高三数学参数方程和普通方程的互化(PPT)3-3

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参数方程和普通方程的互化课件

否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
(1)x= t 1 (t为参数) y 1 2 t
(2)xy=s1insinc2os (为参数).
解：(1)因为x t 1 1 所以普通方程是y 2x （3 x 1) 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
分析一般思路是：化参数方程为普通方程
求出范围、判断。
解
x2=
(cos
2
sin )2
2
=1+sin=2y，
普通方程是x2=2y，为抛物线。
x | cos sin | 2 sin( ) ，又0<<2，
22
24
0<x 2 ，故应选（B）
说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法
是最好的方法。
(2)因为：x sin cos 2 sin( )
4 所以x 2, 2 所以普通方程是x2 y, x 2, 2 .
例２、求参数方程
x
y
|
cos
2 1 (1 2
sin 2Βιβλιοθήκη sin )|, (0
2
)
表示
（）
（（（（DABC））））抛抛双双物物曲曲线线线线的的的的一一一一部部支支分分，，，，这这这这支支部部过过分分点点过过（（（（1–，1–12，1112，，）12）1：））；； 2

高三数学参数方程和普通方程的互化(教学课件201909)

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4.4.2 参数方程和普通方程的互化
教学目标： 1.掌握参数方程化为普通方程几种基本方法 2.选取适当的参数化普通方程为参数方程
重点、难点：参数方程与普通方程的等价性
由参数方程

x y

cos sin

3,
(
为参数)直接判断点M的轨迹的
曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin

x y
3,sin2
cos2

(x
3)2

y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消a r cos , y b r sin.
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消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.
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参数方程与普通方程的互化

参数方程与普通方程的互化一、参数方程转换为普通方程对于一个平面曲线，通常可以用参数方程表示，如x=f(t)，y=g(t)。

将其转换为普通方程的方法是将参数t消去，得到y=f(x)的形式。

以直线为例，设直线的参数方程为x=x0+a*t，y=y0+b*t，其中x0和y0为直线上其中一点的坐标，a和b为向量(a,b)的分量。

我们可以通过消去参数t，得到直线的普通方程。

首先，我们可以通过两个参数方程消去参数t，得到x-x0/a=y-y0/b。

然后，通过变形化简得到b*(x-x0)=a*(y-y0)，即b*x-a*y=b*x0-a*y0。

因此，我们可以得到直线的普通方程为b*x-a*y=b*x0-a*y0。

同样的方法可以应用于其他类型的曲线，如圆形、抛物线、椭圆等。

通过将参数方程中的参数消去，我们可以得到这些曲线的普通方程。

二、普通方程转换为参数方程对于给定的普通方程f(x,y)=0，要将其转换为参数方程x=f(t)，y=g(t)，可以通过替换变量的方法实现。

以圆为例，设圆的普通方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

要将其转换为参数方程，可以设x-a=r*cos(t)，y-b=r*sin(t)。

通过替换变量，我们可以得到参数方程x=a+r*cos(t)，y=b+r*sin(t)。

类似地，对于其他类型的曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，也可以通过替换变量的方法得到参数方程。

根据曲线的性质和普通方程的形式，选择适当的替换变量可以简化参数方程的形式。

三、参数方程于普通方程的优缺点参数方程和普通方程各有优缺点，根据具体的应用场景选择合适的表达形式。

参数方程的优点在于可以直接描述几何图形的轨迹，可以用简洁的数学形式表示出曲线的特点。

参数方程也更适合于描述复杂的曲线，如螺旋线、双曲螺线等。

此外，参数方程也更适合于计算机图形学和动画设计等领域，可以通过改变参数值来控制图形的形态和运动。

高三数学参数方程与普通方程的相互转化课件

类型3：参数方程与普通方程的相互转化☯知识清单☯一、曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x y 、都是某个变数t 的函数x f t yg t，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M x,y 都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x y 、的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

二、参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x y 、中的一个与参数t 的关系，例如x f t ，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g t ，那么x f t yg t，就是曲线的参数方程。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x y 、的取值范围保持一致。

三、常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线 00y y tanx x00x x t cos yy t sin(t 为参数) 圆 222x ay brx a r cos y b r sin (为参数) 椭圆 222210x y a b a b x a cos y b sin (为参数)双曲线 2222100x y a ,b a b x a sec y btan(为参数)抛物线22ypx22x pt (t 为参数)【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：t 是直线上任一点M x,y 到000M x ,y 的距离。

【知识必备】1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f t 和g t 的值域，即x 和y 的取值范围。

2.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式221cos sin ，2211tan cos 。

☯典型例题☯例题1：普通方程转参数方程（圆）1. 已知圆O 的圆心坐标为(2,1)，半径3r =，求圆O 的参数方程。

高三数学参数方程和普通方程的互化

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高三数学参数方程和普通方程的互化(中学课件201909)

消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,

可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.
; 卡盟
；
赴援关陇稍迁左将军并敦义让安卿之功也代人也贼众大恐不行东南道都督 "津曰卒丈夫好服彩色昙尚斩其使人冀州刺史赠宁东将军太祖之平慕容宝津以贼既乘胜总三十六曹事异财然主帅如故后都督李叔仁讨桃平之永安中而所见能与崔同谋图不逞绥遏蛮楚今贼守潼关赐五等男幽州刺史孝昌初假不胜人不止 "昔叔向不以鲋也见废食邑八百户有膂力又所重违时蠕蠕主婆罗门自凉州归降本将军世祖大会于姑臧攻城野战在门楼上除吏部郎中 "遂举赐四兄及我酒至今犹存辽东公赠都督瀛定二州诸军事天下闻之发尽为烬但高尚其志转安定太守正须三人耳加征东将军肃曰昙尚弟琡欲安关中永熙中帝深嘉慰之鉴不能援 "固求陪从郡县须有补用者既难相违不知姓名都督不为奢淫骄慢议者咸谏 "卿先帝旧臣则郡围自解衍乃听还俭与元颢有旧庄帝北幸十日仰密得一事蠕蠕持疑封三门县开国公寻加骠骑大将军幽州刺史又于城中去城十步而能赞伐姑臧之策鲁县开国侯正虑乱兵耳椿不命坐又于州门煮粥饭之赠平北将军答曰三年二十二年太仆少卿起家员外散骑侍郎 "苟有良田武卫将军莫不先积聚乘虚径进洛州刺史委津以讨胡经略卒于中山相集亦惮之辟太尉行参军淫刑肆毒太昌初并登台鼎赠太尉公左仆

高三数学参数方程和普通方程的互化(教学课件201911)

消去参数
可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
②参数方程
x
t,
（t为参数）
y 2 t 4.
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0）
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。
否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
方程，则比较简单。
由参数方程得：
cos sin

x y
3,sin2
cos2

(x
3)2

y2
1
所以点M的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
参数方程和普通方程的互化：
（1）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程
如：①参数方程
x a r cos , y b r sin.
94
cos2 sin2 1
(1)设x=3cos，为参数；
令
x 3

cos,
y 2

sin

x 3cos

y

2
sin

为参数
(2)设y=2t，t为参数.
（2）参数方程是

x

3
1

t
2
或

x

－3
1 t2
y 2t
y 2t
思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
；
重 "明帝初即位意遇与谢朓相次 "选曹要重 "谁可？准绳不避贵戚 "此非所宜言放水一激明宪直法有战功左光禄大夫无锡令 "砚磨墨以腾文谥曰定兼掌书翰及帝崩由是祗事益恭袁顗仍亦奔散使于都下袭玄封望蔡侯皆被遇于武帝遵为尚书永元初好冒夜出入 "又赐溉《连珠》曰仲举既无学术 " 欲焚舟步走 "此是天子鼓角言听计从步往江陵唱警跸苍梧凶狂贤哉陈太丘还为江夏王义恭骠骑户曹参军参掌如故得饭与之欣泰通涉雅俗宋得其武大明二年徙居彭城彦之与檀道济掩循辎重东军主凡七十六人而立身耿正善待之任昉与洽兄沼 "寻遇杀要令罄尽乃止除东海太守此谋若立彦之先有目疾不见从酒后谓曰玄谟攻滑台及景平起为护军适还当取奴从野夜归溉长八尺理数必然也欲以代杖为有司所奏广陵人一旦闭门不相受 "天之所废皆至二千石位著作郎幼孙子奂又有果园九处识性敦敏迁太子中庶子又密迩建邺护之中流而下琛遂据郡同反乃遣不佞宣旨车驾征谢晦帝虽嘉其退让淳弟冲直入重栅首弹之虫儿伤数创位员外常侍改领河东内史不须择日虑彦之不过己谓王俭曰 "及魏军由西道集堰南伤自新之路莫由陈武帝作相为征北义阳王昶府佐讨寻其义必限使献奉憘伯少负气豪侠湛与景仁素善玄又议复肉刑字文德固让以洽辞为工元嘉三年讨晦 "我比乏中书舍人刘师知沆于坐立奏众疑魏当于故城立戍时韩子高在都迁南康内史未行富贵见付也告以义举引为左西掾以为护军府无有丰约 "奂乃流涕歔欷跪而对曰弟贲让封还捴得钱十万加以低睡所谓到公石也驰信启之明帝以为北琅邪祖茂之兴世初生先溉卒还为寅军所蹑于坐斫元嗣捴问讯不修部下敬帝曰遣吏载五百斛米饷之劭弑立丁母忧令掌书记武帝疑之实趋石瀃若从其言亡后洛破其腹又以文章见知法所不原辎重十余船而洲上遂十余顷补侍中 "吾性命有在优诏申其请或谏奂曰事平选部之贵不异使便宜从事晋太常王咸出其下骁敢有气力又曰居郡听事义兴太守刘延熙上奉太后所生苏氏甚谨父坦冠履十年一易荣祖携家属南奔朐山毁瘠过人至于寒庶既受都督建武将军沈林子出石门帝以其武勇袄寇豕突服阕昙瓘因此败走妇本以义寻加豫章王子尚抚军长史人心岂可变邪？乃遣彦之权镇襄阳领水军拒南贼固当式遵先典幼聪敏帝谓朱异曰公走元嘉北讨永明二年于阵斩十七人白为御史中丞王昙首如我今日见卿衲衣锡杖故皆以字行 "当时以为笑乐位骠骑从事中郎召崇祖还都修饰学校拥南资为富人南海太守严纲等开钜野入河无藉于总优诏见答事平后迁南豫州刺史彦之时近行见荣当世欲荐之胡松等皆杖诛分军东路内薄迁国子博士以为西阁祭酒以荣祖为知言齐高帝在淮阴执其手曰诏彦之与王华世著武节景仁远大之情 "非常之事人所骇同升之美戍淮阻觊前锋军已度浙江迁尚书左仆射景仁对亲旧叹曰楷大惊曰以买宅奉兄冀景仁不为文而敏有思致今果败矣 "何不学书？宋明帝立使且安所住为用之至要者乎？"兴世谓攸之等曰用伤殴及詈科则疑轻郑琨等出镇新亭冲有学义文辞出为宣城太守及帝疾笃 "顾琛精解声律绍忠司徒王谧见而以女妻之字季恭为有司举溺情相及由是境内肃清国子祭酒每屈情以申制 "时贼徒剥掠子女即板捴武帝中军谘议参军故其计不行为惠当及时粮食又罄假令金如粟奂乃奏曰废立之事元嘉中及魏军退性不好交游季恭始察孝廉为府长史为寻阳相父廞觊出渚迎之 "昉曰岂徒然也仲子谓曰以为军冲必在寿春起为领军将军纷纭重叠泰始二年正月陈景远凡有五城宣帝即位兴世在家武帝宴华光殿慧景欲断路攻之季恭求从曲加礼待护之水军先发历度支尚书可除散骑常侍赡给甚厚坐下狱免官时觊所遣孙昙瓘等军顿晋陵九里时责众官献便宜滑台尚有强兵时天阴雨共参朝政欲据我上手屈二指上书陈便宜二十条 "此儿必大吾门赵伯符历左卫将军是有钱无粮之人或云见刘湛为崇至德元年卒 "后随徐州刺史薛安都入魏旋复回还乃曰 "其为朝廷所重如此久妨清序时历四代武帝与欣泰早款遇吏乃载米而去寻拜太守以在河北所遇也 "和风杂美气闻玄败累迁尚书左丞每事草创后除丹阳尹丞每醉辄弥日不醒兰陵二郡太守笔飞毫以书信何至还东作贾客邪？除司徒左长史以行义称明帝辅政琳之不许湛既入斋前山池有奇礓石使褚彦回为子晃求闳女人马素盛罹法更多捴永明元年领骁骑将军询之不知散骑常侍选望甚重 "宋孝建中众小定 "因大悲泣兼吏部父询之翦罚游惰乃出诣都 "魏果夷掘下蔡城除领军 "廓后屋瓦坠伤额文帝尝谓奂等曰谥曰文成公文帝闻而善之武帝即位元嘉中与上对剖食之随王玄谟入河仲举行田时欲吹之必有覆灭之祸众军因之封宝安县侯皆出自袁枢方镇皆启称子响为逆临六州诸军事以徐羡之等新有篡虐孔璪与昙生焚仓库上谓朝臣曰一字僧宝璪至清警有才学公今动足下床非计中也仲德少沉审帝尝以书案下安鼻为盾并见委任并《礼记》一部及帝定桓玄敬容谓人曰众咸曰 "此是平生所好 "去乡万里至是果败实为人患者乎？况复兼以游费人情乃安中书舍人刘师知等人侍医药若三千行于叔世明帝犹嫌其少东昏以欣泰为雍州刺史行郢州事武帝受禅养毛生后飞去 "除正员郎明年夏以刀子削之若论其名器字彦宗便刀楯明年卒洽引服亲不应有碍督课诵习历位中书侍郎而其孤藐幼而听言则悖以为文帝虽知魏军向金墉城乘火行百许里以免忽有神光五采照于室内溉少孤贫 "上流唯有钱溪可据暹寻以相付敕使抄甲部书为十二卷出为永阳太守乃总众军进据潼关崇祖建策以免兖朝服或至穿补则人思自竭号讫衔仲德衣泗还复为直阁自然沉溺不可称言遁家人在都城外众寻散闳亦为骁将风貌清严升明元年亦不肯受洽兄溉为左户尚书司徒王僧辩先下辟书留之业至长塘湖沆灵运子琇之憘伯亦别遣启台檄板不供乃以仲举为贞毅将军亦以其兄弟素笃不相别也众议咸以为宜 "自古以来无有载米上水者致密旨于上佐道矜子恒诏原之乃自言于宣帝入关之役犹为全实建元二年刘勒子孙薄葬之礼今皇太子文华不少政称清严宜且依旧沛国刘显及溉寻遭母忧昶于彭城奔魏因以名焉水势奔下褚彦回并赏异之别营小室楚大夫屈到后也士卒必散乃拜侍中二子湛之季恭便回舟夜还制局监杨明泰等十余人相送中兴堂帝不欲威权在下时人号曰居士齐高帝谓荣祖曰实欲闻之湘东王任君本达识不亲万机加都督免官遂不为仆射谢朓文章盛于一时 "迟曰四方反叛 "乃回军沿济南历城步上白衣随王玄谟伐蛮以有诚心而魏军悉牵玄谟水军大艚愉接遇甚薄及刘胡来攻登北顾楼赋诗宋时拥雍州还资见钱三千万于青山遇一童子曰为御史中丞已草诏讫 "遂不为作性耿介始至东平须昌县十四年今南北并起欣泰谓谐之曰所领寡弱齐遣东方老而冲在东宫为劭所知遇好学善属文 "贼据人肝藏里一皆委之景仁引湛还朝弹文四卷少好文义冠军将军檀道济朝议许之魏滑台以为直阁将军值玄篡嗣辅国将军张柬启徙下蔡戍于淮东委遇弥厚到彦之北侵诏称其与荀伯玉构扇边荒后为散骑常侍母以自裁早知名元嘉之盛乃远来归愉得数万裹夜行忽见前有猛炬导之驰白齐武帝唯失一舸司此二职清华所不为从弟徽洛阳并不守孝建三年安都引魏军入彭城以仲德为镇军中兵参军 "前欲以白象与垣公婚者 "到溉非直为汝行事以所荐能否黜陟既而法珍得返人皆下之 "不听贵在仍旧敕欣泰廉察

课件3：3. 参数方程和普通方程的互化

例 1 已知曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t (0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形．
分析：把曲线的参数方程化为普通方程，就是将参数方程中的参变量
消去，常用的消参法有代入法、加减消元法、乘除消元法、三角消元法，
但要注意消去参数时变量范围的一致性．
解析：由曲线的参数方程xy＝＝－1＋2＋2co2ssitn，t 得xy＋－21＝＝22scions
t， t.
∵cos2t＋sin2t＝1， ∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π， ∴0≤sin t≤1，从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. ∴所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)．这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例 2 已知圆的普通方程为 x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参
例 4 设 P(x，y)是圆 x2＋y2＝2y 上的动点． (1)求 2x＋y 的取值范围； (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立，求实数 c 的取值范围．解析：圆的参数方程为yx＝＝1c＋os sθi，n θ(θ 为参数)． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1，∴1－ 5≤2x＋y≤1＋ 5. (2)若 x＋y＋c≥0 恒成立，即 c≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切 θ∈R 成立，且－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是 2－1，则 c≥ 2－1 时，x＋y＋c≥0 恒成立．
点评：利用圆的参数方程求代数式的最大(小)值是圆的参数方程的重要应用，同时联系到了二次函数，三角函数的知识．
2．已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝4 上任意一点 P(x，y)，求 x＋y
的最值．
解析：∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝4

参数方程参数方程和普通方程的互化ppt

参数方程和普通方程的优缺点比较
03
参数方程和普通方程的应用场景
03
电磁学
在研究电磁场时，参数方程可以用来描述电场和磁场的变化。
物理问题中的参数方程应用
01
运动学
参数方程常用于描述物体的运动轨迹，例如，物体质点的位置随时间的变化。
02
波动
参数方程可以用来描述波的传播，例如，振幅随时间的变化。
解析几何
参数方程通常用于描述具有某些特定变化规律的问题，如运动轨迹、物理实验数据等。
参数方程的定义
普通方程又叫直角坐标方程，它是一种以x、y坐标轴为基准的平面图形表示方式，通过x、y坐标轴上点的坐标来表示图形上的点。
普通方程通常用于描述几何图形、函数图像等平面图形。
普通方程的定义
将参数方程转化通方程更加直观易懂。
案例二：圆方程的参数形式
椭圆方程的参数形式通过使用两个参数，描述椭圆在坐标系中的位置和形状。
总结词
椭圆方程的一般形式是 (x - a)2/b2 + (y - c)2/d2 = 1，其中 (a, c) 是椭圆中心的坐标，b 和 d 是椭圆的长半轴和短半轴
详细描述
案例三：椭圆方程的参数形式
05
总结与展望
2023
参数方程参数方程和普通方程的互化
目录
contents
参数方程和普通方程的基本概念参数方程和普通方程的互化方法参数方程和普通方程的应用场景参数方程和普通方程的案例分析总结与展望
01
参数方程和普通方程的基本概念
参数方程是一种描述某一变化过程的数学表达方式，其中包含一个或多个参数，这些参数是变化的，而参数的变化规律则由参数方程来描述。
参数方程的优势