§8 最小二乘估计

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最小二乘估计.ppt

3
3
所以 1 910- 6创35 115
b
b
=
?
1910 ? 11228866-?
666创?? 3333335355 ??
1135 335 3335
?
?
1.648
? 1.648
aa ?? 5577..555577
于是，线性回归方程为
y ? 57.557 -1.648x .
（2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是－3℃时，卖出热茶的杯数估计为：
若有n个样本点：（ x1，y1）,… ,（xn，yn），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线 y＝a+bx的接近程度 :
[y 1 ? (a ? bx 1)]2 ? ? [y n ? (a ? bx n )]2
使上式达到最小值的直线 y=a+bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法 .
思考3：怎样使 [y1 ? (a ? bx 1)]2 ? 达到最小值？
57.557-1.648 ×(-3)≈63(杯） .
【说明】
1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系 . 2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出方程. 3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合 .
1.了解最小二乘法的思想 . 2. 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 .(重点 ) 3.会用线性回归方程对总体进行估计 .(难点）
思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方
便有效？设直线方程为 y=a+bx，样本点 A（xi，yi）
方法一 :点到直线的距离公式

最小二乘估计的基本假设

最小二乘估计的基本假设1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个听上去有点复杂，但其实很有趣的话题——最小二乘估计。

可能你会想：“这是什么鬼？”其实，简单来说，它就是一种统计方法，帮助我们找到一条最能贴合数据的线。

想象一下，你在玩抛沙包，想找到一个最稳的投篮角度，最小二乘估计就能帮你找出最佳的“抛沙包”策略。

不过，嘿，要想玩得开心，得有几个基本的假设在前面，不然就像打麻将没带牌一样，别扭得很。

2. 最小二乘估计的基本假设2.1 线性关系首先，最重要的一点就是，咱们得假设变量之间是线性关系。

也就是说，如果你画个图，数据点大概会在一条直线上上下波动。

举个例子，如果你觉得每天吃的冰淇淋越多，心情就越好，这俩东西之间可能就有线性关系。

但如果你发现，吃冰淇淋过多反而心情糟糕，那就不符合咱们的假设了，可能还得调整一下“吃冰淇淋”的策略呢。

2.2 随机误差接下来，咱们得假设误差是随机的。

这就像你每次去外面吃饭，总有可能遇到服务慢、菜不好之类的意外情况，这些情况是不确定的，也不是你能控制的。

最小二乘估计要求这些误差是独立的、随机的，就像你的朋友突然告诉你今晚的电影没法看，这种意外不能影响你之前的计划。

要是误差有规律，比如总是偏高或偏低，那就会让估计的结果变得不靠谱，简直像开车不看路，肯定得出事故！3. 误差的正态分布3.1 正态分布再来，误差得服从正态分布。

这就像大多数人的身高，通常都是围绕着一个平均值分布的，高矮都有，但大部分人都在平均值附近。

正态分布的好处是，我们可以用一些简单的统计方法来进行推断。

要是数据点像个“波浪”一样，波动得不规则，那估计的效果就像一杯搅拌得太猛的奶昔，难以下咽。

3.2 同方差性最后，咱们还得考虑同方差性。

这听上去有点复杂，但其实就是要求误差的波动幅度在各个地方都差不多。

想象一下，如果你在做菜，调味料的味道在每一口都差不多，那大家都能接受。

可要是有的一口特别咸，有的特别淡，那就容易让人怀疑这菜是谁做的，肯定得有人埋怨“这是什么鬼东西？”所以，保持方差一致是很重要的，只有这样才能保证模型的可靠性。

最小二乘估计量的统计性质

最⼩⼆乘估计量的统计性质最⼩⼆乘估计量的统计性质考察总体的估计量，可从如下⼏个⽅⾯考察其优劣性：（1）线性性，即它是否是另⼀个随机变量的线性函数；（2）⽆偏性，即它的均值或期望是否等于总体的真实值；（3）有效值，即它是否在所有线性⽆偏估计量中具有最⼩⽅差；（4）渐进⽆偏性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它的均值序列是否趋于总体真值；（5）⼀致性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐进有效性，即样本容量趋于⽆穷⼤时，它在所有的⼀致估计量中是否具有最⼩的渐进⽅差。

这⾥，前三个准则也称作估计量的有限样本性质或⼩样本性质（small-sample properties）,因为⼀旦某估计量具有该性最佳线性⽆偏估计量（Best Linear Unbiased质，它是不以样本的⼤⼩⽽改变的。

拥有这类性质的估计量称为最佳线性⽆偏估计量Estimator，BLUE）。

当然，在有限样本情形下，有时很难找到最佳线性⽆偏估计量，这时就需要考察样本容量⽆限增⼤时估计量的渐进性质。

⼤样本渐进性质（large-sample asymptotic properties）。

如果有限样本情况下后三个准则称为估计量的⽆限样本性质或⼤样本渐进性质不能满⾜估计的准则，则应扩⼤样本容量，考虑参数估计量的⼤样本性质。

需要说明的是，从估计量统计性质的⾓度看，⽆偏性与有效性是⼩样本性质中最为重要的两个性质，线性性并不是必须最的；⽽在⼤样本性质中，由于问题较为复杂，⼈们更多地关注⼀致性。

普通最⼩⼆乘法具有线性性、⽆偏性和有效性，是最⾼斯-马尔科夫定理（Gauss-Markov theorem）。

佳线性⽆偏估计量佳线性⽆偏估计量，这就是著名的⾼斯。

最小二乘估计的基本原理

最小二乘估计的基本原理最小二乘估计，这个名字听上去很高深，对吧？但其实它背后的原理并不复杂，只要你能抓住几个核心点，就会发现它其实挺简单的。

今天，我们就来聊聊这个话题，把它讲得清楚明白，希望你听了之后能对它有个直观的理解。

1. 最小二乘估计是什么？最小二乘估计，顾名思义，主要是为了找到一个估计值，使得预测值和实际观测值之间的差距最小。

这就像你在玩一个精准的投篮游戏，目标是把球投得尽可能靠近篮筐。

这里的“最小”就是让误差最小化。

听起来是不是很简单？那就让我们一步步看下去。

1.1 误差的定义首先，我们得搞明白什么是误差。

在最小二乘估计里，误差就是我们预测的值和实际观测值之间的差距。

假设你有一个线性模型来预测某个结果，比如说你根据一个人的年龄预测他们的收入。

你预测的收入可能和实际收入有些出入，这个出入就是误差。

1.2 最小化误差那么，怎么才能让误差最小呢？这就涉及到最小二乘估计的核心：我们希望通过调整模型的参数，使得所有数据点的误差平方和最小。

说白了，就是我们要让所有预测值和真实值之间的距离加起来尽可能小。

把所有误差平方加在一起，找到那个最小的和，这就是我们要做的工作。

2. 为什么使用平方？也许你会问，为什么要用平方？为什么不直接用误差的绝对值呢？平方有几个好处。

首先，平方可以消除正负误差的相互抵消。

比如说，某个点的误差是+2，另一个点的误差是2，如果直接用这些误差的和，那么它们就会相互抵消掉。

但用平方的话，+2和2的平方都是4，这样就可以真实地反映出误差的大小。

其次，平方能更强烈地惩罚大的误差。

想象一下，如果你用一个不合适的模型预测结果，误差可能会很大。

平方后，这些大的误差会被放大，这样就能让模型更注重减少这些大的误差。

2.1 平方和的计算举个例子，假设你有几个数据点，每个点的实际值和预测值分别是（10, 8）、（15, 14）和（20, 25）。

误差分别是2、1和5。

计算这些误差的平方和，就是2² + 1² + (5)² = 4 + 1 + 25 = 30。

最小二乘估计

你知道怎样来推导这个公式吗？
.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)的对比表：
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程； (2)如果某天的气温是-3℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯解 (1)作散点图如图所示
由散点图知两个变量是线性相关的，计算各种数据如下表
于是：则：
分步计算减少出错
下面的数据给定了两个变量之间的关系
X1 2 3 4 5 6 7 8 Y 1 4 9 16 25 36 49 64
请利用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程
x12345678 Y 1 4 9 16 25 36 49 64
1.制作散点图就是描点，我们可以做出散点图：
Y=9x-15
如何求得这个方程？
从而我们利用最小二乘估计时，已经失去了意义，你认为问题出在哪里呢？
最小二乘估计
前面我们学习了统计活动的最基本的知识。从确定调查对象都收集数据再到数据呈现，以及最后作出统计结论。
从所有的过程中，分析数据是最难的，事物的发展趋势更是我们所需要了解的，因为它是我们得出结论的依据。
对于线性相关的一组数据，关键是怎样求这条相关直线的方程
有一个非常直接的想法，就是利用一条直线来刻画数据的趋势，这条直线必须保证到所有点的距离最小，最小二乘法就是基于这种想法。
点到直线的距离公式如何表
示？
我们可以看到，利用距离公式在计算方面是比较麻烦，因此
我们想将它简化，你知道怎样简化吗？
演
有演示我们知道，我们可以这样来刻画“距离”
示
假设一条直线的方程为:y=a+bx,对于给定的一个样本点(xi,yi), 我们用
来刻画这个样本点与这条直线的距离，用它们表示二者之间的接近程度

最小二乘估计课件(43张)

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2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散点图，如下图．
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a＝143－1130×52＝0，故所求回归直线方程为 y＝1130x.
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1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x

最小二乘估计方法

最小二乘估计方法最小二乘估计方法数学中的最小二乘估计方法广泛应用于数据分析、统计学和经济学等领域，为研究问题提供了一个可靠的数学手段。

最小二乘估计方法的基本思想是基于数据的统计分布特性，使用最小化误差平方和的方法对数据进行拟合估计。

一、基本概念最小二乘法是一种数据拟合方法，它通过拟合方程与观测值之间的残差平方和，来评估拟合程度。

在进行最小二乘法时，首先需要建立合适的函数模型，然后将实际观测值代入模型，获得拟合值。

最后，将残差平方和最小化，确定拟合值。

二、实际应用最小二乘法在实际应用中非常广泛，例如我们可以通过最小二乘法来解决以下问题：1. 数据拟合问题：通过最小化残差平方和来拟合一组数据，可以得到最优解，同时可以帮助我们探索数据之间的关系。

2. 函数拟合问题：对于一些复杂的函数，我们可以使用最小二乘法来确定其参数，从而得到最优的函数拟合。

3. 数据处理问题：在处理实际数据时，我们可以使用最小二乘法来去除数据中的误差，从而得到更准确的结果。

三、特点优势最小二乘法有着广泛的应用和优势，其中一些重要的特点包括：1. 精度高：通过最小二乘法，我们可以在一定程度上排除测量误差，从而得到更精确的估计结果。

2. 建模灵活：最小二乘法的建模过程相对较灵活，可以适应不同的数据分布和模型建立。

3. 稳定性好：对于数据分布存在小波动情况的数据，最小二乘估计方法也有较好的稳定性。

四、总结在科学研究和实际应用中，最小二乘法是一种强大的工具，可以用来拟合数据、解决函数拟合问题以及处理数据中的误差。

它具有精度高、建模灵活和稳定性好等优点，成为了数据科学领域的重要方法之一。

最小二乘估计

最小二乘估计随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。

在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。

大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。

最小二乘法就成了估计理论的奠基石。

最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。

对于严格的正态分布数据,最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。

实践证明,在没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。

这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。

最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。

长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。

卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。

参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态*0X 和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值0ˆX 。

常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。

最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。

卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。

卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。

记观测量的权阵为 P 。

利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程0y Hx ε=+，得1()T T x H PH H Py -=卫星的参考状态为**000ˆX X x =+ 在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。

最小二乘估计

第八节最小二乘估计[学习目标] 1.了解最小二乘法.2.理解线性回归方程的求法.3.掌握线性回归方程的意义．知识点一最小二乘法1．定义：如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度： .使得上式达到的直线y ＝a ＋bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为 2．应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的图．如果呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．知识点二回归直线的求法 1．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在附近，就称这两个变量之间具有关系，这条直线叫做回归直线． 2．回归方程与最小二乘法我们用y i －y ^i 来刻画实际观察值y i (i ＝1,2，…，n )与y ^i 的偏离程度，y i －y ^i 越小，偏离越小，直线就越贴近已知点．我们希望y i －y ^i 的n 个差构成的总的差量越小越好，这才说明所找的直线是最贴近已知点的．由于把y i －y ^i 这个差量作和会使差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即Q ＝∑i ＝1n(y i －a －bx i )2作为总差量，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条．因为平方又叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法．用最小二乘法求回归方程中的a ^，b ^有下面的公式：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n (x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1n x 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i . 这样，回归方程的斜率为b ^，截距为a ^，即回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.思考任何一组数据都可以由最小二乘法得出回归方程吗？题型一变量间相关关系的判断例1 某种产品的广告费支出x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图； (2)求回归方程．反思与感悟1.求回归方程的步骤 (1)列表x i ，y i ，x i y i . (2)计算x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1ny 2i ，∑i ＝1nx i y i .(3)代入公式计算b ^，a ^的值．(4)写出回归方程y ^＝a ^＋b ^x . 2．求回归方程的适用条件两个变量具有线性相关性，若题目没有说明相关性，则必须对两个变量进行相关性判断．跟踪训练1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：已知记忆力x和判断力y题型二利用线性回归方程对总体进行估计例2有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；(3)求回归方程；(4)如果某天的气温是2 ℃，预测这天卖出的热饮杯数．反思与感悟用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤是：(1)把数据列成表格；(2)作散点图；(3)判断是否线性相关；(4)若线性相关，求出系数b，a的值(一般也列成表格的形式，用计算器或计算机计算)；(5)写出回归直线方程y＝a＋b x.跟踪训练22014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110x i y i ＝117.7，∑i ＝110x 2i ＝406)1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图．根据散点图，可看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关． 2．求回归直线的方程时应注意的问题(1)知道x 与y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．(2)用公式计算a ^、b ^的值时，要先算出b ^，然后才能算出a ^.3．利用回归方程，我们可以进行估计和预测．若回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝x 0处的估计值为y ^0＝b ^x 0＋a ^.1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( ) A ．确定性关系B ．相关关系C ．函数关系D ．无任何关系2．设有一个回归方程为y ^＝－1.5x ＋2，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位3．某商品的销售量y (单位：件)与销售价格x (单位：元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A.y ^＝－10x ＋200B.y ^＝10x ＋200C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －2004．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张明同学(20岁)身高178 cm ，他的体重应该在________kg 左右．6. 如图，在四棱锥P-ABCD 的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ， E 、F 分别是 PB 、AD 的中点，PD=2．（1）求证：BC ⊥PC ；（2）求证：EF//平面PDC ；（3）求三棱锥B —AEF 的体积.。

最小二乘估计量的性质

第三节最小二乘估计量的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性一、线性特性的含义线性特性是指参数估计值1ˆβ和2ˆβ分别是观测值t Y 或者是扰动项t μ的线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用t Y 或者是t μ来表示。

1、2ˆβ的线性特征证明（1）由2ˆβ的计算公式可得： 222222()ˆt tttt ttttttt tt tt x y x Y x Y xxx xx x x x β--===⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Y Y Y Y需要指出的是，这里用到了因为t x 不全为零，可设2tt tx b x =∑，从而，t b 不全为零，故2ˆt t b β=∑Y 。

这说明2ˆβ是t Y 的线性组合。

（2）因为12t t t Y X ββμ=++，所以有()212122ˆt t t t t t t t t t t tb b X b b X b b βββμββμβμ==++=++=+∑∑∑∑∑∑Y这说明2ˆβ是t μ的线性组合。

需要指出的是，这里用到了220t t t t t x x b x x ===∑∑∑∑∑以及 ()2222222201t t tt t t tt ttttttttx x X x b X X x x x x X x X x x x x x⎛⎫+⎪== ⎪⎝⎭++==+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑2、1ˆβ的线性特征证明（1）因为12ˆˆY X ββ=-，所以有 ()121ˆˆ1t t t t tY X Y X b nXb n ββ=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑Y Y这里，令1a Xb n=-，则有1ˆt a β=∑Y 这说明1ˆβ是t Y 的线性组合。

（2）因为回归模型为12t t t Y X ββμ=++，所以()11212ˆt t t t t t t t t ta a X a a X a βββμββμ==++=++∑∑∑∑∑Y因为111t t t a Xb X b nn⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭∑∑∑∑。

8 最小二乘估计2014-2-27

yi
1 4 9 16 25 36 49 64 204
xi
2
xiyi
1 8 27 64 125 216 343 512 1296
1 4 9 16 25 36 49 64 204
从而我们利用最小二乘估计时，已经失去了意义，你认为问题出在哪里呢？
从题目中可看出提供的数据满足，图像应为曲线方程，而用最小二乘法进行估计时得出是线性方程。
散点 (2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的______ 散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估图．如果_______ 散点图呈现出其他的曲线关系，计出线性回归方程；如果_______
我们就要利用其他的工具进行拟合．
2．线性回归方程 x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn －－如果用 x 表示，用 y 表示， n n
1.利用最小二乘估计时，要先作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系。
2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法估计出线性回归方程。
3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合。
• 课后作业
课本第70页的第8题复习题一 A组
•谢谢！
回归直线方程求解的方法步骤
根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．
求线性回归方程的步骤：
第1步：列表xi，yi，xiyi；
第 2 步：计算－ x ，－ y ，等；
第3步：代入公式计算b，a的值；
第4步：写出回归方程y＝a＋bx.
利用回归直线对总体进行估计：利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx ＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.

高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距的估计值,往往因计算不准导致错误.

极大似然估计与最小二乘估计

极大似然估计与最小二乘估计极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, 简称MLE）和最小二乘估计（Least Squares Estimation, 简称LSE）是统计学中常用的参数估计方法。

虽然二者在理论基础和应用场景上存在差异，但都是在给定一定的数据样本后，通过优化算法来寻找到最合适的参数估计值。

一、极大似然估计极大似然估计是一种基于概率统计原理的方法，用于估计参数的最优值。

假设我们有一组具有概率分布的样本数据，我们的目标是找到一组参数值，使得该参数值下的样本数据出现的概率最大。

首先，我们需要确定一个合适的概率分布模型，例如正态分布、二项分布等，并假设该模型的参数为θ。

然后，我们通过最大化似然函数来求解参数θ的最优值。

似然函数是指给定样本数据后，参数θ使得观测到该样本数据的概率。

举例来说，如果我们有一组服从正态分布的样本数据，我们可以假设其均值为μ，方差为σ^2。

然后，我们计算出这组样本数据出现的概率密度函数。

最大似然估计的目标是找到使得该概率密度函数最大化的μ和σ^2的值。

二、最小二乘估计最小二乘估计是一种以减小观测值与估计值之间的平方差为目标的优化方法。

在最小二乘估计中，我们通过最小化残差平方和来求解参数的最优值。

假设我们有一组观测值yi，对应的理论值为f(xi)，其中xi是自变量，yi是因变量。

我们的目标是找到一组参数θ，使得理论值f(xi)与观测值yi之间的差距最小。

最小二乘估计的思想是通过优化算法求解参数θ，使得观测值与理论值的平方差的和最小。

通常情况下，我们使用最小二乘估计来拟合回归模型，例如线性回归模型。

三、极大似然估计与最小二乘估计的比较极大似然估计和最小二乘估计在理论基础和应用场景上存在一些差异。

首先，极大似然估计是基于概率统计的思想，依赖于概率模型的选择，而最小二乘估计则是基于几何代数的思想，不依赖于具体的概率模型。

其次，极大似然估计是一种参数估计方法，适用于估计整体样本的参数，而最小二乘估计则是一种拟合方法，适用于估计个别样本的估计值。

最小二乘参数估计量的几何意义

最小二乘参数估计量的几何意义
最小二乘参数估计量的几何意义是在数据点中找到一条最优拟合
曲线或平面，使得数据点到该曲线或平面的距离平方和最小。

这个距
离平方和表示了数据点与拟合曲线或平面之间的误差。

参数估计量的几何意义是通过调整拟合曲线或平面的参数，使得
曲线或平面与数据点尽可能地接近，从而得到最小的误差。

具体而言，对于一维情况下的最小二乘拟合，参数估计量就是直线的斜率和截距。

通过调整这两个参数，可以使得直线与数据点之间的距离平方和最小。

在二维或多维情况下，参数估计量对应的是一个拟合平面或超平
面的系数。

通过适当调整这些系数，可以找到一个平面或超平面，使
得数据点在该平面或超平面上的投影与原始数据点最为接近。

因此，最小二乘参数估计量的几何意义是通过寻找最优的拟合曲
线或平面，来描述数据点的整体趋势，并通过调整拟合参数来降低数
据与拟合之间的误差。

§8 最小二乘估计

上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据. 法都缺少数学思想依据. 问题1 用什么样的线性关系刻画会更好一些？问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）. 最小二乘法就是基于这种想法. 最小二乘法就是基于这种想法.
1、最小二乘法的思想 2、线性回归方程的系数：线性回归方程的系数：
=
∑ (x )
i =1 i
i =1 n
∑x y
i
n
i
− nxy − n(x) 2
2
一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝酿的东西，都值得我们去努力.
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
=
(x i ) 2 − n(x) 2 ∑
i =1
i =1 n
∑x y
i
n
i
− nxy
思考:如果样本点只有两个，思考:如果样本点只有两个，用最小二乘法得到的直线与两点式求出的直线一致吗？与两点式求出的直线一致吗？直线一致吗解:是一致的. 是一致的.
(1)试用最小二乘法求出线性回归方程. (1)试用最小二乘法求出线性回归方程. 试用最小二乘法求出线性回归方程 (2)如果某天的气温是－ (2)如果某天的气温是－3℃，请预测当天小卖部可能会卖出如果某天的气温是热茶多少杯. 热茶多少杯.
解：（1）先画出其散点图可以求得
b ≈ −1.648,a ≈ 57.557 则线性回归方式为 y = 57.557 −1.648x

最小二乘参数估计

最小二乘参数估计1 系统辨识的概念 (1)2 最小二乘参数估计法 (1)2.1 最小二乘估计的统计特性 (2)2.2 加权最小二乘 (2)2.3 递推最小二乘估计 (3)2.4 相关最小二乘法 (3)1 系统辨识的概念系统辨识是研究建立被控对象或过程数学模型的一种理论和方法。

它是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类别中，确定一个与所研究系统等价的数学模型。

数学模型是指用数学形式来描述实际对象或过程行为特性和运动规律，微分方程、差分方程、传递函数和状态方程式常用的数学形式。

建立数学模型的主要方法有机理法和测试法。

而机理法的应用是十分有限的，实践中大量采用的还是测试法。

系统辨识就是一种测试法。

2 最小二乘参数估计法最小二乘估计是一种经典的数据处理方法，最早的应用可以追溯到18世纪，大约在1795年由高斯在他著名的星体运动轨道预报研究工作中提出的。

高斯提出：对于未知的但要求估计的参数的最适宜的值是最可能的值。

他定义：“未知量最可能的值是这样一个数值，它使得实测值与计算值的差的平方乘以测量测量精度后所得的积最小。

”后来，在控制系统的参数估计领域也发现个采用了这种方法，这样，最小二乘法就成了估计离乱的奠基石。

由于最小二乘法原理简单，编制程序也不困难，因而颇受人们重视，应用相当广泛。

目前它已成为动态系统辨识的主要手段。

从计算方法讲，它既可以离线计算，也可以在线递推计算，并可在非线性系统中扩展为迭代计算。

从计算的数学模型看，它既可以用于参数模型估计可以用于非参数模型估计。

最小二乘估计开始用于处理整批数据的静态参数估计，这里称为一般的最小二乘估计，它能提供一个在最小方差意义下与实验数据最好拟合的数学模型。

由最小二乘发获得的估计在一定条件下有最佳的统计特性，即估计的结果是无偏的、一致的和有效的，而经典辨识法中的相关辨识法、频率辨识法等也可以从最小二乘推导演绎而成。

2.1 最小二乘估计的统计特性对于一个估计算法除了计算简单和便于应用等要求外，更重要的是所得出的估计值能不能再某种意义下满足估计的精度要求，即满足估计值的优良性。