2019年全国研究生考试数学(一)真题
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1.当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
x | x |, x 0,
2.设函数 f (x)
则 x 0 是 f (x) 的
xlnx, x 0,
A.可导点，极值点. C.可导点，非极值点.
B.不可导点，极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设{un} 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是
7.设 A, B 为随机事件，则 P( A) P(B) 的充分必要条件是
A. P( A B) P( A) P(B)
B. P( AB) P( A)P(B)
C. P( AB) P(BA)
D. P( AB) P( AB)
8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布 N (,2 ) .则 P x y 1
D. y12 y22 y32
6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ai1x ai2 y ai3z di (i=1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ，则
A． r( A) 2, r( A) 3
B. r( A) 2, r( A) 2
C. r( A) 1,r( A) 2 D. r( A) 1,r( A) 1
x2
f
(x2 )
A
e
22
0
, x , x
其中 是已知参数，0 是未知参数， A 是常数， X1, X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的简单随
机样本，
（1）求 A ；
（2）求2 的最大似然估计量；
的方向导数最大，最大值为 10. （1）求 a, b ；
（2）求曲面 z 2 ax2 by2 (z 0)的面积 ；
1
19.设 an 0 xn 1x2 dx (n 1,2,3...)
（1）证明：an 单调递减，且 an
n n
1 2
.an2
(n 2, 3...)
（2） lim an a n
n1
24.设总体 X 的概率密度为
12.设 为曲面 x2 y2 4z2 4(z 0) 的上侧，则 4 x2 4z2 dxdy z
13.设 A (1,2,3 ) 为三阶矩阵，若1,2 线性无关，且3 1 22 。则线性方程组
Ax 0 的通解为
14.设随机变量
X
的概率密度为
f
( x)
x 2
,0
x
2,
，F( x)
为
X
的分布函数，EX
mu
A. n1
n
.
n
m
u
C.
n)
n1
.
(1un1
B. m (1)n 1 .
Baidu Nhomakorabea
n1
un
m
D.
(u
2 n1
un2
)
n1
4. 设 函 数 Q(x, y) x . 如 果 对 上 半 平 面 ( y 0) 内 的 任 意 有 向 光 滑 封 闭 曲 线 C 都 有 y2
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ，那么函数 P( x, y)可取为 C
为
x
的
0, 其他，
数学期望，则 PF (X ) EX 1
三、解答题 15.（本题满分 10 分）
x2
设函数 y(x) 是微分方程 y 'xy e 2 满足条件 y(0) 0的特解.
（1）求 y(x)
（2）求曲线 y y( x) 的凹凸区间及拐点
16.设 a, b 为实数，函数 z 2 ax2 by2 在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l 3i 4 j
A.与 无关，而与2 有关.
B. 与 有关，而与2 无关.
C. 与 ,2 都有关.
D. 与 ,2 都无关.
二、填空题
9.设函数 f (u)可导，
z
f
(sin
y
sin
x)
xy
，则
1 cos
x
xz
co1s
y
yz
10.微分方程 2 yy2 y2 2 0 满足条件 y(0) 1 的特解 y
11.幂级数 (1)n xn 在 (0, ) 内的和函数 S(x) n0 (2n)!
A. y x2 . y3
B. 1 x2 . y y3
C. 1 1 . xy
D. x 1 y
5.设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且| A |4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
A. y12 y22 y32 .
B. y12 y22 y32 .
C. y12 y22 y32 .
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
x | x |, x 0,
2.设函数 f (x)
则 x 0 是 f (x) 的
xlnx, x 0,
A.可导点，极值点. C.可导点，非极值点.
B.不可导点，极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设{un} 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是
7.设 A, B 为随机事件，则 P( A) P(B) 的充分必要条件是
A. P( A B) P( A) P(B)
B. P( AB) P( A)P(B)
C. P( AB) P(BA)
D. P( AB) P( AB)
8.设随机变量 X 与Y 相互独立，且都服从正态分布 N (,2 ) .则 P x y 1
D. y12 y22 y32
6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 ai1x ai2 y ai3z di (i=1,2,3)
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ，则
A． r( A) 2, r( A) 3
B. r( A) 2, r( A) 2
C. r( A) 1,r( A) 2 D. r( A) 1,r( A) 1
x2
f
(x2 )
A
e
22
0
, x , x
其中 是已知参数，0 是未知参数， A 是常数， X1, X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的简单随
机样本，
（1）求 A ；
（2）求2 的最大似然估计量；
的方向导数最大，最大值为 10. （1）求 a, b ；
（2）求曲面 z 2 ax2 by2 (z 0)的面积 ；
1
19.设 an 0 xn 1x2 dx (n 1,2,3...)
（1）证明：an 单调递减，且 an
n n
1 2
.an2
(n 2, 3...)
（2） lim an a n
n1
24.设总体 X 的概率密度为
12.设 为曲面 x2 y2 4z2 4(z 0) 的上侧，则 4 x2 4z2 dxdy z
13.设 A (1,2,3 ) 为三阶矩阵，若1,2 线性无关，且3 1 22 。则线性方程组
Ax 0 的通解为
14.设随机变量
X
的概率密度为
f
( x)
x 2
,0
x
2,
，F( x)
为
X
的分布函数，EX
mu
A. n1
n
.
n
m
u
C.
n)
n1
.
(1un1
B. m (1)n 1 .
Baidu Nhomakorabea
n1
un
m
D.
(u
2 n1
un2
)
n1
4. 设 函 数 Q(x, y) x . 如 果 对 上 半 平 面 ( y 0) 内 的 任 意 有 向 光 滑 封 闭 曲 线 C 都 有 y2
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 ，那么函数 P( x, y)可取为 C
为
x
的
0, 其他，
数学期望，则 PF (X ) EX 1
三、解答题 15.（本题满分 10 分）
x2
设函数 y(x) 是微分方程 y 'xy e 2 满足条件 y(0) 0的特解.
（1）求 y(x)
（2）求曲线 y y( x) 的凹凸区间及拐点
16.设 a, b 为实数，函数 z 2 ax2 by2 在点（3，4）处的方向导数中，沿方向l 3i 4 j
A.与 无关，而与2 有关.
B. 与 有关，而与2 无关.
C. 与 ,2 都有关.
D. 与 ,2 都无关.
二、填空题
9.设函数 f (u)可导，
z
f
(sin
y
sin
x)
xy
，则
1 cos
x
xz
co1s
y
yz
10.微分方程 2 yy2 y2 2 0 满足条件 y(0) 1 的特解 y
11.幂级数 (1)n xn 在 (0, ) 内的和函数 S(x) n0 (2n)!
A. y x2 . y3
B. 1 x2 . y y3
C. 1 1 . xy
D. x 1 y
5.设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A2 A 2E ,且| A |4 ,则二次型 xT Ax
的规范形为
A. y12 y22 y32 .
B. y12 y22 y32 .
C. y12 y22 y32 .