2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程精编学案：第9课__二次函数 Word版含解析

____第9课__二__次__函__数____
1. 熟练掌握二次函数的图象和性质．
2. 掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会用二次函数的图象和性质讨论一元二次方程根的分布．
3. 能解决与二次函数有关的一些综合性问题.
1. 二次函数的三种形式：一般式、顶点式和两根式，会根据条件选择合适的形式．
2. 二次函数的图象是抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性等，结合这些图象特征解决二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．
3. 二次函数性质的研究：首先根据二次函数的图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑；同时要特别关注二次函数的对称轴位置，即对称轴与所给区间的位置关系，这样可以得到二次函数的变化情况．此外要注意c 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．
4. 三个二次(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)以二次函数为核心，即二次函数图象与横轴的交点和在横轴的上方、下方.
基础诊断
1. 若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3(x ∈[a ，b])的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__6__．
解析：由题意得－a ＋22＝1，解得a ＝－4，且a ＋b 2＝1，即－4＋b 2
＝1，解得b ＝6. 2. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 且f(x 1)＝f(x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝__4ac －b 2
4a __． 解析：由题意可知，x 1＋x 22＝－b 2a
， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝a·⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b·⎝⎛⎭⎫－b 2a ＋c ＝4ac －b 2
4a . 3. 已知二次函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围为__[1，2]__．
解析：由题意得函数y ＝x 2－2x ＋3图象的对称轴为直线x ＝1.当x ＝0时，y ＝3，当x ＝1时，y ＝2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m 2－2m ＋3≤3，解得1≤m ≤2， 所以m 的取值范围是[1，2]．
4. 如果方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是__(－∞，－3)__．
解析：设f(x)＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，由题意得，
⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －1）2－4（4－2m ）>0，f （2）＝4＋2（2m －1）＋4－2m<0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－52或m>32，m<－3，
所以m<－3，故实数m 的取值范围是(－∞，－3)．
范例导航
考向❶ 通过分类讨论对称轴与区间的位置关系，利用数形结合求最值
例1 求函数f(x)＝x 2－2ax ＋2(x ∈[2，4])的最小值．
解析：f(x)图象的对称轴是直线x ＝a ，可分以下三种情况：
①当a ＜2时，f(x)在[2，4]上为增函数，所以f(x)min ＝f(2)＝6－4a ；
②当2≤a ≤4时，f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；
③当a ＞4时，f(x)在[2，4]上为减函数，所以f(x)min ＝f(4)＝18－8a.
综上所述，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－4a ， a<2，2－a 2， 2≤a ≤4，18－8a ， a>4.
已知函数
f(x)＝x 2－2x ＋2(x ∈[t ，t ＋1])的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解析：由题意得，f(x)＝(x －1)2＋1.
①当t ＋1<1，即t<0时，g(t)＝f(t ＋1)＝t 2＋1;
②当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，g(t)＝f(1)＝1;
③当t>1时，g(t)＝f(t)＝t 2－2t ＋2.
综上所述，g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1， t<0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t>1.
考向❷ 利用三个二次之间的关系，以二次函数为核心解决问题
例2 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象过点(0，－3)，且f (x )>0的解集为(1，3)．
(1) 若函数f (x )＝f (x )－mx 在区间(0，1)上单调递增，求实数m 的取值范围；
(2) 求函数G (x )＝f (sin x )在x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最值． 解析：(1) 因为f (x )>0的解集为(1，3)，
所以二次函数与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，
所以可设f (x )＝a (x －1)(x －3)．
又因为函数图象过点(0，－3)，代入f (x )得3a ＝－3，解得a ＝－1，
所以f (x )＝－(x －1)(x －3)＝－x 2＋4x －3，所以f (x )＝－x 2＋4x －3－mx ＝－x 2＋(4－m )x －3.
因为函数f (x )在区间(0，1)上单调递增，
所以－4－m 2×（－1）
≥1，解得m ≤2， 故实数m 的取值范围是(－∞，2]．
(2) 由题意得，G (x )＝－sin 2x ＋4sin x －3＝－(sin x －2)2＋1.
因为x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2，所以sin x ∈[0，1]， 所以当sin x ＝0时，G (x )min ＝－3；
当sin x ＝1时，G (x )max ＝0，
故函数G (x )的最大值为0，最小值为－3.
若关于x 的方程
sin 2x ＋cos x ＋a ＝0有实数根，试确定实数a 的取值范围． 解析：由已知得a ＝－sin 2x －cos x ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎫cos x －122
－54. 因为－1≤cos x ≤1，
所以a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－54，1.
考向❸ 与绝对值综合的二次函数问题
例3 已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.
(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；
(2) 当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；
(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在区间(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．
解析：(1) 当a ＝2时，
f (x )＝x |x －2|＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －2），x ≥2，x （2－x ）， x <2. 由图象可知，y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)．
(2) 因为a >2，x ∈[1，2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22
＋a 24. 当1<a 2≤32，即2<a ≤3时，f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32
，即a >3时，f (x )min ＝f (1)＝a －1， 所以f (x )min ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2a －4，2<a ≤3，a －1， a >3. (3) f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥a ，x （a －x ），x <a . ①当a >0时，图象如图1所示.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a 24，y ＝x （x －a ），
得x ＝1＋22a ， 所以0≤m <a 2，a <n ≤ 2＋12
a . ②当a <0时，图象如图2所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x （a －x ），
得x ＝1＋22a ， 所以2＋12a ≤m <a ，a 2<n ≤0. 图1
图2
自测反馈 1. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1，2a]上的偶函数，则a ，b 的值为__13
，0__． 解析：由题意得，f(－x)＝f(x)，即ax 2－bx ＋3a ＋b ＝ax 2＋bx ＋3a ＋b ，即2bx ＝0对任
意x 恒成立，所以b ＝0.又因为a －1＝－2a ，解得a ＝13，所以a ，b 的值分别为13
，0. 2. 函数y ＝－x 2＋2||x ＋3的单调减区间是__[－1，0]和[1，＋∞)__．
解析：令f(x)＝－x 2＋2|x|＋3，
所以f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3， x<0， 即f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4， x<0， 所以当x ≥0时，函数f(x)的减区间为(1，＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．
3. 若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[]a ，a ＋2上的最大值为4，则a 的值为__－1或1__． 解析：由题意得，f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴为直线x ＝1.当a ≥0时，f(a ＋2)＝4，即(a ＋2)2－2(a ＋2)＋1＝4，解得a ＝1或a ＝－3(舍去)；
当a<0时，f(a)＝4，即a 2－2a ＋1＝4，解得a ＝－1或a ＝3(舍去)．
综上，a 的值为1或－1.
4. 若不等式x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是__(－∞，－1]∪[2，＋∞)__.
解析：由题意得x 4＋2x 2＋a 2－a －2≥0，即(x 2＋1)2≥－a 2＋a ＋3，所以－a 2＋a ＋3≤1，解得a ≥2或a ≤－1，
所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
1. 求二次函数在给定区间上的值域时，要注意对称轴和给定区间的位置关系，必要时进行讨论．
2. 抓住三个二次的核心，运用二次函数的图象和性质解决有关二次型问题．
3. 你还有哪些体悟，写下来：。