222(2)22x d y dx y Ce y y +=⇒+=⇒=+由初始条件(0)1y =确定3C =,所以y =11.幂级数1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x = . 看不清楚题目是1(1)(2)!n n n x n ∞=-∑还是0(1)(2)!n n n x n ∞=-∑,我以1(1)(2)!n nn x n ∞=-∑给出解答. 【答案】1【详解】注意20(1)cos ,(,)(2)!n nn x x x n ∞=-=∈-∞+∞∑,从而有:110(1)(1)(1)11,(0,)(2)!(2)!(2)!n n n n nn n n n x x n n n ∞∞∞===---==-=∈+∞∑∑∑ 12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧,则∑= .【答案】32.3【详解】显然曲面∑在xOy 平面的投影区域为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤22220432dxdy dxdy 2sin 3x y y y d r dr πθθ∑∑+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13.设123(,,)A ααα=为三阶矩阵,若12,αα线性无关,且3122ααα=-+,则线性方程组0Ax =的通解为 .【答案】121x k -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.【详解】显然矩阵A 的秩()2r A =,从而齐次线性方程组0Ax =的基础解系中只含有一个解向量.由3122ααα=-+可知12320ααα-+-=也就是121x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为方程组基础解系,通解为121x k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,其中k 为任意常数.14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他,()F x 为其分布函数,()E X 其数学期望,则{()()1}P F X E X >-= .【答案】2.3【详解】20,01(){},0241,2x F x P X x x x x <⎧⎪⎪=≤=≤<⎨⎪≥⎪⎩,2204()23x E X dx ==⎰.012{()()1}{()}{133P F X E X P F X P X >-=>=>=-=三、解答题15.(本题满分10分)设函数()y x 是微分方程22x y xy e-'+=满足条件(0)0y =的特解.(1)求()y x ;(2)求曲线()y y x =的凸凹区间及拐点. 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程0y xy '+=的通解:22x y Ce -=,其中C 为任意常数;再用常数变易法求22x y xy e-'+=通解,设22()x y C x e-=为其解,代入方程,得2222(),()1x x C x eeC x --''==,1()1C x dx x C ==+⎰,也就是通解为:221()x y x C e-=+把初始条件(0)0y =代入,得10C =,从而得到22().x y x xe -=(2)2222232222(),()(1),()(3)(x x x x y x xey x ex y x x x ex x x e----'''==-=-=令()0y x ''=得1230,x x x ===.当x <0x <<0y ''<,是曲线的凸区间;当0x <<或x >0y ''>,是曲线的凹区间.曲线的拐点有三个,分别为3322()--.16.(本题满分10分)设,a b 为实数,函数222z ax by =++在点(3,4)处的方向导数中,沿方向34l i j =--的方向导数最大 ,最大值为10.(1)求常数,a b 之值;(2)求曲面222(0)z ax by z =++≥的面积. 【详解】(1)222z ax by =++,则2,2z zax by x y∂∂==∂∂; 所以函数在点(3,4)处的梯度为()(3,4)(3,4)|,6,8z z gradf a b x y ⎛⎫∂∂==⎪∂∂⎝⎭;gradf = 由条件可知梯度与34l i j =--方向相同,且10gradf ==.也就得到2683410a b⎧=⎪--=解出11a b =-⎧⎨=-⎩或11a b =⎧⎨=⎩(舍).即11a b =-⎧⎨=-⎩.(2)22202133Sx y S dS d ππθ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰. 17.(本题满分10分)求曲线sin (0)xy e x x -=≥与x 轴之间形成图形的面积.【详解】先求曲线与x 轴的交点:令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k π==当2(21)k x k ππ<<+时,sin 0xy e x -=>;当2(22)k x k πππ+<<+时,sin 0x y e x -=<.由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰,22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为22202200220022220sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)22121k k xxx k k k k k k k k k k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e ππππππππππππππππππ∞∞+∞++---+==∞∞-----==-∞-----===-=++++=+=+=--∑∑⎰⎰⎰∑∑∑18.(本题满分10分)设1(0,1,2,)n a x n ==⎰(1)证明:数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+;(2)求极限1lim n n n a a →∞-. 【详解】(1)证明:1n a x =⎰,110(0,1,2,)n n a x n ++==⎰当(0,1)x ∈时,显然有1n nxx +<,1110(0n n n n a a x x ++-=-<⎰,所以数列{}n a 单调减少;先设220sin cos ,0,1,2,nn n I xdx dx n ππ===⎰⎰则当2n ≥时,12222202sin sin cos (1)sin cos (1)()nn n n n n I xdx xd x n x xdxn I I πππ---==-=-=--⎰⎰⎰也就是得到22,0,1,1n n n I I n n ++==+令sin ,[0,]2x t t π=∈,则122222201sin cos sin sin 2nnn n n n n a xt tdt dt tdt I I I n πππ++===-=-=+⎰⎰⎰⎰ 同理,2211n n n n a I I I n --=-=-综合上述,可知对任意的正整数n ,均有212n n a n a n --=+,即21(2,3,)2n n n a a n n --==+; (2)由(1)的结论数列{}n a 单调减少,且21(2,3,)2n n n a a n n --==+ 2111111222n n n n n a n n n a a a n n a n ------=>⇒>>+++ 令n →∞,由夹逼准则,可知1lim1nn n a a →∞-=.19.(本题满分10分)设Ω是由锥面222(2)(1)(01)x y z z +-=-≤≤与平面0z =围成的锥体,求Ω的形心坐标.【详解】先计算四个三重积分:22211120(2)(1)1(1)3zD x y z dv dz dxdy dzdxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)(1)12zD x y z zdv zdz dxdy zdzdxdy z z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211(2)(1)0zD x y z xdv dz xdxdy dzxdxdy Ω+-≤-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22211120(2)(1)22(1)3zD x y z ydv dz ydxdy dzydxdy z dz ππΩ+-≤-===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 0xdvx dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,2ydvy dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,14zdvz dvΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.从而设形心坐标为1(,,)(0,2,)4x y z =.注:其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体,则由体积公式显然13dv πΩ=⎰⎰⎰,且由对称性,明显0x =,2y =.20.(本题满分11分)设向量组1231112,3,123a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为3R 空间的一组基,111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在这组基下的坐标为1b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(1)求,,a b c 之值;(2)证明:23,,ααβ也为3R 空间的一组基,并求23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵.【详解】(1)由123b c βααα=++可得11231231b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解方程组,得32.2a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩且当3a =时,()123111111,,23301110123012ααα===≠,即123,,ααα线性无关,确实是3R 空间的一组基.(2)()23111111,,33100220231011ααβ==-=≠-,显然23,,ααβ线性无关,当然也为3R 空间的一组基. 设()()23123,,,,a P αβααα=,则从23,,ααβ到123,,ααα的过渡矩阵为()()1123123111111011111110,,,,3312330.50.512330.501231123 1.50.501230.500P ααβααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===--=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.(本题满分11分)已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似.(1)求,x y 之值;(2)求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=. 【详解】(1)由矩阵相似的必要条件可知:A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩.(2)解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-;分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭,则1P 可逆,且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;同样的方法,可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为:1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则2P 可逆,且12212P BP -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭;由前面111122P AP P BP --=,可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪⎪⎝⎭,就满足1P AP B -=. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为:{1}P Y p =-=,{1}1P Y p ==-,(01)p <<.令Z XY =.(1)求Z 的概率密度;(2)p 为何值时,,X Z 不相关;(3)此时,,X Z 是否相互独立.【详解】(1)显然X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩.先求Z XY =的分布函数:(){}{}{,1}{,1}(1){}{}1()(1())Z X X F z P Z z P XY z P X z Y P X z Y p P X z pP X z F z p F z =≤=≤=≤=+≥-=-=-≤+≥-=-+--()再求Z XY =的概率密度:,0()(())()(1)()0,0(1),0z Z Z X X z pe z f z F z pf z p f z z p e z -⎧<⎪'==-+-==⎨⎪->⎩(2)显然()1,()1;()12E X D X E Y p ===-;由于随机变量,X Y 相互独立,所以()()()()12E Z E XY E X E Y p ===-;22()()()()24E XZ E X Y E X E Y p ===-;(,)()()()12COV X Z E XZ E X E Z p =-=-;要使,X Z 不相关,必须(,)()()()120COV X Z E XZ E X E Z p =-=-=,也就是0.5p =时,X Z 不相关;(3),X Z 显然不相互独立,理由如下:设事件{1}A X =>,事件{1}B Z =<,则11(){1}x P A P X e dx e +∞--=>==⎰;11(){1}{1,1}{1,1}12P B P Z P X Y P X Y e -=<=>-=-+<==-;11(){1,1}{1,1}(1,}{1}{1}P AB P X Z P X XY P X Y P X P Y pe x -=><=><=><=>⋅=-=,当0.5p =时,显然()()()P AB P A P B ≠,也就是,X Z 显然不相互独立.23.(本题满分11分)设总体X 的概率密度为22()2,()0,x A e x f x x μσμσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩,其中μ是已知参数,σ是未知参数,A 是常数,12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本.(1)求常数A 的值;(2)求2σ的最大似然估计量.【详解】(1)由()1f x dx +∞-∞=⎰可知222()201x Aedx ed μσμσ---+∞+∞===⎰⎰所以A =似然函数为212()22121,(,,;)(,)0,ni i X n n i n i n i A ex L X X X f x μσμσσσ=--=⎧∑⎪⎪≥==⎨⎪⎪⎩∏其他, 取对数,得22212211ln (,,,;)ln ln()()22nn ii n L X X X n A Xσσμσ==---∑11 解方程221222221ln (,,,;)11()0()22()n n i i d L X X X n X d σμσσσ==-+-=∑,得未知参数2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==-∑.。

2019考研数学一真题及答案解析参考

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2019年考研数学一真题一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点,极值点.B.不可导点,极值点.C.可导点,非极值点.D.不可导点,非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =,如果对上半平面(0>y )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9. 设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S .12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设),,(321αααA =为3阶矩阵.若21αα,线性无关,且2132ααα+-=,则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,其他,020,2)(x xx f )(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )( . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分10分)设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.(1)求)(x y ;(2)求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.(本题满分10分)设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点(3,4)处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.(1)求b a ,;(2)求曲面222by ax z ++=(0≥z )的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121,n =(0,1,2…)(1)证明数列{}n a 单调减少,且221-+-=n n a n n a (n =2,3…) (2)求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3R 的一个基,T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.(1)求c b a ,,.(2)证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似(1)求y x ,.(2)求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =(1)求z 的概率密度.(2)p 为何值时,X 与Z 不相关. (3)X 与Z 是否相互独立?23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,,21来自总体X 的简单随机样本.(1)求A ;(2)求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析(数学一)1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ,T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解:(1))()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰,又0)0(=y ,故0=c ,因此.)(221x xex y -=(2)22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-=',222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---='',令0=''y 得3,0±=x所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(23---e,)3,3(23-e .16. 解:(1))2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z =grad ,由题设可得,4836-=-ba ,即b a =,又()()108622=+=b a z grad ,所以,.1-==b a (2)dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性,2,0==y x ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.(1)123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.(2)()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,,所以()233r ααβ=,,,则23ααβ,,可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ,,,,则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,,,.21.(1)A 与B 相似,则()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩,解得32x y =⎧⎨=-⎩(2)A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;2=1λ-,22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,31=24α-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,,使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ,11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭;2=1λ-,21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;3=2λ-,30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ,即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解:(I )Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时,()zF z pe =;当0z >时,()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. (II )由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又()()1,12D X E Y p ==-,从而当12p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关. (III )由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当12p =时,121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭,121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭,显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立.23. 解:(I )由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =201t e dt +∞-==⎰,从而A =(II )构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他,当时,取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.,1,2,,i x i nμ≥=。

2019年考研数一真题及答案

2019年考研数一真题及答案

2019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(I )当X ----+ 0时,若x -ta n x 与x k 是同阶无穷小,则k =( (A )l .(B)2.(C)3.、丿(D)4.(2)设函数f(x )= { XIX I 'X 冬O '则X = 0是f (x)的()x l n x, x > 0,(A )可导点,极值点(B )不可导点,极值点(C)可导点,非极值点(D)不可导点,非极值点(3)设飞}是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是()C B) Ic-1尸—1 ""' u ; (C )�(i-2:;)· (D )�(u !., 一式).(4)设函数Q(x ,y )=今.如果对上半平面(y > O )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有乎P(x,y )d x + Q (x,y )d y = 0, 那么函数P(X,y )可取为() (A )y -子1 x2 (B)—-— 1 1 (C)—-—.1(D)x -—. y y (5)设A是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若A 2+ A = 2E , 且IA I = 4, 则二次型x T A x 的规范形为()00 u (A ) I 二n=l n (A ) Y i + y ; + y ; ·(B) Y i + y ; -y ; ·(C) Y i -y ; -Yi·(D)-Yi -y ; -y ; ·(6)如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程a i l x + a i2y + a i3z = d;(i = l , 2 , 3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则((A )r (A) = 2, r (A ) = 3.(B)r (A) = 2, r (A ) = 2.(C)r(A) = 1, r (A ) = 2.(D)r(A) = 1, r (A ) = 1.(7)设A,B为随机事件,则P(A)= P (B )的充分必要条件是()(A ) P (A U B ) = P (A ) + P (B ) .(B ) P (AB ) = P (A) P (B) .(C) p (A B) = p (B A) .(D) p (AB) = p (A B ) .(8)设随机变豐X 与Y相互独立,且都服从正态分布N(µ,矿),则P l I X -Y I < 1 f ( )(A)与µ无关,而与矿有关.(B)与µ有关,而与矿无关(C)与µ,矿都有关(D)µ,矿都无关二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上.)(9)设函数八u)可导,z = /(sin y -sin x ) + x y, 则一—-. -+ . 一1加1加COS X 彻co s y 切(10)微分方程2yy'-r 2 -2 = 0满足条件y(O )= 1的特解y =(11)幕级数2(-1)" 几=O (2n ) ! x"在(0,+oo)内的和函数S(x)= (12)设凶设为曲面x 2+ y 2 + 4z 2 = 4 (z�0)的上侧,则ff J 4 -x 2 -4z 2d x d y =(13)设A = (a 1 , a 2 , a 3)为3阶矩阵.若a 1'a 2线性无关,且a 3= -a 1 + 2a 2 , 则线性方程组Ax =0的通解为(14)设随机变掀X的概率密度为八x)= (f'O <x < 2'F(x)为X的分布函数,E(X)为X的0, 其他,数学期望,则Pj F(X) > E(X) -1 l —,•三、解答题(本题共9小题,共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)设函数y(x)是微分方程y'+xy = e 寻满足条件y(O )= 0的特解(I )求y(x);(II)求曲线y = y(x)的凹凸区间及拐点.(16)(本题满分10分)设a ,b为实数,函数z = 2 + a x 2 + by 2在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l = -3i -4j 的方向导数最大,最大值为10.(I )求a,b ;(II)求曲面z = 2 + ax 2 + by 2 (z ;;,: 0)的面积.(17)(本题满分10分)求曲线y = e 一允sin x (x�0)与x轴之间图形的面积(18)(本题满分10分)1 设a ,.= L x "Jl了五x (n = 0, 1 , 2,…). (I)证明数列{叮单调递减,且a ,.=—一-n -1 n + 2 a 几一2(n = 2, 3,-·· ); (II ) . a 求hm n .n----+oo a 几一1(19)(本题满分10分)设0是由锥面忒+(y-z)2 = (l -z)2(0�z�1)与平面z = 0围成的锥体,求0的形心坐标(20)(本题满分11分)设向量组a (1 2 1 = )平=(1 , 3, 2) T ,a 3 = (1 , a , 3尸为R 3的一个基,/J =(l,1,l)T 在这个基下的坐标为(b,c, 1)飞(I )求a,b,c;(II )证明生立3/J 为R 3的一个基,并求生立3/J 到叮生立3的过渡矩阵.(21)(本题满分11分)已知矩阵A=厂。

2019年考研数学一真题答案及解析1

2019年考研数学一真题答案及解析1

(9)
(答案)
)'
cosx
X
cosy
【解析)因z=/(siny-sinx)+入y ,
则— ooxz=-COSX·f'+y ,
空= cosy• .f'+x,


— I · cosx
— ooxz +— cosI y ·
— ooyz =-·r+.co.sLx +I'十

cosy
=上 cosx 十

cosy
一X , 0< ,t< 2 f(x)=
lo, 其他
寸叶= 叶} 平(X) >£X-I}= PlF(X)
P\F(X)
=P卢计= pt气}飞泸叶
方法二易知Y=F(X)~U(O,l),
中干 叶}叶 平(X) >£X-l}=
}=P\Y
三、解答题: 15~23小题,共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算
步鞭,
[卢 J' ()5)【觯析) (l)由一阶线性微分方程公式得 y= e-f对,,
心心 +c�=e一号 (x+c)
x ,.
由忠目知y(O) = 0. 可得c=O. 故 y(x)=x·e 2
-�'
(2)由(I)知 y(x)=x·e 2,
可得
,
y
(x)=(l-x2
-�'
)·e 2

y"(x)=(x3 -3x)·e 2
OX V
oP 故只需选择在上半平面有连续偏导数,且满足一匈-=
- yl·召内P函数只有D选项成
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x2
f
(x2 )
A
e
22
0
, x , x
其中 是已知参数,0 是未知参数, A 是常数, X1, X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的简单随
机样本,
(1)求 A ;
(2)求2 的最大似然估计量;
12.设 为曲面 x2 y2 4z2 4(z 0) 的上侧,则 4 x2 4z2 dxdy z
13.设 A (1,2,3 ) 为三阶矩阵,若1,2 线性无关,且3 1 22 。则线性方程组
Ax 0 的通解为
14.设随机变量
X
的概率密度为
f
( x)
x 2
,0
x
2,
,F( x)

X
的分布函数,EX

x

0, 其他,
数学期望,则 PF (X ) EX 1
三、解答题 15.(本题满分 10 分)
x2
设函数 y(x) 是微分方程 y 'xy e 2 满足条件 y(0) 0的特解.
(1)求 y(x)
(2)求曲线 y y( x) 的凹凸区间及拐点
16.设 a, b 为实数,函数 z 2 ax2 by2 在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l 3i 4 j
1.当 x 0 时,若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小,则 k
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
x | x |, x 0,
2.设函数 f (x)
则 x 0 是 f (x) 的
xlnx, x 0,
A.可导点,极值点. C.可导点,非极值点.
B.不可导点,极值点. D.不可导点,非极值点.
3.设{un} 是单调递增的有界数列,则下列级数中收敛的是
A.与 无关,而与2 有关.
B. 与 有关,而与2 无关.
C. 与 ,2 都有关.
D. 与 ,2 都无关.
二、填空题
9.设函数 f (u)可导,
z
f
(sin
y
sin
x)
xy
,则
1 cos
x
xz
co1s
y
yz
10.微分方程 2 yy2 y2 2 0 满足条件 y(0) 1 的特解 y
11.幂级数 (1)n xn 在 (0, ) 内的和函数 S(x) n0 (2n)!
的方向导数最大,最大值为 10. (1)求 a, b ;
(2)求曲面 z 2 ax2 by2 (z 0)的面积 ;
1
19.设 an 0 xn 1x2 dx (n 1,2,3...)
(1)证明:an 单调递减,且 an
n n
1 2
.an2
(n 2, 3...)
(2) lim an a n
n1
24.设总体 X 的概率密度为
7.设 A, B 为随机事件,则 P( A) P(B) 的充分必要条件是
A. P( A B) P( A) P(B)
B. P( AB) P( A)P(B)
C. P( AB) P(BA)
D. P( AB) P( AB)
8.设随机变量 X 与Y 相互独立,且都服从正态分布 N (,2 ) .则 P x y 1
mu
A. n1
n
.
n
m
u
C.
n)
n1
.
(1un1
. m (1)n 1 .
n1
un
m
D.
(u
2 n1
un2
)
n1
4. 设 函 数 Q(x, y) x . 如 果 对 上 半 平 面 ( y 0) 内 的 任 意 有 向 光 滑 封 闭 曲 线 C 都 有 y2
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ,那么函数 P( x, y)可取为 C
D. y12 y22 y32
6.如图所示,有 3 张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程 ai1x ai2 y ai3z di (i=1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ,则
A. r( A) 2, r( A) 3
B. r( A) 2, r( A) 2
C. r( A) 1,r( A) 2 D. r( A) 1,r( A) 1
A. y x2 . y3
B. 1 x2 . y y3
C. 1 1 . xy
D. x 1 y
5.设 A 是 3 阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵,若 A2 A 2E ,且| A |4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
A. y12 y22 y32 .
B. y12 y22 y32 .
C. y12 y22 y32 .
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