第二章 谓词逻辑
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第二章 谓词逻辑
同理可证, x(A(x)⋁B(x)) x A(x)⋁x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 21
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
(5)量词分配的蕴含关系
Predicate Logic 谓词逻辑
x A(x) ⋁ x B(x)x(A(x)⋁B(x))
x(A(x)⋀B(x))x A(x) ⋀ x B(x)
4/16/2014 5:10 PM chapter2 13
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例4】 将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题：
(1)所有的病人都相信医生。
(2)有的病人相信所有的医生。 (3)有的病人相信某些医生。 (4)所有的病人都相信某些医生。 解: 设F(x)：x是病人，G(y)：y是医生，H(x，y)：x相信y。
4/16/2014 5:10 PM chapter2 19
2.2 谓词公式中的等价与蕴含
Predicate Logic 谓词逻辑
x(A(x)→B) x A(x) → B 不成立(×)
x(A(x)→B) x(┒A(x)⋁B)
x ┒A(x)⋁B ┒x A(x)⋁B x A(x) → B 同理, x(A(x)→B) x A(x) → B
2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
全总个体域
全总个体域
要死的
人
活一百岁以上
人
4/16/2014 5:10 PM
chapter2
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2.1 谓词及相关的概念
Predicate Logic 谓词逻辑
【例2】将下列命题形式化为谓词逻辑中的命题 (a) 没有不犯错误的人。
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
左孝凌离散数学课件第02章谓词逻辑
15
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propositional functions & Quantifiers)
例如: H(x,y)∧H(y ,z)H(x,z)
若H(x,y)解释为: x大于y,当x,y,z都在实数中取值时,则这个 式子表示“若x大于y 且y 大于z，则x大于z” 。这是一个永 真式。
其中(1)、(2)、 (3)为一元谓词， (4) 、 (6)为二元谓词，
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
注: (1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后 填上客体所得到的式子称之为谓词填式。 (2)在谓词填式中，若客体确定，则A(a1， a2...an)就变成了命题 (3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的先 后次序与事先约定有关,一般不可以随意交换 位置(如,上例中H(s,t) 与H(t, s)代表两个不同 的命题) 。
离散数学(Discrete Mathematics)
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1谓词的概念与表示 2.2命题函数与量词 2.3谓词公式与翻译 2.4变元的约束 2.5谓词演算的等价式与蕴含式 2.6前束范式 2.7谓词演算的推理理论
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
17
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.2命题函数与量词(Propoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱitional functions & Quantifiers)
2.2.2 量词(Quantifiers)
第二章 谓词逻辑
例6 设个体域是人类，
每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。 用L(x,y)表示“x爱y” 它可译为 x yL(y,x) ∧┐y x L(x,y)
例7 每人都有自己喜欢的水果，有人喜欢所有的水果。 F(x)：x是水果 M(x):x是人 L(x,y):x喜欢y x(M(x)→y (F(y)∧L(x,y)))∧x(M(x)∧y(F(y)→L(x,y)))
F(x,y)x摆满了y。 R(x)x是大红书柜。 Q(y)y是古书。
a这只 b那些 R(a)Q(b)F(a,b)
例5 所有运动员都钦佩一些教练员。
设：S（x）：x是运动员； J（x）：x是教练员； L（x,y）：x钦佩y。 谓词符号化为： (x)(S(x)→(y)(J(y)∧L(x,y)))
A(x)中的约束出现；约束出现的变元称为约束变元； A(x)中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由 出现，自由出现的变元成为自由变元。
例1(x)(A(x)(y)Q(x,y)) 解：由x后的（），x是指导变元，x的辖域是 后面整个式子，y是指导变元，辖域仅Q（x，y） 此部分。x两次出现均是约束出现，y的一次出现 是约束出现，故x，y是约束变元，而不是自由变 元。 例2(x)F(x)G(x,y) 解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第一次 出现是约束出现，第二次出现是自由出现，y的出 现是自由出现。所以第一个x是约束变元，第二个x 是自由变元，本质上这两个x的含义是不同的；而y 仅是自由变元。
关于特性谓词的说明
M(x):x是人 B(x):x勇敢 D(x):x是要死的 x (M(x)∧B(x))（有人勇敢) x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 对全总个体域而言，“有人勇敢”即“有个体不仅 是人而且勇敢”，M(x)与B(x)合取是当然的； 而“所有的人都是要死的”则是指“全总域中是人 的那部分个体都是要死的”，即“是人则要死” 因而M(x)与D(x)是条件关系。
人工智能导论-第2章 逻辑推理2 - 谓词逻辑
设 是包含变元的公式，是不包含变元的谓词公式，则如下逻辑等价关系成立：
(∀)( ∨ ) ≡ (∀) ∨
(∀)( ∧ ) ≡ (∀) ∧
(∃)( ∨ ) ≡ (∃) ∨
(∃)( ∧ ) ≡ (∃) ∧
谓词逻辑
量词的约束，因此是约束变元；Crown是一个常量符号，表示皇冠； ()是一个一元
谓词，表示是国王，_(Crown, )是一个二元谓词，表示头戴皇冠。
谓词逻辑
定理 2.4 当公式中存在多个量词时，若多个量词都是全称量词或者都是存在量词，
则量词的位置可以互换；若多个量词中既有全称量词又有存在量词，则量词的位
人工智能导论
Introduction of Artificial Intelligence
第2章
逻辑与推理
一、命题逻辑
二、谓词逻辑
三、知识图谱推理
四、因果推理
从 命题逻辑 到 谓词逻辑
命题逻辑的局限性：在命题逻辑中，每个陈述句是最基本的单位(即原子命题)，
无法对原子命题进行分解。因此在命题逻辑中，不能表达局部与整体、一般与个
这就是谓词逻辑研究内容。
谓词逻辑
定义2.7 个体：
个体是指所研究领域中可以独立存在的具体或抽象的概念。
定义2.9 谓词：
谓词是用来刻画个体属性或者描述个体之间关系存在性的元素，其
值为真或为假。
包含一个参数的谓词称为一元谓词，表示一元关系。
包含多个参数的谓词称为多元谓词，表示个体之间的多元关系。
存在量词消去(Existential Instantiation, EI): (∃)() → ()
存在量词引入(Existential Generalization, EG): () → (∃)()
(∀)( ∨ ) ≡ (∀) ∨
(∀)( ∧ ) ≡ (∀) ∧
(∃)( ∨ ) ≡ (∃) ∨
(∃)( ∧ ) ≡ (∃) ∧
谓词逻辑
量词的约束，因此是约束变元；Crown是一个常量符号，表示皇冠； ()是一个一元
谓词，表示是国王，_(Crown, )是一个二元谓词，表示头戴皇冠。
谓词逻辑
定理 2.4 当公式中存在多个量词时，若多个量词都是全称量词或者都是存在量词，
则量词的位置可以互换；若多个量词中既有全称量词又有存在量词，则量词的位
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第2章
逻辑与推理
一、命题逻辑
二、谓词逻辑
三、知识图谱推理
四、因果推理
从 命题逻辑 到 谓词逻辑
命题逻辑的局限性：在命题逻辑中，每个陈述句是最基本的单位(即原子命题)，
无法对原子命题进行分解。因此在命题逻辑中，不能表达局部与整体、一般与个
这就是谓词逻辑研究内容。
谓词逻辑
定义2.7 个体：
个体是指所研究领域中可以独立存在的具体或抽象的概念。
定义2.9 谓词：
谓词是用来刻画个体属性或者描述个体之间关系存在性的元素，其
值为真或为假。
包含一个参数的谓词称为一元谓词，表示一元关系。
包含多个参数的谓词称为多元谓词，表示个体之间的多元关系。
存在量词消去(Existential Instantiation, EI): (∃)() → ()
存在量词引入(Existential Generalization, EG): () → (∃)()
第二章 谓词逻辑
离散数学
第一章
例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。 当x,y指人或物时，它是一个命题，但 若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命题。
离散数学
第一章
例4 R(x)表示“x是大学生”。 如果x的讨论范围为某大学里班级中的学 生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学 生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些 观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 真值不理，若L(x,y)表示x小于y，那么 L(2,3) 表示一个命题：“2小于3”, 为真。 而 L(5,1) 表示一个命题：“5小于1”, 为假。 又如,A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z” 则 A(3,2,5) 表示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题 “1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到 H(x)，L(x,y)，A(x,y,z) 中的x，y，z等都是客体变元。 它们很象数学中的函数，这种函数就是命题函数。
离散数学
第一章
3. 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达 日常生活中的各种命题。 例如：S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的 职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学生，也可以 表示某单位存在一些职工是大学生。 为了避免这种理解上的混乱，需要引入量词，以刻划 “所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如: (1) 所有的人都是要呼吸的。 (2) 每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此 ，引入符号： (x) 或 (x) 表示“对所有的x”。
离散数学
第一章
第2章 谓词逻辑
第2章谓词逻辑本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。
下面就此作一简要介绍。
一、谓词逻辑的基本概念及其符号化个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。
具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。
一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。
表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。
在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。
我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。
全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“∀”表示。
存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“∃”表示。
在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定∀xF(x)的真假。
当每一个个体都使得F(x)=1时，就有∀xF(x)=l；否则∀xF(x)=0。
对于∃F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有∃xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)∃xF(x)=0。
在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。
为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。
离散数学及应用 第3版 第2章 谓词逻辑
2.1个体词、谓词与量词
（3）∃x∀yP(x,y)，其中D = {1,2,3}，谓词P(x,y) : x = y 解：∃x∀yP(x,y)=∀yP(1,y)∨∀yP(2,y)∨∀yP(3,y)
=(P(1,1)∧P(1,2)∧P(1,3))∨(P(2,1)∧P(2,2)∧P(2,3)) ∨(P(3,1)∧P(3,2)∧P(3,3)) =(1∧0∧0)∨(0∧1∧0)∨(0∧0∧1) =0
2.1个体词、谓词与量词
存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等 x 表示在个体域中存在x 设P (x)是以D为个体域的一元谓词， xP(x) = 0 :对任意的x ∈ D,P(x)取值0 xP(x) = 1 :存在a ∈ D,P(a)取值1
➢ 设D = {a1,···,an}是有限个体域， ∃xP(x) = P(a1)∨P(a2)∨···∨P(an)
所以，∃x∀yP(x,y)与∀y∃xP(x,y)值不相同。
2.1个体词、谓词与量词
例2.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 (1) 人人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取二个不同的个体域 (a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 .
(a) (1) 设G(x): x爱美, 符号化为 x G(x) (2) 设T(x): x用左手写字, 符号化为 xT(x)
(b) 设F(x): x为人，G(x): x爱美 T(x): x用左手写字 (1) x (F(x)G(x)) (2) x (F(x)T(x))
这是两个基本公式, 注意它们的使用
2.1个体词、谓词与量词
例2.4 在谓词逻辑中将下列命题符号化
(1) 正数都大于负数
(2) 有的无理数大于有的有理数
注意: 题目中没给个体域, 使用全总个体域
第2章 谓词逻辑
（3）不是所有的人都喜欢看电影。 解：令F(x)：x是人，G(x)：x喜欢看电影。 则命题表示为：(x)(F(x)G(x))
21
第二章 谓词逻辑
练习
在谓词逻辑中将下列命题符号化（个体域为全体鸟类）： (1) 所有蜂鸟都有鲜艳的羽毛。 (2) 没有大鸟以蜂蜜为食。 (3) 不以蜂蜜为食的鸟类有灰暗的羽毛。 (4) 蜂鸟是小鸟。 解：设P(x)：x是蜂鸟， Q(x)：x是大鸟，R(x)：x以蜂蜜为 食。S(x)：x有鲜艳的羽毛。
16
第二章 谓词逻辑
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们 的顺序，颠倒后会改变原命题的含义
例：取个体域为实数集：
考虑命题： 对任意的x，存在着y，使得x+y=5
H(x,y): x+y=5 真命题 符号化为：∀x∃yH(x,y)，
但颠倒量词顺序得：∃y∀xH(x,y)，表示的含义：
存在着y，对任意的x，都有x+y=5，假命题
18
第二章 谓词逻辑
§2-1-3 谓词逻辑命题符号化
例2-1.3 用谓词逻辑符号化下列命题。 （1）所有大学生都爱学习。 解：令S(x)：x是大学生，L(x)：x爱学习，(x)(S(x)L(x)) （2）每个自然数都是实数。 解：令N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，(x)(N(x)R(x))
6
第二章 谓词逻辑 定义2-1.1 一个原子命题用一个谓词（如P）和n个有次 序的个体常元（如a1，a2，…，an）表示成P(a1，a2，…， an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 定义2-1.2 由一个谓词（如P）和n个体变元（如x1， x2，…，xn）组成的P(x1，x2，…，xn)，称为n元原子谓词 或n元命题函数，简称n元谓词。 • n=1，一元谓词——表示性质 • n2，多元谓词——表示事物之间的关系， • 例如：L(x,y)：xy • 0元谓词——不含个体变元的谓词——命题常元或变元； 例如：ab:a取为2,b取为3 命题看成谓词的特殊情况，命题逻辑的联结词均可应用。
第二章 谓词逻辑
2-7
第２章 谓词逻辑
【例2.1.1】 将下列语句形式化为谓词逻辑 】 中的命题或命题函数。 中的命题或命题函数。 （1）小王是二年级大学生。 ）小王是二年级大学生。 （2）小王是李老师的学生。 ）小王是李老师的学生。 （3）如果 且y≤x，则x=y。 ）如果x≤y且 ， 。 是大学生； （ ） 解：（1）令F（x）：x是大学生；G（x）：x ） （ ） 是大学生 是二年级的； ：小王。则原句形式化为： 是二年级的；a：小王。则原句形式化为： F（a）∧G（a）。 （ ） （ ）
（ （ ） （ ）） ∀ x（H（x）→F（x））
2-13
第２章 谓词逻辑
（ 2） 引入特性谓词 （ x） ： x是我们班 ） 引入特性谓词W（ ） 是我们班 的人。 （ ） 会吸烟。 的人。 G（x） ：x会吸烟。 会吸烟 "我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解： 我们班有人吸烟"的涵义可以这样理解 ： 我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解 在宇宙间的万物（全总个体域） 在宇宙间的万物（全总个体域）中，有一个子 我们班， 吸烟的人。 集 --我们班 ， 还有另一个子集 吸烟的人 。 强 我们班 还有另一个子集--吸烟的人 调的是既在我们班，又吸烟的的人， 调的是既在我们班，又吸烟的的人，所以是两 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。则原 句可形式化为： 句可形式化为：
2-9
第２章 谓词逻辑
前两句均是命题， 前两句均是命题 ， 第三句因为含有变元 所以是命题函数。 但实际上我们知道， 所以是命题函数 。 但实际上我们知道 ， 只要 限制在数的范围内， 将 x、 y限制在数的范围内 ， 第三句是定理 ， 、 限制在数的范围内 第三句是定理， 是永真的。 这就涉及到了个体域。 是永真的 。 这就涉及到了个体域 。 在简单命 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如" 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如 所有的"、 有一些 等等， 有一些"等等 所有的 、"有一些 等等，用来表示论域中的 全体或部分个体， 在谓词逻辑中， 我们用量 全体或部分个体 ， 在谓词逻辑中 ， 词把它们形式化。 词把它们形式化。
第２章 谓词逻辑
【例2.1.1】 将下列语句形式化为谓词逻辑 】 中的命题或命题函数。 中的命题或命题函数。 （1）小王是二年级大学生。 ）小王是二年级大学生。 （2）小王是李老师的学生。 ）小王是李老师的学生。 （3）如果 且y≤x，则x=y。 ）如果x≤y且 ， 。 是大学生； （ ） 解：（1）令F（x）：x是大学生；G（x）：x ） （ ） 是大学生 是二年级的； ：小王。则原句形式化为： 是二年级的；a：小王。则原句形式化为： F（a）∧G（a）。 （ ） （ ）
（ （ ） （ ）） ∀ x（H（x）→F（x））
2-13
第２章 谓词逻辑
（ 2） 引入特性谓词 （ x） ： x是我们班 ） 引入特性谓词W（ ） 是我们班 的人。 （ ） 会吸烟。 的人。 G（x） ：x会吸烟。 会吸烟 "我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解： 我们班有人吸烟"的涵义可以这样理解 ： 我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解 在宇宙间的万物（全总个体域） 在宇宙间的万物（全总个体域）中，有一个子 我们班， 吸烟的人。 集 --我们班 ， 还有另一个子集 吸烟的人 。 强 我们班 还有另一个子集--吸烟的人 调的是既在我们班，又吸烟的的人， 调的是既在我们班，又吸烟的的人，所以是两 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。则原 句可形式化为： 句可形式化为：
2-9
第２章 谓词逻辑
前两句均是命题， 前两句均是命题 ， 第三句因为含有变元 所以是命题函数。 但实际上我们知道， 所以是命题函数 。 但实际上我们知道 ， 只要 限制在数的范围内， 将 x、 y限制在数的范围内 ， 第三句是定理 ， 、 限制在数的范围内 第三句是定理， 是永真的。 这就涉及到了个体域。 是永真的 。 这就涉及到了个体域 。 在简单命 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如" 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如 所有的"、 有一些 等等， 有一些"等等 所有的 、"有一些 等等，用来表示论域中的 全体或部分个体， 在谓词逻辑中， 我们用量 全体或部分个体 ， 在谓词逻辑中 ， 词把它们形式化。 词把它们形式化。
第二章谓词逻辑
第二章 谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
苏格拉底三段论：
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。
用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为：
(P∧Q)→R
第二章 谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 谓词逻辑
2.2 命题函数与量词
每个由量词确定的表达式都与个体域有关。为了方便，
将所有命题函数的个体域全部统一，使用全总个体域，之
后，对每一个客体变元的变化范围，用特性谓词加以限制。 特性谓词：从全总个体域中分离出一个集合，定义的
谓词。
对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件，对存在量 词，特性谓词常作合取项。
则: (1) x (M(x) → F(x));
(2) x (M(x)∧ G(x)).
第二章 谓词逻辑
由上面例子可见：
（1）在不同个体域中，同一个命题的符号化形式可能不同。 一般地，对全称量词，特性谓词应作为蕴含式的前件。
一般地，对存在量词，特性谓词应作为合取式的一项。 （2）同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。
组成的表达式为复合命题函数。
逻辑联结词组、∧、∨、—>、<—>的意义与 命题演算中的解释完全类同。
第二章 谓词逻辑
2.2 命题函数与量词
有了个体词和谓词的概念之后，有些命题还是不能准确地符号化 。 以前面所讨论的三段论为例： 令：P(x)：x是偶数。 S(x) ： x能被2整除。 a：6。
符号化为： (1)P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道，“凡偶数都能被2整除。”是一个真命题， 而“P(x)→S(x)”是一个一元函数，不是一个命题。原因是 “P(x)→S(x)”没有把命题(1) 中“凡”的意思表示出来。 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词。所以还要引入量 词的概念。
第2章谓词逻辑
第2章谓词逻辑第2xx谓词逻辑本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。
下面就此作一简要介绍。
一、谓词逻辑的基本概念及其符号化个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。
具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。
一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。
表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。
在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。
我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。
全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“”表示。
存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“”表示。
在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定xF(x)的真假。
当每一个个体都使得F(x)=1时，就有xF(x)=l；否则xF(x)=0。
对于F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)xF(x)=0。
在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。
为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。
第二章 谓词逻辑
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
命题逻辑 ¬¬Ｐ⇔Ｐ Ｐ∨Ｐ⇔Ｐ
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体 定义》 变元指派E中的每一个客体所得命题的值均为真，则称A在 在 E中是永真的 中是永真的。若E为任意域则称A是永真的 是永真的。 中是永真的 是永真的
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体变 定义》 元指派E中客体时在E中存在一些客体，使得指派后的真值为 “T”，则A称是可满足的 可满足的。 可满足的 《定义》若给A中客体变元指派个体域中任一客体名称，使 定义》 命题的值均为“F”，则称A是永假的 永假的。 永假的 1.不含量词的谓词公式的永真式 : 不含量词的谓词公式的永真式 只要用原子谓词公式 原子谓词公式去代永真命题公式中的原子命题变元 原子命题变元， 原子谓词公式 原子命题变元 则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演算中的 永真式。
§1 谓词的概念与表示法
1.谓词： 谓词： 谓词 定义》 谓词。 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的词即是谓词 谓词 我们可把陈述句分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。 例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李 明”，则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。 H作为“谓词”（或者谓词字母）用大写英文字母表示， j,m为主语，称为“客体”或称“个体”。
§4 变元的约束
（2）个体域不同，则表示同一命题的值也不同。Q(x): x<5 ）
∀xQ(x) ∃xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
第二章谓词逻辑
特性谓词在加入到命题函数中式遵循如下规 则：
(1).对应全称量词，刻划其对应个体域的特性 谓词作为蕴含式的前件加入；
(2).对应存在量词，刻划其对应个体域的特性 危险作为合取项加入。
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-5：符号化下列语句。
(1).天下乌鸦一般黑； (2).那位身体强健的，用功的，肯于思考问题的大学
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Hale Waihona Puke 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-2：符号化如下命题。
P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。
• 注意：
(1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如前面的F (b, c)与F (c, b)的真值就不同；
(2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
2.1.3谓词的语言翻译
设G (x)是关于x的一元谓词，D是其个体域， 任取x0∈D，则G (x0)是一个命题。
(x)G(x)是这样的一个命题:“对任意x， x∈D，G(x)都成立”其真值规定如下：
1对所 x 有 D ，的 都 G( 有 x 1) ( x)G (x) 0否则。
任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是项； (3).所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。
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2.2 谓词的合式公式及解释
我们定义的项，包括了常量，变量及函数。 例如，x，a，f(x, a)，f(g(x, a),b)，h(x)均是项。
函数的使用，能给谓词表示带来很大的方便。
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(1).对应全称量词，刻划其对应个体域的特性 谓词作为蕴含式的前件加入；
(2).对应存在量词，刻划其对应个体域的特性 危险作为合取项加入。
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-5：符号化下列语句。
(1).天下乌鸦一般黑； (2).那位身体强健的，用功的，肯于思考问题的大学
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Hale Waihona Puke 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-2：符号化如下命题。
P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。
• 注意：
(1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如前面的F (b, c)与F (c, b)的真值就不同；
(2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
2.1.3谓词的语言翻译
设G (x)是关于x的一元谓词，D是其个体域， 任取x0∈D，则G (x0)是一个命题。
(x)G(x)是这样的一个命题:“对任意x， x∈D，G(x)都成立”其真值规定如下：
1对所 x 有 D ，的 都 G( 有 x 1) ( x)G (x) 0否则。
任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是项； (3).所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。
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2.2 谓词的合式公式及解释
我们定义的项，包括了常量，变量及函数。 例如，x，a，f(x, a)，f(g(x, a),b)，h(x)均是项。
函数的使用，能给谓词表示带来很大的方便。
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第二章 谓词逻辑
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第二章 谓词逻辑
2.2
2.2.2 例2.7
谓词逻辑公式与解释
约束变元与自由变元 指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况： 指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况：
（1）x（F（x，y）→ G（x，z）） （2）x（P（x）→y R（x，y）） ））→ （3）x（F（x）→ G（y））→ y（H（x）∧M（x，y，z））
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第二章 谓词逻辑
2.2
2.2.1 例2.6
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑的合式公式 将下列命题符号化。 将下列命题符号化。
（1）尽管有人聪明，但并非所有人都聪明。 尽管有人聪明，但并非所有人都聪明。 （2）这只大红书柜摆满了那些古书。 这只大红书柜摆满了那些古书。 解 （1）令C（x）：x聪明；M（x）：x是人。则命题（1）可符 聪明； 是人。则命题（ x（M（x）∧C（x））∧x（M（x）→C（x）） ））∧ （2）令F（x，y）：x摆满了y；R（x）：x是大红书柜；Q（x）: 摆满了y 是大红书柜； x是古书；a：这只；b：那些。则命题（2）可符号化为 是古书； 这只； 那些。则命题（
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第二章 谓词逻辑
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
约束变元与自由变元
对于 的辖域是A= A=（ ））， 解 （1）对于x的辖域是A=（F（x，y）→ G（x，z）），在A 中，x是约束出现的，而且约束出现两次，y，z均为自由出现， 是约束出现的，而且约束出现两次， 均为自由出现， 而且各自由出现一次。 而且各自由出现一次。 ））， （2）对于x的辖域是（P（x）→y R（x，y）），y的辖域是 对于 的辖域是（ R（x，y），x，y均是约束出现的。 均是约束出现的。 ）），其中x （3）对于x的辖域是（F（x）→ G（y）），其中x是约束出现 对于 的辖域是（ 的，而y是自由出现的。对y的辖域是（H（x）∧M（x，y， 是自由出现的。 的辖域是（ z）），其中y是约束出现的，而x，z是自由出现的。在整个公式 ）），其中y是约束出现的， 是自由出现的。 中，x约束出现一次，自由出现两次，y约束出现一次，自由出现 约束出现一次，自由出现两次， 约束出现一次，
第二章 谓词逻辑
练习：将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好 成绩。 解： （1） 令F (x): x是正数。M (x): x大于零。 则符号化为： (x) (F (x) M (x)) 真值为1。
（2） 令E (x): x小于2。S (x): x是素数。 则符号化为： (x) (E (x) ∧S (x)) 真值为0。 （3）令D (x): x是有理数。 F (x): x能表示成分数。 则符号化为： (x) (D (x) F (x)) 或¬(x) (D (x) ∧¬F (x)) 真值为１。 （4）令M (x)：x是人. Q (x): x参加考试。 H (x): x取得好成绩。则符号化为： ¬(x) (M (x)∧ Q (x) H (x)) 或 (x) (M (x)∧ Q (x) ∧¬H (x)) 真值不定。
例3：设x, y, z是整数，将下列命题符号化 （1）对一切x成立x+0=x。 （2）对于任意x, y有z满足x + y =z。 （3）对于任意x和任意y均有x y=y。 （4）有一个x使得x y=y对一切y成立。 解: (1)(x)(x+0=x) (2) (x) (y) (z) (x + y =z) (3) (x) (y) (x y =y) (4) (x) (y) (x y =y)
但这两个命题有共同点，即它们的谓语部 分是相同的，因此我们用符号表示这两个 命题时既要考虑它们的不同又要考虑它们 的相同之处，所以我们可以用P表示它们相 同的谓语部分“是工人”而用a, b 表示张 三；李四，则这两个命题可表示为P(a), P(b)。 谓词逻辑就是对原子命题的成份、结 构和原子命题间的共同特性等作了进一步 分析。引入了个体词、谓词、量词、谓词 公式等概念，在此基础上研究谓词公式间 的等值关系和蕴含关系，并且对命题逻辑 中的推理规则进行扩充和进行谓词演绎。
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【例】 L(a, b, c)与L(b, a, c)如果a, b, c表示三个不同的客体, 则表示两个不同的命题
2.2 命题函数与量词
【例】H表示谓词 “能够到达山顶”, l表示客体 “李四”, t表示客 体 “老虎”, c表示客体 “汽车”. H(l): 李四能够到达山顶 H(t): 老虎能够到达山顶 H(c): 汽车能够到达山顶
• 作业: (2) (3) (4)
2.4 变元的约束
• 给定一个谓词公式A，其中有一部分公式形 如(x)B(x)或(x)B(x) • 、后面所跟的x叫做量词的指导变元或作 用变元 • B(x)叫做相应量词的作用域或辖域。 • 在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x称 为约束变元 • B中不是约束出现的其它变元的出现称为自 由出现，这些变元称自由变元。
• • •
2. 存在量词
“存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个 ”等词统称为存在量词 • 符号化为“” • (x)，(y)等表示个体域里有些个体 • (x)F(x) 和 (y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个 体具有性质F和存在个体具有性质G。 • 全称量词与存在量词统称为量词。
• 有三个客体的命题可用L(a, b, c)表示 • A(b)一元谓词; B(a, b)二元谓词; L(a, b, c)三元谓词
• 一般来说, n元谓词需要n个客体名称插入到固定的 位置上, 如果A为n元谓词, a1,a2,…,an是客体名称, 则A(a1,a2,…,an)就可以成为一个命题 • 一元谓词表达了客体的“性质”, 而多元谓词表达了 客体之间的“关系” • 单独一个谓词不是完整的命题 • 谓词填式: 谓词字母后填以客体所得的式子 • 在多元谓词中, 客体出现的次序与事先约定有关
• 在一个公式中，同一个变元既可以是约束的，又
可以是自由的，容易混淆。
【例】(x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (x) R(x,y)
• 约束变元与表示该变元的符号无关
• (x)P(x)与(y)P(y)，(x)P(x)与(y)P(y)都具有相
同意义
• 可以对约束变元换名，以避免混淆
• 命题函数不是命题, 只有客体变元取特定名称时, 才能成为命题
【例】R(x)表示 “x是大学生” 1. x的讨论范围是某大学的学生, 则R(x)为永真式 2. x的讨论范围是某中学的学生, 则R(x)为永假式 3. x的讨论范围是某剧场里的观众, 则R(x)可能为真也 可能为假 【例】Q(x, y)表示 “x比y重” 1. x,y指人或物时, 它是一个命题 2. x,y指实数时, 它不是一个命题
【例】张三是大学生, 李四是中学生 两个命题的谓语不同, 表明对应的两个客体的身份 不同
• 引入一种符号表示谓语, 再引入一种方法表 示客体名称 • 一般用大写字母表示谓词, 用小写字母表示 客体名称
• 用谓词表达命题必须包括客体和谓词两部分
【例】A表示“是大学生”, B表示“是中学生” c表示“张三”, d表示“李四” A(c)表示 “张三是大学生” B(d)表示 “李四是中学生”
• 为了使换名后的公式中出现的变元要么是约束的
，要么是自由的，我们提出如下的换名规则： ⑴对约束变元可以换名，其更改变元名称范围是 量词中的指导变元，以及该量词辖域中的所有该 变元，公式的其余部分不变。 ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的变元名 ，最好是公式中没有的变量名。
【例】对 (x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔(x)R(x,y) 中的约束变元 y 换名。 解：用u置换约束变元y。换名后为： (x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(x) R(x,y) 不能换成： (x)(u)(P(x,u)∧Q(y,z))↔(x) R(x, y) 也不能换成：(x)(z)(P(x, z)∧Q(z,z))↔(x) R(x,y) 也不能换成：(x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(x) R(x,u)
• 谓词公式也有以下约定： ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级 别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以省 略括号，但量词后面括号不能省略。
【例】并非每个实数都是有理数。 解：设R(x)：x是实数 Q(x)：x是有理数 该命题符号化为：¬ (x)(R(x)→Q(x))
【例】个体域是人类集合，对下列命题符号化。 ⑴ 凡人要死。 ⑵ 有的人是研究生。 解：⑴ 令F (x)：x要死。 命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
• 在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变 元x被全称量化和存在量化。 • 一般地说，命题函数不是命题，如果对命题函数 中所有客体变元进行全称量化或存在量化，该命 题函数就变成了命题。
• 对于给定的谓词公式，能够准确地判定它的辖域 、约束变元和自由变元是很重要的。 • 通常，一个量词的辖域是某公式A的一部分，称为 A的子公式。因此，确定一个量词的辖域即是找出 位于该量词之后的相邻接的子公式，具体地讲： ①若量词后有括号，则括号内的子公式就是该量 词的辖域； ②若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为该 量词的辖域。
• n元谓词就是有n个客体变元的命题函数
• 特殊情况: n=0时, 称为0元谓词, 它本身就是一个
命题
• 命题是n元谓词的特殊情况
• 由一个或n个简单命题函数以及联结词组合而成的 表达式称为复合命题函数
• 【例】S(x)表示 “x学习很好”; W(x)表示 “x工作很好” ﹁ S(x)表示 “x学习不是很好”; S(x) ∧ W(x)表示 “x学习和工作都很好”; • 【例】H(x,y)表示 “x比y长得高”, l表示李四, c表示张三 ﹁H(l,c)表示 “李四不比张三长得高”
• • • •
根据常识，认为这个推理是正确的 但无法用命题逻辑给予推证 问题在哪里呢? 这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是 体现在原子命题之间，而是体现在构成原 子命题的内部成分之间，即体现在命题结 构的更深层次上。
• 在研究某些推理时，有必要对原子命题作 进一步分析，分析出其中的客体词，谓词 和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系 、正确的推理形式和规则，这些正是谓词 逻辑的基本内容。
• 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题，其 真值与个体域的选定有关. • 为了统一，我们今后使用全总个体域 • 其它个体域用一个谓词来表示，叫做特性谓词。 特性谓词加入的方法为： ⑴ 对全称量词，特性谓词作为条件命题的前件加 入。 ⑵ 对存在量词，特性谓词作为合取项加入。
【例】对下列命题在①，②两个个体域中符号化。 命题：⑴ 所有老虎是要吃人。 ⑵ 存在一个老虎要吃人。 个体域：① 所有老虎组成的集合。 ② 全总个体域。 解：设A(x)：x是要吃人的。 个体域为所有老虎的集合。 ⑴符号化为 (x)A(x) ⑵符号化为 (x)A(x) 个体域为全总个体域。设特性谓词T(x)：x是老虎。 ⑴符号化为 (x)(T(x)→A(x)) ⑵符号化为 (x) (T(x)∧A(x))
2.1 谓词的概念与表示
• 命题是具有真假意义的陈述句 • 从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语 两部分组成。
• 【例】电子计算机是科学技术的工具 主语: 电子计算机 谓语: 是科学技术的工具 • 主语是客体, 它可以是具体的,也可以是抽象的
小王, 老师 唯物主义
• 谓语: 用以刻划客体的性质或关系
• “b是A”类型的命题可用A(b)表示
【例】5大于3 B表示 “…大于…” a表示
• 类似于“a大于b”类型的命题, 可用B(a,b)表示
【例】小明站在小李和小王之间 L表示 “…站在…和…之间” a表示 “小明”, b表示 “小李”, c表示“小王” 小明站在小李和小王之间可用L(a, b, c)表示
【例】没有不犯错误的人。 解：设M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 此命题可以理解为：存在一些人不犯错误，这句话是不 对的。此时，符号化为：¬ (x) (M(x)∧¬ F(x) ) 也可以理解为：任何人都是要犯错误的。此时，符号化 为：(x) (M(x)→F(x)) 【例】并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。 解：设F(x)：x是兔子。 G(x)：x是乌龟。 H(x,y)：x比y跑得快。 该命题符号化为：¬ (x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
• 目前所学的符号还是不能很好地表达日常生活中 的各种命题 • 量词: 用以刻画 “所有的”和 “存在一些”的不同概念
1. 全称量词
日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的 ”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都” 等词统称为全称量词 符号化为“” (x)，(y)等表示个体域里的所有个体 (x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中的所有 个体都有性质F和都有性质G
• 作业: (1)
2.3 谓词公式与翻译
• 我们把A(x1,x2,…,xn)称为谓词演算的原子公式, 其 中x1,x2,…,xn是客体变元 • 定义2-3.1按下列规则构成的表达式称为谓词演算 的合式公式，简称谓词公式。
⑴原子谓词公式是合式公式。 ⑵若A是合式公式，则¬ A是合式公式。 ⑶若 A 和 B 是合式公式，则 (A∧B) ， (A∨B) ， (A→B) 和 (A↔B)是合式公式。 ⑷如果A是合式公式，x 是 A中出现的任意个体变元，则 (x)A，(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式是合式 公式。
• 上例有一个共同的形式 H(x). 当x分别取l, t, c时, 分别表示不同的命题 • H(x)本身不是一个命题, 只有当x取特定的客体时, 才能确定一个命题 • 多元有类似情况 如L(x,y)
• H(x)与函数表示类似
• 定义 2-2.1 由一个谓词, 一些客体变元组成的表达
式称为简单命题函数
【例】说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自由变元。 ⑴ (x)P(x)→Q(y) ⑵ (x) (P(x)∧(y)Q(x,y)) ⑶ (x) P(x)∧(y)Q(x,y) ⑷ (x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (x) R(x,y) 解：⑴(x)的辖域为P(x)，x是约束变元。 ⑵ (x) 的辖域为 P(x)∧(y)Q(x,y) ， (y) 的辖域为 Q(x,y) ， x 和 y 都是约 束变元，无自由变元。 ⑶(x) 的辖域为 P(x) ，(y) 的辖域为 Q(x,y) ， P(x) 中的 x 和 Q(x,y) 中的 y 是约束变元，Q(x,y)中的x是自由变元。 ⑷(x)和(y)的辖域为P(x,y)∧Q(y,z)，x, y是约束变元, z是自由变元; (x)的辖域为R(x,y)，x是约束变元，y是自由变元
2.2 命题函数与量词
【例】H表示谓词 “能够到达山顶”, l表示客体 “李四”, t表示客 体 “老虎”, c表示客体 “汽车”. H(l): 李四能够到达山顶 H(t): 老虎能够到达山顶 H(c): 汽车能够到达山顶
• 作业: (2) (3) (4)
2.4 变元的约束
• 给定一个谓词公式A，其中有一部分公式形 如(x)B(x)或(x)B(x) • 、后面所跟的x叫做量词的指导变元或作 用变元 • B(x)叫做相应量词的作用域或辖域。 • 在辖域中，x的所有出现称为约束出现，x称 为约束变元 • B中不是约束出现的其它变元的出现称为自 由出现，这些变元称自由变元。
• • •
2. 存在量词
“存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个 ”等词统称为存在量词 • 符号化为“” • (x)，(y)等表示个体域里有些个体 • (x)F(x) 和 (y)G(y) 等分别表示在个体域中存在个 体具有性质F和存在个体具有性质G。 • 全称量词与存在量词统称为量词。
• 有三个客体的命题可用L(a, b, c)表示 • A(b)一元谓词; B(a, b)二元谓词; L(a, b, c)三元谓词
• 一般来说, n元谓词需要n个客体名称插入到固定的 位置上, 如果A为n元谓词, a1,a2,…,an是客体名称, 则A(a1,a2,…,an)就可以成为一个命题 • 一元谓词表达了客体的“性质”, 而多元谓词表达了 客体之间的“关系” • 单独一个谓词不是完整的命题 • 谓词填式: 谓词字母后填以客体所得的式子 • 在多元谓词中, 客体出现的次序与事先约定有关
• 在一个公式中，同一个变元既可以是约束的，又
可以是自由的，容易混淆。
【例】(x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (x) R(x,y)
• 约束变元与表示该变元的符号无关
• (x)P(x)与(y)P(y)，(x)P(x)与(y)P(y)都具有相
同意义
• 可以对约束变元换名，以避免混淆
• 命题函数不是命题, 只有客体变元取特定名称时, 才能成为命题
【例】R(x)表示 “x是大学生” 1. x的讨论范围是某大学的学生, 则R(x)为永真式 2. x的讨论范围是某中学的学生, 则R(x)为永假式 3. x的讨论范围是某剧场里的观众, 则R(x)可能为真也 可能为假 【例】Q(x, y)表示 “x比y重” 1. x,y指人或物时, 它是一个命题 2. x,y指实数时, 它不是一个命题
【例】张三是大学生, 李四是中学生 两个命题的谓语不同, 表明对应的两个客体的身份 不同
• 引入一种符号表示谓语, 再引入一种方法表 示客体名称 • 一般用大写字母表示谓词, 用小写字母表示 客体名称
• 用谓词表达命题必须包括客体和谓词两部分
【例】A表示“是大学生”, B表示“是中学生” c表示“张三”, d表示“李四” A(c)表示 “张三是大学生” B(d)表示 “李四是中学生”
• 为了使换名后的公式中出现的变元要么是约束的
，要么是自由的，我们提出如下的换名规则： ⑴对约束变元可以换名，其更改变元名称范围是 量词中的指导变元，以及该量词辖域中的所有该 变元，公式的其余部分不变。 ⑵换名时一定要更改成辖域中没有出现的变元名 ，最好是公式中没有的变量名。
【例】对 (x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔(x)R(x,y) 中的约束变元 y 换名。 解：用u置换约束变元y。换名后为： (x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(x) R(x,y) 不能换成： (x)(u)(P(x,u)∧Q(y,z))↔(x) R(x, y) 也不能换成：(x)(z)(P(x, z)∧Q(z,z))↔(x) R(x,y) 也不能换成：(x)(u)(P(x,u)∧Q(u,z))↔(x) R(x,u)
• 谓词公式也有以下约定： ⑴ 最外层的括号可以省略。 ⑵ 如果按¬、∧、∨、→、↔在运算中的优先级 别，省略括号后不改变原来的运算次序，可以省 略括号，但量词后面括号不能省略。
【例】并非每个实数都是有理数。 解：设R(x)：x是实数 Q(x)：x是有理数 该命题符号化为：¬ (x)(R(x)→Q(x))
【例】个体域是人类集合，对下列命题符号化。 ⑴ 凡人要死。 ⑵ 有的人是研究生。 解：⑴ 令F (x)：x要死。 命题“凡人要死。”符号化为：(x)F (x) ⑵ 令G(x)：x是研究生。 命题“有的人是研究生。”符号化为：(x)G(x)
• 在命题函数前加上量词(x)和(x)分别叫做个体变 元x被全称量化和存在量化。 • 一般地说，命题函数不是命题，如果对命题函数 中所有客体变元进行全称量化或存在量化，该命 题函数就变成了命题。
• 对于给定的谓词公式，能够准确地判定它的辖域 、约束变元和自由变元是很重要的。 • 通常，一个量词的辖域是某公式A的一部分，称为 A的子公式。因此，确定一个量词的辖域即是找出 位于该量词之后的相邻接的子公式，具体地讲： ①若量词后有括号，则括号内的子公式就是该量 词的辖域； ②若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为该 量词的辖域。
• n元谓词就是有n个客体变元的命题函数
• 特殊情况: n=0时, 称为0元谓词, 它本身就是一个
命题
• 命题是n元谓词的特殊情况
• 由一个或n个简单命题函数以及联结词组合而成的 表达式称为复合命题函数
• 【例】S(x)表示 “x学习很好”; W(x)表示 “x工作很好” ﹁ S(x)表示 “x学习不是很好”; S(x) ∧ W(x)表示 “x学习和工作都很好”; • 【例】H(x,y)表示 “x比y长得高”, l表示李四, c表示张三 ﹁H(l,c)表示 “李四不比张三长得高”
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根据常识，认为这个推理是正确的 但无法用命题逻辑给予推证 问题在哪里呢? 这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是 体现在原子命题之间，而是体现在构成原 子命题的内部成分之间，即体现在命题结 构的更深层次上。
• 在研究某些推理时，有必要对原子命题作 进一步分析，分析出其中的客体词，谓词 和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系 、正确的推理形式和规则，这些正是谓词 逻辑的基本内容。
• 命题函数中的个体变元被量化以后变成命题，其 真值与个体域的选定有关. • 为了统一，我们今后使用全总个体域 • 其它个体域用一个谓词来表示，叫做特性谓词。 特性谓词加入的方法为： ⑴ 对全称量词，特性谓词作为条件命题的前件加 入。 ⑵ 对存在量词，特性谓词作为合取项加入。
【例】对下列命题在①，②两个个体域中符号化。 命题：⑴ 所有老虎是要吃人。 ⑵ 存在一个老虎要吃人。 个体域：① 所有老虎组成的集合。 ② 全总个体域。 解：设A(x)：x是要吃人的。 个体域为所有老虎的集合。 ⑴符号化为 (x)A(x) ⑵符号化为 (x)A(x) 个体域为全总个体域。设特性谓词T(x)：x是老虎。 ⑴符号化为 (x)(T(x)→A(x)) ⑵符号化为 (x) (T(x)∧A(x))
2.1 谓词的概念与表示
• 命题是具有真假意义的陈述句 • 从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语 两部分组成。
• 【例】电子计算机是科学技术的工具 主语: 电子计算机 谓语: 是科学技术的工具 • 主语是客体, 它可以是具体的,也可以是抽象的
小王, 老师 唯物主义
• 谓语: 用以刻划客体的性质或关系
• “b是A”类型的命题可用A(b)表示
【例】5大于3 B表示 “…大于…” a表示
• 类似于“a大于b”类型的命题, 可用B(a,b)表示
【例】小明站在小李和小王之间 L表示 “…站在…和…之间” a表示 “小明”, b表示 “小李”, c表示“小王” 小明站在小李和小王之间可用L(a, b, c)表示
【例】没有不犯错误的人。 解：设M(x)：x是人 F(x)：x犯错误 此命题可以理解为：存在一些人不犯错误，这句话是不 对的。此时，符号化为：¬ (x) (M(x)∧¬ F(x) ) 也可以理解为：任何人都是要犯错误的。此时，符号化 为：(x) (M(x)→F(x)) 【例】并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快。 解：设F(x)：x是兔子。 G(x)：x是乌龟。 H(x,y)：x比y跑得快。 该命题符号化为：¬ (x) (y) (F(x)∧G(y)→H(x,y))
• 目前所学的符号还是不能很好地表达日常生活中 的各种命题 • 量词: 用以刻画 “所有的”和 “存在一些”的不同概念
1. 全称量词
日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的 ”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都” 等词统称为全称量词 符号化为“” (x)，(y)等表示个体域里的所有个体 (x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中的所有 个体都有性质F和都有性质G
• 作业: (1)
2.3 谓词公式与翻译
• 我们把A(x1,x2,…,xn)称为谓词演算的原子公式, 其 中x1,x2,…,xn是客体变元 • 定义2-3.1按下列规则构成的表达式称为谓词演算 的合式公式，简称谓词公式。
⑴原子谓词公式是合式公式。 ⑵若A是合式公式，则¬ A是合式公式。 ⑶若 A 和 B 是合式公式，则 (A∧B) ， (A∨B) ， (A→B) 和 (A↔B)是合式公式。 ⑷如果A是合式公式，x 是 A中出现的任意个体变元，则 (x)A，(x)A是合式公式。 ⑸ 只有有限次地应用⑴、⑵、⑶、⑷所得的公式是合式 公式。
• 上例有一个共同的形式 H(x). 当x分别取l, t, c时, 分别表示不同的命题 • H(x)本身不是一个命题, 只有当x取特定的客体时, 才能确定一个命题 • 多元有类似情况 如L(x,y)
• H(x)与函数表示类似
• 定义 2-2.1 由一个谓词, 一些客体变元组成的表达
式称为简单命题函数
【例】说明下列各式量词的辖域，找出约束变元和自由变元。 ⑴ (x)P(x)→Q(y) ⑵ (x) (P(x)∧(y)Q(x,y)) ⑶ (x) P(x)∧(y)Q(x,y) ⑷ (x)(y)(P(x,y)∧Q(y,z))↔ (x) R(x,y) 解：⑴(x)的辖域为P(x)，x是约束变元。 ⑵ (x) 的辖域为 P(x)∧(y)Q(x,y) ， (y) 的辖域为 Q(x,y) ， x 和 y 都是约 束变元，无自由变元。 ⑶(x) 的辖域为 P(x) ，(y) 的辖域为 Q(x,y) ， P(x) 中的 x 和 Q(x,y) 中的 y 是约束变元，Q(x,y)中的x是自由变元。 ⑷(x)和(y)的辖域为P(x,y)∧Q(y,z)，x, y是约束变元, z是自由变元; (x)的辖域为R(x,y)，x是约束变元，y是自由变元