第5章_有旋流动和无旋流动-授课8
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第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
无旋流动与有旋流动
3
从场论的观点： 由于一个数量场 的梯度的旋度为零，即：
( ) 0
每个无旋的速度场
v 均可对应于某个梯度场 。
因此，无旋流场与速度有势场互为充要条件。
4
重要推论：
1）任意指定方向的速度为
x y z vs s x s y s z s ucos( s, x) vcos( s, y) wcos( s, z)
位函数在某个方向的偏导数等于速度在该方向的分量。
2）对于无旋流，沿连接A，B的曲线进行速度的线积分，结果与路径
无关，只与两端点的 值之差有关。
B
A
v dl dl d B A
A A
5
B
B
涡量：
流体微团速度向量的旋度(curl)定义为流体
微团的涡量，以 表示，
7
8
9
10
u 例：设有一个二维流场的速度分布为：
什么？变形率是什么？
2ax, v 2ay
问：该流动是有旋还是无旋？有没有速度势存在？流线方程是
11
1 v u z ( ) 0 2 x y
12
无旋流动/有势流动
流体微团的旋转角速度写作矢量的形式为：
1 ω rot 2
一个流场，如果各处的
1 v v 2
ω0
都等于零，这样的流动称为
无旋流动，即在运动学分析中没有观察到微团的旋转现象。
1
速度的旋度在笛卡尔直角坐标系的运算表达式：
i rot
j y
k z
v
x
vx
vy
Байду номын сангаасvz
2
从而，无旋流动条件也可以写作：
从场论的观点： 由于一个数量场 的梯度的旋度为零，即：
( ) 0
每个无旋的速度场
v 均可对应于某个梯度场 。
因此，无旋流场与速度有势场互为充要条件。
4
重要推论：
1）任意指定方向的速度为
x y z vs s x s y s z s ucos( s, x) vcos( s, y) wcos( s, z)
位函数在某个方向的偏导数等于速度在该方向的分量。
2）对于无旋流，沿连接A，B的曲线进行速度的线积分，结果与路径
无关，只与两端点的 值之差有关。
B
A
v dl dl d B A
A A
5
B
B
涡量：
流体微团速度向量的旋度(curl)定义为流体
微团的涡量，以 表示，
7
8
9
10
u 例：设有一个二维流场的速度分布为：
什么？变形率是什么？
2ax, v 2ay
问：该流动是有旋还是无旋？有没有速度势存在？流线方程是
11
1 v u z ( ) 0 2 x y
12
无旋流动/有势流动
流体微团的旋转角速度写作矢量的形式为：
1 ω rot 2
一个流场，如果各处的
1 v v 2
ω0
都等于零，这样的流动称为
无旋流动，即在运动学分析中没有观察到微团的旋转现象。
1
速度的旋度在笛卡尔直角坐标系的运算表达式：
i rot
j y
k z
v
x
vx
vy
Байду номын сангаасvz
2
从而，无旋流动条件也可以写作：
第5章有旋流动和无旋流动-授课8
面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。
涡管
3．旋涡强度（涡通量） (vortex flowrate): 涡量场的通量（涡强）。
旋涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积dA，其上 流体微团的涡量为 2 ， n 为dA的 外法线方向，定义
dJ d A 2 cos( n)dA 2 n dA
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方 向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上 也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的 分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本 规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据， 也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
一、汤姆孙（W. Thomson）定理（开尔文定理） 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿 任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环 量不随时间而变化。 dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自 行产生、也是不能自行消灭的。
A
K J
1、单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流 体的边界。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通 区域。
2、对多连通域：
K1 K 2 2 n dA
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区 域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速 度环量总和之差。
更普遍地用涡量来描述流体微团的旋转运动
涡量的定义
2 v rotv
充满涡量的流场称为涡量场
v z v y y z v x v z z x v y x
x
y
z
涡管
3．旋涡强度（涡通量） (vortex flowrate): 涡量场的通量（涡强）。
旋涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积dA，其上 流体微团的涡量为 2 ， n 为dA的 外法线方向，定义
dJ d A 2 cos( n)dA 2 n dA
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方 向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上 也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的 分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本 规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据， 也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
一、汤姆孙（W. Thomson）定理（开尔文定理） 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿 任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环 量不随时间而变化。 dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自 行产生、也是不能自行消灭的。
A
K J
1、单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流 体的边界。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通 区域。
2、对多连通域：
K1 K 2 2 n dA
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区 域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速 度环量总和之差。
更普遍地用涡量来描述流体微团的旋转运动
涡量的定义
2 v rotv
充满涡量的流场称为涡量场
v z v y y z v x v z z x v y x
x
y
z
第八章 理想流体有旋流动和无旋流动
y
vz z
z
vM xvx vxxx vyxy vzxz
v M x v x v x xx 1 2 v y xy 1 2 v y xy 1 2 v z xz 1 2 v z xz
1 vy y 1 vy y 1 v z z 1 v z
2 x 2 x 2 x 2 x
vx
vx x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
vx x
dx 2
vx
vx x
dx 2
dx
x 2
dx
x 2
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vx
vx x
dx 2
dx x 2
6
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质 量为：
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
vx y
单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值
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28
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
x
1 2
vz y
v y z
y
1 2
vx z
vz
x
z
1 vy
2
x
vx y
2 x
y2
z2
xiyjzk1 2v
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y
v y y
z
vz z
xyz
vx vy vz x y z
精选版课件ppt
23
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
xyz
vx vy vz x y z
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表 明流体微团在运动中体积不变。
水力学第五章 有旋流动和有势流动
定义
数。
M(x,y,z)
( x, y, z ) = + u x d x + u y d y + u z d z
M 0 ( x0 , y0 , z 0 )
u x =
x
u y =
y
u z =
z
无旋流动
ij ×u=
xy
xy
无旋流动
k
=0 z
z
等价
有势流动
u=
有势流动
u(t)
u(t+dt)
L是由确定流体质点组成的封闭线，是 一个系统，在流动中会改变位置和形状。
简要的证明
dΓ
du
dt
+ d t d l
L
d dt
+
L
u
δ
l
d
+ d t (u δ l)
L
+
L
d
t
δ
d
lL++
δu
2
du
dl
du
+ d t δ l + + u δ d t + d t δ l + + u δ u
=
( uz
u y) + ( ux
uz ) +
uy (
xy z yz x zx
ux ) = 0 y
由于涡管侧壁没有涡 通量，所以根据涡量场是 无源场可得如下结论：
结论 在同一时刻，穿 过同一涡管的各断面的涡 通量都是相同的。即同一 时刻，一根涡管对应一个 涡管强度。
回答了前面的问题
流体力学与传热：第五节 无旋流动的一般性质
沿两点之间任意曲线的曲线积分 V dr 。
实际上由数学分析可知， V 0 是单连通域里积分
V dr 与积分路径无关的充要条件。
a 【例题1】 某一流动速度场为 vx ，ay vy ，v其z 中0 是不为零的
x 常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动Байду номын сангаас有旋流动还
是无旋流动。
【解】 由于
x
下面讨论速度势在单连通域中的性质。 在单连通域中，由于任意曲线都是可缩曲线，所以根据斯托 克斯定理，上式可写为：
P0 P0
V dr
P0 B1PB2 P0
= ( V ) ndA
A
式中，A是以封闭曲线P0B1PB2P0为边界的开口曲面。由于运动 无旋，因此在此曲面上处处满足 V =0 ，所以上式可写成：
P0 B1P
P0 B2 P
即：
V dr = V dr
P0 B1P
P0 B2 P
则 P, P0 两点的速度势之差为：
P
P P0 V dr = V dr = V dr
P0 B1P
P0 B2 P
P0
即：
P
P P0 V dr
P0
所以，在单连通域的无旋流动中任意两点的速度势之差等于
对于无旋流场，处处满足 V 0
由向量分析可知，任一标量函数的梯度的旋度恒为0，所以 V 一定是某个标量函数的梯度，即：
V
称为速度势。显然，速度势与速度分量的关系在直
角坐标中为：
u ，v ，w
x
y
z
正如场论所分析的那样，无旋条件是速度有势的充分和必要 条件。无旋必然有势，有势必须无旋。
P, P0 两点上的速度势之差为：
d V dr
实际上由数学分析可知， V 0 是单连通域里积分
V dr 与积分路径无关的充要条件。
a 【例题1】 某一流动速度场为 vx ，ay vy ，v其z 中0 是不为零的
x 常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动Байду номын сангаас有旋流动还
是无旋流动。
【解】 由于
x
下面讨论速度势在单连通域中的性质。 在单连通域中，由于任意曲线都是可缩曲线，所以根据斯托 克斯定理，上式可写为：
P0 P0
V dr
P0 B1PB2 P0
= ( V ) ndA
A
式中，A是以封闭曲线P0B1PB2P0为边界的开口曲面。由于运动 无旋，因此在此曲面上处处满足 V =0 ，所以上式可写成：
P0 B1P
P0 B2 P
即：
V dr = V dr
P0 B1P
P0 B2 P
则 P, P0 两点的速度势之差为：
P
P P0 V dr = V dr = V dr
P0 B1P
P0 B2 P
P0
即：
P
P P0 V dr
P0
所以，在单连通域的无旋流动中任意两点的速度势之差等于
对于无旋流场，处处满足 V 0
由向量分析可知，任一标量函数的梯度的旋度恒为0，所以 V 一定是某个标量函数的梯度，即：
V
称为速度势。显然，速度势与速度分量的关系在直
角坐标中为：
u ，v ，w
x
y
z
正如场论所分析的那样，无旋条件是速度有势的充分和必要 条件。无旋必然有势，有势必须无旋。
P, P0 两点上的速度势之差为：
d V dr
有旋流动和无旋流动
转换条件的满足
分析流体的速度场、流体性质和边界条件是否满 足有旋流动和无旋流动的转换条件。
转换过程的实现
通过改变流体的某些参数，如速度、压力、温度 等，促使有旋流动和无旋流动之间的转换。
转换的影响因素
能量损失
有旋流动和无旋流动之间的转换 会导致能量损失，包括摩擦损失
和能量转换损失。
流动稳定性
转换过程可能会影响流体的稳定性， 导致流体的状态发生波动或失稳。
产生条件
恒定流
在恒定流场中，流线是平行且均匀的，因此不会产生旋涡。
势流
在势流中，流体受到的力与流速的大小和方向无关，因此不会产生旋涡。
实例分析
河流中的平直河段
在平直河段中，水流是平顺的，没有旋涡产生。
飞机在空中飞行时，机翼下方的气流
由于机翼的形状和气流的速度，机翼下方的气流会形成无旋流动。
04
有旋流动和无旋流动的研究对 于理解流体运动规律、优化流 体机械设计、提高流体输送效 率等方面具有重要意义。
对未来的展望
未来研究可以进一步深入探索有旋流动和无旋流 动的内在机制和演化规律，以及它们在不同条件 下的表现和相互作用。
在实际应用方面，可以结合具体工程背景，研究 有旋流动和无旋流动在流体机械、能源利用、环 境保护等领域中的应用，提出更加高效、环保的 解决方案。
有旋流动与无旋流动的转换
转换条件
速度场条件
有旋流动和无旋流动的转换取决于速 度场的条件，包括速度的大小和方向。
流体性质
边界条件
流体的边界条件，如管道的形状、入 口和出口条件等，也会影响有旋流动 和无旋流动的转换。
流体的粘性、密度、弹性等物理性质 对转换过程也有重要影响。
转换过程
分析流体的速度场、流体性质和边界条件是否满 足有旋流动和无旋流动的转换条件。
转换过程的实现
通过改变流体的某些参数，如速度、压力、温度 等，促使有旋流动和无旋流动之间的转换。
转换的影响因素
能量损失
有旋流动和无旋流动之间的转换 会导致能量损失，包括摩擦损失
和能量转换损失。
流动稳定性
转换过程可能会影响流体的稳定性， 导致流体的状态发生波动或失稳。
产生条件
恒定流
在恒定流场中，流线是平行且均匀的，因此不会产生旋涡。
势流
在势流中，流体受到的力与流速的大小和方向无关，因此不会产生旋涡。
实例分析
河流中的平直河段
在平直河段中，水流是平顺的，没有旋涡产生。
飞机在空中飞行时，机翼下方的气流
由于机翼的形状和气流的速度，机翼下方的气流会形成无旋流动。
04
有旋流动和无旋流动的研究对 于理解流体运动规律、优化流 体机械设计、提高流体输送效 率等方面具有重要意义。
对未来的展望
未来研究可以进一步深入探索有旋流动和无旋流 动的内在机制和演化规律，以及它们在不同条件 下的表现和相互作用。
在实际应用方面，可以结合具体工程背景，研究 有旋流动和无旋流动在流体机械、能源利用、环 境保护等领域中的应用，提出更加高效、环保的 解决方案。
有旋流动与无旋流动的转换
转换条件
速度场条件
有旋流动和无旋流动的转换取决于速 度场的条件，包括速度的大小和方向。
流体性质
边界条件
流体的边界条件，如管道的形状、入 口和出口条件等，也会影响有旋流动 和无旋流动的转换。
流体的粘性、密度、弹性等物理性质 对转换过程也有重要影响。
转换过程
有旋流动和无旋流动_1~9
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2
第五章 液体三元流动基本原理w
解：
(ru r ) u 0 r
u (ru r ) A cos A (r ) 2 cos 2 r r r r A sin u C (r ) 2 r
水力学
5.4
液体微团运动的基本形式
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
速度 u 为平移速度 u 0 、旋转速度( dr ) 与变
形速度 (ε dr ) 之和。
流体的速度分解定理：流场中任一点处的
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5
有旋运动简介
有旋流动（有涡流动）
旋转角速度
0 的流动称为有旋流动或 有涡流动 。
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
液体三元流动基本原理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
流线与迹线微分方程 液体三元流动的连续性方程 液体微团运动的基本形式
5.5
5.6 5.7
有旋运动简介
液体恒定平面势流 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
x
dt
u x u x dydt / dy dt y y
1 d d 1 u y ux ( ) 角变形率 xy yx 2 dt 2 x y
(ru r ) u 0 r
u (ru r ) A cos A (r ) 2 cos 2 r r r r A sin u C (r ) 2 r
水力学
5.4
液体微团运动的基本形式
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
速度 u 为平移速度 u 0 、旋转速度( dr ) 与变
形速度 (ε dr ) 之和。
流体的速度分解定理：流场中任一点处的
水力学
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
5.5
有旋运动简介
有旋流动（有涡流动）
旋转角速度
0 的流动称为有旋流动或 有涡流动 。
质量净流出
液 dM dM 体 三 元 流 [ x ( ux ) y ( u y ) z ( uz )]dxdydzdt t ( dxdydz )dt 动 基 [ ( ux ) ( u y ) ( uz )] 0 本 t x y z 原 理 ( u ) 0 液体三元流动的连续性方程
液体三元流动基本原理
第 五 章 液 体 三 元 流 动 基 本 原 理
流线与迹线微分方程 液体三元流动的连续性方程 液体微团运动的基本形式
5.5
5.6 5.7
有旋运动简介
液体恒定平面势流 边界层简介
水力学
5.2 流线与迹线微分方程
1. 流线 （1）定义：流线是某 瞬时在流场中绘出的曲 线，曲线上各点的速度 矢量均与该曲线相切。
x
dt
u x u x dydt / dy dt y y
1 d d 1 u y ux ( ) 角变形率 xy yx 2 dt 2 x y
有旋流动与无旋流动
y
B A C D
B’ C’ 0
�
A’ D’
B’’ C’’
A’’ D’’
x
需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再确 定速度分布的 。
§ 2.5 环量与涡
§ 2.5.1 环量与涡的概念 � 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。 � 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲 线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行 方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向 的左侧。
旋流。一个流场，如果各处的
ωx x
� ω 都等于零，这种流场称为有很大的意义。无旋流多了一个 ω = 0 的条件。这个
条件就是 ：
ω x = 0, ω y = 0, ω z = 0
∂v ∂w = ; ∂z ∂y
�
∂u ∂v = ; ∂y ∂x
∂u ∂v ∂w 略高次项后＝ + + ∂x ∂y ∂z
� � 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而 质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：
� ω
� ∂u ∂v ∂w divV = + + =0 ∂x ∂y ∂z
∫ (udx + vdy + wdz ) = ∫ dφ = φ
A A
� 例. 设有一个二维流场其速度分布是
B
B
B
− φA
u = 2 ax,
v = −2 ay
,
问这个流动是有旋的还
流体力学第五章
A A A
� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中： V = ui + υj + wk ， ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合，便成了封闭曲线，则： � � Γ＝∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ＝2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点，而不越出流体的边界。或：不经过区域外的点。 对多连通域，则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B，则 Γ AB 为“+” ，而 B′ → A ′ 时，速度方向与环 量规定的正向相反，故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A＝Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A ＝Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之，对存在多个洞的多连域则有：
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。环量不等于 零，必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下： 1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身； 2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数； 3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一 些，这就是斯托克斯定理的用处。
� V
Vcosα α
� ds
B
� � � � � � � � 其中： V = ui + υj + wk ， ds = dxi + dyj + dzk 若 A 与 B 重合，便成了封闭曲线，则： � � Γ＝∫ k V ⋅ ds = ∫ k V cos αds = ∫ k udx + υdy + wdz 即逆时针方向速度环量为“+”
A i →0 A i →0
A1
A2
K
Γ＝2 ∫ A ω n dA
这就是平面上有限大小封闭周线的斯托克斯定理。 以上定理仅适用于单连通
4
域。上述结论也适用于强于任意空间封闭曲线的任意空间曲面。 与数学上定义相同，单连域-即区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一 点，而不越出流体的边界。或：不经过区域外的点。 对多连通域，则先将多连域化为单连域 因为假设速度方向是 A→B，则 Γ AB 为“+” ，而 B′ → A ′ 时，速度方向与环 量规定的正向相反，故 Γ B′A′ 为“-” 。
Γ AB K 2B′A′K1A＝Γ AB + Γ B K 2B′ + Γ B′A′ + Γ A′ K1A ＝Γ K1 − Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
这就是多连通域的斯托克斯定理。 推而广之，对存在多个洞的多连域则有：
Γ K1 − ∑ Γ K 2 = 2∫ A ω n dA
即：通过多连通域的旋涡强度等于沿这个区域的外周 线的速度环量同沿所有内周线的速度环量总和之差。 显然，环量等于零，总旋涡强度等于零。环量不等于 零，必然存在旋涡。 用速度环量来研究旋涡运动的优点如下： 1、因为速度环量是线积分，被积分函数是速度本身； 2、而旋涡强度是面积分，被积分函数是速度本身的偏导数； 3、所以，无论是实验，还是理论计算，利用速度环量来研究旋涡要简单一 些，这就是斯托克斯定理的用处。
第5章势流理论-上forlecture
偶极位于（0，0），方向沿 - 轴：
V0r cos
M
2
cos
r
V0r sin
M
2
sin
r
W
(
z
)
V0
z
M
2z
速度分布：
vr
V0 cos (1
M
2r 2V0
),
v
V0 sin (1
M
2r 2V0
)
驻点：
r
M a,
2V0
0
过驻点的流线由 0 、 的 x 轴和半径 a
2
。
(3) 压力分布
柱面上（r=a）：
p
p0
1 2
V02[1
(2 s in
0 )2 ]
2V0a
cp
1 (2sin
0
2 aV0
)2
(4) 圆柱受力
Pressure coefficient
P
S
pndS
S
{ p0
1 2
V02[1
(2 s in
x方向均匀流 + 等强度源汇：源(-b,0）、汇(b,0）。
V0x
m
2
ln
(x b)2 y2 m ln
2
(x b)2 y2
u
V0
m 2
xb (x b)2
y2
(
x
xb b)2
y2
v
流体力学 第五章 涡旋动力学基础
①不可压缩流体 ρ ＝常数； ②等温的运动过程 T＝常数； ③等熵的运动过程 ＝，式中为常数；为比热比 。在这些情况下，流体压力都只和密度有关， 而和温度无关，因此它们是正压流体。
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
d dt
udx
vdy
得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
2.开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用下， 速度环流不随时间变化，其证明如下：
d dt
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udx
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得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
3、拉格朗日（Lagrange）定理
拉格朗日定理是开尔文定理的直接推论，又称 为涡旋不生不灭定理。
拉格朗日定理可陈述如下：在质量力有势的条 件下，理想、正压流体的流动中，若在某一时 刻某一部分流体内没有涡旋，则在该时刻以前 及以后的时间内，该部分流体内也不会有涡旋 。反之，若某一时刻该部分流体内有涡旋，则 在此时刻以前及以后的时间内这部分流体皆为 有旋。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
d dt
1
p x
dx
p y
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p z
dz
1
dp
dp
上式中引入比容：
1
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p p() ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
本节先从速度环流变化的角度来刻画涡旋运动 的变化。先引入速度环流变化的基本关系式， 从而推出有关速度环流变化的两个守恒定律— —开尔文定理和皮耶克尼斯定理。
工程流体力学42有旋流动和无旋流动
x 不为零的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有
旋流动还是无旋流动。
【解】 由于
?
x
?
1 2
??? ?
?w ?y
?
?v ?z
??? ?
?
0
?
y
?
1 ?? ? u 2 ? ?z
?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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0
?
z
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1 2
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?
1 a
2
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0
所以该流动是有旋运动。
第二节 有旋流动和无旋流动
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dΓ
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?
x
?
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xdy
?
2?
zdA
dA
Ωz
?
dΓ dA
?
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?
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?
2?
z
涡量——以Ω 表示之。它定义为单位面积上的速度环量，
是一个矢量。
Ωx ?
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2?
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Ωy ?
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?
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第二节 有旋流动和无旋流动
二、速度环量和旋涡强度
① 速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力
? 定义：
学中重要的基本概念之一——速度环量。
?
在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度V 沿该封闭
曲线的线积分称为速度沿封闭曲线 k 的环量，简称速度环
旋流动还是无旋流动。
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第二节 有旋流动和无旋流动
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第二节 有旋流动和无旋流动
二、速度环量和旋涡强度
① 速度环量 为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力
? 定义：
学中重要的基本概念之一——速度环量。
?
在流场中任取封闭曲线k，如图4-5所示。速度V 沿该封闭
曲线的线积分称为速度沿封闭曲线 k 的环量，简称速度环
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y
vy
dx
vy
v y x
dx
v y y
dy
D
vx v x dy y
C
v v v x x dx x dy x y
从A点起逆时针方向积 分，可以得到 微分形式的速度环量为
vx
A
vy
B
vx
v y x dx
vx dx x
vy
0
x
v yB v yC v yD v yA v xA v xB v xC v xD d dx dy dx dy 2 2 2 2
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线 积分的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个 瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算， 积分时为参变量。
规定:沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线 所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的 正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。
1 2
Γ ABCDA Γ AB Γ BC Γ CD Γ DA V2 r2 V1 r1 (V2 r2 V1 r1 ) (r22 r12 )
可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面 积
A rdr
r 1 r2
2
2 (r2 r 2 ) 1
A
K J
1、单连通区域
区域内任一条封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流 体的边界。这种区域称为单连通区域。否则，称为多连通 区域。
2、对多连通域：
K1 K 2 2 n dA
通过多连通区域的涡通量等于沿这个区 域的外周线的速度环量与沿所有内周线的速 度环量总和之差。
Ω dr 0
dx dy dz x ( x, y, z, t ) y ( x, y, z, t ) z ( x, y, z, t )
积分时时间变量t 作常数处理。
ω
2.涡管 涡束 在给定瞬时，在涡量 场中任取一不是涡线 的封闭曲线，通过封 闭曲线上每一点作涡 线，这些涡线形成一 个管状表面，称为涡 管。涡管中充满着作 旋转运动的流体，称 为涡束。 涡管(vortex tube): 某一时刻，由涡线组成的管状曲
Γ
2 0
上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不 等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不 包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心 O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。
返回例题
C rd 2C 常数 r
第二节
汤姆孙定理 亥姆霍兹旋涡定理
流线 流管 流束 流量
涡线 涡管 涡束 涡通量
自然界中流体的流动绝大多数是有旋的
大气中的旋风、龙卷风，桥墩后的涡旋区； 行进中的船舶后的尾涡区；
充满微小涡旋的紊流流动；
物体表面充满微小涡旋的边界层流动； 叶轮机械内流体的涡旋运动。
流体微团旋转角速度的矢量表示
1 v 2
L
积分路径在圆上，有
x cos ,y sin
6 sin d cos 8 cos d sin
0 0
2
2
0
6 sin 2 d 8 cos2 d
0
2
1 6( sin 2 ) 2 4 14
2 0
1 8( sin 2 ) 2 4
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方 向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上 也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的 分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本 规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据， 也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
2 0
三、 Stokes定理
1、速度环量定理（Stokes定理）
v ds v dA Ω d A
K
C J
沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量。即： 涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。
2、 Stokes定理推导
v y y
A
【例2】 一个以角速度 按反时针方向作像刚体一样的旋转
的流动，如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度 环量，并证明它是有旋流动 . 解:在流场中对应于任意两个半 径 r1和r2的圆周速度各为 r1 V1 和 V r ，沿图中画斜线扇形部 分的周界ABCDA的速度环量
2 2
【解】 在流场中对应于任意两个半径 r 和 r 的圆周 速度各为 V1 r1 和 V2 r2，沿图中画斜线扇形部 分的周界ABCDA的速度环量
y
vy
v y y
dx
vy
v y x
dx
v y y
dy
D
vx v x dy y
C
vx
v x v dx x dy x y
v yB v yC v xA v xB d dx dy 2 2 v yD v yA v xC v xD dx dy 2 2
将各点速度代入，并忽略高 阶小量，得到
vx
A
vy
B
vy v y x
vx
dx
vx dx x
0
x
v y vx d x y dxdy v y vx d 2 z dxdy x y
v ds 2 wn dA
对工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较 小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究 其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工 程实践具有指导意义和应用价值。
因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本 性质，然后再介绍二维平面势流理论。
基本要求 了解有旋流动和无旋流动的定义，理解速度环量和旋涡强度的概念，掌 握速度势函数、流函数及两者关系，掌握几种基本的平面有势流动和有势流 动的叠加原理及其应用
正压流体 内部任一点的压力只是密度的函数的流体。
斜压流体 若流体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例 如温度等）有关，则称为斜压流体。 广义地说，正压流体是其力学特性与热学特性无关的流体。 证明流体力学中一些重要定理（见开尔文定理，亥姆霍兹定理， 伯努利定理）时，常需假设流体满足正压条件。例如可以证明，若流体 是理想、正压且所受力是有势的,则流体中的涡旋既不能产生,也不能消 灭。由此可知，正压条件是判别流体中是否有涡旋的一个重要依。
一、汤姆孙（W. Thomson）定理（开尔文定理） 正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿 任何由流体质点所组成的封闭周线的速度环 量不随时间而变化。 dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体， 在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自 行产生、也是不能自行消灭的。
三、重点和难点 重点：速度环量和旋涡强度的概念，速度势函数、流函数,有势流动的叠加 难点：有势流动的叠加
第一节 有旋流动
一、涡线、涡管、涡束
在有旋流动流场的全部或局部区域中连续地充满 着绕自身轴线旋转的流体微团，于是形成了一个 用角速度 ( x, y, z, t )表示的涡量场（或称角速度 场）。
更普遍地用涡量来描述流体微团的旋转运动
涡量的定义
2 v rotv
充满涡量的流场称为涡量场
v z v y y z v x v z z x v y x
x
y
z
Байду номын сангаас
v x y
有旋运动的基本特征: 存在涡量场，其涡量为
于是
Γ ABCDA 2A
上式正是斯托克斯定理的一个例证。 以上结论可推广适用于圆内任意区域内。
【例3】 一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流
场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比， 即 V C r ，其中C为常数，如图所示。试求在流场 中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。 (解)
速度环量
当速度方向与线积分方向同向时取正，
反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的 速度分布为 u 6y ,v 8x ， 2 2 求绕圆x y 1的速度环量。
解：
udx L
2
vdy 6ydx 8xdy
但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就 能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形 成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋 涡肉眼却是观察不到的。
至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度 不同的大小旋涡。
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但 无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因 此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。
面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。
涡管
3．旋涡强度（涡通量） (vortex flowrate): 涡量场的通量（涡强）。
旋涡强度（涡通量） 在涡量场中取一微元面积dA，其上 流体微团的涡量为 2 ， 为dA的 n 外法线方向，定义
dJ d A 2 cos( n)dA 2 n dA
Ω v 2 0
1、涡线 (Vortex line): 任一时刻，涡线上每一点的切向量都与该 点的涡向量相切。
涡线是一条曲线，在给定瞬时t，这条曲线上每一点的切 线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合，所以涡 线也就是沿曲线各流体微团的瞬时转动轴线。
根据涡通量矢量与涡线相切的条件，涡线的 微分方程为:
流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体 的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。