4.解决几何综合题问题的几种数学思路

解决几何综合题的几种数学思路几何综合题是初中数学的重要问题，也是中考的重点考试内容，几何综合题一般以和三角形、四边形相结合的题型见多，那么几何综合题题有哪些解决思路呢，具体有以下几种思路.一运用几何的相关概念，定理，公式、法则来解决问题.1.如图，ABCD是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在AC或BD上钉上一根木条，现量得AB=80cm，BC=60cm，CD=40cm，AD=50cm，则所需的木条长度至少要____ _cm（取整数）2.如图，点I为△ABC的内心，AB=4cm，AC=3cm，BC=2cm，将∠ACB平移使其顶点与l重合，则图中阴影部分的周长为______cm3.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2=0，则b的取值范围是_______ .4.设α、β、γ是△ABC的三个内角，且β是钝角，化简：︱α-β-γ︱+︱β-α-γ︱+︱α+γ-β︱=_______ .5.已知△ABC是钝角三角形，∠A=500，设∠ABC=α，则α的取值范围是____ ___6.如图，已知在四边形ABCD中，点A在线段BC和线段CD的垂直平分线上，∠BAD=1500，AB=4.(1)AD的长为，(2)∠BCD的度数为 .7.如图，在线段BG上，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，面积分别是7cm2和11cm2，则△CDE的面积为（）cm2 A 4 B 7 C 11 D 78.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是500，则这个等腰三角形的底角为（）A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°9.已知一个直角三角形的三边长之和是（4+26）cm，斜边上的中线长是2，则此直角三角形的面积是（）A 5B 2C 4D 1二结合数形结合、分类讨论思想解决问题.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.实现数形结合，通常有以下途径：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）有序数对与坐标平面（空间）上的点的对应关系；（3）函数与图象的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.运用数形结合研究数学问题，加强了知识的横向联系和综合应用，对于沟通代数与几何的联系，具有指导意义.运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.数形结合的重点是研究“以形助数”，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，上述几类问题，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想．1.在等腰△ABC中，有一个内角是450，其底边长为102cm，求底边中点到腰的距离(已知数据：2≈1.4，3≈1.7, 5≈2.2, 6≈2.5, 7≈2.7, 8≈2.8)(结果精确到1)2.如图，∠A=∠B=500，P为AB的中点，点M为射线AC上（不与A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD与点N，设∠BPN=α.（1）求证：△APM≌△BPN；（2）当MN=2BN时，求α的度数；（3）若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围分析：（1）根据AAS证明：△APM≌△BPN；（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．解（1）证明：∵P是AB的中点，∴PA=PB，在△APM和△BPN中，∵∠A=∠B，PA=PB，∠APM=∠BPN，∴△APM≌△BPN（ASA）；（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN，∴PM=PN，∴MN=2PN，∵MN=2BN，∴BN=PN，∴α=∠B=500；（3）解：∵△BPN的外心在该三角形的内部，∴△BPN是锐角三角形，∵∠B=500，∴400＜∠BPN＜900，即400＜α＜900．3.如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝s 时，△POQ是等腰三角形；当t＝s时，△POQ是直角三角形．分析:根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上；根据△POQ是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ⊥AB，或PQ⊥OC，据此进行计算即可．解：如图，当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形,∵PO＝AO﹣AP＝10﹣2t，OQ＝1t,∴当PO＝QO时，10﹣2t＝t,解得t＝；如图，当PO＝QO时，△POQ是等腰三角形∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣10，OQ＝1t,∴当PO＝QO时，2t﹣10＝t,解得t＝10；如图，当PQ⊥AB时，△POQ是直角三角形，且QO＝2OP,∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣10，OQ＝1t，∴当QO＝2OP时，t＝2×（2t﹣10）,解得t＝；如图，当PQ⊥OC时，△POQ是直角三角形，且2QO＝OP, ∵PO＝AP﹣AO＝2t﹣10，OQ＝1t，∴当2QO＝OP时，2t＝2t﹣10方程无解．故答案为：或10；4.如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝4／3，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．（1）当∠DPQ＝20°时，求∠APB的值．（2）当tan∠ABP：tanA＝3：2时，求点Q与点B 间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出B、Q两点之间的距离．分析：（1）分两种情形①当点Q在平行四边形ABCD内时，②当点Q在平行四边形ABCD外时，分别求解即可．（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．在Rt△APE中，tanA＝＝，设PE＝4k，则AE＝3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP＝＝2，推出EB＝2k，推出AB＝5k＝10，可得k＝2，由此即可解决问题．（3）分三种情形：①如图3中，当点Q落在直线BC上时．②如图4中，当点Q落在CD上时．如图5中，当点Q落在AD上时，分别求解即可解决问题．解：（1）如图1中，①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B＝1800﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D＝1800﹣900﹣100＝800，②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB＝1800﹣（∠QPB﹣∠QPD）＝1800﹣（900﹣100）＝1000，综上所述，当∠DPQ＝100时，∠APB的值为800或1000．（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．∵tan∠ABP：tanA＝3：2，tanA＝，∴tan∠ABP＝2，在Rt△APE 中，tanA＝＝，设PE＝4k，则AE＝3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP＝＝2，∴EB＝2k，∴AB＝5k＝10，∴k＝2，∴PE＝8，EB＝4，∴PB＝＝4，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ＝PB＝4．（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB 中，∵tanA＝＝，∵AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF ＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16．②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．易证△PBE≌△QPF，∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tanA＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，PB＝＝＝4，BQ＝PB＝4．③如图5中，当点Q落在AD上时，易知PB＝PQ＝8，BQ＝8．综上所述，BQ的值为16或4或8．三善于分析，善于运用综合思想解决圆的问题.分析就是根据题目给出的已有条件或隐含条件，联系学过的相关的概念，定理，公式、法则，进行整合压缩，看看题目需要哪些条件，在结合数学思想，添加辅助线，推倒出题目结论.综合就是从已知条件一步一步推到结果，是指运用数学基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，遵循逻辑思维规律，发挥数学思维，对数学问题进行分析、解决并能进行思维创造，遵循科学的解题顺序，有目的、有计划地参与到解题实践过程中，解题时步骤严密，逻辑严谨，从中获得自己解决问题的能力.1.如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）求AE的长；（2）当t为何值时，∠PEA 为直角？（3）是否存在这样的t值，使EA恰好平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．分析：（1）在直角△ADE中，利用勾股定理进行解答；（2）先利用勾股定理表示出PE2，在Rt△PAE中，根据勾股定理建立方程求解即可得出结论；（3）利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA＝∠EAP，则PE＝PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4，∴CD＝AB＝9，∠D＝90°，∴DE＝9﹣6＝3，∴AE＝＝＝5；（2）如图，过点P作PH⊥PH⊥CD于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCHP是矩形，∴CH＝BP＝t，PH＝BC＝4，∴HE＝CE﹣CH＝6﹣t，在Rt△PHE中，PE2＝HE2+PH2＝（6﹣t）2+42，∵∠PEA＝90°，在Rt△PEA中，根据勾股定理得，PE2+AE2＝AP2，∴（6﹣t）2+42+52＝（9﹣t）2，∴t＝．（3）存在．理由：∵EA平分∠PED，∴∠PEA＝∠DEA．∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAP，∴∠PEA＝∠EAP，∴PE＝PA，∴（6﹣t）2+42＝（9﹣t）2，解得t＝．∴满足条件的t存在，此时t＝．2.如图1，P是△ABC纸片内一点，沿AP、BP、CP将它剪成三个小三角形纸片，然后将这三个小三角形纸片分别绕点B、C旋转，使A、B、C三点共线，再将其放入矩形EFGH内，线段AA′与EF重合，且点P恰好落在边HG 上(如图2).若∠BAC=800，求∠BPC的度数；若△ABC的面积为24，EF=20，求点P到线段AB的距离3.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC＝10，边OA＝6．（1）求C点的坐标；（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长．分析:（1）运用勾股定理直接求出OC的长度，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；由题意得AD＝CD＝x，则OD＝8﹣x；由勾股定理得：x2＝62+（8﹣x）2，求出x的值；根据面积公式列出关于DE的方程，即可解决问题．解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴∠AOB＝90°，而OA＝6，AC＝10，∴OC2＝AC2﹣OA2＝64，∴OC＝8，点C 的坐标为C（8，0）．（2）如图，连接AD、CE；由题意得：AD＝CD＝x，则OD＝8﹣x；由勾股定理得：x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝；由题意知：AC⊥DE，∴，∴DE＝＝＝．4.如图，在菱形ABCD中，已知E、F分别是边AB、BC的中点，CE、DF交于点G．若△CGF的面积为2，求菱形ABCD的面积分析：延长DA交CE延长线于点M，则△AME≌△BCE，即可得出FG：GD＝CF：DM＝1：4，求出△CGD的面积，然后可得出△DFC的面积，从而得出菱形ABCD的面积．解：如图，延长DA交CE延长线于点M，则△AME≌△BCE，∴AM＝BC，又∵点F是BC中点，∴CF：DM＝FG：GD＝1：4，∴S△CFG：S△CGD＝1：4，∵△CGF的面积为2，∴△CGD的面积为8，即可得△DFC的面积10，∴菱形ABCD 的面积为405.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴，y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB对折，使点A落在点E的位置，若OB＝，tan∠BOC＝，点求E的坐标分析：过点E作ED⊥x轴与点D，根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出ED、OD的长度，即可解决问题．解：如图，过点E作ED⊥x轴与点D；设ED＝x，OD＝y；∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB＝∠OCB＝90°；四边形ABED为梯形；设AB＝OC＝a，BC＝AO＝b；∵OB＝，tan∠BOC＝，∴，解得：a＝2，b ＝1；由题意得：EO＝AO＝1；△ABO≌△EBO；由勾股定理得：x2+y2＝1①，由面积公式得：xy+2××2×1＝（x+2）（y+1）②；联立①②并解得：x＝，y＝，则点E的坐标为（﹣，）．6.在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝450．（1）如图1，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO＝OB．求证：AC＝BD，AC⊥BD；（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．分析:（1）根据等腰直角三角形的判定和性质得出；（2）过点B作BE∥CA交DO于E，通过证明△AOC≌△BOE，得出AC＝BE，∠ACO＝∠BEO，从而∠DEB＝∠2，则BE＝BD，等量代换得出AC＝BD．延长AC交DB的延长线于F，根据平行线的性质及已知得出AC⊥BD；（3）过点B作BE∥CA交DO于E，通过证明△BOE∽△AOC，根据相似三角形的性质得出的值．（1）解：AO＝BD，AO⊥BD；（2）证明：如图2，过点B作BE∥CA交DO于E，则∠ACO＝∠BEO．又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE，∴△AOC≌△BOE．∴AC＝BE．又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°．∴∠DEB＝45°．∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°．∴AC＝BD．延长AC交DB的延长线于F，如图．∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°．∴AC⊥BD．（3）解：如图3，过点B作BE∥CA交DO于E，则∠BEO＝∠ACO．又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC．∴．又∵OB＝kAO，由（2）的方法易得BE＝BD．∴．。