2015-2016学年安徽省安庆市高一(下)期末数学试卷(a卷)

2015-2016学年安徽省安庆市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．（5分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定2．（5分）若球的体积扩大为原来的8倍，则它的表面积扩大为原来的（）A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍3．（5分）如果tanAtanBtanC＞0，那么以A，B，C为内角的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形4．（5分）若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能5．（5分）表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（）A．B．C．D．6．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．67．（5分）已知直线l1：2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1∥l2，则a的值为（）A．8 B．2 C．﹣ D．﹣28．（5分）一个平面截一个球得到截面面积为16πcm2的圆面，球心到这个平面的距离是3cm，则该球的表面积是（）A．16πcm2B．25πcm2C．75πcm2D．100πcm29．（5分）若log2a+log2b=6，则a+b的最小值为（）A．B．6 C．D．1610．（5分）不等式x2﹣4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，4） B．（﹣4，﹣1）C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（4，+∞）11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项的和，a1=﹣2016，=2，则S2016的值为（）A．﹣2015 B．﹣2016 C．2015 D．201612．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．a＞7或a＜﹣3 B．C．﹣3≤a≤一或≤a≤7 D．a≥7或a≤﹣3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上.13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．15．（5分）若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．16．（5分）已知等比数列的前n项和为S n，且a1+a3=，则=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程.17．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．18．（12分）如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）求证：BE∥平面PDA；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．19．（12分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．20．（12分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．21．（12分）△ABC的外接圆半径R=，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=（1）求角B和边长b；的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．（2）求S△ABC22．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．2015-2016学年安徽省安庆市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．（5分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为，OP=，所以点在圆外，故选：A．2．（5分）若球的体积扩大为原来的8倍，则它的表面积扩大为原来的（）A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍【解答】解：∵一个球的体积扩大为原来的8倍，∴球的半径扩大为原来的2倍∴其表面积扩大为原来的4倍故选：B．3．（5分）如果tanAtanBtanC＞0，那么以A，B，C为内角的△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【解答】解：△ABC中，若tanAtanBtanC＞0，则tanA、tanB、tanC只能都是正值，不会是二个负值一个正直的情况（因为三角形中只有一个钝角）．再根据锐角的正切值为正数，钝角的正切值为负数，故A、B、C全部为锐角，故△ABC为锐角三角形，故选：A．4．（5分）若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能【解答】解：α⊥β，β⊥γ，则：α∥γ，α⊥λ，α与γ相交但不垂直，这三种情况都有可能，如下面图形所示：（1）α∥γ：（2）α⊥γ：（3）α与γ相交但不垂直：故选：D．5．（5分）表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（）A．B．C．D．【解答】解：选取可行域内的点（2，1），满足即成立．所以A正确．故选：A．6．（5分）数列{a n}满足a n+1﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，则a3的值是（）A．﹣3 B．4 C．1 D．6【解答】解：∵a n﹣a n=﹣3（n≥1），a1=7，+1∴数列{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）（﹣3）=7﹣3n+3=10﹣3n，∴a3=10﹣3×3=1．故选：C．7．（5分）已知直线l1：2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，若l1∥l2，则a的值为（）A．8 B．2 C．﹣ D．﹣2【解答】解：∵直线l1：2x+y﹣2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，∴，解得a=8．故选：A．8．（5分）一个平面截一个球得到截面面积为16πcm2的圆面，球心到这个平面的距离是3cm，则该球的表面积是（）A．16πcm2B．25πcm2C．75πcm2D．100πcm2【解答】解：∵截面的面积为16πcm2，∴截面圆的半径为4cm，∵球心O到平面α的距离为3cm，∴球的半径为=5cm∴球的表面积为4π×52=100πcm2．故选：D．9．（5分）若log2a+log2b=6，则a+b的最小值为（）A．B．6 C．D．16【解答】解：∵log2a+log2b=log2ab=6，∴26=ab，∴a+b≥2=16，当且仅当a=b时取等号．即a+b的最小值为16，故选：D．10．（5分）不等式x2﹣4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，4） B．（﹣4，﹣1）C．（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（4，+∞）【解答】解：不等式x2﹣4x＞2ax+a变形为x2﹣（4+2a）x﹣a＞0，该不等式对一切实数x恒成立，∴△＜0，即（4+2a）2﹣4•（﹣a）＜0；化简得a2+5a+4＜0，解得﹣4＜a＜﹣1；∴实数a的取值范围是（﹣4，﹣1）．故选：B．11．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项的和，a1=﹣2016，=2，则S2016的值为（）A．﹣2015 B．﹣2016 C．2015 D．2016【解答】解：设差数列{a n}的公差为d，S n为等差数列{a n}的前n项的和，由等差数列的前n项和公式得，∴，∵a1=﹣2016，=2，∴=（）﹣（）=d=2，∴S2016=2016×（﹣2016）+=2016（﹣2016+2015）=﹣2016．故选：B．12．（5分）两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：2x﹣y+a=0，l2：2x﹣y+a2+1=0和圆：x2+y2+2x﹣4=0相切，则a的取值范围是（）A．a＞7或a＜﹣3 B．C．﹣3≤a≤一或≤a≤7 D．a≥7或a≤﹣3【解答】解：当两平行直线和圆相交时，有，解得﹣＜a＜．当两平行直线和圆相离时，有，解得a＜﹣3 或a＞7．故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求．故所求的a的取值范围是﹣3≤a≤一或≤a≤7，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上.13．（5分）过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为1．【解答】解：过点P（﹣2，m）和Q（m，4）的直线斜率为1∴解得：m=1故答案为：114．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：15．（5分）若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，∴S=×AB×h=××=．△VAB故答案为：16．（5分）已知等比数列的前n项和为S n，且a1+a3=，则=2n﹣1．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=，∴，解得a1=2，q=，∴S n==，a n=2×，则=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程.17．（10分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．18．（12分）如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．（1）求证：BE∥平面PDA；（2）求四棱锥B﹣CEPD的体积．【解答】（1）证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC且EC∩BC=C∴平面BEC∥平面PDA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又∵BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）解：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE∴平面PDCE⊥平面ABCD∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD∴BC⊥平面PDCE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴四棱锥B﹣CEPD的体积．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）已知二次函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+1（a∈z），在区间（﹣2，﹣1）上恰有一个零点，解不等式f（x）＞1．【解答】解：由题设易知：，又∵a∈z，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2﹣x+1⇒﹣x2﹣x+1＞1，∴不等式解集为（﹣1，0）．20．（12分）已知圆C经过A（3，2）、B（1，6），且圆心在直线y=2x上．（Ⅰ）求圆C的方程．（Ⅱ）若直线l经过点P（﹣1，3）与圆C相切，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆心在直线y=2x上，故可设圆心C（a，2a），半径为r．则圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣2a）2=r2．∵圆C经过A（3，2）、B（1，6），∴．解得a=2，r=．∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=5．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆C的圆心为C（2，4），半径r=．直线l经过点P（﹣1，3），①若直线斜率不存在，则直线l：x=﹣1．圆心C（2，4）到直线l的距离为d=3＜r=，故直线与圆相交，不符合题意．②若直线斜率存在，设斜率为k，则直线l：y﹣3=k（x+1），即kx﹣y+k+3=0．圆心C（2，4）到直线l的距离为d==．∵直线与圆相切，∴d=r，即=．∴（3k﹣1）2=5+5k2，解得k=2或k=．∴直线l的方程为2x﹣y+5=0或x+2y﹣5=0．21．（12分）△ABC的外接圆半径R=，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=（1）求角B和边长b；的最大值及取得最大值时的a，c的值，并判断此时三角形的形状．（2）求S△ABC【解答】解：（1）∵，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴2sinAcosB=sinA，可得cosB=．又∵B∈（0，π），∴，由正弦定理，可得b=2RsinB=2•sin=3；（2）∵b=3，，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2﹣ac=9，因此，ac+9=a2+c2≥2ac，可得ac≤9，当且仅当a=c时等号成立，==，∴∵S△ABC有最大值，此时a=b=c=3，可得△ABC是由此可得：当且仅当a=c时，S△ABC等边三角形．22．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，即．∴当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣=﹣2a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵对任意n∈N*，a n＞0．∴a n+a n﹣1＞0．∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）由（1），a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴=4n（n+1），∴==，n∈N*；∴T n=．。