自动控制原理第五章频域分析法

对数频率特性
三、微分环节
传递函数
G( s) s
G( j ) e
j

2
幅相特性
相频特性是一常值
2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数
1 G ( s) Ts 1
幅相特性
1 1 1 j tan T G( j ) e Tj 1 (T )2 1
Bode图的优点
幅值的乘除简化为加减；
可以用叠加方法绘制Bode图；
可以用简便方法近似绘制Bode图； 扩大研究问题的范围；
便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。
对数坐标系
5－2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G( j) K K e
幅频特性
j0
A() e
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
对数相频特性:
( ) ~ (lg )
对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取
10为底的对数 log
(dB)表示。
10
，纵坐标采用线性分度用分贝数
对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分 度，纵坐标采用线性分度用角度表示。
j ( )
A( ) ~
为系统的 为系统的
幅频特性 。
( ) ~
相频特性 。
RC 网络的幅频特性和相频特性

0 1 0
0
1/ T 1/ 2 45
o
0 90
o
RC 网 络 的 幅 相 特 性 曲 线
G ( j ) G ( j )
2、对数频率特性

对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括 对数幅频和对数相频两条曲线。
0 La ( ) 20 logT
1/ T 1/ T
惯性环节的对数幅频特性曲线近似为两段直线。两直线 相交，交点处频率 1/ T ，称为转折频率。 两直线实际上是对数幅频特性曲线的渐近线，故又称为 对数幅频特性渐近线。 用渐近线代替对数幅频特性曲线，最大误差发生在转折 频率处，即 1/ T 处。
惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
对数频率特性 L 20lg A
1 T 1
2 2
20lg T 1
2 2
G tan T
1
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
惯性环节的对数频率特性曲线
在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。
1 / T , L() 20log 1 T 20logT
2 2
当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直 线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为 1/T 。
在图中 T=0.5, 1/T=2 (rad/sec)
谐振峰值
Am ( m ) 1
2
2 1 2
振荡环节的对数频率特性
2 2 2 2 L( ) 20logG( j ) 20log (1 2 ) 4 2 n n
n L( ) 0 低频渐近线是零分贝线。
n L( ) 40log( / n ) 40log( T ) n 1/ T
U c ( s) 1 G( s) U r ( s) Ts 1
1 A U c ( s ) G ( s )U r ( s ) 2 2 Ts 1 s
A T t / T A uc e sin( t arctg T ) (t 0) 2 2 1 T 1 2T 2
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] ( j ) Ar 2 ( j ) Ar e 2j 2
同理： B
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2

7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的
定性关系。 8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段 的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分 析与比较。
频率特性法是经典控制理论中对系 统进行分析与综合的又一重要方法。
与时域分析法和根轨迹法不同；
频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系；
频率特性
1 1 j tan 1 (T ) G(s) s j e G( j) Tj 1 (T)2 1
该结论适用任何线性系统！
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
G ( j ) G ( j ) G ( j )
:0
A( )e
正弦稳态输出
u css
A 1 T
2 2
sin( t arctg T )
2 2 稳态输出幅值： 1 T

A
arctg T 稳态输出相位：
1 1 取： G( j ) (arctg T ) jT 1 1 2T 2
显然，G(jw)能够完整描述网络在正弦信号作用下
特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。 频率特性表达式为：
(s) |s j ( j) | ( j) | e
j ( j )
以RC网络为例
• 其传递函数
duc T u c u r T RC dt
Aω u r A sin t U r ( s) 2 2 s
A R( s) 2 2 s
其拉氏变换式：
Ci B D 输出： C ( s) R( s)( s) s j s j i 1 s si
拉氏反变换得：
n
c(t ) Ci e ( De
si t i 1
n
jt
Be
jt
)
其中：
ct (t ) cs (t )
频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解
析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的方
法测出稳定系统或元件的频率特性；
频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应；
频率法的五个特点
5－1 频率特性
一、基本概念
频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。
控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
输入信号：
r (t ) Ar sin t
倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程
的长度都是相等的。 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
☆对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）
以角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐 标为幅值，单位采用分贝。
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲
线及对数频率特性曲线。 3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数 幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。 4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频
特性曲线求开环传递函数的方法。
5. 熟练掌握Nyquist稳定判据和对数频率稳定判据。 6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
惯性环节的误差曲线
用渐近线近似产生的误差曲线
L( ) L( ) La ( )
1 2 2 20log 1 T T L( ) 1 2 2 20log 1 T 20log T T
误差的最大值发生在角频率为1/T处，这时
将B、D代入c(t)，则:
j [t ( j ) ] j [t ( j ) ] ( j ) 2 2 cs (t ) Ar (e e 2 ( j ) Ar cos(t ( j ) ) 2 ( j ) Ar sin(t ( j ))
L( )(dB)
0 20
0.1
1
10
( ) 0o 0.1
45o
1
10
90o
对数坐标刻度图
注意：
纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值， 是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十
令无因次频率 u / n 为参变量
G( ju) 1 (1 u 2 ) 2 4 2 u 2
2 u 90 若 u 1 G ( ju ) arctg 2 1 u
G( ju) arctg 2 1 u
2 u
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u 0
高频段是一条斜率为- 40/dB的直线，和零分 贝线相交于 n ，振荡环节的交接频率为 n。
误差最大值为-3dB 。
五、一阶微分环节 G( s) s 1
G ( j ) j 1 ( ) 1 e
2 j tan1
六、振荡环节（二阶系统） 2 n G( s ) 2 传递函数 2 s 2 n s n
频率 特性
G( j ) 2 2 ( j ) 2n j n
2 n


2 n 2
( ) j 2n
2 n
n G( j ) 2 2 s 2n s n
2
s j

1 s 2 s ( ) 2 1 n n
s j
G ( j )
1
2 2 2 (1 2 ) 4 2 2 n n
2 n G ( j ) arctg 2 1 2 n
稳态输出的幅值和相角与输入信号频率之间的规律。
G(jw)即为系统的频率特性。