数量单项作业题【3】(最值极限问题)

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2020年广东肇庆事业单位考试行测：最简单的极值问题

2020年广东肇庆事业单位考试行测最简单的极值问题说到数学题，就不得不说极值问题，数学题目的考查一定离不开有关极值问题的考查，那么多的极值问题，今天这篇文章要给各位学员介绍的是其中的一种叫和定最值。

首先我们强调一下和定最值的概念：所谓和定最值就是几个数的和一定，求其中某个数的最大值或最小值，这样的问题就叫和定最值。

简单举个例子，a+b+c=100，求a的最小值，就属于和定最值。

那a+b+c=100，求abc的最小值，属于和定最值吗，显然不是的，求的并非是其中某个量的极值，而是乘积的最值。

了解了和定最值的概念之后，这种题具体该如何做呢?各位考生核心抓住两个主要思路：1.求某量的最小值，使其他量尽可能的大2.求某量的最大值，使其他量尽可能的小下面我们通过几个具体的例题，详细说明：例.5人参加百分制考试，成绩总和为328分，已知五人都及格了，成绩均为整数且互不相等。

(1)成绩最好的最多得了多少分?(2)成绩最好的最少得了多少分?(3)成绩排名第三的最多得了多少分?解析：(1)求成绩最好的最多得了多少，其他的剩下四位同学得的分数就要尽可能的小，又因为都及格了且为互不相等的整数，所以分别为60分、61分、62分、63分，成绩最好的最高分为328-60-61-62-63=82分。

(2)求成绩最好的最少得多少分，其他的剩下四位同学得的分数要尽可能多，那五位同学分数要尽可能接近，两两之间相差1，由此可得328÷5=65....3，按照65分进行分配，五位同学的分数分别为63、64、65、66、67，又余了3分，这3分进行分配分别分配给分数较高的三位同学，最终分数为63、64、66、67、68，得分最高的最低为68分。

(3)求成绩排名第三的最多得了多少分，其余同学的分数就要尽可能小，又因五位同学都及格了，所以第五名最少为60分，第四名最少为61分，总分为328分，还剩328-60-61=207分，排名前三的同学分数要尽可能接近，才能保证第三名是最大值，两两之间相差1,207÷3=69分，则前三名同学的分数分别为68、69、70分，第三名最多得了68分。

专题03 极值与最值问题(文理通用)(含详细答案)

专题03 极值与最值问题一、单选题1．已知函数()y f x =的定义域为()a b ，，导函数()'y f x =在()a b ，内的图象如图所示，则函数()y f x =在()a b ，内的极小值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图象如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为A ．3-B ．0C ．3D ．73．若函数3()ln f x x x =，则 A ．既有极大值，也有极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值D ．既无极大值，也无极小值4．若函数22()xx x f x e+=的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则 A ．a b a b <<+ B ．a a b b <+< C ．b a b a <+<D ．a b b a +<<5．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为A ．1B ．2C ．3D ．06．已知函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则下列结论正确的是A ．函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B ．3x =是函数()y f x =的极小值点C ．()()35f f ''<D ．()()13f f -<7．已知32()f x x px qx =++的图象与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为 A ．8，6 B ．9，6 C ．4，2D ．6，98．已知函数1ln ()e +=-x xf x x，则()f x 的最大值是 A ．1- B ．2- C ．0D ．1e -9．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为 A ．0 B ．1- C ．2D ．410．已知函数()2ln f x x a x =+的图象在(1，f （1）)处的切线经过坐标原点，则函数y =f (x )的最小值为 A ．11ln 222- B ．1ln 24+ C ．11ln 222+ D ．111．已知函数()sin xf x e a x =-在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值，则实数a 的取值范围是A ．()0,1B ．()1,eC ．()1,2eD ．31,2e π⎛⎫ ⎪⎝⎭12．若函数()221xf x e ax =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是 A ．4ea <- B ．04ea -<< C ．4e a >D ．04ea <<13．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为 A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-14．设函数,(),x xx af x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是A ．1a ≤B ．1a <C ．1a e ≤D ．1a e<15．已知函数()33f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．()f x 是偶函数 B ．1是()f x 的极小值点 C ．3是()f x 的极大值点 D ．()f x 在区间()0,1内单调递增16．已知函数1()cos 1f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导函数，则下列结论正确的个数是 ①当(1,0)x ∈-时，()0f x <；②函数()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个零点；③函数()f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极小值点A ．0B ．1C ．2D ．317．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定18．若函数32()312(0)f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x ，2x ，则()()12f x f x +的取值范围是 A ．(,16]-∞ B ．(,16)-∞ C ．(16,)+∞D ．[16,)+∞19．已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，R x ∈．记函数()f x 的最小值为M ，函数()()f f x 的最小值为N ，当M N ≥时，a 的最大值是A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题1．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A ．在()1,2上函数()f x 为增函数B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点 2．已知()1xe x x R ≥+∈，当且仅当0x =时取等号，则A ．()1()x f x x x R e=+∈的最小值为1B ．()()0xe f x x x=>的最小值为1C ．()()ln 0f x x x x =->的最小值为1D ．()1()0xf x xex =>的最小值13．下列函数最小值是2的是A ．2210()y x x x=+≠ B ．()1xx y e x R e =+∈C ．)y x R =∈D ．()210y x x x=+> 4．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是 A ．()f x 是奇函数B ．当3a=-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点三、填空题1．函数3()3f x x x =-在区间[]1,3-上的最小值为__________．2．函数21()ln 2f x x x =-的最小值为__________． 3．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是__________．4．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是__________． 5．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为__________．6．函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a b +=__________．四、双空题1．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________；()f x 的最小值为__________．2．设函数32()(3)f x x a x ax =+++，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为__________；函数()f x 的极大值点为__________． 3．曲线22y x x =+在点()1,3处的切线方程为__________，函数22y x x=+的极小值为__________．4．已知函数()ln xf x x=．（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________．5．已知l ()1n f x x a x =--，若()f x 有最值，则a 的取值范围为__________；若当2(,)x e e ∈时，()0f x ≥，则a 的取值范围为__________．五、解答题1．已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7．（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值2．已知函数3211()ln 332af x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．（1）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有2个极值点，求实数a 的取值范围． 3．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，()()(2)x g x f x x e =+-，记函数()y g x =在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，证明：3m <-．4．已知函数()()()()1ln ,1f x f x x ax x ag x x =--∈=+R .（1）当12a =-时，求()f x 的最小值；（2）当01a <≤时，()g x m ≤恒成立，求整数m 的最小值． 5．已知函数()ln bf x x a x x=-+，a ，b ∈R ．（1）若a >0，b >0，且1是函数()f x 的极值点，求12a b+的最小值；（2）若b =a +1，且存在0x ∈[1e，1]，使0()0f x <成立，求实数a 的取值范围． 6．设函数()22ln 2f x a x x =-（a R ∈）．（1）若[1,1]a ∈-，()f x 在1x =处的切线在坐标轴上的截距之和为()g a ，求()g a 的范围；（2）讨论函数()f x 的极值情况，并求出当函数()f x 的极大值为0时实数a 的值． 7．已知函数()3xxf x xe e =-．（1）求() f x 的极值；（2）若()()ln g x f x x x '=-+在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为λ，求证：()3467e fe λ---<<-．专题03 极值与最值问题一、单选题1．已知函数()y f x =的定义域为()a b ，，导函数()'y f x =在()a b ，内的图象如图所示，则函数()y f x =在()a b ，内的极小值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【试题来源】安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】A【分析】根据极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，结合图象即可求得结论．【解析】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得导函数值先负后正的点有1个．所以函数()f x 在区间(,)a b 内极小值点的个数是1．故选A ．2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图象如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为A ．3-B ．0C ．3D ．7【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考【答案】B【分析】根据极值与导数的关系判断．【解析】由()'f x 知，0x =时，(0)0f '=，30x -<<时，()0f x '>，03x <<时，()0f x '<，0是极值点．虽然有(7)0f '=，但在7的两侧，()0f x '<，7不是极值点．故选B ．3．若函数3()ln f x x x =，则 A ．既有极大值，也有极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值D ．既无极大值，也无极小值【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】B【分析】利用导数判断单调性，再判定极值即可．【解析】依题意，222()3ln (3ln 1)f x x x x x x '=+=+；令()0f x '=，解得13x e -=，故当130,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当13,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故当13x e -=时，函数()f x 有极小值，且函数无极大值，故选B ．4．若函数22()xx x f x e+=的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则 A ．a b a b <<+ B ．a a b b <+< C ．b a b a <+<D ．a b b a +<<【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文）【答案】C【分析】利用导数求函数的极值点，再比较选项．【解析】22()xx f x e-'=，当x <<()0f x '>；当x <x >()0f x '<．故22()xx xf x e +=则a =b =，所以b a b a <+<．故选C5．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．0【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期期末联考（文）【答案】A【分析】首先根据极值点为1，求得a e =，再结合函数的单调性，判断实根个数．【解析】由()'xf x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<，函数()y f x =与y a =的交点个数为1个．故选A.6．已知函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则下列结论正确的是A ．函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B ．3x =是函数()y f x =的极小值点C ．()()35f f ''<D ．()()13f f -<【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】D【分析】由图得出函数()y f x =的单调性判断ABD ，根据(3)(5)0f f ''==判断C ．【解析】当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，则函数()y f x =在(),1-∞-上是减函数，故A 错误；函数()y f x =在(1,3)-上单调递增，在(3,5)上单调递减，则3x =是函数()y f x =的极大值点，故B 错误；由图可知，(3)(5)0f f ''==，故C 错误；函数()y f x =在[]1,3-上单调递增，则()()13f f -<，故D 正确；故选D.7．已知32()f x x px qx =++的图象与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为 A ．8，6 B ．9，6 C ．4，2D ．6，9【试题来源】陕西省咸阳市武功县2021届高三下学期第二次质量检测（文）【答案】D【分析】设切点为()(),00a a ≠，根据题意得到()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，然后求导，再由f (x )极小值=-4求解．【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a=-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==．故选D.8．已知函数1ln ()e +=-x xf x x，则()f x 的最大值是 A ．1- B ．2- C ．0D ．1e -【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文）【答案】A【解析】ln 1ln e e (ln )1()1(0)x x x x x x x f x x x x++--+-==-->，设()e 1=--x g x x ，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '>，()g x 是单调递增函数，当0x <时，()0g x '<，()g x 是单调递减函数，所以min ()(0)0g x g ==，因为ln 0x x +=时有解，所以()()ln maxe ln 11101x x x x f x x+-+-=--=--=-．故选A ． 9．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为 A ．0 B ．1- C ．2D ．4【试题来源】福建省南平市2020-2021学年高二上学期期末考试【答案】B【分析】由1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，根据()01f '=，求得2a =，进而利用导数，即可求解函数的极小值，得到答案．【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯．故选B ．10．已知函数()2ln f x x a x =+的图象在(1，f （1）)处的切线经过坐标原点，则函数y =f (x )的最小值为 A ．11ln 222- B ．1ln 24+ C ．11ln 222+ D ．1【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文）【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出1a =-，从而可得()2ln f x x x =-，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值．【解析】函数()2ln f x x a x =+，则()2n 11l 11f a =+=且()2af x x x'=+，所以()12f a '=+，所以()()1011210f f a -'===+-，解得1a =-，所以()2ln f x x x =-，（0x >），()12f x x x'=-，令()0f x '≥，即120x x -≥，解得x ≥，令()0f x '<，即120x x -<，解得0x <<，所以函数在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增．所以()2min111ln 2222f x f ==-=-=+⎝⎭⎝⎭．故选C.11．已知函数()sin xf x e a x =-在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值，则实数a 的取值范围是A ．()0,1B ．()1,eC ．()1,2eD ．31,2e π⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（理）【答案】D【分析】求出导数()'f x ，由()0f x '=在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有变号的解即得．【解析】()cos '=-xf x e a x ，由题意cos 0xe a x -=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即cos xea x=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，记()cos x e g x x =，2(cos sin )()cos xe x x g x x +'=，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，(0)1g =，3323cos 3e g e ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以312e e π<<．故选D ．【名师点睛】本题考查导数与极值．函数在某个区间上有极值，则()'f x 在这个区间上有的零点，()0f x '=有解，又可转化为函数图象与直线有交点，从而再次转化为利用导数判断函数的单调性，求函数的值域．解题关键在于转化．12．若函数()221xf x e ax =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是A ．4e a <- B ．04ea -<< C ．4e a >D ．04ea <<【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】C【分析】由题意可知()4xf x e ax '=-有2个变号零点即4x e ax =有两个不等的实根，可转化为y a =与()4xeg x x=图象有两个不同的交点，对()g x 求导判断单调性，作出其图象，数形结合即可求解．【解析】因为函数()221x f x e ax =-+有两个不同的极值点，所以()4xf x e ax '=-有2个变号零点，即4x e ax =有两个不等的实根，因为0x =时显然不成立，所以0x ≠，可得4x e a x =，令()4x e g x x =，则y a =与()4xe g x x =图象有两个不同的交点即可．则()()22144164xx x x exe e g x x x--'==，所以()4x e g x x =在(),0-∞和()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，故()4x eg x x=的图象如图所示：当1x =时，()14e g =，由图知当4ea >时两个函数图象有2个不同的交点，可得原函数有两个极值点．所以实数a 的取值范围是4ea >，故选C 【名师点睛】本题解题的关键点是原函数有两个极值点等价于导函数有两个零点，令导函数等于0，该方程有2个不等的实根即可．13．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为 A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】B【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值．【解析】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'，由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln24f =-，又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-．故选B ．【名师点睛】利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．14．设函数,(),x xx af x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是A ．1a ≤B ．1a <C ．1a e ≤D ．1a e<【试题来源】江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考（理）【答案】C【分析】x a <时，()f x a <无最大值，因此x a ≥时，()xxf x e =有最大值，利用导数求解．【解析】显然x a <时，()f x a <无最大值，x a ≥时，()x x f x e =存在最大值，1()xx f x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值．1(1)f e=，因此()f x 要有最大值，必须满足11a a e ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1a e ≤．故选C ．【名师点睛】本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()f x 的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在x a ≥时求得最大值1(1)f e =，除这个最大值取得到，即1a ≥以外还有必须满足1a e≤，否则函数无最大值．15．已知函数()33f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 是偶函数B ．1是()f x 的极小值点C ．3是()f x 的极大值点D ．()f x 在区间()0,1内单调递增【试题来源】贵州新高考联盟2021届高三下学期入学质量监测（文）【答案】B【分析】利用函数解析式判断函数的奇偶性，得到A 项错误；对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的极值点，可以判断B 、C 、D 的正确性．【解析】因为()33f x x x =-，其定义域为R ，33()()3()(3)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数，所以A 项错； 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，可以得到当1x <-或1x >时，'()0f x >，当11x -<<时，'()0f x <，所以()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调增，在(1,1)-上单调减，所以1是()f x 的极小值点，1-是()f x 的极大值点，所以B 项正确，C 、D 两项都是错误的，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关函数与导数的问题，解题思路如下：（1）根据函数的解析式，结合奇函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）对函数求导，研究函数的单调性，进而求得函数的极值点以及函数在相应区间上的单调性，可判断选项的正误． 16．已知函数1()cos 1f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导函数，则下列结论正确的个数是 ①当(1,0)x ∈-时，()0f x <；②函数()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个零点；③函数()f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极小值点A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】广西南宁市第三中学2021届高三下学期开学考试（理）【答案】C【分析】先求导可证得()21()sin 01f x x x '=-+>+， (1,0)x ∈-上恒成立，则函数()f x 在(1,0)x ∈-上递增，然后根据()00f =可知所以()0f x <在(1,0)x ∈-上恒成立；当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，令()()21sin 1g x x x =-++，利用导数可证明得函数()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，然后判断端点的函数值，根据零点的存在性定理判断函数()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个零点；再根据②的结果，得出函数()f x 的单调性并判断极值点问题．【解析】对于①，因为函数1()cos 1f x x x =-+，则()21()sin 1f x x x '=-++，当(1,0)x ∈-时，()()211,1x ∈+∞+，故()()21sin 01f x x x '=-+>+在(1,0)x ∈-上恒成立，所以函数()f x 在(1,0)x ∈-上递增，又()0cos010f =-=，所以()0f x <在(1,0)x ∈-上恒成立，故①正确；对于②，由①可知，当(1,0)x ∈-时，()()21sin 01f x x x '=-+>+，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，令函数()()21sin 1g x x x =-++，则()()32cos 01g x x x '=--<+在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，故()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，又()010g =>，21sin 02212g πππ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上有一个零点，故()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点，故②正确；对于③，由②可知函数()0f x '=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，设()00f x '=，则函数()f x 在()01,x -上递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，故函数()f x 在0x x =处取得极大值，故③错．故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、极值点、零点等问题．利用导数判断函数的极值问题，分析清楚函数的单调性是关键；判断函数零点个数问题时，先求导判断函数的单调性，然后计算区间端点的函数值，通过零点的存在性定理判断即可． 17．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测【答案】A【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可．【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=，令()0f x '<，解得01x <<，令()0f x '>，解得1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，令()1x h x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->，故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001xx e =，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b =，故选A ．【名师点睛】题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题．18．若函数32()312(0)f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x ，2x ，则()()12f x f x +的取值范围是 A ．(,16]-∞ B ．(,16)-∞ C ．(16,)+∞D ．[16,)+∞【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（文）【答案】B【分析】由条件可得2()3612f x x ax '=-+，则所以23643120a ∆=-⨯⨯>，即2a >，12122,4x x a x x +=⋅=，故()()12f x f x +3424a a =-+，设()3g 424a a a =-+，求出()g a 的单调性，得出其范围，得到答案．【解析】由32()312(0)f x x ax x a =-+>，则2()3612f x x ax '=-+因为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，所以23643120a ∆=-⨯⨯>，即2a > ，12122,4x x a x x +=⋅=，()()()123232111222312312f x f x x ax x x ax x +-+-++=()()()()221211*********3212x x x x x x x a x x x x x ⎡⎤=--+-⋅++⎣⋅++⎦()()()()1212121212221233212a x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦++⋅+⋅+()()22241234824a a a a a =---+3424a a =-+ ，设()3g 424a a a =-+，则()g a '()221224122a a =-+=--，当2a >时，()g a '0<，则()g a 在()2,+∞上单调递减．所以()()g g 216a <=，所以()()12f x f x +的取值范围是(,16)-∞，故选B.【名师点睛】本题考查函数的极值相关问题，解答本题的关键是由条件得出12122,4x x a x x +=⋅=，将条件代入得到()()12f x f x +3424a a =-+，属于中档题．19．已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，R x ∈．记函数()f x 的最小值为M ，函数()()f f x 的最小值为N ，当M N ≥时，a 的最大值是A ．4B ．3C ．2D ．1【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-202学年高三上学期（2018级）第二次联考（文）【答案】D【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出M ，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用函数()f x 的单调性可求得N ，验证M N ≥是否成立，由此可求得实数a 的最大值．【解析】因为0a >，()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，所以()()211cos sin f x a x x x '=+-+-，记()()211cos sin g x a x x x =+-+-，所以()22sin cos 20g x a x x a '=+--≥>，所以，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．所以()()min 0121f x f a a ==+-=-，即1M a =-．①当10a -≤，即当1a ≤时，由上可知，函数()()ff x 的最小值为()01N f a ==-，满足M N ≥； ②当10a ->，即当1a >时，由上可知，函数()()ff x 的最小值为()1N f a =-，且()()101N f a f a M =->=-=，不合题意，综上所述，实数a 的最大值为1．故选D ．【名师点睛】本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的值域M 是解题的关键，其次就是要分10a -≤和10a ->两种情况讨论，结合函数()f x 的单调性求出复合函数()()f f x 的值域，这次解决此类问题的常用方法．二、多选题1．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A ．在()1,2上函数()f x 为增函数B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点【试题来源】河北省高碑店市高碑店一中2020-2021学年高二（励志班）上学期期末【答案】AC【分析】根据图象判断出()f x 的单调区间、极值（点）．【解析】由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'0fx >，()f x 递增；在区间()2,4上()'0f x <，()f x 递减．所以A 选项正确，B 选项错误．在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确．在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误．故选AC. 2．已知()1xe x x R ≥+∈，当且仅当0x =时取等号，则A ．()1()x f x x x R e=+∈的最小值为1B ．()()0xe f x x x=>的最小值为1C ．()()ln 0f x x x x =->的最小值为1D ．()1()0xf x xex =>的最小值1【试题来源】浙江省丽水市2020-2021学年高一上学期期末【答案】AC【分析】分别求导，判断函数单调性并求最值，判断正误．【解析】A ：()1()x f x x x R e =+∈，11()1x x xe f x e e-'=-=，函数()f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(0)1f =，A 选项正确；B ：()()0xe f x x x =>，()21()x e x f x x-'=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)f e =，B 选项错误；C ：()()ln 0f x x x x =->，11()1x f x x x'-=-=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)1f =，C 选项正确；D ：()1()0xf x xe x =>，()1211211()xxxx e f x xex e x x-'=+⋅⋅=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)f e =，D 选项错误；故选AC ．【名师点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 3．下列函数最小值是2的是A ．2210()y x x x =+≠ B ．()1xxy e x R e =+∈C ．)y x R =∈D ．()210y x x x=+> 【试题来源】辽宁省大连市2020-2021学年高三上学期期末【答案】AB【分析】根据均值不等式等号成立的条件判断ABC ，利用导数的极值判断D 即可求解．【解析】2210()2y x x x =+≥=≠，当且仅当221x x =，即1x =±时等号成立，故A 正确；1()2x x y e x R e ∈≥+==，当且仅当1x x e e =，即0x =时等号成立，故B 正确；)2y x R =∈≥，当且仅当=时，即241x +=，显然等号不成立，故C 不正确；()210y x xx =+>，3221212x y x x x-'∴=-=，令0y '=可得x =，所以当x =时，y 而335464288=<=⎝⎭，故D 不正确．故选AB. 4．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是A ．()f x 是奇函数B ．当3a=-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误．【解析】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a=-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+．令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数．所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-．由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确．故选ACD ．【名师点睛】利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立．三、填空题1．函数3()3f x x x =-在区间[]1,3-上的最小值为__________．【试题来源】陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2-【分析】根据函数求导判断函数单调性，进而求得最值．【解析】由3()3f x x x =-，得2()33f x x '=-．令0fx，解得11x =-，21x =．()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增，所以最小值为(1)2f =-．【名师点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 2．函数21()ln 2f x x x =-的最小值为__________．【试题来源】陕西省西安市第八十三中学2020-2021学年高二上学期期末（理）【答案】12【分析】求导，判断函数的单调性，根据单调性即可求解．【解析】21()ln 2f x x x =-，0x >，()211x f x x x x='-=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '≤，解得01x <≤，所以函数在(]0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增，所以()()min 112f x f ==． 3．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是__________．【试题来源】浙江省金华十校2020-2021学年高二上学期期末【答案】()3,2-- 【解析】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =，由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-．因此，实数m 的取值范围是()3,2--．【名师点睛】已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．4．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是__________．【试题来源】江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解．【解析】由题可知 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为(0)0f =．所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==，所以 03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].--故答案为(]3,2-- 【名师点睛】由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式． 5．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为__________．【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】(2,0)-【分析】由函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，可得()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，再利用零点存在性定理列不等式求解即可．【解析】因为2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22x y m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<．故答案为(2,0)-．6．函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a b +=__________．【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高二下学期期初检测【答案】7-【分析】由()f x 在1x =处取得极值10，求得解得4 11a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解．【解析】由题意，函数()322f x x ax bx a =+++，可得()232f x x ax b '=++，因为()f x 在1x =处取得极值10，可得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，解得4 11a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，检验知，当3,3a b =-=时，可得()223633(1)0f x x x x '=+=-≥-，此时函数()f x 单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；当4,11a b ==-时，可得()23811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-，当113x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1113x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意．所以7a b +=-．故答案为7-．【名师点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：（1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；（3）函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．四、双空题1．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________；()f x 的最小值为__________．【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第一册）【答案】36 24【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性、极值与最值，结合已知列方程即可得出．【解析】因为函数()4(0,0)af x x x a x=+>>，2224()4a x a f x x x -'=-==，(0,0)x a >>．由()0f x '>可得()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增；由()0f x '<可得()f x 在⎛ ⎝⎭上递减；所以x =时，函数()f x 取得极小值也是最小值，因为函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，3∴=，解得36a =．()f x 的最小值为f （3）3612243=+=．故答案为36，24． 2．设函数32()(3)f x x a x ax =+++，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为__________；函数()f x 的极大值点为__________．【试题来源】浙江省台州市五校2019-2020学年高二下学期期中联考【答案】30x y += 1-【分析】根据奇函数的定义，得到30a +=，即3a =-，确定函数解析式，函数求导得切线的斜率，利用函数的单调性求得极值点．【解析】因为函数32()(3)f x x a x ax =+++是奇函数，所以()()f x f x -=-，从而得到30a +=，即3a =-，所以3()3f x x x =-，因为2'()33f x x =-，所以'(0)3f =-，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为3y x =-，2'()330f x x =-<，则11x -<< ，所以函数在(1,1)-上是减函数，在(,1),(1,)-∞-+∞是增函数，所以函数的极大值点是1-，故答案为30x y +=；1-. 3．曲线22y x x =+在点()1,3处的切线方程为__________，函数22y x x=+的极小值为__________．【试题来源】浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二上学期期末联考【答案】3y = 3【分析】根据导数的应用，求导可得222y x x'=-+，直接求切线方程和极小值点即可．【解析】222y x x'=-+，所以斜率220k =-+=，所以直线方程为3y =，令32222220x y x x x-'=-+==可得1x =，当(0,1)x ∈和(,0)x ∈-∞时0y '<，22y x x=+为减函数；。

(完整版)极值、最值与导数习题(附答案)

极值、最值与导数
1.若函数f(x)=2x3－3x2+c的极大值为6，那么c的值为( )
A.0
B.5
C.6
D.1
2.设函数2
()ln
f x x
x
=+，则( )
A .
1
2
x=为f(x)的极大值点 B .
1
2
x=为f(x)的极小值点
C .x=2为f(x)的极大值点
D .x=2为f(x)的极小值点
3.函数f(x)=(x－3)e x的单调递增区间是________.
4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，给出下列命题：
①－2是函数y=f(x)的极值点; ②1是函数y=f(x)的极值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零; ④y=f(x)在区间(－2，2)上单调递增. 则正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
5.已知函数f(x)=－x3+3x2+9x－2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值.
答案：
1.C
2.D
3.(2，+∞)
4.①④
5. (Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，+∞).
(Ⅱ)函数f(x)在闭区间[－2，2]上的最大值为f(2)=20，最小值为f(－1)=－7.。

2020陕西事业单位考试：数量关系之极值问题

很多同学在复习中发现行测的数量关系比较有难度。

其主要原因在于这个部分知识点确是较多且比较凌乱，加之数学本身所具备的难度，致使备考不易。

所以对于这部分而言，我们要抓住考情进行深入分析去备考。

尤其是针对不同题型，通过在多年考试的经历中去寻找考试的变迁特点，从做到有的放矢。

在这里以极值问题为例，给大家把该题型多年来的考题类型进行一些浅析，帮助大家发现考试中题目的出题形式。

从一道考试题目起，依次观察这些年的题目变迁。

其中，2012年极值问题考察两道题目。

第一题考察的是属于固定题型中的最不利原则问题，题目难度相对来说比较容易。

第二题考察的是结合几何图形的一种普通极值问题的考察，难度上增加了一些。

例如：有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。

问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同？2013年一样考察极值问题2道题，并且两道题目都属于固定的极值问题题型考察。

第一题考察和定极值，第二题考察最不利原则问题。

并且从题目的难易程度来看，两道题目都不复杂。

例如：某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？2014年考察极值问题就只有一道题，题目属于和定极值，难度跟前两年的固定题型考法一致，难度不大。

2015年、2016年、2017年，连续三年里，极值问题考察都只有一道题目。

并且这几年考查的题目本身也不再属于前述的两种题型，而是考察普通极值问题。

例如：现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里。

如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？之后2018年考察两道题目，2019年、2020年均考察一道题目，并且题目类型跟前述的普通极值问题类似。

所以，纵观这连续9年以来的考察题目，我们可以明显发现愈加趋向于考察极值思维类型的普通极值问题。

第五讲：极值与最值问题(3)(4题)

K= y' ' [1 + ( y' ) ]
2 3 2
=
2 (1 + 4 x )
2 3 2
曲率半径: 曲率半径
1 (1 + 4 x ) R= = K 2
2
3
2
1 1 3 2 2 dR = ⋅ (1 + 4 x ) ⋅ 8 x = 6 x 1 + 4 x 2 dx 2 2 dR 2 2 ds = 1 + ( y' ) dx = 1 + 4 x dx ⇒ = 6; 200 v
2
⇒ 驻点：v = 3 20000 驻点：
由于此驻点是 F 唯一可能的最值点且问题本身最小值存在，所以 v = 3 20000 是 F 的最小值点，即当 v = 3 20000 时，费用最省
2 上的任一点M( , ) 例4 设R为抛物线 y = x 上的任一点 (x,y)处的为抛物线
6 6 注意到 ( 2 ) = 8 < ( 3 3 ) = 9
2 与 3 之间
所以
3
3 为数列的最大数
练习十/十二 ′′(x) 例2 (练习十十二 ) 若 f ′′ 在 (- ∞, +∞) 内连续 , 且练习十 ∞ 满足
xf ''( x) + 3x[ f '( x)]2 = 1− e− x
证明: 证明 (1) 若 f (x) 在 x = c处 (c ≠ 0) 有极值 , 则 f (c)为处为极小值; 极小值 (2) 若 f (x) 在 x = 0 处有极值 , f (0)是极大值还是 (0)是极大值还是极小值? 极小值二阶可导, 解 (1) 因为 f (x) 二阶可导由 x = c ( c ≠ 0 ) 是 f (x) 的极值点 ⇒ x = c 是 f (x) 的驻点 ⇒ f ' (c ) = 0 在方程中令 x = c 得

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析

高中数学必修二：函数极值与最值习题解析函数极值和最值是高中数学中一个重要的概念和知识点，在解析这一内容之前，我们首先要明确什么是函数极值和最值。

函数的极值包括两种情况，一种是函数在某一区间内取得最大值或最小值，另一种是函数在某一点处取得最大值或最小值。

函数的最值则是针对整个定义域内的最大值或者最小值。

在解析函数极值和最值的相关习题时，我们可以根据题目的要求，使用不同的方法来求解。

下面我们将通过一些常见的习题来进行解析。

【习题一】已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值和最值。

解析：首先我们需要求 $f'(x)$ ，将函数$f(x)$对$x$求导得：$f'(x)=3x^2-12x+9$为了求得函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极值点，我们需要将导函数$f'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-12x+9=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-3)(x-1)=0$解得$x=3$或$x=1$。

将$x=3$和$x=1$代入原函数$f(x)$中，可以得到两个函数值：$f(3)=20$ 和 $f(1)=6$因此，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的极小值为6，极大值为20。

对于最值的求解，我们可以直接将区间[-2, 4]的端点分别代入函数$f(x)$中，求得函数值，并和极值进行比较。

$f(-2)=-12$， $f(4)=66$综上所述，函数$f(x)$在区间[-2, 4]上的最小值为-12，最大值为66。

【习题二】已知函数$g(x)=x^3-9x^2+24x$，求函数$g(x)$的最小值和最大值所对应的$x$的值。

解析：首先我们需要求函数$g(x)$的导函数$g'(x)$，将函数$g(x)$对$x$求导得：$g'(x)=3x^2-18x+24$为了求得函数$g(x)$的极值点，我们需要将导函数$g'(x)$等于零，并求解方程：$3x^2-18x+24=0$将方程进行因式分解，得到：$(x-4)(x-2)=0$解得$x=4$或$x=2$。

数学极限练习题

数学极限练习题在数学中，极限是一个重要的概念。

它用于描述函数或数列在某一点或者趋近无穷时的行为。

极限问题是数学分析中的基础内容，也是各门数学学科中常见的一类问题。

本文将介绍一些常见的数学极限练习题，旨在帮助读者加深对极限概念的理解并提高解题能力。

1. 计算极限：求下列极限的值。

a) 极限：lim(x→1) [(x^2 + 2x + 1) / (x - 1)]b) 极限：lim(x→∞) [(5x^2 + 3x - 1) / (2x^2 - x + 4)]c) 极限：lim(x→0) [sin(2x) / x]2. 求解无穷极限：计算下列函数的无穷极限。

a) 极限：lim(x→∞) [(3x - 1) / (2x + 5)]b) 极限：lim(x→∞) [e^x / (x^2 + 1)]c) 极限：lim(x→∞) [√(x^2 + 3x) - x]3. 判断极限存在性：判断下列极限是否存在。

a) 极限：lim(x→0) [(x^2 - x) / (|x|)]b) 极限：lim(x→∞) [(x^3 + 2x^2 - 4) / (x^3 - x^2 + 1)]c) 极限：lim(x→1) [(x - 1) / (x^2 - 1)]4. 应用题：解决实际问题。

一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，求汽车行驶2小时后的位置极限。

解答思路：汽车的匀速行驶可用函数表示。

假设汽车行驶的距离为D，时间为t，则有D = 60t。

当t趋近于2时，D的极限即为所求。

解答步骤：1) 极限：lim(t→2) 60t2) 由极限的性质，常数倍数法则，极限等于常数与极限的乘积，得到60 * lim(t→2) t3) 将t视为自变量，计算t的极限。

由于t是自变量，且没有其他条件对t加以限制，t趋近于2时，极限即为2。

4) 代入极限结果，得到最后答案：60 * 2 = 120公里。

通过以上解答步骤，可以得出汽车行驶2小时后的位置极限为120公里。

极限练习题含答案

极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。

下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。

练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以$ x^2 $，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当$ x $趋近于1时，$ x - 1 $趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以$ \sin x $，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当$ x $趋近于无穷大时，$ \sin x $的值在-1和1之间波动，但相对于$ x $来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。

事业单位数量关系：最不利原则求解极值问题

对于行测考试中，数量关系的题目容易让大家感到头疼，那么如何快速求解数量关系的题目呢，今天跟大家分享的是数量关系当中非常常见的极值问题中能够用最不利原则解决的题目。

其实最不利原则并不能称作一类问题，它其实是对于某一特定问法的极值问题的解题原则，那么这个特定问法一般就是“至少……才能保证……”，如果大家在做数量关系的题目碰到这种问法，其实我们就可以利用最不利原则来解题，那么究竟什么是最不利原则呢?例题解析比如说一副扑克牌54张(4种花色各13张+大小王)，如果问我们“至少抽出几张牌，才能保证能够抽到红桃的牌?”那么此时我们是要保证抽到红桃的牌，如何才能保证这件事发生呢，比如说我们的手气比较差，抽出一张牌不是红桃，再抽出一张也不是红桃，那么手气最差的话，可能一直抽，都没抽到红桃的牌，直到把不是红桃的牌都抽了出来，一共是13×3+2=41张，那么此时剩下的就全是红桃的牌，再抽出一张牌(共42张牌)，无论最后这张牌点数是几，就一定能够保证抽到红桃的牌。

总结对于刚才的例子，是要保证抽到红桃的牌，那么我们采取的操作就是先不抽红桃的牌，直到把红桃都抽出来，再抽取一张，就一定能够保证这件事发生，所以对于“至少……才能保证A事件发生”这类极值问题，我们就先尽可能的不让A发生，然后考虑到最不利的情况(最倒霉、最差)的情况，再加1，这个事就一定保证能发生。

题型拓展200人参加招聘，其中工科专业有130人，理科专业有40人，文科专业有30人，问至少有多少人找到工作，才能保证一定有40个找到工作的人专业相同?A.41B.69C.110D.109【答案】D。

解析：通过这道题的题干信息的表述，三个专业的学生参加招聘的问题，我们关注这个问法，“至少......才能保证......”,那么此类问法的极值问题就可以利用最不利原则来求解，根据刚才我们总结的原则，要想保证这个事发生，就先尽可能地先不让这件事发生，考虑到最不利的情况，再加一就一定能够保证发生，那么现在我们要想保证的这件事是有40个找到工作的人专业相同，那么就先尽可能地不让有40个找到工作的人专业相同，则先让每个专业最多有39个人找到工作，所以工科39人、理科39人、文科30人，共108人，此时一定没有4 0人的专业相同，属于最不利的情况，那么再有一个人找到工作，就一定能够保证有40人的专业相同，所以至少108+1=109人找到工作，才能保证有40人的专业完全相同。

数量单项作业题【3】(最值极限问题)

数学运算单项课后作业题（三）（极限最值问题）1 .某次考试，花生龙飞柳岩飞扬行测一共考了 330分，且均为不同的整数，问第一的人最少考多少分？2.报名四海甲乙丙丁班的同学共有57、45、78、59人，至少选取多少人，才能保证有60人来自一个班级？3.单位五个科室各有7、15、21、8、9人，至少选取多少人，才能保证两个科室的人数和达到16?4.四个土匪分100个金元宝，负责分的最后选，若你是其中一位并负责分成不同的四份，你会如何分？5.10个同学参加行测考试，及格线为60分，10人的平均成绩为68分，最高分为80,及格率为80%。

所有人得分均为整数，且彼此得分不同。

问成绩排名第三的人最低考了多少分：6.某机关20人参加百分制的普法考试，及格线为60分，20人的平均成绩为88分，及格率为95%。

所有人得分均为整数，且彼此得分不同。

问成绩排名第十的人最低考了多少分：7.某区举行运动会，A、B、C、D校都有超过100人参加，E校有20人参加，问从参加者中选取多少人，才能保证有30人来自一个学校？8.射箭运动员进行训练，10支箭共打了 93环，且每支箭的环数都不低于8环。

问命中10环的箭数最多能比命屮9环的多几支？A. 2B. 3C. 4D. 59.足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分。

某球队共进行了8场比赛，积10分。

假设该球队最多输2场，则其最多胜：A. 1场B. 2场C. 3场D. 4场10.某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是144元，售价是200元，一个经销商订购120套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2元，就多订购6套。

按经销商的要求，该加工厂获得最大利润售出的套数是：A. 144B. 136C. 128D. 14211.某商业银行的总利润与贷款数量之间的函数关系为：P = 1000 + 400Q—Q2,当贷款数量为()万元时，总利润最大。

A. 100B. 150C. 200D. 25012.某商店出售A商品，若每大卖100件，则每件可获利6元。

2016国考数量关系必考题型——极值问题讲解

2016国考数量关系必考题型——极值问题讲解2016国考再次擂响战鼓，如何应战是考生所面临的重点问题。

很多同学对于行测考试的理解有很多误区，那么中公教育专家在这里简要跟大家说两点。

》》更多、更全行测技巧、高频考点、成公经验尽在中公教育国考频道《《第一：公考不是一个人的战斗，更是千军万马过独木桥，所以大家在学习的时候也可以看看身边同学的情况来把握自己的学习进度。

行测试卷中的五大部分，逻辑推理和资料分析算比较简单的部分，这两个部分拉不开多大的分差。

常识判断主要看平时的阅读量和积累量，短时间内提升空间不大。

所以剩下的两个部分中，文科生可能偏向于言语理解，而理科生应该把握好数量关系。

第二：很多考生认为数量关系太难，不想学，想放弃数学运算。

其实在行测试卷中的每个部分都会有简单题目，有难的题目，没有必要成块的放弃。

只要考生能够掌握解题技巧，解好题目其实不是什么难事，今天中公教育专家就针对数学运算中的极值问题来谈一谈解题方法。

极值问题是国考每年必考的题型，极值问题虽然分很多类，但是每一类都有自己固定的解题方法，所以对于每类题型都要清楚的认识。

极值问题常考的有以下几类：一、和定极值问题几个数的和一定，求某个数的最大值或者最小值的问题。

1、解题原则：想让某个数最大(最小)，一定让其它的数尽量小(尽量大)。

2、解题方法：方程法例.某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。

如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?A.2B.3C.4D.5【答案】C。

中公解析：若想使排名最后的数量最多，则其他专卖店数量尽可能少。

第5名为12家，则第4、第3、第2、第1分别为13、14、15、16家，前五名的总数量为14×5=70家，设最后的城市有专卖店x家，则其余的应为x+1、x+2、x+3、x+4家，可得：5x+10=30，解得x=4家。

二、最不利原则问题题目特征：“至少……才能保证”或者“至少……一定能够”解题方法：先把不能满足条件的元素取出来，再取能够满足条件的元素。

极限与最值、极值练习题

极限与最值、极值练习题
本文档旨在提供一些关于极限与最值、极值练题的完整版指导。

以下是一些练题示例，供您练和巩固相关概念。

1. 极限计算题
问题 1
求函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim_{x \to 1} f(x)$。

问题 2
已知函数 $g(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 1} - x$，求 $\lim_{x \to -1}
g(x)$。

2. 极大值和极小值问题
问题 1
一边长为 $x$ 的长方形的周长为 $2x + 20$。

求这个长方形的
最大面积。

问题 2
已知函数 $h(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求函数在区间 $[-1, 3]$ 上的
最小值和最大值。

3. 极值问题
问题 1
已知函数 $k(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 2x + 1$，求函数的极大值和极小值。

问题 2
求函数 $f(x) = |x - 2| - |x + 2|$ 的极大值和极小值。

总结
本文档提供了一些关于极限与最值、极值的练题以供练和参考。

通过完成这些练题，您可以加深对相关概念和问题的理解，并提升
在研究中遇到类似问题时的解决能力。

请注意，这些是练题的答案并不包含解题过程。

在实际研究中，我们鼓励您通过理论知识和解题技巧，自己尝试解答这些问题，并
与参考答案进行对比和验证。

祝您研究愉快！。

2020江西国企招聘考试：数量关系中极值问题

2020江西国企招聘考试：数量关系中极值问题数量关系作为行测考试中的难点，但也不能太畏惧数量题目，还是有一些题目相对来说比较简单的题目，例如今天要讲到的极值问题，极值问题主要考查两个大的知识点和定最值及最不利原则，今天我们主要讲一下和定最值的考查内容：一、定义及特征：首先，什么是和定最值呢?从字面理解几个数的和是一个定值，那么要求其中某个量的最大值或最小值就叫做和定最值，所以根据题干信息描述来说，一般会在题干中出现“最大”、“最小”的字眼以及类似的描述。

二、解题的原则：例1：甲乙2人共有20元，甲何时拥有的钱最多，最多有多少钱?解：从题干信息来看，说明甲乙2人的钱数和是20元的定值，要想甲有钱最多，乙有的钱就要最少，乙最少0元时甲拥有钱最多是20元。

从例题可以得出解题原则：1、若要求某个量的最大值，其他值尽可能的小;2、若要求某个量的最小值，其他值尽可能的大;三、考查题型：1、同向极值：例2：将29台电脑分给5个部门，每个部门分得的电脑数量互不相同，(1)分得电脑最多的部门最多分得多少台电脑?(2)若分得电脑最多的部门最多不超过8台，则分得电脑最少的部门最少分多少台?题目解析：题干要求29台电脑分给5个部门，说明5个部门电脑总说是个定值，要求分得最多的部门最多分多少台，通过以上信息判定为和定最值问题：(1)根据解题原则要求某个量的最大值，要求其他值尽可能的少(如图箭头所示)，最少可以少到1台，又要求每个部门分得电脑数量互不相同，从左至右代表数量逐渐减少，则其他4个部门最少分别为1、2、3、4台，所求最多的部门所得台数为：29-(1+2+3+4)=19台。

(2)根据解题原则要求某个量的最小值，要求其他值尽可能的大(如图箭头所示)，最多的部门最多不超过8台即可以等于8台，又要求每个部门分得电脑数量互不相同，从左至右代表数量逐渐减少，则其他4个部门最少分别为8、7、6、5台，所求最多的部门所得台数为：29-(8+7+6+5)=3台。

盘点行测数量关系高频考点之极限问题

盘点行测数量关系高频考点之极限问题一、和为定值的问题和为定值的问题，题干所给条件为和是固定的数值，常问考生最小的数值最大是多少，或者最大的数值最小是多少。

要想小的数值尽量大或者大的数值尽量小，即所有的数值尽量接近，其他数值占的总和尽量小点或者大点。

1.和为定值，求最小值最大【题目】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。

如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?A.2B.3C.4D.5【答案】C。

解析：问排名最后的城市，最多几家专卖店，则尽量让排名靠前的城市，专卖店少。

但是排名第5多的12家专卖店，要求每个城市的专卖店数量不同，则第4多的最少13、第3多的最少14、第二多的最少15、第一多的最少16，前5名共70家。

一共100家，后5名分30家。

这时后5名，每名之间差一家，可以保证最后一名的专卖店最多，即8、7、6、5、4家。

所以最后一名最多4家。

【小结】该题目和是一定的，求最小值最大，那么让其他数值尽量小，又要求数量不同，即相差1。

给了我们中间的一个数值，那么中间往上的数值，只要依次加1、2、3、4即可。

这样中间往下的数值之和也可以得出，再次转化成和为定值的问题了，要想最小的值最大，其他的数值依次加1、2、3、4即可。

2.和为定值，求最大值最小【题目】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。

假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名?A.10B.11C.12D.13【答案】B。

解析：问行政部门最少，而且行政部门的人数要比其他部门多，即其他部门尽量人数多，尽量靠近行政部门的人数，假设一样，657=9…2，每个部门分9人还多2人，即行政部门为9+2=11人。

【小结】该题目和是一定的，求最大值最小，即让其他数值尽量的大，题目没有说数量不同，则除了最大的数以外，其他的数都一样，与最大的数很接近。

17年国考难点剖析：数量关系中的极值问题

从化学习中心中公教育·给人改变未来的力量2017年国家公务员考试难点剖析：数量关系中的极值问题极值问题侧重要考察考生的思维能力和对题型核心思想的把握。

极值问题的提问方式经常为：“最多”、“至少”、“最少”等，是国家公务员考试中出题频率最高的题型之一。

因此，认真分析题目要求，对于此类题型就会容易很多。

故而，想要掌握这方面的问题，在2017年国家公务员考试之中拿到这部分的分数，就需要对于这些题目的解读。

【例1】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。

如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?A.2B.3C.4D.5【答案】C。

【解析】本题属于极值问题。

解析如下：要想排名最后的城市专卖店数量尽可能多，那么其他城市专卖店数量要尽量少。

排名第5多的城市有12家专卖店，则排名前4的城市最少有13、14、15、16家专卖店，设排名最后的城市有a家专卖店，则排名第6—9的城市的专卖店数最少分别为a+1、a+2、 a+3、a+4，10个城市的专卖店数量总和是固定的(100家)，即5a+80=100，解得a=4。

故选C。

【例2】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名?A.10B.11C.12D.13【答案】B。

【解析】本题考察极值问题。

解析如下：本题意求最大数的最小值，则让其他数尽可能大。

设最大数(即行政部门人数)为x,则其他部门均为x-1，因此7x-6=65，x=10…1。

若x=10，则7个部门共有64人，剩下的1人只能给行政部门(因为若给其他部门中的任何一个，就产生某一个部门与行政部门人数一样多，为10人，不满足“行政部门比其它部门人数多”这一条件)，因此行政部门最少有11个毕业生。

故选B。

以上两题均是“标准”的极值问题，第一题题干中有条件“每个城市的专卖店数量都不同”，所以呈现出等差数列的特性;而第二题就没有条件说“其它部门内部毕业生人数不同”，那就意味着其它部门的毕业生人数是可以相同的，而且要尽可能大。

行测数量：极值问题

行测数量：极值问题公务员考试虽然有一定的难度，出题的形式也千变万化，但是总有一些经典的题型常出常新，经久不衰。

为备考国家机关公务员录用考试，现特将国考中出题频率较高的题型予以汇总，并给予技巧点拨，希望广大考生能从中有所体会，把握出题规律、理顺知识脉络、掌握复习技巧、考出理想成绩。

题型总结如下：▲极值问题极值问题的提问方式经常为：“最多”、“至少”、“最少”等，是国家公务员考试中出题频率最高的题型之一。

一、本类试题基本解题思路如下：1.根据题目条件，设计解题方案；2.结合解题方案，确定最后数量；二、常见设计解题方案原则如下：（一）和固定题目给出几个数的和，求“极值”，解题方案为：如果求“最大值”，则：假设其余数均为最小，用和减去其余数，即为所求；如果求“最小值”，则：假设其余数均为最大，用和减去其余数，即为所求。

真题一：2009年国考第118题100人参加7项活动，已知每人只参加一项活动，而且每项活动参加的人数都不一样，那么，参加人数第四多的活动最多有几个人参加？（）A.22B.21D.23【解析】A.这是一道“至多”问题。

若要参加人数第四多的活动的人最多，则前三组的人数必须为1，2，3，并且后三组与第四多的人数必须依次相差最少。

设第四多的人数为x，则后三组人数依次是x＋1，x＋2，x＋3，则1＋2＋3＋x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＝100，解得x＝22.真题二：2005年国考第50题现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

A.7B.8C.9D.10【解析】A.题目问“分得鲜花最多的人至少”可以分多少朵，则可以假设分得鲜花最少的到最多的依次为：x、x＋1、x＋2、x＋3、x＋m（其中：x＋m是分得鲜花数最多的，但是只比前四个人多一点，即m﹥3），则列方程为：x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＋x＋m＝21，得：5x＝15－m因为m﹥3，故m＝5，所以x＝2，因此这5个人分得鲜花数可以为：2、3、4、5、7，故分得鲜花最多的人至少分7朵，也就是不能再少了。

专题03 极值与最值问题(3月)(理)(解析版)

专题03 极值与最值问题一、单选题1．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图象如下，若()f x 在0x x =处有极值，则0x 的值为A ．3-B ．0C ．3D ．7【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考【答案】B【分析】根据极值与导数的关系判断．【解析】由()'f x 知，0x =时，(0)0f '=，30x -<<时，()0f x '>，03x <<时，()0f x '<，0是极值点．虽然有(7)0f '=，但在7的两侧，()0f x '<，7不是极值点．故选B ．2．已知函数()y f x =的定义域为()a b ，，导函数()'y f x =在()a b ，内的图象如图所示，则函数()y f x =在()a b ，内的极小值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【试题来源】安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】A【分析】根据极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，结合图象原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2即可求得结论．【解析】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，由图得导函数值先负后正的点有1个．所以函数()f x 在区间(,)a b 内极小值点的个数是1．故选A ． 3．若函数3()ln f x x x =，则 A ．既有极大值，也有极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．有极大值，无极小值D ．既无极大值，也无极小值【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】B【分析】利用导数判断单调性，再判定极值即可．【解析】依题意，222()3ln (3ln 1)f x x x x x x '=+=+；令()0f x '=，解得13x e -=，故当130,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当13,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故当13x e -=时，函数()f x 有极小值，且函数无极大值，故选B ．4．已知1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则函数()f x 的极小值为 A ．0 B ．1- C ．2D ．4【试题来源】福建省南平市2020-2021学年高二上学期期末考试【答案】B【分析】由1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，根据()01f '=，求得2a =，进而利用导数，即可求解函数的极小值，得到答案．【解析】由题意，函数32()3f x ax x =-，可得2()363(2)f x ax x x ax '=-=-，因为1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，则()01f '=，即31(2)0a ⨯⨯-=，解得2a =，可得()6(1)f x x x '=-，当0x <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当1x =是函数32()3f x ax x =-的极小值点，所以函数的极小值为32(1)21311f =⨯-=-⨯．故选B ．5．已知函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，则下列结论正确的是A ．函数()y f x =在(),1-∞-上是增函数B ．3x =是函数()y f x =的极小值点C ．()()35f f ''<D ．()()13f f -<【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】D【分析】由图得出函数()y f x =的单调性判断ABD ，根据(3)(5)0f f ''==判断C ．【解析】当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，则函数()y f x =在(),1-∞-上是减函数，故A 错误；函数()y f x =在(1,3)-上单调递增，在(3,5)上单调递减，则3x =是函数()y f x =的极大值点，故B 错误；由图可知，(3)(5)0f f ''==，故C 错误；函数()y f x =在[]1,3-上单调递增，则()()13f f -<，故D 正确；故选D.6．若函数22()xx x f x e+=的极大值点与极小值点分别为a ，b ，则 A ．a b a b <<+ B ．a a b b <+< C ．b a b a <+<D ．a b b a +<<【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文）【答案】C【分析】利用导数求函数的极值点，再比较选项．【解析】22()xx f x e-'=，当x <，()0f x '>；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4当x <x >()0f x '<．故22()xx xf x e+=，，则a =b =，所以b a b a <+<．故选C7．若1x =是函数()xf x e ax =-的极值点，则方程()f x a =在()2,+∞的不同实根个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．0【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期期末联考（文）【答案】A【分析】首先根据极值点为1，求得a e =，再结合函数的单调性，判断实根个数．【解析】由()'xf x e a =-，得()10'=-=f e a ，则a e =，()xf x e ex =-，函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<，函数()y f x =与y a =的交点个数为1个．故选A.8．已知32()f x x px qx =++的图象与x 轴相切于非原点的一点，且f (x )极小值=-4，那么p ，q 值分别为 A ．8，6 B ．9，6 C ．4，2D ．6，9【试题来源】陕西省咸阳市武功县2021届高三下学期第二次质量检测（文）【答案】D【分析】设切点为()(),00a a ≠，根据题意得到()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，然后求导，再由f (x )极小值=-4求解．【解析】设切点为()(),00a a ≠，()2()f x x x px q =++，由题意得20x px q ++=有两个相等实根，所以()2223()2f x x x a x ax a x =--+=，()()2233()4f x x ax a x a x a '-+-=-=，令()0f x '=，得3ax =或x a =，因为f (x )极小值=-4，而()04f a =≠-，所以()43a f =-，即2433a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得3a =-，所以32()69f x x x x =++，所以6,9p q ==．故选D. 9．已知函数1ln ()e +=-x xf x x，则()f x 的最大值是 A ．1- B ．2- C ．0D ．1e -【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文）【答案】A【解析】ln 1ln e e (ln )1()1(0)x x x x x x x f x x x x++--+-==-->，设()e 1=--xg x x ，()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，()g x 是单调递增函数，当0x <时，()0g x '<，()g x 是单调递减函数，所以min ()(0)0g x g ==，因为ln 0x x +=时有解，所以()()ln maxe ln 11101x x x x f x x+-+-=--=--=-．故选A ． 10．已知函数()2ln f x x a x =+的图象在(1，f （1）)处的切线经过坐标原点，则函数y =f (x )的最小值为 A ．11ln 222- B ．1ln 24+ C ．11ln 222+ D ．1【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文）【答案】C【分析】利用导数的几何意义求出1a =-，从而可得()2ln f x x x =-，求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，由单调性即可求出最值．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6【解析】函数()2ln f x x a x =+，则()2n 11l 11f a =+=且()2af x x x'=+，所以()12f a '=+，所以()()1011210f f a -'===+-，解得1a =-，所以()2ln f x x x =-，（0x >），()12f x x x'=-，令()0f x '≥，即120x x -≥，解得2x ≥，令()0f x '<，即120x x -<，解得02x <<，所以函数在区间0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间2⎫+∞⎪⎪⎣⎭上单调递增．所以()2min111ln ln ln 22222222f x f ⎛⎫⎛⎫==-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选C.11．已知函数()sin xf x e a x =-在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极值，则实数a 的取值范围是A ．()0,1B ．()1,eC ．()1,2eD ．31,2e π⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（理）【答案】D【分析】求出导数()'f x ，由()0f x '=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有变号的解即得．【解析】()cos '=-xf x e a x ，由题意cos 0xe a x -=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即cos xea x=在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，记()cos xe g x x =，2(cos sin )()cos xe x x g x x +'=，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，(0)1g =，3323cos 3e g e ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以312e e π<<．故选D ．【名师点睛】本题考查导数与极值．函数在某个区间上有极值，则()'f x 在这个区间上有的零点，()0f x '=有解，又可转化为函数图象与直线有交点，从而再次转化为利用导数判断函数的单调性，求函数的值域．解题关键在于转化．12．若函数()221xf x e ax =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是A ．4e a <- B ．04ea -<< C ．4e a >D ．04ea <<【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】C【分析】由题意可知()4xf x e ax '=-有2个变号零点即4x e ax =有两个不等的实根，可转化为y a =与()4xeg x x=图象有两个不同的交点，对()g x 求导判断单调性，作出其图象，数形结合即可求解．【解析】因为函数()221x f x e ax =-+有两个不同的极值点，所以()4xf x e ax '=-有2个变号零点，即4x e ax =有两个不等的实根，因为0x =时显然不成立，所以0x ≠，可得4x e a x =，令()4x e g x x =，则y a =与()4xe g x x =图象有两个不同的交点即可．则()()22144164xx x x exe e g x x x--'==，所以()4x e g x x =在(),0-∞和()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，故()4x eg x x=的图象如图所示：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8当1x =时，()14e g =，由图知当4ea >时两个函数图象有2个不同的交点，可得原函数有两个极值点．所以实数a 的取值范围是4ea >，故选C 【名师点睛】本题解题的关键点是原函数有两个极值点等价于导函数有两个零点，令导函数等于0，该方程有2个不等的实根即可．13．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为 A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】B【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值．【解析】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'，由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-，又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-．故选B ．【名师点睛】利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．14．设函数()()cos 0f x x ωω=>，已知()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是 A ．[)6,10ω∈B ．()f x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上至多有2个极大值点【试题来源】黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2020-2021学年高三上学期期末（理）【答案】B【分析】利用已知条件求出ω的范围，判断A ；利用函数的单调性判断B 、C ；函数的极大值判断D ．【解析】由题，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有且仅有2个极小值点，所以35222T T π≤<，即53T ππ<≤，因为2Tπω=，所以610ω≤<，故A 正确；因为53T ππ<≤，所以1026T ππ<≤，因为()f x 在,2T T ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，只有当26T π=时()f x 在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增才成立，故B错误；因为()f x 在0,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，两端点取不到，且35222T T π≤<，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭至多有2个极大原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10值点，故D 正确．故选B【名师点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）讨论y =Acos (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法，借助于复合函数来完成．15．设函数,(),x xx a f x ex x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是 A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a e ≤D ．1a e<【试题来源】江西省新八校2020-2021学年高三上学期第一次联考（理）【答案】C【分析】x a <时，()f x a <无最大值，因此x a ≥时，()xxf x e =有最大值，利用导数求解．【解析】显然x a <时，()f x a <无最大值，x a ≥时，()x x f x e =存在最大值，1()xx f x e -'=，当1x <时，()0f x '>，()f x 递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 递减，所以1x =时，()f x 取得极大值也是最大值．1(1)f e=，因此()f x 要有最大值，必须满足11a a e ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，所以1a e ≤．故选C ．【名师点睛】本题考查分段函数的最大值问题．解题时要注意()f x 的最大值是在定义域内的最大值，对分段函数来讲，每一段的函数值都不能比最大值大．因此本题在x a ≥时求得最大值1(1)f e =，除这个最大值取得到，即1a ≥以外还有必须满足1a e≤，否则函数无最大值．16．已知函数()33f x x x =-，则下列说法正确的是A ．()f x 是偶函数B ．1是()f x 的极小值点C ．3是()f x 的极大值点D ．()f x 在区间()0,1内单调递增【试题来源】贵州新高考联盟2021届高三下学期入学质量监测（文）【答案】B【分析】利用函数解析式判断函数的奇偶性，得到A 项错误；对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的极值点，可以判断B 、C 、D 的正确性．【解析】因为()33f x x x =-，其定义域为R ，33()()3()(3)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数，所以A 项错； 2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，可以得到当1x <-或1x >时，'()0f x >，当11x -<<时，'()0f x <，所以()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调增，在(1,1)-上单调减，所以1是()f x 的极小值点，1-是()f x 的极大值点，所以B 项正确，C 、D 两项都是错误的，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关函数与导数的问题，解题思路如下：（1）根据函数的解析式，结合奇函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）对函数求导，研究函数的单调性，进而求得函数的极值点以及函数在相应区间上的单调性，可判断选项的正误． 17．已知函数1()cos 1f x x x =-+，()'f x 为()f x 的导函数，则下列结论正确的个数是 ①当(1,0)x ∈-时，()0f x <；②函数()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个零点；③函数()f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在极小值点A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】广西南宁市第三中学2021届高三下学期开学考试（理）【答案】C【分析】先求导可证得()21()sin 01f x x x '=-+>+， (1,0)x ∈-上恒成立，则函数()f x 在(1,0)x ∈-上递增，然后根据()00f =可知所以()0f x <在(1,0)x ∈-上恒成立；当原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！120,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，令()()21sin 1g x x x =-++，利用导数可证明得函数()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，然后判断端点的函数值，根据零点的存在性定理判断函数()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个零点；再根据②的结果，得出函数()f x 的单调性并判断极值点问题．【解析】对于①，因为函数1()cos 1f x x x =-+，则()21()sin 1f x x x '=-++，当(1,0)x ∈-时，()()211,1x ∈+∞+，故()()21sin 01f x x x '=-+>+在(1,0)x ∈-上恒成立，所以函数()f x 在(1,0)x ∈-上递增，又()0cos010f =-=，所以()0f x <在(1,0)x ∈-上恒成立，故①正确；对于②，由①可知，当(1,0)x ∈-时，()()21sin 01f x x x '=-+>+，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，令函数()()21sin 1g x x x =-++，则()()32cos 01g x x x '=--<+在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，故()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，又()010g =>，21sin 02212g πππ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以函数()g x 在0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上有一个零点，故()'f x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点，故②正确；对于③，由②可知函数()0f x '=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一根，设()00f x '=，则函数()f x 在()01,x -上递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，故函数()f x 在0x x =处取得极大值，故③错．故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、极值点、零点等问题．利用导数判断函数的极值问题，分析清楚函数的单调性是关键；判断函数零点个数问题时，先求导判断函数的单调性，然后计算区间端点的函数值，通过零点的存在性定理判断即可．18．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测【答案】A【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可．【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=，令()0f x '<，解得01x <<，令()0f x '>，解得1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x x x g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->，故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b =，故选A ．【名师点睛】题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题．19．若函数32()312(0)f x x ax x a =-+>存在两个极值点1x ，2x ，则()()12f x f x +的取值范围是 A ．(,16]-∞B ．(,16)-∞原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14C ．(16,)+∞D ．[16,)+∞【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（文）【答案】B【分析】由条件可得2()3612f x x ax '=-+，则所以23643120a ∆=-⨯⨯>，即2a >，12122,4x x a x x +=⋅=，故()()12f x f x +3424a a =-+，设()3g 424a a a =-+，求出()g a 的单调性，得出其范围，得到答案．【解析】由32()312(0)f x x ax x a =-+>，则2()3612f x x ax '=-+因为函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，所以23643120a ∆=-⨯⨯>，即2a > ，12122,4x x a x x +=⋅=，()()()123232111222312312f x f x x ax x x ax x +-+-++=()()()()221211*********3212x x x x x x x a x x x x x ⎡⎤=--+-⋅++⎣⋅++⎦()()()()1212121212221233212a x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+⎣⎦⎣⎦++⋅+⋅+()()22241234824a a a a a =---+3424a a =-+ ，设()3g 424a a a =-+，则()g a '()221224122a a =-+=--，当2a >时，()g a '0<，则()g a 在()2,+∞上单调递减．所以()()g g 216a <=，所以()()12f x f x +的取值范围是(,16)-∞，故选B.【名师点睛】本题考查函数的极值相关问题，解答本题的关键是由条件得出12122,4x x a x x +=⋅=，将条件代入得到()()12f x f x +3424a a =-+，属于中档题．20．已知0a >，函数()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，R x ∈．记函数()f x 的最小值为M ，函数()()f f x 的最小值为N ，当M N ≥时，a 的最大值是A ．4B ．3C ．2D ．1【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-202学年高三上学期（2018级）第二次联考（文）【答案】D【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出M ，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用函数()f x 的单调性可求得N ，验证M N ≥是否成立，由此可求得实数a 的最大值．【解析】因为0a >，()()21sin cos 2f x a x x x x a =+-+++-，所以()()211cos sin f x a x x x '=+-+-，记()()211cos sin g x a x x x =+-+-，所以()22sin cos 20g x a x x a '=+--≥>，所以，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．所以()()min 0121f x f a a ==+-=-，即1M a =-．①当10a -≤，即当1a ≤时，由上可知，函数()()ff x 的最小值为()01N f a ==-，满足M N ≥； ②当10a ->，即当1a >时，由上可知，函数()()ff x 的最小值为()1N f a =-，且()()101N f a f a M =->=-=，不合题意，综上所述，实数a 的最大值为1．故选D ．【名师点睛】本题考查含有参数的复合函数的值域问题，利用导数分析函数()f x 的单调性，并求出函数()f x 的值域M 是解题的关键，其次就是要分10a -≤和10a ->两种情况讨论，结合函数()f x 的单调性求出复合函数()()f f x 的值域，这次解决此类问题的常用方法．二、多选题1．函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图象如图所示，则下面结论正确的是A ．在()1,2上函数()f x 为增函数原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16B ．在()3,5上函数()f x 为增函数C ．在()1,3上函数()f x 有极大值D ．3x =是函数()f x 在区间[]1,5上的极小值点【试题来源】河北省高碑店市高碑店一中2020-2021学年高二（励志班）上学期期末【答案】AC【分析】根据图象判断出()f x 的单调区间、极值（点）．【解析】由图象可知()f x 在区间()1,2和()4,5上()'0fx >，()f x 递增；在区间()2,4上()'0f x <，()f x 递减．所以A 选项正确，B 选项错误．在区间()1,3上，()f x 有极大值为()2f ，C 选项正确．在区间[]1,5上，4x =是()f x 的极小值点，D 选项错误．故选AC.2．2018年世界著名的国际科技期刊《Nature 》上有一篇名为《The Universal Decay of Collective Memory and Attention 》的论文，该文以12个不同领域的数据指出双指数型函数1212()x x f x C e C e λλ=+在描绘人类行为时的普适作用．关于该函数下列说法中正确的有A ．当120C C >且12λλ≠时函数()f x 有零点B ．当120C C <且12λλ≠时函数()f x 有零点 C ．当12120C C λλ<且12λλ≠时函数()f x 有极值D ．当12120C C λλ>且12λλ≠时函数()f x 有极值【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考【答案】BC【分析】由1212()=0xx f x C eC e λλ=+，()0f x '=，依次判断即可得出结果．【解析】因为函数1212()xx f x C eC e λλ=+为双指数型函数，所以12λλ≠因为()211212112122()=0==xx x x xC f x C e C e C e C e e C λλλλλλ-=+⇔-⇔-， ()210xeλλ->，120C C ∴->，即120C C <，所以A 错误，B 正确；121122()x x f x C e C e λλλλ'=+，因为函数()f x 有极值，所以()0f x '=有解∴当()0f x '=时，即121122=x x C e C e λλλλ-，()211122=xC e C λλλλ-∴-， ()210xeλλ->，11220C C λλ∴->，即12120C C λλ<，即D 错误．当12120C C λλ<时，不妨设1122120,0,C C λλλλ><> 则212()1122()[]xx f x eC e C λλλλλ-'=+，由()0f x '=得22012111ln C x C λλλλ-=-；因此当0x x >时，()0f x '>；当0x x <时，()0f x '>；即0x x =为极值点从而C 正确；故选BC ．3．已知()1xe x x R ≥+∈，当且仅当0x =时取等号，则A ．()1()x f x x x R e=+∈的最小值为1B ．()()0xe f x x x=>的最小值为1C ．()()ln 0f x x x x =->的最小值为1D ．()1()0x f x xe x =>的最小值1【试题来源】浙江省丽水市2020-2021学年高一上学期期末【答案】AC【分析】分别求导，判断函数单调性并求最值，判断正误．【解析】A ：()1()x f x x x R e =+∈，11()1x x xe f x e e-'=-=，函数()f x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(0)1f =，A 选项正确；B ：()()0xe f x x x =>，()21()x e x f x x-'=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)f e =，B 选项错误；C ：()()ln 0f x x x x =->，11()1x f x x x'-=-=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)1f =，C 选项正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18D ：()1()0xf x xe x =>，()1211211()xx x x e f x xe x e x x-'=+⋅⋅=，函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，故函数()f x 的最小值为(1)f e =，D 选项错误；故选AC ．【名师点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 4．下列函数最小值是2的是 A ．2210()y x x x=+≠ B ．()1xx y e x R e =+∈ C．)y x R =∈D ．()210y x x x=+> 【试题来源】辽宁省大连市2020-2021学年高三上学期期末【答案】AB【分析】根据均值不等式等号成立的条件判断ABC ，利用导数的极值判断D 即可求解．【解析】2210()2y x x x =+≥=≠，当且仅当221x x =，即1x =±时等号成立，故A正确；1()2x x y e x R e ∈≥+==，当且仅当1x x e e =，即0x =时等号成立，故B 正确；)2y x R =∈≥=，当且仅当=时，即241x +=，显然等号不成立，故C 不正确；()210y x x x =+>，3221212x y x x x-'∴=-=，令0y '=可得x =，所以当x =时，y有极小值2而3354642288⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 不正确．故选AB. 5．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误．【解析】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+．令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数；当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数．所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-．由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确．故选ACD ．【名师点睛】利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立．三、填空题1．函数3()3f x x x =-在区间[]1,3-上的最小值为__________．【试题来源】陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2-【分析】根据函数求导判断函数单调性，进而求得最值．【解析】由3()3f x x x =-，得2()33f x x '=-．令0fx，解得11x =-，21x =．()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增，所以最小值为(1)2f =-．【名师点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 2．函数21()ln 2f x x x =-的最小值为__________．【试题来源】陕西省西安市第八十三中学2020-2021学年高二上学期期末（理）【答案】12【分析】求导，判断函数的单调性，根据单调性即可求解．【解析】21()ln 2f x x x =-，0x >，()211x f x x x x='-=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '≤，解得01x <≤，所以函数在(]0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增，所以()()min 112f x f ==． 3．若函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，则m 的取值范围为__________．【试题来源】河南省新乡市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】(2,0)-【分析】由函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，可得()22(0)x f x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，再利用零点存在性定理列不等式求解即可．【解析】因为2()2(0)xf x m e x x m =⋅-+<，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<，因为函数2()2(0)x f x m e x x m =⋅-+<在(0,1)上有极值点，所以()22(0)xf x m e x m '=⋅-+<在(0,1)上有零点，因为(0),22xy m e m x y =⋅-=<+在(0,1)上都递减，所以()'f x 在(0,1)上为减函数，所以(0)20(1)0f m f me =+>⎧⎨=<''⎩，解得20m -<<．故答案为(2,0)-．4．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是__________．【试题来源】浙江省金华十校2020-2021学年高二上学期期末【答案】()3,2-- 【解析】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =，由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-．因此，实数m 的取值范围是()3,2--．【名师点睛】已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．5．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是__________．【试题来源】江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理）【答案】(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解．【解析】由题可知 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =．所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==，所以 03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].--故答案为(]3,2--【名师点睛】由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式．6．函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a b +=__________．【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高二下学期期初检测【答案】7-【分析】由()f x 在1x =处取得极值10，求得解得4 11a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，再结合函数的极值的概念进行检验，即可求解．【解析】由题意，函数()322f x x ax bx a =+++，可得()232f x x ax b '=++，因为()f x 在1x =处取得极值10，可得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，解得4 11a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，检验知，当3,3a b =-=时，可得()223633(1)0f x x x x '=+=-≥-，此时函数()f x 单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）；当4,11a b ==-时，可得()23811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-，当113x <-或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1113x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意．所以7a b +=-．故答案为7-．【名师点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：（1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；（3）函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．四、双空题1．已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________；()f x 的最小值为__________．【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第一册）【答案】36 24【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性、极值与最值，结合已知列方程即可得出．【解析】因为函数()4(0,0)af x x x a x=+>>，2224()4a x a f x x x -'=-==(0,0)x a >>．由()0f x '>可得()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增；由()0f x '<可得()f x 在⎛ ⎝⎭上递减；所以x =时，函数()f x 取得极小值也是最小值，因为函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，3∴，解得36a =．()f x 的最小值为f （3）3612243=+=．故答案为36，24． 2．曲线22y x x =+在点()1,3处的切线方程为__________，函数22y x x=+的极小值为__________．【试题来源】浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二上学期期末联考【答案】3y = 3原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24【分析】根据导数的应用，求导可得222y x x '=-+，直接求切线方程和极小值点即可．【解析】222y x x'=-+，所以斜率220k =-+=，所以直线方程为3y =，令32222220x y x x x-'=-+==可得1x =，当(0,1)x ∈和(,0)x ∈-∞时0y '<，22y x x=+为减函数； (1,)x ∈+∞时，0y '>，22y x x=+为增函数，故在1x =处取得极小值，此时3y =，即极小值为3．故答案为3y =；3． 3．已知函数()ln xf x x=．（1）函数的最大值等于________；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，则实数a 的最小值是________．【试题来源】北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试【答案】1e1 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e -≤，而由（1）在[),e +∞上10()f x e<≤，因此只要当0a e <<时，min ()0f x ≥即可得，由此可得a 的取值范围，从而得a 的最小值．【解析】（1）函数定义域是(0,)+∞，21ln ()xf x x -'=， 0x e <<时，()0f x '>，()f x 递增，x e >时，()0f x '<，()f x 递减，所以x e =时，()f x 取得极大值也是最大值1()f e e=；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()121f x f x e-≤成立，等价于当[,)x a ∈+∞时，max min 1()()f x f x e-≤，由（1）当a e ≥时，max 1()f x e≤，且()0f x >，满足题意；当0a e <<，()f x 在[,]a e 上递增，ln 1()a f x a e ≤≤，在[),e +∞递减，10()f x e<≤，只要ln 0a a≥即可，所以1a e ≤<，综上[1,)a ∈+∞，a 的最小值是1．故答案为1e ；1．【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值0≥，由单调性易得结论．4．设函数32()(3)f x x a x ax =+++，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为__________；函数()f x 的极大值点为__________．【试题来源】浙江省台州市五校2019-2020学年高二下学期期中联考【答案】30x y += 1-【分析】根据奇函数的定义，得到30a +=，即3a =-，确定函数解析式，函数求导得切线的斜率，利用函数的单调性求得极值点．【解析】因为函数32()(3)f x x a x ax =+++是奇函数，所以()()f x f x -=-，从而得到30a +=，即3a =-，所以3()3f x x x =-，因为2'()33f x x =-，所以'(0)3f =-，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为3y x =-，2'()330f x x =-<，则11x -<< ，所以函数在(1,1)-上是减函数，在(,1),(1,)-∞-+∞是增函数，所以函数的极大值点是1-，故答案为30x y +=；1-.5．已知l ()1n f x x a x =--，若()f x 有最值，则a 的取值范围为__________；若当2(,)x e e ∈时，()0f x ≥，则a 的取值范围为__________．【试题来源】福建省南平市2020-2021学年高二上学期期末考试【答案】(0,)+∞ (],e 1-∞-。

职测数量关系：最值问题之和定最值

在职测数量关系考试中，大家要先熟悉题型，再逐步掌握快速解题的方法，因为通过题型的特征能够帮助我们快速解题，达到事半功倍的效果。

今天带大家学习一个比较容易掌握的题型mdash;mdash;和定最值。

一、题型特征和定最值顾名思义，几个量的和一定，求其中某个量最大值或最小值。

二、解题原则若求其中某一个量的最大值，则让其他量尽可能小；若求某一个量的最小值，则让其他量尽可能大。

三、解题步骤结合解题原则找等量关系，具体步骤：1、设未知数(一般求谁设谁)；2、结合原则表示其他量(注意有无各不相同描述)；3、根据总和一定列等式；4、求解(如要取整，注意不是四舍五入，要看题目问法，与所求方向相反)。

【例1】5名工人生产精密零件，一共制作了193个零件。

已知每人制作的零件数量各不相同且均为整数，且最少制作了21个，则制作最多的人最多做了多少个零件？A.100B.101C.102D.103答案：D【【解析】根据题干可知，五人制作的零件之和为193，求解最多的人的最大值，此题为和定最值题目。

首先将五名工人制作的零件数从高到低排序，所求为最高即第一名的最大值，则让二至五名零件数尽可能低，已知最低是21个，且每人零件数各不相同，因此从二至五名的零件数取值依次为24，23，22，21。

根据总和为193可知，第一名最多的零件数为193-24-23-22-21=103，选择D。

【例2】5人的体重之和是422斤，他们的体重都是整数，并且各不相同，最轻的人体重不低于70斤，则体重第三重的人最重可能是多少斤？A.90B.82C.84D.92答案：D【【解析】根据题干可知，五人的体重之和为422，求解体重第三重的人最大值，此题为和定最值题目。

首先将五名的体重从高到低排序，要使第三重的人体重尽可能重，则其他人的体重则尽量轻，题干信息最轻的人体重不低于70斤，则让第五重的人的体重70斤，第四重的人要比第五重的人重，但还要求尽可能轻，那就让第四重的体重为71斤，其他人体重均未知，此时，不妨假设所求，即第三重的人体重为x，第二重的人要比第三重的人重，但还要求尽可能轻，则设为x+1，同理，第一重的人设为x+2，根据总和为422，则有x+2+x+1+x+71+70=422，解得x=92.X，但是题干要求为整数，则不能取比92.X更大的数值，故向下取整，x=92，即第三重的人体重最重为92斤，选择D项。