高等数学下实验报告

高等数学实验报告
实验人员：院（系）化学化工学院 学号19013302 姓名 黄天宇
实验地点：计算机中心机房
实验七：空间曲线与曲面的绘制
一、 实验目的
1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空
间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。

2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。

二、实验题目
利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形：
(1)
x y x y x z =+--=2
222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z
三、实验原理
空间曲面的绘制
作参数方程],[],,[,),(),()
,(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈⎪
⎩⎪
⎨⎧===所确定的曲面图形的
Mathematica 命令为：
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项]
四、程序设计及运行
(1)
(2)
六、结果的讨论和分析
1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空
间中的曲面和立体图形。

2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。

3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。

4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。

实验八 无穷级数与函数逼近
一、 实验目的
(1) 用Mathematica 显示级数部分和的变化趋势； (2) 展示Fourier 级数对周期函数的逼近情况;
(3) 学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。

二、实验题目
（1）、观察级数
∑
∞
=1
!
n n
n n 的部分和序列的变化趋势，并求和。

（2）、改变例2中m 及x 0的数值来求函数的幂级数及观察其幂级数逼近函数的情况
（3）、观察函数⎩
⎨
⎧<≤<≤--=ππx x x x f 0,10
,)(展成的Fourier 级数
的部分和逼近)(
x f 的情况。

三、实验原理
设()x f 是以2T 为周期的周期函数，在任一周期内，)(x f 除在有限
个第一类间断点外都连续，并且只有有限个极值点，则)(x f 可以展开为Fourier 级数：
∑∞=++10)sin cos (2n n n T x n b T x n a a ππ，其中⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰--T T n T T
n n dx T x
n x f T b n dx T x n x f T a
,3,2,1 ,sin )(1,2,1,0 ,cos )(1ππ，
且Fourier 级数在任一x 0处收敛于2)0()0(00++-x f x f 。

四、程序设计及运行 (1)
(2) m=-1
m=-3
m=2
m=5
(2)
-6-4-2246
0.5
11.5
2
2.5
3
-6-4-2246
0.5
11.5
2
2.5
3
-6-4-22460.5
11.522.53-6-4-22460.5
11.522.53
六、结果的讨论和分析
(1)、有实验（1）的实验结果可以看出，级数∑∞
=1
!
n
n
n
n
的部分和
序列的点的图像随着n值的增大而逐渐趋近于一条直线，因此该级数
收敛，从图像和mathematica 求出的结果中可以看出该级数的和是1.87985.
（2）、 从实验（3）中各图可以明显的看出，当n 的值越大时，逼近函数的效果就越好，而且我们还可以看出Fourier 级数的逼近时整体性的。

实验九 最小二乘法
一、实验题目：
一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据：
已知函数y 与x 的关系适合模型：y=a+bx+cx 2，试用最小二乘法确定系数a,b,c ，并求出拟合曲线.
二、实验原理：
在科学研究和实际工作中，常常会遇到这样的问题：给定两个变量x , y 的m 组实验数据),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ，如何从中找出这两个变量间的函数关系的近似解析表达式（也称为经验公式），使得能对x 与y 之间的除了实验数据外的对应情况作出某种判断。

这样的问题一般可以分为两类：一类是对要对x 与y 之间所存在的对应规律一无所知，这时要从实验数据中找出切合实际的近似解析表达式是相当困难的，俗称这类问题为黑箱问题；另一类是依据对问题所作的分析，通过数学建模或者通过整理归纳实验数据，能够判定出x 与y 之间满足或大体上满足某种类型的函数关系式),(a x f y ，其中
),,,(21n a a a a =是n 个待定的参数，这些参数的值可以通过m 组实验数
据来确定（一般要求n m >），这类问题称为灰箱问题。

解决灰箱问题的原则通常是使拟合函数在i x 处的值与实验数值的偏差平方和最小，即∑=-n
i i i y a x f 12]),([取得最小值。

这种在方差意义下对实验数据实现最
佳拟合的方法称为“最小二乘法”，n a a a ,,,21 称为最小二乘解，
),(a x f y =称为拟合函数。

三、程序设计及运行：
四、结果的讨论和分析:
高数实验报告a=27.56, b=-0.0574286, c=0.000285714
所以，拟合曲线为
y=27.56-0.0574286x+0.000285714x2
该实验中运用二次函数来拟合两个变量之间的关系，实验证明，拟合的效果很好，也充分说明，这两个变量之间符合二次关系，但是由于二次项前面的系数十分小，所以用一次函数来拟合也可以得到较好的拟合。

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