分式方程增根问题八年级数学
初二数学分式方程试题答案及解析
初二数学分式方程试题答案及解析1.若关于的分式方程有增根，则．【答案】2．【解析】方程两边都乘（x﹣3），得m =2+x﹣3，∵原方程有增根，∴最简公分母，x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，m=2．故答案是2．【考点】分式方程的增根．2.某蔬菜店第一次用400元购进某种蔬菜，由于销售状况良好，该店又用700元第二次购进该品种蔬菜，所购数量是第一次购进数量的2倍，但进货价每千克少了0.5元．（1）第一次所购该蔬菜的进货价是每千克多少元？（2）蔬菜店在销售中，如果两次售价均相同，第一次购进的蔬菜有2% 的损耗，第二次购进的蔬菜有3% 的损耗，若该蔬菜店售完这些蔬菜获利不低于944元，则该蔬菜每千克售价至少为多少元？【答案】（1）4；（2）7.【解析】（1）设第一次所购该蔬菜的进货价是每千克x元，则第二次购进时的价格为（x-0.5）元，根据两次购买的数量之间的关系建立方程求出其解即可；（2）先根据（1）的结论分别求出两次购买的数量，设该蔬菜每千克售价为y元，由销售问题的数量关系建立不等式求出其解即可．试题解析：（1）设第一次所购该蔬菜的进货价是每千克x元，则第二次购进时的价格为（x-0.5）元，根据题意，得，解得：x=4．经检验x=4是原方程的根，答：第一次所购该蔬菜的进货价是每千克4元；（2）由（1）知，第一次所购该蔬菜数量为：400÷4=100第二次所购该蔬菜数量为：100×2=200设该蔬菜每千克售价为y元，根据题意，得[100（1-2%）+200（1-3%）]y-400-700≥944．解得：y≥7．答：该蔬菜每千克售价至少为7元．【考点】1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用．3.某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】方案（3）最节省．【解析】设这项工程的工期是x天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．试题解析：设规定日期x天完成，则有：，解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解；答：甲单独20天，乙单独25天完成．方案（1）：20×1.5=30（万元），方案（2）：25×1.1=27.5（万元），方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．所以方案（3）最节省．【考点】分式方程的应用．4.列分式方程解应用题为提升晚高峰车辆的通行速度，北京市交通委路政局积极设置潮汐车道，首条潮汐车道于2013年9月11日开始启用，试点路段为京广桥至慈云寺桥，全程约2.5千米.该路段实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度平均提高了25%，行驶时间平均减少了1.5分钟.该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶多少千米？【答案】20.【解析】设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶速度为（1+25%）x千米/小时，根据实行潮汐车道前后的时间关系建立方程求出其解即可．试题解析:设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶x千米，由题意，得，解得：x=20．经检验，x=20是原方程的解，∴原分式方程的解是x=20．答：设该路段实行潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶20千米．考点: 分式方程的应用.5. 2011年雨季，一场大雨导致一条全长为550米的污水排放管道被冲毁，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，结果提前5天完成这一任务，问原计划每天铺设多少米管道？(列方程解应用题)【答案】原计划每天铺设10m管道【解析】设原计划每天铺设x米管道，根据实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，表示出现在每天铺设的米数，根据现在比原计划提前5天，用全长除以每天铺设的米数分别表示出原计划及现在的时间，两时间相减等于5即可列出所求的方程, -=5,解方程x=10.试题解析：设原计划每天铺设xm的管道,则实际每天铺设（1+10%）xm的管道,由题意列方程:-=5,化简得1.1×550-550=5×1.1x,x =10,检验：当x=10时，1.1x≠0,∴ x=10是原方程的根,答：原计划每天铺设10m管道.【考点】由实际问题抽象出分式方程．6.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）90天（2）甲、乙合作完成最省钱【解析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）把在工期内的情况进行比较．解：（1）设乙队单独完成需x天．（1分）根据题意，得：×20+（+）×24=1解这个方程得：x=90．（4分）经检验，x=90是原方程的解．∴乙队单独完成需90天．（5分）（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（+）y=1．解得y=36，（6分）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）．乙单独完成超过计划天数不符题意，甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）=198（万元）．（7分）答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．7.若关于x的方程有正数解，则k的取值为A．k＞1B．k＞3C．k≠3D．k＞1且k≠3【答案】D【解析】先解方程得到用含k的代数式表示x的形式，再结合方程有正数解及分式的分母不能为0求解即可.解方程得由题意得且解得且故选D.【考点】解分式方程点评：此类问题是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.8.解方程：【答案】x="3"【解析】先去分母，再移项、合并同类项，化系数为1，注意解分式方程最后要写检验.经检验x=3是原方程的解.【考点】解分式方程点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.9.某超市用5000元购进一批新品种的苹果试销，由于销售状况良好，超市决定再用11000元购进该种苹果，但这次进货价比试销时多了0.5元，购进苹果数量是试销时的两倍。
专题5.29 分式方程增根、无解、正负数解问题(基础篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.29分式方程增根、无解、正负数解问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知关于x 的分式方程211x kx x -=--的解是负数，则k 的取值范围为（）A ．02k <<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >D ．2k <且1k ≠2．如果关于x 的分式方程()21322ax x x -=--无解，则实数a 的值为（）.A ．1或32B ．32C ．1-或32D ．1-3．若关于x 的分式方程1x aa x -=+无解，则a 的值为()A ．1B ．1-C ．1-或0D ．1或1-4．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．25．若关于x 的方程3211x mx x -=+--有增根，则m 的值为（）A ．1B ．0C ．3D ．2-6．关于x 的分式方程433x k x x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（）A ．12k ≤-B ．12k ≥-C ．12k >D ．12k <-7．若方程212x ax +=--的解是非负数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．2a <且4a ≠-C ．2a ≥D ．2a ≤且4a ≠-8．已知关于x 的分式方程311m x +=-的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠-9．如果关于x 的方程211x x m-+=的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．1m >-B ．1m >-且0m ≠C ．1m <-D ．1m <-且2m ≠-10．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-二、填空题11．若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．12．若分式方程233x m x x -=--无解，则m 的值为_____．13．若关于x 的方程，232111mx x x x -=-+-无解，则m 的值为_______________14．已知关于x 的分式方程2233x kx x -=+--无解，则k 的值是__________．15．关于x 的方程1122kx x x +=--无解，则k 的值为__________．16．若关于x 的分式方程2322x kx x -=--的解为非负数，则k 的取值范围为______．17．若关于x 的分式方程133x kx x +=++有增根，则k 的值是__________．18．如果关于x 的方程7766x mx x--=--的解是非负数，则m 的取值范围为___________．19．若关于x 的分式方程5233x mx x+=---有增根，则常数m 的值是_________．20．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______．三、解答题21．给定关于x 的分式方程7311mx x x +=--，求：（1）m 为何值时，这个方程的解为2x =？（2）m 为何值时，这个方程无解？22．已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x =1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．23．解答下列问题:已知关于x 的方程2233x mxx x =-++（1）m 为何值时，方程无解？（2）m 为何值时，方程的解为负数？24．已知关于x 的方程5311x a x x --=--无解，求a 的值．参考答案1．C【分析】解分式方程用k 表示出x ，根据解为正数及分式有意义的条件得到关于k 的不等式组，解不等式组即可得到答案．解：解得：211x k x x -=--去分母得：()21x x k ---=，∴23kx -=，∵211x k x x -=--的解为负数，且分式有意义，∴2032103kk -⎧<⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩，解得：2k >，故选：C ．【点拨】本题考查分式方程与不等式的综合应用，解分式方程得到关于k 的不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件，避免漏解．2．C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可．解：方程两边同乘2(2)x -可得：23x ax -=-，当整式方程无解时，此时1a =-，当整式方程有解时2x =，代入可得：230a -=，解得32a =，综上所述，a 的值为1-或32，故C 正确．故选：C ．【点拨】本题主要考查分式方程无解情况，先转化为整式方程，然后根据无解的情况，分类讨论即可．3．D【分析】化简分式方程得21ax a =-，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，=1x -，代入即可算出a 的值，当等式不成立时，使分母为0，则1a =．解：1x aa x -=+化简得：21a x a=-当分式方程有增根时，=1x -代入得1a =-．当分母为0时，1a =．a 的值为1-或1．故选：D ．【点拨】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解．4．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．解：由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x mx x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．5．D【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x -=，得到1x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．解：3211x mx x -=+--方程两边都乘以1x -，得：()321x m x -=+-，∵分式方程有增根，∴10x -=，即1x =，将1x =代入整式方程，得：13m -=，即2m =-，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．解：方程433x kx x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-，412x x k ∴-+=-，312x k ∴-=--，43kx ∴=+， 解为非正数，∴403k+≤，12k ∴≤-．故选：A ．【点拨】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7．D【分析】根据分式有解得到4a ≠-，再根据分式方程的解为非负数求出2a ≤，即可得到答案．解：212x ax +=--解方程得23ax -=，∵方程212x ax +=--的解是非负数，而且20x -≠，∴2x ≠，∴203a-≥而且223a -≠，得2a ≤且4a ≠-，∴当2a ≤且4a ≠-时方程212x ax +=--的解是非负数．故选：D【点拨】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．8．D【分析】解分式方程用m 表示x ，由关于x 的分式方程的解是正数及分式方程的增根可求解m 的取值范围．解：方程两边同乘以1x -得31m x +=-，解得4x m =+，∵x 的分式方程311m x +=-的解是正数，∴4>0m +，解得>4m -，∵10x -≠，即410m +-≠，解得3m ≠-，∴m 的取值范围为>4m -且3m ≠-．故选：D ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，分式方程的解法，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．9．D 【分析】根据211x x m-+=得出1x m =--，为正数，即10m -->，从而得出m 的取值范围．再根据10x -≠，推出2m ≠-．解：211x x m-+=21x m x +=-解得：1x m =--方程211x x m-+=的解是正数，10x m ∴=-->1m ∴<-10x -≠ 即1x ≠11m ∴--≠2m ∴≠-1m ∴<-且2m ≠-故选：D【点拨】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．10．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．2x =【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x 的值进行求解即可．解：∵方程1122k x x+=--有增根，∴20x -=，∴2x =，故答案为：2x =．【点拨】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．12．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝3，代入整式方程即可求出m 的值．解：去分母得：x ﹣2x +6＝m ，将x ＝3代入得：﹣3+6＝m ，则m ＝3．故答案为：3．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，熟练的掌握分式方程无解成立的条件是解题的关键．13．5m =或6m =或4m =．【分析】分式方程去分母转化为整式方程求得15x m=-，由分式方程无解求出m 的值即可．解：232111mx x x x -=-+-()()321111mx x x x x -=+-+-()()3121mx x x --=+()51m x -=-15x m=- 关于x 的方程232111mx x x x -=-+-无解50m ∴-=或1111055m m ⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭5m ∴=或115m =--或115m=-解得：5m =或6m =或4m =故答案为：5m =或6m =或4m =．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．14．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0求出x 的值，代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：x-2=k+2（x-3），即x=4-k ，由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：3=4-k ，解得：k=1，故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的解，需注意在解分式方程时要考虑分母不为0．15．k =1或k =12【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．解：去分母得：12x kx +-=，∴()11k x -=-，∵分式方程无解，∴k -1=0或121x k =-=-，∴k =1或k =12，故答案为：k =1或k =12．【点拨】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．16．3k ≥-且1k ≠-【分析】首先解分式方程用含k 的式子表示x ，然后根据解是非负数，求出k 的取值范围即可．解：∵2322x k x x-=--，∴()322x x k --=-，整理，可得：3x k =+，∵关于x 的分式方程2322x kx x-=--的解为非负数，∴30k +≥且32k +≠，解得：3k ≥-且1k ≠-．故答案为：3k ≥-且1k ≠-．【点拨】本题考查解分式方程和解一元一次不等式，解答此题的关键是注意分母不为0．17．2-【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出k ．解：在方程133x kx x +=++两边同时乘以3x （+）得1x k +=，∵方程有增根，即3x =-满足方程1x k +=，将3x =-代入得31k -+=，∴2k =-故答案为：2-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键．18．35m ≥-且1m ≠【分析】解分式方程求得方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．解：7766x mx x--=--，去分母得：77(6)x m x -+=-，去括号得：7742x m x -+=-，移项，合并同类项得：6350x m -++=，解得：356mx +=． 关于x 的方程7766x mx x--=--的解的解为非负数，∴3506m+≥．解得：35m ≥-．分式方程有可能产生增根6，6x ∴≠-，∴3566m+≠-，1m ∴≠．综上，m 的取值范围是35m ≥-且1m ≠．故答案为：35m ≥-且1m ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，正确求出分式方程的解是解题的关键．19．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．2m <-且3m ≠-【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．解：去分母，得：()321x m x =-+-，去括号，移项，合并同类项，得：2x m =--．∵关于x 的分式方程3211x m x x=+--的解为正数，∴20m -->．又∵10x -≠，∴1x ≠．∴21m --≠．解得：2m <-且3m ≠-．故答案为：2m <-且3m ≠-．【点拨】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m 表示出x 的值是解题的关键．21．（1）m ＝5（2）m ＝3或7【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将x ＝2代入计算即可求出m 的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x ＝1代入计算，即可求出m 的值．解：分式方程去分母得：7+3（x−1）＝mx ，（1）将x ＝2代入得：7+3（2−1）＝2m ，解得m ＝5；（2）整理得(m-3)x=4,当m=3时，整式方程无解；当3m ≠时，将x ＝1代入得：7+3（1−1）＝m ，解得m ＝7．此时，方程有增根，综上，m ＝3或7时原方程无解．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．22．(1)m =-6；(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；(3)m 的值为﹣1或﹣6或1.5【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母（x -1）(x +2)，化为整式方程；把方程的增根x =1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得．（1）解：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x +2）+mx =x -1，整理得（m +1）x =﹣5，∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）解：∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）解：当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点拨】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键．23．（1）4m =或2m =；（2）4m <且2m ≠【分析】(1)将分式通分后得出新的方程,①令新方程无解解出即可;②原分式分母为零,解出x 代入新方程解出m.(2)将新方程的x 表示出来,令方程小于零,解出即可.解：()()223323233326233x mx x x x x mx x x x m x x x x =-+++=-+++--=++由上得:2x =(m -2)x -6,整理得:(4-m )x =-6.(1)①当4-m=0即m=4时,原方程无解;②当分母x+3=0即x=-3时,方程无解;故2×(-3)=(m-2)×(-3)－6,解得m=2,综上所述,m=4或m=2.(2)()46m x -=-当m≠4时,604x m-=<-,解得4m <综上所述,4m <且2m ≠.【点拨】本题考查分式方程的运算,关键在于理解无解的情况.24．4a =-【分析】根据题意可得1x =，然后把x 的值代入5311x a x x --=--去分母后得到的整式方程中进行计算即可解答．解：5311x a x x --=--，两边同乘以(1)x -得()531x x a --=-，解得：84a x +=∵关于x 的方程5311x a x x --=--无解，∴10x -=，即1x =把1x =代入84a x +=中可得：解得：4a =-，∴4a =-．【点拨】本题考查了分式方程，把x的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．。
分式方程增根问题八年级数学
分式方程增根问题一、选择题1．分式方程=有增根,则m 的值为A 、0和3B 、1C 、1和﹣2D 、3 2．已知x 的方程2+11a x x x =--有增根,则a 的值是 A ．1 B ． -1 C ．0 D ．23．若分式方程a x a x =-+1无解,则a 的值是 A.－１ B. 1 C. ±1 D.-2 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根,则a 的值是 A.5 B.0 C.6 D.35．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根,则m 的值为 A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、36．若分式方程244x a x x =+--有增根,则a 的值为 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根,则m 的值为 A 、0和3B 、1C 、1和﹣2D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根,则m 的值为 A. 0和3B. 1C. 1和－2D. 3 9．若分式方程5156-=+--x k x x 其中k 为常数产生增根,则增根是 A.x=6 B.x=5 C.x=k D.无法确定 10．解x 的方程113-=--x m x x 产生增根,则常数m 的值等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2二、填空题 11．x 的分式方程244212+=---x k x x 有增根x =-2,那么k= .12．已知x 的分式方程a 1=1x 2-+有增根,则a= . 13．方程133m x x =+++1若有增根,则增根一定是_________． 14．若x 的方程2x m 2x 22x ++=--有增根,则m 的值是 15．若x 的方程2221+-=--x m x x 产生增根,那么m 的值是 . 16．若分式方程244x a x x =+--有增根,则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根,则m ＝________． 18．若x 的分式方程8128-++=-x m x x 有增根,则m = ． 19．若x 的分式方程113-=--x m x x 产生增根,则m 的值为 ． 20．若x 的分式方程131=---x x a x 有增根,则a = ． 21．若分式方程：有增根,则k= ． 22．若解分式方程441+=+-x m x x 产生增根,则=m ________； 23．用去分母的方法,解x 的分式方程 8x x -＝2＋8m x -有增根,则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程x-3x －2=x-3m 时有增根,则m 的值为 ______． 25．如果x 的分式方程0111=----x x x m 有增根,则m 的值为 ．三、解答题26．已知x 的分式方程2233x m x x -=--没有解,则m 可以取什么值27．已知x 的方程xa x x x x x =---+2)2(42无解,求a 的值参考答案1．A2．A3．C4．D5．D6．A7．A8．A9．B10．A 11．1 12．1;13．x=-3 14．0; 15．1 答案4 17．5- 18．719．-2 20．1 21．122．-5 23．824．3=m 25．226．.3±=m27．a=-2。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 分式方程增根和无解问题(解析版)
分式方程增根和无解问题1．关于未知数x的分式方程：13-22-a xx x++=无解求a的值．2．当k为何值时方程23xx--+3kx-＝2有增根？3．当k为何值时关于x的方程1111kx x+=++产生增根？【答案】k＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程有增根求出x的值代入整式方程计算即可求出k的值．【详解】最简公分母x+1＝0 即x＝－1；将分式化为整式方程得：k+x+1=1将x＝－1代入得k＝1．【点睛】解此类题目的步骤是：（1）判断增根的值；（2）将分式方程化为整式方程；（3）将增根代入整式方程求解．4．已知关于x的方程4433x mmx x---=--无解求m的值．5．解关于x的方程12xx++﹣1xx-＝(1)(2)x x-+时产生了增根请求出所有满足条件的k的值．6．当a 为何值时 关于x 的方程311x a x x--=-无解？ 【答案】2a =-或1． 【分析】先把分式方程化成整式方程得出（a+2）x=3 根据等式得出a=-2 原方程无解 再根据当x=1或x=0时 分式方程的分母等于0 即整式方程的解释分式方程的增根 代入求出a 即可．【详解】把分式方程化成整式方程得出(2)3a x += 根据等式性质得出2a =- 原方程无解．再根据当1x =或0x =时 分式方程的分母等于0 即整式方程的解是分式方程的增根 代入求得1a =．【点睛】本题考查分式方程 解题的关键是熟练掌握分式方程的求解方法.7．已知方程22611--1k x x x -=+有增根x=1,求k 的值. 【答案】3【详解】试题分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值 让最简公分母（x+1）（x -1）=0 得到x=1或-1 然后代入化为整式方程的方程算出k 的值． 试题解析：方程两边都乘（x+1）（x -1）得2（x -1）+k （x+1）=6∵原方程有增根x=1∵当x=1时 k=3故k 的值是3．8．若关于x 的分式方程221933k x x x +=-+-无解 求k 的值． 【答案】6k =或12【分析】分式方程去分母转化为整式方程 根据分式方程无解得到30x ±= 求出3x =± 代入整式方程即可求出k 的值．【详解】解：分式方程两边同乘()(33)x x +- 去分母得：2(3)3k x x +-=+由分式方程无解得到30x -= 或30x += 即3x =或3-代入整式方程得：6k =或12．【点睛】此题考查了分式方程的无解问题 解决本题的关键是将分式方程去分母转化为整式方程． 9．若关于x 的分式方程221242mx x x x +=--+无解 求m 的值． 【答案】m =-4或2或-1【分析】去分母 整理得（m +1）x =-6 根据分式方程无解可知增根分别为x =2或x =-2或m +1=0 分别求解即可．【详解】解：去分母 得2（x +2）+mx =x -210．1x x +1x x ++＝(1)x t x x ++有增根 求所有可能的t 之和．11．若关于x 的分式方程21x a x -=-有增根 求a 的值．所以a 的值是1．【点睛】本题考查分式方程的解 熟练掌握分式方程的解法 理解方程增根的定义是解题的关键． 12．若关于x 的方程21+m x ﹣21m x x ++＝1x无解 求实数m 的值． 方程无解13．若关于x 的分式方程213224x m x x x -++=-+无解但有增根 求m 的值． 【答案】m 的值为6-或10-．【分析】将分式方程变为整式方程 然后根据增根的定义将分式方程的增根代入求值即可．【详解】解：方程同乘以()()22x x +-约去分母 得()232x x m x +++=-2236x m x ++=-8m x +=∵原分式方程无解但有增根．∵(2)(2)0x x +-= 即20x +=或20x -=．解得2x =或2x =-．当2x =时 6m =-；当2x =-时 10m =-．∵m 的值为6-或10-．【点睛】此题考查的是根据分式方程有增根 求参数的值 掌握增根的定义和分式方程的解法是解决此题的关键．14．如果解关于x 的方程222k x x x +=--会产生增根 求k 的值. 【答案】k=2【分析】首先根据分式方程的解法求出方程的解 然后根据增根求出k 的值．【详解】两边同时乘以(x －2)可得：x=2(x －2)+k 解得：x=4－k∵方程有增根 ∵x=2 即4－k=2 解得：k=2．【点睛】本题主要考查的是分式方程有增根的情况 属于基础题型．解决这种问题时 首先我们将k 看作已知数 求出方程的解 然后根据解为增根得出答案．15．若关于x 的分式方程(1)5321m x m x +-=-+无解 求m 的值． 【详解】试题分析：先把分式方程(1)5321m x m x +-=-+去分母得 再根据方程无解可得最后把代入方程求解即可. 方程(1)5321m x m x +-=-+去分母得 由分式方程(1)5321m x m x +-=-+无解可得所以解得．16．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解 求m 的值．17．方程233x m x x -=--会产生增根；求m 的值． 【答案】3m =【分析】原分式方程化为整式方程 根据方程有增根 得到3x = 将其代入整式方程即可求解．【详解】解：去分母 得：()23--=x x m去括号 得：26x x m -+=移项合并 得6x m -+=∵原方程有增根∵30x -= 即3x =把3x =代入整式方程6x m -+=解得3m =∵原方程有增根时 3m =．【点睛】本题考查了分式方程的增根 步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解 熟练掌握步骤是解题关键．18．已知关于x 的分式方程211122mx x x x x +=--++（）（） (1)若解得方程有增根 且增根为x =-2 求m 的值(2)若方程无解 求m 的值19．若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根=1x - 求k 的值． 【答案】=1k【分析】分式两边同乘以最简公分母可得：()()()()1115x k x x k --+=+- 再将增根代入式子即可求出k 的值．【详解】解：∵分式方程的最简公分母为()()11x x x +- 分式两边同乘以最简公分母可得： ()()()()1115x k x x k --+=+-∵分式方程有增根=1x -将其代入上式可得：()1=0k -- 解之得：=1k ．【点睛】本题考查分式方程根的情况 利用分式方程有增根求参数值 解题的关键是将增根代入去分母之后的式子进行求解．20．已知关于x 的分式方程512x a x x+-=-． (1)若分式方程的根是5x = 求a 的值；(2)若分式方程有增根 求a 的值；(3)若分式方程无解；求a 的值的． 【答案】(1)1(2)-2(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程（1）把x =5代入整式方程求出a 的值即可；（2）由分式方程有增根 得到最简公分母为0求出x 的值 代入整式方程求出a 的值即可；（3）分a -3=0与a -3≠0两种情况 根据分式方程无解 求出m 的值即可．(1)去分母得 x （x +a ）-5（x -2）=x （x -2）整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得5(3)100a -+=∵a =1；(2)由分式方程有增根 得到x （x -2）=0解得：x =2或x =0把x =2代入整式方程(3)100a x -+=得：a =-2；把x =0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在∵分式方程有增根 a =-2 (3)化简整式方程得：（a -3）x =-10当a -3=0时 该方程无解 此时a =3；当a -3≠0时 要使原方程无解 必须为分式方程增根 由（2）得：a =-2综上 a 的值为3或-2．【点睛】此题考查了分式方程的解和增根 增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．（1）若分式方程223242mx x x x +=--+有增根 求m 值； （2）若分式方程2221151k k x x x x x---=---有增根=1x - 求k 的值．22．已知关于x 的分式方程2133m x x +=--无解 关于y 的不等式组213()2y y m n -≥⎧⎨-+<⎩的整数解有且仅有3个 求n 的取值范围．23．已知关于x 的分式方程222242mx x x x +=--+． （1）若方程的增根为2x = 求m 的值；（2）若方程有增根 求m 的值；（3）若方程无解 求m 的值．【答案】（1）-4；（2）4m =±；（3）4m =±或0m =．【分析】（1）先去分母 然后根据方程的增根进行求解即可；（2）若原分式方程有增根 则(2)(2)0x x +-= 然后代入求解即可；（3）由（2）及题意可直接进行求解．【详解】解：（1）去分母得：2(2)2(2)x mx x ++=-整理 得8mx =-．若增根为2x = 则28m =-．得4m =-；（2）若原分式方程有增根 则(2)(2)0x x +-=．所以2x =-或2x =．当2x =-时 28m -=-得4m =．当2x =时 28m =-得4m =-．所以若原分式方程有增根 则4m =±．（3）由（2）知 当4m =±时 原分式方程有增根 即无解；当0m =时 方程8mx =-无解．综上知 若原分式方程无解 则4m =±或0m =．【点睛】本题主要考查分式方程的增根及无解 熟练掌握分式方程增根及无解的问题是解题的关键． 24． 关于x 的方程213224k x x x +=-+-有增根 求k 的值．25．若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解 求a 的值?26．已知关于x 的方程361(1)x m x x x x ++=--有增根 求m 的值． 【答案】m ＝－3或5时．【分析】根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根 那么最简公分母x （x －1）＝0 所以增根是x ＝0或1 把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【详解】解：方程两边都乘x (x －1)得3(x －1)＋6x ＝x ＋m∵原方程有增根 ∵最简公分母x (x －1)＝0解得x ＝0或1 当x ＝0时 m ＝－3；当x ＝1时 m ＝5.故当m ＝－3或5时 原方程有增根． 【点睛】本题考查的是分式方程 熟练掌握分式方程是解题的关键.27．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中 老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数 求a 的取值范围．经过独立思考与分析后 小明和小聪开始交流解题思路 小明说：解这个关于x 的方程 得到方程的解为4x a =+ 由题目可得40a +> 所以4a >- 问题解决．小聪说：你考虑的不全面 还必须保证0a ≠才行．(1)请回答： 的说法是正确的 正确的理由是 ．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数 求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解 求n 的值．28．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的分式方程的增根不是分式方程的根而是该分式方程化成的整式方程的根所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中 求出方程中字母系数的值．阅读以上材料后 完成下列探究：探究1：m 为何值时 方程3533x m x x +=--有增根． 探究2：m 为何值时 方程3533x m x x+=--的根是1-． 探究3：任意写出三个m 的值 使对应的方程3533x m x x +=--的三个根中两个根之和等于第三个根； 探究4：你发现满足“探究3”条件的123m m m 、、的关系是______． ：a b c +=158m -+整理得31215m m m =+-故答案为31215m m m =+-．【点睛】本题考查了分式方程的解法 分式方程的增根 熟练掌握解分式方程 准确判定方程的增根是解题的关键．。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十五章 认清“增根”和“无解”
分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时，去掉了原分式方程中分母不为的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为，分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见，增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．
分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．
可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的，它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形，分式方程无解应从两个方面考虑．
一、利用分式方程有增根确定字母的值
解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．
例1 若分式方程无解，则的值为（）
A.或
B.
C.或
D.
解析：方程两边乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.
解得x=m-2.
令，解得或．
因为分式方程无解，将，分别代入x=m-2，得或．
所以或时，原分式方程无解．故选A．
二、利用分式方程无解求字母的值
解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑，以防出现漏解．例2 若关于的分式方程无解，则的值为．
解析：方程两边乘x（x-1），得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）.化简，得．
当整式方程无解时，则，解得．
当分式方程有增根时，则最简公分母，解得或．
①时，无解；②当时，．
所以当或a=时，原分式方程无解．故填或．。
分式方程中增根问题的探究(教案)
-难点3：针对实际问题，如速度、浓度等问题，学生需要根据实际情况构建分式方程，并注意避免增根。例如，在求解两个物体同时从不同地点出发，相向而行的问题时，学生需要建立正确的分式方程，并考虑到物体相遇时的时间不能为零。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了分式方程中的增根问题。这个概念对学生来说可能有些抽象，但我发现通过实际例子的引导，学生们能够逐渐理解增根的含义及其在方程求解过程中的影响。我尝试了不同的教学方法，有一些收获和反思。
首先，我发现当学生们面对具体的分式方程时，他们能够更好地理解增根的概念。通过将抽象的理论与具体的案例结合起来，学生们能够看到增根是如何产生的，以及我们如何避免它们。这种方法有助于学生将理论知识与实际应用联系起来，增强了他们对知识点的记忆和理解。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，特别是在面对含增根的分式方程时。
2.教学难点
（1）识别增根产生的具体原因，如分母为零的情况，以及如何通过变换避免；
（2）对于含增根的分式方程，如何进行有效求解，特别是在涉及到多个增根的情况下；
（3）在实际问题中，如何构建分式方程并避免增根问题。
举例：
-难点1：分析产生增根的原因，如对于方程$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{x+1}$，学生需要理解当$x=2$或$x=-1$时，分母为零，从而导致增根。难点在于引导学生发现并排除这些值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调增根的定义和避免增根的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
苏科版八年级下册10.5分式方程的增根专题训练(1)
八下10.5分式方程的增根专题训练（1）姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.下列说法正确的是()．A. 使分子的值为零的根是增根B. 方程的解是零就是增根C. 使所有分母为零的解是增根D. 使公分母的值为零的解是增根2.下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程x−2x−4x+4=0的根为2；③方程1 2x =12x−4的最简公分母是2x(2x−4)；④x+1x−1=1+1x−1是分式方程．其中正确的个数是()．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.解关于x的方程xx−1−kx2−1=xx+1不会产生增根，则k的值是()A. 2B. 1C. k≠2且k≠一2D. 无法确定4.已知关于x的方程3x−1−x+ax(x−1)=0增根是1，则字母a的取值为A. 2B. −2C. 1D. −15.下列说法中，正确的有()个．(1)若a>b，则ac2>bc2(2)若ac2>bc2，则a>b(3)对于分式2x2−8x−2，当x=2时，分式的值为0(4)若关于x的分式方程x−mx−2=1x−2有增根，则m=1．A. 2B. 3C. 4D. 16.已知，关于x的分式方程2x−3+x+a3−x=2有增根，且关于x的不等式组{x>ax≤b只有4个整数解，那么b的取值范围是()A. −1<b≤3B. 2<b≤3C. 8≤b<9D. 3≤b<4二、填空题7.若分式方程xx−1−m1−x=2有增根，则这个增根是______．8.解关于x的方程x−6x−1=mx−1产生增根，则常数m的值等于________．9.解关于x的方程1−kxx−2=12−x出现增根，则增根x=________，常数k=________．10.若关于x的分式方程1ax+b =1bx+a有增根(a≠b，且a，b都不为零)，则ab=________．三、解答题11.已知关于x的分式方程2x-1+mx(x-1)(x+2)=1x+2．(1)若方程的增根为x=1，求m的值；(2)若方程有增根，求m的值；(3)若方程无解，求m的值．12.先仔细看(1)题，再解答(2)题．(1)a为何值时，方程xx−3=2+ax−3会产生增根？解：方程两边同时乘以(x−3)，得x=2(x−3)+a①，因为x=3是原方程的增根，并且是方程①的根，所以将x=3代入①，得3=2×(3−3)+a，所以a=3．(2)当m为何值时，方程yy−1−m2y2−y=y−1y会产生增根？13.先仔细看(1)题，再解答(2)题．(1)a为何值时，方程xx−3=2+ax−3会产生增根？(2)当m为何值时，方程yy−1−m2y2−y=y−1y会产生增根？14.小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x−2+3=12−x．(1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？15.增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．阅读以上材料后，完成下列探究：探究1：m为何值时，方程3xx−3+5=m3−x有增根？探究2：m为何值时，方程3xx−3+5=m3−x的根是−1？探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程3xx−3+5=m3−x的三个根中两个根之和等于第三个根．探究4：你发现满足“探究3”条件的m1，m2，m3的关系是__________________________．16.阅读理解，并解决问题．分式方程的增根解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的．根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．但是，当等式两边同乘0时，就会出现0=0的特殊情况．因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了．如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．所以解分式方程必须验根．请根据阅读材料解决问题：(1)若解分式方程1−xx−2+2=12−x时产生了增根，这个增根是______；(2)小明认为解分式方程2xx+1−32x+2=0时，不会产生增根，请你直接写出原因；(3)解方程2x−1+1x+1=4x2−1．答案和解析1.D解：分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解．2.A3.C解：去分母得，x(x+1)−k=x(x−1)，解得x=12k，∵方程xx−1−kx2−1=xx+1不会产生增根，∴x≠±1，∴12k≠±1，即k≠±2．4.A解：方程两边都乘以x(x−1)得，3x−x−a=0，2x−a=0，∵分式方程有增根x=1，∴2×1−a=0，∴a=2．5.A解：∵当c=0时，ac2=bc2=0，∴选项(1)不正确；∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b，∴选项(2)正确；由{2x 2−8=0x −2≠0解得x =−2，∴当x =−2时，分式的值为0， ∴选项(3)不正确； ∵方程x−mx−2=1x−2有增根， ∴x =m +1=2， 解得m =1， ∴选项(4)正确． 综上，可得正确的结论有2个：(2)(4)．6. D解：方程化简，得 2−x −a =2(x −3)， 当x =3时，a =−1，{x >a x ≤b的解集是，−1<x ≤b ． 由关于x 的不等式组{x >ax ≤b 只有4个整数解，得3≤b <4，7. x =1解：根据分式方程有增根，得到x −1=0，即x =1， 则方程的增根为x =1．8. −5解：两边都乘以(x −1)，得 x −6=m ，由方程的增根是x =1， 得1−6=m ． 解得m =−5．9. 2；1解：方程两边都乘(x−2)，得1−kx=−1，∵方程有增根，∴最简公分母x−2=0，即增根是x=2，把x=2代入整式方程，得k=1．10.−1解：方程两边同乘(ax+b)(bx+a)，得bx+a=ax+b．移项、合并同类项，得(b−a)x=b−a．两边同除以(b−a)，得x=1．∵原分式方程有增根，∴x=1是原方程的增根，∴当x=1时，ax+b=0或bx+a=0，∴a+b=0，∴a=−b，=−1，∴ab11.解：方程两边同时乘以(x+2)(x−1)，得2(x+2)+mx=x−1，整理得(m+1)x=−5，(1)∵x=1是分式方程的增根，∴1+m=−5，解得：m=−6；所以，m的值为−6;(2)∵原分式方程有增根，∴(x+2)(x−1)=0，解得：x1=−2，x2=1，当x=−2时，原分式方程有增根，代入(m+1)x=−5得m=1.5；当x=1时，原分式方程有增根，代入(m+1)x=−5得m=−6；所以，若方程有增根，m=−6或1.5；(3)当m+1=0时，该方程无解，此时m=−1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由(2)得：m=−6或m=1.5，综上，若方程无解，则m的值为−1或−6或1.5．12.解：原方程公分母为y(y−1)，方程两边同乘以y(y−1)，得y2−m2=(y−1)2，y2−m2=y2+1−2y，2y−1=m2，当y=0时，m2=−1，此时m无解；当y=1时，m2=1，此时m=±1．故当m=±1时，方程有增根．13.解：(1)解方程两边同时乘(x−3)，得x=2(x−3)+a，①因为x=3是原方程的增根，但却是方程①的根，所以将x=3代入①得：3=2×(3−3)+a，所以a=3；(2)原方程公分母为y(y−1)，方程两边同乘y(y−1)，得y2−m2=(y−1)2y2−m2=y2+1−2y2y−1=m2当y=0时，m2=−1，此时m无解；当y=1时，m2=1，此时m=±1．故当m=±1时，方程有增根．14.解：(1)方程两边同时乘以(x−2)得5+3(x−2)=−1解得x=0经检验，x=0是原分式方程的解．(2)设？为m，方程两边同时乘以(x−2)得m+3(x−2)=−1由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2−2)=−1m=−1所以，原分式方程中“？”代表的数是−1．15.解：解分式方程，根据方程有增根求得m的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为a，b，c且a+b=c，再求得对应的m.即可得出它们之间的关系．(1)：探究1:方程两边都乘(x−3)，得3x+5(x−3)=−m∵原方程有增根，∴最简公分母(x−3)=0，解得x=3，当x=3时，m=−9，故m的值是−9．(2)探究2:方程两边都乘(x−3)，得3x+5(x−3)=−m∵原方程的根为x=−1，∴m=23．(3)探究3:由(1)(2)x=15−m，8方程的三个对应根为a，b，c且a+b=c，即可得出对应的m，m1=15−8a，m2=15−8b，m3=15−8c．(4)探究4:∵a+b=c，∴15−m18+15−m28=15−m38，整理得m3=m1+m2−15，故答案为m3=m1+m2−15．16.x=2解：(1)x=2；故答案为：x=2；(2)∵原分式方程的最简公分母为2(x2+1)，而2(x2+1)>0，∴解这个分式方程不会产生增根．(3)方程两边同乘(x−1)(x+1)，得2(x+1)+(x−1)=4解得：x=1经检验：当x=1时，(x−1)(x+1)=0所以，原分式方程无解．。
八年级数学上册《分式方程的增根》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式方程增根的概念，掌握增根产生的原因及条件。
2.学会运用分式方程的基本步骤，解决实际问题时能准确找出等量关系，列出分式方程。
3.能够运用图像法、代入法、消元法等方法求解分式方程的增根，并解释各种方法的适用场景。
4.掌握验证分式方程解的方法，提高解题的准确性和效率。
3.尝试解决以下提高拓展题：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2} = \frac{3}{x-3}$，求方程的增根。
（2）讨论分式方程$\frac{2x-3}{x-2} = \frac{3}{x-a}$的增根情况，其中$a$是常数。
4.小组合作完成以下题目：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x-2}$，求方程的增根。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组分配一个具有挑战性的分式方程增根问题。小组成员需要共同探讨，找出问题的解法，并在讨论中分享各自的想法和推理过程。我会巡回指导，观察学生的讨论情况，适时给予提示和建议。
讨论结束后，每个小组选出代表进行汇报，展示他们的解题过程和最终答案。我会鼓励其他学生对展示的解法进行评价和提问，促进课堂上的交流和思维碰撞。
-引导学生从不同角度分析问题，培养学生的创新思维和解决问题的策略。
5.反思总结，提高认识
-在课程结束时，组织学生进行反思总结，回顾学习过程，提炼学习方法和经验。
-教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和指导，帮助学生明确自身的学习目标和方向。
分式方程的增根
分式方程的增根
分式方程在数学中具有非常重要的意义，它是用来解决特定问题的有
效工具。
本文将阐述分式方程的定义以及存在增根的情况，以及如何求解
分式方程增根的过程。
分式方程是一种用于解决特定问题的数学方式。
分式方程可以用参数
组合而成，它以未知数x和各种参数组合而成，其形式如下：f(x)=0 。
可以通过求导来求解分式方程。
如果该方程的导数小于0，意味着该方程有增根。
增根的定义为求解分式方程时，当x的取值产生一定的变化时，该方程的未知数x也会有所变化。
如果该方程的导数大于0，意味着该函数有负根，即x的变化会导致f(x)的变化减少。
因此，如何确定分式方程的增根是一个相当重要的步骤。
首先，通过
解导数确定是否存在增根，如果存在，则需要将分式方程变为一元一次方程，然后再解求根公式求解未知数x，从而得出其增根。
同时，要在获得分式方程的增根的同时，考虑到其他的变量，这样才
能得出最终的结果。
如果该分式方程中有其他变量，可以先将其带入到分
式方程中，然后解决该方程，最后确定出分式方程的增根。
总结起来，求解分式方程的增根，需要满足以下几个步骤：首先，通过解导数确定是否存在增根，其次，将分式方程转换为一元一次不等式，然后解求其增根，最后考虑其他变量，从而最终确定出分式方程的增根。
总的来说，分式方程是一种常见的数学问题，它的作用可以用于解决复杂的特定问题，它还具有增根的特性，所以一旦发现一个分式方程有增根，要仔细考虑如何求解该方程的增根，从而最终得出有效的结果。
分式方程有增根的例题
1、分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程2、解分式方程（1）解分式方程的基本思想:“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了．（2）解分式方程的步骤：①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．3、分式方程的应用其方法和步骤可归纳如下（1）审清题意，分清已知量和未知量；（2）设未知数；（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；（4）解方程，并验根；（5）写出答案．【例1】如果关于x 的方程2133m x x =---有增根，则m 的值为（）．A ．2B ．3C ．2-D ．3-【难度】★★【答案】C【解析】方程两边同时乘以3x -，可得：m x --=32，因为方程有增根，所以3=x 是这个方程的解，所以m --=332，则2-=m ．【总结】考察分式方程的解法和增根的定义．【例2】解方程：2236111x x x +=+--；【难度】★★【答案】无解；【解析】方程两边同时乘以12-x 可得：()()61312=++-x x 整理可得：55=x ，解得：1=x 经检验，1=x 是原方程的增根，所以方程无解．知识精讲例题解析【例3】若关于x 的方程223242mx x x x -=--+会产生增根，求m 的值．【难度】★★★【答案】64-=或m ．【解析】方程两边同时乘以()()22+-x x ，可得：()()2322-=-+x mx x ，因为方程有增根，所以2=x 或2-=x 是这个方程的解当2=x 是这个方程的解，则可得028=-m ，所以4=m 当2-=x 是这个方程的解，则可得122-=m ，所以6-=m 所以方程的解为64-=或m ．【总结】本题主要考察分式方程的增根的定义．【作业1】方程361(1)x m x x x x ++=--有增根，求m 的值？【难度】★★★【答案】53或-=m ．【解析】方程两边同时乘以()1-x x 可得：()m x x x +=+-613，解得：83+=m x ，因为方程有增根，所以0=x 或1=x ，当0=x ，所以083=+m ，则3-=m ，当1=x ，所以183=+m ，则5=m ，所以53或-=m ．【总结】考察分式方程增根的定义课后作业。
8年级数学分式方程的增根
8年级数学分式方程的增根在解决8年级数学分式方程的问题时，我们首先需要了解什么是增根。
增根指的是在解的范围内，方程的根增加了。
假设我们有一个分式方程：\[ \frac{a}{x} + \frac{b}{x - d} = c \]其中，a、b、c和d都是已知的实数，x是未知数。
我们要找到方程中x的增根。
首先，我们可以通过通分的方法将方程转化为一个一元二次方程。
为了避免分母为0，我们要先确定方程的定义域。
根据题目中的条件，我们可以得出：\[ x \neq 0 \quad \text{（由于分数中有项a/x）} \]\[ x - d \neq 0 \quad \text{（由于分数中有项b/(x-d)）} \]解得：\[ x \neq 0 \quad \text{(1)} \]\[ x \neq d \quad \text{(2)} \]然后，我们进行通分，将方程化简为：\[ a(x - d) + bx = cx(x - d) \]展开并整理，得到一个一元二次方程：\[ cx^2 - (c + a)x + ad = 0 \]解这个一元二次方程，可以使用求根公式或配方法等方式。
假设解的根为x1和x2。
如果方程的两个根均在定义域内，且x1≠x2，则这个方程有增根。
总结起来，解决8年级数学分式方程的增根问题，我们需要进行以下步骤：1. 确定方程的定义域，排除分母为0的情况。
2. 将分式方程转化为一元二次方程。
3. 解一元二次方程，求得根x1和x2。
4. 判断根x1和x2是否在定义域内，且x1≠x2。
-如果满足条件，则方程有增根。
-如果不满足条件，则方程无增根。
分式方程解法及增根问题例题
分式方程解法及增根问题例题分式方程解法及增根问题例题在代数学中，分式方程是指方程中含有分式的方程。
在解分式方程时，通常需要使用增根和减根的方法。
本文将介绍分式方程的解法以及增根问题，并提供一些例题进行讲解。
一、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式方程中的分式进行化简，使方程变得更加简单。
2. 通分：将方程中的分式通分，使得方程中的分母相同，便于计算和化简。
3. 求解：利用通分后的方程，进行运算和求解，得出方程的解。
对于分式方程 3/(x+2) = 1/(x-1)，首先可以将分式进行通分，得到3(x-1) = (x+2)。
然后进行计算和求解，得出 x 的值。
二、增根问题在解分式方程时，经常会遇到增根问题。
增根指的是在解出方程的根之外，还需要添加一些特殊的值，以满足方程的条件。
解决增根问题的一般步骤如下：1. 求解得到普通根：按照正常的解方程方法，求解得到方程的普通根。
2. 分析增根条件：分析方程中是否存在增根的条件，例如分式方程中的分母不能为零等条件。
3. 添加增根：根据增根的条件，添加符合条件的增根，让方程能够满足所有条件。
对于分式方程 1/(x-3) = 2/(x+2)，首先可以求解得到普通根 x=4。
然后分析发现，当 x=3 时，方程中的分母为零，因此需要添加增根 x=3，才能满足方程的条件。
三、例题讲解现在，我们通过一些例题来具体讲解分式方程的解法和增根问题。
例题1：解方程 2/(x-1) - 3/(x+2) = 1/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：2(x+2) - 3(x-1) = (x-3)2. 化简得到普通根：2x+4 - 3x+3 = x-33. 求解得到普通根：-x+7 = x-3，得到 x=54. 分析增根条件：当 x=1 时，分式中的分母为零。
5. 添加增根：添加增根 x=1，使得方程满足所有条件。
例题2：解方程 1/(x-2) + 2/(x+1) = 3/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：(x-2) + 2(x-3) = 3(x+1)2. 化简得到普通根：x-2 + 2x-6 = 3x+33. 求解得到普通根：3x-8 = 3x+3，得到矛盾4. 分析增根条件：由于方程中出现了矛盾，需要分析增根条件。
初二数学分式方程试题答案及解析
初二数学分式方程试题答案及解析1.若关于的分式方程有增根，则．【答案】2．【解析】方程两边都乘（x﹣3），得m =2+x﹣3，∵原方程有增根，∴最简公分母，x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，m=2．故答案是2．【考点】分式方程的增根．2.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？【答案】原计划每天种树60棵．【解析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，由题意得，，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树60棵．【考点】分式方程的应用．3.若关于的分式方程无解，则．【答案】a=1或a=-2【解析】该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．试题解析：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，移项合并得：（a+2）x=3．（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a无解；把x=1代入（a+2）x=3，解得a=1；（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x无解即a=-2时，整式方程无解．综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．【考点】解分式方程．4.一项工程要在限期内完成，若第一组单独做，则恰好在规定日期完成，若第二组单独做，则超过规定日期4天才能完成，若两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，则正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？【答案】12天【解析】设规定日期为x天，则第一组单独完成用x天，第二组单独完成用（）天，根据“两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，则正好在规定日期内完成”即可列方程求解.解：设规定日期为x天，则第一组单独完成用x天，第二组单独完成用（）天，由题意得解得：经检验：是原方程的解答：规定日期为12天。
八年级数学上册《解分式方程关于增根的讨论》教案、教学设计
步骤2：利用换元法、消元法等方法求解方程。
步骤3：检验解是否满足原方程，若满足，则为原方程的解；若不满足，则为增根。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组4-6人，布置讨论任务。
任务1：请各小组讨论一下，如何判断一个分式方程是否存在增根？
任务2：请各小组分享一个含有增根的分式方程，并展示求解过程。
提问2：那么，我们学过哪些求解分式方程的方法呢？它们分别适用于什么类型的方程？
2.情境导入：教师创设一个生活情境，让学生在实际问题中感受分式方程的应用。
情境：小明的妈妈在超市购物，遇到了一个优惠活动。原价100元的商品，现在打8折。请同学们帮小明计算一下，他妈妈购买这个商品实际花费了多少钱？
通过这个情境，引导学生列出分式方程，为新课的学习打下基础。
2.学生在小组内展开讨论，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.教师设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。
练习题1：求解下列分式方程，并判断是否存在增根。
练习题2：实际应用题，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.学生在规定时间内完成练习题，教师对学生的解答进行点评和指导。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学知识，总结解分式方程关于增根的讨论。
总结1：增根的概念及判断方法。
总结2：求解含有增根的分式方程的步骤。
2.学生分享自己在课堂上的收获和感悟，教师给予鼓励和肯定。
3.教师布置课后作业，巩固本节课所学知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：针对本节课所学的增根概念和求解方法，布置以下基础巩固题，要求学生在课后独立完成。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
本案例注重小组合作学习，让学生在小组内共同探讨问题、分享解题思路。这种合作学习方式有助于提高学生的沟通能力、团队协作能力和解决问题的能力。
4.注重反思与评价，提升学生自我认知
在教学过程中，我鼓励学生进行自我反思和同伴评价，使他们在反思中总结经验、发现不足，从而不断提升自己的认知水平和学习能力。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
一、案例背景
《分式方程的增根》是八年级数学上册的一个重要教学内容，它既是对前面所学整式方程解法的巩固，也是对分式方程解法的拓展。在学生掌握了基本的分式方程解法后，本章节通过探究“增根”现象，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。在教学过程中，我将以学生为主体，采用问题驱动法和合作学习法，让学生在自主探究和合作交流中，深刻理解增根的概念及其在分式方程中的应用，从而提高他们解决实际问题的能力。这个案例将结合教材内容，以生活实例引入分式方程的增根问题，引发学生的思考，使他们在实践中感受数学的魅力。
2.为每个小组分配不同的任务，要求他们通过合作解决问题，培养学生的团队协作精神。
3.引导学生在小组内分享解题思路和方法，提高他们的沟通能力。
4.对小组合作成果进行评价，鼓励优秀团队，激发学生的学习积极性。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将关注学生的反思与评价：
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结学习过程中的优点和不足，形成持续改进的学习习惯。
在本章节的教学过程中，我将始终关注学生的全面发展，努力实现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，为学生的成长奠定坚实的基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解分式方程的增根，我将创设以下教学情景：
分式方程增根分类举例(含答案)
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得：m =2或m =1故应选C 。
例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
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关于分式方程增根
问题 一、选择题
1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ）
A 、0和3
B 、1
C 、1和﹣2
D 、3
2．已知关于x 的方程2+11a
x
x x =--有增根，则a 的值是（ ）
A ．1
B ． -1
C ．0
D ．2
3．若分式方程a x a
x =-+1无解，则a 的值是 （ ）
A.－１
B. 1
C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x
a x 有增根，则a 的值是（ ）
.0 C
5．分式方程()()2111+-=--x x m
x x
有增根，则m 的值为（ ）
A 、0和1
B 、1
C 、1和－2
D 、3
6．若分式方程244x a
x x =+--有增根，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．1
D ．0
7．分式方程11x
x --=()()12m
x x -+有增根，则m 的值为（ ）
A 、0和3
B 、1
C 、1和﹣2
D 、3
8．分式方程=--11x x
)2)(1(+-x x m
有增根，则m 的值为 （ ）
A. 0和3
B. 1
C. 1和－2
D. 3
9．若分式方程51
56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （
） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113-=--x m
x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ）
B.-1
C.1
二、填空题 11．关于x 的分式方程24421
2+=---x k
x x 有增根x =-2，那么k= .
12．已知关于x 的分式方程a 1=1x 2-+有增根，则a= . 13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程
2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22
21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程
244
x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程
8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程
113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程
131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程：
有增根，则k= ． 22．若解分式方程4
4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8
m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程x-3x －2=x-3
m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程01
11=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题
26．已知关于x 的分式方程2
233
x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值？ 27．已知关于x 的方程x
a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值？
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．D
5．D
6．A
7．A
8．A
9．B
10．A 11．1 12．1。
13．x=-3 14．0。
15．1
【答案】4 17．5- 18．7
19．-2 20．1 21．1
22．-5 23．8
24．3=m 25．2 26．.3±
=m 27．a=-2。