实验1 一元函数的图形

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实验库1:一元函数微分学2

实验库1:一元函数微分学2

实验一 一元函数微积分学实验2 极限与连续(基础实验)实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.1、作散点图例2.1 (教材 例2.1) 分别画出坐标为)10,,2,1(),4,(),,(3222 =+i i i i i i 的散点图, 并画出折线图. 分别输入命令t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle->PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];Show[g1,g2]; t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];g1=ListPlot[t2,PlotStyle->PointSize[0.02]]; g2=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[g1,g2]; 则分别输出所求图形.例2.2 画出前25个素数的散点图. 输入命令Table[Prime[n],{n,25}];ListPlot[Table[Prime[n],{n,25}],PlotStyle->PointSize[0.015]];则分别输出所求图形.2、数列极限的概念例2.3 观察数列}{n n 的前100项变化趋势. 输入命令t=N[Table[n^(1/n),{n,1,100}]]; ListPlot[t,PlotStyle->PointSize[0.015]];则分别输出所求图形. 从图中可看出, 这个数列似乎收敛于1.下面我们以数值的方式来说明这一变化趋势. 输入以下语句, 并观察其数值结果.m=2;xn=0;For[i=1,i<=1000,i+=50,If[Abs[xn-1]>10^(-m),xn=N[n^(1/n),20]]]; Print[i, " ",xn];设该数列收敛于),0(1≥+=u u A 不妨取,102-=u 下面考察n n 与A 的接近程度. 输入以下Mathematica 语句.u = 10^9(-2); A = 1 + u; m = 5; n = 3; an = Sqrt[3]; While[Abs[A-an] >= 10^(-m), n++; an = N[n^(1/n)]]; Print[" n=", n, " an=", an, "|A-an|=", Abs[A - an]]; 结果表明: 当01.1,651==n a n 时, n a 与2101-+的距离小于.105-例2.4 观察Fibonacci 数列的变化趋势.Fibonacci 数列具有递推关系,,1,12110--+===n n n F F F F F 令1+=n nn F F R . 输入命令fn1=1;fn2=1;rn=1; For[i=3,i<=14,i++,Fn=fn2+fn1;fn2=fn1;fn1=fn;rn=N[fn2/fn1,20];dn=rn-rn1; rn1=rn;Print[i, " ", fn1, " ", rn, " ",dn]];其中第二列给出了Fibonacci 数列的前14项, 第3列给出了n R 的值, 由第4列可以看出, .01→--n n R R 我们也可以用散点图来观察Fibonacci 数列的变化趋势如图所示, 输入命令Clear[f]; f[n_]:= f[n-1]+f[n-2];f[0]=1;f[1]=1;fab20=Table[f[i],{i,0,20}];ListPlot[fab20,PlotStyle ->PointSize[0.02]]; Infab20=Log[fab20];ListPlot[Infab20,PlotStyle-> PointSize[0.02]];则输出所求散点图.为了更好地观察数列的变化趋势, 我们可以利用Mathematica 的动画功能来进一步观察数列随着n 的增大的变化趋势.例2.5 通过动画观察当∞→n 时数列21n a n =的变化趋势.输入Clear[tt];tt={1,1/2^2,1/3^2}; Do[tt=Append[tt,N[1/i^2]];ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}]则输出所求图形动画. 从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x 轴.例2.6 研究极限.1512lim 33++∞→n n n输入Print[n, " ", Ai, " ",0.4-Ai];For[i=1, i<=15, i++,Aii=N[(2 i^3+1)/(5 i^3+1),10]; Bii=0.4-Aii; Print[i, " ", Aii, " ", Bii]]则输出n Ai 0.4-Ai 1 0.5–0.1 2 0.414634 –0.0146341 3 0.404412 –0.00441176 4 0.401869 –0.00186916 5 0.400958 –0.000958466 6 0.400555 –0.000555042 7 0.40035 –0.00034965 8 0.400234 –0.000234283 9 0.400165 –0.000164564100.40012–0.00011997611 0.40009 –0.000090144212 0.400069 –0.0000694364 13 0.400055 –0.000054615 14 0.400044 –0.0000437286 150.400036–0.0000355534观察所得数表. 第一列是下标n . 第二列是数列的第n 项,151233++n n 它与0.4越来越接近. 第三列是 数列的极限0.4与数列的项的差, 逐渐接近0.再输入fn=Table[(2 n^3+1)/(5 n^3+1),{n,15}]; ListPlot[fn,PlotStyle->{PointSize[0.02]}]则输出散点图. 观察所得散点图, 可见表示数列的点逐渐接近于直线.4.0=y注:命令For 的格式见项目二中实验1的基本命令.3、函数的极限例2.7 在区间]4,4[-上作出函数xx xx x f --=339)(的图形, 并研究)(lim x f x ∞→ 和 ).(lim 1x f x →输入命令Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x); Plot[f[x],{x,-4,4}];则输出)(x f的图形. 从图可猜测 )(lim ,9)(lim 1x f x f x x →→=不存在.例2.8 观察函数x x x f sin 1)(2=当+∞→x 时的变化趋势. 取一个较小的区间[1, 10], 输入命令f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];则输出)(x f 在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更 大的区间, 可以更有力地说明当+∞→x 时, .0)(→x f作动画: 分别取区间]100,10[,],20,10[],15,10[ 画出函数的图形, 输入以下命令:i=3;While[i<=20,Plot[f[x],{x,10,5*i},PlotRange->{{10,100},{-0.008,0.004}}];i++]则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数x x x f sin 1)(2=当∞→x 时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势. 例2.9 考虑函数.arctan x y = 输入Plot[ArcTan[x],{x,-50,50}]则输出该函数的图形. 观察当∞→x 时, 函数值的变化趋势.分别输入Limit[ArcTan[x],x->Infinity,Direction->+1] Limit[ArcTan[x],x->Infinity,Direction->-1]输出分别为2π与.2π- 考虑函数.sgn x y =分别输入Limit[Sign[x],x->0,Direction->+1] Limit[Sign[x],x->0,Direction->-1]输出分别为-1与1.4、两个重要极限例2.10 考虑第一个重要极限.sin lim0xxx →输入Plot[Sin[x]/x,{x,-Pi,Pi}]则输出函数xxsin 的图形. 观察图中当0→x 时, 函数值的变化趋势. 输入 Limit[Sin[x]/x,x->0]输出为1, 结论与图形一致.例2.11 研究第二个重要极限.11lim xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→输入Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]输出为e. 再输入Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}]则输出函数xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限.11lim e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→4、无穷大例2.12 考虑无穷大. 分别输入Plot[(1+2 x)/(1-x),{x,-3,4}] Plot[x^3-x,{x,-20,20}]则分别输出两个给定函数的图形. 在第一个函数的图形中,1→x 时函数的绝对值无限增大,在第 二个函数的图形中,∞→x 时函数的绝对值在无限增大. 输入Limit[(1+2x)/(1-x),x->1]Mathematica 输出的是-∞. 这个结果应该是右极限.例2.13 考虑单侧无穷大. 分别输入Plot[E^(1/x),{x,-20,20},PlotRange->{-1,4}] Limit[E^(1/x),x->0,Direction->+1] Limit[E^(1/x),x->0,Direction->-1]则输出所给函数的图形、左极限0和右极限值∞. 再输入Limit[E^(1/x),x->0]Mathematica 的输出仍然为∞.这又是右极限(同上例). 因此在没有指明是左右极限时, 命令Limit 给出的是右极限.例2.14 输入Plot[x+4*Sin[x],{x,0,20 Pi}]则输出所给函数的图形. 观察函数值的变化趋势. 当∞→x 时, 这个函数是无穷大. 但是, 它并不是单调增加. 于是, 无穷大并不要求函数单调.例2.15输入Plot[x*Sin[x],{x,0,20 Pi}]则输出所给函数的图形.观察图中函数的变化趋势. 这个函数无界, 但是, 当∞→x 时, 这个函数不是无穷大. 即 趋向于无穷大的函数当然无界, 而无界函数并不一定是无穷大.5、连续与间断例2.16 考察函数x x f sin )(=在5=x 处的连续性.选取几个},{n x 考察当5→n x 时, n x sin 的变化趋势, 依次取,11ln ,1)1(5,155nn n n n n x n x n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=+=当∞→n 时, 他们的极限均为5.输入命令g1 = ListPlot[Table[Sin[5 + 1/n], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]; g2 = ListPlot[Table[Sin[5 + (-1)^n/Sqrt[n]], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];g3 = ListPlot[Table[Sin[5*n*Log[(1 + 1/n)]], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]];g = Show[g1, g2, g3];则输出相应的)sin ,(n n x x 的散点图. 由图可看出它们趋于同一极限值.例2.17 观察可去间断. 分别输入Plot[Tan[x]/x,{x,-1,1}] Plot[(Sin[x]-x)/x^2,{x,-Pi,Pi}]则输出所给函数的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的可去间断点.11例2.18 观察跳跃间断. 分别输入Plot[Sign[x],{x,-2,2}]Plot[(E^(1/x)-1)/(E^(1/x)+1),{x,-2,2}]则分别输出所给函数的图形. 从图可见,0 x 是所给函数的跳跃间断点.12例2.19 观察无穷间断. 分别输入Plot[1/(1-x^2),{x,-3,3}]则输出所给函数的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的跳跃间断点.例2.20 观察振荡间断. 分别输入Plot[Cos[1/x],{x,-Pi,Pi}]则输出所给函数的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的跳跃间断点. 再输入Limit[Sin[1/x],x->0]Mathematica4.0输出为Interval[{-1,1}]. 读者可猜测这是什么意思.例2.21 有界量乘以无穷小. 分别输入Plot[x*Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}] Limit[x*Sin[1/x],x->0]则分别输出所给函数的的图形和所求极限0. 因为无穷小乘以有界函数得无穷小.13例2.22观察无穷间断. 输入Plot[Tan[x],{x,-2Pi,2Pi}]则输出函数x y tan =的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的跳跃间断点.例2.23 观察振荡间断. 输入Plot[Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}]则输出函数x1sin 的图形. 从图可见,0=x 是所给函数的跳跃间断点.再输入Limit[Sin[1/x],x->0]则输出为Interval[{-1,1}]. 表示函数极限不存在,且在-1与1之间振荡.。

一元、二元函数图像绘制

一元、二元函数图像绘制

⼀元、⼆元函数图像绘制⽬录概述本篇博客主要是在上⼀篇的基础上,进⼀步说明“函数”在函数式编程中的重要作⽤。

强调了函数和普通类型⼀样,可以赋值、存储、传参以及作为另外函数的返回值。

本⽂附带了⼀个Demo,该Demo可以将任意字符串函数表达式解析之后⽣成对应的函数(⼀元、⼆元以及三元),如果你输⼊的是⼀元或者⼆元函数表达式,则可以绘制出相应的函数图像。

⼀元函数图像为平⾯曲线,⼆元函数图像为⽴体曲⾯。

看下图:函数表达式中只识别X、Y、Z三个⾃变量。

字符串表达式解析字符串解析是重点。

怎样去识别⼀串字符串函数表达式呢?如x^2+sin(x)*cos(y)。

之后怎样去计算函数值呢?其实原理很简单,由于每个函数表达式中包含的有效符号是有限的,如X、Y、Z、+、-、*、/以及⼀些函数诸如log、sin、cos等等,只要我们将这些有效符号均识别筛选出来之后,再根据这些符号的优先级别⽣成⼀个函数语法树即可。

如上图所⽰,使⽤⼀个“树结构”去存储最终的语法树。

最后带⼊X、Y(⼆元)求得函数值。

表达式解析这块难点是语法树的构建和最终求值。

语法树的构建有点复杂,⼤家可以参见源码;最终求值的原理是,判断当前符号(节点)是单⽬运算符号(如cos、sin、负号等)还是双⽬运算符号(如+ - * /等),如果是单⽬运算⽐如cos函数,则先计算⼦节点(只有⼀个⼦节点)的值,然后将得到的值进⾏cos运算(Math.Cos(⼦节点的值));相反,如果是双⽬运算符⽐如+符号,那么先计算左⼦节点和右⼦节点的值,最后将两个值进⾏+操作(左⼦节点的值+右⼦节点的值),依次递归计算得到最终的函数值。

图像绘制图像绘制这块就⽐较简单了。

根据前⼀步得到的语法树,我们可以创建出对应的⼀元函数、⼆元函数以及三元函数(委托的形式)。

事先定义的委托结构如下:/// <summary>/// ⼀元函数/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <returns></returns>public delegate double UnaryFunction(double x);/// <summary>/// ⼆元函数/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <param name="y"></param>/// <returns></returns>public delegate double BinaryFunction(double x,double y);/// <summary>/// 三元函数/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <param name="y"></param>/// <param name="z"></param>/// <returns></returns>public delegate double MultiFunction(double x,double y,double z);很简单就可以看出,⼀元函数接收⼀个参数,返回⼀个值;⼆元函数接收两个参数,返回⼀个值;三元函数接收三个参数,返回⼀个值。

2013年下学期数学实验作业

2013年下学期数学实验作业

数学实验与数学建模实验报告学院:专业班级:姓名:学号:完成时间:2014 年1 月6日实验一 图形的画法1. 做出下列函数的图像:(1))2sin()(22--=x x x x y ,22≤≤-x (分别用plot 、fplot ) (2)22/9/251x y +=(用参数方程)(3) 在同一图形窗口中,画出四幅不同图形(用subplot 命令):1cos()y x =,2sin(/2)y x pi =-,23cos()y x x pi =-,sin()4x y e =(]2,0[π∈x )2 作出极坐标方程为)cos 1(2t r -=的曲线的图形.3 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形.4 绘制螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x ,sin 4,cos 4在区间[0,π4]上的图形.在上实验中,显示坐标轴名称。

5 作出函数22y x xye z ---=的图形.6 作出椭球面1194222=++z y x 的图形.(该曲面的参数方程为,cos ,sin sin 3,cos sin 2u z v u y v u x === (ππ20,0≤≤≤≤v u ).)7 作双叶双曲面13.14.15.1222222-=-+z y x 的图形.(曲面的参数方程是,csc 3.1,sin cot 4.1,cos cot 5.1u z v u y v u x ===其中参数πππ<<-≤<v u ,20时对应双叶双曲面的一叶, 参数πππ<<-<≤-v u ,02时对应双叶双曲面的另一叶.)8 作出圆环v z u v y u v x sin 7,sin )cos 38(,cos )cos 38(=+=+=,(πππ22/,2/30≤≤≤≤v u )的图形.9 作出球面22222=++z y x 和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.10 作出锥面222z y x =+和柱面1)1(22=+-y x 相交的图形.11用动画演示由曲线],0[,sin π∈=z z y 绕z 轴旋转产生旋转曲面的过程. (该曲线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为,sin 222z y x =+ 其参数方程为])2,0[],,0[(,,sin sin ,cos sin ππ∈∈===u z z z u z y u z x ) 12. 画出变上限函数⎰xdt t t 02sin 及其导函数的图形.13.迪卡尔曲线)03(13,1333222=-++=+=axy y x tat y t at x 14.蔓叶线)(1,1322322x a x y tat y t at x -=+=+= 15.摆线)cos 1(),sin (t b y t t a x -=-=16.内摆线(星形线))(sin ,cos 32323233a y x t a y t a x =+==17.圆的渐伸线(渐开线))cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=18.空间螺线ct z t b y t a x ===,sin ,cos 19.阿基米德线0,≥=r a r ϕ。

数学实验1-3章习题答案

数学实验1-3章习题答案
>> x=1.5951;eval(yxx)
ans =
18.3287
函数的单调区间为:
(1)单调递增区间:-2<x<-1.5326 -0.7315<x<0以及1.5951<x<2;
(2)单调递减区间:-1.5326<x<-0.7315以及0<x<1.5951.
(2)
函数的图形为:
clear
>> fplot('3*x^5-20*x^3+10',[-3,3])
ans =
-3
最值2:
x=1:0.1:3;
>> y=3.*x.^5-20.*x.^3+10;
>> [m k]=max(y)
m =
199
k =
21
>> x(k)
ans =
3
驻点1及相应的二阶导数值:
clear
>> syms x y
>> y=3*x^5-20*x^3+10;
>> yxx=diff(y,x,2);
>> grid on
f=inline('100*acos(1-1/200*(r^2))+r^2*acos(1/20*r)-10*sqrt(r^2-1/400*r^4)-50*pi','r');
>> y=fzero(f,12)
y =
11.5873
3.求解下列非线性方程组在远点附近的根:
clear
>> syms x y z
>> [x y z]=solve('9*x^2+36*y^2+4*z^2-36','x^2-2*y^2-20*z','16*x-x^3-2*y^2-16*z^2',x,y,z)

02-一次函数的图像及性质-教师版

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1、 一元一次方程与一次函数(1) 对于一次函数m ,由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=,解这个方程得bx k=-,于是可以知道一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k -,; (2) 若已知一次函数m 的图像与x 轴的交点坐标,也可以知道这个交点的横坐标bx k =-,其就是一元一次方程0kx b +=的根.2、 一元一次不等式与一次函数(1) 由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0(或小于0),就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>(或0kx b +<)的解集.(2) 在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>(或0kx b +<)的解集.一次函数知识结构知识精讲模块一:一次函数与不等式yx6Oyx-2O 没【例1】 已知一次函数经过(20)A ,和(13)B -,,在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围. 【难度】★【答案】图像如图,2x >. 【解析】图像如图,2x >.【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系.【例2】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示:(1)求在这个函数图像上且位于x 轴上方所有点的横坐标的取值范围;(2)求不等式0kx b +≤的解集. 【难度】★【答案】(1)6x <; (2)6x ≥. 【解析】(1)由图像可得:6x <; (2)由图像可得:6x ≥.【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系.【例3】 已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示:(1)求在这个函数图像上且位于y 轴左侧所有点的横坐标的取值范围; (2)求在这个函数图像上且位于y 轴右侧所有点的纵坐标的取值范围; (3)求2016y x b =-+在y 轴上的截距. 【难度】★【答案】(1)0x <;(2)2y >-;(3)2-. 【解析】(1)由图像可得:0x <; (2)由图像可得:0x >; (3)由图像可得:2b =-∴2016y x b =-+在y 轴上的截距是2-.【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系,注意分析清楚题目中所要求的结果.例题解析【例4】已知一次函数解析式是132y x=-.(1)当x取何值时,2y=?(2)当x取何值时,2y>?(3)当x取何值时,2y<?(4)当x取何值时,02y<<?【难度】★★【答案】(1)10x=;(2)10x>;(3)10x<;(4)610x<<.【解析】(1)令1322x-=,解得:10x=;(2)令1322x->,解得:10x>;(3)令1322x-<,解得:10x<;(4)令10322x<-<,解得:610x<<.【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系,本题也可以通过函数图像求解.【例5】已知函数()31f x x=-+.(1)当x取何值时,()2f x=-?(2)当x取何值时,4()2f x>>-?(3)在平面直角坐标系中,在直线()31f x x=-+上且位于x轴下方所有点,它们的横坐标的取值范围是什么?【难度】★★【答案】(1)1x=;(2)11x-<<;(3)13 x>.【解析】(1)令312x-+=-,解得:1x=;(2)令4312x>-+>-,解得:11x-<<;(3)令310x-+<,解得:13 x>.【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系,本题也可以通过函数图像求解.【例6】已知方程20(0)ax a-=>的解为4x=,(1)求出函数2y ax=-与x轴的交点坐标;(2)解不等式20ax-≥.【难度】★★【答案】(1)(4,0);(2)4x≥.【解析】由一次函数与方程不等式的关系得:(1)2y ax =- 与x 轴的交点坐标为:(4,0); (2)20ax -≥的解集为:4x ≥.【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系,本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果.【例7】 已知一次函数y ax b =+与y mx n =+交于点(34),,根据其图像回答下列问题:(1)求解不等式组:44ax b mx n +>⎧⎨+≤⎩;(2)求解方程组:y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩;(3)求解不等式:ax b mx n +≤+.【难度】★★★【答案】(1)3x >;(2)34x y =⎧⎨=⎩; (3)3x ≤.【解析】由一次函数与方程不等式的关系得:(1)由4ax b +>可得:3x >;由4mx n +≤可得:3x ≥; ∴3x >;(2)y b axmx y n -=⎧⎨=-⎩的解即为两条直线交点坐标,即:34x y =⎧⎨=⎩;(3)ax b mx n +≤+解集为y ax b =+在y mx n =+上方时x 的范围,即3x ≤. 【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系,主要是根据图像进行求解.【例8】 当-1≤x ≤2时,函数6y ax =+满足10y <,求出常数a 的取值范围. 【难度】★★★ 【答案】42a -<<.【解析】当0a >时,max 2610y a =+<,解得:2a <; 当0a <时,min 610y a =-+<,解得:4a >-; 当0a =时,66y ax =+=,满足10y <; ∴42a -<<.【总结】本题考察了一次函数的性质,注意解题时要分类讨论.1、 一次函数的增减性:一般地,一次函数y kx b =+(,k b 为常数,0k ≠)具有以下性质: 当0k >时,函数值y 随自变量x 的值增大而增大,图像为上升; 当0k <时,函数值y 随自变量x 的值增大而减小,图像为下降.2、 一次函数图像的位置情况:直线y kx b =+(0k ≠,0b ≠)过(0,)b 且与直线y kx =平行,由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知:(要用图像的平移推导可得) 当0k >,且0b >时,直线y kx b =+经过一、二、三象限; 当0k >,且0b <时,直线y kx b =+经过一、三、四象限; 当0k <,且0b >时,直线y kx b =+经过一、二、四象限; 当0k <,且0b <时,直线y kx b =+经过二、三、四象限. 把上述条件反过来叙述,也是正确的.(这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理)0b >0b <0b =0k >经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升,y 随x 的增大而增大0k <经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降,y 随x 的增大而减小知识精讲模块二:一次函数的性质【例9】 已知函数:①2y x =-+;② 132y x =+;③ 53y x =;④ 32xy -=;⑤11(1)45y x x =--.在这些函数中,函数值y 随自变量x 的值增大而减小的函数有_______________. 【难度】★ 【答案】①④.【解析】由一次函数的性质,当0k <时,y 随x 的增大而减小,故选①④. 【总结】本题考察了一次函数的性质.【例10】 已知一次函数(32)1y m x m =-++,函数值y 随自变量x 的值增大,而减小.(1)求m 的取值范围; (2)其函数图像经过那些象限?【难度】★ 【答案】(1)32m >; (2)经过一、二、四象限. 【解析】(1)由已知得:320m -<,解得:32m >; (2)此时10m +>,一次函数经过一、二、四象限. 【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限.【例11】 已知点(1)A a -,和(4)B b ,在函数13y x m =-+的图像上,试比较a 与b 的大小. 【难度】★ 【答案】a b >.【解析】由已知得:103k =-<,所以y 随x 的增大而减小,∴a b >.【总结】本题考察了一次函数的性质,也可用特殊值法比较大小.【例12】 完成下列填空:(1) 直线25y x =--是________(填“上升”或“下降”)的,并且与y 轴的______半轴相交,因此这条直线经过第________象限,截距为_______;(2) 直线7(2)y x =-是________(填“上升”或“下降”)的,并且与y 轴的______半轴相交,因此这条直线经过第________象限,截距为_______.例题解析【难度】★【答案】(1)下降,负,二、三、四,-5; (2)上升,负,一、三、四,-14. 【解析】略.【总结】本题考察了一次函数的性质,要熟记不同的情况.【例13】 直线2(1)1y m x m =+++与y 轴的交点坐标是(03),,且直线经过第一、二、四象限,则该直线与x 轴的交点为__________. 【难度】★★【答案】30),.【解析】由已知得:21310m m ⎧+=⎨+<⎩, 解得:m = ∴(1)3y x =+.令0y =,解得:3x =,∴与x 轴的交点坐标是:30),. 【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标;【例14】 直线2(1)3y m x =--上有两点11()A x y ,和点22()B x y ,,且12x x >,12y y <,则常数m 的取值范围是_______________. 【难度】★★ 【答案】11m -<<.【解析】由已知得:y 随x 的增大而减小, 则210m -<, 解得:11m -<<.【总结】本题考察了一次函数的性质,注意对于一元二次不等式的求解方法.【例15】 已知一次函数y kx b =+的图像是与直线23y x =-平行的直线.(1) 随着自变量x 的值的增大,函数值y 增大还是减小? (2) 直线4y kx =-经过哪几个象限? (3) 直线y kx b =+经过哪几个象限? 【难度】★★【答案】(1)y 随着x 的增大而减小; (2)二、三、四象限; (3)①当0b <时,经过二、三、四象限; ②当0b =时,经过二、四象限; ③当0b >时,经过一、二、四象限.【解析】(1)由已知得:203k =-<,故y 随着x 的增大而减小;(2)∵00k b <<,,经过二、三、四象限; (3)①当0b <时,经过二、三、四象限; ②当0b =时,经过二、四象限; ③当0b >时,经过一、二、四象限. 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用.【例16】 已知直线(21)3y m x m =-+,分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围:(1) 这条直线经过原点; (2) 这条直线经过一二四象限; (3) 这条直线不经过第三象限; (4) 这条直线与2 1.5y x =-+平行. 【难度】★★【答案】(1)0m =; (2)102m <<; (3)102m ≤≤; (4)12m =-. 【解析】(1)由已知得:30m =,解得:0m =; (2)由已知得:21030m m -<⎧⎨>⎩,解得:102m <<;(3)由已知得:21030m m -≤⎧⎨≤⎩,解得:102m ≤≤;(4)由已知得:212m -=-,解得:12m =-.【总结】主要考察了一次函数的性质的运用,本题中要特别注意题干中说的是直线,因此包含了常值函数在里面,从而第(3)小问中k 可以为零.【例17】 函数y ax b =+与y bx a =+的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是( ).AB CD【难度】★★ 【答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k 、b 范围写出来,不矛盾即为正确选项, 故选B .【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式中k 、b 的关系.【例18】 点(1,m ),(2,n )在函数2(963)3(3)y a a x a a =-+-+-≠的图象上,则m 、n 的大小关系是____________. 【难度】★★★ 【答案】m n >.【解析】转化得:2[(31)2]3y a x a =---+-, ∵2(31)20a ---<, ∴y 随x 的增大而减小, ∴m n >.【总结】本题考察了一次函数的性质,注意对比例系数进行配方,从而判定正负性.【例19】 无论p 为何值,除0以外,直线2y px p =+一定经过__________象限. 【难度】★★★ 【答案】二、三.【解析】(1)当0p >时,直线经过一、二、四象限; (2)当0p <时,直线经过二、三、四象限; 故直线一定经过二、三、象限; 【总结】本题考察了一次函数的象限特点.【例20】 不论k 为何值,解析式(21)(3)(11)0k x k y k --+--=表示的函数的图象必过定点,求此定点的坐标. 【难度】★★★ 【答案】(23),.【解析】转化得:(21)3110x y k x y ----+= ∵不论k 为何值,图象必过定点, ∴2103110x y x y --=⎧⎨--+=⎩, 解得:23x y =⎧⎨=⎩,∴定点坐标为:(23),.【总结】本题考察了函数恒过定点的问题,此题型只要令可取任意值的字母系数为零 即可解决.1、一次函数y kx b =+(,k b 为常数,0k ≠)中k 、b 的意义: k (称为斜率)表示直线y kx b =+(0k ≠)的倾斜程度;b (称为截距)表示直线y kx b =+(0k ≠)与y 轴交点是(0,)b ,也表示直线在y 轴上的截距.2、同一平面内,不重合的两直线1(0)a ≠与2(0)a ≠的位置关系: 当1212a a b b =≠,时,两直线平行.当12a a ≠时,两直线相交,交点为方程组1122y a x b y a x b =+⎧⎨=+⎩的解.当12b b =时,两直线交于y 轴上同一点.【例21】 已知一次函数y =kx +b ,y 随x 的增大而增大,且kb <0,指出一次函数的图像经过的象限. 【难度】★★ 【答案】一、三、四;【解析】由已知得:0k >,又kb <0, ∴b <0. ∴一次函数图像经过一、三、四象限.【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点.【例22】 若直线1l :23y x =-与直线2l :3y x =-+相交于点P ,(1)求P 点坐标;(2)求1l ,2l 与x 轴所围成的三角形的面积; (3)求1l ,2l 与y 轴所围成的三角形的面积; (4)求1l ,2l 与坐标轴所围成的四边形的面积. 【难度】★★【答案】(1)P (2,1);(2)34; (3)6; (4)274. 【解析】(1)联立:233y x y x =-⎧⎨=-+⎩, 解得:21x y =⎧⎨=⎩, ∴交点坐标为P (2,1);11b x a y +=22b x a y +=例题解析知识精讲模块三:一次函数的性质的总结与运用(2)易得233y x y x =-=-+与分别与x 轴交于(302,)、(3,0), ∴1331224S =⨯⨯=;(3)易得233y x y x =-=-+与分别与y 轴交于(03-,)、(0,3), ∴16262S =⨯⨯=;(4)由题意可知,所求的四边形为图中红色边的四边形,∴1313276322224S =⨯⨯+⨯⨯=.【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积,规则图形用公式法,不规则图形用割补法;【例23】 已知:如图,直线PA 是一次函数(0)y x n n =+>的图象,直线PB 是一次函数2(0)y x m m =-+>的图象,其中点Q 是直线PA 与y 轴的交点.(1)用m ,n 来分别表示点P ,A ,B ,Q 的坐标;(2)四边形PQOB 的面积是56,AB =2,试求P 点的坐标,并写出直线PA 与PB 的解析式. 【难度】★★【答案】(1)(0)Q n ,,(0)A n -,,(0)2m B ,,2()33m n m nP -+,; (2)14()33P ,, :1PA y x =+, :22PB y x =-+.【解析】(1)易得:(0)Q n ,,(0)A n -,,(0)2mB ,; 联立:2y x n y x m =+⎧⎨=-+⎩, 解得:323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩, ∴2()33m n m n P -+,;(2)由已知得:212152232622m n n m n +⎧⨯⨯-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 解得:21m n =⎧⎨=⎩,∴14()33P ,, :1PA y x =+, :22PB y x =-+.【总结】本题考察了一次函数与几何的综合,综合性较强,解题时注意认真分析. 【例24】 已知一次函数f (x )=ax +2a +1,当11x -≤≤时,f (x )的值有正有负,求a 的取值范围. 【难度】★★★【答案】113a -<<-.【解析】由已知得:(1)(1)0f f -⋅<,∴(1)(31)0a a ++<,解得:113a -<<-.【总结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负,从而求出不等式的解集.【例25】 已知m 为正整数,直线5214x m y -++=和233my x =-+的交点在第四象限,求这两条直线与x 轴围成的三角形的面积. 【难度】★★★【答案】1140S =.【解析】联立5214233x m y m y x -++⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩, 解得:2307207m x m y +⎧=>⎪⎪⎨-⎪=<⎪⎩,∵交点在第四象限, ∴可解得:322m -<<, 又∵m 为正整数, ∴1m =.∴534x y -+=和213x y -+=两直线交点坐标为:(5177-,) 两直线与x 轴交点坐标为:(305,),(102,), ∴13111()2527140S =⨯-⨯=.【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法.【习题1】已知,直线2(1)2y k x k =-++在y 轴上的截距为4,且y 随x 的增大而增大,则k =_____________.【难度】★ 【答案】2.【解析】∵224k +=,∴22k =, ∴2k =±, ∵10k ->, ∴2k =. 【习题2】若点P (,)a b -在第二象限内,则直线y ax b =-不经过________. 【难度】★随堂检测【答案】第二象限.【解析】由题意可得:00a b>>,,则直线经过一、三、四象限,故不经过第二象限.【总结】本题考察了一次函数图像性质.【习题3】若0bc<,0ab>,则一次函数a cy xb b=--的图像经过第_________象限.【难度】★★【答案】第一、二、四象限.【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限.【总结】本题考察了一次函数的图像的性质.【习题4】已知点A(2)a-,、B(3)b-,在直线(5)2y k x=++上,且a b≥,则k的取值范围是__________.【难度】★★【答案】5k≥-.【解析】∵a b≥,∴y随x的增大而增大,∴50k+≥,∴5k≥-.【总结】本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用.【习题5】根据图中所画的直线1y kx k=--,则一次函数213ky kx k-=+在y轴上的截距为__________,与坐标轴围成的三角形面积为__________.【难度】★★【答案】.【解析】∵211k-=,∴k=由图可知,0k<,∴k=∴213ky kx k-=+=--∴此一次函数在y轴上的截距为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像,注意认真分析题目中的条件.【习题6】(1)一次函数(63)24y m x n=-+-不经过第三象限,则m、n的范围是________;(2)直线(63)24y m x n=-+-不经过第三象限,则m、n的范围是_________.【难度】★★【答案】(1)2m >,2n ≥; (2)2m ≥,2n ≥.【解析】(1)∵一次函数图像不经过第三象限,∴630m -<,240n -≥, ∴2m >,2n ≥;(2)∵直线不经过第三象限, ∴630m -≤,240n -≥, ∴2m ≥,2n ≥.【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系.【习题7】已知直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点在x 轴的正半轴,下列结论:(1)00k b >>,;(2)00k b ><,;(3)00k b <>,;(4)00k b <<,.其中正确的是_________. 【难度】★★ 【答案】(2)、(3).【解析】画图可知(2)、(3)正确.【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系.【习题8】直线111:l y k x a =+,222:l y k x b =+的交点坐标是(1,2),则使1y <2y 的x 取值范围是__________【难度】★★ 【答案】1x <.【解析】由图易得1y <2y 的x 取值范围是1x <. 【总结】本题考察了学生观察、识图的能力.【习题9】若一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是26x -≤≤,相应的函数值的范围是119x -≤≤,求此函数的解析式,以及其经过哪些象限?【难度】★★★【答案】562y x =-,函数图像经过一、三、四象限;或542y x =-+,函数图像经过一、二、四象限;【解析】由题意易得函数经过点(-2,-11)和(6,9)或者过(-2,9)和(6,-11),∴11296k b k b -=-+⎧⎨=+⎩或 92116k b k b =-+⎧⎨-=+⎩, 解得: 526k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 或 524k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴函数的解析式为:562y x =-,函数图像经过一、三、四象限;或542y x =-+,函数 图像经过一、二、四象限.【习题10】已知方程1(0)ax b a -=<的解为x =(1)求出函数1y ax b =--与x 轴的交点坐标; (2)解不等式10ax b --≥;(3)试求函数1y ax b=--与一次函数2(y x =-的交点坐标.【难度】★★★【答案】(10); (2)x ≤; (30). 【解析】观察图像可知.【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系.【习题11】如图,直线L :122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,在y 轴上有一点C (04),,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动. (1)求A 、B 两点的坐标;(2)求△COM 的面积S 与点M 的移动时间t 之间的函数关系式; (3)当t 何值时△COM ≌△AOB ,并求此时M 点的坐标. 【难度】★★★【答案】(1)A (4,0), B (0,2);(2)S =8-2t (04t ≤<),S =2t -8 (4t >); (3)t =2时,M (2,0); t =6时,M (-2,0). 【解析】(1)易得A (4,0), B (0,2);(2)114422S OM OC t =⋅=-⋅;当04t ≤≤时,82S t =-, 当4t >时,28S t =-;(3)当04t ≤<时,t =2时,M (2,0); 当4t >时, t =6时,M (-2,0). 【总结】本题考察了函数的综合应用.【习题12】一个一次函数图象与直线514y x =-平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B , 并且过点(125)--,,则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有哪些?【难度】★★★【答案】(3,-20),(7,-15),(11,-10),(15,-5),(19,0);【解析】设54y x b=+,代入点(125)--,得:5254b-+=-,解得:954b=-,∴该一次函数的解析式为:5954xy-=,转化,得:49541955yx y+==+,∴当y 为5的倍数时,x为整数,∴满足条件的点有:(3,-20),(7,-15),(11,-10),(15,-5),(19,0).【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解.【习题13】已知:不论k取什么实数,关于x的函数236kx a x bky+-=-(a、b是常数)始终经过点(11),,试求a、b的值.【难度】★★★【答案】724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩.【解析】把(1,1)代入,得:211 36k a bk+--=,化简得:(4)(27)0b k a++-=,∵函数236kx a x bky+-=-(a、b是常数)始终经过点(11),,∴40270ba+=⎧⎨-=⎩,解得:724ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩.【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题,主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题.课后作业【作业1】已知一次函数y kx b =+的图像交y 轴于正半轴,且y 随x 的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式___________. 【难度】★【答案】1y x =-+等,不唯一. 【解析】只需要00k b <>,即可. 【总结】本题考察了一次函数的性质.【作业2】(1)已知m 是整数,且一次函数(4)2y m x m =+++的图像不经过第二象限,则m 为__________;(2)一次函数(2)43y a x a =-+-的图像与y 轴的交点在x 轴的下方,则a 的取值范围是__________. 【难度】★【答案】(1)3-; (2)34a <. 【解析】(1)由已知,得:4020m m +>⎧⎨+≤⎩, 解得:42m -<<-,∵m 是整数, ∴3m =-;(2)由已知,得:43020a a -<⎧⎨-≠⎩, 解得:34a <.【总结】本题考察了一次函数的性质,注意对图像不经过第几象限的准确理解.【作业3】已知直线2(0)y mx m m =+<.(1)当x 取何值时,0y =?(2)当x 取何值时,0y >? (3)当x 取何值时,0y <?(4)在m 的取值范围内,直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限? 【难度】★★【答案】(1)2x =-; (2)2x <-; (3)2x >-; (4)二、三、四象限. 【解析】(1)令0y =,解得:2x =-; (2)令0y >,解得:2x <-; (3)令0y <,解得:2x >-; (4)易得:图像经过二、三、四象限. 【总结】本题考察了一次函数的图像及性质. 【作业4】已知(0)y kx b k =+≠的函数图像如图所示:(1)求在这个函数图像上且位于x (2)求解不等式0kx b +≥.【难度】★★【答案】(1)5x >-; (2)5x ≤-.【解析】(1)由图像可得:5x >-; (2)由图像可得:5x ≤-. 【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系.【作业5】函数y kx k =+与ky x=(0)k ≠在同一坐标系内的图象可能是( ).ABCD【难度】★★ 【答案】C .【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b 范围写出来,不矛盾即为正确选项,故选C .【总结】本题考察了一次函数与反比例函数的图像.【作业6】已知一次函数2(3)2y m x m =--+,函数值y 随自变量x 的值增大而减小.(1)求m 的取值范围; (2)其函数图像经过那些象限?【难度】★★【答案】(1)3m >; (2)二、三、四象限. 【解析】(1)由已知得:30m -<,解得:3m >;(2)由已知得:00k b <<,,图像经过二、三、四象限.【总结】本题考察了一次函数的图像及性质.【作业7】已知点(3)a A y ,和(3)b B y -,在函数2(3)y m x m =--+的图像上,试比较a y 与b y 的大小.【难度】★★ 【答案】a b y y <.【解析】由已知得:230k m =--<, ∴y 随x 的增大而减小, ∵33>-, ∴a b y y <. 【总结】本题考察了一次函数的性质的运用.【作业8】k 在为何值时,直线2154k x y +=+与直线23k x y =+的交点在第四象限? 【难度】★★【答案】322k -<<.【解析】联立:215423k x y k x y +=+⎧⎨=+⎩, 解得:23727k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵交点在第四象限, ∴2307207k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩, ∴322k -<<.【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题.【作业9】画出函数32y x =--的图像,利用图像求:(1)方程320x --=的根; (2)不等式320x --≥的解集; (3)当7y ≤时,求x 的取值范围;(4)当11x -≤≤时,求y 的取值范围; (5)求图像与坐标轴围成的三角形的面积; 【难度】★★【答案】(1)23x =-;(2)23x ≤-;(3)3x ≥-; (4)51y -≤≤;(5)23;【解析】(1)23x =-;(2)23x ≤-;(3)当7y =时,3x =-, ∴7y ≤时,3x ≥-;(4)当1x =-时,1y =; 当1x =时,5y =-; ∴当11x -≤≤时,51y -≤≤;(5)1222233S =⨯⨯=. 【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系,主要是对函数图像的正确理解.【作业10】已知直线23y mx m m =-++分别根据下列条件求m 的值或m 的取值范围:(1)直线经过(13),;(2)直线经过原点;(3)直线与1y x =-平行; (4)直线在y 轴上的截距4;(5)直线经过一三四象限.【难度】★★【答案】(1)31m =-或;(2)30m =-或;(3)m =(4)41m =-或;(5)30m -<<. 【解析】(1)代入(1,3)得:233m m m -++=,解得:31m =-或;(2)代入(0,0)得:230m m +=,解得:30m =-或;(3)由已知得:m -=,解得:m = (4)由已知得:234m m +=,解得:41m =-或;(5)由已知得:2030m m m ->⎧⎨+<⎩解得:30m -<<. 【总结】本题考察了一次函数的性质,注意对直线过原点的正确理解.【作业11】若一次函数(0)y kx b k =+≠,当31x -≤≤时,对应的函数y 值为19y ≤≤,则一次函数的解析式为_____________.【难度】★★★【答案】27y x =+或23y x =-+.【解析】(1)当0k >时,函数经过(-3,1)和(1,9)时,代入两点得:319k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得:27k b =⎧⎨=⎩, ∴一次函数的解析式为:27y x =+;(2)当0k <时,函数经过(1,1)和(-3,9)时,代入两点得:139k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得:23k b =-⎧⎨=⎩图1图2图3∴一次函数的解析式为:23y x =-+,综上,一次函数的解析式为:27y x =+或23y x =-+.【总结】本题考察了一次函数的图像及性质,注意分类讨论.【作业12】已知2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,另一直线(0)y kx b k =+≠经 过点(10)C ,,且把△AOB 分成两部分.(1)若把△AOB 被分成的两部分面积相等,求k 、b 的值; (2)若△AOB 被分成的两部分面积之比为1:5,求k 、b 的值.【难度】★★★【答案】(1)22k b =-=,; (2)1133k b =-=,或1122k b ==,. 【解析】(1)如图1,易得:点C 为OA 中点∴BC 分△AOB 被分成的两部分面积相等∴22y x =-+即22k b =-=,;(2)由已知,得:1163AOB S S ∆∆==, ∴13h =. 1º:如图2,直线经过(0,13) ∴1133y x =-+,11,33k b =-=; 2º:如图3,直线经过(5133,) ∴1122y x =-,11,22k b ==; 综上:1133k b =-=,或1122k b ==,. 【总结】本题考察了一次函数的综合运用,注意当涉及到 面积比时,由于没说清楚哪部分大哪部分小,因此要分类 讨论.。

一次函数的图象和性质(提高)知识讲解

一次函数的图象和性质(提高)知识讲解

= 300 −900
所以 s2 =300 t -900(6<t≤10).
(2)李明返回时所用的时间为 (2100-900)÷(900÷6)+900÷[(2100-900)÷(10-6)]=8+3=11(分钟). 因此,李明返回时所用的时间为 11 分钟.
【总结升华】从图象中获得点的坐标,再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键.注意放学途中上 坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程.
在直线 l2 上,点 P2 (x2 , y2 ) 为直线 l1 、 l2 的交点.其中 x2 < x1 , x2 < x3 则( )
A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y1 < y2 C. y3 < y2 < y1 D. y2 < y1 < y3
【答案】A; 提示:由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式,因此解答本题只能借助于图象.观察直
全体实数
过(0, b )和( − b ,0)点的一条直线 k
k >0
k <0
b>0
b<0
b>0
b<0
经过一、二、三 经过一、三、四 经过一、二、四 经过二、三、四
位置
象限
象限
象限
象限
趋势
从左向右上升
从左向右下降
函数 变化规律
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
3. k 、 b 对一次函数 =y kx + b 的图象和性质的影响:
∴k + b =1.
∴当 k = 1 时, b = 2 , A(−2, 0) ;
3
3
当 k = − 1 时, b = 4 , A(4, 0) .

一元一次函数图像及性质

一元一次函数图像及性质

第三单元 函数及其图像第13课时 反比例函数教学目标【考试目标】1.了解反比例函数的意义,根据已知条件确定反比例函数的表达式;会用待定系数法求函数的表达式;2.会画反比例函数的图象,根据反比例函数的图象性质和解析表达式理解其性质;【教学重点】了解反比例函数的概念,以及反比例函数解析式的变形.掌握反比例函数的图象与性质.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.教学过程体系图引入,引发思考引入真题,深化理解【例1】(2016年锦州)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-a 与反比例函数 a y x(a≠0)的图象可能是 (C )【解析】此题中a 的符号不确定,所以要进行分类讨论才能解决此题.当a >0时,一次函数y=ax-a 图象必过一、三象限,反比例函数 在一、三象限内,故可以排除A 选项.∵a >0,∴-a <0,∴一次函数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点下方,所以B 不符合题意,C 符合题意.当a <0时,一次函数y=ax-a 图象必过二、四象限,反比例函数 图象也在二、四象限,并且-a >0,所以一次函数y=ax-a 图象与y 轴交点在原点上方,所以D 选项不符合题意,故选择C 选项. 【考点】考查了一次函数、反比例函数的图象与性质,利用分类讨论的思想便于解题.【例2】(2016年龙东地区)已知反比例函数 ,当1<x <3时,y 的最小整数值是(A )A.3B.4C.5D.6【解析】∵6>0,∴该反比例函数在1<x <3单调递减,此时y 的范围为2<y <6.∴y 的最小整数值是3.故选择A.【考点】考查了反比例函数的增减性.掌握了反比例函数的增减性,此题不难解出.【例3】(2016年通辽)如图,点A 和点B 都在反比例函数 的图象上,且线段AB 过原点,过点A 作x 轴的垂线段,垂足为C ,P 是线段OB 上的动点,连接CP.设△ACP 的面积为S ,则下列说法正确的是(D )A.S >2B.S >4C.2<S <4D.2≤S≤4【解析】根据题目可知,S=S △AOC+S △COP ,2S △AOC=k=4,∴S △AOC=2.当点P 在原点O 时,Smin=2.当点P 运动到点B 时,S 最大,此时求出S △COP 的面积即可求出Smax.因为点A 、B 均在反比例函数的图像 上,且线段AB 过原点,根据反比例函数图象的对称 性,可以得到A 、B 两点关于原点对称,所以A 、B 两点纵坐标的绝对值相等,△AOC 与△BOC 可以看作是以OC 为底,不难看出这两个三角形同底等高,,面积相等,∴Smax=2+2=4.∴选择D 选项.【考点】考查了反比例函数系数的几何意义,反比例函数的对称性,三角形的面积公式.【例4】【例4】(2016年安徽)如图,一次函数y=kx+b 的图象分别与反比例函数 的图象在第一象限a y x =a y x =a y x =6y x =4y x =a y x =内交于点A (4,3),与y 轴负半轴交于点B ,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b 和 的表达式; (2)已知点C (0,5),试在该一次函数图象上确定一点M ,使得MB=MC ,求此时点M 的坐标. 【解析】把点A (4,3)代入函数 得:a=12,∴ . ∵OA=OB ,∴OB=5,∴点B 的坐标为(0,-5).把B (0,-5),A (4,3)代入y=kx+b 得: 解得 .∴y=2x-5.(2)∵点M 在一次函数y=2x-5上,设点M 坐标为(x ,2x-5),∵MB=MC ,∴ 解得:x=2.5,∴点M 的坐标为(2.5,0).【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用,考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式,考查了点到点的距离等.【例5】(2016年重庆)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b (a ≠0)的图形与反比例函数 (k ≠0)的图象交于第二、四象限内的A 、B 两点,与y 轴交于C 点,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H ,OH=3, 点B 的坐标为(m ,-2). 求△AOH 的周长; 求反比例函数和一次函数的解析式. 【解析】(1)由OH=3, ,得AH=4. 即A (-4,3).根据勾股定理得:△AOH 的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12.(2)将A 点坐标代入 (k ≠0),得k=-4×3=-12,反比例函数的解析式为 ;当y=-2时, ,解得x=6,即B (6,-2).将A 、B 点坐标代入y=ax+b ,得5OA ==25k b =⎧⎨=-⎩543b k b =-⎧⎨+=⎩=4tan 3AOH ∠=5,AO ==1,21a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩462a a b -+⎧⎨+=-⎩1 1.2y x =-+a y x =12y x =k y x =4tan 3AOH ∠=k y x=12y x =-122x -=-一次函数的解析式为【考点】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,利用待定系数法是解决此题的关键.三、师生互动,总结知识先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:同步导练教学反思同学们对本节内容理解很好,但是对于那些反比例函数与其他知识结合的综合性问题略有欠缺,希望大家下课后能多加练习,巩固知识,提升自己.。

matlab--函数图形绘制实验报告1

matlab--函数图形绘制实验报告1

实验报告课程名称: 数学实验学院名称: 数学与统计学院班级:姓名:学号:2012-2013 学年第学期数学与统计学院制(二)参数方程作图例2: 画出星形线{ 及旋轮线{ 的图形解: 输入以下命令:%星形线作图t=linspace(0,2*pi,5000);x=2*(cos(t)).^3;y=2*(sin(t)).^3;plot(x,y),grid;结果:%旋轮线作图t=linspace(0,4*pi,5000); x=2*(t-sin(t));y=2*(1-cos(t));plot(x,y),axis equal; axis(0,8*pi,0,5);grid;结果:(三)极坐标方程图形例3:画出四叶玫瑰线的图形。

知其极坐标方程: ρ=acos(2 )。

解: 取a=5做图。

在命令窗口输入下命令theta=linspace(0,2*pi);r=2*cos(2*theta);polar(theta,r)结果:(四)空间曲面(线)的绘制例4: 绘制双曲抛物面z= 。

解:将其化为参数方程:{ , 编写m文件运行以下命令r=linspace(-4,4,30);s=r;[u,v]=meshgrid(r,s);x=u;y=v;z=(u.^2-v.^2)./4;surf(x,y,z);bix on;结果:(五)空间曲线在坐标平面上的投影曲面和投影柱面例5: 画出螺旋线{ , 在xOz面上的正投影曲线的图形。

解:化为参数方程{ , 运行下列程序t=linspace(-2*pi,2*pi);x=10*cos(t);z=2*t;h=plot(x,z);grid;xlabel('x');ylabel('z');set(h,'linewidth',2);结果:(一)实验分析:(二)在本次实验中我们初步了解了matlab。

(三)学会了一些简单绘图。

(四)在编制中我们要很明确“点乘的重要性”。

MATLAB数学实验100例题解

MATLAB数学实验100例题解

一元函数微分学实验1 一元函数的图形(基础实验)实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Matlab 作平面曲线图性的方法与技巧。

初等函数的图形2 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势。

解:程序代码:>〉 x=linspace (0,2*pi,600); t=sin (x)。

/(cos (x )+eps );plot(x ,t);title (’tan (x )');axis ([0,2*pi ,-50,50]); 图象:程序代码: 〉〉 x=linspace (0,2*pi,100); ct=cos (x)。

/(sin(x)+eps ); plot(x,ct );title(’cot(x)');axis ([0,2*pi ,—50,50]); 图象:cot(x)4在区间]1,1[-画出函数xy 1sin =的图形。

解:程序代码:>> x=linspace (-1,1,10000);y=sin(1。

/x ); plot (x,y ); axis ([-1,1,—2,2]) 图象:二维参数方程作图6画出参数方程⎩⎨⎧==t t t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形:解:程序代码:>〉 t=linspace(0,2*pi,100); plot(cos(t ).*cos (5*t ),sin(t )。

*cos(3*t)); 图象:极坐标方程作图8 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形. 解:程序代码:〉〉 t=0:0.01:2*pi ; r=exp (t/10);polar(log(t+eps ),log (r+eps)); 图象:90270分段函数作图10 作出符号函数x y sgn =的图形。

一次函数图像的应用课件(公开课)

一次函数图像的应用课件(公开课)

当y=0时,x=__-_2___,直线对 应的表达式_y_=__0_.5_x_+_1_____
y
一元一次方程0.5x+1=0与一次函数 y=0.5x+1有什么联系?
3
1、从“数”的方面看:
2
当一次函数y=0.5x+1的因变量的值为0时,
1
相应的自变量的值,即为方程0.5x+1=0的解。
2、从“形”的方面看:
今天,你有什么收获?
1、通过对图像观察分析得出有用的信息并写出 相对应的函数解析式,并利用图像或者解析式解 决问题
2、一次函数与一元一次方程的关系:
一般的,当一次函数y=kx+b的函数值为0时相应 的自变量的值就是方程kx+b=0的解。从图像上 看,一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标 就是方程kx+b=0的解
1、一元一次方程ax-b=0的解是x=3,函数y=ax-b的图
象与x轴的交点坐标是( A )
A.(3,0)
B.(-3,0) C.(a,o)
D.(-b,o)
2、已知点p (2,1)是直线y=kx-4上的一点,则方程 kx-5=0的解是( A )
A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1
3、为了提高某种农作物的产量,农场通常采用喷施药物的 方法控制其高度,已知该农作物的平均高度y(米)与每公顷 所喷施药物的质量x(千克/公顷)之间的关系如图所示,经 验表明,该农作物高度在1.25米左右时,它的产量最高,那 么每公顷应喷施药物多少千克?
某植物t天后的高度为ycm,图中的l 反映了y与t之
间的关系,根据图象回答下列问题:
y/cm
(1)植物刚栽的时候多高? 9cm

《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇

《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇

《一次函数的图象和性质》教学设计优秀5篇一次函数的图象教案篇一一、学生起点分析八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”,对利用图象表示变量之间的关系已有所认识,并能从图象中获取相关的信息,对函数与图象的联系还比较陌生,需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系。

二、教学任务分析《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级(上)第六章《一次函数》的第三节。

本节内容安排了2个课时,第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法,明确一次函数的图象是一条直线,能熟练地作出一次函数的图象。

第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类,探索一次函数及其图象的简单性质。

本课时是第一课时,教材注重学生在探索过程的体验,注重对函数与图象对应关系的认识。

为此本节课的教学目标是:1.了解一次函数的图象是一条直线,能熟练作出一次函数的图象。

2.经历函数图象的作图过程,初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线。

3.已知函数的代数表达式作函数的图象,培养学生数形结合的意识和能力。

4.理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系。

教学重点是:初步了解作函数图象的一般步骤:列表、描点、连线。

教学难点是:理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系。

三、教学过程设计本节课设计了七个教学环节:第一环节:创设情境引入课题;第二环节:画一次函数的图象;第三环节:动手操作,深化探索;第四环节:巩固练习,深化理解;第五环节:课时小结;第六环节:拓展探究;第七环节:作业布置。

第一环节:创设情境引入课题内容:一天,小明以80米/分的速度去上学,请问小明离家的距离S(米)与小明出发的时间t(分)之间的函数关系式是怎样的?它是一次函数吗?它是正比例函数吗?S=80t(t≥0)下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗?我们说,上面的图象是函数S=80t(t≥0)的图象,这就是我们今天要学习的主要内容:一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。

《一次函数的应用》一次函数课件(第1课时)

《一次函数的应用》一次函数课件(第1课时)

1 若直线l与直线y=2x-3关于x轴对称,则直线l
的表达式为( B )
A. y=-12x-3
2
C. y= x+3
B. y=-2x+1 3
2
D. y=- x-3
知2-练
2 如图,把直线l向上平移2个单位得到直线l′,则l′ 的表达式为( D )
A. y= 1 x+1
2
B. y= 1x-1 C. y=-2 x-1 D. y=- 12x+1
知1-练
1 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2), 则这个正比例函数的表达式为( B )
A. y=2x
B. y=-2x
C. y= 1 x
2
D. y=- 1x
2
知1-练
2 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则 在下列选项中k值可能是( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
知4-讲
知识点 4 由数量关系求一次函数的表达式
例5 为了提高身体素质,有些人选择到专业的健身中心锻炼身体,
某健身中心的消费方式如下: 普通消费: 35元/次;白金卡消费: 购卡280元/张,凭卡免费消费10次再送2次;钻石卡消费: 购 卡560元/张,凭卡每次消费不再收费.以上消费卡使用年限 均为一年,每位顾客只能购买一张卡,且只限本人使用.
与t之间是一次函数关系,可用描点法在直角坐标系内 画出其图象,但要注意t≥0;(2)是要求方程12-6t=0 和12-6t=-9的解,观察(1)中所画的图象即可求出.
知2-讲
解: (知1)依识题点意,得T与t之间的函数关系式为T=12-6t(t≥0),用描
点法画出图象,如图所示.
(2)观察图象发现,方程12-6t=0的解是T=12-6t(t≥0)的图象

Mathematica课件 math4

Mathematica课件 math4

Automatic
$ DisplayFuncti on False
坐标轴经过的点的坐标
如何显示图形,Identity表 示只生成但不显示图形 图形周围是否加边框
FrameLa bel
GridLines PlotLabel
None
None None
在图框周围加标志,由x轴 开始顺时针方向
是否画坐标网格线 是否给整个图形加标记
PlotColor
PlotRange Ticks
True
Automatic Automatic
是否显示彩色图形
图形中纵坐标的范围,All 包括所有的点 规定轴上刻度的位置,可 用{Xt,Yt}形式规定刻度
(1) AspectRatio参数 AspectRatio参数用来改变图形显示的横坐标和纵坐 标的比例,即图形的宽和高的比例,它的缺省值是黄 金分割的倒数,即0.618:1。当需要显示图形的真实比 例时,应指定该参数的值为Automatic,如图5-3和图5-4 所示。 In[3]:=Plot[Cos[x^2],{x,0,6},AspectRatio->Automatic] Out[3]=-GraphicsIn[4]:=Plot[Cos[x^2],{x,0,6}] Out[4]= -Graphics1 0.5
1 0.5 -1 -0.5 0.5
1
-0.5
Out[8]=-Graphics-
-1
认识到第二类参数是非常重要的,即因为Mathematica 只能采样函数中的有限点,所以作图的时候很可能就漏 掉了一些特征点。为了增加曲线的真实性,用户可以改 变上表中PlotPoints参数的值来实现。 Mathematica画曲线实际上是一个区间内取多个点的值, 然后将这些点用直线连接起来。如果两条相邻直线之间 的扭转角大于参数MaxBend的设置值,则Mathematica 会在这个区间内再进行采样,直到相邻直线之间的扭转 角满足条件为止。 但遇到无穷振荡的时候,无论怎么细分,上面的条件是 永远不会满足的。为了避免不必要的计算,参数 PlotDivision 规定了细分函数的最大因子。当两个 初始点之间的细分大于这个值时,Mathematica不再进 行细分,保证了系统不会因为陷入无限度细分而使整个 系统崩溃。

一元函数微分学的应用最全版

一元函数微分学的应用最全版

第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 :1. 用洛必达法则求极限时应注意什么?答:应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后,柯西中值定理的结论是否还成立?试举例(只需画出函数图象)说明.答:不成立.图像如下:习作题:1. 用洛必达法则求下列极限:(1)11lim 21--→x x x , (2)xxx sin lim 1→,(3)()πππ--→x x x sin lim , (4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解:(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限:(1)xx x +→0lim , (2)()xx x 11lim +→.解 :(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2,直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解:()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题:1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明.答:不成立.如下图:2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理,仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论,并回答下列问题.罗尔中值定理:若()x f 满足如下3条: (1)在闭区间[]b a ,上连续;(2)在开区间()b a ,上可导;(3)在区间[]b a ,端点处的函数值相等,即)()(b f a f =,则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ,使得()0='ξf .需回答的问题:(1)罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别?答:罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.(2)罗尔中值定理中条件(1)换为“在开区间()b a ,内连续”,定理的结论还成立吗?画图说明.答:不成立.如下图:(3)不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数,说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答:方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间(1, 2)、(2, 3)、(3, 4)内. 原因: 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的(可采用画图方式说明).答:如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题:讨论函数2e x y -=的单调性.解:函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题:1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答:图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为:)(x f 的极值为可能为最值,最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种?如何判定可能极值点是否为极值点?答:对连续函数来说,可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点(尖点)两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题:1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值,最大值与最小值.解:x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4,极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知:)(x f 最大值为200, 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解:xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题:1. 对圆来说,其半径与其曲率半径相等吗?为什么? 答:相等.因为:曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率,为什么?答:不存在.因为曲率定义为:sk s ∆∆=→∆α0lim ,故可知曲率为非负的值.习作题:1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解:23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大,求出该点的曲率. 解:23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上,)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题:1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点,问: (1)()0x f 有无可能是()x f 的极值,为什么? 答:可能.如:()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.(2)()0x f '是否一定存在?为什么?画图说明答:不一定. 如31x y = 图像如右:()0,0点为曲线31x y =的拐点,但d d =x xy2. 根据下列条件,画曲线:(1) 画出一条曲线,使得它的一阶和二阶导数处处为正.解:如下图.(2) 画出一条曲线,使得它的二阶导数处处为负,但一阶导数处处为正.解:如下图.(3) 画出一条曲线,使得它的二阶导数处处为正,但一阶导数处处为负.解:如下图.(4)画出一条曲线,使得它的一阶、二阶导数处处为负.解:如下图.习作题:1. 设水以常速s /m 3a (0>a )注入图4—19所示的容器中,请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像,阐明凹向,并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. (1)()x f '的图像如图4—20所示,试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答:拐点横坐标为3x x =与4x x =. (2)在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中,指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答:拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解:函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞,),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时,0<''y , 当∈x ),21(+∞-时,0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解:()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为:2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题:(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值?答:因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中,pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下,需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数,即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时,总成本为()x C ,问这时每单位产品的平均成本是多少?答:平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”,并画图说明.答:设u 表示某项经济指标,t 表示时间,)(t u u =二阶可导,则“经济指标的增长速度正在逐步加快”,即指t u d d 是递增函数,所以0d d 22>t u ,也即)(t u u =的图像上升且上凹(如下图1);相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”,即指0d d ,0d d 22<>tut u ,也即)(t u u =的图像上升且下凹(如下图2).2. 一般情况下,对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数,即)(x Q Q =,试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式,并分析其经济意义.答:需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下,需求Q 是收入x 的增函数, 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1,则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的,若>Ex EQ1,则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1,则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题:1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图,试画出下列对于产品数量q 的函数图象.(1)总利润;(2)边际成本;(3)边际收入解:(1)总利润L=)()(q C q R -,图像如下图(1),tu(2)边际成本c M =)('q C , 图像如下图(2), (3)边际收入R M =)('q R , 图像如下图(3).2. 求解下列各题:(1)设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=, 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量,求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解:边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)(2)设p 为某产品的价格,x 为产品的需求量,且有801.0=+x p , 问p 为何值时,需求弹性大或需求弹性小.解:由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时,需求弹性小.(注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。

实验一一元函数的图形课件

实验一一元函数的图形课件
可以观察到函数y=[x]的图形是一条阶梯形曲线(见 图1.18)。
图1-18
1.2.5分段函数的作图
输入命令: ezplot('x-floor(x)',[-4,4]) 得到函数y=x-[x]的图形(见图1.19)。这是锯齿形曲
线。 注意,它是周期为1的函数。
图1-19
【例13】作出符号函数y=sgn(x)的图形。 输入命令: ezplot('sign(x)',[-2,2]) 就得到符号函数的图形(见图1.20)。点x=0是它的
命令ezplot的格式是:
ezplot(f(x,y),[xmin,xmax,ymin,ymax])
该命令执行后绘制出由方程f(x,y)=0所确定的隐函数在区域: xmin≤x≤xmax,ymin≤y≤ymax内的图形。
命令中的第二项[xmin,xmax,ymin,ymax]给出了变量x与y的 范围。当省略第二项时,默认变量x与y的范围都是[-
2 ,2 ]。
例如方程(x²+y²)²=x²-y²确定了y是x的隐函数。为了作出它 的图形,输入:
ezplot('(x^2+y^2)^2-x^2+y^2',[-1,1,-0.5,0.5])输出图形是一 条双扭线(见图1.5)。
图1-5
1.1.5 分段函数作图
分段函数的定义用到条件语句,而条件语句根据具体条件分支的方式 不同,可有多种不同形式的if语句块。这里仅给出较为简单的三种条 件语句块:
g绿
. 点 v 上三角形 : 虚线
r红
o 圈 ^ 下三角形 -. 点画线
c青
+ 十字 < 左三角形 -- 画线
m 品红
* 星 > 右三角形

第十章 极坐标和参数方程 第三节 数学实验二 利用Mathematica绘制一元函数图形

第十章 极坐标和参数方程  第三节  数学实验二 利用Mathematica绘制一元函数图形

3.绘制参数方程所确定函数的图形 例5 画出圆x=2cost,y=2sin t的图形.
解 ParametricPlot 2Cost, 2Sin t,t, 0, 2Pi
从图10 31上看是一椭圆,这是因为横坐标轴和纵坐标轴的 长度单位不同.重新设定坐标轴的纵横比例,可以看出这是一个
半径为2的圆图10-32. Show %, AspectRatio 1
,x, 3,3
执行后可得y=ln x ln 2, y ln x x2 1 的图形(图10 27). y
1
3 2 1
O1
2
1
2 3
3x
图10-27 例2示意
例3 研究函数y=x5 3ex log2 3 x在区间-2,2上图形
的特性.
解 输入命令: Plot x 5 3E x Log2,3 x,x, 2, 2 执行后可得y=x5 3ex log2 3 x在区间-2,2上图形(图
y 2 y 2
1 1
2
1
O1
1
2
2x
图10-31 例5示意
2
1 O 1 2 x
1
2
图10-32 例5示意
习题
思考题:
利用Mathematica软件绘图命令调用格式是什么:下限、 上限是什么意思.Plot表达是数学意义的函数吗?
答案
课堂练习题:
在计算机操作学会Mathematica命令.
*第十章 极坐标和参数方程
• 第一节 • 第二节 •*第三节
极坐标 参数方程 数学实验二 利用 Mathematic绘制一元函数图形
*第三节 数学实验二 利用Mathematica 绘制一元函数图形
一元函数图形的绘制

泰勒展开.ppt

泰勒展开.ppt

解:(1)梯长
l (x a)2 b 2 (1 a )2 a l
x
b
a 8,b 27
x
>>L='sqrt((x+8)^+2+27^2*(1+8/x)^2)';
>>ezplot(L,10,60)
>>[xmin,Lmin]=fminbnd(l,15,20)
xmin = 18.0000
[例2] 分别求函数
y 1 u 1 x
在 x 0 和 u 0 处的泰勒展开式的前
3 项。
>>syms x u; >>taylor((1/(1+x))^u,x,3,0) ans =
1-u*x+(u+1/2*u*(u-1))*x^2 >>taylor((1/(1+x))^u,u,3,0) ans =
f1 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3
f2 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4
f3 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3 +1/24*x^4-1/120*x^5
yy = 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048
e= 1.0e-005 * -0.4085 0.0082 -0.0001
(3)计算 sin 0.5 的近似值,并比较误差。
3、求函数
y 2x 的极值。 1 x2
二、应用型实验
1、一幢楼房的后墙紧靠一个温室,温室宽 a 2m, 高 b 3m, 现用一梯子越过温室,一头
放在地平面,一头靠在楼房墙上,问梯子的

一次函数的图象和性质_模板

一次函数的图象和性质_模板

一次函数的图象和性质_模板教学目标:1、使学生能进一步理解函数的定义,根据实际情况求函数的定义域,并能利用函数解决实际问题中的最值问题。

2、渗透函数的数学思想,培养学生的数学建模能力,以及解决实际问题的能力。

3、能初步建立应用数学的意识,体会到数学的抽象性和广泛应用性。

教学重点:1、从实际问题中抽象概括出运动变化的规律,建立函数关系式。

2、通过函数的性质及定义域范围求函数的最值。

教学难点:从实际问题中抽象概括出运动变化的规律,建立函数关系式教学方法:讨论式教学法教学过程:例1、A校和B校各有旧电脑12台和6台,现决定送给C校10台、D校8台,已知从A校调一台电脑到C校、D校的费用分别是40元和80元,从B校调运一台电脑到C校、D校的运费分别是30元和50元,试求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少?(1)几分钟让学生认真读题,理解题意(2)由题意可知,一种调配方案,对应一个费用。

不同的调配方案对应不同的费用,在这个变化过程中,调配方案决定了总费用。

它们之间存在着一定的关系。

究竟是什么样的关系呢?需要我们建立数学模型,将之形式化、数学化。

解法(一)列表分析:设从A校调到C校x台,则调到D校(12―x)台,B校调到C校是(10―x)台。

B 校调到D校是[6-(10-x)]即(x-4)台,总运费为y。

根据题意:y = 40x+80(12- x)+ 30(10-x)+50(x-4)y = 40x+960-80x+300-30x+50x-200= -20x+1060(4≤x≤10,且x是正整数)y = -20x+1060是减函数。

∴当x = 10时,y有最小值ymin= 860∴调配方案为A校调到C校10台,调到D校2台,B校调到D校2台。

解法(二)列表分析设从A校调到D校有x台,则调到C校(12―x)台。

B校调到C校是[10-(12-x)]即(x-2)台。

B校调到D校是(8―x)台,总运费为y。

y = 40(12 – x)+ 80x+ 30(x –2)+50(8-x)= 480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x=20x +820(2≤x≤8,且x是正整数)y =20x +820是增函数∴x=2时,y有最小值ymin=860调配方案同解法(一)解法(三)列表分析:解略解法(四)列表分析:解略例2、公司试销一种成本单价为500元/件的新产品,规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件。

函数图像知识点总结

函数图像知识点总结

函数图像知识点总结一、基本概念函数图像是指表示函数在平面直角坐标系中的图形。

对于一元函数 f(x),其图像可以在平面直角坐标系中用曲线表示。

函数图像的形状和特征可以帮助我们更直观地理解函数的性质和行为。

二、函数图像的绘制1. 确定定义域和值域:在绘制函数图像之前,首先要明确函数的定义域和值域,以便确定图像的范围。

2. 描点法:通常利用描点法来绘制函数图像。

具体来说,选择一些横坐标值,计算对应的纵坐标值,并将这些点在平面直角坐标系上连接起来,就得到了函数的图像。

3. 利用导数:对于一些特定的函数,可以通过求导数的方式来画出函数的图像。

导数可以给出函数的斜率的变化情况,进而可以描绘出函数的图像。

三、函数图像的性质1. 奇偶性:若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x),则称其为偶函数;若满足 f(-x) = -f(x),则称其为奇函数。

奇偶性可以决定函数图像的对称性。

2. 增减性:函数的增减性可以通过导数的正负性来判断,从而可以描绘出函数图像的涨跌趋势。

3. 极值和拐点:函数图像在极值点处可能出现极大值或极小值,拐点处则可能出现函数图像的拐角。

四、常见函数图像1. 一次函数:y = kx + b,其图像为一条直线,具有斜率和截距的特点。

2. 二次函数:y = ax^2 + bx + c,其图像为抛物线,具有顶点和开口方向的特点。

3. 指数函数:y = a^x,其图像为一条逐渐增长或逐渐减小的曲线,具有指数增长的特点。

4. 对数函数:y = log_a(x),其图像为一条逐渐变缓的曲线,具有对数增长的特点。

五、函数图像的应用1. 函数的性质分析:通过函数图像,可以更加直观地了解函数的奇偶性、增减性、极值点等性质。

2. 优化问题:在数理求解、工程优化等领域,函数图像可以帮助我们找到函数的最大值、最小值等优化问题。

3. 理解函数变化:函数图像可以展示函数曲线的变化趋势,帮助我们更好地理解函数的变化规律。

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实验1 一元函数的图形
实验目的
1. 学习matlab一元函数绘图命令.进一步理解函数概念.
实验内容
1. 学习matlab命令.
matlab绘图命令比较多,我们选编一些常用命令,并简单说明其作用,这些命令的调用格式,可参阅例题及使用帮助help查找.
表1.1 二维绘图函数
表1.2 基本线型和颜色
表1.3 二维绘图工具
表1.4 axis命令
linspace 创建数组命令,调用格式为:
x=linspace(x1,x2,n),创建了x1到x2之间有n个数据的数组.
funtool函数工具,在matlab指令窗键入funtool可打开“函数计算器”图形用户界面。

2.绘制函数图形举例.
例1.1.画出y=sinx的图形
解:首先建立点的坐标,然后用plot命令将这些点绘出并用直线连接起来,采用中学五点作图法,选取五点(0,0)、(π/2,1)、(π,0)、(3π/2,-1)、(2π,0). 输入命令:
x=[0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi];y=sin(x);plot(x,y)
这里分号表示该命令执行结果不显示.
可以想象,随点数增加,图形越来越接近y=sinx的图象.例如,在0到2π之间取30个数据点,绘出的图形与y=sinx的图象已经非常接近了。

x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);plot(x,y)
也可以如下建立该图形.
x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)
还可以给图形加标记、格栅线.
x=0:0.1:2*pi;
y=sin(x);
plot(x,y,’r—‘)
title(‘正弦曲线’)
xlabel(‘自变量x’)
ylabel(‘函数y=sinx’)
text(5.5,0,‘y=sinx’)
grid
上述命令第三行选择了红色虚线,第四行给图加标题“正弦曲线”,第五行给x轴加标题“自变量x”,第六行给y轴加标题“函数y=sinx”,第七行在点(5.5,0)处放置文本“y=sinx”,第八行给图形加格栅线.
例1.2.画出y=2x和y=(1/2)x的图象.
解:输入命令:
x=-4:0.1:4;y1=2.^x;y2=(1/2).x;plot(x,y1,x,y2);
axis([-4,4,0,8])
matlab允许在一个图形中画多条曲线.plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3)指令绘制y1=f(x1)、y2=f(x2)等多条曲线.matlab自动给这些曲线以不同颜色.
例1.3.画出y=arctanx的图象.
解:输入命令:
x=-20:0.1:20;y=arctan(x);
plot(x,y,[-20,20],[pi/2,pi/2],[-20,20],[-pi/2,-pi/2])
grid
从图上看,y=arctanx是有界函数,y=±π/2是其水平渐近线.
例1.4.在同一坐标系中画出y=sinx,y=x,y=tanx的图象.
解:输入命令:
x=-pi/2:0.1:pi/2;y1=sin(x);y2=tan(x);
plot(x,x,x,y1,x,y2)
axis equal
axis([-pi/2,pi/2,-3,3])
grid
从图上看,当x>0时,sinx<x<tanx,当x<0时,sinx>x>tanx,y=x是y=sinx 和y=tanx在原点的切线,因此,当|x|很小时,sinx≈x,tanx≈x.
例1.5.画出y=10x-1及y=lg(x+1)的图形.
解:输入命令:
x1=-1:0.1:2;y1=10.x1-1;x2=-0.99:0.1:2;y2=log10(x2+1);
plot(x1,y1,x2,y2)
从图上看,这两条曲线与我们所知的图象相差很远,这是因为坐标轴长度单位不一样的缘故.y=10^x-1与y=lg(x+1)互为反函数,图象关于y=x对称,为更清楚看出这一点,我们再画出y=x的图象
hold on
x=-1:0.01:2;y=x;plot(x,y,’r’)
axis([-1,2,-1,2])
axis square;hold off
plot语句清除当前图形并绘出新图形,hold on语句保持当前图形.
例1.6.画出心形线r=3(1+cosa)的图象.
解:输入命令:
x=-2*pi:0.1:2*pi;r=3*(1+cos(x));polar(x,r)
例1.7.画出星形线x=3(cost)3,y=3(sinx)3的图象.
解:这是参数方程,可化为极坐标方程.
r =
3
((c o s a)
(2/3)
+(s i n a)
(2/3)
)(3/2)
输入命令:
x=0:0.01:2*pi;
r=3./(((cos(x)).2).(1/3)+((sin(x)).2).(1/3)).(3/2);
polar(x,r)
注意,如果建立r与t的关系,此时t只是参数,不是极坐标系下的极角.
练习
1.画出y=arcsin x的图象
2.画出y=sec x在[0,pi]之间的图象
3.在同一坐标系中画出y=x,y= x2,y=3x,y=x3,y=x 的图象
4.画出f(x)=(1-x) +(1+x) 的图象,并根据图象特点指出函数f(x)的奇偶性。

5.画出y=1+ln(x+2)及其反函数的图象。

6.画出y=321
x及其反函数的图象。

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