专题一 第1讲

第1讲 三角函数的图象与性质(小题)

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式 1.三角函数

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x (x ≠0).

各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.同角基本关系式

sin 2α＋cos 2α＝1，sin α

cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.诱导公式

在k π

2

＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”. 例1 (1)(2019·绵阳诊断)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin 2θ等于( ) A.－45

B.－3

5

C.35

D.45

答案 C

解析 因为角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，

终边在直线y ＝3x 上，所以tan θ＝3，则sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝610＝3

5.故选C.

(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝⎛⎭

⎫π

2＋α－2cos 2α－

3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( ) A.85 B.－45 C.43 D.－23 答案 A

解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，

cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()

π＋α

＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α

＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1

＝4＋6－25＝8

5

.

跟踪演练1 (1)已知角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π

6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.11π6 C.5π3 D.2π

3 答案 C

解析 角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，即为点⎝⎛⎭⎫12，－3

2，在第四象限， 且满足cos α＝12，且sin α＝－32，故α的最小正值为5π

3，故选C.

(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫

3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭

⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)等于( ) A.12 B.13 C.16 D.－16 答案 D

解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α， 则sin (π－α)－4sin ⎝⎛⎭

⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α

＝2cos α－4cos α

10cos α＋2cos α＝－212＝－1

6.

热点二 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 1.“五点法”作图

设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π

2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.

2.图象变换

(先平移后伸缩)y ＝sin x ―――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)

平移|φ|个单位长度 y ＝sin(x ＋φ)

―――――――――――→横坐标变为原来的ω

1(ω>0)倍

纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍

横坐标不变

y ＝A sin(ωx ＋φ). (先伸缩后平移)y ＝sin x ―――――――――――→横坐标变为原来的ω

1(ω>0)倍

纵坐标不变 y ＝sin ωx ―――――――――→向左(φ>0)或右(φ<0)

平移|φ|

ω个单位长度

y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍

横坐标不变

y ＝A sin(ωx ＋φ). 3.由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值

(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m 2

.

(2)T 定ω：由最小正周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2π

T

.

(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.

例2 (1)(2019·乐山、峨眉山联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上所有的点向右平移π

4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )

A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π12

B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

x 2＋π12 C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24

答案 C

解析 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上所有的点向右平移π

4个单位长度， 得y ＝sin ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫x －π4－π6＝sin ⎝⎛⎭

⎫x －5π

12的图象， 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)， 得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

12x －5π12的图象， ∴函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12.

(2)(2019·宜宾调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )

A.322

B.－32

2

C.－32

D.32

答案 C

解析 由题图可得：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最大值是3，∴A ＝3， 又∵T 4＝7π12－π3＝π

4，ω>0，∴T ＝π，ω＝2，

将⎝⎛⎭⎫π

3，－3代入f (x )＝3sin(2x ＋φ)， 得sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝－1，

∴2π3＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－7π

6＋2k π，k ∈Z ， 又0<φ<π，∴φ＝5π

6

，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，