直线和圆锥曲线题型总结
直线圆圆锥曲线基础知识总结
《直线·圆·圆锥曲线》基础知识总结
第一章. 直线与方程
1.直线的倾斜角与斜率：
⑴.直线的倾斜角及斜率：直线
l 与x 轴正方向所成的角称为直线的倾斜角。0,⑵.直线的斜率：
定义i tan k （2），当0,2时，k ＞0，且k 随的增大而增大；当
,2时，k ＜0，也有k 随的增大而增大。
如：若3＜k ＜3，则2
0,,33等。
定义ii 经过A 11,x y 、B 22,x y 两点的直线的斜率2
121y y k x x ，（210x x ）
2.直线方程的几种形式：
⑴.点斜式：00,p x y ，斜率k,则直线的方程为：
00()y y k x x ⑵.斜截式：斜率为
k,纵截距为b, 则直线的方程为：y kx b ⑶.两点式：已知两点112(,)p x x 和222(,)p x y ，则：（2
1x x ）（1y y ）＝211y y x x ⑷.截距式：设a 为横截距，b 为纵截距，则直线方程为：1x
y a b （a ≠o,b ≠0）
在两坐标轴上截距相等的直线，要么过原点，要么
k ＝－1。⑸.一般式：Ax+By+C=0,其中A,B 不同时为0。
3.两条直线的位置关系：
设直线1l ：11111(0)y k x b A x B y C ,222222:()l y kx b A x B y C ⑴.相交：121221()k k A B A B ,两条直线的交点坐标就是方程组1
2
l l 的解。方程111222()()0A x B y C A x B y C （120l l ）表示经过两条直
线交点的所有直线（但不包括2l ）―――――直线系方程。
直线和圆锥曲线的一些题型
直线和圆锥曲线的一些题型
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换
（7）x,y ，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：1212
,y 22
x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB ===
=
或者AB ==
= 3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =
4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则
1212,b c
x x x x a a
+=-=。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:
14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
圆锥曲线题型、解题方法与技巧
圆锥曲线
一、直线过曲线焦点，求弦长与面积问题
1．设直线l 过椭圆22
143
x y +=的右焦点2F ，直线交椭圆于A 、B 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求线段AB 的距离；
（Ⅱ）若线段24
||7
AB =，求直线l 的斜率．
2．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点3
(1,)2
在该椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若AOB ∆的面积为
7
，求直线l 的方程．
3．已知椭圆22
132
x y +=的焦点为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、
C 两点，且AC B
D ⊥，垂足为P ．求四边形ABCD 的面积的最小值．
补充：
1．已知双曲线22
221x y a b
-=的右焦点为2F ，直线l 过点2F 与双曲线交于A 、B 两点，且直
线l 的倾斜角为θ，则||AB = ．
2．设抛物线22(0)x py p =>，过抛物线焦点F 的直线的倾斜角为θ，直线与抛物线相交于,A B 两点，则||AB = ．
练习
1．在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两
点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则O
A F ∆的面积为 ．
2．（已知椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为1
2.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；
（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为36
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
直线与圆锥曲线知识点与题型归纳总结
知识点精讲
一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++= 代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的
一元二次方程,,即()0,0
Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨
=⎪⎩ ,消去y 后得2
0ax bx c ++=
(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时,
若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行
(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为
()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(
),0
,0f x y F x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程2
0Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式
24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关
系(韦达定理)求出1212,B C
x x x x A A
直线和圆锥曲线
试求证： 与OM的斜率都存在，并记 k AB , kOM ，试求证： OM的斜率都存在， 的斜率都存在
k AB ⋅ kOM
b = 2. a
2
2
若将曲线改为椭圆，其余条件不变， 若将曲线改为椭圆，其余条件不变，则结 论是否改变？ 论是否改变？ k ⋅ k = − b AB OM 2
2 1, 3 3
x y 直线 y = k ( x − 3) , ( k ∈ R ) 与双曲线 m − 27 = 1
y = k ( x − 3) 2 某学生作如下变形： ，某学生作如下变形：由 x y 2 =1 − m 27
2
2
，
得到： 消去 y ，得到： 2 + bx + c = 0 ，当 a = 0 时方 ax 程恒有一解， 程恒有一解，当 a ≠ 0 时 ∆ = b 2 − 4ac ≥ 0对k ∈ R 恒成立，假设该学生的演算过程正确的， 恒成立，假设该学生的演算过程正确的，根 据该学生演算过程提供的信息， 据该学生演算过程提供的信息，则实数 的取 值范围 (0,9]
x2 + y2 = 1 3
y = ax 2 − 1 上总存在相 例3：抛物线
异两点关于x+y=0对称， 异两点关于x+y=0对称，求a的范围. x+y=0对称 的范围.
直线与圆锥曲线题型及解法探究
２０２４年１月上半月㊀
解法探究
㊀
㊀㊀㊀
直线与圆锥曲线题型及解法探究
◉江苏省宿迁青华中学㊀王昌如
㊀㊀直线与圆锥曲线题型灵活多变,难度较大．为提高学生的解题能力,为其数学水平的提升奠定坚实的基础,教学中应注重相关题型以及解法的汇总㊁讲解,使学生遇到相关习题时,能够迅速破题,增强解答直线与圆锥曲线问题的自信．
１直线与圆锥曲线位置问题
判断直线与圆锥曲线的位置关系,需要将直线和圆锥曲线方程联立,转化成一元二次方程,借助Δ进行判断．同时,还应注重灵活运用向量知识判断直线与直线的位置关系．另外,如题目中未提示直线斜率是否存在,解题时还应注重分类讨论,不遗漏任何满足题意的情境,保证考虑问题的全面性．
例１㊀已知椭圆的标准方程:x ２
２
＋y ２＝１,一斜率
为k 的直线l 过点(０,２)
且和椭圆交于不同的两点P ,Q ,O 为坐标原点．
(１
)求k 的取值范围．(２)若椭圆分别和x 轴正半轴㊁y 轴正半轴交于
A ,
B 两点,则是否存在常数k ,满足O P ң＋O Q ң和A B
ң垂直?若存在,求出k 值;若不存在,说明理由．
解析:(１
)由已知条件可设直线l 的方程为y ＝k x ＋２．
联立x ２２＋y ２＝１,y ＝
k x ＋２,ìîíïïï整理得
(１＋２k ２)x ２
＋４２k x ＋２＝０．
当直线l 和椭圆方程存在两个不同的交点P ,Q
时,则满足Δ＝(２２k )２
－４
(１２
＋k ２
)＞０,即２k ２
－１＞０,求得k 的取值范围为(－ɕ,－２２)ɣ(２
２
,＋ɕ)．
(２)由题意,不妨设P (x １,y １),Q (x ２,y ２)
直线与圆锥曲线-知识总结
以直线
y
kx m 和椭圆：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 为例：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y kx m （1）联立直线与双曲线方程： b2x2 a2 y2 a2b2 ，消元代入后可得：
③ b2 a2k 2 0 k b 或 k b 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：
a
a
直线不一定与双曲线有公共点（与 的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交
点位于双曲线同一支上。
（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离
1、位置关系的判定：以直线 y kx m 和抛物线： y2 2 px p 0 为例
2、焦点弦问题：
设抛物线方程： y2 2 px ，
过焦点的直线
l
:
y
k
x
p 2
（斜率存在且
k
0 ），对应倾斜角为
，与抛物线交于
A x1, y1 , B x2, y2
y2 2 px
联立方程：
y
k
x
p 2
k2
x
p 2
直线与圆锥曲线的位置关系总结
一、直线与圆锥曲线的位置关系
一、双基练习
1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况. 答案：B
2.已知双曲线C ：x 2
－4
2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有
一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切. 答案：D
3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是
A.（－∞，0）
B.（1，＋∞）
C.（－∞，0）∪（1，+∞）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：数形结合法，与渐近线斜率比较. 答案：C
4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________.
解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.
代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∵k 2≠0，
∴x 1+x 2=2
2)
2(2k k +，x 1x 2=1.
∵
AB |=2212))(1(x x k -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=
]4)2(4)[1(4
2
22
-++k
k k =8， ∴k 2=1. ∴△OAB 的重心的横坐标为x =3
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）
题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）
【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题
【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题
【题型五】共线向量问题
【题型六】面积问题
【题型七】弦或弦长为定值问题
【题型八】角度问题
【题型九】四点共线问题
【题型十】范围问题（本质是函数问题）
【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合
例1：
例2：
例3：
例4：
例5：
例6：
刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
例7：
答案：
解析：
刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
直线与圆锥曲线的位置关系常考题型及解析
直线与圆锥曲线的位置关系常考题型及解析
直线与圆锥曲线的位置关系一直是高中数学常考的知识点以及高考的重点内用，常考题型也有很多方面，现就将常考的重点题型总结如下，供同行们商榷。 类型一：与其它条件结合求直线方程问题。
例题1：知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )
A ．x ＋y －3＝0
B ．x －y －3＝0
C ．2x －y －6＝0
D ．2x ＋y －6＝0
解析：x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7，圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1，故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0.答案 A
点评：与其它条件结合一般是最短弦或者与某一切线平行或者弦中点问题，结合这些条件求直线方程问题，方法是与斜率有关或者结合韦达定理以及中点坐标公式应用求解。
类型二：有关直线与圆锥曲线的交点问题。
例题2：设离心率为e 的双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直
线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件（ ） A ．221k e -< B ． 221k e -> C ．221e k -< D ．221e k ->
解析：双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的右焦点为F （c ，0），设F 点的直
线方程为y=k （x-c ），
将
2222222
2()2
专题 直线与圆圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线
一、直线与方程
1、倾斜角与斜率：1
21
2tan x x y y k --=
=α
2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：
121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y
a b
+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：
222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔21
2
121//b b k k l l ；
⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2
12
1b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .
4、对于直线：
0:,
0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔122
11
22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；
⑶1l 和2l 重合⎩⎨
⎧==⇔1
2211
221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .
5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=
6、点到直线距离公式： 2
2
00B
A C
By Ax d +++=
7、两平行线间的距离公式：
1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2
2
21B
A C C d +-=
二、圆与方程
1、圆的方程：⑴标准方程：()()2
2
2
r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .
圆锥曲线解答题题型及方法归纳总结
题型一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线 与曲线N： 交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E( ,0)，使得
是等边三角形，若存在，求出 ；若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存在，请说明理由。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
题型四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆 为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足 ，求 的取值范围.
2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 .（1）求椭圆C的标准方程；
（I）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为 ？若存在，确定点 的个数，若不存在，说明理由
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】
高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论
课题
1：2
2
a b ±
结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。
椭圆
122
22=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM
-=• 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OM
k 双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM
=• )0,0(122
22>>=-b a b
x a y 22AB b
a k =•OM
k 抛物线
)0(22>=p px y M p
y k AB =
)0(22>-=p px y
M
p y -
k AB = )0(22>=p py x
p M
x k AB =
)0(22>-=p py x
p
M
x -
k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣
2
1
的直线与椭圆C ：+
=1（a ＞b ＞0）相
交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】
2
2 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则
，
，
∵过点M （1，1）作斜率为﹣
2
1
的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得
，∴a=
b ，
∴=b ，∴e==
2
2． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22
直线与圆锥曲线的位置关系典型例题
1、直线和圆锥曲线位置关系
（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。 （2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究
例1、 根据下列条件，求双曲线方程。 （1）与双曲线116y
9x
2
2
=-
有共同渐近线，且过点（-3，32）；
（2）与双曲线14
y
16
x
2
2
=-
有公共焦点，且过点（23，2）。
分析：
法一：（1）双曲线
116
y
9
x
2
2
=-
的渐近线为x
3
4y ±
=
令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x
34y -=（x ≤0）及x 轴负半
轴之间，
∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为
1b
y a
x 2
22
2=-
，（a>0，b>0）
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=--=1b )32(a )3(34a b
22
22 解之得：⎪⎩
⎪
⎨
⎧==4b 49a 22
∴ 双曲线方程为
14
y
4
9x
2
2
=-
（2）设双曲线方程为
1b
y a
x 2
22
2=-
（a>0，b>0）
则 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+1b 2a )23(20b a 2
圆锥曲线题型总结：圆锥曲线常考结论题型汇总【自己整理全面】
高考数学专题突破：圆锥曲线二级结论
课题
1：2
2
a b ±
结论一：若直线AB 与圆锥曲线相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则由点差法可推导得以下结论。
椭圆
122
22=+b y a x )0(>>b a 22AB a k b k OM
-=• 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 22AB b a k -=•OM
k 双曲线
)0,0(12
2
22>>=-b a b y a x 22AB a k b k OM
=• )0,0(122
22>>=-b a b
x a y 22AB b
a k =•OM
k 抛物线
)0(22>=p px y M p
y k AB =
)0(22>-=p px y
M
p y -
k AB = )0(22>=p py x
p M
x k AB =
)0(22>-=p py x
p
M
x -
k AB = 【2014江西理】过点M （1，1）作斜率为﹣
2
1
的直线与椭圆C ：+
=1（a ＞b ＞0）相
交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 【答案】
2
2 【解析】解法一：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则
，
，
∵过点M （1，1）作斜率为﹣
2
1
的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得
，∴a=
b ，
∴=b ，∴e==
2
2． 解法二：由22AB a -k b k OM =•，即121-•=- 22a b ，22a b = 21，e=22
a
-1b =22
【2013新课标1理10】已知椭圆E ：22
直线与圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的的综合问题（1）
题型一。直线与圆锥曲线的位置关系
例1.直线l ：3x ＋y －6＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0位置关系为_______．
例2.直线y=x+m 和椭圆4x 2＋y 2=1，当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围。
例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线22:y x C -=4。若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的
范围；
例4.过点(0,2)的直线l 与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，求直线l 的方程。
题型二。直线与圆锥曲线的相交的弦长问题
例5.直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长为_______．
例6.直线x －y ＋1=0被椭圆11
22
2=+y x 截得的弦长为.
例7.过双曲线1632
2=-y x 的右焦点2F ，倾斜角为030的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 。
例8.直线l斜率为1且与抛物线y2=4x相交于A,B两点。
（1）直线l经过抛物线的焦点F，求AB
。（2）直线l经过点M（2，0），求
AB
。
题型三。直线与圆锥曲线的相交的弦中点问题
例9.已知P(－1,2)为圆x2＋y2＝8内一定点．直线l过点P且被圆所截得的弦中点P，求直线l方程_________________.
例10.已知一直线与椭圆
36
9
42
2=
+y
x相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求
直线AB的直线方程
例11.过点M(2,1)是否存在直线l交双曲线
1
2
2
2=
-
y
x
于P、Q两点，且M是线段PQ的中点。
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姓 名
年级 性 别 学 校 学 科
教师 上课日期 上课时间 课题 直线和圆锥曲线总结
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22
:14x y C m
+=始终有交点，求m 的取值范围
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任
一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭
圆的焦点？并证明你的结论
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，求直线PQ 的斜率。
题型五：共线向量问题
例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：22
194
x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ ,求实数的取值范围。
题型六：面积问题
例题6、已知椭圆C ：122
22=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3，求△AOB 面积的最大值。
题型七：弦或弦长为定值问题
例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。 （Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线
l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
题型八：角度问题
例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满
足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2·
1cos PM PN MPN
-∠＝,求点P 的坐标.