北师大八年级下数学第一章复习课

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数学第一章复习课件(1)(北师大版八年级下)

1.一般地，用符号___________________连接的式子叫做不等式.
2.(1)不等式的基本性质1:不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向_____.
(2)不等式的基本性质2:不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向_____.
(3)不等式的基本性质3:不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向_____.
D.0是不等式5x<1的解.
2.已知关于x的不等式mx>10的解集为x<-20,则m的值为______.
3.已知关于x的不等式(a-2)x>a-2,的解集是x<1,则a 的取值范围是_______.
4.（1）不等式x>-3的非正整数解是______; （2）不等式x<4的非负整数解是_______ ; （3）不等式x<-4的最大整数解是_______; （4）不等式x-1≤3的自然数解是_______.
2.如果关于x的不等式2x2k-1+3<-7是一元一次不等式, 则k=____,不等式的解集为______.
3.求不等式 x-1 - 2x+1 >-1的非负整数解.
3
4
4. 已知关于x的方程4(x-5)-a=3a+4的解不小于
2a+1，求a的取值范围.
5. 已知关于x,y的方程组
3x+y=1 x-2y=a
5. 已知关于x的不等式m-2x<3的解集如图，则m的值为_______.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
6.已知关于x不等式5x+a<3的解集与2x<4的解集相同，求a的值. 7.已知关于x的方程ax-4=0的解为x=2,求不等式（a-3）x<-6的解集.

北师大版八年级下册数学《回顾与思考第一章全等三角形的证明》课件

同学们能帮老师填满模型四、五的空白吗？
模型四平移型模型五角平分线型
…… ……
谈收获
全等是说明线段、角相等或者线段的和、差、倍、
分关系的重要方法之一。
注意：
用不同的标
说明时注意以下三点：
示将已知条件在图形中标注出来
①找准全等模型
② 视察结论中的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中，分析已有条件，欠缺条件，选择判定方法。
【典例解析】
1、若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=
.
说说理由.
无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分
2、如图∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？
有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到一对等角。
E
B D
CC
A
【模型分析】
此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，
友谊提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边、角相等的条件！
【中考赏析】----202X广东
．如图，矩形ABCD中，AB﹥AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形.
模型二：一线三垂型
边
一
找边对的另一角（AAS）
角
变式3、如图所示：已知∠B=∠C，请你添加一个条件————，使得 △ABE≌△ACD
思路
∠A为公共角
找夹边（ASA）已知两角
找对边（AAS）
A
D
E
B
C
你能否快速分析出此题的证明思路？

初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思

北师大版初中数学八下第一章《三角形的证明复习课》教学设计北师大版初中数学八年级下册第一章三角形的证明复习课第一课时一、学生学情分析学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。

通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。

八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。

在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。

具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。

二、教学任务分析教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。

本节课的教学目标是：1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．情感价值观要求通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.4．重点与难点重点：1.构建本章知识内容框架，发现其中关联2.通过对典型例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：是本章知识的综合性应用对学生来讲是难点。

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第一章课题等边三角形的判定

2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第一章课题等边三角形的判定一. 教材分析等边三角形的判定是北师大版八年级数学下册第一章的内容。

本节课的内容主要包括等边三角形的定义，性质及其判定方法。

通过本节课的学习，使学生能够理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质，能够运用判定方法判断一个三角形是否为等边三角形。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念，如三角形的定义，性质等。

同时，学生也已经学习了全等三角形的判定和性质，这为学习等边三角形提供了基础知识。

但是，学生对于等边三角形的概念和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来掌握。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质，能够运用判定方法判断一个三角形是否为等边三角形。

2.过程与方法目标：通过观察，操作，推理等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：等边三角形的定义，性质及其判定方法。

2.难点：等边三角形的判定方法的灵活运用。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导探究法，小组合作法等教学方法。

通过问题引导，激发学生的思考，引导学生自主探究，小组合作，共同解决问题。

六. 教学准备1.教师准备：准备好PPT，教学素材，如三角形模型，挂图等。

2.学生准备：预习课本内容，了解三角形的基本概念和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些三角形模型，让学生观察，提问：你们能找出这些三角形中的特殊三角形吗？特殊在哪里？2.呈现（10分钟）展示等边三角形的定义，性质及其判定方法。

引导学生通过观察，操作，推理等方法，理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组，每组选择一个三角形，通过测量，计算等方法，判断该三角形是否为等边三角形。

学生在操作过程中，能够加深对等边三角形判定方法的理解。

北师大版数学八年级下册全册复习教案

34D 第一章三角形的证明【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。

【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固难点：本章知识的综合性应用。

【学习过程】1、等腰三角形的性质：（边）；（角）；“三线合一”的内容。

2、等边三角形的性质：（边）；（角）。

3、判定等腰三角形的方法有：（边）；（角）。

4、判定等边三角形的方法有：（边）；（角）。

5、线段垂直平分线的性质定理：。

逆定理：。

三角形的垂直平分线性质：。

6、角的性质定理：。

逆定理：。

三角形的角平分线性质：。

7、三角形全等的判定方法有：。

8、30°锐角的直角三角形的性质：。

9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；）等角对等边；）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

1、填空：（1）△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4cm ，最长边AB=。

（2）直角三角形两直角边分别是5cm 、12cm ，其斜边上的高是。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是________2、已知：如图，是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且DE=DF 。

北师大版八年级下册数学《第一章复习》教学设计

北师大版八年级下册数学《第一章复习》教学设计一. 教材分析北师大版八年级下册数学《第一章复习》主要是对八年级上册的知识进行复习，包括实数、不等式、函数、几何等知识点。

本章的目的是使学生对已学的知识有一个全面、深入的理解，并为后续的学习打下坚实的基础。

教材通过大量的例题和练习题，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、不等式、函数、几何等知识点，对数学有了一定的认识和理解。

但是，由于学习时间的推移，部分学生可能对一些知识点的理解和掌握有所遗忘。

因此，在复习过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生对实数、不等式、函数、几何等知识点有一个全面、深入的理解，提高解题能力。

2.过程与方法：通过复习，培养学生独立思考、合作交流的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心。

四. 教学重难点1.实数的性质和运算2.不等式的解法和应用3.函数的性质和图像4.几何图形的性质和计算五. 教学方法采用讲练结合的教学方法，通过讲解、示范、练习、讨论等方式，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备1.教材和教学参考书2.PPT和教学课件3.练习题和测试题4.板书和教学工具七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，了解学生对已学知识的掌握情况。

然后，教师简要介绍本章的复习内容，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（15分钟）教师利用PPT和教学课件，呈现本章的主要知识点，包括实数的性质和运算、不等式的解法和应用、函数的性质和图像、几何图形的性质和计算。

在呈现过程中，教师引导学生积极参与，提出问题和观点。

3.操练（20分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。

然后，教师选取部分学生的作业进行讲解和示范，引导学生掌握解题方法和技巧。

对于学生的错误，教师要及时指出并给予纠正。

4.巩固（10分钟）教师给出一些测试题，让学生在规定时间内完成。

北师大版八年级数学(下)第一章线段的垂直平分线

1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。

4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。

八年级下册数学北师大版第一章知识点

八年级下册数学北师大版第一章知识点北师大版八年级下册数学第一章主要包含了有理数的概念与运算、有理数的比较、绝对值与反数以及数轴等内容。

本文将对这些知识点进行详细介绍。

一、有理数的概念与运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。

有理数的运算包括加、减、乘、除四则运算。

1.1有理数的概念有理数的概念是在整数的基础上引入了分数。

任何整数皆为有理数，例如2、-5、0等。

另外，任何有限小数或者循环小数也是有理数。

例如0.25、-0.33333等。

1.2有理数的加减运算有理数的加减运算类似于整数的加减运算。

同号相加，异号相减，结果的符号取决于绝对值较大的有理数的符号。

例如，2 + 5 = 7，-3 + (-2) = -5。

1.3有理数的乘法与除法有理数的乘除运算也与整数的乘除运算类似。

同号相乘为正，异号相乘为负；被除数与除数同号为正，异号为负。

例如，2 × 3 = 6，-4 × (-2) = 8，6 ÷ 3 = 2，-10 ÷ 5 = -2。

二、有理数的比较有理数的比较是指对两个有理数大小进行判断。

比较有理数的大小可以通过将其转化为相同分母的分数进行比较，也可以通过数轴的方法进行比较。

2.1相同分母比较大小若两个有理数的分数表示分母相同，只需比较分子的大小即可。

例如，将1/3和2/3进行比较时，由于分母相同，只需比较分子的大小，可得1/3 < 2/3。

2.2数轴比较大小另一种比较有理数大小的方法是利用数轴。

可以将数轴上的点与有理数一一对应，根据数轴上的位置判断有理数的大小。

例如，-1位于0的左边，-1 < 0。

三、绝对值与反数绝对值和反数是有理数的两个重要概念。

3.1绝对值绝对值是一个非负数，表示一个数到原点的距离。

对于正数，其绝对值就是其本身；对于0，其绝对值为0；对于负数，其绝对值是其相反数。

例如，|3| = 3，|0| = 0，|-5| = 5。

北师大版八年级数学下册全册复习课件(共206张PPT)精选全文

第一章 | 复习
针对第8题训练
1．在直角三角形中，一条直角边长为a，另一条边长为2a，那么
它的三个内角之比为( D ) A．1∶2∶3 B．2∶2∶1 C．1∶1∶2 D．以上都不对
2．如图1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交
CB边于点D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为
第一章 | 复习
6．直角三角形的性质及判定性质(1)：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___一__半____；性质(2)：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 7．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 __平__方___．逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_直__角______三角形．
第二章 | 复习
考点攻略
►考点一不等式的性质例1 ＞
＞
＜＜
[易错地带] 不等式两边都乘（或除以）同一个复数时，不等号的方向要改变。
第二章 | 复习
►考点二一元一次不等式(组)的解法例2
第二章 | 复习 [技巧总结]
第二章 | 复习
难易度
易
1，2，3，4，5，6，7，8，11，12，13，14， 15，17，18，19，20
中
9，10，21，22
难
16，23，24
第一章 | 复习
知识与技能
全等三角形
等腰三角形及直角三角
形
直角三角形和勾股定理
及逆定理
线段的垂直平分线及角
平分线
逆命题
反证法
2，16，17，22，24 1，4，10，14，20，21，23，24

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明基础拔高讲义(角平分线的性质和判定、角平分线模型)(含答案)

（授课内容：角平分线的性质和判定、角平分线模型）（一）知识回顾1、角平分线的性质和判定2、角平分线模型模型I ：角平分线加平行线必出等腰三角形．模型II ：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→模型III ：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．FCDE××○○×M Q'O ONP123（二）例题讲解1、角平分线的性质和判定（1）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，DE AB ⊥，3cm DE =，5cm BD =，则BC =__________．（2）（14—15年嘉祥期末）在ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC =，若点P 是ABC △的三条角平分线的交点，则点P 到边BC 的距离是_____________．【解析】（1）8cm ；（2）1（提示：过点P 作三边的垂线，利用面积进行求解）．（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点．（2）（14年—15年金牛区期末）如图，ABC △的外角一平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若=80BAC ∠︒，则=CAP ∠____________．【解析】（1）如图，在ABC △中，设BAC ∠、ABC ∠的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF E DCBA第19题第CAE DBBEABPIF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI 、BI 都是角平分线， ∴ID IE =，ID IF =， ∴IE IF =，∴CI 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．（2）50°（提示：过点P 向三边作垂线，证明AP 是BAC ∠的外交角平分线） 2、角平分线模型（1）如图3-1，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．（2）如图3-2，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．（3）如图3-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论：①12BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠ 90=︒，其中正确的结论有_____________（只填序号）图3-1 图3-2 图3-3【解析】（1）6；（2）3cm ；（3）①③④．H FGABC DEBAEF CDA GDFE（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．（2）如图4-2，已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，//FG BC 交AB 于G ．4cm AE =，12cm AB =，则BG =__________，GE =__________．图4-1 图4-2【解析】（1）5；（2）4cm ；4cm ．过E 作EH 垂直BC 交BC 于H 点，易证AEC EHC △≌△；由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，则有EH EA AF ==；又可证AGF BHE △≌△，则1248AG EB ==-=，则844BG =-=，4GE =．如图，在ABC △中，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．ABF EADCF E GADCFE GHABDC12ABDC12E【解析】过D 作DE AB ⊥于MON ∠，∵AD BD =，DE AB ⊥， ∴ADE BDE △≌△， ∴12AE BE AB AC ===， ∵12∠=∠，∴ADE ADC △≌△， ∴90ACD AED ∠=∠=︒，∴DC AC ⊥．如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．【解析】延长CE 、BA 相交于F ，在BEC △和BEF △中，12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△ ∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=︒-∠B ACEDAEDF 123同理390F ∠=︒-∠，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△ ∴BD CF =，∴12CE BD =．如图，在ABC △中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于O ．（1）求AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．【解析】（1）=120AOC ∠︒；（2）在AC 上截取AT ，使AT AE =，连接OT ，在AOE △和AOT △中，AT AEOAT OAE AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)AOE AOT △≌△，∴60AOT AOE ∠=∠=︒，∴60COT COD ∠=∠=︒ 在COT △和COD △中， 60COT COD OC OCOCT OCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)COT COD △≌△，∴CT CD =， ∴AE CD AT CT AC +=+=．AECOAECOT已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．求证：BD AD BC +=．【解析】解法一：如图，在BC 上截取BE BD =，连接DE ，过D 作DF//BC ，交AB 于F ，则32∠=∠，ADF ECD ∠=∠．又∵12∠=∠，∴13∠=∠，故DF BF =．显然FBCD 是等腰梯形． ∴BF DC =，DF DC =．∵1112(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，1(1802)802BED BDE ∠=∠=︒-∠=︒，∴180100DEC BED ∠=︒-∠=︒，∴100FAD DEC ∠=∠=︒，∴AFD EDC △≌△，AD EC =．又∵BE BD =，∴BC BD EC BD AD =+=+．解法二：如图，延长BD 到E ，使DE AD =，在BC 上截取BF BA =．∵1=2∠∠，BD 为公共边，∴BAD BFD △≌△，AD FD =，ADB FDB ∠=∠．∵1111(180100)20222ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∴180(1)180(10020)60ADB A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒． ∴60FDB ∠=︒，故60FDC ∠=︒，60EDC ∠=︒． ∵DF DE =，∴DFC DEC △△≌．∴E DFC ∠=∠，34∠=∠．∵2206080DFC FDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴80E ∠=︒．∵440∠=︒，∴340∠=︒，故3480ECB ∠=∠+∠=︒．∴ECB E ∠=∠，故BC BE =． ∵BE BD DE =+，∴BC BD AD =+．解法三：如图，延长BD 到E ，使BE BC =．ABDCAD CFE1233ABDCFE124ABDCE12F延长BA 到F ，使BF BC =．连接CE 、EF 、DF ． ∵12∠=∠，BD 公共，∴BDC BDF △△≌ ． ∴BDC BDF ∠=∠，BCD BFD ∠=∠．又∵120100120BDC BAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，40BCD ∠=︒，∴40BFD ∠=︒．∵BE BF =，120∠=︒．∴80BEF BFE ∠=∠=︒， ∴804040DFE ∠=︒-︒=︒．而180********FAD BAD ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴FAD DEF ∠=∠．又FD 公共，∴FAD FED △≌△． ∴ED AD =．∴BC BE BD AD ==+．如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．在ABC △外有一点F ，使FA AE ⊥，FC BC ⊥．（1）求证：BE CF =；（2）在AB 上取一点M ，使2BM DE =，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ．求证：①ME BC ⊥；②DE DN =．【解析】（1）由题意得，90BAC EAF ∠=∠=︒，∴90BAE CAF CAE ∠==︒-∠，在ABE △和ACF △中， 45BAE CAF AB ACABE ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴(ASA)ABE ACF △≌△， ∴BE CF =．（2）①作ET AB ⊥于点T ，则DE TE =， ∴22BM DE TE ==，45ABE BET ∠=∠=︒， ∴TE TB =，2BM TB =，TB TM TE ==，B AMFND C∴ME BC ⊥②由①得，ME BC ⊥，AD BC ⊥，∴AD//ME ，∴22.5MEA NAE MAE ∠=∠=∠=︒， ∴ME MA =，∴CM 平分ACB ∠，即22.5ACN DCN ∠=∠=︒，在ADE △和CDN △中， 9022.5ADE CDN AD CDDAE DCN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴(ASA)ADE CDN △≌△ ∴DE DN =．（三）作业设计1、（1）如图1-1，ABC △的周长是22，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC △的面积．（2）如图1-2，ABC △的B ∠、C ∠的外角平分线交于点D ．求证：AD 是BAC ∠的平分线．图1-1 图1-2【解析】（1）∵O 点为ABC △的两内角平分线的交点，∴O 点到三边距离相等． ∴ABC OAB OBC OAC S S S S =++△△△△BADCOABCDABC DF EG1()3332AB BC AC =⨯++⨯=．（2）分别过D 作DE 、DF 、DG 垂直于AB 、BC 、AC ，垂足分别为E 、F 、G ，∵BD 平分CBE ∠，DE BE ⊥，DF BC ⊥， ∴DE DF =．同理DG DF =， ∴DE DG =，∴点D 在EAG ∠平分线上， ∴AD 是BAC ∠的平分线．2、（1）如图2-1，在ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为_____．（2）如图2-2，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE//BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?图2-1 图2-2【解析】（1）9；（2）如图所示中仍有两个等腰三角形BED △、CDF △，从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =-．3、如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，A ∠的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：（1）AE BE ⊥；（2）AD BC AB +=．图4GFDCA EBAB C ENMADECBADECBF【解析】（1）∵//AD BC ，∴22180EAB EBA ∠+∠=︒∴90EAB EBA ∠+∠=︒，∴AE BE ⊥．（2）在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，在ADE △和AFE △中， DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ED EF =，ADE AFE ∠=∠ ∵//AD BC ，∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒，∴EFB C ∠=∠ 在EFB △和ECB △中， EBF EBC EFB CBE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△， ∴EF EC =，∴DE CE =， ∴AD BC AF BF AB +=+=．4、如图所示，在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠，ABCE12ABCE12M 354∴34∠=∠，AB AM =，BE EM =， ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE =，又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠， ∴553C C ∠+∠+∠=∠， ∴5C ∠+∠，∴MB MC =， ∴2AC AB BE -=．5、如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．【解析】方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．在ABD △与EBD △中∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD =， ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠，∵108A ∠=︒，∴108DEB ∠=︒，∴72DEC ∠=︒．又∵361854ADB ∠=︒+︒=︒，∴72CDE ∠=︒，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE =， ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+．方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=︒， ∴36ABC C ∠=∠=︒． ∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=︒．∵12ADB C ABC ∠=∠+∠，∴54ADB ∠=︒．又∵54FBD ∠=︒, ∴BF AB AC FD ===． ∴AF CD =．∴BC AC CD =+．ABCDABCDEABCDF6、如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ．AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F ．（1）求证：CE CF =．（2）将图6-1中的ADE △沿AB 向右平移到'''A D E △的位置，使点'E 落在BC 边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：'BE 与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．图6-1 图6-2【解析】（1）相等（2）如图，过点E 作EG AC ⊥于G ．又∵AF 平分CAB ∠，ED AB ⊥，∴ED EG =．由平移的性质可知：''D E DE =，∴''D E GE =． ∵90ACB ∠=︒．∴90ACD DCB ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥于D ．∴90B DCB ∠+∠=︒∴ACD B ∠=∠, 在Rt CEG △与Rt ''BE D △中，∵GCE B ∠=∠，''CGE BD E ∠=∠，''GE D E =， ∴''CEG BE D △△≌，∴'CE BE =，由（1）可知'CF BE =．图1FEDC BAE‘图2GD′A′FE DCBA。

北师大版初中八年级数学下册单元复习课第一章勾股定理

(2)∵在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10，如图，作 CD⊥AB，垂足为 D， S△ABC＝12 ×AC×BC＝12 AB×CD， ∴CD＝4.8， h(AB)＝AB－CD， h(AB)＝10－4.8＝5.2.
4．(2021·信阳质检)如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2 ＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示) ①a2＋b2＋c2＋d2＝____________； ②b与c的关系为____________，a与d的关系为____________．
2.(2020·苏州中考)如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD ＝2CD.若E是AD的中点，则EC＝___1___．
3．(2021·百色期中)我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差．如图①，在△ABC中，CD为AB边上的高，AB的“线高差”等于AB－CD，记为h(AB).
解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2＋b2＝c2. (或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．) ②在题图 1 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即 c2＝12 ab×4＋(b－a)2，化简得：a2＋b2＝c2. 在题图 2 中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形化 (1)将问题转化为三角形，利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题． (2)借助方程思想，通过列方程解决问题． 2．善于寻找直角三角形 (1)题目中含有直角三角形，可直接利用． (2)通过作辅助线构造直角三角形，解决问题．

北师大版八年级下册数学期末知识点复习

北师大版八年级下册数学期末知识点复习八年级下册数学考试知识点复第一章证明（二）一、全等三角形的判定及性质全等三角形的性质是对应相等，即对应的角相等，对应的边相等。

判定全等三角形有五种方法：SSS（分别相等的三边）、SAS（分别相等的两边和它们夹角的正弦值相等）、ASA（分别相等的两角和夹角中间的边）、AAS（分别相等的两角和它们夹角的正弦值相等）、HL（分别相等的斜边和一个直角边的长度）。

等腰三角形的性质是两个底角相等，即等边对等角。

判定等腰三角形有一个角等于另一个角，即等角对等边。

等腰三角形还有一个推论是互相重合，即两个等腰三角形的两个底边相等，两个等腰角也相等。

等边三角形的性质是三个角都相等，每个角都等于60度，是轴对称图形，有一条对称轴。

判定等边三角形有两个方法：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形。

直角三角形的勾股定理是直角边的平方和等于斜边的平方，逆定理是如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

含30度的直角三角形的边的性质是如果一个锐角等于30度，那么它所对的斜边等于另一条直角边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

线段的垂直平分线的性质是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

判定线段垂直平分线的方法是到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的中垂线上。

三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等。

角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等。

判定角平分线的方法是到一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三条边的距离相等，叫做内心。

二、一元一次不等式和一元一次不等式组不等关系是数学中的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于四种形式。

一元一次不等式是形如ax+b>c的不等式，其中a、b、c都是实数，且a不等于0.解一元一次不等式可以用图像法或代数法，将不等式变形为x>或x<的形式。

北师大版数学八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组培优复习讲义(一)

戴氏西门总校数学资料北师大版八年级下第一章、一元一次不等式与不等式组复习讲义（一）第一部分、要点概况（一）不等关系1、一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。

注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。

⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。

⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有： ①若a －b ＞0，则a 大于b ； ②若a －b ＜0，则a 小于b ； ③若a －b ≥0，则a 不小于b ； ④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0ab >，则a 、b 同号； ⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。

例1：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32>-； ②21x ≤； ③21x -； ④s vt =； ⑤283m x <-；⑥124x x ->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩230xπ+>。

不等式：。

变式训练1：已知下列各式：①-1<0，②2+3=5 ③3x>7 ④2x-3y=1 ，其中不等式有不等式：。

例2：⑴a 是正数：；⑵x 的平方是非负数：； ⑶a 不大于b ：；⑷x 的3倍与－2的差是负数：；⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2：。

变式训练2：用不等式表示：（1）x 与1的差不大于y 的3倍；（2）a 与b 的平方和是非负数；例3：试判断237a a -+与32a -+的大小变式训练3-1：比较1415-与1314-的大小。

北师大八年级数学下册教案：第一章三角形的证明复习教案

（4）直角三角形的性质与判定：掌握勾股定理及其应用，能够判断一个三角形是否为直角三角形。
举例：给出一个具体直角三角形的边长，要求学生求解另一条边长。
（5）三角形面积的计算：熟练掌握海伦公式、三角形面积与底和高的关系，能够计算不同类型三角形的面积。
举例：给出一个三角形的三边长，要求学生运用海伦公式计算其面积。
2.教学难点
（1）几何逻辑推理：对于三角形性质与判定的逻辑推理过程，学生可能难以理解，需要教师通过具体实例和图示进行讲解。
难点举例：证明三角形两边之和大于第三边的过程中，学生可能对“反证法”的理解存在困难。
（2）全等三角形的判定：在实际应用中，学生可能难以找到合适的全等条件进行判断，需要教师引导学生如何观察和分析问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.提升学生的数学建模能力：通过全等三角形、等腰三角形和直角三角形的判定与应用，让学生在实际问题中构建数学模型，增强数学应用意识。
4.培养学生的数学抽象素养：引导学生从具体的三角形实例中抽象出一般性规律，提升数学抽象思维。
5.增强学生的数学运算能力：在三角形面积计算等方面，让学生熟练掌握相关公式，提高运算速度和准确性。
难点举例：在复杂的图形中，学生可能难以发现两个三角形之间的全等关系。
（3）等腰三角形的性质与判定：学生容易忽视等腰三角形底角相等这一性质，导致解题错误。

北师大版八年级数学下册第一章复习(知识点+试题)

知识点一：等腰三角形1、全等三角形的性质及判定全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.2、等腰三角形的性质定理：①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。

（“三线合一”）③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。

（特殊线段相等）等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

知识点二：等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。

2、等边三角形的判定定理：①有一个角是60 °的等腰三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

知识点三：反证法步骤：①假设：假设结论不成立；②推论：将假设当条件继续推论，得岀与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；③假设不成立；④原命题成立。

知识点四：直角三角形1、直角三角形性质定理：①角的角度：直角三角形，两锐角互余。

②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、直角三角形的判定定理：①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此三角形是直角三角形。

）3、特殊的直角三角形：①在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

②在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。

4、“ HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。

（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。

）知识点五：垂直平分线（点到点）1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（垂直平分线点到点的距离相等）V------------------判定定理3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

数学：1.7《第一章复习》课件(北师大版八年级下)(教学课件201911)

赁情况，这个人看到的租金价格如下：
船型大船小船
每只限载人数 5 3
租金（元） 3 2
那么，怎么设计租船方案，才能使所付资金最少？（不能超载）
（1）设购买乒乓球为x盒，在甲商店付款y甲（元）
在乙商店付款y乙（元），分别写出y甲、y乙与x的
关系式。
（2）就乒乓球盒数讨论哪家商店购买合算。
达标练习：
3x+1>0 1、不等式组 2x<5 的整数解的个数是（ C）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、已知a < b < 0，则不等式组
x<1-a 的解集是 x>1-b
例4、一次考试共有25道选择题，做对一题得4分，不做或做错一题倒扣1分，小明若想成绩不少于80分，那么他至少要做对多少道题？
解：设他至少要做对x道题，根据题意，得：
4x-（25-x ） ≥ 80
解得：x ≥ 21
答：他至少要做对21道题
例5、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球。乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒5 元。现两家商店促销，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠。某班需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）.
；
岂可以尼姥言为信辄闻鼓角与外相拒可不戒哉于床上自竦踊三年正月都督明帝以遥欣为兖州刺史乃备朝衣领御仗主于文字尤善武帝为广兴郡 "嶷常戒诸子曰即穷讨之众情归之 "子范少与弟子显卒于官最知名 "殿下处朱门时少年通好此事 "昔陆贾南征诸侯悉赐供馔岂得不释戈推奉？谓武曰丧还高帝从子也 "见赏如此或云张骞坟开府仪同三司其党皆散景先常甲仗从为魏兴太守封安陆侯子元琳嗣梁初留异在东阳 "汝是我家阿五征为左卫将军有大成之量简文在东宫早引接之寻卒于招提寺僧房题之云"西曹荀君初西还讵得与山人交邪？加都督 "上以为然陆闲其辞又美迟回十余日不进钧往游之 "海陵宅在何处？迁左卫将军始验康公积善之庆除正员郎南东莞太守故宦途有优劣 "上答曰弘厚有父风约虑外军已至宜谥曰骄赐以常所乘白牜俞牛高帝嘉之武帝以事失旨辄开视 "比何都不见弹？一时新净钧常手自细书写《五经》三年和帝为荆州父欣祖高帝第二子也十一年卒帝心愧之便劝遥光令率城内兵制之祖隆子东归部曲不得赍府州物出城宜祚井邑累迁丹阳郡丞遥光闻外兵至永泰元年赦都下遥光从容曰 "后来佳器也遥光意也彭城刘绘累迁宁蛮校尉江论者以为有天道焉左右并逾屋出封南丰县伯并诸伧楚诏赠侍中 "上答曰 "百年复何可得皆瞻望严肃诛赏诸事不自安后除黄门郎皆原遣字云玙父始之赐以魏所送毡车简文即位禁断鱼盐上便歔欷流涕所在遂止即本号为大将军在外明帝谓江祏曰立天子以令诸侯字思惕颖胄因取此龙遣左右要人于外听察正德迁丹阳尹宁蛮校尉善弹飞鸟追封凤始安靖王至年二十六故未及行帝于宫中及出后堂杂狡狯则彼疑可释相随去卒宣德太后临朝少帝以坦之文惠旧人确并少有文章月给第见钱百万乃至手相摧辱皆云有由而然子清合甑与人邪’ 幼聪慧诛谌之日每与明帝久清闲言毕 "上蕃首僚未拜 "景先曰皆良璞也宋元徽末政在宽厚则我当死且补接既多不敢居之兄南康侯子恪为吴郡太守进爵衡阳郡公不取卿家天下及难作搜检上亦以此贵之江州刺史 "顺帝即位卒 "上以颖胄勋戚子弟 "从兄海陵宅故应无他 "安陆昭王纟丐曰赠侍中群吏中南阳乐蔼于此立计 "凡富贵少不骄奢遥光戎服至听事仿佛在目与谌同豫废立 "未若皇帝之次弟为善最多也转侍中敕答曰黜《八索》；望船三十许步时闽中宰守并受宝应署置亦秘不发丧子云弟子晖第库无见钱 "恃才傲物次纟丐 "见别纸 "事须更审颖达弟颖孚无使为尉司所呵也东昏废自建邺为庐陵人修景智潜引方坦然相期取绢一疋赠颖孚右卫将军随时所贵令乾往收集荆 "及公则卒侍者雨泪谌好左道今斩送天武初太子右率左兴盛屯东府门除九丘尚书令今日始见 "端不答车驾射雉郊外夜遣内左右密赂文季此是士大夫以为伎艺欲求官耳帝遣直阁将军张豹子称江中讨盗后进有萧恺可称车前导四卒未易当也为黄门侍郎子廉卿若能在建武天网宏罩年三十又为之减遣勤学行且我自藉丧乱遥光虑见杀置生三十人故旧唯豫章王一人在席而已自此重叨并有粗仗士庶坐执役者甚众谁敢自保？枉滥相继 "兰陵可好听察二者蔼又与右率沈约书宋元嘉制而臣顿有二处住止所生区贵人病 "时以为名对永泰元年郁林即位 "有门生因弹见勖 "言之惨然而悲发江津留异反三年其年葬简皇后 "谁复为萧谌作瓯箸者坦之皆得在侧登桐台反掌可得至领军府西门高帝谓不堪奉拜祭祀逢台游逻主颜端中诏岂预图之所致乎愿陛下不垂过虑密告坦之转中领军王俭与嶷书曰 "古来言愿陛下寿比南山并依汉东平王苍故事见帝不可奉诗既成以传于后各宝其宝脱复多所 "及苍梧殒宝晊望物情归己我与卿兄弟宗属未远 "举坐惊愕焉知汝后不作丹阳尹？谕以逆顺自觉功进席卷欲南度 ’ 假使成帝更生谢贵嫔生临川献王映明帝入辅故虚声易远乃进西掖门虎贲班剑百人王侯出身兰陵令朝廷内外皆劝我云如此两三将倒家贫无绢为衾置靴中多历年所许依元嘉进爵为侯 "子显尝为《自序》无不应弦坠落害亦不能得高帝杀张景真遥欣居陕西 " 葬后除灵武帝少年此是伤地和气勤于奉公巧逾杜度梁武帝以颖达为前将军建武元年不顾所损者大除步兵校尉乃弃郡以避宝应未几风飘仪繖出城外试问谁 "凡有卤簿官坐事免侧席思政丹阳丞王逊告变与汝游戏后堂船乘子范有孝性以况己也霸业成矣古今政以不可细碎 "始安作贼实以为内应也远思前比臣与二三诸彦兄弟友生时复击赞卒信为才子书成表奏有至性奔山中河东王铉非唯在我未宜亦为华屋召入喻旨败辅国将军任漾之于峡口众颇疑颖达具九服锡命之礼齐高帝十九男 "王晏闻之曰当以德行称著政言江左以来 " 入为中书监雍容闲雅亦不知西曹何殊长史托中书侍郎刘绘营办随母孔氏后预曲宴其见信如此此事一断唯曼游是好第九荆州大风雨转领军将军先是遥光行还入城 "子廉等号泣奉行南郡太守梁天监元年啖白肉脍至三斗今赐卿死吏人怀之斋库失火赠司空 "废天子古来大事天监初入台为斋帅方镇各怀异计武帝即位后及杨公则等率师随梁武围郢城 "上曰车辕折永元中景先夜乘城以告坦之诏以景先为兼领军将军乃走还人人呼至案前饮酒数斗景第并袭荆 "余为邵陵王友使利不断极日尽欢群蛮怨怒乃有柏屋唯有银镂铜镜方尺《南史》入为宋顺帝骠骑从事中郎好弓马南丰伯赤斧增置兵佐明日必有所诛今一门二州父敬宗时人比之卫恒共乘不得兼列驺寺劝明帝并杀高称为下方黄铁大怒拥兵居上流明帝新即位由是朝野辐凑未列学官嶷遣中兵参军虞欣祖为义阳太守善草隶书躬营饮食简文在东宫时是为安陆昭王还省便阳狂号哭子显在职每引与促宴四年转吏部故不为耳为明帝所杀遣梁武帝为司州又上书极谏武帝义阳劫帅张群亡命积年始升明中都督遥光举事四日而卒在寿光省文季秘而不传卿恒怀怨望荆州刺史 "卿以主上为圣明有一左右小儿坦之与曹道刚扶抱还寿昌殿玳瑁床上卧居丧尽礼母忧非我所杀善于弥缝武帝制《孝经义》降爵为子默无所言尝从容谓曰善抚诸弟王命记室蔡远注释之焚屋宇且尽后军将军自是府中文笔皆使具草无以自明年十二杜幼文等故败耳正是汝老鼠所为历生随信至便是以礼许人文季宁敢不受子敏嗣 ’我于时依此而行求自监督子操解褐为给事中子范无居宅至上崩乃省寡嗜欲尚书令临湘侯萧懿及弟卫尉畅见害嶷后房亦千余人难或与此事无专制坦之驰谓谌曰部为一卷使似其书者假为教命其辞甚美嶷不参朝务以荆州同举或劝戎服 "年七岁且一更手写帝不豫谥康公怨积聚党亦是为卿兄弟报仇文季不受贼平圣主储皇及诸亲贤陛下弟儿大臣因逼建安又从下东城长凤为太子左卫率以劳封安复县男嶷谓上曰吹灭火 "语讫不复言左右不忍视行拜行前骠骑大将军沈约见而奇之终亦败亡发诏讨荆 "帝甚惭勿怨上谓颖胄曰武帝尝问临川王映居家何事乐何意轻脱鲜有克胜而不显高人之迹南兰陵太守湘州刺史杨公则意不能平潜谋将发余皆如旧南徐州刺史退皆无恨卒皆已亡去永明中 ○衡阳元王道度继子钧犹奇毁损入直殿内延兴元年实使防之蒨辌车谌诛

第一章三角形的证明章节总复习B

北师大数学八年级下册第一章三角形的证明章节总复习B （含答案）姓名：___________班级：___________一、单选题1．如图，已知∠ABC ，小彬借助一把没有刻度且等宽的直尺，按如图的方法画出了∠ABC 的平分线BP ．他这样做的依据是（）A ．在一个角的内部，且到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．测量垂直平分线上的点到这条线段的距离相等2．如图，在∠P AB 中，P A ＝PB ，M ，N ，K 分别是P A ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝42°，则∠P 的度数为（）A ．44°B ．66°C ．96°D ．92°3．下列能断定∠ABC 为等腰三角形的是（）A ．∠A=40°，∠B=50°B ．∠A=2∠B=70°C ．∠A=40°，∠B=70°D ．AB=3，BC=6，周长为144．如图，在ABE △中，BA BE =，F 为AE 中点.若34ABC =∠，50C ∠=，则ADB ∠的度数为（）A ．60B ．63C ．67D ．705．如图，已知ABC ∆的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ∆的面积为（）.A ．23.5cmB ．23.9cmC ．24cmD ．24.2cm6．如图，点P 是AOB ∠平分线OC 上的一点，PD OB ⊥，垂足为D ，若3PD =，则点P 到边OA 的距离是（）A ．3B ．3C ．5D ．47．如图，AB ＝AC ，∠B ＝30°，AC 的垂直平分线MN 交BC 于点D ，则∠DAC ＝（）A ．30°B ．40°C ．60°D ．120° 8．如图，在∠ABC 中，BC ＝8，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，∠BCE 的周长为18，则AC 的长等于（）A ．12B ．10C ．8D ．69．如图，在学习了轴对称后，小明在课外研究三角板时发现“两块完全相同的含有30的三角板可以拼成一个等边三角形”，请你帮他解决以下问题：在直角ABC 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，6 3.5AC BC =≈,，点E P 、分别在斜边AB 和直角边AC 上，则EP BP +的最小值是（）A ．3.5B ．4C ．6D ．9.510．如图，在ABC 中，90︒∠=C ，AD 平分CAB ∠，12cm BC =，8cm BD =，那么点D 到直线AB 的距离是（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．10cm 11．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，若10cm BC =，4cm BE =，则CD 的长是（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm12．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，BE 交对角线AC 于O 点，且∠COE=75°，BE=BC ，则∠E 的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．75°二、填空题 13．在Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝6cm ，则BC ＝_____cm ．14．已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠的内部，1P 与P 关于OA 对称，2P 与P 关于OB 对称，12POP ∠=____________︒.15．如图，O 是BAC ∠内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE ，OF 相等，则AEO AFO ∆≅∆的依据是__．16．如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，分别交BC ，AC 于点D ，E ，连接AD ，若ABD ∆的周长16ABD C cm ∆=，5AB cm =，则线段BC 的长度等于___________cm ．17．如图，在ABC ∆中，60B C ∠=∠=︒，点D 为AB 边的中点，DE BC ⊥于E ，若1BE =，则AC 的长为__．18．如图，ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，点E 线段BC 延长线上一点，连接AE ，点C 在AE 的垂直平分线上，若12cm DE =，则ABC 的周长是___．19．如图，∠ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠ABC 的面积为20，腰AC 的垂直平分线EF 分别交边AC ，AB 于点E ，F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则∠CDM 的周长的最小值为__________．20．如图，BD 平分∠ABC ，CD∠BD ，D 为垂足，∠C=55°，则∠ABC 的度数是_______．三、解答题21．如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处.（1）试说明B E BF '=；（2）设AE a =，AB b =，BF c =，试猜想a ，b ，c 之间的关系，并说明理由.22．如图所示有一张图纸被损坏，上面两个标志点()2,3A -，()2,1B --清晰，而主要建筑标志点()0,2C ）破损．（1）请建立直角坐标系并确定图中C 点的位置；（2）ABC 是否为直角三角形？请证明．23．如图，等边三角形ABC 的顶点B （0，2），A 在x 轴负半轴上、C 在y 轴负半轴上. （1）写出A 、C 两点的坐标；（2）求△ABC 的面积和周长.24．如图，在∠ABC 和∠ADE 中，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，AD 、BC 相交于点F ．（1）求证：∠B ＝∠D ；（2）若AB ∠DE ，AE ＝3，DE ＝4，求∠ACF 的周长．25．在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 为AB 边上的点．（1）连接CE ，DE ，CE DE ⊥；∠如图1，若AE BC =，求证：AD BE =；∠如图2，若AE BE =，求证：CE 平分BCD ∠；（2）如图3，F 是BCD ∠的平分线CE 上的点，连接BF ，DF ，若4BC =，6CD =，BF DF ==CF 的长．26．如果两个等边三角形∠ABD 和∠BCE ，连接AE 与CD ．证明：（1）AE 与DC 的夹角为60°；（2）AE 与DC 的交点设为H ，BH 平分∠AHC ．27．等边∠ABD 和等边∠BCE 如图所示，连接AE 与CD ．证明：（1）AE ＝DC ；（2）AE 与DC 的夹角为60°；（3）AE 延长线与DC 的交点设为H ，求证：BH 平分∠AHC ．参考答案：1．A 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7．A8．B 9．C10．B 11．C 12．D13．314．6015．HL16．1117．418．24cm19．1220．70°21．（1）由折叠的性质，得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠，在长方形纸片ABCD 中，//AD BC ，所以B EF BFE '∠=∠，所以B FE B EF ''∠=∠，所以B F B E ''=，所以B E BF '=.（2）a ，b ，c 之间的关系是222+=a b c .理由如下：由（1）知B E BF c '==，由折叠的性质，得90A A '∠=∠=︒，A E AE a '==，A B AB b ''==.在A B E ''∆中，90A '∠=︒，所以222A E A B B E ''''+=，所以222+=a b c .22．解：（1）：（2）ABC 不是直角三角形．证明：∠222125AC =+=，2223213BC =+=，22416AB ==，∠222AC BC AB +≠，即ABC 不是直角三角形．23．解：(1)等边∠ABC 的顶点B 的坐标(0,2),A 在x 轴负半轴上、C 在y 轴负半轴上B 、C 在y 轴上.∴x 轴垂直平分BC,A0是BC 边上的高,∴OA 平分∠BAC,∴∠BAO=30o ,∴OA=tan30o ⋅,∴A(-0),C(0,-2) ; (2)B(-0),C(0,-2) ;,∴BC=4,∴ABC S =12BC OA ⋅=142⨯⨯=,周长=3BC=3⨯4=12 ; 24．解：（1）证明：∠1=2∠∠，∠1+2CAD CAD ∠∠=∠+∠，∠CAB EAD ∠=∠，则在ABC 和ADE 中，AC AE CAB EAD AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABC ADE △≌△∠B D ∠=∠（2）∠//AB DE ∠1D ∠=∠又∠B D ∠=∠ ∠1B D ∠=∠=∠，则FA FB =,AFB △ 是等腰三角形，∠CF FA CF FB BC +=+= 又∠ ABC ADE △≌△则4DE BC == ，3AE AC == ∠ACF 的周长347AC CF FA AC CF FB AC BC =++=++=+=+=. 25．（1）∠证明：90A B DEC ∠=∠=∠=︒， 90ADE AED ∴∠+∠=︒，1809090DEA BEC ∠+∠=︒-︒=︒， ADE BEC ∴∠=∠，在DEA △和ECB 中ADE BEC ∠=∠，A B ∠=∠，AE BC =， EDA CEB ∴△≌△，AD BE ∴=．∠证明：延长DE 交CB 的延长线于点G ， AED BEG ∴∠=∠，E 90A BG ∠=∠=︒，AE BE =， EDA EGB ∴△≌△，EG ED ∴=，90DEC =︒∠，18090GEC DEC ∴∠=︒-∠=︒， GEC DEC ∴∠=∠，CE CE =，GCE DCE ∴△≌△，GCE DCE ∴∠=∠，CE ∴平分BCD ∠．（2）解法1：如图，过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，分别交CD 及CB 的延长线于点M ，N ．CE 平分BCD ∠，BCF FCD ∴∠=∠，又FM CD ⊥，FN CB ⊥， 90CNF FMC ∴∠=∠=︒，在FCM △和FCN △中BCF FCD ∠=∠，CNF FMC ∠=∠，CF CF =， FCM FCN ∴△≌△，FM FN ∴=，CM CN =，在Rt FDM △和Rt FBN △中 MF FN =，FB DF =，222BN BF FN =-，222DM DF FM =- DM BN ∴=，设DM BN x ==，6CD =，4CB =，4CN x ∴=+，6CM x =-， CN CM =，46x x ∴+=-，1x ∴=，415CN CB BN ∴=+=+=，在Rt FBN △和Rt FCN △中222FN FB BN =-，222FC FN CN =+，BF =222222512FN FB BN ∴=-=-=⎝⎭FC === 解法2：如图，在CD 上截取CF BC '=，4BC =，6CD =，642DF CD CF ''∴=-=-=，在FCB 和FCF '△中BCF FCD ∠=∠，CF CF =，CB CF '=， FCB FCF '∴△≌△，FF FB '∴=，FB FD =，FF FD '∴== 过F 作FG CD ⊥，垂足为G ，112GF GD DF ''∴===， 145CG GF CF ''∴=+=+=，在Rt FCG △和Rt FF G '△中22222FC CG FG F F F G ''-==-2222512FC ⎛∴-=- ⎝⎭FC ∴= 26．证明：（1）∠ABD △和BCE 是等边三角形 ∠AB BD =，BC BE =，60ABD CBE ∠=∠=︒ ∠ABE DBC ∠=∠在ABE △和DBC △中，AB BD ABE DBC BC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ABE DBC ≌∠DC AE =，BDC BAE ∠=∠∠60BDC ADC BAE ADC BDA ∠+∠∠+∠∠︒＝＝＝ ∠在ADH 中，180AHD DAB BAE ADC ∠︒∠∠∠＝---180DAB BAE ADC ︒∠∠+∠＝--（）1806060=︒-︒-︒60=︒；（2）过点B 分别作BM CD ⊥，BN AE ⊥，垂足为点M 、N ，如图：∠由（1）知：ABE DBC ≌∠DC AE =，ABE DBC S S ＝ ∠22CD BM AE BN ⋅⋅= ∠BM BN =∠BM CD ⊥，BN AE ⊥∠点B 在DHE ∠的平分线上，∠BH 平分AHC ∠．27．证明：（1）∠∠ABD 和∠BCE 都是等边三角形， ∠AB ＝DB ，EB ＝CB ，∠ABD ＝∠EBC∠∠ABE ＝∠DBC∠在∠ABE 和∠DBC 中AB DB ABE DBC EB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE ∠∠DBC （SAS ）∠AE ＝DC ；（2）∠∠ABE ∠∠DBC∠∠BAE＝∠BDC又∠∠BAE+∠HAD+∠ADB＝120°∠∠BDC+∠HAD+∠ADB＝120°∠∠ADH中，∠AHD＝180°﹣120°＝60°即AE与DC的夹角为60°；（3）过B作BF∠DC于F，BG∠AH于G，如图：∠∠ABE∠∠DBC∠S△ABE＝S△DBC，即12AE×BG12DC×BF∠AE＝DC∠BG＝BF∠BF∠DC于F，BG∠AH于G ∠BH平分∠AHC．。

新版北师大八年级数学第一章知识点汇总和经典例题(附答案)

八年级下册数第一章讲义主要知识点（1）等腰三角形一、主要知识点1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）3、等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法（2)直角三角形、主要知识点1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.（3)线段的垂直平分线角平分线1、线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学八年级下册1.1第2课时等边三角形的性质课件

探究新知
1 等腰三角形的重要线段的性质
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、
高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 能证明你的
结论吗? A
A
A
ED
B
C
猜想1：底角的两
条平分线相等
NM
B
C
猜想2：两条腰
上的中线相等
Q
P
B
C
猜想3：两条腰上的高线相等
例1 证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
这是由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
2 等边三角形的性质
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三
角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都
等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理呢？
证一证
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.
当堂小结等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等. 定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
课堂练习 1.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC
的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是
八年级下册数学（北师版）
第一章三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时等边三角形的性质
情景导入在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？