二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程方程
二次函数与一元二次方程方程《深度探讨：二次函数与一元二次方程方程》一、引言在数学的世界里，二次函数与一元二次方程方程是非常重要的概念。
它们不仅在数学理论和实际问题中起着重要作用，还在生活中的方方面面有着广泛的应用。
本文将从深度和广度的角度对这两个概念进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，希望能够帮助读者更全面、深刻地理解这两个概念。
二、二次函数与一元二次方程方程的概念解析1. 二次函数的定义所谓二次函数，就是最高次项是二次项的函数。
一般来说，二次函数的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 一元二次方程方程的定义一元二次方程方程是指最高次项为二次项的方程。
一元二次方程方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
一元二次方程方程的求解是数学上重要的课题，它涉及到方程的根与系数之间的关系。
三、从简到繁：二次函数与一元二次方程方程的关系在深入探讨二次函数与一元二次方程方程的关系之前，我们先从简单的实例开始。
以y = x^2为例，这是一个简单的二次函数。
当我们令y=0时，就得到了一个一元二次方程方程x^2 = 0。
通过这个简单的实例，我们可以看到二次函数与一元二次方程方程之间的密切联系。
四、深入探讨：二次函数与一元二次方程方程的求解1. 二次函数的求解对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a不等于0，我们可以通过多种方法来求解。
一种常用的方法是配方法，即通过将二次项化成完全平方的形式，然后进行转换和求解。
2. 一元二次方程方程的求解对于一元二次方程方程ax^2 + bx + c = 0，其中a不等于0，我们可以利用求根公式或配方法来求解方程的根。
然后根据根的情况，可以进一步讨论一元二次方程方程解的情况。
五、总结与回顾：二次函数与一元二次方程方程的应用与意义二次函数与一元二次方程方程在数学上有着非常重要的应用与意义。
第二十二章二次函数与一元二次方程的关系
第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程【知识点梳理】1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点为(________________)。
2.抛物线与x轴的交点: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0 的_______________________。
3.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点____________；②有一个交点(顶点在轴上)_____________；③没有交点______________。
4.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为A(x1,0)、B(x2,0)，由于x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，故_____________________,AB=_______________________________________。
A.基础过关1. 抛物线y=x2+x-6的图象与x轴的交点坐标为（）。
A. 1个B. 2个C.3个D.4个2.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根的情况（）。
A. 有两个正根B. 有两个负根C. 有一正根一负根D.无法确定第2题图第7题图3.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴的交点的判断（）。
A.没有交点B. 只有一个交点，且它们位于y轴右侧C. 有两个交点，且它们位于y轴左侧 D有两个交点，且它们位于y轴右侧4.关于x的一元二次方程x2-x–n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x–n的顶点在（）。
A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两根是（）。
A. x1=1,x2=-1 B. x1=1,x2=2 C. x1=1,x2=0 D. x1=1,x2=36. 函数y=mx2+2x+1（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________________。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程【知识梳理】（一）二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)即：一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即：为顶点(2b a -，0)一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122bx x a ==-240b ac -=(3)抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴没有公共点一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△=b 2-4ac ＜0.（二）二次函数关系式的确定⑴设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．⑵设顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0).若已知条件是图象顶点及另一点，则设顶点式y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0).，将已知条件代人，求解并化为一般形式.：⑶设交点式（或两点式）：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).若已知条件是图象与x 轴的两个交点及另一点，则设交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).将已知条件代人，求解并化为一般形式.【考点剖析】考点一 二次函数与方程例1.小兰画了一个函数y=x 2+ax+b 的图象如图，则关于x 的方程x 2+ax+b=0的解是（ ）A ． 无解B ．x=1C ．x=-4D ．x=-1或x=4例2.已知抛物线y=x 2﹣4x +m ﹣1．（1）若抛物线与x 轴只有一个交点，求m 的值；（2）若抛物线与直线y=2x ﹣m 只有一个交点，求m 的值．例3.如图，二次函数y=x 2﹣6x+5的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 ．例3图 变1图【变式练习】1.已知二次函数y=－x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-m x x 的解为 。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程是高中数学的重要内容之一。
本文将从概念解释、性质讨论以及实际应用等方面来探讨二次函数与一元二次方程的相关知识。
一、二次函数的定义和性质二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了抛物线的开口方向及大小，a>0时抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；b决定了抛物线在x轴的位置，负责平移抛物线；c决定了抛物线与y轴的截距，负责上下平移。
二次函数的图象一定是一个抛物线，还可以根据抛物线的顶点、焦点等性质进行分类和推导。
例如，顶点坐标为（h，k），则对称轴方程为x = h；当a>0时，抛物线的最小值为k，焦点坐标为（h，k+p）；当a<0时，抛物线的最大值为k，焦点坐标为（h，k-p）。
二、一元二次方程的定义和性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数且a≠0。
一元二次方程在数学中具有广泛的应用，解一元二次方程的过程就是求解方程的根，即方程等式两边相等的值。
一元二次方程的解可以分为三种情况：①当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根；②当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根；③当b^2 - 4ac < 0时，方程无实数根，但有复数根。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。
对于任意给定的二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以用x代入函数中，得到一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，即将二次函数转化为一元二次方程。
反之，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求解方程的根，得到二次函数的图象的相关信息。
例如，根据二次函数的顶点和焦点的性质，可以通过一元二次方程的解来确定抛物线的开口方向、抛物线与x轴的交点等。
四、二次函数与一元二次方程的应用二次函数与一元二次方程在实际问题中有着广泛的应用。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中的重要概念，它们在图像、方程和解的求解等方面都有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及解题方法等内容，帮助读者加深对这两个概念的理解。
一、二次函数二次函数是一种具有一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定，a大于0时抛物线开口向上，a小于0时抛物线开口向下。
二次函数的图像经常出现在现实生活中，例如抛物线形状的溶液浓度曲线、物体自由落体的运动轨迹等。
我们可以通过求解二次函数的顶点、判别式来分析和确定二次函数的图像、零点等性质。
二、一元二次方程一元二次方程是指具有一般形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数且a不等于0。
一元二次方程中的解称为方程的根，根的个数可以通过求解方程的判别式来确定。
求解一元二次方程的一种常用方法是使用求根公式，即x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据判别式的值，我们可以判断方程有无实根、有一个实根还是两个实根，并进一步求解方程。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数和一元二次方程有着密切的联系。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过将f(x) = 0来构建对应的一元二次方程。
反过来，对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过将方程左边视为二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来研究方程的性质。
通过二次函数和一元二次方程之间的转化，我们可以运用二次函数的性质来解决一元二次方程的问题，例如求解方程的根、判断方程的解的情况等。
四、解题示例为了更好地理解二次函数和一元二次方程的应用，下面给出一些解题示例。
例1：已知一元二次方程x^2 -2x - 3 =0，求方程的解。
解：根据一元二次方程的求根公式，我们可以得出：x = (2 ± √((-2)^2 - 4×1×(-3))) / (2×1)= (2 ± √(4 + 12)) / 2= (2 ± √16) / 2= (2 ± 4) / 2= 3 或 -1因此，方程的解为x = 3或x = -1。
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、 不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等 式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等 式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的 解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )
二次函数与一元二次方程ppt课件
(3,0)
相应方程的根 x1=-2,x2=1
x1=x2=3
y x2 x 1
无交点 无实根
二次函数与一元二次方程的关系（2）
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
的三种情况与一元二次方程根的关系
y=ax2+bx+c 的图象与x轴
有两个交点 有一个交点 没有交点
已知函数 y ax2 bx c 的图象如图所示，那么 关于ax2 bx c 2 0 的方程的根的情况是（ D ）
A.无实数根
B.有两个相等实根
C.有两个异号实数根
D.有两个同号不等实数根
-3
随堂练习
A组
1.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿(0＿，＿－＿5)， 与xபைடு நூலகம்交于点 (5/2，0) (－1，0) .
3.二次函数图像
与x轴的位置关系有3种，分别是
，，
。
对应的一元二次方程的根的三种情况：
，
，
课后作业
【必做】课本47页，复习巩固1、2 【选做】实际生活中有哪些问题可 以用二次函数的知识解决？
老师寄语
ax2+bx+c = 0 的根
有b2 两– 4个ac根> 0 有b2 一– 4个ac根=（0两个相同的根） 没b2 有– 4根ac < 0
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则 __b_2_–_4_a_c_≥__0______ 。
△ = b2 – 4ac
y △＜0
△=0
△＞0
o
x
例题讲解
二次函数与一元二次方程和不等式的关系
二次函数与一元二次不等式的关系一、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax 2+bx +c =0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当y = 0时x 的情况,抛物线y=ax 2+bx+c 与轴交点的的个数和方程ax 2+bx +c =0的的个数有关。
(1)△＝b 2－4ac ＞0有个交点有实根;(2)△＝b 2－4ac ＝0有个交点有实根;（3）△＝b 2－4ac ＜0交点实根.练习：1、抛物线y =x 2-x -6与x 轴的交点坐标是___________,与y 轴的交点坐标是________;2、抛物线y =3x +2x +1与x 轴的交点个数是（）A 、1个；B 、2个；C 、没有；D 、无法确定3．如图，抛物线y =ax +bx +c (a >0)的对称轴是直线x =1，且经过点22y3P3–1O 1xP （3，0），则方程ax 2+bx +c =0(a >0)的根为：。
5．已知抛物线y =x 2-6x +a 的顶点在x 轴上，则a =；若抛物线与x 轴有两个交点，则a 的范围是；与x 轴最多只有一个交点，则a 的范围是 .26．已知抛物线y =x +px +q 与x 轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p =，q = .27．抛物线y =ax +bx +c (a ≠0)的图象全部在x 轴下方的条件是（）A ．a ＜0 b -4ac≤0 B ．a ＜0 b -4ac ＞022C ．a ＞0 b -4ac ＞0 D ．a ＜0 b -4ac ＜022二、二次函数与一元二次不等式的关系：一元二次不等式ax 2+bx +c >0就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)当函数y 的值0时的情况。
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax ＋bx ＋c ＝0的根为___________;(2)不等式ax ＋bx ＋c ＞0的解集为________;(3)不等式ax ＋bx ＋c ＜0的解集为________;2222、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，当y <0时，x 的取值范围是（）A ．-1<x <3B ．x >3C ．x <-1D ．x >3或x <-13.二次函数y=ax +bx +c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程ax 2+bx +c =0的两个根_________2（2）写出不等式ax +bx +c ＞0的解集_________2-1O 3xyx =1O 3x（3）若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围？4.解下列不等式（1）2x 2－x －1＞0；（2）2x 2－x －1< 0；(3)3＋2x －x 2≥0；(4)x 2＋3＞2x ；(5)－2x 2－5x ＋3＞0；25.已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a > 0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．116．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－，)，则a ＋b 的值是________．2311【解析】由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－，.23b 11－＝－＋a 23则211＝（－）×a 23⎧⎪a ＝－12，解得⎨⎪b ＝－2，⎩∴a ＋b ＝－14.⎧⎨⎩。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中常见的概念。
它们在数学中具有重要的地位和应用价值。
本文将探讨二次函数和一元二次方程的定义、特点、图像以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和特点二次函数是指一元二次方程的解所构成的函数。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a≠0。
根据一元二次方程的解的性质，二次函数的定义域为实数集R，而值域则取决于抛物线的开口方向和顶点高低。
当a>0时，抛物线开口向上，最值在顶点处取得；当a<0时，抛物线开口向下，最值为负无穷或正无穷。
二次函数的图像是一个抛物线，其对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))。
根据顶点坐标和对称性，可以进一步得到二次函数的对称轴方程和顶点形式方程。
二、一元二次方程的定义和特点一元二次方程是指未知数只有一个，其次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a≠0。
一元二次方程的解为x=（-b±√（b^2-4ac））/2a，根据根的性质可知，一元二次方程的解的个数和判别式的大小有关。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解；当判别式小于0时，方程无实数解。
一元二次方程在实际问题中有广泛的应用，如物体自由落体、抛体运动、二次函数的最值等等。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间存在紧密的联系。
一元二次方程的解对应于二次函数的零点，即二次函数与x轴的交点。
对于给定的二次函数y=ax^2+bx+c，可以通过求解一元二次方程ax^2+bx+c=0来确定二次函数的零点。
而解一元二次方程得到的解又可以构成一元二次函数的图象上的点。
具体而言，当一元二次方程有两个不相等的实数解时，也就是判别式大于0时，对应的二次函数与x轴有两个交点，即抛物线与x轴相交于两点；当一元二次方程有两个相等的实数解时，也就是判别式等于0时，对应的二次函数与x轴有一个交点，即抛物线与x轴相切于一个点；当一元二次方程无实数解时，也就是判别式小于0时，对应的二次函数与x轴没有交点，即抛物线不与x轴相交。
二次函数与一元二次方程关系知识点及练习
二次函数与一元二次方程关系知识点及练习一、二次函数与一元二次方程关系1、对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax 2+bx+c=0的根；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴的交点有三种情况（也即一元二次方程ax 2+bx+c=0根的情况）①抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴有两个交点（x 1，0）(x 2，0) <=>当△＞0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a ≠0）有两个不相等的实数根x 1，x 2，x 1,2=a ac b 24b -2-±； ②抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴有一个交点，恰好就是抛物线的顶点（-a 2b ，0）<=>当△=0时，方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根x 1=x 2= -a 2b ③抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴没有交点<=>当△＜0时，方程ax 2+bx+c=0没有实数根。
二、解读二次函数与一元二次方程关系1、二次函数与一元二次方程关系，其实就是一元二次方程的根和二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系；2、若一个二次函数的图象与x 轴总有交点，则其对应的一元二次方程的判别式△≥0.反之亦然；3、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴有两个交点A （x 1，0）B(x 2，0)，则抛物线的对称轴为直线x=2x 21x +，线段AB 的距离=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=，对称轴与x 轴的交点恰为线段AB 的中点。
4、推广：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线b kx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.三、二次函数与一元二次方程关系应用1、若已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的函数值m ，求自变量x 的值，就是解一元二次方程ax 2+bx+c=m ；反之亦然。
二次函数与一元二次方程总结
二次函数与一元二次方程总结大家好！今天咱们聊聊二次函数和一元二次方程这些数学中的“老朋友”。
别看它们名字有点高大上，其实它们的用法特别普遍，咱们在生活中经常会见到它们的身影。
好啦，咱们一步步来搞清楚这些概念。
1. 二次函数的基本概念1.1 什么是二次函数？二次函数嘛，顾名思义，就是一个函数的表达式里有二次项。
它的标准形式是这样的：[ y = ax^2 + bx + c ]。
其中 (a)、(b) 和 (c) 是常数，(a) 不能等于零。
哎呀，这个公式就像是咱们的菜谱，不同的材料（常数）会做出不同的菜品（函数图像）。
最常见的就是那种抛物线的形状，有点像笑脸或者哭脸，这就跟你放手放球，它的轨迹差不多。
1.2 二次函数的图像二次函数的图像一般是个抛物线。
这个抛物线要么开口向上，要么开口向下，这主要看 (a) 的符号。
如果 (a) 是正数，抛物线就像微笑的弯弯嘴唇；如果 (a) 是负数，那就是皱着眉头的“哭泣”形状。
图像的顶点，就是抛物线的最高点或者最低点，它的坐标可以通过公式算出来，哎，这就像是找到了地图上的“宝藏”点。
2. 一元二次方程2.1 什么是一元二次方程？说到一元二次方程，其实就是你用(x) 来表示的二次方程。
它的标准形式是这样的：[ ax^2 + bx + c = 0 ]。
这方程就像个“谜题”，你要找到那个让它等于零的 (x) 值。
哎，这个谜题有时候有两个解，有时候一个解，还有时候没有解，这取决于 (a)、(b) 和 (c)的具体值。
2.2 解方程的方法解这个一元二次方程，可以用几个方法。
最经典的就是求根公式啦。
公式是这样的：[ x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a} ]。
这个公式就像是你的“秘密武器”，能够快速帮你找到 (x) 的值。
不过，记住“根”的判别式 (b^2 4ac)，它决定了方程的解的数量。
如果它大于零，就有两个不同的解；等于零的话，只有一个解；小于零，就没有实数解。
二次函数与1元二次方程
二次函数与1元二次方程二次函数与一元二次方程一、二次函数的概念1. 定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
二、二次函数的图象1. 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如y=x^2，a = 1>0，其图象开口向上；y=-x^2，a=- 1<0，其图象开口向下。
2. 对称轴与顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0），其对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如对于二次函数y = 2x^2-4x + 1，a = 2，b=-4，c = 1。
对称轴为x =-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×1-(-4)^2}{4×2}=(8 - 16)/(8)=-1，顶点坐标为(1,-1)。
三、一元二次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0（a，b，c是常数，a≠0）。
例如x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3。
四、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数y = ax^2+bx + c与一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）的联系- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0的解就是二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交点的横坐标。
- 当b^2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数（a ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于二次项系数 a 的正负。
二次函数的主要性质包括：1. 零点：即函数图像与 x 轴的交点。
二次函数的零点可以通过求解一元二次方程得到。
2. 对称轴：二次函数图像的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，它通过抛物线的顶点。
3. 最值点：当二次项系数 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点为最小值点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点为最大值点。
4. 单调性：当二次项系数 a > 0 时，二次函数在对称轴两侧递增；当 a < 0 时，二次函数在对称轴两侧递减。
二、一元二次方程的定义和解法一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知系数，x 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程可以因式分解为 (px + q)(rx + s) = 0 时，其中 p、q、r、s 是已知系数，x 是未知数。
根据因式零乘法，方程的解为 x = -q/p或 x = -s/r。
2. 配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，可以使用配方法将方程转化为完全平方形式，进而求解方程。
配方法的步骤包括：将一元二次方程写成 a(x + b)^2 + c = 0 的形式，其中 a、b、c 是已知系数，x 是未知数。
通过配方、整理和解方程的步骤，可以求得方程的解。
3. 求根公式法：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数，x是未知数。
一元二次方程与二次函数的知识点汇总
一、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：y=ax ²+bx+c （a ≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（或有实数根）（5）求根公式（6）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程ax ²+bx+c=0的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 （7）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x二、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）；5、检验6、作答；三、一次函数直线位置与k ，b 的关系：K 决定图像趋势（1）k ＞0直线上升趋势，y 随x 的增大而增大——撇（2）k ＜0直线下降趋势，y 随x 的增大而减小——捺b 决定与y 轴的交点（3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方；（4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；四、抛物线位置与a ，b ，c 的关系：（1）a 决定抛物线的开口方向（a ＞0向上，a ＜0向下），a 决定抛物线的开口大小、a 的绝对值相等，函数图像的形状相同。
（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置： c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。
对称轴在y 轴右侧；（左同右异）五、用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：y=ax ²+bx+c.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. ②顶点式：y=a （x-h ）²-k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
初中数学二次函数与一元二次方程
初中数学二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是初中数学中重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的概念、解法及其应用。
一、二次函数二次函数是指函数的最高次项为2的函数。
二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，可以向上开口（a>0）或向下开口（a<0）。
通过二次函数的图像可以分析它的性质，如顶点、对称轴和开口方向等。
1. 求解二次函数的顶点和对称轴对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，顶点坐标可用以下公式求解：x = -b / (2a)y = -Δ / (4a)其中，-b / (2a)为顶点的横坐标，-Δ / (4a)为顶点的纵坐标，Δ为判别式，Δ = b^2 - 4ac。
对称轴是二次函数的图像关于顶点对称的直线，其方程为x = -b / (2a)。
2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数的解，又称为函数的根。
即找出满足函数值为0的x的取值。
对于二次函数y = ax^2 + bx + c，求解零点的一般步骤如下：1) 将函数化为标准形式，即去括号、合并同类项；2) 将方程两边移项，使方程等号右边为0；3) 利用因式分解、配方法、求根公式或完全平方式等方法，得到方程的根。
3. 二次函数的两个性质（1）当抛物线开口朝上时，a>0，图像在顶点处取得最小值；（2）当抛物线开口朝下时，a<0，图像在顶点处取得最大值。
二、一元二次方程一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为已知常数，且a≠0。
求解一元二次方程的步骤如下：1) 对方程两边进行整理，使方程化为标准形式；2) 判断方程是否可以因式分解；3) 如果可以因式分解，化为两个一次方程，分别求解；4) 如果不可以因式分解，可以使用求根公式来求解一元二次方程的根：x1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)其中，Δ = b^2 - 4ac为判别式。
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复习1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.②③④2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；②b-2a=0；③；④．其中正确的是( )A.③B.②③C.③④D.①②4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②2a+b=0；③；④．其中正确的有( )个个个个5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x轴的一个交点A在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；②；③c-a=2；④方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )个个个个6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②④D.①②③④二次函数与一元二次方程（讲义）课前预习1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．如：已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则一次函数y =3x -3与332y x =-+的交点P 的坐标是________．请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，即方程组20y ax bx cy ⎧=++⎨=⎩的解中x 的值.2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：（1）如图所示，函数y 1=|x |和21433y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜-1B ．-1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜-1或x ＞2(2，2)(-1，1)y 2y 1yx O21yxO BA（2）如图，函数11k y x=与22y k x =的图象相交于点A (1，2)和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＞1 B ．-1＜x ＜0C ．-1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜-1或0＜x ＜1知识点___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． 1. 方程的根是对应的两个____________交点的___________．特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．2. 函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为方程问题解决．精讲精练1. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-（1）一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为______________． 当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________． 当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________． （2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________． 当___________时，一次函数值大于二次函数值． （3）该二次函数的表达式为__________________．-3-1CBO y Ax31求两个函数的交点坐标就是求对应方程组的解．2. （1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________． （2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________， 不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为___________． 3. 已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．4. 若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________．5. 如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数ky x=-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程20kax bx x++=的解为________；若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．6. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程5ax bx c ++=-的解为_____________．7. 设一元二次方程(1)(2)x x m --=（0m >）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β满足（ ）A ．12αβ<<<B ．12αβ<<<C ．12αβ<<<D ．1α<且2>β8. 已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．9. 若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12x x ，，且12x x ≠，有下列结论：①1223x x ==，；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)．其中正确的是__________．10. 已知抛物线y =x 2-(4m +1)x +2m -1与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点(0，12-)的下方，那么m 的取值范围是__________． 11. 已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程x 2-bx -c =0在-3＜x ＜2的范围内有解，则c 的取值范围是（ ）A ．c ≥-1B ．-1≤c ＜3C ．3＜c ＜8D ．-1≤c ＜812. 函数2y x x m =-+（0m >）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ）A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m =13. 已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为y 1，y 2，则y 1_____0，y 2_____0．（选填“＞”“＜”）14. 已知二次函数2y x bx c =++，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是_______________．随堂测试1. 如图，抛物线y =x 2+1与双曲线ky x=的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式210kx x++<的解集是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜-2C ．0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0 2. 已知二次函数y =x 2-4x +a ，下列说法错误的是（ ）A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a ≤4C ．当a =3时，不等式x 2-4x +a ＜0的解集是1＜x ＜3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a =33. 已知二次函数y =-(x -m )(x -n )-2（m ＜n ）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且x 1＜x 2，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为___________________．作业1. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示，当0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．13x -<<B ．1x <-C ．3x >D ．1x <-或3x >第1题图 第2题图2. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，若20ax bx c k +++=（k ≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．3k <-B ．3k >-C ．3k <D ．3k >3. 抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A ．14<<-xB ．13<<-xC ．4x <-或1>xD ．3-<x 或1>xy x3-11O-33214321-2-1-1O -2xy第3题图 第4题图4. 函数222y x x =--的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） A ．13x -≤≤B ．31<<-xC ．13x x <->或D ．1x -≤或3x ≥5. 如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．15x x <->且D ．15x x <->或2yxO 5yxOA第5题图 第6题图6. 如图，若抛物线21y x =+与双曲线k y x=的交点A 的横坐标为1，则关于x 的不等式210k x x ++<的解集是（ ） A ．1x >B ．1x <-C ．01x <<D ．10x -<<7. 坐标平面上，若平移二次函数y =2(x175)(x176)6的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（ ） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位 C ．向上平移6个单位D ．向下平移6个单位8. 设一元二次方程(1)(3)x x k --=（0k <）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；(1)(3)x x k --<的解集为_____________．9. 若二次函数的图象2(2)y m x x =-+与直线21y x =-没有交点，求m 的取值范围．10. 已知P (-3，m )和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线221y x bx =++的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．11. 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则C 1的顶点坐标为__________．12. 若关于x 的一元二次方程20x x n --=无实数根，则函数n x x y --=2的图象顶点在第______象限．13. 抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：①一元二次方程20ax bx c ++=的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)； ③在对称轴右侧，y 随x 的增大而_________．（2）确定抛物线2y ax bx c =++的解析式，并求出该函数的最值．。