2.6固有值和固有函数
25-26具有非齐次边界条件的问题以及固有值和固有函数资料
6
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79) 若边界条件不全是第一类，也可采用类似方法 把非齐次边界条件化成齐次的。 我们就下列几种
非齐次边界条件的情况，分别给出相应辅助函数
w(x,t) 的表达式：
(1) u(0,t) u1(t),
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
4
vt (x,0) sin l x.
为了将 v(x,t) 的边界条件也化成齐次，则 w(x)满足
w(0) 3,
w(l) 6.
13
utt a 2uxx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
l
x,
为了将此方程化成齐次的，自然选取w(x) 满足
a2w sin 2 x cos 2 x 0.
l
l
12
例2 求解下列问题：
utt a 2uxx u(0,t) 3,
固有值问题和特殊函数Bessel方程
(1) y j (2) yi 得 d dyi d dy j [x ]y j [x ] yi (ki 2 k j 2 ) xyi y j 0,即 dx dx dx dx d (ki 2 k j 2 ) xyi y j [ x( y j yi yi y j )]. dx 再从0到1积分得， (ki k j ) xyi y j dx d [ x( y j yi yi y j )]
因为a1 0，故由上式可得 a2 k 1 0，k 0,1, 2, a2 k a2 k 2 a 2 2 k 2 , k 1, 2, 2k (2 2k ) 2 k ( k ) (5)
反复应用(5)，有 (1) 2 a2 k 22 a2 k 22 2 k (k 1)( k )( k 1) (1)3 a2 k 23 23 2 k (k 1)(k 2)( k )( k 1)( k 2) (1) k a0 2k 2 k !( k )( k 1) ( 1) (1) k 2 ( 1)a0 2 k . 2 k !( k 1)
四、Bessel函数的正交性及模
1.含参数的Bessel方程 x 2 y xy ( 2 x 2 n 2 ) y 0 (*) y (0) 且满足端点条件 的固有值问题。 y (a) 0 在(*)中令 x，方程变为
2 2 y y ( n ) y 0. 2
(ii)s1 s2 2 2n(n 1,2),即s1 n, s2 n.
(1)k x2k n (1)k x2k n 此时J n ( x) 2k n , J n ( x) 2k n . k !(n k 1) k !(n k 1) k 0 2 k 0 2 1 而当 n k 1为零和负整数时(n k 1) ，即 0， (n k 1)
数理方程常规例题I
数学物理方程常规例题I(1-20题)一、数学模型例题例1． 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，横向拉它一下，使之作微小的横振动。
试导出振动方程。
解：考虑垂直悬挂的细弦线上一段微元ds ，该微元在坐标轴上投影为区间[x ，x+d x ]，在微元的上端点处有张力：)(1x L g T -=ρ，在下端点处有张力：)(2dx x L g T --=ρ考虑张力在位移方向的分解，应用牛顿第三定律，有tt u m T T =-1122sin sin αα 由于细弦作微小振动，所以有近似)(tan sin 22dx x u x +=≈αα )(tan sin 11x u x =≈αα代入牛顿第三定律的表达式，有tt x x u ds t x u x L g t dx x u dx x L g ρρρ≈--+--),()(),()(上式两端同除以ds ρ，得tt x x u dsx u x L dx x u dx x L g≈--++-)()()())((由于dx ds ≈，而x x x x x u x L dxx u x L dx x u dx x L )]()[()()()())((-≈--++-所以，细弦振动的方程为tt x x u u x L g =-])[(例2． 长为L 密度为ρ底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥顶点固定在x =0处。
导出此杆的振动方程。
（需要包括假设在内的具体推导） 解：设均匀圆锥杆作纵振动时位移函数为u (x ，t )则在点x 处，弹力与相对伸长量成正比，即),(),(t x Yu t x P x = 其中，Y 为杨氏模量。
在截面上张力为T (x , t ) = S (x ) P (x , t )这里，S (x )为x 处圆锥截面积。
考虑圆锥杆上对应于区间[x ，x+dx ]处的微元（如右图所示）。
应用牛顿第二定律，得),()]()()[(31),(),(t x u x xS dx x S dx x t x T t dx x T tt -++=-+ρ 由于圆锥截面积2)()(x LR x S π= 微元（圆台）体积)33()(31)]()()[(313222dx xdx dx x LRx xS dx x S dx x ++=-++ρπρ 所以),()33()(31)],(),()[()(3222222t x u dx xdx dx x L Rt x u x t dx x u dx x L R Y tt x x ++=-++ρππ两端除dx ，并取极限，得),()],([22t x u x t x u x Y tt x x ρ=记ρ/2Y a =，则有方程)2(2x xx tt u xu a u += 二、二阶偏微分方程化简与求通解只考虑未知函数是两个自变量情形，即),(y x u 。
信号与系统_2.5-2.6
y (t ) = =
∞
−∞ ∞
∫ x ( τ ) h (t − τ ) d τ =
−(t − τ)
∞
−∞
u ( τ ) e − ( t − τ ) u (t − τ ) d τ ∫
u (τ)
1
0
−∞
∫e
u ( τ )u (t − τ ) d τ
以上积分式中，积分变量是 。 以上积分式中，积分变量是τ。 式中的u(τ)u(t-τ)决定了积分的上下 式中的 决定了积分的上下 也确定了积分结果的定义区间。 限，也确定了积分结果的定义区间。
= δ(t ) − e −2t u (t )
一般的， 一般的，对于如下形式的微分方程
ak y ( k ) (t ) =∑ bk x( k ) (t ) ∑
k =0 k =0 N M
当N>M，单位冲激响应中只有自由响应；当N≤M，则还 ，单位冲激响应中只有自由响应； ， 有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。 有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。
α 2 = −2
h(t ) = A1e − t + A2 e −2t h(t ) = ( A1e −t + A2 e −2t )u (t )
确定特解，并确定t=0 时刻的初始条件。 ⑵ 确定特解，并确定 +时刻的初始条件。 比较以上方程两边可设： 比较以上方程两边可设：在t=0时刻 时刻
h′′(t ) = B1δ ′(t ) + B0δ (t ) + B∆u (t ) 于是在t=0时刻 于是在 时刻 h′(t ) = B1δ (t ) + B0 ∆u (t ) h(t ) = B1∆u (t )
rzs (t ) = ∫ e(τ )h(t −τ )dτ
数学物理方程 2-3章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
李明奇主编 数学物理方程全套课后部分习题答案__电子科技大学出版社
数学物理方程 电子科技大学出版社习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出其定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x Iu u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
数学物理方程2-3章课后部分习题答案
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社2-3章部分习题答案习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt nuk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt n uk )(441ϕ-=∂∂-，即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nus。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：02ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u 解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dxdydx dy 解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
固有模态函数
固有模态函数1固有模式函数固有模态函数（IMF）是指在固有振动中，物体中心坐标的幅值变化的函数。
它将一定的振动机构的物体状态变化的特征图形的定量化，用以描述物体系统在某一特定频率和振型运动时的动力学状态。
它可以用来衡量系统在振动期间的特性以及系统的变形情况，从而为求解动力学系统，分析结构物的振动行为，研究变形和消除振动提供基础数据。
固有模态函数有三个主要特征，即振型，频率和能量。
振型：物体由于振动载荷的作用而相应变形，变形的模式称为振型；频率：振动物体在一定时间内发生一次振动所需的时间，即振动的频率；能量：物体在变形过程中产生的能量，能量的大小可用比例递减的振幅或功率的幅值表示。
固有模态函数即可用来分析频谱，即求取物体振动的频谱，分析物体在多种频率下的反应情况。
即得到响应的最小的频率值，同时从而得到物体在各振型频率下的反应模式与振幅；又可用于求解物体系统的限制性在单一模态下的振动行为，以及分析平衡系统模态匹配问题；可用于分析物体振动时传递过程中传递的能量，以及物体自振动传递的能量；可用来研究物体振动及其衰减的过程，以及求解特定的问题等。
2固有模态函数的应用固有模态函数在工程中有着广泛的应用。
（1）在机械领域中：可以用于快速有效预测机械系统振动特性，检测结构设计中存在的问题，测试可靠性结构，分析物体在机械衰减中的衰减过程，以及研究实验数据与理论结果之间的差异等。
（2）在建筑和土木工程领域，可以预测建筑结构的振动行为，选取合理的结构支持，分析建筑结构的稳定性；有助于求解建筑断面及窗户等各种结构的应力，研究减缓地震变形和结构损坏的措施；有助于分析复杂地下工程的振动，研究水力机构的能量传输特性等。
（3）在振动控制方面：可以用来分析机械系统振动场景，以定位振动源，研究对某个特定振型有效控制能量，实现系统振动提升与降低，明确影响机械系统行为的各项因素，提高控制准确性等。
总之，固有模态函数能够比较完整地描述物体振动特性，可以重要反映物体运动的形态及其能量分布；因此它有着广泛的应用，在各个结构的设计及振动控制中发挥着重要的作用。
分离变量法(非齐次方程的求解问题)
二阶非齐次常系数微分方程：
y + py + qy = f ( t )
'' '
齐次通解：
y = C 1 y1 ( t ) + C 2 y 2 ( t )
非齐次特解： y * = C 1 ( t ) y1 ( t ) + C 2 ( t ) y 2 ( t ) 非齐次特解：
y = ( C 1 + C 1 ( t )) y1 ( t ) + ( C 2 + C 2 ( t )) y 2 ( t )
此时弦的振动是由两部分干扰引起的,其一是外界的 强迫力,其二是弦所处的初始状态.由物理意义知,这 种振动可以看作是仅由强迫力引起的振动和仅由初 始状态引起的振动之合成.于是我们可以设问题(**) 的解为:
u ( x, t ) = v ( x, t ) + w ( x, t )
其中
v ( x, t )
( n = 1, 2 )
将此式代入(1.1)式即得定解问题(*)的解
nπ a nπ a y1 (t ) = cos t , y2 (t ) = sin t l l l nπ a C1′(t ) = − f n (t )sin t, nπ a l l nπ a ′ C2 ( t ) = f n (t ) cos t nπ a l nπ a nπ a un (t ) = c1 cos t + c2 sin t+ l l nπ a nπ a ∫ C1′(t )dt cos l t + ∫ C2′ (t )dt sin l t
(t > 0)
1
v ( x , 0 ) = ϕ 1 ( x ) , vt ( x , 0 ) = ψ
（机械制造行业）机械工程测试技术基础课后试题及答案
（机械制造⾏业）机械⼯程测试技术基础课后试题及答案《机械⼯程测试技术基础》课后答案章节测试题第⼀章信号及其描述（⼀）填空题1、测试的基本任务是获取有⽤的信息，⽽信息总是蕴涵在某些物理量之中，并依靠它们来传输的。
这些物理量就是，其中⽬前应⽤最⼴泛的是电信号。
2、信号的时域描述，以为独⽴变量；⽽信号的频域描述，以为独⽴变量。
3、周期信号的频谱具有三个特点：，，。
4、⾮周期信号包括信号和信号。
5、描述随机信号的时域特征参数有、、。
6、对信号的双边谱⽽⾔，实频谱（幅频谱）总是对称，虚频谱（相频谱）总是对称。
（⼆）判断对错题（⽤√或×表⽰）1、各态历经随机过程⼀定是平稳随机过程。
（）2、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量。
（）3、⾮周期信号的频谱⼀定是连续的。
（）4、⾮周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲⼀样。
（）5、随机信号的频域描述为功率谱。
（）（三）简答和计算题1、求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值µ|x|和均⽅根值x rms 。
2、求正弦信号)sin()(0?ω+=t x t x 的均值x µ，均⽅值2x ψ，和概率密度函数p(x)。
3、求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at 的频谱。
4、求被截断的余弦函数≥<=T t T t tt x ||0||cos )(0ω的傅⽴叶变换。
5、求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x at ω的频谱。
第⼆章测试装置的基本特性（⼀）填空题1、某⼀阶系统的频率响应函数为121)(+=ωωj j H ，输⼊信号2sin )(t t x =，则输出信号)(t y 的频率为=ω，幅值=y ，相位=φ。
2、试求传递函数分别为5.05.35.1+s 和2224.141n n n s s ωωω++的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度。
3、为了获得测试信号的频谱，常⽤的信号分析⽅法有、和。
热传导方程2
u 0, u 0
x0x 1u sin( Nhomakorabeax) t0
n n2 2 X n ( x) sin(n x) (n 0,1, )
1
Bn 2 0 sinnx sin(x)dx
1, 0,
n n
1 1
u( x, t ) Bne(n )2 t sinnx
n1
e 2t sinx
9/16
X n ( x)
分离变量法I
热传导方程分离变量法 求解固有值问题 另类边界条件固有值问题 习题与做题方法介绍
1/16
夏日消溶,江河横溢,人或为鱼鳖。
············· 热传导 (热传递的三种基本方式 之一) 是指热量从系统的一部分 传到另一部分的现象。
昆仑冰川
傅里叶1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导出著名的热传导方程。
(2) 0 通解: X(x) = Ax + B
边界条件: X(0) = 0, X(L) = 0
X ( x) 0 不具备固有函数特点
5/16
(3) 0 m1 i m2 i
通解: X ( x) Acos x B sin x
边界条件: X(0) = 0, X(L) = 0
A=0
sin L 0
B sin L 0
L n ( n=1,2,···
固有值: 固有函数:
n
n2
L2
2)
n
Xn ( x) Bn sin L x
Bn
？ 2
L
6/16
一阶常微分方程
T na2T 0
n
n2
L2
2
un(x, t) = Tn(t) Xn(x)
Tn (t ) ena2t
2.6 固有值和固有函数
关于固有值和固有函数的几点结论： 关于固有值和固有函数的几点结论： 存在无穷多个实的固有值： (1) 存在无穷多个实的固有值： λ1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ ≤ λ n ≤ ⋯ ,
λ 当 q( x) ≥ 0 时， n ≥ 0 (n = 1, 2, 3, ⋯); 对应于这些固有值 有无穷多个固有函数： 有无穷多个固有函数：
6
下列定解问题： 13. 下列定解问题： u t = a 2 u xx (0 < x < l , t > 0), (u x − αu ) | x =0 = 0, u x | x =l = 0, u ( x,0) = ϕ ( x) 的固有值问题为 X ′′( x ) + λX ( x ) = 0, X ′′( x) + λX ( x) = 0, ( X ′ − αX ) | x =0 = 0, X ′(0) = αX (0), X ′ | = 0. X ′ | = 0. x =l x =l
x 2 y ′′ + xy ′ + λy = 0, (1 < x < e) y (1) = y (e) = 0 1 固有函数系 {y n (x)} 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。 正交。
{ (1)首先求出固有函数系 (1)首先求出固有函数系 y n (x)}的具体表达式 t t = ln x 作变换 x = e 则有
y n (t ) = Bn sin nπt (n = 1, 2, ⋯).
将 t = ln x 代入即得 y n ( x) = Bn sin(nπ ln x), (n = 1, 2, ⋯) 则原问题的固有函数系 为 {y n ( x)} = {sin(nπ ln x)}
数学物理方程练习题第九版(学生用)
u(r, π=) 2
0,
0 < r < 1,
u(1,θ )=
θ (π −θ ), 2
0<θ < π . 2
练习六
3
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
2．求解如下定解问题：
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
保持零度，而外圆温度保持 u0 (u0 > 0) 度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布
规律 u(r,θ ) . 问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程 ∆u= uxx + uy问题：
u1r (∂r∂1r,θ= )r
∂u ∂r
0,
+ 1 ∂2=u r 2 ∂θ 2 u(r2 ,θ=)
= u(0, t) s= in t, ux (π ,t) 0,
u(x,0) = 0.
4
3. 求解以下定解问题：
= uu= (t0,tu) xx
+2ux , u= (1, t )
华科大数理方程课件-固有值和固有函数
单击此处添加副标题
汇报人姓名 汇报日期
目 录CONTENTS
1目 2录 3 引言 4 固有值和固有函数的
性质
5 求解固有值和固有函 数的方法
6 固有值和固有函数的 计算实例
ONE
1
引言
定义与概念
与固有值相对应， 固有函数是指满足 特定方程或条件的 函数，这些函数描 述了系统的内在行 为或状态。
在经济学中，固有值和固有函数用 于描述经济系统的内在规律和动态 行为，如均衡点和稳定性分析。
ONE
2
固有值和固有函数的性质
固有值的性质
实数性
固有值通常是实数，表示系统或方程的某种特性或状态。
唯一性
对于给定的系统或方程，固有值是唯一的，不会因计算或测量方 法的不同而改变。
稳定性
固有值可以反映系统的稳定性，例如在力学系统中，固有频率与 系统的振动模式有关。
介绍了固有值和固有函数在各个领 域的应用，如物理、工程、经济和 金融等，并给出了相应的实例和说 明。
对未来研究的展望
提出了一些尚未解决的问题和需要进一步研究的方向，如某些特殊类型的方程的固有 值和固有函数的求解、数值计算方法的改进等。
强调了固有值和固有函数在各个领域的应用前景，并鼓励学者们在未来的研究中积极 探索和应用。
固有函数的性质
周期性
许多固有函数表现出明显的周期性，如振动系统 的位移函数。
单调性
某些固有函数在特定区间内单调增加或减少，反 映系统的变化趋势。
对称性
一些固有函数具有对称性质，如正弦和余弦函数。
固有值和固有函数的关系
对应关系
固有值和固有函数之间存在一一对应关系，每个固有值都有相应的固有函数与 之对应。
固有值和固有函数(精简)
n (n ) ,
yn (t ) sinnt (n 1, 2, ).
n ln x), 将 t ln x 代入即得 yn ( x) sin(
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系为 yn ( x) sin(n ln x)
(n 1, 2, )
6
练习 15. 试证问题
b
a
( x) f ( x) y n ( x)dx
b
a
2 ( x) y n ( x)dx
(n 1, 2, 3, );
4
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
(1)首先求出固有函数系yn ( x)的具体表达式 t t ln x 作变换 x e 则有 解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt yt y 0
1
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p( x) q( x) y ( x) y 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p( x) C[a, b], p( x) 0 (a x b); 2. q( x) C[a, b], 或者 q( x) C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) 0; 3. ( x) C[a, b], ( x) 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
工程数学习题答案
f ( x ) = ∑ a k cos kx
k =0
∞
由正交性得
a0 =
1 2π
∫ π f ( x )dx = π ∫
−
π
1
π
0
(π − x )dx =
2
π
0
π 1 π [−(π − x ) 2 ] 0 = 2π 2
ak =
f ( x ) cos kxdx = ∫ π ∫π π
−
1
π
(π − x ) cos kxdx
u( x , t ) = [cos
πa
l
t+
πa π l sin t ] sin x πa l l
⎧ utt = a 2 u xx , (0 < x < l , t > 0) ⎪ ⎪ u x = 0 = u x x = l = 0, 4．求波动方程解 ⎨ ⎪ u t = 0 = 3 sin 3πx / 2l + 6 sin 5πx / 2l , ⎪u ⎩ t t =0 = 0
方程组有非零解的条件为系数矩阵行列式为零，即
[cos 2π λ − 1]2 + sin 2 2π λ = 0
整理得
cos 2π λ = 1
由余弦函数的最大值点得
2π λ = 2nπ
所以特征值和特征函数分别为 （A 和 B 不全为零） λ n = n 2 ， X n = A cos nx + B sin nx ，
《工程数学》习题一
y ⎧ dy ⎪ = ry (1 − ), x > 0 1．用分离变量法解常微分方程初值问题 ⎨ dx K ⎪ y ( 0) = y 0 ⎩
解：用常微分方程分离变量法
数学物理方程第二版谷超豪主编的课本的课后答案
1、一个偏微分方程所含有的未知函数最高阶导数的阶数称为这个偏微分方程的阶。
2、如果方程对未知函数及其各阶导数总体来说是线性的，则称这个方程是线性方程，否则称这个方程是非线性方程。
3、几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果（即假设其他原因不存在时，该原因所产生的效果）的累加。
这个原理称为叠加原理。
4、I 【22222//0u t a u x ∂∂-∂∂=0:(),/()t u x u t x ϕψ==∂∂=】初值问题I 的解为(,)[()()]/2(1/2)()x atx atu x t x at x at a d ϕϕψαα+-=-+-+⎰此公式称为达朗贝尔公式5、依赖区间（x-at,x+at ） 第一章课后题2.8求解波动方程的初边值问题222200{//sin |0,/|sin }t t u t u x t x u u t x ==∂∂-∂∂==∂∂=解：()0()11(,)sin sin sin 22x t x tt x t x t u x t d d t xττξξτξξ+-+---=+=⎰⎰⎰sin(1,2,...)k k C x k l π=为常微分方程()()0X x X x λ''+=满足边界条件(0)0,()0X X l ==的固有函数（或特征函数）而222k lπλ=称为相应的固有值。
2222200:(),()0,:0u u a t x ut u x x tx x l u ϕψ∂∂-=∂∂∂===∂===初值问题，的解是(,)cos sin sin k k k a k a k a u x t A t B t xl l l πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又可以写成(,)cos()sink k k k k u x t N t x lπωθ=+其中,cos sin K K k k K aN lπωθθ===K N 称为波的振幅，K ω称为圆频率，k θ称为波的初位相。
电子科技大学《数学物理方程》课后习题答案 李明奇版
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt n uk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-， 即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nu s。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
固有值问题
2 2 n 于是 l n 或 n n 1,2, 2 l n x 此时 X n ( x) Cn sin l n 称为固有值， X n ( x) 称为固有函数
C1 0 C2 sin l 0 只有sin l 0 才能保证 C2 0，方程有非零解
按上述公式计算出系数 An 和 Bn
nx nat nat u( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1
注：该解称为古典解，在求解中我们假设无穷级数是收敛的。 如上的方法称为分离变量法，是齐次发展方程求解的一个 有效方法。下面对该方法的步骤进行总结。
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
【例题1】 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是 两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由 纵振动,即定解问题
utt a u xx 0 0 x l , t 0
由此解出C1 =0, C2 =0，从而
X ( x) 0
X ( x) C1 x C2
C2 0 C1l C2 0
则仍然解出 C1 0 C2 0
u( x, t ) X ( x)T (t ) 0
3、 λ>0的情况
方程的解是
X ( x) C1 cos x C2 sin x
该解所表示的物理过程可以从下面动画图中得到。注意级数解 有无穷多项，计算时取前50项，a=1。程序为my4
matlab 固有函数改变
Matlab是一个广泛使用的编程语言和计算环境，它提供了大量的内置函数来帮助用户进行各种计算和数据分析。
然而，有时候用户可能需要修改或扩展这些固有函数来满足特定的需求。
在Matlab中，可以通过几种不同的方法来修改固有函数。
首先，对于一些简单的修改，可以使用Matlab的“edit”命令来打开并编辑函数文件。
例如，要编辑sin函数，可以在命令窗口中输入edit sin。
这将打开一个文本编辑器，允许用户查看和修改函数的源代码。
注意，这种修改只在当前Matlab会话中有效，关闭并重新打开Matlab后修改的内容将丢失。
另一种方法是使用Matlab的“feval”函数来执行自定义的函数。
用户可以创建一个新的函数文件，然后使用“feval”来调用它。
例如，假设用户创建了一个名为my_sin的函数文件，可以使用以下命令来调用它：y = feval('my_sin', x);。
如果需要更复杂的修改，例如添加新的功能或修复错误，可能需要直接编辑Matlab的安装目录中的函数文件。
这种修改需要更高的权限，并且更改可能对所有使用该函数的脚本和代码产生影响。
因此，在进行这种修改之前，建议备份原始文件或使用版本控制工具。
最后，对于一些简单的修改，也可以使用Matlab的“wrap”命令来创建一个包装函数，该函数可以调用原始函数并添加额外的功能。
例如，要为sin函数添加一个打印语句，可以创建一个包装函数：matlabfunction y = my_sin(x)y = sin(x);fprintf('sin(%f)\n', x);end然后可以使用wrap命令将原始sin函数替换为新函数：matlabwrap('my_sin', 'sin');这将使所有对sin的调用都调用新的my_sin函数。
这种方法只影响当前会话，不会永久更改Matlab的安装目录中的函数文件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 (1)当 0 时，方程通解为 X ( x) Ae x Be
x
,
x
从而有 X ' ( x) Ae
由边界条件得 A B 0,
A B 0,
x
Be
A B 0.
X ( x) 0.
即此时原问题没有非平凡解。
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
yn ( x)的具体表达式 (1)首先求出固有函数系 t t ln x 作变换 x e 则有
解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt yt y 0
2.6
固有值与固有函数
在本章的前三节我们应用分离变量法求解弦振
动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程的 有关定解问题时，都需要解决一个含参变量 的 常微分方程的边值问题，
X ( x) X ( x) 0, X (0) X (l ) 0.
这样的问题称为固有值问题。 也属于施图姆-刘维尔问题
1
施图姆-刘维尔方程的一般形式
d dy p( x) q( x) y ( x) y 0 dx dx
(95)
其中 1. p( x), p( x) C[a, b], p( x) 0 (a x b); 2. q( x) C[a, b], 或者 q( x) C (a, b), 而在 区间端点处至多有一阶极点，且 q( x) 0; 3. ( x) C[a, b], ( x) 0. 方程(95)加上边界条件就称为施图姆-刘维尔问题
n (n ) ,
yn (t ) sinnt (n 1, 2, ).
n ln x), 将 t ln x 代入即得 yn ( x) sin(
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系为 yn ( x) sin(n ln x)
(n 1, 2, )
7
练习 15. 试证问题
X ' ( x) A sin x B cos x
B sin 0.
A sin 0.
若 sin 0, n n2 (n 1, 2 , ). 代入通解有 X n ( x) An cosnx Bn sin nx (n 1, 2, ).
(97)
(n 2, 3, );
其中
cn
b
a
( x) f ( x) y n ( x)dx
b
a
2 ( x) y n ( x)dx
4
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性：
f ( x) cn y n ( x),
n 1
(97)
若函数 f ( x), f ( x) 在 (a, b) 内是分段连续函数， 则级数(97)在 f ( x) 的间断点 x0 处收敛于
对应的特征函数为：
1, cos x, sinx, cos2 x, sin2 x,, cosnx, sinnx,
练习
13. 用分离变量法写出下列定解问题： u t a 2 u xx (0 x l , t 0), (u x u ) | x 0 0, u x | x l 0, u ( x,0) ( x) 的固有值问题；并写出 (1)边界条件中的 0 时的固有值及固有函数；
n 0 (n 1, 2, 3, ); 对应于这些固有值 当 q( x) 0 时， 有无穷多个固有函数： y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x),. (2) 如果把对应于固有值 n 的固有函数记为 yn ( x), 那么所有yn ( x)组成一个带权函数 ( x) 的正交函数 系，即 b (m n). (96) a ( x)ym ( x) yn ( x)dx 0
yn ( x)的具体表达式 (1)首先求出固有函数系 t t ln x 作变换 x e 则有
解
1 y x yt , x
y xx
1 1 1 1 1 ( y tt ) y t ( 2 ) 2 ytt 2 y t , x x x x x
代入原方程有
ytt yt 3 yt y 0
e
1
1
x y n ( x) y m ( x)dx
t 作变换 x e
e 2t y n (t ) y m (t )dt
0
sin nt sin mtdt 1
0
1
0 , m n,
2 ,
m n.
11
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (2)当 0 时，方程通解为 X ( x) A0 x B0 , 从而有
X ' ( x) A0
X ( x) B0
由边界条件得 A0 0,
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (3)当 0 时，方程通解为 X ( x) A cos x B sin x. 由条件 X ( ) X ( ) 由条件X ' ( ) X ' ( )
n (n ) 1,
yn (t ) et sinnt (n 1, 2, ).
1 将 t ln x 代入即得 yn ( x ) x sin( n ln x ),
(n 1, 2, )
则原问题的固有函数系 1 为 y n ( x) sin(n ln x)
1 f ( x0 0) f ( x0 0), 2
且在 (a, b) 上失去一致收敛性。
5
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 将 0 和 0 时对应的结果综合即得：
2 n 特征值 n
(n 0, 1, 2 , ).
ytt 2 yt y 0
9
思考 试证问题
x 2 y 3xy y 0, (1 x e) y (1) y (e) 0 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
ytt 2 yt y 0
2
y(0) y(1) 0.
x
(n 1, 2, )
10
思考 试证问题
x 2 y 3xy y 0, (1 x e) y (1) y (e) 0 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
yn ( x)的函数正交性 (2)现在验证固有函数系
(3) 类似于傅里叶级数，按固有函数系展开有下 面的收敛性： 若函数 f ( x)在 (a, b) 内有一阶连续导数及分段 连续的二阶导数，并且满足所给的边界条件， 则 f ( x)在 (a, b) 内可以按固有函数展开为绝对且 一致收敛的级数：
f ( x) cn y n ( x),
n 1
(2)边界条件中的 时的固有值及固有函数；
18
13. 下列定解问题： u t a 2 u xx (0 x l , t 0), (u x u ) | x 0 0, u x | x l 0, u ( x,0) ( x) 的固有值问题为 X ( x ) X ( x ) 0, X ( x ) X ( x ) 0, ( X X ) | x 0 0, X (0) X (0), X | 0. X (l ) 0. x l
即此时原问题有一个非平凡解，
X 0 ( x) B0
其中 B0 为任意常数。
13
练习 14.(2) 求下列问题的特征值与特征函数
X ' ' ( x) X ( x) 0, X ( ) X ( ), X ' ( ) X ' ( ).
解 (3)当 0 时，方程通解为 X ( x) A cos x B sin x. 由条件 X ( ) X ( ) 由条件X ' ( ) X ' ( )
ytt y 0
6
练习 15. 试证问题
齐次欧拉方程
x 2 y xy y 0, (1 x e) y(1) y(e) 0 1 固有函数系 yn ( x) 在 [1, e] 上带权函数 x 正交。
解
ytt y 0
2
y(0) y(1) 0.
那些使施-刘问题存在非0解的 值， 称为该问题 的固有值，而相应于给定的固有值的非0解，称为 固有函数。 例如: r 2 F rF (r 2 n 2 )F 0