专题一 第1讲

第1讲 三角函数的图象与性质(小题)热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式 1.三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.同角基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”. 例1 (1)(2019·绵阳诊断)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin 2θ等于( ) A.－45B.－35C.35D.45答案 C解析 因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，则sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝610＝35.故选C.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B.－45 C.43 D.－23 答案 A解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1＝4＋6－25＝85.跟踪演练1 (1)已知角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π3 答案 C解析 角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝⎛⎭⎫12，－32，在第四象限， 且满足cos α＝12，且sin α＝－32，故α的最小正值为5π3，故选C.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( ) A.12 B.13 C.16 D.－16 答案 D解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 1.“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.图象变换(先平移后伸缩)y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)―――――――――――→横坐标变为原来的ω1(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). (先伸缩后平移)y ＝sin x ―――――――――――→横坐标变为原来的ω1(ω>0)倍纵坐标不变 y ＝sin ωx ―――――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)平移|φ|ω个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ). 3.由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m 2.(2)T 定ω：由最小正周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.例2 (1)(2019·乐山、峨眉山联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π12B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24答案 C解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上所有的点向右平移π4个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12的图象， 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)， 得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －5π12的图象， ∴函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12.(2)(2019·宜宾调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A.322B.－322C.－32D.32答案 C解析 由题图可得：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最大值是3，∴A ＝3， 又∵T 4＝7π12－π3＝π4，ω>0，∴T ＝π，ω＝2，将⎝⎛⎭⎫π3，－3代入f (x )＝3sin(2x ＋φ)， 得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝－1，∴2π3＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－7π6＋2k π，k ∈Z ， 又0<φ<π，∴φ＝5π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝3sin ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－32，故选C. 跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移5π12个单位长度D.向右平移5π12个单位长度答案 A解析 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π3，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象. (2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，π上的零点为________.答案 27π12解析 从题图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质及应用 1.三角函数的单调性y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )； y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ). 2.三角函数的对称性正弦函数y ＝sin x 的对称轴为x ＝π2＋k π，k ∈Z ；余弦函数y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，k ∈Z .正弦函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ；余弦函数y ＝cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，k ∈Z ；正切函数y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . 3.三角函数的周期性f (x )＝A sin(ωx ＋φ)和f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|；y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.例3 (1)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，把y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是( ) A.g ⎝⎛⎭⎫π3＝32B.g (x )的图象关于直线x ＝π2对称C.g (x )的一个零点为⎝⎛⎭⎫π3，0D.g (x )的一个单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 答案 D解析 ∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝cos 5π6＝－32，故A 错，令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得对称轴方程为x ＝k π2－π12，k ∈Z ，故B 错，令2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称中心的横坐标为x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，故C 错，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，故μ＝2x ＋π6∈[0，π]，因为y ＝cos μ在[0，π]上是减函数，故g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在⎣⎡⎦⎤－π12，5π12上是减函数，故D 正确. (2)(2019·成都模拟)若存在唯一的实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得曲线y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)关于点(t ,0)对称，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，113B.⎝⎛⎦⎤53，113C.⎝⎛⎦⎤43，103D.⎣⎡⎦⎤43，103 答案 B解析 因为t ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以ωt －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，ωπ2－π3，所以π2＜ωπ2－π3≤3π2，解得53＜ω≤113.跟踪演练3 (1)(2019·南宁第二次适应性测试)已知将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数g (x )的图象.若g (x )是偶函数，则f ⎝⎛⎭⎫π3等于( ) A.12 B.22 C.32 D.1 答案 A解析 由题意可得g (x )＝sin(2x ＋3φ)， 因为g (x )是偶函数，所以3φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π3(k ∈Z )，又0＜φ＜π2，所以0＜π6＋k π3＜π2，解得－12＜k ＜1，所以k ＝0，故φ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝12. (2)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，1B.(0,2)C.(1,2)D.[1,2)答案 C解析 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0). 令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z ，因为f (x )的图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，所以π6<π3ω＋k πω<π3，所以3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z .又f (x )的最小正周期大于π，所以2πω>π，解得0<ω<2，所以ω的取值范围是(1,2).故选C.真题体验1.(2017·全国Ⅲ，理，6)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A.f (x )的一个周期为－2π B.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减 答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确；D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误. 故选D.2.(2018·全国Ⅱ，理，10 )若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 答案 A解析 f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减. ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4.3.(2019·全国Ⅰ，理，11)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增； ③f (x )在[－π，π]上有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确.综上，正确结论的编号是①④.故选C. 押题预测1.已知直线3x －y －1＝0的倾斜角为α，则cos α－2sin αsin α＋cos α的值为( )A.－1110B.－12C.－114D.－54答案 D解析 由3x －y －1＝0得，y ＝3x －1，∴tan α＝3，又cos α－2sin a sin α＋cos α＝cos α－2sin αcos αsin α＋cos αcos α＝1－2tan αtan α＋1＝1－2×33＋1＝－54.2.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2 答案 C解析 C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3，C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2，故选C.3.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤－π12，5π12上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤5π12，11π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上单调递增答案 A解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为 y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 单调递增区间满足2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，单调递减区间满足2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，由此可得，当k ＝0时，得到函数在⎣⎡⎦⎤－π12，5π12上单调递增.A 组 专题通关1.已知角α的终边过点P (－3，8m )，且sin α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 因为角α的终边过点P (－3，8m )，所以sin α＝8m9＋(8m )2＝－45，解得m ＝－12.2.若sin x <0，且sin(cos x )>0，则角x 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案 D解析 ∵－1≤cos x ≤1，且sin(cos x )>0，∴0<cos x ≤1，又sin x <0，∴角x 为第四象限角. 3.(2019·绵阳诊断)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为( ) A.g (x )＝cos 2x B.g (x )＝－cos 2x C.g (x )＝sin 2x D.g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 答案 A解析 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的解析式为 g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x . 4.(2019·柳州模拟)已知函数f (x )＝2sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎫0<ω<6，||φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，2和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，则函数f (x )的图象的对称轴方程可以是( )A.x ＝－11π6B.x ＝－3π5C.x ＝π4D.x ＝π3答案 A解析 由题意得，2π3－π6＝⎝⎛⎭⎫k ＋12T ，k ∈N ，得T ＝π2k ＋1，故ω＝2πT ＝4k ＋2，k ∈N .因为0<ω<6，k ∈N ，所以ω＝2，从而f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，得π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 因为||φ<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π，得x ＝k π2＋π6()k ∈Z ，取k ＝－4，得x ＝－11π6.5.函数f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的一个单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－5π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤0，5π6 C.⎣⎡⎦⎤－π，－π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，π答案 A解析 由题意可知f (x )＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π6＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可得－5π6≤x ≤π6，即函数的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π6，π6. 6.已知函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx (ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤23，43 B.⎝⎛⎦⎤0，43 C.⎝⎛⎦⎤0，23 D.(0，1] 答案 A解析 函数f (x )＝12cos ωx －32sin ωx ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)， 当x ∈[0，π]时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3≤12，则π≤ωπ＋π3≤5π3， 解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为⎣⎡⎦⎤23，43. 7.若f (x )＝sin x ＋3cos x 在[－m ，m ](m >0)上是增函数，则m 的最大值为( ) A.5π6 B.2π3 C.π6 D.π3 答案 C解析 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在[－m ，m ](m >0)上是增函数，∴－m ＋π3≥－π2，且m ＋π3≤π2.求得 m ≤5π6，且 m ≤π6，∴m ≤π6，∴0＜m ≤π6故m 的最大值为π6.8.将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法正确的是( ) A.最小正周期为π4B.图象关于直线x ＝－π12对称C.图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D.在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其周期为T ＝2π2＝π，选项A 错误；由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z 可得对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，当k ＝－1时，对称轴为x ＝－π12，选项B 正确；对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0，k ∈Z ，选项C 错误；增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，选项D 错误.9.(2019·四川百校联考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3在区间[0,2π]上至少存在5个不同的零点，则正整数ω的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 当x ∈[0,2π]时，ωx －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2ωπ－π3， 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3在区间[0,2π]上至少存在5个不同的零点， 只需要2πω－π3≥4π，解得ω≥136，所以，最小整数为3.10.(2019·曲靖调研)关于函数f (x )＝3cos 2x ＋2sin x cos x －3sin 2x ，有如下命题： ①x ＝π12是f (x )的图象的一条对称轴；②∀x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫π3－x ； ③将f (x )的图象向右平移π3个单位长度，可得到奇函数的图象；④∃x 1，x 2∈R ，|f (x 1)－f (x 2)|≥4. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 函数f (x )＝3cos 2x ＋2sin x cos x －3sin 2x ， 化简可得f (x )＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 对于①，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，∴x ＝π12是其中一条对称轴.故①对.对于②，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋π3＝－2sin 2x ， －f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－2x ＋π3＝－2sin 2x ， ∴∀x ∈R ，f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫π3－x .故②对. 对于③，将f (x )的图象向右平移π3个单位长度，可得到2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3不是奇函数，故③不对. 对于④，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，当x 1＝π12，x 2＝－5π12时， |f (x 1)－f (x 2)|＝4，所以存在x 1，x 2∈R 使得|f (x 1)－f (x 2)|≥4，故④对. ∴真命题的个数是3个.11.(2018·北京)在平面直角坐标系中，»AB ，»CD ，»EF ，¼GH 是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.»AB B.»CD C.»EF D.¼GH 答案 C解析 由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在»AB 上，cos α>sin α，不满足；在»CD上，tan α>sin α，不满足； 在»EF上，sin α>0，cos α<0，tan α<0，且cos α>tan α，满足； 在¼GH上，tan α>0，sin α<0，cos α<0，不满足. 12.(2019·乐山调研)已知函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的相邻两个对称中心的距离为32，且f (1)＝－3，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝1x －2(－5<x <9且x ≠2)的图象所有交点横坐标之和为( ) A.16 B.4 C.8 D.12 答案 D解析 依题意，函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为3，即πω＝3，得ω＝π3，则f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，又f (1)＝－3，即tan ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝－3，所以π3＋φ＝2π3＋k π，k ∈Z ， 因为0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π3， 又因为f (2)＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0，所以y ＝f (x )关于点(2,0)对称，而y ＝1x －2也关于点(2,0)对称，作出两个函数的图象(图略)，可知两函数共有6个交点，且都关于点(2,0)对称，则易知6个交点横坐标之和为12. 13.已知tan α＝2，则sin 22α－2cos 22αsin 4α＝________.答案112解析 ∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，∴sin 22α－2cos 22αsin 4α＝sin 22α－2cos 22α2sin 2αcos 2α＝tan 22α－22tan 2α＝169－22×⎝⎛⎭⎫－43＝112.14.已知f (x )＝2sin 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，f (x )的最小值为________. 答案 － 3解析 由T ＝2π2ω＝π，得ω＝1，∴f (x )＝2sin 2x ，由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，得π3≤2x ≤4π3，∴当2x ＝4π3时，2sin 2x ＝－3，f (x )min ＝－ 3. 15.(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________. 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]， ∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 16.(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______. 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.B 组 能力提高17.(2019·内江模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (x ＋α)，x ≤0，cos (x －β)，x ＞0，是偶函数，则下列结论可能成立的是( )A.α＝π4，β＝π8B.α＝π3，β＝π6C.α＝5π6，β＝2π3D.α＝2π3，β＝π6答案 D解析 根据题意，设x ＜0，则－x ＞0， 则由f (x )＝sin(x ＋α)，f (－x )＝cos(－x －β)， 又由函数f (x )是偶函数，则sin(x ＋α)＝cos(－x －β)， 变形可得sin(x ＋α)＝cos(x ＋β)，即sin x cos α＋cos x sin α＝cos x cos β－sin x sin β， 必有sin α＝cos β，cos α＝－sin β，分析可得α＝β＋π2，可得α＝2π3，β＝π6满足题意.18.(2019·云南师大调研)下列关于函数f (x )＝2|sin x |＋|cos x |的描述中，正确的是________.(填写正确命题的序号) ①π是f (x )的一个周期； ②f (x )是偶函数； ③1≤f (x )≤5；④y ＝f (x )，x ∈[0，π]与y ＝2有且只有2个公共点. 答案 ①②③解析 f (x ＋π)＝2|sin(x ＋π)|＋|cos(x ＋π)|＝2|sin x |＋|cos x |＝f (x )，故①正确；因为f (－x )＝2|sin(－x )|＋|cos(－x )|＝2|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故②正确； 由①②得f (x )在R 上的值域与其在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域相同，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝2sin x ＋cos x ＝5sin(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2，角θ的终边过点⎝⎛⎭⎫25，15，故θ＜π4，θ≤x ＋θ≤π2＋θ，5sin θ≤f (x )≤5sin π2，所以f (x )的值域为[1，5]，故③正确；y ＝f (x )，x ∈[0，π]的图象如图，所以y ＝f (x )，x ∈[0，π]与y ＝2有且只有3个公共点，故④错误.。