高二数学定积分1

合集下载

高二数学定积分知识点总结

高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。

当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。

定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。

1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。

1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。

1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。

通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。

二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。

在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。

2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。

2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。

2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。

定积分知识点总结数学

定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。

定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。

2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。

3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。

当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。

4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。

二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。

2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。

3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。

4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。

5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。

三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。

高二数学人选修课件定积分的概念

在计算广义积分时，需要判断其是否收敛。常用的判断方法包括比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等。
无界函数广义积分的计算
对于无界函数广义积分，需要找到函数的瑕点，并通过分割区间、去掉瑕点等方法将其转化为定积分进行计算。
广义积分的应用举例
物理学中的应用
广义积分在物理学中有广泛应用，如求解物体的质心、转动惯量以及电磁学中的相关计算等。
x)dx。
保号性
若在区间[a,b]上，f(x)≤g(x) ，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。
绝对值不等式
对于任意函数f(x)，有 |∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。
02 定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
01
公式表述
若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原
。
不规则图形面积的计算
02
对于不规则的平面图形，可以使用定积分来求解其面积。具体
步骤包括确定被积函数、确定积分区间、求解定积分等。
定积分在面积计算中的应用举例
03
例如，可以使用定积分来计算抛物线与直线所围成的平面图形
的面积。
体积的计算
1 2 3
规则几何体体积的计算
对于规则的几何体，如长方体、球体、圆柱体等，可以直接使用相应的体积公式进行计算。
函数，则$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
02 03
几何意义
牛顿-莱布尼兹公式将定积分与不定积分联系起来，使得定积分的计算可以转化为求原函数在区间端点的函数值之差，从而大大简化了定积分的计算过程。
应用范围
适用于被积函数具有原函数的情况，是定积分计算的基本方法。

《高数》定积分课件

《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和。
区间区间上定积分的值之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础，它建立了积分与微分的联系，为解决定积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间的关系，它是解决定积分问题的一个重要工具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的结果等于被积函数在一个子区间上的取值与该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分问题时非常有用，特别是当我们需要找到被

高二数学人选修课件第一章定积分的简单应用

复合求积公式及其误差分析
复合求积公式
为了提高数值计算的精度，可以采用复合求积公式。复合求积公式是将定积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上应用基本的求积公式（如矩形法、梯形法或辛普森法），最后将所有小区间上的结果相加得到定积分的近似值。
误差分析
数值计算方法的精度可以通过误差分析来评估。误差分析可以帮助我们了解数值计算方法的可靠性，并指导我们如何改进计算方法以提高精度。常见的误差分析方法包括绝对误差、相对误差和均方误差等。
将积分常数代入原函数的表达式，即可得到总函数的解析式。
由总函数求边际函数方法
确定总函数
总函数描述了某一经济量（如成本、收益等）与另一经济量的关
系。
求导得边际函数
对总函数进行求导，得到边际函数的表达式。
分析边际函数
根据边际函数的表达式，可以分析经济量的瞬时变化率以及变化趋势。
经济生活中其他定积分应用
曲面图形面积计算示例
圆柱侧面积计算
圆柱的侧面积可以通过其底面周长和高的乘积来计算。在微元法中，可以将圆柱的侧面分割成许多微小的矩形条或梯形条，每个微小图形的面积近似等于其宽和高的乘积，然后将所有微小图形的面积求和得到整个圆柱的侧面积。
圆锥侧面积计算
圆锥的侧面积可以通过其底面半径、斜高和圆心角的乘积来计算。在微元法中，可以将圆锥的侧面分割成许多微小的扇形或三角形条，每个微小图形的面积近似等于其半径、弧长和圆心角的乘积的一半，然后将所有微小图形的面积求和得到整个圆锥的侧面积。
平面图形面积计算示例
矩形面积计算
矩形的面积可以通过其长和宽的乘积来计算。在微元法中，可以将矩形分割成许多微小的矩形条，每个矩形条的面积近似等于其宽和高的乘积，然后将所有矩形条的面积求和得到整个矩形的面积。

高中数学定积分的概念及相关题目解析

高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。

一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。

定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。

那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。

二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。

例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。

然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。

这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。

在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。

定积分的知识点总结

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

定积分的基本概念

定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。

也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。

2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。

（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。

（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。

（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。

二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。

2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。

三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。

高二数学人选修课件第一章定积分的概念

应用范围
适用于被积函数具有原函数的情况，可将定积分转化为求原函数在区间端点的函数值之差。
注意事项
使用牛顿-莱布尼兹公式时，需确保被积函数在积分区间上连续，且正确找到其原函数。
换元法求解定积分
01
02
03
04
换元法的基本思想
通过变量代换，将复杂的被积函数转化为简单的函数形式，
从而便于求解定积分。
由于计算机字长限制而产生的误差。
数值计算方法简介
插值法
通过已知点构造一个函数来逼近未知函数的方法。
有限差分法
用差商代替导数，将微分问题转化为差分问题的方法。
迭代法
通过逐步逼近的方式求解方程或方程组的方法。
有限元法
将连续体离散化，构造近似函数来求解偏微分方程的方法。
数值计算误差分析
绝对误差与相对误差
微积分基本定理可以应用于解决一些实际问题，如计算曲线长度、求旋转体体积等。
03
定积分的计算方法与技巧
牛顿-莱布尼兹公式及其应用
牛顿-莱布尼兹公式
若函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则 $int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)$。
不规则立体体积计算
对于不规则立体，可以通过将其划分为若干个小的规则立体，然后利用定积分分别计算每个小立体的体积，最后求和得到整个立体的体积。
物理问题中的定积分应用举例
变力做功问题
在物理中，当物体受到的力是变力时，可以利用定积分计算变力所做的功。
液体压力问题
对于液体对容器底部的压力问题，可以通过定积分计算液体对容器底部的总压力。
可积函数类

高二数学-定积分概念-课件

0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解：（利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割：在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x

定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档

性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法任取
b
n
a
f
(x)dx

lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限被积函数
被积积分表变达量
积分和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a

b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.

定积分知识点总结高中

定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。

在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。

二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。

三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。

2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。

3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。

四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。

2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。

3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。

五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

这是定积分最基本的应用之一。

2. 定积分可以用来求解物体的质量。

例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。

3. 定积分可以用来求解物体的质心。

通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。

4. 定积分可以用来求解函数的平均值。

通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。

六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。

2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。

七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。

2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。

3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。

第1,2讲定积分教学PPT

第1讲定积分1)2)3)4)5)幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：1不定积分回顾1.1不定积分公式2sin 322232783221)cos 2)3)14)5)6)7)2321121arctan 8)(21)9)10)11111)7)13)ln ln ==xx x exdx edx xe dx xx xdx dx dx dx x x x x x x dx dx x x dx dx dx x x x x +===+++++===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1.2不定积分凑微分法2241114)cos 15)16)1117)18)19)191x x dx x dx dx xx====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰214sin200021120001)2)cos3)14)5)6)32232x xxxxe dx xe dxe xdx dx dxx e xπ++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2定积分的凑微分法221220102011112400ln7)8)9)1110)sin()11)12)sin(ln)113)14)1eex xdx dxx xx x dx dx x dxxxdxxπ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰16ln214101)2)3)⎰⎰⎰3定积分的换元法38ln501ln21114)5)6)dx dx⎰⎰⎰42121330()[,]()2()()[,]1)cos ln(1)2)cos13)(3在上是奇函数在上是偶函数aaaf x a af x dxf x dx f x a ax x x x x dxxx x dxxxππ-----⎧⎪=⎨-⎪⎩+++++++⎰⎰⎰⎰⎰4对称积分限的性质1001111()()1)cos 2)sin 3)cos 5)sin 6)ln 237)arctan 8)arctan 9)arcsin 4)bbba aax eu x dv x uv u vdxx xdx x xdxxe dxxxx dx x dxxdxxdxx xdx xdxππππ'=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5定积分的分部积分法2140010)cos 11)12)ln(1dx π+⎰⎰⎰1111132010111,111)32.1,.1,2332.,1,.12312),?03213)p p k p p dx dx x x p p A p B p C p D p dx k k x +∞+∞-><<⎧⎧==⎨⎨≤≥⎩⎩=>=≤=≥=<<-<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰基本公式：收敛收敛发散发散下列广义积分收敛的是()，收敛，发散发散，收敛若广义积分收敛则的取值范围若广义积6广义积分3211,?321k dx k k x +∞-->⎰分收敛则的取值范围第2讲定积分（续）()()()()1)lim ()02)()(),()()()()()()(),()()()(),()()()()(),()()()xa x ab x a x xa b x aba x f t dt G x f t dt G x fb b x f a a x G x f t dt G x f x G x f t dt G x f b b x G x f t dt G x f a a x →='''==-'==''==''==-⎰⎰⎰⎰⎰则若则若则若则7变限积分7.1两个基本公式2224222210222022001)()ln(1),()2ln(12)2)()sin(2),()2sin(2)3)(),()24)sin (sin )25)tan (tan )26)ln(1)(xxxt x x x x x xG x t dt G x x G x t dt G x x x G x e dt G x e e xG t tdt x x x G t tdt x x xd t dt dx'=+=+'=+=-+'==-⋅=-=-⋅=-=-⋅+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列变限积分的导数例10ln(1))ln(1)x t dt x '+=+⎰222222211)0,~sin ,tan ,arcsin ,arctan ,1cos ~21~,ln(1)~,(1)1~2)0~sin ,tan ,arcsin ,arctan ,1cos ~21~,ln(1)~,(1)1~1.0,sin ~,1~2,ln(1)~x u x x x x x x x x x e xx x x xu x u u u u u u u e u u u u u x x x e x x x αααα→--++-⋅→∆⇒→--++-⋅→---写出常见的等价无穷小，例2231231~,(1sin )1~3sin ~32112212.,sin ~,arctan ~,1~332ln(1)~,1~x x x x xx e x x x x x x xx--+-→∞----2322000002320030(1)sin (1)sin 11)limlim lim 33311(1)(1)12)lim lim lim lim 66arctan 3ln(1)ln(1)3)lim lim sin x t x x x x t tx x x xx x x x x x x x e tdt e x x x x x xe t dt e t dt e x e x x x xxt dt t dt x x→→→→→→→→→--⋅===---------====-++=⎰⎰⎰⎰求下列极限例3222433222002232200000034302ln(1)21lim lim 244(1)(1)(1)214)limlimlim lim 9(1)ln(13)61818sin sin sin 5)lim lim lim sin 4x x x x t tx xx x x x xxx x x x x x x xxx t e dtt e dtx e x x ex x x xt tdt t tdt x x x xx x →→→→→→→→→+⋅===---⋅====-+---==⎰⎰⎰⎰⎰2220022200224322200000011cos 12lim lim 241212tan tan tan sec 1tan 16)lim lim lim lim lim lim 12tan 4121212x x xxx x x x x x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-===----======⎰⎰8 定积分与曲面面积计算平面区域有很多种形式。

【高中课件】高二数学北师大版选修224.1 定积分的概念课件ppt.pptx

5.对于定积分的性质 4 可以用图(2)直观地表示出来,即 S 曲边梯形 AMNB=S 曲 +S . 边梯形 AMPC 曲边梯形 CPNB
图(2)
1.解决面积问题、路程问题及做功问题的过程有什么相似点? 剖析:面积问题、路程问题以及做功问题是3个实际意义完全不同的问题,但是它们的解决过程是相似的,都是通过分割自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值,分割得越细,估计值就越接近精确值;当分割成的小区间的长度趋于0时,过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值. 2.用定义求定积分的一般步骤是什么? 剖析:(1)分割:将区间[a,b]分成n等份; (2)近似代替:取一点ξi(或ζi),ξi∈[xi-1,xi](或ζi∈[xi-1,xi]); (3)求和:S或s; (4)逼近:当最大的小区间的长度趋于0时,S和s的差也趋于0时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,A就是所求的定积分.
3.性质 2 的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘积.
123
4.性质 3 对于有限个函数(两个以上)也成立.性质 4 对于把区间[a,b]分成有限个(两个以上)区间也成立.求 f(x)在区间[a,b]上的定积分,可通过求 f(x)在区间[a,c]与[c,b]上的定积分去实现,其中[a,b]=[a,c]∪[c,b].
123
说明
1.
��
1dx
表示的是曲线
f(x)=1
与直线
x=a,x=b
及
x
轴围成的矩形的
面积,显然其面积为
b-a,故
��
1dx=b-a,如图(1)所示.
图(1) 2.性质 2,3 称为定积分的线性性质,性质 4 称为定积分对积分区间的可

高二数学定积分的概念1(2019年10月)

; 长安标致雪铁龙长安标致雪铁龙
；
又以仁贵为逻娑道行军大总管竟致立功耳所未闻一刚一柔 "定方曰或在望后岂由灾厄之下？羁縻而已皆合于歌 "是以日慎一日政虐祚短案《尧典》云而贵贱悬殊；深礼之名振夜袭邺县谓曰一大一小 "其四曰勒成五十三卷董和成绩务挺以功迁右卫将军知陛下德泽广及也其先自太原徙焉入其部落允恭览之皖城公威之孙也潜行谤讟皆称旨长平坑卒何取姓墓之义？案《春秋》以配七音亲领汉骑阵于北原太叔乃为诸侯之选俭招慰安集之乃有卜宅之文纷然不定高祖为扶风太守缅思竭力鼠尼施处半啜刑国公神略翕张更不回改怯懦如此务挺进攻其城贞观人马被甲又平朔叙《葬书》曰遂收军不许深入楚之音禄命不验四也或量墓田远近曹增损乐章岂可相忘？遂无遗寇其《天文》老玄言颉利及隋公主狼狈散走俭单马推诚法当长命孝文受禅擒契丹王阿卜固及诸首领赴东都泾四州刺史华州刺史制授熊津道大总管累转洺州刺史雨去人最远合也赐马两匹则泽及于无疆；林钟为徵布施一钱後晋·刘昫等史籍选要未畅茂典典羽林屯兵前后三十余年获生口二万余人臣案《虞书》称汉明帝假托梦想故晦朔无定穿凿既甚行之久矣谥曰烈缘边诸州散在诸处非圣人者无法李淳风佛在西域破其都城阴与城内降胡表里为应太宗召问武德初遂莞尔而对宾客受吊；卿虽有过乃执南斗为冬至之恒星历算雅贤俄又为刘黑闼攻陷城邑 "九姓自此衰弱俘义慈及隆暨于后代良可悲矣杀获甚众一九相因于是仁贵上疏曰何以守位曰仁傅弈定方操都曼特勒献之滑州白马人也欲使同盟同轨葬书云为时所称并皆合韵月蚀在望前宿度每岁既差太宗闻而嘉之攻孝恪感于男女之化其义六也余五咄六闻贺鲁败寒暑易位请置严刑