2020年高考数学二模试卷-普通用卷

2020年高考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集U=R，A={x|x<1}，B={x|x>−1}，则()A. A⊆BB. B⊆AC. B⊆∁U AD. ∁U A⊆B2.下列函数中，值域为[0,+∞)且为偶函数的是()A. y=x2B. y=|x−1|C. y=cosxD. y=lnx3.若抛物线y2=12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于()A. 4B. 6C. 8D. 104.已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若l//m，m⊂α，则l//αC. 若l//α，l//β，则α//βD. 若l//α，l⊥β，则α⊥β5.在△ABC中，若a=7，b=8，cosB=−17，则∠A的大小为()A. π6B. π4C. π3D. π26.将函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=()A. sin(2x+π6) B. sin(2x+2π3) C. cos2x D. −cos2x7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为()A. 23B. 43C. 2D. 48.对于非零向量a⃗，b⃗ ，“(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃗ ”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动．若D1O⊥OP，则△D1C1P面积的最大值为()A. 2√55B. 4√55C. √5D. 2√510.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况不满足条件(其中“√”表示就座人员).根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为()A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.若复数(2−i)(a+i)为纯虚数，则实数a=______．12.已知双曲线E的一条渐近线方程为y=x，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为______.(写出一个即可)13.数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，n∈N∗.若其前k项和为126，则k=______．14.已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2,2)，|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，O为坐标原点，则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=______，OP⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围是______．15.已知函数f(x)={ax+1,x≤0|lnx|,x>0，给出下列三个结论：①当a=−2时，函数f(x)的单调递减区间为(−∞,1)；②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,+∞)；③若a<1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y=f(x)−b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3=−1．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知{a n}是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为S n.又___，且S5=40，是否存在大于1的正整数k，使得S k=S1？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．从①a1=4，②d=−2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=12AD=1，E为线段AD的中点，PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G．(Ⅰ)求证：BE//FG；(Ⅱ)若PC与AB所成的角为π4，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值．18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．(Ⅰ)估计该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数；(Ⅱ)若以图2中年龄在71～80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；(Ⅲ)据统计，该地区被访者的签约率约为44%.为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释．19.已知椭圆w：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过A(0,1)，B(0,−1)两点，离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆w的方程；(Ⅱ)过点A的直线l与椭圆w的另一个交点为C，直线l交直线y=2于点M，记直线BC，BM的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．20.已知函数f(x)=e x(sinx+cosx)．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)求证：曲线y=f(x)在区间(0,π2)上有且只有一条斜率为2的切线．21.在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P(x,y)，定义|OP|=|x|+|y|.任取点A(x1,y1)，B(x2,y2)，记A′(x1,y2)，B′(x2,y1)，若此时|OA|2+|OB|2≥|OA′|2+|OB′|2成立，则称点A，B相关．(Ⅰ)分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①A(−2,1)，B(3,2)；②C(4,−3)，D(2,4)．(Ⅱ)给定n∈N∗，n≥3，点集Ωn={(x,y)|−n≤x≤n，−n≤y≤n，x，y∈Z}．(i)求集合Ωn中与点A(1,1)相关的点的个数；(ii)若S⊆Ωn，且对于任意的A，B∈S，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵∁R A={x|x≥1}，∁R B={x|x≤−1}，∴∁R A⊆B，故选：D．由集合间的关系直接判断．本题考查了集合的补集运算及集合间的关系，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：A：y=x2为偶函数，且值域[0,+∞)，符合题意；B：y=|x−1|为非奇非偶函数，不符合题意；C：y=cosx的值域[−1,1]，不符合题意；D：y=lnx为非奇非偶函数，且值域R，不符合题意．故选：A．由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解．本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础试题．3.【答案】B【解析】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，P=6，由抛物线的定义可得：|PF|=x P+p2=3+62=6．故选：B．利用抛物线的标准方程，求出p ，通过定义转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】D【解析】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面α，β，对于A，若m//α，n//α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若l//m，m⊂α，则l//α或l⊂α，故B错误；对于C，若l//α，l//β，则α与β平行或相交，故C错误；对于D，若l//α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l//α或l⊂α；对于C，α与β平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：∵a=7，b=8，cosB=−17，∴sinB=√1−cos2B=4√37，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinA=a⋅sinBb=7×4√378=√32，∵a<b，A为锐角，∴A=π3．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，由正弦定理可得sin A，结合大边对大角可求A为锐角，利用特殊角的三角函数值可求A的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π6)的图象向左平移π3个单位长度后，可得y=sin[2(x+π3)−π6]=sin(2x+π2)=cos2x；故选：C．根据平移变换法则求解g(x)解析式．本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换法则，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A−BCD，如图所示：V A−BCD=V A−BCE−V A−CDE=13×12×2×2×2−13×12×2×1×2=23．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.【答案】B【解析】解；“(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=2a⃗2”化为：a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2a⃗2，即a⃗⋅b⃗ =a⃗2．由“a⃗=b⃗ ”⇒a⃗⋅b⃗ =a⃗2．反之不成立，可能|b⃗ |cos<a⃗，b⃗ >=|a⃗|.∴“(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=2a⃗2”是“a⃗=b⃗ ”的必要不充分条件．故选：B．“(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=2a⃗2”化为：a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2a⃗2，a⃗⋅b⃗ =a⃗2.进而判断出结论．本题考查了数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1O⊥OC，当P位于BB1的中点P1时，由已知得，DD1=2，DO=BO=√2，BP1=B1P1=1，B1D1=2√2，求得OD1=√4+2=√6，OP1=√2+1=√3，D1P1=√8+1=3．∴OD12+OP12=D1P12，得OD1⊥OP1．又OP1∩OC=O，∴D1O⊥平面OP1C，得到P的轨迹在线段P1C上．由C1P1=CP1=√5，可知∠C1CP1为锐角，而CC1=2<√5，知P到棱C1D1的最大值为√5．则△D1C1P面积的最大值为12×2×√5=√5．故选：C．由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1的最大值，代入三角形面积公式求解．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，若四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．故选：C．分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】−12【解析】解：∵(2−i)(a+i)=(2a+1)+(2−a)i为纯虚数，∴{2a+1=02−a≠0，即a=−12．故答案为：−12．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.【答案】x24−y24=1【解析】解：双曲线E的一条渐近线方程为y=x，设双曲线的方程为x2−y2=λ(λ≠0)，若λ>0，可得x2λ−y2λ=1，可得焦距为2√2λ>4，解得λ>2；若λ<0，则y2−λ−x2−λ=1，可得焦距为2√−2λ>4，解得λ<−2，故双曲线的方程为x2−y2=λ(λ>2或λ<−2)，取λ=4，双曲线的方程为x24−y24=1，故答案为：x24−y24=1．由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为x2−y2=λ(λ≠0)，讨论λ>0，λ<0时，求得双曲线的焦距，解不等式可得所求范围，可取一个特殊值，可得所求的双曲线的标准方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：∵a1=2，a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，S k=2(1−2k)1−2=126，故k=6．故答案为：6由已知可得数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于基础试题．14.【答案】1 [0,π6]【解析】解：根据题意，A(2,0)，B(1,2)，C(2,2)，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又由|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，P是以A为圆心，半径为1的圆，则设P(2+cosα,sinα)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，(0≤α≤2π,0≤θ≤π)；则OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosα,sinα)，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5+4cosα，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗ =4+2cosα，则有cosθ=OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4+2cosα2√5+4cosα=2+cosα√5+4cosα=14(√5+4cosα)=14(√5+4cosα+√5+4cosα)，又由√5+4cosα+√5+4cosα≥2√3，当且仅当5+4cosα=3，即cosα=−1时，等号成立，则有cosθ=14(3√5+4cosα+√5+4cosα)≥√32，又由0≤θ≤π，则0≤θ≤π6，即OP⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围是[0,π6]；故答案为：1，[0,π6].根据题意，分析可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，进而可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，即可得|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，据此分析可得P 是以A 为圆心，半径为1的圆，则设P(2+cosα,sinα)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为θ，即可得向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 15.【答案】②③【解析】解：对于①，当a =−2时，函数y =ax +1在(−∞,0]单调递减，y =|lnx|在(0,1)上单调递减，但是函数f(x)在(−∞,1)不单调递减．因此①错误；对于②，因为y =|lnx|≥0，当a =0时，x ≤0，y =1，此时函数的最小值为0；当a >0时，y =ax +1在(−∞,0]上单调递增，没有最小值，且x →−∞是，y →−∞；当a <0时，y =ax +1在(−∞,0]上单调递减，最小值为1，所以函数f(x)的最小值为0；若函数f(x)无最小值，则a 的取值范围为(0,+∞)，②正确；对于③，令f(x)−b =0，即当x ≤0时，ax +1=b ；当x >0时，|lnx|=b ；不妨设x 1≤0<x 2<x 3， 若函数有三个零点，则x 1=b−1a≤0，x 2=e −b ，x 3=e b ，则x 2x 3=1． 令x 1=b−1a=−1，可得b =1−a ．a <0时，b =1−a >0，则三个零点x 1x 2x 3=−1．0<a <1时，1>b =1−a >0，则三个零点x 1x 2x 3=−1． 综上可得：③正确． 故答案为：②③对于①，当a =−2时，函数y =ax +1在(−∞,0]单调递减，y =|lnx|在(0,1)上单调递减，作出函数图象即可判断出结论对于②，对a 分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误；对于③，令f(x)−b =0，即当x ≤0时，ax +1=b ；当x >0时，|lnx|=b ；不妨设x 1≤0<x 2<x 3，若函数有三个零点，可得x 1=b−1a≤0，x 2=e −b ，x 3=e b ，进而判断出结论．本题主要考查分段函数的性质、数形结合方法、方程与函数图象的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：若选①，a 1=4， 因为{a n }是等差数列，所以S 5=5×4+10d =40，故d =2，S k =4k +12k(k −1)×2=k 2+3k ，S 1=a 1=4， 由S k =S 1可得k 2+3k =4可得k =1或k =−4(舍)， 故不存在k >1使得S k =S 1；若选②，d =−2，因为{a n }是等差数列，由S 5=5a 1+10×(−2)=40，可得a 1=12，S k =12k +k(k−1)2×(−2)=13k −k 2，因为S k =S 1，所以13k −k 2=12，解可得k =1或k =12， 因为k =12>1，存在在k >1使得S k =S 1；【解析】分别选择①②，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断． 本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．17.【答案】(Ⅰ)证明：∵E 为线段AD 的中点，且BC =12AD ，∴DE =BC ，又∵AD//BC ，∴DE//BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形，得BE//CD ，∵CD ⊂平面PDC ，BE ⊄平面PDC ，∴BE//平面PDC ， ∵BE ⊂平面BEGF ，平面BEGF ∩平面PDC =FG ， ∴BE//GF ；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可得，BE//CD ，∵∠ADC =90°，∴AEB =90°，且PE ⊥平面ABCD ，∴以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(0,0，p)，A(1,0，0)，B(0,1，0)，C(−1,1，0)， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−p)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∵PC 与AB 所成的角为π4， ∴|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√22，(p >0)，解得p =√2．则P(0,0，√2)，F(−12,12,√22)，E(0,0，0)．PB −=(0,1,−√2)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,√22)． 设平面BEF 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)． 由{n ⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y +√22z =0，取z =1，得n ⃗ =(√2,0,1)． PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√2．设直线PB 与平面BEF 所成角为α，则sinα=|cos <PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√23． 即直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值为√23．【解析】(Ⅰ)由已知证明四边形BCDE 为平行四边形，得BE//CD ，由直线与平面平行的判定可得BE//平面PDC ，再由直线与平面平行的性质得到BE//GF ；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，BE//CD ，结合∠ADC =90°，且PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(0,0，p)，由PC 与AB 所成的角为π4，利用数量积求夹角公式解得p ，再求出平面BEF 的一个法向量及PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题知该地区居民约为2000万，由图1知该地区年龄在71～80岁的居民人数为：0.004×10×2000=80万， 由图2知年龄在71～80岁的居民签约率为0.7，∴该地区年齡在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数为：80×0.7=56万． (Ⅱ)由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为p =0.7， 且每个居民之间是否签约都是独立的，∴设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人”为事件B ， 随机变量为x ，这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为：P(x =1)=C 21×0.7×0.3=0.42．由以上数据可知这个地区在31～50这个年龄段的人为740万， 基数较其他年齡段是最大的， 且签约率为37.1%，非常低，∴为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高31～50这个年龄段的签约率．【解析】(Ⅰ)由题知该地区居民约为2000万，由图1知该地区年龄在71～80岁的居民人数为80万，由图2知年龄在71～80岁的居民签约率为0.7，由此能求出该地区年齡在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数． (Ⅱ)由题知此地区年龄段在71～80的每个居民签约家庭医生的概率为p =0.7，设“从该地区年龄在71～80岁居民中随机抽取两人”为事件B ，由此能求出这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率．(Ⅲ)由图1，2，列出表格，得到这个地区在31～50这个年龄段的人为740万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高31～50这个年龄段的签约率．本题考查频率分布直方图，古典概型等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，考查统计概率思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得{ca=√32b =1b 2+c 2=a 2，解得a =2，b =1，c =√3，所以椭圆w 的方程为 x 24+y 2=1；(Ⅱ)由题意可知，直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：y =kx +1， 由{y =kx +1x 2+4y 2=4可得(4k 2+1)x 2+8kx =0，解得x C =−8k 1+4k 2， 在直线l ：y =kx +1，令y =2，可得x M =1 k ，即M(1 k ,2)， ∴k 1= y C +1x C=kx C +2x C=k +2x C=k −4k 2+14k=−14k ，k 2=31k=3k ，∴k 1k 2=−14k ⋅3k =−34．【解析】(Ⅰ)由题意可得{c a=√32b =1b 2+c 2=a 2，解得a =2，b =1，c =√3，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)设直线l ：y =kx +1，与直线方程联立求出C 的坐标，再根据斜率公式即可求出．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，以及直线的斜率公式，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x (sinx +cosx)+e x (cosx −sinx)=2e x cosx ， 令f′(x)=2e x cosx >0，解得：2kπ−π2<x <2kπ+π2，k ∈Z ， 故f(x)在(2kπ−π2,2kπ+π2)(k ∈Z)递增；(Ⅱ)原命题等价于：在区间(0,π2)上，方程e x cosx =1有唯一解， 设g(x)=e x cosx ，x ∈(0,π2)，则g′(x)=e x cosx −e x sinx =−√2e x sin(x −π4)， 而g(0)=1，g(π4)=√22e π4>1，g(π2)=0，∴g(x)=1在(0,π2)上存在唯一一个根，即f′(x)=2e x cosx −2=0在(0,π2)上存在唯一一个零点， 曲线y =f(x)在区间(0,π2)上有且只有一条斜率为2的切线．【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题等价于在区间(0,π2)上，方程e x cosx =1有唯一解，设g(x)=e x cosx ，x ∈(0,π2)，求出g(x)=1在(0,π2)上存在唯一一个根，从而证明结论．本题考查了函数的单调性问题，考查函数的零点以及导数的应用，考查转化思想，是一道综合题． 21.【答案】解：若点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)相关，不妨设x 1，y 1，x 2，y 2≥0， 则(x 1+y 1)2+(x 2+y 2)2≥(x 1+y 2)2+(x 2+y 1)2， ∴(x 1−x 2)(y 1−y 2)≥0，(1)①(2−3)(1−2)≥0，因此相关；②(4−2)(3−4)<0，因此不相关， (2)(i)在第一象限内，(x −1)(y −1)≥0，可知1≤x ≤n 且1≤y ≤n ，有n 2个点，同理可得在第二，第三，第四象限内，各有n 2个点，在x 轴正半轴上，点(1,0)满足条件，在y轴正半轴上，点(0,1)满足条件，原点(0,0)满足条件，因此集合Ωn中共有4n2+5个点与点A(1,1)相关，(ii)若两个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)相关，其中x1，x2≥0，y1，y2≥0，可知(x1−x2)(y1−y2)≥0，下面证|(x1+y1)−(x2+y2)|≥1，若x1=x2，则y1≠y2，成立，若x1>x2，则y1≥y2，若x1<x2，则y1≤y2，亦成立，由于|(x1+y1)−(x2+y2)|≤(n+n)−(0+0)=2n，因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n−1个点在第一象限，最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，因此S中元素个数的最大值为4(2n−1)+2×1+1=8n−1．【解析】(Ⅰ)根据题意若点A(x1,y1)，B(x2,y2)相关，则(x1−x2)(y1−y2)≥0，利用此不等式即可判定两点是否相关，(Ⅱ)(i)根据(x1−x2)(y1−y2)≥0，分别讨论在4个象限内，及坐标轴上与点A(1,1)相关的点的个数，即可算出结果；(ii)由(Ⅰ)可知若两个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)相关，则(x1−x2)(y1−y2)≥0，再证明|(x1+y1)−(x2+ y2)|≥1，即可求出S中元素个数的最大值．本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是中档题．。