【高考模拟】福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)数学(理)试题Word版含答案

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高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (5)

[考案5]第五章综合过关规范限时检测(时间：120分钟满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2，即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4，则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列【试题解答】因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0，所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0，即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ，两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2；当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4，又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)，解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ，两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1，两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得，则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4，所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。

2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析

2018届高三数学（理）一轮复习考点规范练：第八章立体几何39Word版含解析考点规范练39空间几何体的表面积与体积基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.82.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A.1+B.1+2C.2+D.23.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A. B.1 C. D.4.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为()A.πB.πC.πD.1+π5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.4π C.2π D. ?导学号37270348?6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛7.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是.8.某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.9.(2016邯郸一模)已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.?导学号37270349?10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.11.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm和30 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.能力提升13.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为()A. B. C. D. ?导学号37270350?14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.+πB.+πC.+2πD.+2π15.(2016浙江,理11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.16.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F 分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.高考预测17.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为()A.3B.2C.D.1 ?导学号37270351?参考答案考点规范练39空间几何体的表面积与体积1.B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2r2+πr×2r+4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.C解析由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD 为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+3.C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=1=4.C解析由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为V1=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=1×1=,故选C.5.D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=13=故选D.6.B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,2πR=8,∴R=∴体积V=πR2h=π5.∵π≈3,∴V(立方尺).∴堆放的米约为22(斛).7.32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是43=32.8解析由三视图可知,四棱柱高h为1,底面为等腰梯形,且底面面积S=(1+2)×1=,故四棱柱的体积V=S·h=9.12π解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC 的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2,所以球的直径是2,半径为,球的表面积为4π×()2=12π.10解析由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,∴MN=,NP=1.∴S△MNP=1=∵点A1到平面MNP的距离为AM=,11.解如图所示,三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1分别为两底面中心,D,D1分别为BC和B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.由题意知A1B1=20,AB=30,则OD=5,O1D1=,由S侧=S上+S下,得3(20+30)×DD1=(202+302),解得DD1=,在直角梯形O1ODD1中,O1O==4(cm),所以棱台的高为4 cm.12.解(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1(2)由三视图可知,该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2×(1×1+1+1×2)=6+213.A解析如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,所以S△AGD=S△BHC=1=所以V=V E-ADG+V F-BHC+V AGD-BHC=2V E-ADG+V AGD-BHC=2+1=14.A解析由三视图可知,该几何体是一个组合体,其左边是一个三棱锥,底面是等腰直角三角形(斜边长等于2),高为1,所以体积V1=2×1×1=;其右边是一个半圆柱,底面半径为1,高为2,所以体积V2=π·12·2=π,所以该几何体的体积V=V1+V2=+π.15.7232解析由三视图,可知该几何体为两个相同长方体组合而成,其中每个长方体的长、宽、高分别为4 cm,2 cm,2 cm,所以其体积为2×(2×2×4)=32(cm3).由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以其表面积为2×(2×2×2+4×2×4)-2×(2×2)=72(cm2).16.解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为17.C解析如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.由于SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.又∠ASC=∠BSC=30°,又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC,所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以V S-ABC=V S-ABD+V C-ABD=S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2由于AD= 同理在Rt△BSC中也有BD=又AB=,所以△ABD为正三角形.所以V S-ABC=S△ABD·SC=()2·sin 60°×4=,所以选C.。

2018年高考全国一卷理科数学答案及解析

2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。

B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题

XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题2018年全国高三文科数学统一联合考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{x|x\leq1\}$，且$A\cap B=\{0,1\}$，则集合$B$可能是(。

)A.$\{x|x\geq\}$B.$\{x|x>-1\}$C.$\{-1,0,1\}$D.$\{0,1,2\}$2.已知向量$a=(1,2)$，$b=(-1,0)$，则$2a-b=$(。

)A.$17$B.$17\vec{a}$C.$5$D.$25$3.若复数$z$在复平面内对应的点的坐标是$(1,-2)$，则$z=$ (。

)A.$1-2i$B.$1+2i$C.$2-i$D.$-2-i$4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，则墙厚为(。

)A.$8255$尺B.$129$尺C.$2079$尺D.$65$尺5.若双曲线$C:-\frac{x^2}{x^2+y^2}=1$的离心率为3，则实数$m=$ (。

)frac{m}{m+1}$A.$1$B.$2$C.$1$或$-2$D.$1$或$2$6.已知命题$p:\exists m\in R$，使得$f(x)=x^2+mx$是偶函数；命题$q:x^2=1\Rightarrow x=1$，现给出下列命题：①$p$；②$q$的逆否命题；③$p\land q$；④$p\lor(\negq)$。

其中真命题的个数为(。

)A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.如图，网格纸上小正方形的边长为$1$，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(。

《解析》福建省泉州市2018届高三下学期质量检查(3月)物理试题 Word版含解析【高考】

福建省泉州市2018届高三下学期质量检查（3月）物理试题二、选择题：共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

1. 如图所示为氢原子的能级图，用某种频率的光照射大量处于基态的氢原子，受到激发后的氢原子只辐射出三种不同频率的光a、b、c，频率大小关系为，让这三种光照射逸出功为10.2eV的某金属表面，则A. 照射氢原子的光子能量为12.09eVB. 从n=3跃迁到n=2辐射出的光频率为C. 逸出的光电子的最大初动能为1.51eVD. 光a、b、c均能使金属发生光电效应【答案】A【解析】基态的氢原子吸收光子的能量后，跃迁至n=3，所以吸收光子的能量解得：，故A正确；从n=3跃迁到n=2辐射出的光子的能量最小，频率为，所以B错误；从n=3跃迁到n=1辐射出的光子的能量最大，根据光电效应，故C错误；从n=3跃迁到n=2辐射出的光子的能量小于金属的逸出功，不能使金属发生光电效应，所以D错误。

2. 我国已掌握“半弹道跳跃式高速再入返回技术”，为实现“嫦娥”飞船月地返回任务奠定基础。

如图虚线为地球大气层边界，返回器与服务舱分离后，从a点无动力滑入大气层，然后经b点从c点“跳”出，再经d点从e点“跃入”实现多次减速，可避免损坏返回器。

d点为轨迹的最高点，与地心的距离为r，返回器在d点时的速度大小为v，地球质量为M，引力常量为G。

则返回器A. 在b点处于失重状态B. 在a、c、e三点时的动能相等C. 在d点时的加速度大小为D. 在d点时的速度大小大于【答案】C【解析】由题意知，返回器从b点加速跳出，处于超重状态，故A错误；从a到e会经大气层，有能量的损耗，在a、c、e三点时的速度不等，逐次减小，故B错误；在d点受万有引力：，所以加速度，故C正确；在d点，，解得速度为：，所以D错误。

3. 在坐标到之间有一静电场，x轴上各点的电势随坐标x的变化关系如图所示。

山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案

绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。

福建省泉州市2018届高三1月单科质量检查数学(理) Word版含答案

泉州市2018届高中毕业班单科质量检查理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B = （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ （D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2A B x x =≤ ，故选D. 【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.【变式题源】（2015全国卷I·理1）已知集合{}1A x x =<，{}31x B x =<，则（A ）{|0}A B x x =< （B ）A B =R （C ）{|1}A B x x => （D ）A B =∅（2）已知z 为复数z 的共轭复数，()1i 2i z -=，则z =（A ）1i --（B ）1i -+（C ）1i - （D ）1i + 【命题意图】本小题主要考查复数的运算、共轭复数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+，所以1z i =--，故选（A ）. 【错选原因】错选B ：求出1z i =-+，忘了求z ；错选C ：错解1i z =+；错选D ：错解1i z =-.【变式题源】（2015全国卷Ⅰ·文3）已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i（3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若212a a -=，549S S -=，则50a =（A ）99 （B ）101 （C ） 2500 （D ）4592⨯【命题意图】本小题主要考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】依题意得，212d a a =-=，5549a S S =-=，所以5054599a a d =+=，故选C.【错选原因】错选A ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选B ：n S 的公式记忆错误，导致计算错误；错选D ：误认为544S S a -=.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8（4）已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的渐近线上，则E 的离心率等于（A（B（C（D【命题意图】本小题主要考查双曲线的渐近线、离心率等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算．【试题简析】由题意得，点(2,1)在直线b y x a =上，则12b a =，所以e == B. 【错选原因】错选A ：误认为222c a b =-导致错误；错选C ：误认为双曲线的焦点在y 轴上.错选D ：未判断双曲线的焦点位置. 【变式题源】（2013全国卷Ⅰ·理4）已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为（A ）y ＝14x ± （B ）y ＝13x ± （C ）y ＝12x ± （D ）y x =± （5）已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.【变式题源】（2017全国卷Ⅰ·理14）设x ，y 满足约束条件21,21,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩则32z x y =-的最小值为．（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）16π3 （B ）11π2 （C ）17π3 （D ） 35π6【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V r ππ==，故选A. 【错选原因】错选B ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选C ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选D ：圆锥的公式记忆错误.【变式题源】（2016全国卷Ⅰ·理6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的表面积是（A ）π17 （B ）π18（C ）π20 （D ）π28（7）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【命题意图】本小题主要考查程序框图，数列求和等基础知识；考查学生的运算求解能力及数据处理能力；考查化归与转化思想、分类与整合思想；考查数学抽象和数学运算等.【试题简析】解法一：0,0,1,1i S x y ====开始执行，然后11,11,2,2i S x y ==+==⋅⋅⋅ 111115,(124816)(1)33,32,2481632i S x y ==+++++++++<==，再执行一行，然后输出6i = 解法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，11211111,2,,2(2)22n n n a a a n --=+=+⋅⋅⋅=+≥ 1233n a a a ++⋅⋅⋅+≥，解得n 的最小值为6.【错选原因】错选A ：可能把2x x =误当成2x x =来算；错选B ：当执行到5i =时，11113224816S =++++，学生估值失误，误以为会达到33或按四舍五入得到. 错选D ：可能先执行了1i i =+后才输出.【变式题源】（2015年全国卷Ⅱ·理8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a = （A ）0（B ）2 （C ）4 （D ）14（8）下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（A ）()sin f x x x =-（B ）()()()ln 1ln 1f x x x =--+ （C ）()e e 2x xf x -+= （D ）()e 1e 1x x f x -=+【命题意图】本小题主要考查函数的图象与奇偶性、单调性、定义域等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数学运算等.【试题简析】A 选项：()cos 10f x x '=-≤，不符合图象上升这个条件；B 选项：定义域不关于原点对称；C 选项函数图象先减后增，在0x =时函数取得最小值；故选D【错选原因】错选A ：符合图象关于原点对称这个条件；错选B ：有的学生可能会通过各种方法判断函数的单调性，却忽略了定义域不关于原点对称；错选C ：有的学生可能根据函数过(0,0)而错选此项.【变式题源】（2011年全国卷Ⅱ·理2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+（D ）||2x y -=（9）已知 1.50.5a -=，6log 15b =，5log 16c =，则（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<【命题意图】本小题主要考查指对数函数等基础知识；考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学运算和数据分析.【试题简析】 1.5 1.5655log 15log 15log 16220.5-<<<<=【错选原因】错选B ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选D ：对数函数的换底公式不熟悉导致；错选C ：指数的运算不过关导致.【变式题源】（2013年全国卷Ⅱ·理8）设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（A ）c b a >>（B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>（10）已知1(,2)2P 是函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点．若7cos 25BPC ∠=，则()f x 的图象对称中心可以是（A ）()0,0 （B ）()1,0 （C ） ()2,0 （D ）()3,0【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、解三角形、二倍角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想；考查数学抽象、直观想象和数学分析等.【试题简析】如图，取BC 的中点D ，连结PD ，则4PD =，设BD x =，则PB PC =余弦定理可得，2222(2)cos x BPC =+-∠，解得3x =，57(,2),(,2)22B C ---，,BP CP 的中点都是()f x 图象的对称中心.故选C .【错选原因】错选A ：平时缺乏训练，只记得正弦函数的对称中心是(0,0)错选B ：误把最高点的2当成了周期；错选D ：这类同学可以求出函数的周期是6，但没注意到函数并未过原点.【变式题源】（2015年全国卷I·理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,),44k k k ππ-+∈Z （B ）13(2,2),44k k k ππ-+∈Z （C ）13(,),44k k k -+∈Z （D ）13(2,2),44kk k -+∈Z（11）已知直线l ：0mx y m -+=，圆C ：()224x a y -+=.若对任意[1,)a ∈+∞，存在l 被C 截得弦长为2，则实数m 的取值范围是（A）[ （B）(,)-∞+∞（C）[ （D）(,)-∞+∞【命题意图】本小题主要考查直线与圆、点到直线的距离、解三角形等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、必然与或然思想；考查数学抽象、数学建模、数学运算与数据分析等.【试题简析】解法一：由题意可得，圆心C 到l的距离d === 所以223(1)3m a =+-，又因为1a ≥，所以203m<≤，0m ≤<或0m <. 解法二：由题意可得，圆心C 到l的距离d =又l ：0mx y m -+=恒过定点()1,0A -，1a ≥，所以2AC ≥，另设直线l 的倾斜角为θ，所以sin (0,2AC θ=∈，所以l 的斜率tan [m θ=∈ .【错选原因】错选A ：在计算223[(1)3]m a =+-时，分子误当成1来计算；错选B ：分离变量时，误把223[(1)3]m a =+-写成22[(1)3]3a m +-=；错选D ：把最后的23m ≤计算成23m ≥【变式题源】（2016年全国卷Ⅱ·理4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（A ）43-（B ）34- （C （D ）2（12）已知函数()222,0,e e ,0,x x x a x f x ax x ⎧++<⎪=⎨-+-≥⎪⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（A ）()0,1 （B ）()e,+∞ （C ）()()0,1e,+∞ （D ）()()20,1e ,+∞ 【命题意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的图象、复合函数的图象以及零点问题等知识点；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识；考查数形结合思想、分类与整合、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算和数据分析等.【试题简析】解法一：当0x =时，2()1e 0f x =--≠，故0x =不是函数()f x 的零点.当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于2e e x a x+=，令2e e ()(0)x g x x x +=>，则22e e e ()x x x g x x--'=，当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>；所以2()[e ,)g x ∈+∞，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，故()f x 在(0,)+∞没有零点，从而2e a <，所以01a <<；②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，故()f x 在(0,)+∞有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，故()f x 在(0,)+∞有两个零点，从而2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.解法二：当[0,)x ∈+∞时，2()e e x f x ax =-+-，()e x f x a '=-+，①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞有两个零点，又当[0,)x ∈+∞时，2max ()(ln 1)e 0f x a a =--<，故()f x 在[0,)+∞没有零点，所以01a <<； ②当0a ≤或1a =时，()f x 在(,0)-∞有一个零点，又当[0,)x ∈+∞时，()e 0x f x a '=-+<，()f x 在[0,)+∞上单调递减，故2()(0)1e 0f x f ≤=--<，不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞有没有零点，此时()f x 在[0,)+∞上必有两个零点.当[0,)x ∈+∞时，当ln x a <时，()0f x '>，当ln x a =时，()0f x '=，当ln x a >时，()0f x '<，所以2ma x ()(ln )ln ef x f a a a a ==-+-，要使()f x 在[0,)+∞上必有两个零点，只需满足2ma x ()(ln )ln e 0f x f a a a a ==-+->. 令2()ln eg t t t t =--，则'()ln g t t =，当1t >时，'()0g x >，故()g t 单调递增.又2(e )0g =，故2ln e 0a a a -+->即2()(e )g a g >，解得2e a >.综上可得01a <<或2e a >.故选D.【错选原因】错选A ：只会做二次函数部分，无视另一种情况，即左右各有一个零点.错选B ：用特殊值0或1代入，发现不成立，故排除了其他三个选项得到；错选C ：可能根本没去做，综合了A 和B ，于是选C. 【变式题源】（2013年全国卷I·理11）已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）(－∞，0] （B ）(－∞，1] （C ）[－2,1] （D ）[－2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门仙桃潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

2018年泉州市3月质检-理科数学

2018年泉州市3月质检-理科数学245143π-D. 245161π-A.41 B. 31C.125 D. 32A.253-B.253+ C.251+- D.251+(11)现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则包装盒的体积的最小值为 A.π36 B.π72 C.π81 D.π216A.),1[+∞-B. ),1[]2ln 44,(+∞----∞C.),1[]3ln 33,(+∞----∞ D.),1[]3ln 33,2ln 44(+∞-----二、填空题(16)在平面四边形ABCD 中，120=∠ABC ，192=AC ，BC AB 32=，BD AD 2=，BCD ∆的面积为32，则=AD _________.三、解答题(Ⅰ)求证：平面⊥CP A 1平面BE A 1；(Ⅱ)求二面角D P A B --1的余弦值(19)(本小题满分12分)某公司订购了一批树苗，为了检测这些树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图19-1的频率分布直方图，如图19-2的最高16株树苗的高度的茎叶图，以这100株树苗高度的频率代替整批树苗高度的频率.(20)(本小题满分12分)(21) (本小题满分12分)已知函数)f x-x=.x-)(2()(axe(Ⅰ)当0>a 时，讨论)(x f 的极值情况；(Ⅱ)若0])()[1(≥+--e a x f x ，求的a 值.(22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 1,cos 1ααt y t x (t 为参数)，其中πα<≤0，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:=C .(Ⅰ)当1=a 时，求不等式5)(≤x f 的解集；(Ⅱ)若Rx∈∃0，|12|)(0+≤a x f 成立，求a 的取值范围.建瓯一中2017-2018学年下学期高三理科数学第三次周练参考答案二、填空题(13)5 (14)6 (15)4 (16)34 三、解答题 171819202122。

福建省2023届高三高考模拟(高三毕业班适应性练习卷)省质检数学试题(含解析)

福建省2023届高三高考模拟（高三毕业班适应性练习卷）省质检数学试题一、单选题1．（2023·福建·统考模拟预测）已知集合{}lg A x y x ==，{}2B y y x ==，则（）A ．RA B ⋃＝B ．R A B ⊆ðC ．A B B I ＝D ．A B⊆2．（2023·福建·统考模拟预测）已知z 是方程x 2-2x +2=0的一个根，则|z |=（）A．1B C D ．23．（2023·福建·统考模拟预测）函数()2ln 2x x f x x-+＝的图象大数为（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·福建·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的帐周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A ．360πsin 2n n︒≈B ．180πsinn n︒≈C ．π≈D ．π≈5．（2023·福建·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -（a >0，b >0）的离心率为12F F ，，1F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A ．2B C ．3D ．46．（2023·福建·统考模拟预测）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A ，B ，C 等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B ，C 两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（）A ．72B ．84C ．88D ．1007．（2023·福建·统考模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（）A ．b c a>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>8．（2023·福建·统考模拟预测）已知()2,X N μσ:，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取N 个，这N 个零件中恰有K 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55.若45K =，试以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为（）A ．45B ．53C ．54D ．90二、多选题9．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量()1,2a =r ，()4,2b =-r ，则（）A ．()()a b a b-⊥+r r r r B ．a b a b-=+r r r r C ．b a -r r 在a r 上的投影向量是a -r D ．a r在a b +r r 上的投影向量是()3,4-10．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数f (x)=sin x x ωω(ω>0)满足:f (π6)=2,f (2π3)=0,则( )A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f (π3x -)是奇函数C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f (x )的值域为[-2,2]11．（2023·福建·统考模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，PQ 垂直l 于点Q ，直线QF 与C 相交于M ､N 两点.若M 为QF 的三等分点，则（）A ．cos ∠12PQM ＝B ．sin∠QPM C ．NF QF=D．PN 12．（2023·福建·统考模拟预测）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，M 为侧面11AA D D 上的点，N 为侧面11CC D D 上的点，则下列判断正确的是（）A．若BM M 到直线1A DB ．若11B N AC ⊥，则1N CD ∈，且直线1B N //平面1A BD C ．若1M A D ∈，则1B M 与平面1A BDD ．若1M A D ∈，1N CD ∈，则M ，N三、填空题13．（2023·福建·统考模拟预测）写出过点()2,0且被圆224240x x y y -+-+=截得的弦的一条直线的方程___________.14．（2023·福建·统考模拟预测）已知{an }是单调递增的等比数列，a 4+a 5=24，a 3a 6=128，则公比q 的值是___________.15．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.四、解答题16．（2023·福建·统考模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC V 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，求四边形ABCD 面积的最大值.17．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足：11a =，28a =，212122log n n n a a a -++=，2122216n a n n a a ++=.(1)证明：{}21n a -是等差数列：(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，2023n S >，求n 的最小值.18．（2023·福建·统考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.x y t1021ii x=∑101i ii x y=∑1021ii t=∑101i ii t y=∑2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110ii t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.(2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．（2023·福建·统考模拟预测）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2ABPC ==，PA PB ==M 是棱PD 上的点，且四面体MPBC 的体(1)证明：PM MD =；(2)若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值.20．（2023·福建·统考模拟预测）已知圆221()116A x y ++=：，直线1l 过点20(1)A ，且与圆1A 交于点B ，C ，BC 中点为D ，过2A C 中点E 且平行于1A D 的直线交1AC 于点P ，记P 的轨迹为Γ(1)求Γ的方程；(2)坐标原点O 关于1A ，2A 的对称点分别为1B ，2B ，点1A ，2A 关于直线y x =的对称点分别为1C ，2C ，过1A 的直线2l 与Γ交于点M ，N ，直线1B M ，2B N 相交于点Q .请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.①QBC △的面积是定值；②12BB B V 的面积是定值：③12QC C △的面积是定值.21．（2023·福建·统考模拟预测）已知函()()e xf x x a =+，R a ∈.(1)讨论()f x 在()0,∞+的单调性；(2)是否存在01,,a x x ，且10x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线？证明你的结论.五、双空题22．（2023·福建·统考模拟预测）如图，一张4A 纸的长AD ＝，宽2AB a =，.M ，N 分别是AD ，BC 的中点.现将ABD △沿BD 折起，得到以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥，则三棱锥A BCD -的外接球O 的半径为___________；在翻折的过程中，直线MN 被球O 截得的线段长的取值范围是___________.参考答案：1．D【分析】利用函数的定义域及值域求出两个集合，再根据集合的交集、并集、补集运算即可.【详解】因为{}{}lg 0A x y x x x ===>，{}{}20B y y x y y ===≥，所以A B ⊆，所以A B B ⋃＝，A B A ⋂＝，又{}0A x x =>，所以{}R 0A x x =≤ð，不满足R A B ⊆ð，故选项A 、B 、C 错误，选项D 正确，故选：D.2．B【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可.【详解】因为方程x 2-2x +2=0是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即1,222i 1i 2z ±==±，即1i 1i z z =±⇒==m 故选：B 3．C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数()f x 为奇函数.然后得到0x >时，()ln 2x f x x x x =-++，根据导函数求得()f x 的单调性，并且可得极大值点011ex <<，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠.又()()2ln 2x x f x x---+--＝()2ln 2x x f x x-+==--，所以，函数()f x 为奇函数.当0x >时，()2ln 2ln 2x x x f x x x x x-+=-++＝，则()22221ln 2ln 11x xx x x f x x x x ⋅-++'=-+-=-.设()2ln 1g x x x =++，则()120g x x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以，()g x 在()0,∞+上单调递增.又421e 210e g -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，21e 110e g -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以，根据零点存在定理可得，0211,e e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，有()00g x =，且当00x x <<时，有()0g x <，显然()22ln 10x x f x x ++'=->，所以()f x 在()00,x 上单调递增；当0x x >时，有()0g x >，显然()22ln 10x x f x x ++'=-<，所以()f x 在()00,x 上单调递减.因为011ex <<，所以C 项满足题意.故选：C.4．A【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内解正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin 2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n︒≈.故选：A.5．D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF S S =V V 求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan bMOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=V V ，故选：D 6．D【分析】由题意可知，若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去B 点的安排方法.同理，即可得出甲去C 点的安排方法，即可得出答案.【详解】若甲去B 点，则剩余4人，可只去,A C 两个点，也可分为3组去,,A B C 3个点.当剩余4人只去,A C 两个点时，人员分配为1,3或2,2，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=；当剩余4人分为3组去,,A B C 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有2343C A 36⋅=，综上可得，甲去B 点，不同的安排方法数是143650+=.同理，甲去C 点，不同的安排方法数也是50，所以，不同的安排方法数是5050100+=.故选：D.7．A【分析】构造()22xf x x =-，根据导函数可得()f x 在()0,1上单调递减，进而可得出c a >.构造()12e xh x x x =--+，根据导函数可得()h x 在()0,1上单调递减，进而由102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得出()ln 20h <，整理即可得出c b <，即可得出答案.【详解】令()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，令()2ln 22xg x =-，则()2ln 220x g x '=⋅>恒成立，所以()g x ，即()f x '在R 上单调递增.又()12ln 22220f '=-<-=，所以，当()0,1x ∈时，()()10f x f ''<<恒成立，所以，()f x 在()0,1上单调递减.又()112210f =-⨯=，0ln 21<<，所以()()ln 210f f >=，即，ln 222ln 20->，即220a a ->，即2a a a ->，所以c a >.令()12e xh x x x =--+，则()212ln 21xh x x'=--，令()212ln 21xk x x =--，则()232ln 220xk x x '=⋅+>在()0,∞+恒成立.所以，()k x ，即()h x '在R 上单调递增.又()()12ln 2112ln 210h '=--=-<，所以，当01x <<时，有()()10h x h ''<<成立，所以，()h x 在()0,1上单调递减.又121132e 2e 0222h ⎛⎫=--+=< ⎪⎝⎭，因为42ln 21ln 0e-=>，所以，1ln 212<<，所以，()1ln 202h h ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，又()ln 211ln 22ln 2e 2e ln 2a h a a=--+=--+，所以，12e 0aa a--+<，所以，12e aa a-<-，即c b <.综上可得，b c a >>.故选：A.8．B【分析】由已知可推得，()5.35 5.55P ξ<<()3P X μσμσ=-<<+，根据已知以及正态分布的对称性，可求得()5.35 5.55P ξ<<0.84≈.则(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，求出函数的最大整数值，即可得出答案.【详解】由已知可得，()()5.35 5.55 5.400.05 5.4030.05P P ξξ<<=-<<+⨯()3P X μσμσ=-<<+.又()()()3332P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<++-<<+-<<+=0.68270.99730.842+≈=，所以，(),0.84K B N :，()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅.设()454545C 0.840.16x x f x -=⋅⋅，则()()45454414545451C 0.840.16C 0.840.16x x x x f x f x -+-+⋅⋅=⋅⋅()()()1!44!45!10.160.161!4445!45!x x x x x x +-+=⋅=⋅>--，所以，110452.521x <=，所以()()5352f f >.()()4545454545461C 0.840.161C 0.840.16x x x x f x f x ---⋅⋅=-⋅⋅()()()!45!45!0.160.1611!4546!45!x x x x x x -=⋅=⋅<---，所以，37545377x >=+，所以()()5354f f >.所以，以使得()45P K =最大的N 值作为N 的估计值，则N 为53.故选：B.【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得(),0.84K B N :，得出()45454545C 0.840.16N N P K -==⋅⋅，利用函数求出N 的最大值.9．BC【分析】根据向量的坐标运算求出()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r ，即可求出数量积以及模，判断A 、B 项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，()5,0a b -=r r，()3,4a b +=-r r .对于A 项，因为()()()5304150a b a b -⋅+=⨯-+⨯=-≠r r r r ，故A 项错误；对于B 项，因为5a b -=r r ，5a +=r ，所以a b a b -=+r r r r，故B 项正确；对于C 项，因为()5,0b a -=-r r ，()51025b a a -⋅=-⨯+⨯=-r rr=，所以b a -r r 在a r上的投影向量是()b a a a a a a-⋅⋅==-r r r r r r r ，故C 项正确；对于D 项，()()13245a a b ⋅+=⨯-+⨯=r r r，5a b +=r r ，所以a r 在a b +r r 上的投影向量是()()51343,4,5555a a b a b a b a b ⋅++⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭++r r r r rr r r r ，故D 项错误.故选：BC.10．ABD【分析】用辅助角公式化简()f x ,再利用22,063f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出ω的取值集合,再结合三角函数性质逐项判断即可.【详解】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以函数()y f x =的值域为[2,2]-,故D 正确；因为203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以112,33k k Z ππωπ+=∈,所以1131,2k k Z ω-=∈，因为26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以222,632k k Z πππωπ+=+∈,所以22121,k k Z ω=+∈，所以12311212k k -=+,即1281k k =+，所以{1,13,25,37}ω∈L ，因为()227732sin 1212sin 1426632f k k πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以曲线()y f x =关于直线76x π=对称,故A 正确；因为()22sin 121333f x k x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2222sin 12142sin 121k x k k x π=+-=+即33f x fx ππ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数,故B 正确；取13ω=,则最小正周期2271366T πππππω==<-=,故C 错误.故选：ABD 11．ACD【分析】过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线为l 与x 交于点K ，由抛物线的定义可得1cos 2HM QMH QM ==∠，可判断A ；求出,PM QM 的长，由正弦定理可判断B ；求出,NF QF 可判断C ；求出,PN PQ 可判断D.【详解】如下图，过点M 作MH l ⊥于点H ，设准线l 与x 交于点K ，由抛物线的定义知：MF HM =，因为M 为QF 的三等分点，所以1cos 2HM QMH QM ==∠，所以60QMH QFK ∠=∠=︒，所以60PQM ∠︒＝，所以cos ∠12PQM ＝，故A 正确；对于B ，在QPF △中，由抛物线的定义知：PF PQ =，60PQM ∠︒＝，所以QPF △为等边三角形，又因为1cos 2FM FK FM QFK p FM =-∠=-，解得：23FM p =，同理可得：2FN p =，所以43QM p =，因为QPF △为等边三角形，所以2FQ PQ PF p ===M 为QF 的三等分点，所以PMQ V 中，由余弦定理可得：2222cos 60PM PQ QM PQ QM =+-⋅︒，则2221641422932PM p p p p =+-⨯⋅⋅，则PM p ，所以在PMQ V 中，由正弦定理可得：sin sin QM PMQPM PQM=∠∠，代入可得43sin p QPM =∠sin∠QPM B 不正确；对于C ，2QF QM MF p =+=，2FN p =，所以QF NF =，故C 正确；对于D ，因为60,60,120QFK QFP PFN ∠=︒∠=︒∴∠=︒，所以PFN V 中，2FN PF p ==，由余弦定理可得：222222212cos1204424122PN PF FN PF FN p p p p ⎛⎫=++⋅︒=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则PN =，所以PN ，故D 正确.故选：ACD.12．BD【分析】由已知可推得M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A 项；先证明1AC ⊥平面1A BD ，结合11B N AC ⊥，即可得出1B N //平面1A BD ；建立空间直角坐标系，求出平面1A BD 的法向量，表示出11cos ,n B Mu r u u u u r=C 项；MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r，求出2n u u r ，即可根据投影向量，求出最小值.【详解】对于A 项，因为BM M 在以B 为半径的球上.又M 为侧面11AA D D 上的点，所以M 在球被平面11AA D D 截得的交线上.因为，AB ⊥平面11AA D D ，1AB =，BM ，所以12AM ==，所以，M 为以A 点为圆心，12为半径的圆上.如图1，11AM A D ⊥，则1AM =，M 到直线1A D 12-，故A 项错误；对于B 项，如图2，连结1,AC AD .因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥.又BD AC ⊥，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，1AC CC C =I ，所以，BD ⊥平面1ACC .又1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.同理可得，11A D AC ⊥.又BD ⊂平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以，1AC ⊥平面1A BD .又11B N AC ⊥，1B ∉平面1A BD ，所以直线1B N //平面1A BD ，故B 项正确；对于C 项，以点D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u u r为,,x y z 轴的正方向，如图3建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()11,0,1DA =u u u u r，()1,1,0DB =u u u r，()11,1,1DB =u u u u r .因为1M A D ∈，设()1,0,DM DA λλλ==u u u u r u u u r，()01λ≤≤，()111,1,1B M DM DB λλ=-=---u u u u r u u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r是平面1A BD 的一个法向量，则11100n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，即111100x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =，则111y z ==-，()11,1,1n =--u r是平面1A BD 的一个法向量.则111111cos ,n B M n B M n B M ⋅=u r u u u u ru r u u u u r u r u u u u r==又()222432111λλλ-+=-+≥，当1λ=时，有最小值1，≤=，即11cos ,n B M ≤u r u u uu r 所以，1B M 与平面1A BD C 项错误；对于D 项，由C 项知，()11,0,1DA =u u u u r ，()10,1,1CD =-u u u u r.当1MN DA ⊥，1MN CD ⊥，即MN 为直线1DA 与1CD 的公垂线段时，MN 最小.设()2222,,n x y z =u u r ，且21n DA ⊥u u r u u u r ，21n CD ⊥u u r u u u r ，则212100n DA n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u u r u u r u u u u r ，即222200x z y z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =，则()21,1,1n =--u u r.DC u u u r 在2n u u r=所以，M ，N两点之间距离的最小值为d =D 项正确.故选：BD.13．2y x =-（只需填其中的一个即可）【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心、半径.根据弦长，得出圆心到直线的距离d =先判断斜率不存在时是否满足，然后设出斜率，得出直线方程，表示出圆心到直线的距离1d =，得出方程，即可解出k 的值.【详解】圆的方程可化为()()22211x y -+-=，圆心为()2,1，半径1r =，d ==.当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时圆心在直线上，弦长为22r =，不满足题意，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为k ，则直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=，此时圆心到直线的距离1d ==，解得1k =±.所以，直线的方程为2y x =-或2y x =-+.故答案为：2y x =-.14．2【分析】利用等比数列性质得到3645a a a a =，再解方程组即可.【详解】由等比数列性质知3645a a a a =，联立454524128a a a a +=⎧⎨=⎩,解得45816a a =⎧⎨=⎩或45168a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是单调递增的等比数列,所以45816a a =⎧⎨=⎩，即542a q a ==.故答案为：2.15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】分0x =，0x <以及0x >，分别讨论，构造函数，结合0x =处的函数值，推导得出函数的单调性，进而得出导函数的符号，即可推得答案.【详解】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22e x g x a -'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x h x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e 10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：当0x >时，()()1ln 12x ax k x +=-，根据()00k =，可推得要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，进而推得a 的取值范围.16．(1)π6；1.【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出tan C =的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O e 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【详解】（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC V 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin cos 122A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎭，即sin cos 0n sin A C C A =，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =又因为()0,πC ∈，所以π6C =.（2）解法一：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r，所以DA BA ⊥，故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△111222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅221122x y +≤+⋅=，当且仅当x y ==.所以四边形ABCD1.解法二：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD u u u r 在BA u u u r上的投影向量为BA λu u u r ，所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .又22BA BD BA BA ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1λ=，所以BD u u u r 在BA u u u r 上的投影向量为BA u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =，在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos CB θ=，2sin CD θ=，所以ABD CBD S S S =+△△1122B AD CD AB C =⋅⋅+sin 2θ=，当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法三：如图1设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，所以()0BA BD BA ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0BA AD ⋅=u u u r u u u r ，所以DA BA ⊥.故BD 是O e 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，AD ==.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD1.解法四：设ABC V 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC V 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC V 外接圆O e 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC V 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则12A ⎛ ⎝，()10B ,. 因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以12BA ⎛=- ⎝u u u r ，()cos 1,sin BD ββ=-u u u r ，代入2BA BD BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即1BA BD ⋅=u u u r u u u r，可得11cos 122ββ-+=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O e 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD α=+=+⋅△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD1.17．(1)证明见解析；(2)最小值为10.【分析】（1）解法一：（指数运算）由已知可推得212122n n a an a -++=，2123222n n a a n a ++++=，相乘结合已知，即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；解法二：（对数运算）由已知可得2222221log log 4n n n a a a +++=，结合已知即可得出2123212n n n a a a -+++=，进而证明；（2）解法一：先根据（1）推出21n a n -=，然后结合已知条件得到2122n n a +=，然后计算得到910,S S ，即可得出答案；解法二：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()()2841123kk k k S -+=+，进而得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案；解法三：同解法一，先求出21n a n -=，2122n n a +=，然后分组求和得出()21124823k k k k S -+⨯-=+，求解即可得出答案.【详解】（1）解法一：由212122log n n n a a a -++=，得212122n n a an a -++=，则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n a a a a a a an n a a -+++-+++++++=⋅=.又21214222162n n a an n a a -++==，所以2121232124n n n n a a a a -+++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.解法二：由20n a >，且2122216n an n a a ++=，则()2122222log log 16n a n n a a ++=，得2222221log log 4n n n a a a +++=，因为212122log n n n a a a -++=，2123222log n n n a a a ++++=，所以()()21212123214n n n n n a a a a a -+++++++=，即2123212n n n a a a -+++=，所以{}21n a -是等差数列.（2）解法一：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.所以，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()135792468a a a a a a a a a =++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法二：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又212122log n n n a a a -++=，所以()21211212222n n n n a a n n a -+++++===.当*k ∈N 时，21232k kS a a a a =++++L ()()135212462k k a a a a a a a a -=+++++++++L L ()()357211232222k k +=+++++++++L L ()()841123kk k -+=+，()()()2121228411124822323kk k k k k k k k k S S a +--++⨯-=-=+-=+，所以5925156248695202323S S ⨯-⨯⨯-==+=<，()51025841562743202323S S ⨯-⨯==+=>，又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.解法三：设等差数列{}21n a -的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =-=，所以数列{}21n a -是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n -=.又()21211212222n n n n a a n n a --++++===.当*k ∈N 时，2112321k k S a a a a --=++++L ()()1352124622k k a a a a a a a a --=+++++++++L L ()()357211232222k k -=+++++++++L L ()()()118411114821423k k k k k k ---++⎛⎫-=+=+ ⎪-⎝⎭，所以()4925184156695202323S S ⨯--⨯==+=<，25110910695227432023S S a ⨯+=+=+=>.又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<，所以n 的最小值为10.18．(1)()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%(2)（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【详解】（1）由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.（2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.19．(1)证明见解析；【分析】（1）解法一：取AB 中点O ，连接PO ，CO .推导得到PO ⊥平面ABCD ，//AD 平面PBC ，根据体积即可得出答案；解法二：先证明CO ⊥平面PAB . 过M 作//MN AD 交AP 于点N ，证明得到//MN 平面PBC ，根据体积即可得出答案；（2）解法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，结合平面向量基本定理，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法二：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，计算即可得出答案；解法三：通过作图，作出二面角的平面角，构造直角三角形，即可得出答案.【详解】（1）解法一：如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，AB CO O =I ，所以PO ⊥平面ABCD .因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，所以111433D PBC A PBC P ABC ABC V S V V PO ---⋅====⨯=△因为12M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.解法二：如图2，取AB 中点O ，连接PO ，CO ，因为PA PB ==2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =，又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥.因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，AB PO O =I ，所以CO ⊥平面PAB .所以，111332A PBC C ABP ABP S V V CO --====⋅△过M 作//MN AD 交AP 于点N ，//AD BC ，所以//MN BC .又BC ⊂平面PBC ，MN ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC ，所以13M PBC N PBC C NB BP P N V V V CO S ---=⋅===△因为13A ABP P C B V CO S -⋅=△，13N NBP P C B V CO S -⋅=△，所以ABP NBP S S =△△，所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =.（2）解法一：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥.如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为//BD α，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数a ，b ，使得CQ aCM bBD =+u u u r u u u u r u u u r，所以312a b a λλ⎧=⎪⎪⎪--=-⎨⎪⎪=⎪⎩，解得431323a b λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .设平面BCQ 的法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即20330y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r u r u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法二：由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图3，以O 为坐标原点，OC u u u r ，OB u u u r ，OP u u ur 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，)C，)2,0D-，()0,0,1P，所以11,2M ⎫-⎪⎪⎭，)AC =u u u r，)1,0BC =-u u u r，)3,0BD =-u u u r，()0,1,1AP =u u u r，11,2CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r .设平面α的法向量为(),,n x y z =r ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r，即30102y y z -=⎨-+=⎪⎩.取1y =，得到平面α的一个法向量)=rn .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==u u u r u u u r，则()1,CQ AQ AC λλ=-=-u u u r u u u r u u u r ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+=r u u u r ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 设平面BCQ 的法向量为()1111,,n x y z =u r ，则1100n CQ n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r，即1111120330y z y ⎧-+=⎪-=.取11x =，得到平面BCQ的一个法向量(1n =u r.设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1n =u u r是平面ABCD 的一个法向量，则121212cos cos ,n n n n n n β⋅===u r u u r u r u u r ur u u r .所以平面BCQ 与平面ABCD.解法三：在平面ABCD 内，过C 作//EF BD 交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ，因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作1//PP AE 交EM 的延长线于点1P ，设1EP 交AP 于点Q .所以，四边形1EDPP 是平行四边形，1PP DE =，1//PPDE .所以1QPP QAE △∽△，所以112PP PQ AQ AE ==，所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点.如图5，在平面PAB 内，作//QT PO ，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT BC ⊥，因为1PO =，2233QT PO ==，在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作//AK TN 交BC 于K ，在ABK V 中，2AB =，60ABK ∠=︒，所以AK AB ==所以23TN AK ==，因为QT BC ⊥，TN BC ⊥，QT T TN =I ，且两直线在平面内，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥.所以QNT ∠是二面角A BC Q --的平面角.在Rt QTN V 中，tan QNT QT NT ==∠cos QNT =∠所以平面BCQ 与平面ABCD .20．(1)()22:1243x y x Γ+=≠±(2)结论③正确，证明见解析【分析】（1）由几何性质知P 到1A ，2A 两点的距离之和为定值可得P 的轨迹为椭圆；（2）解法一、二：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法三：当直线2l 垂直于x 轴时求得Q 横坐标为4，当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线():1l y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程并联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.解法四：设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，表示出直线1B M ，2B N 的方程，利用()22,N x y 在椭圆上得22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，将直线2B N 的方程化为()222324x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，与直线1B M 联立求得Q 的横坐标为定值，因此12QC C △的面积是定值.【详解】（1）由题意得，()11,0A -，()21,0A .因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D C A ⊥，又1//PE A D ，所以2PE C A ⊥，又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC AC A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以1A ，2A 为焦点的椭圆（左､右顶点除外）.设()2222:1x y x a a b Γ+=≠±，其中0a b >>，222a c b -=.则24a =，2a =，1c =，b ==故()22:1243x y x Γ+=≠±.（2）解法一：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()21122222y x x x y x ++=--，()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---，解得4x =-.故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422d C C=⨯⨯=⋅.解法二：结论③正确.下证：12QC C △的面积是定值.由题意得，()12,0B -，()22,0B ，()10,1C -，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0，可设直线2:1l x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，且12x ≠±，22x ≠±.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+，所以()121223my y y y =-+.直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222yy x x =--，由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦，故点Q 在直线4x =-，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422dC C =⨯⨯=⋅.。

高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (14)

[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练14]第十一讲导数的概念及运算A 组基础巩固一、单选题1.已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′(π2)＝( C )A.－3π2B.－1π2C.－3πD.－1π【试题解答】 f (π)＝－1π，f ′(x )＝－x sin x －cos x x 2，f ′(π2)＝－2π，∴f (π)＋f ′(π2)＝－3π.故选C. 2.(2020·江西上高二中月考)函数f (x )＝e 2xx 的导函数为( B )A.f ′(x )＝2e 2xB.f ′(x )＝(2x －1)e 2xx 2C.f ′(x )＝2e 2xxD.f ′(x )＝(x －1)e 2xx 2【试题解答】 f ′(x )＝(e 2x )′x －e 2x ·x ′x 2＝2e 2x ·x －e 2x x 2＝(2x －1)e 2xx 2.故选B.3.(2020·福建福州八县联考，11)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( B )A.－eB.2C.－2D.e【试题解答】由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.4.(2020·广东深圳模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为( B )A.π4B.3π4C.π3D.2π3【试题解答】由函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，可得a ＝0，则f (x )＝x ＋2x ，f ′(x )＝1－2x 2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为3π4，故选B.5.(2020·湖北黄冈模拟，4)已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( B )A.－1eB.－eC.1eD.e【试题解答】设切点坐标为(n ，1m )，对y ＝x e x 求导得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e，∴m ＝－e.故选B.6.(2020·湖南娄底二模，5)已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝－xx －2，则函数图象在x ＝－1处的切线方程是( A )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0【试题解答】当x ＜0时，－x >0，∴f (－x )＝－x x ＋2，∴f (x )＝xx ＋2(x ＜0)，又f ′(－1)＝2，f (－1)＝－1，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.故选A.7.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A.－1B.0C.2D.4【试题解答】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.二、多选题8.(2020·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是( ACD ) A.(x ＋1x )′＝1＋1x 2B.(log 2x )′＝1x ln 2C.(3x )′＝3x ·log 3eD.(x 2cos x )′＝－2x sin x【试题解答】因为(x ＋1x )′＝1－1x 2，所以选项A 不正确；因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以选项B 正确；因为(3x )′＝3x ln 3，所以选项C 不正确；因为(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 不正确.故选A 、C 、D.9.已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的值可能为( CD )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12【试题解答】依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角为不小于π3的锐角，故选C 、D.10.(2020·山东模拟改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中不具有T 性质的是( BCD )A.y ＝sin xB.y ＝ln xC.y ＝e xD.y ＝x 3【试题解答】设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可.y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1有无数组解，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质.故选B 、C 、D.三、填空题11.(1)(2018·天津，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为__e__； (2)(2020·长春模拟)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝ 1－ln24； (3)函数y ＝x ·tan x 的导数为y ′＝ tan x ＋xcos x .【试题解答】 (1)本题主要考查导数的计算. ∵f (x )＝e x ln x ，∴f ′(x )＝e x (ln x ＋1x )，∴f ′(1)＝e 1×(ln1＋1)＝e.(2)由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln24.(3)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·(sin xcos x )′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.12.(2020·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为__1＋ln_2__.【试题解答】由y ＝x ln x 得，y ′＝ln x ＋1.设直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，又直线y ＝kx －2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y 0＝x 0ln x 0代入切线方程，得x 0＝2，故P (2,2ln 2).把(2,2ln 2)代入直线方程y ＝kx －2，得k ＝1＋ln 2.13.(2020·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为2 .【试题解答】因为定义域为(0，＋∞)，由y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. B 组能力提升1.(2020·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{a n }中，a 2＝2，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)，则f ′(0)＝( B )A.8B.－8C.4D.－4【试题解答】 f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)＋x [(x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)]′，∴f ′(0)＝－a 1a 2a 3＝－a 32＝－8.2.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( D )【试题解答】由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.3.(2020·山西太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a 的值为( A )A.1B.0C.1eD.－1【试题解答】 ∵f (x )＝x ln x ＋a ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a ，∴切线方程为y ＝x －1＋a ，∴0＝0－1＋a ，解得a ＝1.故选A.4.(2020·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( C )A.0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B.0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)C.0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)D.0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)【试题解答】设f ′(3)，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)，故选C.5.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝( D )A.0B.2 014C.2 015D.8【试题解答】因为f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ，b ∈R )，所以f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，则f (x )－4＝a sin x ＋bx 3是奇函数，且f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2为偶函数，所以f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝[f (2 014)－4]＋[f (－2 014)－4]＋8＝8.。

2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版

2018届高三理科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版【3年高考试题比较】对于导数的解答题，考纲的要求是：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题.通过比较近三年的高考卷总结如下：一般有两问，（16年3卷出现了三问），第一问往往是以讨论函数单调性和切线问题为主，也有根据不等式恒成立或零点问题求参数范围的问题，但一般难度不大，第二问主要涉及不等式的恒成立问题，零点问题，函数最值问题，一元的不等式证明和二元的不等式证明，方法灵活，难度较大.【必备基础知识融合】1.基本初等函数的导数公式2.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).3.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数(1)在区间D 上，若f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0不连续成立⇔函数f (x )在区间D 上递增；(2)在区间D 上，若f ′(x )≤0，且f ′(x )＝0不连续成立⇔函数f (x )在区间D 上递减； (3)在区间D 上，若f ′(x )＝0恒成立⇔函数f (x )在区间D 上是常函数. 5.函数的极值与导数6.函数的最值与导数(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值.【解题方法规律技巧】典例1：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2，4)的切线方程.【规律方法】(1)求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.典例2：设函数f(x)＝a ln x＋x－1x＋1，其中a为常数.(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性.③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a ，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a .由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减. 综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增.【规律方法】 (1)确定函数单调区间的步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数.（3）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.典例3：已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0).(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，③即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.【规律方法】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法： (1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”. (2)函数f (x )在区间D 上递增(减).方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”. 易错警示对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解即为h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，或h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h (x )在[1，4]上单调递减，应等价于h ′(x )≤0在[1，4]上恒成立，易误认为“等价于h ′(x )<0在[1，4]上恒成立”.典例4：已知函数()()2ln R 2a f x x x x a =-∈ .（1）若2a = ，求曲线()y f x = 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()()()1g x f x a x =+- 在1x = 处取得极小值，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）y x =-（2）1a <()1'01,g x x a ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭，时， ()'0g x > ，所以()g x 在1x =处取得极小值，满足题意.③当1a =时，当()0,1x ∈ 时， ()'0h x >， ()'g x 在()0,1内单调递增， ()1,x ∈+∞时， ()()'0,'h x g x < 在()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时， ()()'0,g x g x ≤单调递减，不合题意. ④当1a >时，即101a <<，当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()'0,'h x g x < 单调递减， ()'0g x > ，当()1,x ∈+∞时， ()()'0,'h x g x <单调递减， ()'0g x < ，所以()g x 在1x =处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1a < .【规律方法】函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值.(2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.典例5：已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值.①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意. ②当1＜－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0，不符合题意. ③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意. 综上有，a ＝－10.【规律方法】(1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.典例6：已知函数f(x)＝ax＋ln x，x∈[1，e].(1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.【规律方法】由不等式恒(能)成立求参数的范围常有两种方法：(1)讨论最值：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；(2)分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围. 典例7：设函数f(x)＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减. ∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【规律方法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.典例8：已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋y ＋3＝0. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )＝ln x ，求证：g (x )≥f (x )在[1，＋∞)上恒成立；(3)若0<a <b ，求证：ln b －ln a b －a >2a a 2＋b 2.【规律方法】证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明.(1)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(2)对于证明含有两个变量a ，b 的不等式时，一种方法是通过变形构造成不等式f (a )>f (b )，然后利用函数f (x )的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式，如本例令x ＝b a然后再利用已知关系证明即可.典例9：设k ∈R ，函数()ln f x x kx =-.(Ⅰ)若2k =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若()f x 无零点，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2x x +>.【答案】(Ⅰ) 10x y ++=；(Ⅱ) 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(Ⅲ)证明见解析.(Ⅱ)①若k 0<时，则()()'0f x f x >，是区间()0,∞+上的增函数，∵()()()10e e 1e 0k k k f k f k k k =->=-=-<，，∴()()1e 0k f f ⋅<，函数()f x 在区间()0,∞+有唯一零点； ②若()0ln k f x x ==，有唯一零点1x =；③若0k >，令()'0f x =，得1x k =，在区间10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上， ()'0f x >，函数()f x 是增函数；【规律方法】涉及到二元问题的证明问题，通常是将二元问题一元化，进而利用函数导数求最值即可得解. 二元问题一元化的一般思路有：（1）等量代换，将题中的等量关系代入即可；（2，12t x x =+，12t x x =-等手段将二元关系换成关于t 的一元函数即可；（3）利用“极值点偏移”的思想，将二元换为一元.典例10：设函数()()2(x f x x ax a e a R -=+-⋅∈）. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；（2）设()21g x x x =--，若对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) 320ex y e ++=；(2) 1a ≤-或24a e ≥-.(2)“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上， ()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”.因为()2215124g x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以()g x 在[]0,2上的最大值为()21g =. ()()()2'2x x f x x a e x ax a e --=+⋅-+-⋅ ()222x e x a x a -⎡⎤=-+--⎣⎦ ()()2x e x x a -=--+,令()'0f x =，得2x =或x a =-.①当0a -≤，即0a ≥时， ()'0f x ≥在[]0,2上恒成立， ()f x 在[]0,2上为单调递增函数， ()f x 的最大值大为()()2124f a e =+⋅，由()2141a e+⋅≥，得24a e ≥-； ②当02a <-<，即20a -<<时，当()0,x a ∈-时， ()()'0,f x f x <为单调递减函数，当(),2x a ∈-时，()()'0,f x f x >为单调递增函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-或()()2124f a e=+⋅.由1a -≥，得1a ≤-；由()2141a e +⋅≥，得24a e ≥-，又因为20a -<<，所以21a -<≤-； ③当2a -≥，即2a ≤-时， ()'0f x ≤在[]0,2上恒成立， ()f x 在[]0,2上为单调递减函数，所以()f x 的最大值大为()0f a =-，由1a -≥，得1a ≤-，又因为2a ≤-，所以2a ≤-，综上所述，实数a 的取值范围是1a ≤-或24a e ≥-.【规律方法】利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容是考查的重点.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“任意”和“存在”问题的等价转化，可以简化解题过程.本题“对任意的[]0,2t ∈，存在[]0,2s ∈使得()()f s g t ≥成立”等价于“在区间[]0,2上， ()f x 的最大值大于或等于()g x 的最大值”. 【归纳常用万能模板】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .满分解答 (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.2分当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x ，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.4分又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.6分(2)证明由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)9分由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .12分❶得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求f (x )的最小值和基本不等式的应用.❷得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f (x )的定义域，f ′(x )在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f (x )在x ＝x 0处最值的判定.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f ′(x )准确，否则全盘皆输，求解使f ′(b )＜0的b 满足的约束条件0＜b ＜a 4，且b＜14.如第(2)问中x 0满足条件的计算，若计算错误不得分，另外还应注意规范的文字、符号语言的表述.1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.。

福建省泉州市高三数学下学期质量检查(3月)试题文

福建省泉州市2018届高三数学下学期质量检查（3月）试题文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内，复数6i i z =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.已知集合{|04}A x Z x =∈≤≤，{|(1)(3)0}B x x x =+-≤，则AB =（）A ．{0123}，，，B ．{}123，，C ．{}|03x x ≤≤D ．{}|14x x -≤≤ 3.已知{}n a 是等比数列，11a =，32a =，则51016a a a a +=+（）A ．1B ．2C ．4D ．84.用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为（）A ．13B ．12 C.23 D ．585.若tan 2θ=，则sin 2θ=（） A ．45 B ．45± C.25 D ．25± 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的6N =，则输出的S 值为（）A ．25B ．5 C.6 D ．7 7.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，(0)B b ，，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（） A1 D8.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示.根据三视图可得该玉琮的体积（单位：3cm ）为（）A ．25614π+B ．25616π+ C.25629π- D ．25622π- 9.已知图象：则函数ln ()x f x x =，()ln g x x x =，()x m x x e =⋅，()x xn x e=对应的图象分别是（） A ．①②③④ B ．①②④③ C.②①④③ D ．②①③④10.如图，在下列四个正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线1BD 与平面EFG 不垂直的是（）A ．B ．C. D ．11.已知抛物线C ：24x y =，P 在C 的准线l 上，直线PA ，PB 分别与C 相切于A ，B ，M 为线段AB 的中点，则下列关于AB 与MP 的关系正确的是（）A ．AB MP = B ．2AB MP = C.2AB MP < D ．2AB MP > 12.已知函数ln(1)01()140x x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩，，≤≤≤，若函数1()()g x f x x a e =--恰有个3零点，则a的取值范围是（）A ．[12)e --，B ．[10)(02)e --，， C.3[40)e e --， D ．3[10)(04]e e -+-，，第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b ，若a 在b 方向上的投影为3，2b =，则a b ⋅= ． 14.已知函数()f x 为偶函数，当0x ≥时，2()sin2xf x x π=+，则(1)f -= ．15.设x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤，则1y z x =+的取值范围是．16.数列{}n a 满足21(1)n n n a a n ++=+-，则1011a a -= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，2cos 2c A a b ⋅-=. （1）求C ；（2）若4a b ==，D 是AB 边上一点，且ACD △sin BDC ∠. 18.如图，正三棱柱111ABC A B C -中1AA AB =，D 为1BB 的中点.（1）求证：1AC AD ⊥；（2）若点P 为四边形11ABB A 内部及其边界上的点，且三棱锥P ABC -的体积为三棱柱111ABC A B C -体积的16，试在图中画出P 点的轨迹，并说明理由. 19. 德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品T 的质量采用综合指标值M 进行衡量，[810]M ∈，为一等品；[48)M ∈，为二等品；[04)M ∈，为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下面的频率分布直方图：（1）估计该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的概率；（2）根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下：根据以往的销售方案，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完.已知该瓷器厂认购该窑炉的前提条件是，该窑炉烧制的产品同时满足下列两个条件：①综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）不小于6；②单件平均利润值不低于4元.若该新型窑炉烧制产品T 的成本为10元/件，月产量为2000件，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，分析该新型窑炉是否达到瓷器厂的认购条件.20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，2a b =，点E 在C 上，E 在x 轴上的射影为C 的右焦点F ，且12EF =.（1）求C 的方程；（2）若M ，N 是C 上异于A ，B 的不同两点，满足BM BN ⊥，直线AM ，BN 交于点P ，求证：P 在定直线上.21. 已知函数()(2)1x f x e x ax =-++.（1）当(2)3f =时，判断0x =是否为()f x 的极值点，并说明理由；（2）记21()()22g x f x ax ax =+-.若函数()g x 存在极大值0()g x ，证明：0()1g x -≥.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩ （t 为参数，0απ<≤ ）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：=4cos ρθ . （1）当4πα=时，求C 与l 的交点的极坐标；（2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且两点对应的参数1t ，2t 互为相反数，求AB 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a x =-++.（1）当1a = 时，求不等式()f x ≤5 的解集；（2）0x ∃∈R ，0()21f x a +≤ ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5:BACCA 6-10:CBDDD 11、12：BB 二、填空题13.6 14.2 15.[01]， 16.5150 三、解答题17.解法一：（1）根据正弦定理，2cos 2c A a b ⋅-=等价于2sin cos sin 2sin C A A B ⋅-=．又因为在ABC △中，)sin()πsin(sin C A C A B +=--=C A C A sin cos cos sin +=．故2sin cos sin 2sin cos 2cos sin C A A A C A C ⋅-=+，从而sin 2sin cos A A C -=，因为()0πA ∈，，所以sin 0A ≠，得1cos 2C =-，因为()0πC ∈，，所以2π3C =．（2）由4a b ==，可得π6A B ==，因为1sin 2ACD S AC AD A =⋅⋅△3=，所以AD =根据余弦定理，得22π424cos 76CD =+-=，即CD =在ACD △中，根据正弦定理有41sin 2ADC =∠，得sin7ADC ∠==．因为πBDC ADC ∠+∠=，故sin BDC ∠=．解法二：（1）同解法一．（2）由4a b ==，可得π6A B ==，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得c =．取AB 的中点M ，连接CM ，CM 为ABC ∆边AB 上的高，且4sin 2CM A ==，由321=⨯⨯=CM AD S ACD △，得AD DM ==．又在直角三角形CMD 中，DM =2CM =，得CD =所以sin BDC ∠=． 18.解法一：（1）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ， ∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ， ∴所以1AA CF ⊥．∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点， ∴CF AB ⊥，又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA = 1， ∴CF ⊥平面11AA B B ，又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD △△≌，∴A FA DAB 1∠=∠，又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，又∵1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1A CF ， ∴AD ⊥平面1A CF ，又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1A C AD ⊥．（Ⅱ）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下11:∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴//DE 平面ABC ，∴P 到平面ABC 的距离为112BB ．所以11132P ABC ABC V S BB -∆=⋅⋅11111166ABC ABC A B C S BB V ∆-=⋅=．解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ，11A正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ，因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠，又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥，又因为1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1A CF ，所以AD ⊥平面1A CF ，11A又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1A C AD ⊥．（2）取1AA 中点E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下．设三棱锥ABC P -的高为h ，依题意1616131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故121BB h =．因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为112BB ． 19.解法一：（1）记A 为事件“该新型窑炉烧制的产品T 为二等品”．由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为二等品的频率为(0.110.17)20.54+⨯=，故事件A 的概率估计值为0.54．（2）①先分析该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数：由直方图可知，综合指标值的平均数(10.0130.0450.1170.1690.18)2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯ 6.84=．该窑炉烧制出的产品T 的综合指标值的平均数的估计值6.846>，故满足认购条件①．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720件，1080件，200件．一等品的销售总利润为8720(2010)64009⨯⨯-=元；二等品的销售总利润为211080(1610)1080(108)360033⨯⨯--⨯⨯-=元；三等品的销售总利润为23200(1210)200(106)32055⨯⨯--⨯⨯-=-元．……11分故2000件产品的单件平均利润值的估计值为(64003600320)2000 4.84+-÷=元，有满足认购条件②，综上所述，该新型窑炉达到认购条件．解法二：（1）同解法一．（2）①同解法一．②再分析该窑炉烧制的单件平均利润值：由直方图可知，该新型窑炉烧制的产品T 为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1．故2000件产品的单件平均利润值的估计值为821230.36(2010)0.54(1610)(108)0.1(1210)(106)93355⎡⎤⎡⎤⨯⨯-+⨯⨯--⨯-+⨯⨯--⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.84=元，有满足认购条件②．综上所述，该新型窑炉达到认购条件．20.解法一：（1）因为12EF =，所以212b a =．又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C 的方程（2）设直线BM 的方程为(2)y k x =-，代入椭圆C 的方程，得2222(14)161640k x k x k +-+-=设2111()(4)M x y x ≠，，则212164214k x k -=+，解得2128214k x k -=+，12414ky k -=+，所以222824,1414k k M k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 用1k -替换k ，可得22282444k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，. 解得直线AM 的斜率为2224114824214kk k kk -+=--++，直线BN 的斜率1k -，所以直线AM 的方程为：1(2)4y x k -=+①直线BN 的方程为：1(2)y x k-=-②由①②两直线的交点P 的横坐标103x =，所以点P 在定直线103x =上．解法二：（1）依题意，1()2E c ±，，代入椭圆方程，得141222=+b ac 因为222b ac -=，代入整理得212b a =．又因为2a b =，所以1,2==b a ．故椭圆C（2）证明：(20)A -，，(20)B ，设2000()(4)M x y x ≠，，因为点M 在椭圆C设 ()P t m ，，由于A ，M ，P 三点共线，所以()0022y m t x =++．又BM BN ⊥，所以0BM BP ⋅=．所以()()000022202y x y t t x ⎛⎫-⋅-+= ⎪+⎝⎭，，，即()()()200022202y x t t x -⋅-++=+整理得()()()()22001422044x x t t -⋅--+=- 因为204x ≠，解得103t =，所以点P 在定直线103x =上．解法三：（1）同解法一或解法二；（2）设2111()(4)M x y x ≠，，直线NB MB MA ,,的斜率分别为321,,k k k ，则2111122111224y y y k k x x x =⋅=+--，又221114x y =-，所以1214k k =-．又BM BN ⊥，则231k k =-．所以314k k =．设直线MA 的方程为(2)y k x =+① 则直线BN 的方程为4(2)y k x =-②则两直线的交点的横坐标．所以点P 在定直线103x =上． 21.解：（1）由(2)3f =，可得1a =，故()(2)1xf x x x =-++e ．0=x 不是)(x f 的极值点.理由如下：'()(1)1xf x x =-+e ．记()(1)1xg x x =-+e ，则'()xg x x =⋅e .由'()0e xg x x =⋅≤，解得0≤x ；由'()0e xg x x =⋅≥，解得0x ≥，所以()g x 在(,0]-∞单调递减，在[0,)+∞单调递增，故'()f x =()(0)0g x g ≥=，即()f x 在,)-∞+∞（恒单调递增，故0=x 不是)(x f 的极值点．（2）依题意，21()(2)12xg x x ax ax =--++e ．则'()()(1)xg x a x =+-e ．①0a ≥时，'()0g x ≤在(1]x ∈-∞，恒成立，'()0g x ≥在[1)x ∈+∞，恒成立，所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去．②a =-e 时，'()0g x ≤在(1]x ∈-∞，恒成立，'()0g x ≥在[1)x ∈+∞，恒成立，所以()g x 在R 上先减后增，故()g x 在R 上有极小值，无极大值，应舍去． ③a <-e 时，由'()0g x =得ln()x a =-和1x =，因为ln()1a ->，故有下列对应关系表：故()=(1)12g x g a =--+e 极大值，记1()12h a a =--+e ，因为1()12h a a =--+e 在()a ∈-∞-e ，上单调递减，所以()()112h a h >-=->-ee ．④当0a -<<e 时，因为ln()1a -<，故故2()=(ln())ln ()2()ln()212g x g a a a a a a -=-+--++极大值，设(0)t a =-∈e ，，记21()2ln 2ln 12k t t t t t =--+，则1'()ln (1ln )2k t t t =-，令'()0k t =得1t =和2t =e （舍去），故()(1)1k t k ≥=-．22.【试题简析】解法一：（Ⅰ）由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，所以224x y x +=，即2240x y x +-=，\当π4α=时，直线l的参数方程1,1,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为y x =，联立22,40,y x x y x =⎧⎨+-=⎩解得交点为(0,0)或(2,2)，化为极坐标为(0,0)，π)4（2）由已知直线恒过定点(1,1)P ，又021=+t t ，由参数方程的几何意义知P 是线段AB 的中点，曲线C 是以(2,0)C 为圆心，半径r 2=的圆，且||PC =由垂径定理知：||AB === 解法二：（1）依题意可知，直线l的极坐标方程为π(R)4θρ=∈，当0ρ>时，联立π,44cos θρθ,⎧=⎪⎨⎪=⎩解得交点π)4，当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，当0ρ<时，无交点；综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)，π)4．（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得22(sin cos )20t t αα+--=，可知120t t +=，122t t ⋅=-，所以12||AB t t =-==．23.【试题简析】解：（1）当1a =时，()12f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =--，令()5f x ≤ 即215x --≤，解得32x --≤≤， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()5f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()5f x ≤ 即215x +≤，解得12x ≤≤，综上所述，不等式的解集为{}|32x x -≤≤．（2）因为()2()(2)2f x x a x x a x a =-++--+=+≥，因为0R x ∃∈，有()21f x a +≤成立，所以只需221a a ++≤，化简可得210a -≥，解得11a a -≤或≥，所以a 的取值范围为(,1][1,)-∞-+∞．。