高考数学二轮复习小题专项练习(三)三角函数的图像与性质文

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高考数学(理)二轮专题练习【专题3】(1)三角函数的图象与性质(含答案)

第 1 讲三角函数的图象与性质考情解读 1.以图象为载体，考察三角函数的最值、单一性、对称性、周期性.2.考察三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，要点考察剖析、办理问题的能力，是高考的必考点．1．三角函数定义、同角关系与引诱公式(1) 定义：设α是一个随意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，则 sin α＝ y， cos α＝ x，ytan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)22sin αα.同角关系： sin α＋ cos α＝ 1，＝ tancos αkπ(3)引诱公式：在2＋α， k∈Z的引诱公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sin x y＝ cos x y＝ tan x 图象单一性对称性ππ在 [－2＋2kπ，2＋2kπ](k∈Z )在[ －π＋ 2kπ， 2kπ](k∈Z )ππ3π上单一递加；在 [2kπ，π＋在( －＋ kπ，＋kπ)(k∈Z )π22上单一递加；在 [ ＋ 2kπ，222kπ ](k∈Z )上单一递减上单一递加＋ 2kπ](k∈Z )上单一递减π对称中心： (kπ， 0)(k∈Z )；对称中心： (2＋ kπ，对称中心：π0)(k∈Z)；kπ对称轴： x＝2＋ kπ(k∈Z)( 2， 0)(k∈Z)对称轴： x＝kπ(k∈Z )3.三角函数的两种常有变换向左 φ 或向右 φ(1) y ＝sin x ―————————―→平移 |φ|个单位y ＝ sin(x ＋φ)纵坐标变成本来的 A 倍y ＝ sin( ωx＋ φ)―———————―→横坐标不变y ＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)．(2) y ＝sin x向左 φ或向右 φy ＝ sin ωx―———————φ―→平移| |个单位ω纵坐标变成本来的 A 倍y ＝ sin( ωx＋ φ)―———————―→横坐标不变y ＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0 ， ω>0)．热门一三角函数的观点、引诱公式及同角三角函数的基本关系例 1(1)点 P 从22逆时针方向运动 2π (1,0)出发，沿单位圆 x ＋ y＝ 1弧长抵达 Q 点，则 Q 点的坐3标为 ()1 ， 3B ．(－3 ，－ 1)A ．(－ 2 )2221，－3D ．(－31C ． (－2 )2， )22(2) 已知角 α 的极点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P( － 4,3) ，则π－ π－ α＋ α2的值为 ________．11π9π2－ α＋ α2思想启示 (1) 正确掌握三角函数的定义． (2)利用三角函数定义和引诱公式．答案(1)A(2)－34分析(1) 设 Q 点的坐标为 (x ， y)，2π1， y ＝ sin 2π3则 x ＝ cos＝－＝3232.1 3∴ Q 点的坐标为 (－ 2， 2 )．－ sin α·sin α＝ tan α.(2) 原式＝－ sin α·cos α 依据三角函数的定义，得 tan α＝ y ＝－ 3，x 4∴ 原式＝－ 34.思想升华 (1) 波及与圆及角相关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等 )，经常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边地点相关，与终边上点的地点没关．(2) 应用引诱公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要按照必定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．(1)如图，以 Ox 为始边作角 α(0< α<π)，终边与单位圆订交于点 P ，已知点 P 的坐标为－ 3，4，则 sin 2α＋ cos 2α＋ 1＝________.5 5 1＋ tan α (2) 已知点 P sin3π 3π 4， cos落在角 θ的终边上，且 θ∈ [0,2 π)，则 θ的值4为 ()π3π5π 7πA. 4B. 4C. 4D. 418答案(1) (2)D分析 (1) 由三角函数定义，得 cos α＝－ 3， sin α＝ 4，552α2cos αα＋ cos α∴ 原式＝ 2sin αcos α＋ 2cos＝sin αsin α＋ cos α1＋cos αcos α＝ 2cos 2α＝ 2× － 3 2 ＝18.5 25cos 3 －cos ππ 4＝－ 1，(2)tan θ＝4 ＝3πsin 4πsin 43π3π又 sin 4 >0， cos4 <0，7π因此 θ为第四象限角且θ∈ [0,2 π)，因此 θ＝ 4 .热门二函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)的图象及分析式例 2π 则将 y ＝f(x)的图象向(1)函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A>0，ω>0，|φ|< )的部分图象如下图，2π右平移个单位后，获得的图象分析式为( )6A ． y ＝ sin 2xB ． y ＝ cos 2x2ππC ． y ＝ sin(2 x ＋ 3)D ． y ＝sin(2x － 6)π(2) 若函数 y ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ a 在 [0 ， 2]上有两个不一样的零点，则实数 a 的取值范围为________．思想启示(1) 先依据图象确立函数f(x)的分析式，再将获得的π f(x)中的 “x ”换成 “x － ”即可．6(2) 将零点个数变换成函数图象的交点个数．答案 (1)D (2)( －2，－ 1]分析 (1) 由图知， A ＝1，3T＝11π π2π －，故 T ＝ π＝，4126ω因此 ω＝ 2，又函数图象过点π，代入分析式中，( ，1)6π ππ得 sin( ＋ φ)＝ 1，又 |φ|< ，故 φ＝.326π π则 f(x)＝ sin(2x ＋ 6)向右平移 6后，π π π获得 y ＝sin[2( x － )＋ )＝ sin(2x － )，选 D.666π(2) 由题意可知 y ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ a ，ππ π 该函数在 [0， ]上有两个不一样的零点，即 y ＝－ a ，y ＝2sin(2 x ＋)在 [0 ， ]上有两个不一样的交点．262联合函数的图象可知 1≤－a<2 ，因此－ 2<a ≤－ 1.思想升华(1) 已知函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)(A>0， ω>0) 的图象求分析式时，常采纳待定系数法，由图中的最高点、最低点或特别点求A ；由函数的周期确立ω；确立 φ常依据 “五点法 ”中的五个点求解，此中一般把第一个零点作为打破口，能够从图象的起落找准第一个零点的地点．(2) 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，仍是先周期变换．变换不过相对于此中的自变量 x 而言的，假如 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确立变换的单位长度和方向．π(1) 如图，函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(此中 A>0， ω>0， |φ|≤P 、2)与坐标轴的三个交点πQ 、R 知足 P(2,0)，∠ PQR ＝ 4， M 为 QR 的中点， PM ＝ 25，则 A 的值为()816 A. 3 3 B. 3 3C ． 8D ．16πππ (2) 若将函数 y ＝ tan(ωx＋ )( ω>0) 的图象向右平移个单位长度后，与函数 y ＝ tan(ωx＋ )的图象466重合，则 ω的最小正当为 ()11 A. 6 B. 41 1 C.3D. 2答案 (1)B (2)D分析(1) 由题意设 Q( a,0)， R(0，－ a)( a>0) ．a a 则 M( ，－ )，由两点间距离公式得，22a2a 2T πPM ＝－ 2 ＋2＝ 2 5，解得 a ＝ 8，由此得，2＝ 8－ 2＝6，即 T ＝ 12，故 ω＝6，π由 P(2,0)得 φ＝－，代入 f(x)＝Asin( ωx＋ φ)得，3π πf(x)＝ Asin( 6x － 3)，π从而 f(0)＝ Asin(－ 3)＝－ 8，16得A ＝33.πππ ωπ π(2) y ＝tan(ωx＋ 4)的图象向右平移，获得 y ＝tan(ωx＋－)的图象，与 y ＝ tan(ωx＋ 6) 重合，64 6 π ωπ π1， k ∈ Z ，得－＝k π＋，故 ω＝－ 6k ＋4 6 6 21∴ ω的最小正当为 2.热门三三角函数的性质例 3 设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋ sin 2x ＋ a(a ∈ R )．(1) 求函数 f(x)的最小正周期和单一递加区间；π(2) 当 x ∈ [0， 6]时， f(x)的最大值为 2，求 a 的值，并求出 y ＝ f(x)( x ∈R )的对称轴方程．思想启示先化简函数分析式，而后研究函数性质 (可联合函数简图 )．2π 解 (1)f(x)＝ 2cos x ＋ sin 2x ＋a ＝ 1＋ cos 2x ＋ sin 2x ＋a ＝ 2sin(2 x ＋ ) ＋1＋ a ，4则 f(x)的最小正周期2πT ＝＝π，2π πππ 且当 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋ (k ∈ Z )时 f(x)单一递加，即 k π－3π≤x ≤k π＋(k ∈ Z )．2 4 288因此 [k π－3π π， k π＋ 8 ](k ∈ Z )为 f(x)的单一递加区间．8πππ 7π(2) 当 x ∈ [0， 6]时 ?≤2x ＋ ≤ ，44 12π π ππ当 2x ＋＝，即 x ＝时 sin(2x ＋ )＝ 1.4 284因此 f(x)max ＝ 2＋ 1＋ a ＝ 2? a ＝ 1－ 2.π π k π π由 2x ＋＝ k π＋得 x ＝＋ (k ∈ Z )，422 8k π π 故 y ＝ f(x)的对称轴方程为x ＝＋， k ∈ Z .28思想升华函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝Asin( ωx＋ φ)＋B 的形式；第二步：把 “ωx＋ φ”视为一个整体，借助复合函数性质求 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B 的单一性及奇偶性、最值、对称性等问题．已知函数 f(x)＝ 2sin ωx cos ωx＋ 2 3sin 2ωx－ 3( ω>0) 的最小正周期为 π.(1) 求函数 f(x)的单一增区间；π1 个单位长度，获得函数y ＝ g(x) 的图(2) 将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移6象；若 y ＝ g(x)在[0， b]( b>0) 上起码含有 10 个零点，求 b 的最小值．解 (1)由题意得： f( x)＝ 2sin ωx cos ωx＋ 2 3sin 2ωx－ 3π＝ sin 2ωx－ 3cos 2ωx＝ 2sin(2ωx－3)，π由周期为 π，得 ω＝1，得 f(x) ＝2sin(2 x －3)，函数的单一增区间为π π π 2k π－ ≤2x － ≤2k π＋， k ∈Z ，232整理得 k π－π 5π12≤x ≤k π＋， k ∈Z ，12π5π因此函数 f(x)的单一增区间是[k π－ 12， k π＋12]， k ∈ Z .π1 个单位长度，获得y ＝ 2sin 2x ＋1 的(2) 将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移6图象，因此 g(x)＝ 2sin 2x ＋ 1，令 g(x)＝ 0，得 x ＝ k π＋ 7π 11π12 或 x ＝ k π＋ 12 (k ∈ Z )，因此在 [0，π]上恰巧有两个零点，若 y ＝ g(x)在 [0，b] 上有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即 b 的最小值为 4π11π 59π ＋12＝ 12.1．求函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)(或 y ＝ Acos(ωx＋φ)，或 y ＝ Atan(ωx＋ φ)) 的单一区间(1) 将 ω化为正．(2) 将 ωx＋ φ当作一个整体，由三角函数的单一性求解． 2．已知函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋B(A>0，ω>0) 的图象求分析式(1) A ＝ y max － ymin ，2y max ＋ y min B ＝2 .2π(2) 由函数的周期 T 求 ω， ω＝ T .(3) 利用与 “五点法 ”中相对应的特别点求 φ.3．函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)的对称轴必定经过图象的最高点或最低点．4．求三角函数式最值的方法(1) 将三角函数式化为 y ＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B 的形式，从而联合三角函数的性质求解．(2) 将三角函数式化为对于 sin x ， cos x 的二次函数的形式，从而借助二次函数的性质求解．5．特别提示进行三角函数的图象变换时，要注意不论进行什么样的变换都是变换变量自己．真题感悟π π1．(2014 辽·宁 ) 将函数 y ＝ 3sin(2x ＋3) 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 ()2π 7πA ．在区间 [ 12，12]上单一递减π 7πB ．在区间 [12， 12] 上单一递加π πC ．在区间 [－ 6，3] 上单一递减π πD ．在区间 [ － 6， 3]上单一递加答案 B分析π π π π 2π)． y ＝3sin(2 x ＋ )的图象向右平移个单位长度获得 y ＝ 3sin[2( x － )＋ ]＝ 3sin(2x －32 2 33 ππ π 7 π， ∈ ，则＝－ 2π)的增区间令 2k π－ ≤ －2π≤ π＋，k ∈ Z ，得 k π＋≤≤ π＋2 2x3 2k212 x k 12 k Z y 3sin(2x 3π7为 [k π＋ 12，k π＋ 12π]，k ∈ Z .令 k ＝ 0 得此中一个增区间为 [ π， 7π]，故 B 正确．12 122π π画出 y ＝3sin(2 x －3π)在[ －6， 3]上的简图，如图，π π可知 y ＝3sin(2 x －2π)在[ －，3 ]上不拥有单一性，36故 C ，D 错误．π π2．(2014 北·京 )设函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A ，ω，φ是常数， A>0，ω>0)．若 f(x)在区间，上 6 2 π 2π π拥有单一性，且 f 2 ＝f3 ＝－ f 6 ，则 f(x)的最小正周期为 ________．答案 ππ π分析 ∵ f(x)在，上拥有单一性，6 2T π π ∴ ≥－，2 262π∴T ≥3 .π2π∵ f 2 ＝ f 3，π 2π＋ 2 3 7π∴ f( x)的一条对称轴为 x ＝ 2 ＝ 12.ππ又 ∵ f 2 ＝－ f 6 ，π π＋26 π∴ f( x)的一个对称中心的横坐标为2＝3.1 7π π π∴ T ＝12－＝，∴ T ＝ π.43 4押题精练1．函数 f(x) ＝2sin(ωx＋ φ)( ω>0)的部分图象如图，此中 M(m,0)， N(n,2)， P( π，0) ，且 mn<0，则 f(x)在以下哪个区间中是单一的 ()ππ 2πA ．(0， )B ． (， )4 4 3 π 3πD ． ( 2πC ． ( ，)，π)24 3答案 B分析∵ mn<0，因此当左右挪动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时 T ＝ π，则 ωπ 3ππ＝ 2，∴ f(x)＝ 2sin(2x)，在 (4， 4 ) 上为减函数， (0，4)上为增函数；当图象的最高点在 y 轴上时，3 3 3 2π 2π即 N 点在 y 轴上， T ＝ π，ω＝，∴f(x)＝ 2sin( x)，在(0， 3)上是减函数， (，π)上为增函数．所4223π 2π以 f(x)在 (，43 )上是单一的．2．已知函数 f(x)＝sin ωx·cos ωx＋ 3cos 2ωx－3(ω>0) ，直线 x ＝ x 1，x ＝ x 2 是 y ＝ f(x)图象的任2π意两条对称轴，且|x 1－ x 2|的最小值为 4.(1) 求 f(x)的表达式；π (2) 将函数f(x) 的图象向右平移个单位长度后，再将获得的图象上各点的横坐标伸长为本来的8π2 倍，纵坐标不变，获得函数 y ＝ g(x)的图象，若对于 x 的方程 g(x)＋ k ＝ 0 在区间 [0，2] 上有且只有一个实数解，务实数 k 的取值范围．解(1)f(x)＝ 11＋ cos 2ωx 32 sin 2ωx＋ 3×2 －2＝13πsin 2ωx＋2 cos 2ωx＝ sin(2ωx＋)，23π π 由题意知，最小正周期T ＝2× ＝，4 22π π π πT ＝ 2ω＝ ω＝2，因此 ω＝ 2， ∴ f(x) ＝sin 4x ＋3 .(2) 将 f(x)的图象向右平移π π 个单位长度后，获得 y ＝ sin(4x － )的图象，86再将所得图象全部点的横坐标伸长到本来的2 倍，纵坐标不变，π获得 y ＝sin(2x － 6)的图象．π因此 g(x)＝ sin(2x － 6)．π π π 5π令 2x －＝ t ， ∵ 0≤x ≤ ， ∴ －6≤t ≤6 .62 πg(x) ＋k ＝ 0 在区间 [0， 2] 上有且只有一个实数解，π 5π即函数 g(t)＝ sin t 与 y ＝－ k 在区间 [ － 6， 6 ]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－1≤－ k<1或－ k ＝ 1. 2 21 1 ∴ － <k ≤ 或 k ＝－ 1.22(介绍时间： 50 分钟 )一、选择题1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，成立如下图的坐标系，设秒针针尖地点 P(x ， y)．若初始地点为 P 03，1 ，当秒针从 P 0 (此时 t ＝2 20)正常开始走时，那么点P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ()ππA ． y ＝ sin 30t ＋ 6π π B ． y ＝ sin －60t － 6C ． y ＝ sin － π πt ＋ 630 D ． y ＝ sin －π π30 t － 3答案CP 0 的弧度为 ππ分析由三角函数的定义可知，初始地点点6，因为秒针每秒转过的弧度为－ 30，针尖地点 P 到坐标原点的距离为1，故点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系可能为 y ＝ sin －ππ30t ＋ 6 .2． (2014·四川 )为了获得函数y ＝ sin(2 x ＋ 1)的图象，只要把函数y ＝ sin 2x 的图象上全部的点( )1A ．向左平行挪动个单位长度1B ．向右平行挪动 2个单位长度C ．向左平行挪动 1 个单位长度D ．向右平行挪动 1 个单位长度答案 A分析y ＝sin 2x 的图象向左平移 1个单位长度获得函数 y ＝ sin 2(x ＋1)的图象，即函数 y ＝ sin(2x2 2＋ 1)的图象．π π 2π 1 减小到－ 1，那3．函数 y ＝ sin(ωx＋ φ)(ω>0 且|φ|< )在区间 [ ，3] 上单一递减，且函数值从26么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为 ()12A. 2B. 236＋ 2C. 2D.4 答案 A分析依题意知 T＝ 2π π2ππ π －， ∴ T ＝ π＝， ∴ ω＝ 2，将点 ( ， 1)代入y ＝sin(2x ＋ φ)得 sin( ＋ φ)23 6ω 63π π π＝ 1，又 |φ|< ， φ＝，故 y ＝ sin(2x ＋ )，与 y 轴交点纵坐标为 1.2662π4．若函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)(A>0，ω>0，|φ|<2) 在一个周期内的图象如下图，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，→ →且OM ·ON ＝ 0，则 A ·ω等于 ()π7π7π7πA. 6B. 12C. 6D. 3答案 C分析由题中图象知T π π4 ＝－，3 12因此 T ＝ π，因此 ω＝ 2.π7π则M ，A ，N，－A12122 →→7π2由 OM ·ON ＝0，得 122＝ A ，因此 A ＝7π 7π，因此 A ·ω＝6.125．已知函数f(x)＝ sin(2x ＋φ)，此中 |φ|<π，若 πf(x) ≤|f()|对6x ∈ R恒成立，且πf(2)<f( π)，则以下结论正确的选项是( )11A ． f(12π)＝－ 17π πB ． f(10)>f(5)C ． f(x)是奇函数D ． f(x)的单一递加区间是 π π[k π－， k π＋ ](k ∈ Z )3 6 答案 D分析π ππ π π 由 f(x)≤|f( )|恒成立知 x ＝是函数的对称轴，即 2× ＋ φ＝＋ k π，k ∈ Z ，因此 φ＝＋ k π，66626ππ k ∈ Z ，又 f()<f( π)，因此 sin( ＋πφ)<sin(2＋πφ)，即－ sin φ<sin φ.因此 sin φ>0，得 φ＝，即 f(x)26π＝ sin(2x ＋6)，ππ π由－＋2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π，k ∈ Z ，2 6 2 π π得－＋k π≤x ≤ ＋ k π， k ∈ Z ，36即函数的单一递加区间是π π [k π－， k π＋ ](k ∈ Z )．36π6．已知 A ，B ，C ，D ，E 是函数 y ＝ sin(ωx＋ φ)(ω>0,0< φ<2)一个周期内的图象上的五个点，如π图所示， A(－，0)，B 为 y 轴上的点， C 为图象上的最低点， E 为该函数图象的一个对称中心， 6→ π B 与 D 对于点 E 对称， CD 在 x 轴上的投影为，则 ω， φ的值为 ()12ππA ．ω＝ 2， φ＝3B ． ω＝ 2， φ＝ 6C ． ω＝1， φ＝πD ． ω＝1， φ＝π2 326答案 A分析π 因为 A ， B ，C ，D ，E 是函数 y ＝sin( ωx＋ φ)(ω>0,0< φ< )一个周期内的图象上的五个点，2πE 为该函数图象的一个对称中心，B 与 DA(－，0)，B 为 y 轴上的点， C 为图象上的最低点，6→ππ π对于点 E 对称， CD 在 x 轴上的投影为，因此 T ＝ 4×(＋ )＝ π，因此 ω＝ 2，12126 因为ππππ πA(－， 0)，因此 f(－ )＝ sin(－＋ φ)＝0,0<φ< ， φ＝ .6 6 3 23二、填空题π7． (2014 ·安徽 )若将函数 f(x) ＝sin(2x ＋ 4) 的图象向右平移 φ个单位，所得图象对于y 轴对称，则 φ的最小正当是 ________．答案3π8分析π φ个单位获得π π∵ 函数 f(x)＝ sin(2x ＋ )的图象向右平移g(x)＝ sin[2( x －φ)＋ ] ＝ sin(2x ＋444－ 2φ)，π π又 ∵ g(x)是偶函数， ∴ － 2φ＝ k π＋(k ∈ Z )．42∴ φ＝－k π π2－ (k ∈ Z )．8当 k ＝－ 1 时， φ获得最小正当3π8.ππ π 8．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(A>0，ω>0 ，|φ|< )的部分图象如下图，若 x 1，x 2∈ (－， )，且 f(x 1)26 3＝ f( x 2)，则 f(x 1＋ x 2) ＝________.3 答案2分析察看图象可知， A ＝ 1， T ＝ π， ∴ ω＝ 2，f(x)＝ sin(2x ＋ φ)．π ππ π将 (－， 0)代入上式得sin(－＋φ)＝ 0，由已知得 φ＝，故 f(x)＝sin(2x ＋)．63 33π π 函数图象的对称轴为x ＝－ 6＋3＝ π212.π π又 x 1， x 2∈ (－， ) ，且 f(x 1)＝ f( x 2)，63 ∴ f( x ＋ xπ π π π 3× )＝ f( )＝ sin(2 ＋ )＝ .12)＝f(2×32 12 6 6π9．已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx－ 6)( ω>0) 和 g(x)＝ 3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完整同样，若 x ∈ [0，π2] ，则 f(x) 的取值范围是 ________．答案[－3， 3]2分析由两三角函数图象的对称中心完整同样，可知两函数的周期同样，故ω＝ 2，因此 f(x)＝ 3sin(2x － ππππ 5π6)，那么当 x ∈ [0， 2]时，－ 6≤2x －6≤6 ，1 π 3因此－ 2≤sin(2 x －6)≤1，故 f(x)∈ [－ 2， 3]．10．给出命题：①函数 y ＝2sin( π π1；②函数 y ＝－ x)－ cos( ＋ x)(x ∈ R )的最小值等于－3 6π πsin xcos ππx 是最小正周期为 2 的奇函数；③函数y ＝ sin(x ＋ 4)在区间 [0，2] 上单一递加的；④若 sin 2α<0， cos α－ sin α<0 ，则 α必定为第二象限角．则真命题的序号是 ________．答案 ①④ππ分析对于 ① ，函数 y ＝ 2sin(3－ x)－ cos(6＋ x)π ＝ sin( － x)，因此其最小值为－1；31对于 ②，函数 y ＝ sin πxcos πx ＝2sin 2 x π是奇函数，但其最小正周期为1；ππ π π对于 ③，函数 y ＝ sin(x ＋)在区间 [0， ]上单一递加，在区间[ ， ] 上单一递减； 444 2sin 2α<0? cos α<0 ， sin α>0，因此 α必定为第二象限角．对于 ④，由cos α－ sin α<0三、解答题π11．已知函数 f(x)＝ Asin(3 x ＋ φ)( A>0 ， x ∈ (－ ∞，＋ ∞)， 0<φ<π)在 x ＝12时获得最大值4.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求 f(x)的分析式；2π 12(3) 若 f(3α＋ 12)＝ 5 ，求 sin α.2π解(1)f(x)的最小正周期 T ＝ 3 .(2) 由函数的最大值为 4，可得 A ＝ 4.因此 f(x)＝4sin(3 x ＋ φ)．当 x ＝ππ 时， 4sin(3× ＋ φ)＝ 4，1212π因此 sin( ＋ φ)＝ 1，4π 因此 φ＝ 2k π＋，k ∈ Z ，4π因为 0<φ<π，因此 φ＝ 4.π因此 f(x)的分析式是f(x)＝ 4sin(3x ＋ 4)．2π 12(3) 因为 f(3α＋ 12)＝ 5 ，π π 3故 sin(2α＋4＋ 4)＝ 5.因此 cos 2α＝3，即 1－ 2sin 2α＝ 3，55215故 sin α＝5.因此 sin α＝ ±5 .12．设函数 f(x)＝ sin 2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－ cos 2ωx＋ λ(x ∈ R )的图象对于直线 x ＝ π对称，其中 ω， λ为常数，且 ω∈ (1， 1)．2(1) 求函数 f(x)的最小正周期；π π (2) 若 y ＝ f( x)的图象经过点 ( ， 0)，求函数f(x)在 x ∈ [0，] 上的值域．42解(1) 因为 f(x) ＝ sin 2ωx＋ 2 3sin ωx·cos ωx－ cos 2ωx＋ λ＝－ cos 2ωx＋ 3sin 2ωx＋ λ＝π2sin(2 ωx－6)＋λ，由直线 x ＝ π是 y ＝ f(x)图象的一条对称轴，可得πsin(2ωπ－ 6) ＝±1，ππ因此 2ωπ－6＝ k π＋ 2(k ∈ Z )，k 1即 ω＝ 2＋3(k ∈ Z )．又 ω∈ (1， 1)， k ∈Z ，因此 k ＝ 1，故 ω＝ 5 .26 因此 f(x)的最小正周期是 6π5 .π π (2) 由 y ＝ f( x)的图象过点 ( ， 0) ，得 f( )＝ 0，44即 λ＝－π ππ 2，2sin(5×－ )＝－ 2sin＝－6 2 64即 λ＝－2.5π故 f(x)＝ 2sin(3x －6 )－ 2，π5ππ 2π∵ x∈ [0， ] ，∴ x－∈ [－，] ，23663∴函数 f(x)的值域为 [ －1－2，2－ 2]．。

高考数学大二轮复习微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”

而 ∈
π
,
π
2
因此 sin
,所以
π
+4
所以 2sin
12
1
于是 t +t2
2
∈ -
π
+4
=
π
θ+4
∈
π
+
4
3π 5π
,
4 4
2 2
,
2 2
,
,
,
∈(-1,1),即 t∈(-1,1).
1
(t+1)2-1∈(-1,1).
2
故 sin θ+cos θ+sin θcos θ 的取值范围是(-1,1).
考查角度
角度一变角
5π
12
[例 1—1](2021·山东淄博月考)已知 θ∈(0,π),cos 6 - =-13,则 tan +
π
=
6
.
5
答案
12
解析由于
又因为 cos
π
θ∈(0,π),所以-6
5π
-
6
<
12
π
=- ,所以
13
2
因此 sin
5π
-
6
=
所以 tan
5π
-
6
5
=-12,
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值
范围是
.
答案 (-1,1)
2 -1
θ= ,于是
2

三角函数的图象和性质(小题速做,大题细做)-2022届高考数学二轮复习

(2)周期 T 定 ω.由周期的求解公式 T＝2ωπ，可得 ω＝2Tπ.记住三角函数周期 T 的相关结论：
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11
①两个相邻对称中心之间的距离等于T2；②两条相邻对称轴之间的距离等于T2；③对称中心与相邻对称轴的距离等于T4.
(3)由点的坐标定 φ.把图象上的一个已知点的坐标代入(此时 A，ω，B 已知)求解． 2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向．
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14
当 f(x)＞1 时，2cos2x－π6＞1，解得 x∈－1π2＋kπ，π4＋kπ，k∈Z，此时最小正整数 x＝3. 当 f(x)＜0 时，2cos2x－π6＜0，解得 x∈π3＋kπ，56π＋kπ，k∈Z，此时最小正整数为 2. 综上满足题意的最小正整数为 x＝2. 答案：2
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9
＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得 φ＝43π＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin－2x＋43π，但当 x＝0 时，y＝
sin－2x＋43π＝－ 23＜0，与图象不符合，舍去．综上，选 BC.
(2) 解析：先将函数
y
＝
sin
x－4π
的
图
象
向
左
平
移
π 3
个
单
位
长
度
，
得
到
函
数
y＝
sinx＋3π－π4＝sinx＋1π2的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵
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24
好题精练——练技巧、练规范 2．(多选题)(2021·湖南、河北新高考联考)已知函数 f(x)＝sin2x－π6，则下列结论正确的是( ) A．f(x)的最小正周期为 π B．f(x)的图象关于直线 x＝－67π 对称 C．f(x)在－π4，π6上单调递增 D．y＝f(x)＋fx＋4π的最小值为－ 2

高考数学二轮复习专题04 三角函数的图像与性质(解析版)

2、判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式；
3、求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解。
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，
则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.
题型二求的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
【答案】A
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．
4、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为（）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，
，．
例2、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则f 的值为________．

高考数学二轮复习小题专项练习三三角函数的图像与性质文

小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质上的最小值是( )A ．1－ 2B ．0C ．1D ．27．[2018·南昌二中模拟]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋328．[2018·福建高中毕业班适应性练习]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 9．[2018·莆田一中月考]设ω>0，函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5图象重合，则ω的最小值是( ) A.12 B.32 C.52 D.7210．[2018·广东阳春一中月考]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16＋2k ，56＋2k ，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k π，16＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋2k ，56＋2k ，k ∈Z 11．[2018·南宁二中月考]将曲线C 1：y ＝sin x －π6上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π2个单位长度，得到曲线C 2：y ＝g (x )，则g (x )在[－π，0]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，0 D ．[－π，0] 12．[2018·安徽池州一中月考]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则ω的值为( )A.23B.23或2 C.13 D ．1或13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．13．[2018·江苏数学模拟]将函数f (x )＝tan x ＋π4图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到函数g (x )的图像，若g (x 0)＝2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4的值是________． 14．[2018·学海大联考]若函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是132，则m 的值是________．15．[2018·云南高三第八次月考]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的部分图像如图所示，若图中在点A ，D 处f (x )取得极大值，在点B ，C 处f (x )取得极小值，且四边形ABCD 的面积为32，则ω的值是________．16．[2018·河北衡水月考]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，则实数ω的最小值为________．。

2022年高考数学二轮复习强化训练 4三角函数的图象与性质

强化训练4 三角函数的图象与性质——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω∈R )的最小正周期为π，则实数ω＝( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±12．函数y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到函数y ＝2sin 2x 图象，则f (x )的表达式为( )A ．2cos 4xB ．－2cos xC ．－2sin 4xD ．2sin x3．古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A ．ω＝3，φ＝π6B ．ω＝6，φ＝π3C ．ω＝3，φ＝π4D ．ω＝6，φ＝5π64．已知函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ()ω>0 的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0 对称B ．关于直线x ＝π8 对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0 对称 D ．关于直线x ＝π3对称 5．已知函数f ()x ＝cos ()ωx ＋φ ⎝⎛⎭⎫ω>0，||φ<π2 的图象如图所示，为了得到y ＝cos ωx 的图象，只需把y ＝f ()x 的图象上所有点( )A.向左平移π12 个单位长度B ．向右平移π12 个单位长度C ．向左平移π6 个单位长度D ．向右平移π6个单位长度6．[2021·辽宁沈阳三模]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2 <φ<π2)的部分图象如图所示，B ，D 两点为函数f (x )图象上的一个最高点和一个最低点，直线BC ，DE 与x 轴垂直，四边形BCDE 为边长为4的正方形，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4 B. f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 C ．f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋3π4 D. f (x )＝3 sin ⎝⎛⎭⎫π4x －3π47．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值是( )A ．13B ．1C ．53D ．238．已知函数g (x )＝3 sin (ωx ＋φ)，g (x )图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到f (x )的图象，f (x )的部分图象如图所示，若AB → ·BC → ＝||AB→ 2，则ω等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2021·河北秦皇岛二模]已知函数f (x )＝cos ωx －3 sin ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )A ．ω＝2B ．函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12 (k ∈Z )C ．函数f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫7π12，0 中心对称D ．函数f (x )的图象可由y ＝2cos ωx 图象向右平移π6 个单位长度得到10. [2021·石家庄二模]设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 的图象为曲线E ，则( ) A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，则||x 1－x 2 的最小值为π211．[2021·广东大联考]将函数f (x )＝sin (ωx ＋π6 )(ω∈N *)的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若f (x )的所有对称中心与g (x )的所有对称中心重合，则ω可以为( )A ．3B ．6C ．9D ．1212．[2021·山东德州二模]已知函数f (x )＝A cos (x ＋φ)＋1(A >0，|φ|<π2)，若函数y ＝|f (x )|的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6 对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－5π6，1 对称 C ．将函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位可得函数f (x )的图象D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0 上的值域为[3 ＋1，3] 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2021·广东大联考]写出一个最小正周期为2的偶函数f (x )＝__________．14．已知函数y ＝sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．15．若函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12 ，则新图象对应的函数解析式是________________．16．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝4，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则g (x )＝________，x 1－2x 2的最大值为________．1．解析：因为f ()x ＝sin ωx －cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4 ，所以f （x ）的最小正周期T ＝2π||ω ＝π，解得ω＝±2.故选C. 答案：C2．解析：函数y ＝f （x ）的图象向左平移π4个单位，然后横坐标变为原来的2倍，得到f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ，即f ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4 ＝2sin 2x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－π ， ∴f ()x ＝2sin ()4x －π ＝－2sin 4x ，故选C. 答案：C3．解析：由图象知，T ＝2⎝⎛⎭⎫1112π－712π ＝2π3， ∴2πω ＝2π3，则ω＝3. 又A sin ⎝⎛⎭⎫3×7π12＋φ ＝0，sin ⎝⎛⎭⎫74π＋φ ＝0， ∴74π＋φ＝2k π（k ∈Z ），由φ∈（0，π），得φ＝π4.故选C. 答案：C4．解析：∵函数f ()x ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ()ω>0 的最小正周期为2πω＝π，∴ω＝2，∴f ()x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ，令x ＝π3 ，求得f ()x ＝sin 11π12 ≠0，且f ()x 不是最值，故A 、D 错误；令x ＝π8 ，求得f ()x ＝2 ，为最大值，故函数f ()x 的图象关于直线x ＝π8对称，故B正确，C 错误；故选B. 答案：B5．解析：由图象可知：T 4 ＝7π12 －π3 ＝π4 ⇒T ＝π，则ω＝2πT＝2，所以f ()x ＝cos ()2x ＋φ ，将点⎝⎛⎭⎫π3，0 代入解析式可得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝0，由图象可知：2π3 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又||φ <π2 ，所以令k ＝0，φ＝－π6所以f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，只需将函数f ()x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 向左平移π12个单位长度则可得到y ＝cos 2x 的图象，故选A. 答案：A6．解析：由题意有A ＝2，T ＝2πω ＝8，可得ω＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ ，f （0）＝2sin φ＝2 ，有sin φ＝22 ，又由－π2 <φ<π2 ，得φ＝π4，有f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4 . 故选B. 答案：B7．解析：函数f （x ）＝sin ωx （其中ω>0）的图象向右平移π4个单位长度，可得y ＝sinω⎝⎛⎭⎫x －π4 ，因为平移后的函数图象关于直线x ＝π对称，所以ω⎝⎛⎭⎫π－π4 ＝π2 ＋k π()k ∈Z ，则ω＝23 ＋43k ()k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值是23.故选D. 答案：D8．解析：根据AB → ·BC → ＝||AB → 2⇒||AB → ||BC → cos ()180°－∠ABC ＝||AB→ 2 ⇒－2cos ∠ABC ＝1，可得cos ∠ABC ＝－12，故∠ABC ＝120°，所以AD ＝6，故g （x ）的周期为24，所以2πω ＝24，ω＝π12，故选A. 答案：A9．解析：f （x ）＝cos ωx －3 sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 ，由图象得：3T4 ＝π3 －⎝⎛⎭⎫－5π12 ＝3π4，故T ＝π＝2πω，故ω＝2，故A 正确；令2k π－π≤2x ＋π3 ≤2k π得：k π－2π3 ≤x ≤k π－π6，故函数f （x ）的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6 （k ∈Z ），故B 错误； ∵f ⎝⎛⎭⎫7π12 ＝0，故C 正确；∵f （x ）的图象可由y ＝2cos ωx 图象向左平移π6个单位长度得到，故D 错误；故选AC. 答案：AC10．解析：A ：曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π＋π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ，显然该函数的图象与曲线E 不重合，故A 不正确；B ：由曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ，故B 正确；C ：因为f ⎝⎛⎭⎫－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－π3 ＝－1≠0，所以点⎝⎛⎭⎫－π12，0 不是该函数的对称中心，故C 不正确；D ：由f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝0，可得2x －π3 ＝k π（k ∈Z ）⇒x ＝k π2 ＋π6（k ∈Z ），因为f ()x 1 ＝f ()x 2 ＝0，所以x 1＝k 1π2 ＋π6 （k 1∈Z ），x 2＝k 2π2 ＋π6（k 2∈Z ），所以||x 1－x 2 ＝π2||k 1－k 2 ，因为x 1≠x 2，k 1，k 2∈Z ，所以||k 1－k 2 的最小值为1，即||x 1－x 2 的最小值为π2，故D 正确，故选BD. 答案：BD11．解析：将函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 （ω∈N *）的图象向右平移π6个单位后得到函数y ＝g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π6 的图象，若f （x ）的所有对称中心与g （x ）的所有对称中心重合，故f （x ）的图象和g （x ）的图象相差半个周期的整数倍， ∴π6 ＝k ·12 ·2πω ＝k ·πω ，即ω＝6k ，k ∈Z ，则ω可等于6，12，故选BD. 答案：BD12．解析：结合函数 y ＝|f （x ）|的图象易知，函数f （x ）的最大值3，最小值为－1, 则A ＝2，f （x ）＝2cos （x ＋φ）＋1，代入点（0，2），则2cos φ＋1＝2，cos φ＝12 ，因为|φ|<π2 ，所以φ＝π3，f （x ）＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1， x ＋π3 ＝k π（k ∈Z ），即x ＝－π3 ＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于x ＝－π3＋k π（k ∈Z ）对称，A 不符合题意；x ＋π3 ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），即x ＝π6＋k π（k ∈Z ），函数f （x ）关于点⎝⎛⎭⎫π6＋k π，1 （k ∈Z ）对称，B 符合题意；函数y ＝2sin x ＋1的图象向左平移5π6个单位，得出f （x ）＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π6 ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π2 ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＋1，C 符合题意；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0 时，x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3 ，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ∈⎣⎡⎦⎤12，1 ，f （x ）∈[2，3]，D 不符合题意．故选BC. 答案：BC13．解析：根据题意，要求函数是最小正周期为2的偶函数，可以联想余弦函数，则f （x ）＝cos （πx ），答案：cos （πx ）（答案不唯一）14．解析：由函数y ＝sin （2x ＋φ）⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ ＝±1.因为－π2 <φ<π2 ，所以π6 <2π3 ＋φ<7π6 ，则2π3 ＋φ＝π2 ，φ＝－π6. 答案：－π615．解析：函数y ＝cos x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到的图象的对应函数的解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ，再将该图象上的每个点的纵坐标不变，将横坐标缩小为原来的12，得到新图象对应的函数解析式是y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 .答案：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 16．解析：将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象向右平移π3 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋π6 ＋1＝－cos 2x ＋1的图象，故g （x ）的最大值为2，最小值为0，若g （x 1）g （x 2）＝4，则g （x 1）＝g （x 2）＝2，即cos 2x 1＝cos 2x 2＝－1.又x 1，x 2∈[－2π，2π]，∴2x 1，2x 2∈[－4π，4π]，要使x 1－2x 2取得最大值，则应有2x 1＝3π，2x 2＝－3π，此时x 1－2x 2的最大值为3π2 ＋3π＝9π2.答案：－cos 2x ＋1 9π2。

2021年高考数学二轮复习三角函数的图象与性质专题训练(含解析)

2021年高考数学二轮复习三角函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 cos α＝－4－42＋32＝－45.答案 D2．(xx·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只需把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．答案 A3．(xx·北京东城一模)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)错误!sin 错误!＝sin 错误!是偶函数，即错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.答案 C4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.答案 D5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴直线x ＝π12为函数图象的对称轴．故选B.答案 B6．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析由已知得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案 C 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案－798．(xx·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解．由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案π69．(xx·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π，记T 为最小正周期，则12T ≥π2－π6⇒T ≥23π，从而712π－π3＝T4，故T ＝π.答案 π 三、解答题10．(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 11．(xx·山东菏泽一模)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3，由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin2x ＋1. 令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.B 级——能力提高组1．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数解析 f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图象关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．答案 B2．(xx·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令t ＝sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1是减函数，∴对称轴t ＝a 4≤12，∴a ≤2.答案 (－∞，2]3．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温． 36014 8CAE 貮33058 8122 脢39755 9B4B 魋21980 55DC 嗜34759 87C7 蟇 30825 7869 硩f33504 82E0 苠 ?" y。

2020版高考数学大二轮复习专题一小题考法课二三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质[课时跟踪检测]［错误!级-—基础小题提速练]一、选择题1．函数f（x）＝tan错误!的单调递增区间是（) A.错误!（k∈Z）B。

错误!（k∈Z)C。

错误!(k∈Z）D。

错误!(k∈Z）解析：选B 由kπ－π2<2x－错误!<kπ＋错误!(k∈Z)得，错误!－错误!〈x<错误!＋错误!（k∈Z）,所以函数f(x)＝tan2x－错误!的单调递增区间为错误!－错误!，错误!＋错误!(k∈Z)，故选B。

2．（2019·杭州四中高考仿真）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ)(ω＞0)，则f(x)的奇偶性（)A．与ω有关，且与φ有关B．与ω有关，但与φ无关C．与ω无关，且与φ无关D．与ω无关,但与φ有关解析：选D 若函数f（x)＝sin(ωx＋φ）为奇函数，则f（0)＝sin(0＋φ)＝0，即φ＝kπ，k∈Z；若函数f（x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则f （0）＝sin(0＋φ)＝±1，即φ＝错误!＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)＝sin （ωx＋φ）的奇偶性与ω无关,但与φ有关，故选D。

3.函数f(x）＝sin（ωx＋φ）x∈R，ω>0,｜φ|〈错误!的部分图象如图所示，则函数f(x）的解析式为( ) A．f(x）＝sin错误!B．f(x）＝sin错误!C．f（x）＝sin错误!D．f(x)＝sin错误!解析：选A 由题图可知，函数f(x)的最小正周期为T＝错误!＝错误!×4＝π,所以ω＝2，即f（x）＝sin(2x＋φ)．又函数f（x）的图象经过点错误!，所以sin错误!＋φ＝1，则错误!＋φ＝2kπ＋错误!(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋错误!（k∈Z）,又｜φ|〈错误!，所以φ＝错误!,即函数f（x）＝sin2x ＋错误!，故选A.4．(2019·宁波模拟)将函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是（)A．x＝错误!B．x＝－错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：选A 将函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位长度，可得y＝sin错误!＝sin错误!的图象，令2x＋错误!＝kπ＋错误!，求得x＝错误!＋错误!，k∈Z，可得所得函数图象的对称轴方程为x＝错误!＋错误!,k∈Z，令k＝1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x＝错误!,故选A。

高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质(含解析)

高考数学复习专题训练—三角函数的图象与性质一、单项选择题1.(2021·山东青岛一模)已知角θ终边上有一点P(tan4π3,2sin(-17π6)),则cos θ的值为()A.12B.-12C.-√32D.√322.(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数f(x)=7sin x-π6单调递增的区间是()A.(0,π2) B.(π2,π) C.(π,3π2) D.(3π2,2π)3.(2021·山西临汾一模)已知θ=π3,则下列各数中最大的是()A.sin(sin θ)B.sin(cos θ)C.cos(sin θ)D.cos(cos θ)4.(2021·浙江金华期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)的图象经过点(π24,0),一条对称轴方程为x=π6,则函数f(x)的周期可以是()A.3π4B.π2C.π4D.π125.(2021·广东广州月考)将函数f(x)=sin(2x+θ)(-π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,√32),则φ的值可以是()A.3π2B.5π6C.π2D.π66.(2021·山东日照期末)已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有6个零点,则实数ω的取值范围为()A.[176,+∞) B.(176,+∞) C.[176,103) D.(176,103)7.(2021·江西临川期末)函数f(x)=x-1x ·cos(π2x)的大致图象可能为()8.(2021·湖北荆门模拟)已知函数f (x )=a sin 2x-b sin 2x (a>0,b>0),若f (π2)=f (5π6),则下列结论正确的是( )A.f (0)<f (12)<f (1)B.f (0)<f (1)<f (12)C.f (12)<f (1)<f (0)D.f (1)<f (12)<f (0)二、多项选择题9.(2021·山西太原月考)已知函数f (x )=2(2|cos x|+cos x )sin x ,则下列结论错误的是( ) A.当x ∈[0,3π2]时,f (x )∈[0,3] B.函数f (x )的最小正周期为π C.函数f (x )在区间[π,5π4]上单调递减 D.函数f (x )的对称中心为(2k π,0)(k ∈Z )10.(2021·辽宁锦州模拟)已知ω>13,函数f (x )=sin (2ωx -π3)在区间(π,2π)上没有最值,则下列结论正确的是( )A.f (x )在区间(π,2π)上单调递增B.ω∈[512,1124]C.f (x )在区间[0,π]上没有零点D.f (x )在区间[0,π]上只有一个零点三、填空题11.(2021·四川绵阳期中)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos 215°),则α=.12.(2021·海南海口中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在区间(0,4π3)上单调递增,在区间(4π3,2π)上单调递减,则ω=.13.(2021·河北石家庄期中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π3)满足f(x+π)=f(x),f(π12)=1,则f(-π12)的值等于.14.(2021·浙江金华月考)已知函数f(x)=sin 4x-2cos 4x,若对任意的x∈R都有f(x)≥f(x0),则f(x0+π8)=.答案与解析1.D 解析因为tan 4π3=tan (π+π3)=tan π3=√3,sin (-17π6)=sin (-2π-π+π6)=sin (-π+π6)=-sin π-π6=-sin π6=-12,所以2sin (-17π6)=-1,所以P (√3,-1).所以cos θ=√3√(√3)2+(-1)=√32. 2.A 解析由x-π6∈[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ,得x ∈[-π3+2kπ,2π3+2kπ],k ∈Z .当k=0时,得函数f (x )=7sin (x -π6)的单调递增区间为[-π3,2π3],∵(0,π2)∈[-π3,2π3],∴(0,π2)是函数f (x )的一个单调递增区间.故选A . 3.D 解析当θ=π3时,sin θ=√32,cos θ=12,则sin(sin θ)=sin √32=cos (π2-√32),sin(cos θ)=sin 12=cos (π2-12),cos(sin θ)=cos √32,cos(cos θ)=cos 12,∵0<12<π2−√32<√32<π2−12<π,且函数y=cos x 在区间(0,π)上单调递减, ∴cos 12>cos (π2-√32)>cos √32>cos (π2-12),∴最大的是cos 12,即最大的是cos(cos θ).4.B 解析由题意得π6−π24=2k+14T (k ∈Z ),则T=π4k+2(k ∈Z ).结合四个选项可知,只有选项B 符合.5.B 解析依题意g (x )=sin[2(x-φ)+θ]=sin(2x+θ-2φ),因为f (x ),g (x )的图象都经过点P (0,√32),所以{sinθ=√32,sin (θ-2φ)=√32,因为-π2<θ<π2,所以θ=π3,θ-2φ=π3+2k π或θ-2φ=2π3+2k π(k ∈Z ),即φ=-k π或φ=-k π-π6(k ∈Z ).结合四个选项可知,只有选项B 符合.6.C解析令f(x)=0,即ωx+π3=kπ(k∈Z),故x=-π3ω+kπω(k∈Z),又ω>0,可知在区间[0,2π]上,从左到右f(x)的第1个零点为x1=-π3ω+πω=2π3ω,而第6个零点为x6=-π3ω+6πω=17π3ω,第7个零点为x7=-π3ω+7πω=20π3ω,故17π3ω≤2π<20π3ω,解得176≤ω<103.7.A解析函数f(x)=(x-1x )cos(π2x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-x-1-x)cos(-πx2)=-(x-1 x )cos(πx2)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除B,C选项;当0<x<1时,x-1x=x2-1x<0,0<πx2<π2,则cos(πx2)>0,所以f(x)<0,排除D选项.8.B解析由题意得f(x)=a sin 2x-b1-cos2x2=√a2+b24·sin(2x+φ)-b2(其中tanφ=b2a,0<φ<π2).令g(x)=sin(2x+φ),由f(π2)=f(5π6),得g(π2)=g(5π6),则g(π2+5π62)=±1,即sin(4π3+φ)=±1,解得φ=-5π6+kπ,k∈Z,∴φ=π6,∴g(x)=sin(2x+π6).故g(0)=12,g(1)=sin(2+π6)>sinπ6=12,又函数g(x)的图象关于直线x=π6对称且函数g(x)在区间[0,π6]上单调递增,π6−12<1-π6,∴g(12)>g(1),于是g(0)<g(1)<g(12),从而f(0)<f(1)<f(12).9.ABD解析依题意f(x)={3sin2x,-π2+2kπ≤x<π2+2kπ,-sin2x,π2+2kπ≤x<3π2+2kπ(k∈Z),画出函数f(x)的大致图象如图所示.由图象知,当x ∈[0,3π2]时,f (x )∈[-1,3],故A 错误;函数f (x )的最小正周期为2π,故B 错误;函数f (x )在区间[π,5π4]上单调递减,故C 正确;函数f (x )的对称中心为(k π,0)(k ∈Z ),故D 错误.10.BD 解析由函数f (x )=sin (2ωx -π3)在区间(π,2π)上没有最值,得2k π-π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2k π+π2,或2k π+π2≤2ωπ-π3<4ωπ-π3≤2k π+3π2,k ∈Z ;解得k-112≤ω≤k 2+524,或k+512≤ω≤k2+1124,k ∈Z ,由T2≥2π-π=π,得T ≥2π,即2π2ω≥2π,则ω≤12.又ω>13,所以13<ω≤12.所以可取k=0,得ω∈[512,1124],且f (x )在区间(π,2π)上单调递减;所以A 错误,B 正确;当x ∈[0,π]时,2ωx-π3∈[-π3,2ωπ-π3],且2ωπ-π3∈[π2,7π12],所以f (x )在区间[0,π]上只有一个零点,所以C 错误,D 正确. 11.235° 解析由三角函数的定义可得cos α=√sin 2215°+cos 2215°=sin 215°=cos235°,sin α=√sin 2215°+cos 2215°=cos 215°=sin 235°,所以α=235°.12.12 解析由题意f (4π3)=sin (4π3ω-π6)=1⇒4π3ω-π6=2k π+π2(k ∈Z )⇒ω=32k+12(k ∈Z ),若k>0,则ω≥2,T ≤π与已知矛盾;若k<0,ω<0,与已知不符,当k=0时,得ω=12满足题意. 13.-12 解析设f (x )的最小正周期为T ,因为f (x+π)=f (x ),所以nT=π(n ∈N *),所以T=πn =2πω(n ∈N *),所以ω=2n (n ∈N *),又f (π12)=1,所以当x=π12时,ωx+φ=n ·π6+φ=π2+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以φ=π2+2k π-n ·π6(n ∈N *,k ∈Z ),因为0<φ<π3,所以0<π2+2k π-n ·π6<π3(n ∈N *,k ∈Z ),整理得1<n-12k<3(n ∈N *,k ∈Z ),因为n-12k ∈Z (n ∈N *,k ∈Z ),所以n-12k=2(n ∈N *,k ∈Z ),所以φ=π2+2k π-(2+12k )·π6=π6(k ∈Z ),则n ·π6+π6=π2+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以nπ6=π3+2k π(n ∈N *,k ∈Z ),所以f (-π12)=sin [2n ·(-π12)+π6]=sin -nπ6+π6=sin (-π3-2kπ+π6)=sin (-π6)=-12(n ∈N *,k ∈Z ).14.0 解析由于f (x )=sin 4x-2cos 4x=√5sin(4x-φ)(其中tan φ=2),所以函数f (x )的最小正周期T=2π4=π2,而f (x )≥f (x 0),因此f (x )在x=x 0处取得最小值,而x 0+14T=x 0+π8,所以点(x 0+π8,0)是f (x )图象的对称中心,故f x 0+π8=0.。

高考数学大二轮复习专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质复习指导课后强化训练-人

专题三第一讲A 组1．(2017·某某模拟)已知sin φ＝35，且φ∈(π2，π)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f (π4)的值为导学号 52134381( B )A ．－35B ．－45C ．35D ．45[解析] 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f (π4)＝sin(2×π4＋φ)＝cos φ＝－1－sin 2φ＝－45．2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为导学号 52134382( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z[解析] 由五点作图知，⎩⎪⎨⎪⎧14ω＋φ＝2k π＋π2，54ω＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，可得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D ．3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f (π8＋t )＝f (π8－t )，且f (π8)＝－3，则实数m 的值等于导学号 52134383( C )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1[解析] 依题意得，函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，于是x ＝π8时，函数f (x )取得最值，因此有±2＋m ＝－3，∴m ＝－5或m ＝－1，选C ．4．函数y ＝cos(x ＋π2)＋sin(π3－x )具有性质导学号 52134384( B )A ．最大值为1，图象关于点(π6，0)对称B ．最大值为3，图象关于点(π6，0)对称C ．最大值为1，图象关于直线x ＝π6对称D ．最大值为3，图象关于直线x ＝π6对称[解析] y ＝－sin x ＋32cos x －12sin x ＝－3(32sin x －12cos x )＝－3sin(x －π6)， ∴最大值为3，图象关于点(π6，0)对称．5．(2017·某某测试)设x 0为函数f (x )＝sin πx 的零点，且满足|x 0|＋f (x 0＋12)<33，则这样的零点有导学号 52134385( C )A ．61个B ．63个C ．65个D ．67个[解析] 依题意，由f (x 0)＝sin πx 0＝0，得πx 0＝k π，k ∈Z ，x 0＝k ，k ∈Z .当k 是奇数时，f (x 0＋12)＝sin[π(k ＋12)]＝sin(k π＋π2)＝－1，|x 0|＋f (x 0＋12)＝|k |－1<33，|k |<34，满足这样条件的奇数k 共有34个；当k 是偶数时，f (x 0＋12)＝sin[π(k ＋12)]＝sin(k π＋π2)＝1，|x 0|＋f (x 0＋12)＝|k |＋1<33，|k |<32，满足这样条件的偶数k 共有31个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65个．故选C ．6．(2017·某某市高三一模)已知函数f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)的图象关于原点对称，其中φ∈(0，π)，则φ＝__π6__.导学号 52134386[解析] 本题主要考查三角函数的奇偶性，诱导公式．因为f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)的图象关于原点对称，所以函数f (x )＝2sin(π＋x )sin(x ＋π3＋φ)为奇函数，则y ＝sin(x ＋π3＋φ)为偶函数，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6．7．如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f (x )＝sin x ＋cos x; ②f (x )＝2(sin x ＋cos x )； ③f (x )＝sin x; ④f (x )＝2sin x ＋2．其中为“互为生成”函数的是__①④__.(填序号).导学号 52134387 [解析] 首先化简题中的四个解析式可得：①f (x )＝2sin(x ＋π4)，②f (x )＝2sin(x ＋π4)，③f (x )＝sin x ，④f (x )＝2sin x ＋2，可知③f (x )＝sin x 的图象要与其他的函数图象重合，单纯经过平移不能完成，必须经过伸缩变换才能实现，所以③f (x )＝sin x 不能与其他函数成为“互为生成”函数，同理①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象与②f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象也必须经过伸缩变换才能重合，而④f (x )＝2sin x ＋2的图象向左平移π4个单位，再向下平移2个单位即可得到①f (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．8．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .导学号 52134388(1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值．[解析] (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4) 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22．(2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1．因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4)，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16．9．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：导学号 52134389(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．[解析] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，则g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ．令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g (x )的图象关于点(5π12，0)成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ．由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6．B 组1．(2016·某某卷)为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点导学号 52134390( D )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度[解析] 因为y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向右平行移动π6个单位长度即可，故选D ．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是导学号 52134391( B )A ．(π3，1)B ．(π12，0)C ．(5π12，0)D ．(－π12，0)[解析] 由题意知T ＝π，∴ω＝2，由函数图象关于直线x ＝π3对称，得2×π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝－π6＋k π(k∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝A sin(2x －π6)，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝π12＋k2π(k ∈Z )．∴一个对称中心为(π12，0)，故选B ．3．已知函数f (x )＝1＋cos2x －2sin 2(x －π6)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是导学号 52134392( D )A ．f (x )是最小正周期为π的偶函数B ．f (x )的一条对称轴是x ＝π3C ．f (x )的最大值为2D ．将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π6得到函数f (x )的图象[解析] f (x )＝cos2x ＋cos(2x －π3)＝cos2x ＋12cos2x ＋32sin2x＝3sin(2x ＋π3)，故选D ．4．(2017·某某一模)定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移5π6个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是导学号 52134393( B )A ．15B ．1C ．115D ．2[解析] 本题主要考查三角函数的图象和性质．由题意可得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos(ωx ＋π6)，将函数f (x )的图象向左平移5π6个单位后得到g (x )＝2cos[ω(x ＋5π6)＋π6]＝2cos[ωx ＋5ω＋1π6]的图象，g (x )为偶函数，所以5ω＋1π6＝k π，k ∈Z ，所以ω的最小值是1，故选B ．5．给出下列四个命题：①f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ；②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)在[－π2，π2]上是增函数．其中正确命题的个数是导学号 52134394( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin(2x －π4)的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，故①正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)知，函数的最大值为2，故②正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin(x ＋π4)的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示，则函数f (x )的解析式为__f (x )＝2sin(π4x ＋π4)__.导学号 52134395[分析] 观察图象，由最高点与最低点确定A ，由周期确定ω，由特殊点的坐标确定φ．[解析] 由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，所以ω＝π4，得f (x )＝2sin(π4x ＋φ)．由对应点得当x ＝1时，π4×1＋φ＝π2⇒φ＝π4．所以f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值X围是__[12，54]__.导学号 52134396[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在(π2，π)上单调递减，故(π2，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12<2k ＋54，解得k <38．由ω>0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值X 围为[12，54]．8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x ，x ∈R .导学号 52134397(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)∵f (x )＝sin2x ·cosπ3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x sin π3＋cos2x ＋1＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π．(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1．∵x ∈[－π4，π4]，∴令2x ＋π4＝π2得x ＝π8，∴f (x )在区间[－π4，π8]上是增函数；在区间[π8，π4]上是减函数，又∵f (－π4)＝0，f (π8)＝2＋1，f (π4)＝2，∴函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2＋1，最小值为0．9．(2017·某某质检)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .导学号 52134398(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，某某数m 的最大值．[解析] (1)因为tan θ＝2，所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝sin θcos θ＋12(2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋cos 2θ－12＝sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ－12 ＝tan θ＋1tan 2θ＋1－12＝110． (2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)．依题意，得g (x )＝22sin[2(x －π4)＋π4]，即g (x )＝22sin(2x －π4)．因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈[－π4，2m －π4]，又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以2m －π4≤π2，即m ≤3π8，故实数m 的最大值为3π8．。

高三数学二轮复习专题三三角函数的图象与性质试题

专题三三角函数的图象与性质创作人：历恰面日期： 2020年1月1日【根本训练】 1、函数y =|sin x |的单调增区间是 .2、为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+63πx ，x∈R 的图象，只需把函数y =2sinx ，x ∈R 的图象上所有的点横坐标，得到，再3、〔2021·全国Ⅱ理，8〕假设动直线x=a 与函数f(x)=sinx 和g(x)=cosx 的图象分别交于M 、N 两点，那么|MN|的最大值为 .4、设函数y=acosx+b 〔a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么y=acosx+bsinx 的最大值是5、将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移6π后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是。

.6、定义在(-1,1)上的函数x x f sin )(=,假如0)1()1(2>-+-a f a f ,那么实数a 的取值范围为_______________【例题精讲】例1、假设函数sin()y A x ωϕ=+的图象〔局部〕如下图，〔1〕试求它的解析式1()f x 、周期和振幅；〔2〕求与1()f x 图象关于直线136x π=对称的曲线的解析式2()f x ；〔3〕作出函数12()()y f x f x =+的简图.例题2、求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．训练〔1〕(0,)x π∈，求函数23sin 13sin y θθ=+的最大值；〔2〕(0,)x π∈，求函数2sin sin y x x =+的最小值例3．函数.3cos )4cos()4sin(32sin )(22---++=x x x x x f ππ 〔I 〕求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；〔II 〕求函数)(x f 在]32,12[ππ-上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值。

★例4．函数xx x x f 2cos 1cos 3cos 2)(24+-=,试求该函数的定义域,值域,单调增区间,,并判断它的奇偶性.例题5、设函数)0(cos sin 32cos 2)(2>+•-=m n x x m x m x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π,值域为[1,4].(1)求n m ,的值;(2)假设2)(=x f ,求x 的值.．例6. 向量2(2cos sin )(sin cos )(3)a ααb ααx a t b =-=+-，2，=，，， y ka b =-+，且0x y ⋅=，(1)求函数()k f t =的表达式；(2)假设[13]t ∈-，，求()f t 的最大值与最小值【课堂检测】1．函数)sin(φω+=x A y 图像的一局部如右图所示它的解析式是。

高考数学(理)二轮复习规范答题示例：三角函数的图象与性质(含答案)

高考数学（理）二轮复习规范答题示例：三角函数的图象与性质（含答案）规范答题示例4 三角函数的图象与性质典例4 (12分)已知m ＝(cos ωx ，3cos(ωx ＋π))，n ＝(sin ωx ，cos ωx )，其中ω>0，f (x )＝m·n ，且f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－34，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．审题路线图 (1)f (x )＝m·n ―――――→数量积运算辅助角公式得f (x )――→对称性周期性求出ω――――――→()2f =α和差公式cos α(2)y ＝f (x )―――→图象变换y ＝g (x )―――→整体思想g (x )的递增区间评分细则 (1)化简f (x )的过程中，诱导公式和二倍角公式的使用各给1分；如果只有最后结果没有过程，则给1分；最后结果正确，但缺少上面的某一步过程，不扣分；(2)计算cos α时，算对cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3给1分；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3计算sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3时没有考虑范围扣1分；(3)第(2)问直接写出x 的不等式没有过程扣1分；最后结果不用区间表示不给分；区间表示式中不标出k ∈Z 不扣分；没有2k π的不给分．跟踪演练4 (2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。

2020届高考数学二轮复习专题《三角函数图象与性质问题》

专题12 三角函数图象与性质问题函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中基本量的计算是研究函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)性质的基础，在历年大型模拟以及高考中均以中低档题的形式出现，要求做到熟练应用.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，且A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图12-1所示．图12-1(1)则A ，ω，φ的值分别为________；________；________； (2)设θ为锐角，且f (θ)＝－353，则f ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为________．本题考查函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象变换及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与性质的应用，解题思路：先根据所给变换或所给图象的一部分求出函数表达式，然后利用求出的表达式求研究函数性质，求解相关问题(如求参数).函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图12-2所示，则ω＝________，φ＝________.图12-2已知函数 f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6(A ＞0，x ∈R )的最小值为－2.若函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，则φ的最小值为________．(2020·常州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1,0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．(2020·南京模拟)设函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)，其中ω＞0.若函数f (x )在[0,2π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω＞0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝____.已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)则函数f (x )的单调递增区间为________．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，则b 的最小值为________.(1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )；(2)59π12f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，∴2π2ω＝π得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可．所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.平移后得到函数g (x )＝2sin2x ＋1.当y ＝2sin2x ＋1＝0时，sin2x ＝－12，由于每个周期内有两个零点，那么可知，b min ＝x 10，其中x 10∈⎝⎛⎭⎫92π，5π. 即2x 10∈(9π，10π)，sin2x 0＝－12，解得2x 10＝10π－π6＝59π6，所以b min ＝x 10＝59π12.作业评价(2019·江苏二模)将函数y ＝2sin3x 的图象向左平移π12个单位长度得到y ＝f (x )的图象，则f (π3)的值为________．设函数y ＝sin(ωx ＋π3)(0<x <π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期为________．(2020·江苏模拟) 将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则以函数f (x )与g (x )的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为________.若函数f (x )＝a sin x ＋cos x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π4上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(2020·镇江模拟)将函数y ＝5sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，所得函数图象关于直线x ＝π4对称，则φ＝________.为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为________．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2，g (x )＝k (x －3)，k >0.已知当A ＝1时，函数h (x )＝f (x )－g(x)所有零点和为9.则当A＝2时，函数h(x)＝f(x)－g(x)所有零点和为________．。

高考数学二轮复习小题专项练习(三)三角函数的图像与性质理

小题专项练习(三) 三角函数的图像与性质一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·全国卷Ⅰ高考压轴卷]为得到y ＝2sin x 3＋π6的图象，只需把函数y ＝2sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)2．[2019·唐山一中强化提升考试]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足：∀x 1，x 2∈R ，当|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|min ＝π2，那么f (x )的最小正周期是( )A.π4B.π2C ．πD ．2π3．[2019·河北景县第一次月考]下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 4．[2019·辽宁重点高中第三次模拟]将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝( ) A.32 B ．－32C ．－12 D.125．[2019·丹东市高三总复习质量测试]设f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ( ) A ．是奇函数 B ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称 C ．是偶函数 D ．图象关于直线x ＝π2对称6．[2019·四川联考]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值是( ) A ．1－ 2 B ．0C ．1D ．27．[2019·江淮十校第三次联考]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将f (x )的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移5π12个单位长度D ．向右平移5π12个单位长度8．[2019·福建高中毕业班适应性练习]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 9．[2019·莆田一中月考]设ω>0，函数y ＝2cos ωx ＋π5的图象向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin 错误!图象重合，则ω的最小值是( )A.12B.32C.52D.7210．[2019·天津一中、益中学校五月考试]已知函数f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π4－2sin 2ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。