第3章 矩阵及其运算

第3章 矩阵及其运算3.1 基本要求、重点难点基本要求：1．1．掌握矩阵的定义.2．2．掌握矩阵的运算法则.3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法.4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法.5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵.6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法.重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等变换及线性方程组的解.难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法.3.2 基本内容3.2.1 3.2.1 重要定义定义3.1 由n m ⨯个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211简记为A n m ij a ⨯=)(，或A )(ij a =,n m A ⨯,mn A注意行列式与矩阵的区别：（1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表.（2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相同.（3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素.（4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等.（5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1无意义.n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在运算中可看做一个数.对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵，又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0⨯，或简记为0.行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵.设有矩阵A =n m ij a ⨯)(，则A -n m ij a ⨯-=)(称为A 的负矩阵.若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记为||A 或A Det .将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '.若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A为反对称矩阵.若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩阵为复矩阵，若A =n m ij a ⨯)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ⨯)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ⨯=)(.定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B .对于方阵A n m ij a ⨯=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵*A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n n n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置.定义3.3 设有矩阵A ，如果：（1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.（2） （2）A 中任意1+r 阶子式（如果有的话）全为零，则称D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记为R )(A .定义3.4 初等变换与初等方阵：（1） （1） 初等变换：变换矩阵的某两行（记为j i r r ↔）；把非零数k 乘以矩阵的某行的所有元素（记为0,≠k kr j ）；把矩阵的第i 行的h 倍加到第j 行上（记为i j hr r +）.以上为矩阵的三种类型的初等行变换，同样可以定义矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换、初等列变换统称为矩阵的初等变换.矩阵的初等行（列）变换皆可逆，且为同种类型的初等变换.例如：变换j i r r ↔的逆是其自身，变换j kr 的逆变换为i r k 1变换i j hr r +的逆变换为i j r h r )(-+.初等变换的性质：若矩阵A 经有限次初等行（列）变换为B ，则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价.若矩阵A 经有限次初等行（列）变换为B ，则A 的任意k 个列（行）向量与B 中对应的k 个列（行）向量有相同的线形相关性.（2） （2） 初等方阵：由单位矩阵经过一次初等变换而得的矩阵叫做初等矩阵，初等矩阵也叫初等方阵.初等方阵共分三种，它们是：E ()j i ,，E ()()k i ，E ()()i k j ,.它们与单位矩阵的关系是：E E j i r r −−→−↔()j i ,，或E E j i c c −−→−↔()j i ,， E E i kr −→−()[]k i ，或)],([k i E E i kc −→−()0≠k E E j i kr r −−→−+()[]i k j ,，或E E j i kc c −−→−+()[]i k j , 容易搞错的是第三组关系式，读者仔细些.初等矩阵皆可逆，且E()1,-j i =E ()j i ,，E ()[]1-k i =E 11-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛k i ，E ()[]i k j ,=E ()[]i k j ,-初等方阵的性质：若A 为可逆方阵，则存在有限个初等方阵t 21P ,,PP , ，使t 21,P ,,P P A =. n m ⨯矩阵A~B 等价的充要条件是存在m 阶可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q ，使B PAQ =.3.2.2 3.2.2 重要定理定理3.1 对矩阵施行一次初等行（列）变换相对于左（右）乘一个同类型的初等矩阵.例如：若B A j i r r −−→−↔，则E ()j i ,B A =；若B A j i c c −−→−↔，则AE ()j i ,=B ；若B A i j kc c −−−→−↔，则AE ()()[]i k j ,=B ；等等.定理3.2 方阵A 可逆的充分必要条件是：（1）0||≠A ，且*A |A|1A 1=-. （2）A 可以表示成一些初等矩阵的乘积.若方阵A 可逆，则A 的逆阵唯一，可逆阵也叫做非奇异矩阵或称为满秩矩阵，否则称为奇异矩阵或降秩矩阵，非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异的，奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异的.n 阶方阵A 的秩R n A =)(的充要条件是：0||≠A ，即A 可逆.任一可逆矩阵只用初等行（列）变换可化为单位矩阵.定理3.3 对矩阵施以初等变换，不改变矩阵的秩.若矩阵A 经有限次初等变换为B ，则称A 与B 等价，记为A~B .若A~B ，则R ()A =R ()B 对任何n m ⨯矩阵A ，可通过初等变换成阶梯形矩阵，进一步可化成行最简形矩阵，再通过初等列变换可化成一个即是行最简形又是列最简形的矩阵，即所谓的标准形，设矩阵A 的秩R r A =)(，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000~r E A ，其中r E 是r 阶单位矩阵.定理3.4 （线性方程组有解的判定定理）（1）（1） 非奇次线形方程组b x A =⨯n m 有解的充要条件是R ()A =R ()A ，当R ()A =R ()A n <时，方程组有无穷多解；当是R ()A =R ()A n =时，方程组有惟一解；当R ()A ≠R ()A 时，方程组无解.（A 为系数矩阵，~A 为增广矩阵.）（2） （2） 齐次线形方程组0x A =⨯n m 一定有零解；如果R ()A n =，则只有零解，它有非零解的充分必要条件是R ()A n <.3.2.3 3.2.3 主要运算1．1．矩阵的运算法则：（1） （1） 加法法则：A B B A +=+（加法满足交换律）；C B)(A C)(B A ++=++（加法满足结合律）；0A)(A =-+；A 0A =+；若C B A =+，则B C A -=（移项法则）.以上运算法则说明了矩阵相加、减的运算有类似于初等代数中相加、减的运算法则，矩阵相加、减是不难掌握的，只有注意矩阵间是否可以相加、减就可以了.（2） （2） 数乘矩阵的运算法则：A AB A B A A A A A A )()(,)(,)(,1λμμλλλλμλμλ=+=++=+=，其中μλ,表示数，A 、B 表示同型矩阵.注意：0=A λ，则0=λ或0A =；或0=λ且0A =，换句话说：若A λ是零矩阵，则数λ是0，矩阵A 是零矩阵至少有一个成立.（3） （3） 矩阵相乘的运算法则：CA BA C)A AC,(B AB C)A(B ++++=+（矩阵乘法对加法满足分配律）；(AB)C A(BC)=（矩阵乘法满足结合律）；)()()(AB B A B A λλλ==，（乘法满足数因子的结合律）.说明：1） 1） 左边矩阵A 的列数必须与右边矩阵B 的行数相等才能相乘.矩阵乘法不满足交换律，也就是说BA AB =不一定成立，若BA AB =成立的话，则称A ，B 可交换.2） 2） 显然有n m n m n m n m m ,⨯⨯⨯⨯==A E A A A E n ，当A 是方阵时，有n n n n n n n n ⨯⨯⨯==A E A A E .这就是说单位矩阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在数的乘法中的作用.要注意：2)B (A 2B AB -=-是错误的，正确的写法应是2E)B (A 2B AB -=-，同样可知E)C A(B AC ABC -=-.3） 3） 按矩阵乘法的定义，只有方阵才能自乘，故若A 是n 阶方阵，定义：k A A A AA A (,k 1k ==+2是整数）当μλ,,0||≠A 为整数时有λμμλμλμλA A A A A ==+)(,由于矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n 阶矩阵A 与B ，一般来说k k k )(B A AB ≠.4） 4） 伴随矩阵的运算法则：***1**1****)(,)()(,)()(,||A B AB A A A A E A A A AA =='='==--5） 5） 方阵行列式的运算法则：|||||,||||||,|||A A B A AB A A n T λλ=== 其中A 、B 市同阶矩阵，λ是任一数，n 是A 的阶数.6） 6） 转置矩阵的运算法则：λλλ()(,)(T T T T T A A B A B A =+=+是任一数），A A A B AB T T T T T ==)(,)(.7）7） 逆矩阵的运算法则： 111)(---=A B AB ；若A ,0≠λ可逆，则T T A A A A )()(;1)(1111----==λλ. 8） 8） 共轭矩阵的运算法则：k A k kA A A (,==是任一数），T T A A B A AB B A B A ==+=+)(,,.2．2．分块矩阵的运算:(1) (1) 将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块，以这些小块为元素的矩阵称为分块矩阵.(2) (2) 分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则，只是进行运算的矩阵的分块要恰当.(3) (3) 分块对角方阵.若方阵A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零方阵子快),,2,1(s i A i =，而其他子快都是零，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s A A A A 0021 则A 称为分块对角方阵，分块对角方阵A 的行列式||||||||21s A A A A =.3.2.4 3.2.4 重要方法本章研讨的是矩阵运算，因此凡矩阵定义、矩阵运算的定义、矩阵运算法则等等，都是重要的，应很好地掌握，只是有些较容易掌握，可少花时间和精力；有些较困难，应认真对待，多做练习，多思考，仔细钻研范例，注意每一个特殊点.1． 1． 矩阵的运算方法：（1） （1） 以矩阵乘法为纲.矩阵运算有些是较简单的，如矩阵的线性运算、转置等，而矩阵相乘就较困难了，可以这样说，有关矩阵乘法的运算掌握好了，其他的矩阵运算也就不在话下.因此对初学者来说，遇到矩阵乘法，就应该多留心.（2） （2） 边学习，边积累，逐步提高.这一章有很多定义（要重视定义！）、很多运算，每种运算又有若干条运算法则，一开始掌握不了那么多，应该学一点积累一点，直到全部掌握.例如：已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321,2021B A ，计算行列式|)3(|21B A -. 如果先算出A 3，再算出1)3(-A 及2B ，算出矩阵乘积21)3(B A -，最后计算行列式；这样比较麻烦，而且易错，如果利用方阵则行列式的性质就简单多了.因2||,181)3(|,18||3|3|,2||12-=====-B A A A A ，所以|)3(|21B A -92|||)3(|21==-B A .2． 2． 化矩阵为行阶梯矩阵、行最简矩阵以及标准行的方法：一定要能熟练地用初等行变换化一个矩阵成为阶梯矩阵（或行最简行）矩阵，因为求逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组等都要用到这样的方法.3． 3． 求逆矩阵的方法：（1） （1） 用定义求. 用存在方阵B ，使E BA AB ==，则1-=A B .此法要求对矩阵乘法比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可直观看出满足条件的B（只要验证E AB =或E BA =一个即可）.（2） （2） 用*1||1A A A =-，其中*A 是A 的伴随矩阵.要注意2阶矩阵求伴随矩阵的口诀：“主换位，副变号.”例如，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-a c b d A A A A ||||*111.（3） （3） 初等变换法. 因为),(),(11--=A E E A A ,所以把)(E A 同时做初等行变换，当A 处变为E 时，E 处得1-A ，即)()(1-−−→−A E E A 初等行，同理⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1A E E A 初等列.（4） （4） 分块矩阵求逆.对于分块对角阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s A A A A 0021 ，若i A s),,,(i 21=的逆1-i A 都存在，则1-A 也存在，且有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11211100s A A A A .若方阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0021s B B B B且),,2,1(s i B i =的逆1-i B 都存在，则B 的逆1-B 也存在，且有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----0011111B B B B `s s 4． 4． 求矩阵秩的方法：（1） （1） 初等变换法：因矩阵经初等变换后，其秩不变，故可用初等变换求其秩.用初等变换求矩阵的秩，即可以用初等行变换，也可以用初等列变换，也可以交替进行，把A 化成一个容易求秩甚至一看就知道其秩的矩阵，一般化为行阶矩阵.若阶梯矩阵行矩阵有r 个非零行，用这种方法求矩阵的秩，不需要计算行列式.（2） （2） 计算子式法：根据矩阵A 的秩的定义，要求A 的秩，只需求出A 的不等于零的子式的最高阶数即可.常由低阶到高阶计算不为零的子式的最高阶数.（3） （3） 关于矩阵秩的几个公式;1) 1) 设A 为n m ⨯矩阵B 为q n ⨯矩阵，则R )(A +R ()B -n ≤()(){}B A R ,R min2) 2) 设A,B 均为n m ⨯矩阵，则)B R()A R()B A R(+≤+.3) 3) 设n m A ⨯、q n B ⨯，且0=AB ，且n )R()R(≤+B A .5． 5． 关于解矩阵方程的方法：形如 B AX = （3.1）B XA =（3.2）B AXC = （3.3）的等式（其中X 为未知矩阵，A 、C 可逆）称为矩阵方程.对于（3.1），用初等变换)()(1B A B B A -−−→− 初等行，可得方程的解B A X 1-=.对于（3.2），用初等列变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1BA B B A 初等列，可得方程的解1-=BA X ，或将方程转置变为T T T B X A =，利用（3.1）的方法可求其解.结合（3.1）和（3.2）的方法可求得（3.3）的解11--=BC A X .6． 6． 高斯消元法解线性方程组：本章最后由消元法解线性方程组得到了线性方程组有解的判定定理，要掌握利用初等变换求齐次线性方程组和非齐次线性方程组通解的方法.。