北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数word含解析
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之解析几何word含解析
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之解析几何word含解析【西城一模】19．（本小题满分14分） 已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C xy +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标； （Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分]所以24a=，22b=，从而2222ca b =-=．因此2a =，2c =故椭圆C 的离心率22c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(2,0)．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设0(,)P x y ，其中022x-<<，则220024xy +=，[6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014xy +=．[7分]直线l 的方程为011()xy y x x y-=--， 整理为 0140x x y y +-=．[9分]所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离02|d x ==+．[11分]因为22222200000011||(2)(2)(4)22422PF x y x x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l 与圆F 相切．[14分]【朝阳一模】19． (本小题满分14分) 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，且过点22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明．19． (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）由题意得222222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212xy +=． ….….5分 （Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AEBF k k += ．因为13231323AEBF y y y y kk x x x x -++=+-+13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+． 由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k xk x k +++-=，所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x+=，所以232212xk =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ．….….14分【丰台一模】（19）（本小题共14分）已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值．（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为)0,1(-'F ，且1=c ． ……………………1分因为4)23(0)23(222222=+++=a ，所以2a =，223b ac -= ……………………3分所以椭圆C的方程为13422=+y x ． ……………………4分（Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称， 所以设(,)D m n ，(,)E m n --，)1(±≠m ． ……………………5分设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33(,),(,)(0)22G t H t t ->两点，所以GM GN⊥． ……………………6分直线PD ：)1(12323---=-x m n y ．当=x 时，23123+---=m n y ，所以)23123,0(+---m n M ． ………………7分直线PE ：)1(12323-++=-x m n y ．当=x 时，23123+++-=m n y ，所以)23123,0(+++-m n N ．……………………8分所以32(,)1n GM t m -=---，32(,)1n GN t m +=--+， ……………………9分因为GM GN⊥，所以0GM GN ⋅=， ……………………10分 所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-． ……………………11分因为13422=+n m ，即124322=+n m ，223394m n -=-，………………12分所以2304t -=，所以23=t ． ……………………13分所以)23,23(G ，)23,23(-H ， 所以3GH =所以以MN 为直径的圆被直线23=y 截得3． …………14分 【海淀一模】( 19)（本小题14分） 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab 3且点(2,1)T 在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论． （19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意2222241132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：22a =，2b =，6c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += ·················· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440xx -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当∆>时，122x x t+=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t --=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= (14)分方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当∆>时，122x x t+=-，21224x x t ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+--121211112222x t x t x x +-+-=+--121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零 故TMN TNM ∠=∠ 故TM TN =故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故||||4OM ON += ······························ 14分【东城一模】(18)（本小题13分） 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab ）的离心率为32，且过点A(2,0).（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II ）设M,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线 AM ，AN 斜率之积等于14-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由． （19）（本小题14分）（Ⅰ）由题意2222241132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：22a =，2b =，6c =故椭圆C 的标准方程为22182x y += ·················· 5分（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为11(2)2y x +=-，即122y x =-. 联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440xx -+=，此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意. 故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线111:1(2)2y TP y x x --=--， 直线221:1(2)2y TQ y x x --=--故112||21x OM y -=--，222||21x ON y -=--由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当∆>时，122x x t+=-，21224x x t ⋅=-||||OM ON +1212224()11x x y y --=-+--1212224()111122x x x t x t --=-++-+-121221212(2)()4(1)411(1)()(1)42x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- 22224(2)(2)4(1)411(24)(1)(2)(1)42t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+-4= (14)分方法2：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩当0∆>时，122x xt+=-，21224x xt ⋅=-12k k +12121122y y x x --=+--121211112222x t x t x x +-+-=+--121212(2)()4(1)(2)(2)x x t x x t x x +-+--=-- 21224(2)(2)4(1)(2)(2)t t t t x x -+----=--=故直线TP和直线TQ的斜率和为零故TMN TNM∠=∠故TM TN=故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2故||||4+= (14)OM ON分【石景山一模】18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线1x=-的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b=+与曲线C相切于点P，与直线1x=-相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E的坐标为(,)x y，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1,0)为焦点，1x=-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x=． (5)分（Ⅱ）证明：由24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k=． ……8分 所以直线l 的方程为1y kx k =+． 令1x =-，得1y k k=-+． 所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．……………10分 设切点坐标0(,)P x y ，则2044+0kyy k-=，解得：212(,)P k k，……………11分 设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+--所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M．……………13分。
2018年北京市高考数学试卷(理科) word版 含参考答案及解析
2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之立体几何word含解析
【西城一模】17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2． （Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图2解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|3||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． 所以 直线1A C 和平面1A BD所成角的正弦值为3．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-， 所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]， 整理得23720λλ-+=．[13分] 解得13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]【朝阳一模】16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）．（Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-， 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ==……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y zλλ=， 所以000,3,x y zλλ===，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m .即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量(2,0,1)=-m ， 即2220λλ-+=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '．……….14分【丰台一模】（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，AD BC ∥，3AD =，22PA BC AB ===，3PB =．（Ⅰ）求证：BC PB ⊥；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值；（Ⅲ）若点E 在棱PA 上，且BE ∥平面PCD ，求线段BE 的长． （16）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB 平面=ABCD AB ，因为BC ⊥AB ，且BC ⊂平面ABCD所以BC ⊥平面PAB ．……………………3分 因为PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PB ．……………………4分（Ⅱ）解：在△PAB 中，因为=2PA ，=3PB ，=1AB ，所以222=+PA AB PB ，所以PB ⊥AB ． ……………………5分 所以，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示． 所以(1,0,0)A -，(0,0,0)B ，(0,2,0)C ，(1,3,0)D -，(0,0,3)P ，(1,1,0)CD =-，(0,2,3)PC =-．易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,1)n ．……………………6分 设平面PCD 的一个法向量为=(,,)x y z m ，则00CD PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ， 即23x y y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令=2z ，则=m ．……………………8分 设二面角P CD A --的平面角为α，可知α为锐角，则cos cos ,α⋅=<>===⋅n m n m n m ，即二面角P CD A --的余弦值为5．……………………10分 （Ⅲ）解：因为点E 在棱PA ，所以AE AP λ=，[0,1]λ∈．……………………11分因为=AP （，所以=)AE λ（，()BE BA AE λ=+=-．………12分 又因为//BE 平面PCD ，m 为平面PCD 的一个法向量，所以0BE ⋅=m 1)20λλ-+=，所以1=3λ．………………13分所以2(,0,33BE =-，所以7==3BE BE ．…………………14分【海淀一模】( 17)（本小题14分）已知三棱锥P ABC -（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD 的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： (I)证明：平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值； (Ⅲ)若点M 在棱PC 上，满足CM PM λ=，12[,]33λ∈，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥， 求BNBP的取值范围．17.（本题满分14分） （Ⅰ）方法1：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ·································································· 4分 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点 所以PO AC ⊥，因为PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以90POA POB POC ∠=∠=∠=︒ 所以PO OB ⊥ 因为ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ·································································· 4分 所以平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OPCA BQ设AC 的中点为O ，连接PO ，因为在PAC ∆中，PA PC =， 所以PO AC ⊥设AB 的中点Q ，连接PQ ，OQ 及OB . 因为在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以OQ AB ⊥.因为在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以PQ AB ⊥. 因为PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以AB ⊥平面OPQ 因为OP ⊂平面OPQ 所以OP AB ⊥ 因为ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC因为PO ⊂平面PAC ·································································· 4分 所以平面PAC ⊥平面ABC（Ⅱ）由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P由OB ⊥平面APC ，故平面APC 的法向量为(0,1,0)OB = 由(1,1,0)BC =-，(1,0,1)PC =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则由00BC PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩n n 得：00x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，得1y =，1z =，即(1,1,1)n =1cos ,||||3n OB n OB n OB ⋅<>===⋅由二面角A PC B --是锐二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为3··········································· 9分 （Ⅲ）设BN BP μ=，01μ≤≤，则(1,1,0)(1,0,1)(1,1,)BM BC CM BC CP λλλλ=+=+=-+-=--(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BP μμμμ=+=+=+-=-令0BM AN ⋅=得(1)1(1)(1)0λμλμ-⋅+-⋅-+⋅= 即1111λμλλ==-++，μ是关于λ的单调递增函数， 当12[,]33λ∈时，12[,]45μ∈， 所以12[,]45BN BP ∈ ········································································ 14分【东城一模】(17)（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．（17）（共14分）证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥， 所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥.……………………4分 （Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM . 过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点， 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ， 所以BM ⊥平面POA .因为BM ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP ＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则15sin cos 5BP BPBPm m,m. 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155.………………10分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,OA =. 设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1y =-，则xz =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3.……………………………14分【石景山一模】17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小． 17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分 依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF =，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分 所以AF PC ⊥. ……6分 （Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM =-，(4,4,0)BD =-， 所以2BD EM =，所以//BD EM ． ……8分 又因为EM ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，所以//BD 平面PEC ． ……9分 （Ⅲ）解：因为AF PD ⊥，AF PC ⊥，PD PC P =，所以AF ⊥平面PCD ，故(2,0,2)AF =为平面PCD 的一个法向量．……10分2018城六区一模立体几何理科11 / 11 设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z =，因为(4,4,4)PC =-，(0,4,2)PE =-，所以0,0,n PC n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4440,420,x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1y =-，得1x =-，2z =-，故(1,1,2)n =---． ……12分所以cos ,AF n <>==，……13分 所以二面角D PC E --的大小为5π6．……14分。
2018北京六区高三一模数学解答题分类汇编之压轴创新题
( Sk2 Sk1 ) (Sk1 S0 )
011
1 1 m．
m个 1
因为 Sn C ，所以 En 的元素个数 m ≥ C 1．
取常数数列 An： ai
C1 (i 1,2,
C2
,C 1) ，并令 n C 1 ，
则 Sn (C 1)2 C2 2C 1 C ，适合题意，
C2
C2
1/ 8
[11 分 ]
且 En {1,2, , C 1} ，其元素个数恰为 C 1 ． 综上， En 的元素个数的最小值为 C 1 ． 【朝阳一模】 20． ( 本小题满分 13 分 )
又 ( a1 a2
a7 ) (b1 b2
b6 ) ( x8 x1) ( x8 x7 x2 x1)
2/ 8
2( x8 x1) ( x7 x2 ) 2 16 14 46 ，这与①矛盾！
所以结论成立．…………………………………………………………………… 13 7 ，记 ai xi 1 xi (i 1,2, ,7) ，
bi xi 2 xi (i 1,2, ,6) ，共 13 个差数．假设不存在满足条件的 k ，则这 13 个数中至多两个
3、两个 4、两个 5、两个 6，从而
1、两个 2、两个
(a1 a2
a7 ) (b1 b2
b6) 2(1 2
6) 7 49 . …………①
中间相隔四数的两数差： 12， 14， 12；
中间相隔五数的两数差： 15， 15；
中间相隔六数的两数差： 16
这 28 个差数中，只有 4 出现 3 次、 6 出现 4 次，其余都不超过 2 次，
所以 k 的可能取值有 4， 6．…………………………………………………………６
北京市城六区2018届高三一模理科数学分类汇编之压轴小题word含答案
【西城一模】8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W （B ）V →W →U （C ）W →U →V （D ）U →W →V【西城一模】14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____【朝阳一模】8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ,(1,2)B ，动点P 满足OP OA OB λμ=+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为A ． 1B ． 2． 【朝阳一模】14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+， ， 当0x >时，函数()f x 的最大值是；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 【丰台一模】（8）设函数π()sin(4)4f x x =+9π([0,])16x ∈，若函数()()y f x a a =+∈R 恰有三个零点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，则123x xx ++的取值范围是(B) 5π11π(,]816 (C) 7π15π[,)816 (D) 7π15π(,]816【丰台一模】（14）已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．①若3AB AC=，则AB CD ⋅=____②若AP AB AD =+，则||AP 的最大值为____．2【海淀一模】（8）已知点M 在圆1C ：22(1)(1)1x y -+-=上，点在圆2C ：22(+1)(+1)1x y +=上，则下列说法错误的是(A) OMON 的取值范围为[3--OM ON +取值范围为(C)OM ON -的取值范围为2](D)若OM ON λ=，则实数λ的取值范围为[33---+ 【海淀一模】 ( 14)设函数2,()3,x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-⎩．①若()f x 有两个零点，则实数a ②若-2a ≤，则满足()+f x (1)3f x --的x 的取值范围是．1x >-【东城一模】(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 (A)4(B) 3(C)2(D)1 【东城一模】 (14）单位圆的内接正n(n ≥3)边形的面积记为()f n ，则f(3)=; 下面是关于()f n 的描述：①2()sin 2n f n n π=②()f n 的最大值为π③()f n (1)f n +④()f n (2)f n 2()f n ≤其中正确结论的序号为．【石景山一模】8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段CD AB ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【石景山一模】14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ∈，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b =--，使得{}=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③若{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．②③。
2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--立体几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2y
2z
0,
y 2z 0.
n A1 D 0,
令 x 1，则 y 2 ， z 1 ，所以 n (1,2, 1) ． [7 分 ]
设直线 A1C 和平面 A1BD 所成的角为 ，
则 sin
| cos n, A1C | | n A1C | | n || A1C |
2 2． 3
所以 直线 A1C 和平面 A1 BD 所成角的正弦值为
（Ⅲ）在线段 A C 上是否存在点 P ，使得 OP // 平面 A DE ? 若存在，求出 A P 的值；若不存在，请说明理由． AC
A
E
D
O
A
E D
O
B
C
B
C
图
图
1
2
证明：（Ⅰ）由已知 AB AE 2 ，
因为 O 为 BE 中点，所以 A O BE ． 因为平面 A BE 平面 BCDE ，且平面 A BE 平面 BCDE
所以 DE // BC ， AD AE ．
所以 A1D A1E ，又 O 为 DE 的中点， 所以 A1O DE ． [1 分 ] 因为平面 A1DE 平面 BCED ，且 A1O 平面 A1DE ， 所以 A1O 平面 BCED ， [3 分] 所以 A1O BD ． [ 4 分 ] （Ⅱ）取 BC 的中点 G ，连接 OG ，所以 OE OG ． 由（Ⅰ）得 A1O OE ， A1O OG ． 如图建立空间直角坐标系 O - xyz ． [5 分]
由题意得， A1 (0,0,2) ， B(2, 2,0) ， C (2,2,0) ， D(0, 1,0) ．
1 / 11
所以 A1B (2, 2, 2) ， A1D (0, 1, 2) ， A1C (2,2, 2) ． 设平面 A1BD 的法向量为 n (x , y , z) ，
最新-北京市各区2018年高考数学一模试题分类解析(3)
三、导数及其应用（选修2-2）21．（2018高考模拟文科）（本小题满分12分） 若1212()x x x x ≠、是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点。
（Ⅰ）若121,13x x =-=，求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若12x x +=b 的最大值。
21．解析：（Ⅰ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f依题意有13-和1是方程02322=-+a bx ax 的两根 ∴2233133b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()32f x x x x =--．（经检验，适合）……5分（Ⅱ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x且12x x += ∴()21212x x -=．∴()2222412,3933b ab a a a ⎛⎫-+=∴=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．７分 ∵20b ≥∴09a <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分设()()239p a aa =-，则()2549p a a a '=-．由()0p a '>得06a <<，由()0p a '<得6a >．即函数()p a 在区间(]0,6上是增函数，在区间[]6,9上是减函数，．．．．．．．．10分 ∴当6a =时，()p a 有极大值为324，∴()p a 在(]0,9上的最大值是324， ∴b 的最大值为18． ……………………………12分 18.（2018东城一模文科）（本小题共13分）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．(a ∈R )（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．（Ⅰ）解：'()(2)e x f x ax a =+-， …………2分由已知得)1('=f ，解得1=a ． …………4分当1a =时，()(2)e x f x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)e x f x x =-，'()(1)e x f x x =-.当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减； 当(]1,2x ∈时，'()(1)xf x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. …………8分所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-， 又(0)2f =-，(2)0f =， 所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. …………12分对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-． 所以12()()0(e)e f x f x -≤--=. …………13分18. （2018丰台一模文科）（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈． （Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值；（Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以1a -=， ……………………3分所以1a =． ……………………4分（Ⅱ）令(f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a 2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分所以3a >． ……………………9分（Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减． 又因为(f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分 所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分 18．（2018石景山一模文科）（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时'()f x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2a g x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分18. （2018高考仿真文科）（本小题满分13分）设函数c x b ax x f +-=232)(，其图像过点（0,1）. （1）当方程01)('=+-x x f 的两个根分别为是21，1时,求f(x)的解析式；（2）当0,32≠=b a 时，求函数f(x)的极大值与极小值.解：由题意可知，f(0)=1所以c=1 ……………………………….1分(Ⅰ)由,12)(23+-=x b ax x f 得bxax x f -=2'3)(.因为01)('=+-x x f ，即0132=+--x bx ax 的两个根分别为1,21所以⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+--⨯011301212413b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==232b a 故132)(23+-=x x x f ………… ……………………….6分 （Ⅱ）c x bx x f +-=23232)(所以，)2(22)(2'bx x bx x x f -=-=………………. ……………………….7分①若b>0，则当)0,(-∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 当)2,0(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减 当),2(+∞∈b x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 因此，f(x)的极大值为f （0）=c=1,f(x)的极小值为241)23b b f -=（ ……………………….10分②若b<0，则当)2,(b x -∞∈时，0)('>x f 函数f(x)单调递增 当)0,2(b x ∈时，0)('<x f 函数f(x)单调递减 当),0(+∞∈x 时，0)('>x f 函数f(x)单调递增因此，f(x)的极大值为241)23b b f -=（f(x)的极小值为f （0）=1.综上所述，当b>0时, f(x)的极大值为1, 极小值为2413b -,当b<0时, f(x)的极大值为2413b -, 极小值为 1. ……………………….13分18. （2018朝阳一模文科）（本题满分14分）已知函数()2()1e xf x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间.解：（Ⅰ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤，即()2()21e 0xf x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x =-21x =-作差可知11->-则当1x a <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x -<<-时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11-+-上为单调增函数；当1x a >--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1-∞-，(1)-+∞，函数()f x 的单调增区间为(11-+-. …………………………14分18. （2018东城示范校二模文）(本题满分13分) 已知函数32()231f x ax ax =-+，3()42a g x x =-+()a ∈R . (Ⅰ) 当1a =时, 求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ) 当0≤a 时，若任意给定的[]00,2x ∈,在[]0,2上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使 得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．解：（I ）2()666(1).f x x x x x '=-=-------------------------2分由()0,10f x x x '>><得或； 由()0,01f x x '<<<得；故函数)(x f 的单调递增区间是)(1,)0,(+∞-∞和；单调递减区间是（0，1）.-------------------------6分 （II ） ①当0a =时，23)(,1)(==x g x f ，显然不可能满足题意； -------------------------7分②当0a <时，)1(666)(2-=-='x ax ax ax x f .分又因为当30,()42a a g x x <=-+时在[0，2]上是增函数， 对任意]232,23[)(],2,0[+-∈∈a x g x ， -------------------------------11分由题意可得a a -<+-1232解得1-<a . 综上，a 的取值范围为)1,(--∞.------------------------13分18. （2018房山一模文科）（本小题共13分）设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 解：（I ）∵当1=a 时，13231)(23+-+-=x x x x f ，………………………1分 34)(2-+-='x x x f …………………………………2分当3=x 时，1)3(=f ，=')3(f 0 …………………………………3分 ∴曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程为01=-y ………………………4分（II ）22()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是34()3f a a a =-；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间函数的极大值是34()3f a a a =-，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 (III) 根据（II ）问的结论，(3,)x a a ∈时，34()()3f x f a a a <=-………………11分因此，不等式()1f x a <+在区间(3,)a a 上恒成立必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-01343a a a a ，解之，得a ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭ ……………………13分 18． （2018海淀一模文科）（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. (3)分当0a >时，令'()0f x =得x =或x =. 函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞ .………………………………………13分16. （2018门头沟一模文科）（本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数错误！未找到引用源。
2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--三角函数
（ k Z ），
3
6
故 f (x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
3
6
【东城一模】 (15) （本小题 13 分） 已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x.
（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；
( Ⅱ ) 求 f (x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值． 2
, 2k 2
（ k Z ）， 2
令 2k
2x
2k
（ k Z ），
2
6
2
解得 k
xk
（ k Z ），
3
6
故 f (x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
3
6
【石景山一模】 15．（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) 2cos2 x 2 3sin x cosx 1.
Z ) ．……………… 13 分
8
2
2
8
【海淀一模】 ( 15) （本小题 13 分）
已知 f ( x) 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ．
2/ 5
(I) 求 f ( ) 的值； 6
( Ⅱ) 求 f ( x) 的单调递增区间．
15. （本题满分 13 分）
（Ⅰ） f ( ) 2 3 sin cos 2cos 2 1
53 ． [13 分]
2
2
【朝阳一模】 15． ( 本小题满分 13 分 )
在 ABC 中，已知 sin A 5 ， b 2a cos A ． 5
（Ⅰ）若 ac 5 ，求 ABC 的面积； （Ⅱ）若 B 为锐角，求 sin C 的值． 解：（Ⅰ）由 b 2a cos A ，得 cos A 0 ，
北京市城六区2021届高三一模理科数学解答题分类汇编之解析几何
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之解析几何学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l与圆F 的位置关系，并证明你的结论．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,且过点2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点,直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数.若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合,设直线AE与x 轴所成的锐角为1θ,直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ,判断1θ与2θ的大小关系并加以证明.3．已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值．4．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab 且点(2,1)T 在椭圆C 上，设与OT 平行的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，N 两点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)判断OM ON +的值是否为定值，并证明你的结论．5．在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ． 证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．参考答案1．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆C 的标准方程为22142x y +=，可得2222c a b =-=，所以椭圆C的离心率c e a ==，椭圆C 的左焦点F的坐标为()；（Ⅱ） 设()00,P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=，可设()01,Q x y ，则22014x y +=，由点斜式可得直线l 的方程为()0101x y y x x y -=--，圆F 的圆心F 到直线l的距离02d x =+．利用两点间距离公式求得22001||42PF x =++，即 PF d =，从而可得直线l 与圆F 相切．试题解析：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=． 因此2a =，c =故椭圆C的离心率c e a ==椭圆C 的左焦点F的坐标为()． （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：设()00,P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， 依题意可设()01,Q x y ，则22014x y +=．直线l 的方程为()0101x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=．所以圆F 的圆心F 到直线l的距离02d x =+．因为((()22222200000011||4422PF x y x x x =++=++-=++． 所以22||PF d =，即 PF d =，所以 直线l 与圆F 相切．2．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）12θθ=.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2,且过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得椭圆C 的方程；（Ⅱ）1θ与2θ的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设()()()11122:1,,,,,l y k x A x y B x y =+，联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩,消去y 得()2222124220k xk x k +++-=,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得132413240AE BF y y y y k k x x x x --+=+=--，直线,AE BF 的倾斜角互补,可得12θθ=.试题解析：（Ⅰ）由题可得222222211c a a b a b c⎧=⎪⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎨⎝⎭+=⎪⎪⎪⎪=+⎩,解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩. 所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）结论:12θθ=,理由如下:由题知直线1l 斜率存在, 设()()()11122:1,,,,l y k x A x y B x y =+.联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩, 消去y 得()2222124220k x k x k +++-=,由题易知0∆>恒成立,由韦达定理得22121222422,1212k k x x x x k k -+=-=++, 因为2l 与1l 斜率相反且过原点,设2:l y kx =-,()()3344,,,E x y F x y ,联立2222y kxx y =-⎧⎨+=⎩消去y 得()221220k x +-=,由题易知0∆>恒成立, 由韦达定理得3434220,12x x x x k -+==+,因为,E F 两点不与,A B 重合,所以直线,AE BF 存在斜率,AE BF k k , 则13241324AE BF y y y y k k x x x x --+=+--()()1323132311k x kx k x kx x x x x +++-=+-+()()()()()()13232313132311x x x x x x x x k x x x x ++++-+-=⋅-+()()212312132322x x x x x k x x x x +++=⋅-+ ()()()222221323222224121212k k k k kk x x x x -⨯-+++++=⋅-+ 0= 所以直线,AE BF 的倾斜角互补, 所以12θθ=.3．（Ⅰ）22143x y +=．（Ⅱ）见解析． 【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到1c =，利用定义得到2a =，即可求解椭圆的标准方程； （Ⅱ）设(,)D m n ，(,)E m n --，根据直线方程，求解,M N 的坐标，可得GM GN ⊥，利用 0GM GN ⋅=，求得t 的值，即可得到弦长为定值． 试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==，所以2a =，b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，(),E m n --，()1m ≠±． 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GM GN ⊥．直线PD ：()332121n y x m --=--． 当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ：()332121n y x m +-=-+． 当0x =时，33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以()22249041n GM GN t m -⋅=+=-． 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =．所以32G ⎫⎪⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH = 所以以MN 为直径的圆被直线32y =． 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,a b c 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．4．（Ⅰ）22182x y +=;（Ⅱ）4OM ON +=.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆C的离心率为2，且点()2,1T 在椭圆C 上，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c ，即可得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩，根据韦达定理及斜率公式先证明12k k + 0=，可得直线TP 和直线TQ 的斜率和为零，可得TMN TNM ∠=∠，故TM TN =，从而得T 在线段MN 的中垂线上，进而可得4OM ON +=.试题解析：（Ⅰ）由题意22222411a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得：a =b =c =故椭圆C 的标准方程为22182x y +=（Ⅱ）假设直线TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为()1122y x +=-，即122y x =-.联立方程22182122x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得2440x x -+=， 此时，直线l 与椭圆C 相切，不合题意.故直线TP 和TQ 的斜率存在. 方法1：设()11,P x y ，()22,Q x y ，则 直线()111:122y TP y x x --=--，， 直线()221:122y TQ y x x --=-- 故11221x OM y -=--，22221x ON y -=--， 由直线1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）， 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-，OM ON + 121222411x x y y ⎛⎫--=-+ ⎪--⎝⎭1212224111122x x x t x t ⎛⎫ ⎪--=-+ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭()()()()()()1212212122414111142x x t x x t x x t x x t +-+--=-+-++- ()()()()()()()2222422414112412142t t t t t t t t -+----=--+-⋅-+- 4= .方法2：设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线TP 和TQ 的斜率分别为1k 和2k , 由1:2OT y x =，设直线1:2PQ y x t =+（0t ≠）, 联立方程，2222182224012x y x tx t y x t ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩, 当0∆>时，122x x t +=-，21224x x t ⋅=-,12k k + 12121122y y x x --=+-- 121211112222x t x t x x +-+-=+-- ()()()()()12121224122x x t x x t x x +-+--=--()()()()()21224224122t t t t x x -+----=--,0=故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零, 故TMN TNM ∠=∠, 故TM TN =,故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2 故4OM ON +=.5．（1）24y x =；（2）(1,0)M【解析】试题分析：（1）设出动点E 的坐标为(),x y ，然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（2）设出直线l 的方程为：y kx b =+（0k ≠），联立直线方程和抛物线方程化为关于y 的一元二次方程后由判别式等于0得到k 与b 的关系，求出Q 的坐标，求出切点坐标，再设出M 的坐标，然后由向量,MQ MP 的数量积为0证得答案，并求得M 的坐标． 试题解析：（1）解：设动点E 的坐标为(),x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． （2）证明：由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=． 因为直线l 与抛物线相切，所以16160kb ∆=-=，即1b k =． 所以直线l 的方程为1y kx k =+． 令1x =-，得1y k k =-+．所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． 设切点坐标()00,P x y ，则20044+0ky y k -=， 解得：212,P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(),0M m ， ()21211k MQ MP m m k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221=2m m m k -+-- 所以当22=010m m m ⎧+-⎨-=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点()1,0M ．。
2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--概率统计
某学校为了解高一年级 420 名学生选考科目的意向，随机选取 如下表：
30 名学生进行了一次调查，统计选考科目人数
性别
选考方案确定情况
物理 化学 生物 历史 地理 政治
选考方案确定的有 8 人
8
8
4
2
1
1
男生
选考方案待确定的有 6 人 4
3
0
1
0
0
选考方案确定的有 10 人
8
9பைடு நூலகம்
6
3
3
1
女生
选考方案待确定的有 6 人 5
女性录用比 例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 2 人．记 X 为这 2 人中被录用的人数，求 X 的分布列和数学期望；
1/ 7
433
P
．[3 分 ]
1000
某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、 地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则 称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考 科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数word含解析
【西城一模】18．〔本小题总分值13分〕已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； 〔Ⅱ〕当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．解：〔Ⅰ〕()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x xf x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分]〔Ⅱ〕由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]【朝阳一模】18． (本小题总分值13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． 〔Ⅰ〕当2a =时，〔ⅰ〕求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔ⅱ〕求函数)(x f 的单调区间；〔Ⅱ〕假设12a <<，求证：)(x f 1<-．〔Ⅰ〕当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. 〔ⅰ〕可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点〔1,3-〕处的切线方程为3y =-. ….3分 〔ⅱ〕在区间〔0,1〕上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>.在区间〔1,+∞〕上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为〔0,1〕，单调递减区间为〔1,+∞〕. ….8分〔Ⅱ〕由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+-03ln 2x x -=-. 又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<. 则030,ln 02x x ->->. 因此03ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x > 所以()1f x <-. ….….13分【丰台一模】〔18〕〔本小题共13分〕已知函数()e (ln 1)()xf x a x a =-+∈R ．〔Ⅰ〕求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围． 〔18〕〔本小题共13分〕解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()e x af x x'=-． ……………………1分 〔Ⅰ〕因为(1)e f a =-，(1)e f a '=-， ……………………3分所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(e )(e )(1)y a a x --=--，即(e )y a x =-． ……………………5分〔Ⅱ〕()e x a f x x'=-． 〔ⅰ〕当0a ≤时，对于任意1(,1)2x ∈，都有()0f x '>， …………………6分所以函数()f x 在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意． (8)分〔ⅱ〕当0a >时，令()e xa g x x =-，则2()e 0xa g x x'=+>．…………………9分所以()g x 在1(,1)2上单调递增，即()f x '在1(,1)2上单调递增，…………10分所以函数()f x 在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2f f '>⎧⎪⎨'<⎪⎩ …………………12分所以e 0,20.a a ->⎧⎪<所以e 2a <<．所以a的取值范围是． ……………………13分 【海淀一模】(18)〔本小题13分〕已知函数ln ()x f x x a =+(I)当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ)当0a 时，假设函数()f x 的最大值为e21，求a 的值.18.〔此题总分值13分〕〔Ⅰ〕当0a =时，ln ()xf x x=故221ln 1ln '()x xx x f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ··························································· 4分〔Ⅱ〕方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++ 令()1ln ag x x x=+- 则221'()0a x a g x x x x+=--=-< 由()0a g =>e e ，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e+++=+-+=⋅-<e 故存在10(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故02()f x =e 故000201ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e ···················································· 13分 故a 的值为2e .〔Ⅱ〕方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e且存在0(0,)x ∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e 且存在0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x =-e 的最大值为a .2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e.故的最大值为()ln g =-=e e e e e ，即a =e . ··························· 13分【东城一模】(19)〔本小题14分〕已知函数()(1)x f x e a x =-+.假设曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； (Ⅱ〕假设()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(Ⅲ〕求证：当0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x =+的上方． 19〕〔共14分〕解：〔I 〕函数()e (1)xf x a x =-+的定义域为R .因为()e (1)x f x a x =-+，所以'()e xf x a =-.由'(0)10f a =-=得1a =. ……………………………4分〔II 〕'()e (R)xf x a x =-∈.①当0a >时，令'()0f x =得ln x a =.ln x a <时，'()0f x <；ln x a >时，'()0f x >. ()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时，()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-.“()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 最小值大于等于0”，即ln 0a a -≥. 因为0a >，所以01a <≤.②当0a =时，()e 0xf x =>符合题意；③当0a <时，取011x a=-+，则111101()e (11)e 10a a f x a a -+-+=--++=-<，不符合题意.综上，假设()0f x ≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为[0,1]. ……………………9分〔III 〕当0a =时，令()()(2ln )e ln 2(0)x h x f x x x x =-+=-->，可求1'()e xh x x=-. 因为121'()e 1002h =-<，'(1)e 10h =->，且1'()e xh x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以在〔0，〕上存在唯一的0x ，使得0001'()e 0xh x x =-=，即001e x x =，且 0112x .当x 变化时，()h x 与'()h x 在〔0，〕上的情况如下：则当0x x =时，()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22xh x x x x =--=+-. 因为01(,1)2x ∈，所以0001()220h x x x =+->=. 所以当0a =时，()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分【石景山一模】19．〔本小题共14分〕已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. 〔Ⅰ〕求,a b 的值；〔Ⅱ〕求()f x 在[0,1]上的最大值；〔Ⅲ〕当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.〔只需写出结论，不要求证明〕 19．〔本小题共14分〕 解：〔Ⅰ〕()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分〔Ⅱ〕令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分 故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分〔Ⅲ〕当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分。
2018北京市西城区高三一模理科数学试题(卷)与参考答案解析
西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）B（C ）6+D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=（A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC ？若存在，求出11A F A C 的值；若不存在，说明理由．图1图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7-10．6，2n n +110x ±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以 sin 2sin cosC A A =．[ 1分] 在△ABCsin 2sin cos C A A =．[ 3分]所以cos A =．[ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分] 所以 π6A =．[ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 所以222c c =+-⋅[ 8分] 整理得 2650c c -+=，[ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意．[11分]当1c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2．[4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[5分]所以2226C 1(0)C 15P X ===；112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[8分] 所以X 的分布列为：()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ．[13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． 所以 直线1A C 和平面1A BD．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-， 所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]令整理得23720λλ-+=．[13分]解得13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分] （Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增． 所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分]所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则22024x y +=，[6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=．[7分]直线l 的方程为0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=．[9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l的距离02|d ==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l 与圆F 相切．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，[2分]所以5{2,4,5}E =．[3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以11i i k k S S +-≤. [5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[6分] 1.i k S <+所以11i i k k S S +-<．[8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤． 所以12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意， 且{1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。
最新-北京市2018高三数学一模分类汇编3 三角函数 理
2018北京市高三一模数学理分类汇编3：三角函数【2018北京市房山区一模理】11．已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0, πϕ<<0）的图象如图所示，则ω=__，ϕ=__.【答案】58,910π 【2018北京市海淀区一模理】（11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . 【答案】45-【2018年北京市西城区高三一模理】5．已知函数44()sincos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）14【答案】B【解析】x x x x x x f ϖϖϖϖϖ2c o s c o s s i n c o s s i n )(2244-=-=-=，所以周期πϖπϖπ===22T ，所以1=ϖ，选B. 【2018北京市门头沟区一模理】4．在ABC ∆中，已知4A π∠=，3B π∠=，1AB =，则BC为（A 1 （B 1（C ）3（D 【答案】A【2018北京市朝阳区一模理】15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()f α=，求sin 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 所以 24sin 225α=. ……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分 【2018北京市东城区一模理】（15）（本小题共13分） 已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值. 【答案】解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ , …………6分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………8分（Ⅱ）依题意,()y g x ==[4()8x π-4π+]1+)14x π=-+. ………10分因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤. …………11分当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 1； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0. …………13分 【2018北京市石景山区一模理】15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 22A a ==，求ABC ∆的面积. 【答案】解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=．……4分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ， ∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得b = …………8分由 cos 2A =可得4A π=，由3π=B ，可得sin C =， …………11分∴11sin 222s ab C ==⨯=． …………13分【2018北京市门头沟区一模理】15．（本小题满分13分）已知：函数2()sincos222xxxf x ωωω=+(0)ω>的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】解：（Ⅰ）1()cos )sin 2f x x x ωω=-+ ……………………………4分()sin()32f x x πω=-+…………………………… 6分 因为函数的周期为π所以2ω= ……………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()s i n (2)3f x x π=-……………………………8分当 222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 时函数单增……………………………10分5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ (12)分所以函数()f x 的单增区间为5[,]1212k k ππππ-+，其中k Z ∈ ………………………13分【2018年北京市西城区高三一模理】15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC = ，20=⋅AC AB ，求||AB AC +．【答案】（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． …3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以21cos =A ．…………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．…………8分因为 ||7BC = ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC += ． …………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， …………12分所以 ||AB AC +…………13分【2018北京市海淀区一模理】（15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列.（Ⅰ）若b =3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值. 【答案】解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )2A A A =+11cos22()422A A -=+ 11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<， 所以72666A πππ-<-<. 所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分【2018北京市房山区一模理】15．（本小题共13分）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +=,,2=ac =（Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.【答案】解：（I ）解 tan tan tan A B A B +=tan tan )A B -tan tantan()1tan tan A BA B A B+∴+=-=……………………5分（II ）由（I ）知 60A B +=︒，120C ∴=︒ ……………………7分C ab b a c cos 2222-+=∴⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯-+=21224192b b ∴3=b ……………………10分 ∴233221sin 21⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 233= ……………………13分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之函数与导数word含解析【西城一模】18．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e xy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()xxf x a x x x x'=⋅+++⋅- 221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及ex>知，()f x '与221ln a x x x +-+同号．令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分]所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分]因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<， 故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分] ()f x 与()f x '在区间1(,1)2上的情况如下： x 01(,)2x 0x 0(,1)x ()f x ' -+()f x↘极小值 ↗所以()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]【朝阳一模】18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-．（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x -=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=.（ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-.….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且l n 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x-<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分（Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x --<-，等价于21ln 0ax x x -+->.设2()1l n h x a x x x=-+-，只须证()0h x >成立. 因为2121()21a x x h x a x x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210a x x --=有异号两根.令其正根为0x ，则20210axx --=.在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1l n h x a xx x =-+-0011ln 2x x x +=-+-03ln 2x x -=-.又(1)22h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<， 所以0112x <<. 则0030,l n 02x x ->->. 因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-.….….13分【丰台一模】（18）（本小题共13分）已知函数()e(ln 1)()xf x a x a =-+∈R ．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）若函数()y f x =在1(,1)2上有极值，求a 的取值范围．（18）（本小题共13分）解：函数()f x的定义域为(0,)+∞，()e x af xx'=-．……………………1分（Ⅰ）因为(1)ef a=-，(1)ef a'=-，……………………3分所以曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程为(e)(e)(1)y a a x--=--，即(e)y a x=-．……………………5分（Ⅱ）()e x af xx'=-．（ⅰ）当0a≤时，对于任意1(,1)2x∈，都有()0f x'>，…………………6分所以函数()f x在1(,1)2上为增函数，没有极值，不合题意．……………………8分（ⅱ）当0a>时，令()e x ag xx=-，则2()e 0x a g x x '=+>．…………………9分所以()g x 在1(,1)2上单调递增，即()f x '在1(,1)2上单调递增，…………10分所以函数()f x 在1(,1)2上有极值，等价于(1)0,1()0.2f f '>⎧⎪⎨'<⎪⎩ …………………12分所以e 0,e 20.a a ->⎧⎪-< ee a <<． 所以a的取值范围是e ． (13)分【海淀一模】(18)（本小题13分）已知函数ln()xf x x a =+(I)当0a =时，求函数()f x 的单调递增区间； (Ⅱ)当0a 时，若函数()f x 的最大值为e21，求a 的值.18.（本题满分13分）（Ⅰ）当0a =时，ln ()x f x x=故221ln 1ln '()x xxx f x x x ⋅--==令'()0f x >，得0x <<e故()f x 的单调递增区间为(0,)e ·············· 4分 （Ⅱ）方法1：22ln 1ln '()()()x a ax xx x f x x a x a +-+-==++令()1ln ag x x x=+-则221'()0a x ag x x x x +=--=-<由()0a g =>e e，1111()1(1)(1)0a a a a g a a e e +++=+-+=⋅-<e故存在1(,)a x +∈e e ，0()0g x =故当0(0,)x x ∈时，()0g x >；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <故02()f x =e故00021ln 0ln 1ax x x x a ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩e ，解得202x a ⎧=⎪⎨=⎪⎩e e (13)分故a 的值为2e .（Ⅱ）方法2：()f x 的最大值为21e 的充要条件为对任意的(0,)x ∈+∞，2ln 1x x a ≤+e且存在0(0,)x∈+∞，使得020ln 1x x a =+e，等价于对任意的(0,)x ∈+∞，2ln a x x ≥-e且存在0(0,)x ∈+∞，使得200ln a x x ≥-e ，等价于2()ln g x x x=-e的最大值为a .2'()1g x x=-e ，令'()0g x =，得2x =e .故()g x 的最大值为22222()ln g =-=e e e e e ，即2a =e .······················································· 13分【东城一模】(19)（本小题14分） 已知函数()(1)xf x ea x =-+.若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (Ⅲ）求证：当0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x=+的上方．19）（共14分） 解：（I ）函数()e(1)xf x a x =-+的定义域为R .因为()e(1)xf x a x =-+，所以'()exf x a=-.由'(0)10f a =-=得1a =. ……………………………4分（II ）'()e(R)xf x a x =-∈.①当0a >时，令'()0f x =得ln x a =.ln x a<时，'()0f x <；ln x a >时，'()0f x >.()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,+)a ∞上单调递增.所以当ln x a =时，()f x 有最小值(ln )(1ln )ln f a a a a a a =-+=-. “()0f x ≥恒成立”等价于“()f x 最小值大于等于0”，即ln 0a a -≥. 因为0a >，所以01a <≤. ②当0a =时，()e 0xf x =>符合题意； ③当a <时，取011x a=-+，则111101()e(11)e 10aa f x a a-+-+=--++=-<，不符合题意.综上，若()0f x ≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为[0,1]. ……………………9分（III ）当0a =时，令()()(2ln )e ln 2(0)xh x f x x x x =-+=-->，可求1'()exh x x=-.因为121'()e 1002h =-<，'(1)e 10h =->，且1'()exh x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以在（0，+?）上存在唯一的0x ，使得0001'()e 0x h x x =-=，即01ex x =，且0112x <<.当x 变化时，()h x 与'()h x 在（0，+?）上的情况如下：x0(0,)xx0(,)x +∞'()h x -0 +()h x极小则当x x =时，()h x 存在最小值0()h x ,且000001()e ln 22x h x x x x =--=+-.因为01(,1)2x ∈，所以0000011()2220h x x x xx =+->⋅=.所以当0a =时，()2ln (0)f x x x >+>所以当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方. .. …………14分【石景山一模】19．（本小题共14分）已知2()xf x eax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）()2xf x eax'=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-．…………3分 （Ⅱ）令()'()2xg x f x ex==-．则'()2x g x e =-,…………5分故当0ln2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增； 所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增， 所以max ()(1)1f x f e ==-．………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分。