排列组合第3阶03

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排列组合公式排列组合计算公式

排列组合是组合学最基本的概念。

所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３　判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析　（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４　证明．证明左式右式． ∴ 等式成立．点评　这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5　化简．解法一　原式解法二　原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6　解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为 ∵ ，， ∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四　例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6 在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8 若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。

高三排列组合公式(一)

高三排列组合公式(一)高三排列组合公式在高三数学中，排列组合是一个重要的概念和计算方法。

在解决问题时，我们经常需要使用排列和组合公式来求解。

下面是一些常用的排列组合公式及其示例解释：排列公式全排列公式全排列是指将一组元素按照一定顺序进行排列的方式。

在高三中，我们经常需要计算n个元素的全排列数量。

全排列公式为：全排列公式(其中，[n!]( 表示n的阶乘，即n的所有正整数的乘积。

例如，当n=4时，全排列的数量为：[全排列示例](有重复元素的全排列当一组元素中存在重复元素时，全排列的数量会减少。

在解决问题时，我们可以使用如下公式计算有重复元素的全排列数量：[有重复元素的全排列公式](其中，[n_1, n_2, …, n_k]( 表示各个重复元素的数量。

例如，当有4个元素中，其中2个元素重复，另外2个元素不重复时，有重复元素的全排列数量为：[有重复元素的全排列示例](组合公式组合公式组合是指从一组元素中取出若干个元素，并不考虑其排列顺序。

在高三中，我们常常需要计算n个元素中取出k个元素的组合数量。

组合公式为：组合公式(其中，[n!]( 表示n的阶乘，[k!]( 表示k的阶乘，[n-k!]( 表示n-k的阶乘。

例如，当n=5，k=3时，组合的数量为：[组合示例](重复组合公式当一组元素中存在重复元素时，重复组合的数量会减少。

在解决问题时，我们可以使用如下公式计算重复元素的组合数量：重复组合公式(其中，[H(n, k)]( 表示重复组合的数量，[C(n+k-1, k)]( 表示对n个元素中取出k个元素的组合数量。

例如，当n=3，k=2时，重复组合的数量为：[重复组合示例](以上是高三排列组合公式的一些常见例子和说明。

在解决问题时，我们可以根据具体情况选择合适的公式来计算排列和组合的数量，帮助我们更好地理解和解决问题。

c11排列组合公式

c11排列组合公式排列组合是组合数学中的一种基础概念，它用于计算从一组对象中选取若干个对象的方式数。

排列组合通常涉及两种情况：排列和组合。

排列是指从一组对象中选取若干个进行有序排列。

假设有n个不同的对象，从中选取r个进行排列，那么排列方式的总数称为排列数，通常用P(n, r)表示。

排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。

例如，5! =5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120。

组合是指从一组对象中选取若干个进行无序组合。

与排列不同，组合不考虑对象的顺序。

假设有n个不同的对象，从中选取r个进行组合，那么组合方式的总数称为组合数，通常用C(n, r)表示。

组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!)在排列和组合的计算过程中，需要用到阶乘的概念。

阶乘是一种数学运算，表示从1乘到给定的正整数的连乘积。

阶乘的计算公式为：n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1排列组合的概念在实际生活中有许多应用。

以下是一些常见的例子：1. 扑克牌的排列：一副扑克牌有52张，从中选取5张进行排列，计算排列数P(52, 5)。

根据计算公式，可以得到：P(52, 5) = 52! / (52 - 5)! = 52! / 47! = 311,875,200。

即一副扑克牌可以组成311,875,200种不同的5张牌的排列方式。

2. 奖项的组合：某彩票活动有10个人参与，从中选取3个人进行抽奖，计算组合数C(10, 3)。

根据计算公式，可以得到：C(10, 3) = 10! / (3! x (10 - 3)!) = 10! / (3! x 7!) = 120。

即在10个参与者中，可以组合出120种不同的3人获奖的组合方式。

3. 数字密码的排列：某数字密码需要由4位数字组成，每位数字是0-9之间的任意一个数。

高一排列组合知识点

高一排列组合知识点排列组合是高中数学中的重要内容之一，它是组合数学的基础概念，也是解决许多实际问题的数学工具。

在高一阶段，排列组合的学习主要集中在基本的知识点上。

本文将为大家介绍高一阶段排列组合的基础知识点及其应用。

一、排列与组合的概念排列和组合是组合数学中的两个基本概念。

排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，排列中的元素不能重复使用；而组合则是从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，组合中的元素可以重复使用。

排列和组合的计算方法也有所不同，下面分别介绍。

二、排列的计算方法排列的计算方法有两种情况：有放回和无放回的排列。

1. 有放回的排列有放回的排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，并且选过的元素可以重新放回原来的组合中。

假设有n个元素，要选出k个元素进行排列，则有放回的排列数为n^k。

2. 无放回的排列无放回的排列是指从一组元素中有序地选出若干个元素进行排列，并且选过的元素不能重新放回原来的组合中。

假设有n个元素，要选出k个元素进行排列，则无放回的排列数为n!/(n-k)!，其中“!”表示阶乘。

三、组合的计算方法组合的计算方法也有两种情况：有放回和无放回的组合。

1. 有放回的组合有放回的组合是指从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，并且选过的元素可以重新放回原来的组合中。

假设有n个元素，要选出k个元素进行组合，则有放回的组合数为C(n+k-1, k)，其中C表示组合数。

2. 无放回的组合无放回的组合是指从一组元素中无序地选出若干个元素进行组合，并且选过的元素不能重新放回原来的组合中。

假设有n个元素，要选出k个元素进行组合，则无放回的组合数为C(n, k)。

四、排列组合的应用排列组合不仅是一种数学工具，也是许多实际问题的解决方法。

在高一数学中，排列组合的应用主要包括以下几个方面：1. 判断有关事件发生顺序的概率问题。

排列可以用于计算事件发生的不同顺序，从而求解事件发生的概率。

排列组合公式 cn an

排列组合公式 cn an排列组合（Combinatorics）是数学的一个重要分支，它是研究组合、排列和计数的科学。

它可以被定义为“研究数学中组合和计数方面的规律”。

排列组合把一系列不同元素的可能排列组合方式放在一起，以解决一些实际问题。

排列组合公式cn an 是排列组合的基础。

Cn an 是排列组合的基本公式，可以用来计算从 n 个不同元素中取出 a 个元素的不同排列组合数量。

Cn an 的计算公式为：Cn an=n(n-1)(n-2)...(n-a+1)，其中 n>a 。

如果 n=a，则 Cn an = n!，其中 n! 表示 n 的阶乘。

Cn an 用途非常广泛，可以用来解决很多实际问题。

例如，当有三个不同的物品，要从中选择两个来做一件事情，可以使用 C3 2 来计算可能的组合数量。

根据 C3 2 的计算公式，可以知道有 3×2=6 种可能的组合方式。

另外，Cn an 还可以用来解决组队问题，如果有 n 个人要分成 a 个组，就可以使用 Cn an 来计算有多少种可能的分组方式。

例如，如果有 12 个人要分成 4 个小组，则可以使用 C124 来计算有多少种可能的分组方式，根据 C12 4 的计算公式，有 12×11×10×9 种可能的分组方式。

Cn an 也可以用来计算排列组合的问题，如果有 n 个不同的元素，要从中挑选出 a 个元素，按照不同的顺序排列组合，就可以使用 Cn an 来计算有多少种可能的排列组合方式。

例如，如果有四个不同的元素，要从中挑选出三个元素，按照不同的顺序排列组合，可以使用 C4 3 来计算有多少种可能的排列组合方式，根据 C4 3 的计算公式，有 4×3×2 种可能的排列组合方式。

可以看出，Cn an 是排列组合中非常常用的公式，它可以用来解决很多实际问题，如选择问题、组队问题和排列组合问题。

掌握 Cn an 的使用方法，可以有效解决实际问题，节省时间和精力，提高效率。

第八讲排列组合进阶

m m 最不易记忆的是 Cn 的公式，这里给出其记法：分子是从 n 开始往下连乘 m 个（其实就是 An ），
5 分母是从 1 开始往上连乘 m 个（其实就是 m ! ）. 例子： C100 =
100 ´ 99 ´ 98 ´ 97 ´ 96 . 1´ 2 ´ 3´ 4 ´ 5
m n- m 2 8 = Cn = C10 对 Cn 的理解：为什么 C10 ？考虑其意义：从 10 名同学中挑选 2 名同学做值日， 2 8 = C10 就等于从 10 名同学中选 8 名同学歇着，所以 C10 .
1 1 ´ C11 = 132 种【答案】 C12
【点评】堆有顺序，每堆中的物品不同且规定了数量的问题. 这是最简单的分堆问题，依次将每一堆的组合数相乘即可，哪堆先算哪堆后算都不会影响最后结果，故选择一个好算的顺序即可，比如本题可先给第 2 个小朋友 1 根，再给第 3 个小朋友 1 根，最后剩下 10 根自动分给第 1 个小朋友即可.
【点评】前三种是本节课涉及到的内容，挡板法是重点. 最后一种题目难度过大，不多做介绍.
【具体题目和方法】【第一单元 1】有七个同学 A、B、C、D、E、F、G；（3）把他们排成两排，第一排 3 人，第二排 4 人，有多少种排法？
3 4 7 A4 A7 5040 【答案】 A7
【点评】分排排列与全排列没有区别，其根本原因在于排列正是一种强调“有顺序”的问题：只要各个位置是不同的、有顺序的，方法数并不会因为位置具体的形状、大小的改变而改变.
2013-2014 学年·秋季五年级知识点总结
第八讲
排列组合进阶
以排列组合为代表的计数问题是和“行程”并列的丢分最多的版块，其特点是“上手易，得分难” ，计数问题对学生思维的全面性和严密性要求很高，要求同学们能平心静气仔细体会，不可急于求成. 【重要知识点】排列概念：（1）全排列：把 n 个东西放入 n 个不同的位置，有 Ann = n ! = 1´ 2 ´ 3´´ n 种方法；．．．，（2）选排列：把 n 个东西放入 m 个不同的位置，或把 m 个东西放入 n 个不同的位置（ n > m ）．．．．．．有 Anm = n ´ (n - 1) ´ (n - 2) ´´ (n - m + 1) 种方法. 组合概念：（1）从 n 个东西中不计先后顺序地挑出 m 个（ n > m ），组成一堆，有．．．．．．．

排列组合公式总结大全(3篇)

第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。

它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。

以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。

一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。

（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。

四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。

2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。

3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。

33阶魔方教程

33阶魔方教程步骤一：底层十字首先，将整个魔方放在桌面上，选择一个你喜欢的颜色作为底层。

找出底层的中心块，然后找出该颜色的边块。

将边块安排在底层中心块的下面和两边，形成一个十字形。

步骤二：底层角块接下来，需要将底层角块放置到正确的位置。

查找底层中心颜色的一个角块，并将其放在底层对应的位置上。

重复这个步骤，直到所有底层角块都放置正确为止。

步骤三：中间层边块现在，需要安排中间层的边块。

首先，选择一个没有被放置正确的中间层边块。

将这个边块放在相应侧面的中间，然后进行公式R U R' U'。

这个公式会将中间层边块放置到正确的位置。

重复这个步骤，直到所有中间层边块都放置到正确的位置上。

步骤四：顶层十字接下来，需要形成顶层的十字形。

找到顶层中心块，并将四个顶层边块放置在相应侧面的中间位置上。

然后，进行公式F RU R' U' F'，这个公式会形成一个十字。

步骤五：顶层角块现在，需要安排顶层角块。

找到一个被放置错误的角块，将其放在魔方的右上角，然后进行公式U R U' L' U R' U' L，这个公式会将角块放置到正确的位置上。

重复这个步骤，直到所有顶层角块都放置到正确的位置上。

步骤六：顶层边块最后一个步骤是安排顶层边块。

查找一个忽略角块的顶层边块，并将其放在正确的位置上，然后进行公式R U R' U' R U U R'U'，这个公式会将边块放置到正确的位置上。

重复这个步骤，直到所有顶层边块都放置到正确的位置上。

完成以上六个步骤后，你将成功解决33阶魔方！请记住，解决魔方需要一定的技巧和耐心，不要放弃，多练习会更好。

三中三公式计算方法

三中三公式计算方法三中三是指在一定范围内，从中选择三个数字进行排列组合，共有多少种可能性。

在数学中，三中三的排列组合问题是一种常见的问题，也是解决实际问题中经常遇到的计算方法。

下面我们将介绍三中三公式的计算方法，希望能对大家有所帮助。

首先，我们来介绍三中三的排列组合公式。

在数学中，排列组合是指从n个不同元素中取出m个元素的所有可能情况的数目。

而三中三就是从n个数中任选3个数进行排列组合。

其排列组合公式如下：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。

其中，C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的排列组合数目，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)...1，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示n-m的阶乘。

接下来，我们以一个具体的例子来说明三中三的排列组合计算方法。

假设我们有1、2、3、4、5这5个数字，现在要从中选取3个数字进行排列组合，那么根据排列组合公式，计算过程如下：C(5,3) = 5! / (3! (5-3)!)。

= 543 / (321)。

= 60 / 6。

= 10。

因此，从1、2、3、4、5这5个数字中选取3个数字进行排列组合，共有10种可能性。

除了使用排列组合公式进行计算外，我们还可以利用数学问题的特点进行简化计算。

比如在三中三的排列组合中，我们可以利用数字的特点进行简化。

以1、2、3、4、5这5个数字为例，我们可以发现，任选3个数字进行排列组合，实际上就是从5个数字中选取3个数字，因此排列组合的数目就是5的组合数。

而5的组合数可以直接用数学公式进行计算，不需要进行阶乘的计算。

综上所述，三中三的排列组合计算方法可以通过排列组合公式进行计算，也可以通过数字特点进行简化计算。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的计算方法，以便更快更准确地解决问题。

希望通过本文的介绍，大家能够对三中三的排列组合计算方法有所了解，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。

祝大家在数学学习和实际问题解决中取得好成绩！。

排列组合第3阶05

1.(1) 由数字1，2，3组成的n位数，1，2，3每个至少出现一次，这样的n位数共有多少个？由数字1，2，3组成的n位数，1，2，3每个至少出现一次，这样的n位数共有多少个？【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】根据题意，选用排除法，首先计算不考虑重复与否的全部情况数目，进而计算其中不符合条件的只有1个数字的和只含有2个数字的情况数目，进而由全部情况数目减去不和条件的情况数目，可得答案．．【解答】解：使用排除法，首先计算全部的情况数目，共3n种，只含有2个数字的有：C32×2n=3×2n种，只含有1个数字的有：C31×1n=3种，故1、2、3都至少出现一次，即含有3个数字的有3n-3×2n-3种；【点评】本题考查排列组合的运用，注意理清各种情况之间的相互关系，选用排除法或倍分法．（2）用1、2、3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1。

记n位数的个数为g（n），则g（10）等于多少？用递归的方法：令g(n,+)表示以1结尾的这样的n位数的个数，g(n,-)表示不以1结尾的这样的n位数个数，那么有g(n,+)+g(n,-)=g(n)。

n每增加1，可以看作是在原来的n位数的末尾添加一个数字，则有g(n+1,+) = g(n,-)和g(n+1,-)=2*(g(n,+)+g(n,-))。

根据这两个递归式，并且知道g(1,+)=1和g(1,-)=2，可以容易的解出g(10)=g(10,+)+g(10,-)=6688＋18272＝24960.2. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4【考点】进行简单的合情推理；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意，C(2,6)-13=15-13=2，再分类讨论：仅有甲与乙，丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到4份纪念品的同学人数．【解答】解：由题意，C(2,6) -13=15-13=2①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人综上所述，收到4份纪念品的同学人数为2或4人故选D．3. 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.（3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：n nn n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+- 22．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nn n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(13322101133122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数（3）因为,111qq a a S nn --=.)1(1])1([1])1([11)1(111)1(133221013210111123111211011134231201n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n q q q a C q C q C q qC C q q a C C C C C qa C qq a a C q q a a C q q a a C q q a a C S C S C S C S C S --=-++-+----++-+--=---++--+-----=-++-+-++ 所以。

排列组合的数学公式

排列组合的数学公式排列组合是组合学最基本的概念。

所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

那么排列组合有哪些数学公式呢?接下来店铺为你整理了排列组合的数学公式，一起来看看吧。

排列组合的数学公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m排列组合的数学解题技巧1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。

部编版数学五年级上册第8讲.排列组合进阶.超常体系

第8讲四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶五年级春季概率初识介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.漫画释义知识站牌有10个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们10个人的次序都变换完了，再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.”但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800种3628800/365≈9942年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多9942年.所以根本吃不到免费午餐.1.熟悉排列组合常用的几种方法2.灵活运用排列组合的特点用对应的方法解决对应的题目.排列组合公式：1.排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+2.全排列公式：!(1)(2)21n n A n n n n ==⨯-⨯-⨯⨯⨯ 3.组合数公式：(1)(2)(1)!mn n n n n m C m ---+=4.关于组合数的几个重要结论：01n n n C C ==m n m n n C C -=0122n n n n n n C C C C ++++= 排列组合常用的方法：1.优限法（特殊位置/元素优先考虑）2.捆绑法（相邻问题）3.插空法（不相邻问题）4.大除法（有相同元素排列，圆圈排列，平均分组等问题）5.插板法（相同元素分组问题）6.排除法（正难则反）7.对应法（化归策略）经典精讲教学目标课堂引入第8讲1.已知：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ ，如255420A =⨯=.试计算下面几题：34____A =；26_____A =；310____A =；35_____A =.2.已知：!(1)(2)21n n n A n n n ==--⨯ ，如333!3216A ==⨯⨯=.试计算下面几题：4!___=；5!____=；6!____=；7!___=.3.已知：(1)(2)(1)!!m mn nA n n n n m C m m ---+== ，如225554102!21A C ⨯===⨯.试计算下面几题：24___C =；35___C =；27____C =；36____C =.4.已知：m n m n n C C -=，如2355C C =.试计算下面几题：34___C =；45___C =；57___C =；98100___C =.【分析】1.24，30，720，602.24，120，720，50403.6，10，21，204.4，5，21，4950例1：优限法例2：捆绑法例3：插空法例4：大除法例5，6：插板法例7：对应法例8：排列组合综合4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【分析】⑴先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有888765432140320A =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)选择．由乘法原理，共有640320241920⨯=(种)排法．知识点回顾例题思路⑵甲、乙先排，有22212A =⨯=(种)排法；剩下的7个人随意排，有7776543215040A =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2504010080⨯=(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有22212A =⨯=(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素的全排列问题，分别有44432124A =⨯⨯⨯=(种)和5554321120A =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，共有2241205760⨯⨯=(种)排法．⑷先排4名男生，有44432124A =⨯⨯⨯=(种)排法，再把5名女生排到5个空档中，有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=(种)排法．由乘法原理，一共有241202880⨯=(种)排法．4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有___种不同的排法;要求2个女生紧挨着有___种不同的排法;如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____种不同的排法.【分析】4⑴男2女6人站成一排相当于6个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，第一步，确定第一个位置的人，有6种选择；第二步，确定第二个位置的人，有5种选择；第三步，排列第三个位置的人，有4种选择，依此类推，第六步，最后一个位置只有一种选择．根据乘法原理，一共有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．⑵法1：分为三步：第一步：4个男的先排，一共有432124⨯⨯⨯=种不同的排法；第二步：2个女的排次序一共有2种方法；第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共有5个位置可插．根据乘法原理，一共有2425240⨯⨯=种排法．法2：将2个女生当成一个人，这样就相当于5个人排队，共有5!120=种排法，但2个女生还可以左右换位置，所以共有2×120=240种排法.（3）根据题意分为两步来排列．第一步，先排4个男生，一共有432124⨯⨯⨯=种不同的排法；第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法．根据乘法原理，一共有24248⨯=种排法．【铺垫】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?【分析】把4个空车位看成一个整体，与8辆车一块进行排列，这样相当于9个元素的全排列，所以共有99362880A =．【巩固】A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻．请问共有多少种不同的排列方法？【分析】法1:七人排成一列，其中B 要与C 相邻，分两种情况进行考虑．若B 站在两端，B 有两种选择，C 只有一种选择，另五人的排列共有55A 种，所以这种情况有5521240A ⨯⨯=种不同的站法．若B 站在中间，B 有五种选择，B 无论在中间何处，C 都有两种选择．另五人的排列共有55A 种，所以这种情况共有55521200A ⨯⨯=种不同的站法．所以共有24012001440+=种不同的站法．法2:由于B 与C 必须相邻，可以把B 与C 当作一个整体来考虑，这样相当于6个元素的全排列，另外注意B 、C 内部有2种不同的站法，所以共有6621440A ⨯=种不同的站法．例2第8讲6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排.（1）若A 、B 两人必须相邻，一共有____种不同的站法；（2）若A 、B 两人不能相邻，一共有____种不同的站法；（3）若A 、B 、C 三人不能相邻，一共有____种不同的站法.（学案对应：带号1）【分析】（1）若A 、B 两人必须站在一起，那么可以用“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据一个位置，但在这个位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法总数为2525A A ⨯=2×120=240（种）（2）法1：排除法.A 、B 两个人不能相邻与A 、B 两个人必须相邻是互补的事件，因为不加任何条件的站法总数为66A =720（种），所以A 、B 两个人不能相邻的站法总数为720-240=480（种）．法2：插空法.先排C ，D ，E ，F 四人，共有4！=24种排法，这时四人共产生了5个空位（包含两端），在这5个空位上选2个位置站人，一定不会相邻.因此共有2524480A ⨯=种站法.（3）注：此题若用排除法，需要排除三人相邻及任意两人相邻的情况，不是特别简单.插空法.343!624144A ⨯=⨯=【巩固】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有____种不同的放法.【分析】四盆黄花摆好后，剩下5个位子可插进红花，选三个位置将三盆红花插入，35543==10321C ⨯⨯⨯⨯，所以有10种选择.【巩固】学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？【分析】要求男生不能相邻，则可以先排女生，然后把男生插进女生之间的空位里．因为有3名女阶乘与双阶乘阶乘(factorial )是基斯顿·卡曼(Christian Kramp ,1760～1826)于1808年发明的运算符号.阶乘，也是数学里的一种术语,指从1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的数.如：!(1)(2)21n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯ 另外，数学家定义，0！=1.通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！，0.65！，0.777！都是错误的.双阶乘用“!!m ”表示.当m 是自然数时，表示不超过m 且与m 有相同奇偶性的所有正整数的乘积.如：(21)!!135(21)n n -=⨯⨯⨯⨯- (2)!!2462n n=⨯⨯⨯⨯生，考虑到两端也可以放人，所以一共有四个空位．则站法总数为：3434A A 624144⨯=⨯=（种）（1）6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一排.若A 必须在B 的前面（可以不相邻），则有____种站法；若A 在B 的前面（可以不相邻），B 在C 的前面（可以不相邻），则共有____种站法.（2）6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种）（3）6名小朋友A 、B 、C 、D 、E 、F 平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做区分）（学案对应：超常1）【分析】（1）A 在B 前面，可认为全排列后，除去AB 之间的排列方式，即6!3602!=种.A ，B ，C定序时，可需要在全排列的基础上，除去ABC 之间的排列方式，即6!1203!=种.（2）法1：可先固定一人，其他人就只有5！=120种站法.法2：6人站一圈，共有6！种站法，但每种站法都可以旋转6次，因此要除以6才是不同实质的站法.答案为6!1206=.（3）法1：6人中先选2人作为第一组，再剩下4人中选2人作为第二组，最后的2人作为第3组，因为组与组不做区分，因此要除以组数的全排列.答案为222642153!C C C ⨯⨯=法2：随意排6个人，共有6！种排法，将人按2人一组截开，组内人可以互换，三个组也可以互换，因此共有6!152!2!2!3!=⨯⨯⨯种分法。

部编版数学五年级上册第8讲.排列组合进阶.优秀A版

C92
9 8 2 1
36
(种)．
例4
（学生版仅有第 1 题）（1）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排. 若 A 必须在 B 的前面（可以不相邻），则有____ 种站法；若 A 在 B 的前面（可以不相邻），B 在 C 的前面（可以不相邻），则共有____种站法. （2）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一圈，共有____种站法.（旋转后相同算一种）（3）6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 平均分成三组，每组两个人，共有___种分法.（组与组不做区分）
第8 讲
第八讲排列组合进阶
知识站牌
四年级春季排列组合初步
五年级秋季
几何计数进阶五年级秋季
排列组合进阶五年级暑假枚举法进阶
五年级春季概率初识
介绍捆绑法，插板法，插空法等计数方法.
漫画释义
第 9 级下优秀 A 版教师版 1
课堂引入
有 10 个年轻人到一家饭馆去吃饭,为座位该如何安排的问题发生了争吵.饭馆的老板给他们提了一个建议，他们便停止了争吵，并非常愿意接受老板的建议.老板的建议是：“假如你们今天按一个排列的次序坐，明天来吃午饭时，再按另一个次序入座.这样，当你们 10 个人的次序都变换完了，再也不会有新的次序出现的时候，从那天起，我免费供应你们最好的午餐.” 但一连过了几个月，新的次序还没有排完，这些年轻人仔细一算，才知道，要这样吃下去根本吃不到免费的午餐.为什么？答案：10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=3628800 种 3628800/365≈9942 年如果要想排到不再有新的次序，需要轮上差不多 9942 年.所以根本吃不到免费午餐.
=4320 种站法；小明在两端，即小明有 2 个位置可以站，共 2 6!1440 种站法.（特殊元素，特殊位置优先考虑）

排列组合和排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

组合数学讲义及课后答案 1章排列组合

8 1 6 3 5 7 4 9 2
2 7 6 9 5 1 4 3 8
图1.1.1 3 阶幻方奇数阶幻方的生成方法：奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：把 1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的
1/69Leabharlann 《组合数学》第一章
组合数学基础
(n× n－1)个数 (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
算法分类：第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、
3/69
《组合数学》
第一章
组合数学基础
解方程组、求积分等，其数学基础是高等数学与线性代数。第二类：组合算法，解决搜索、排序、组合优化等问题，其数学基础就是组合数学。按所研究问题的类型，组合数学所研究的内容可划分为：组合计数理论组合设计组合矩阵论组合优化本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。（三）研究方法
A(0,0) 图1.1.3 最短路径
（2）对应为（元素可重复的）排列问题：一条从 A 到 B 的路线对应一个由 7 个 x，5 个 y 共 12 个元素构成的排列。蓝色路径 <——> ｘｙｙｘｘｙｙｘｘｘｘｙ反之，给定一个排列，按照 x、y 的含义，必对应一条从 A 到 B 的行走路线。例如，排列
一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。例：将 2，4，6，8，10，12，14，16，18 填入下列幻方：

排列组合和二项式定理

排列组合和二项式定理一、排列数1.全排列：一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列。

特别地，时的排列（即取出所有对象的排列）称为全排列。

2.排列数:从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A n m(m,n都是正整数)表示。

所谓排成一列是指与顺序有关。

3.排列数公式:A n m=n(n−1)(n−2)⋯(n−(m−1))m个数=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1).(应用公式时，要注意最后一项)4.阶乘:n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1.规定：0!=1.因此，排列数公式可改写为：A n m=n!(n−m)!.5.公式：A n m+mA n m−1=A n+1m,证明如下：A n m+mA n m−1=n!(n−m)!+m n!(n−m+1)!=n! (n−m)!×[1+mn−(m−1)]=n!(n−m)!×n+1n−(m−1)=(n+1)![(n+1)−m]!=A n+1m.二、组合数1.组合:从n个不同对象中取出m个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合.2.组合数：从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C n m(m,n都是正整数)表示.所谓并成一组是指与顺序无关。

3. 组合数公式：C n m =(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m×(m−1)×⋯×2×1=n!(n−m )!m!. 4. 公式1:C n m =C n n−m .5. 公式2:C n m +C n m−1=C n+1m .6. 公式3：A m m +A m+1m +⋯+A 2m m =A 2m+1m （排列数和组合数的关系，结合C n m +C n m−1=C n+1m 和A n m =m!C n m 可证得。

小奥排列组合公式

小奥排列组合公式好的，以下是为您生成的关于“小奥排列组合公式”的文章：咱先来说说这排列组合，在小学奥数里，那可真是个让不少孩子头疼的家伙！但别怕，咱们一起来把它给拿下。

我记得有一次，我们班上组织了一次活动，要从 10 个小朋友里选出 3 个参加跳绳比赛。

这可把孩子们难住了，一个个愁眉苦脸的。

这时候，我就告诉他们，这就是一个典型的组合问题呀。

那啥是排列，啥是组合呢？简单说，排列就是考虑顺序，组合不考虑顺序。

比如说，从 3 个不同的水果，苹果、香蕉、橙子里选 2 个出来，选法有几种？这就是组合。

要是问把这 2 个水果排成一排，有几种排法？这就是排列。

排列的公式是：A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如说5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

组合的公式是：C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!] 。

咱们来实际用用这公式。

比如说，从 5 个不同的玩具里选 3 个送给小朋友，有多少种选法？这就是组合问题，C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 10 种。

再比如，从 6 个小朋友里选 3 个排成一排照相，有多少种排法？这就是排列问题，A(6, 3) = 6! / 3! = 120 种。

回到最开始说的从 10 个小朋友里选 3 个参加跳绳比赛，这就是组合问题，C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120 种。

有些同学可能会觉得这些公式太复杂，不好记。

其实啊，多做几道题，多想想，慢慢就熟悉了。

就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃的，但练得多了，自然就熟练了。

在实际生活中，排列组合的应用可多了去了。

比如你去买衣服，有5 件上衣，4 条裤子，你能搭配出多少种不同的穿着？这就是个排列组合问题。

还有，彩票抽奖也是个排列组合问题。

从一堆数字里选出几个来，中大奖的概率那可是相当低的。

(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

a的各阶顺序主子式

a的各阶顺序主子式
摘要：
1.引言
2.a 的各阶顺序主子式的概念
3.a 的各阶顺序主子式的计算方法
4.a 的各阶顺序主子式的应用
5.结论
正文：
一、引言
在数学领域，a 的各阶顺序主子式是一个重要的概念，它在组合数学、概率论等诸多领域中都有着广泛的应用。

本文将对a 的各阶顺序主子式进行详细的介绍和讨论。

二、a 的各阶顺序主子式的概念
a 的各阶顺序主子式，是指在排列组合中，以a 为元素的各阶排列或组合的乘积。

具体来说，设有a 个不同的元素，将其进行n 次排列或组合，那么
a 的各阶顺序主子式就是所有可能的排列或组合的乘积。

三、a 的各阶顺序主子式的计算方法
计算a 的各阶顺序主子式的方法，主要是通过阶乘和阶乘的逆元来实现。

具体来说，a 的0 阶顺序主子式为1，a 的1 阶顺序主子式为a，而a 的n 阶顺序主子式则可以通过以下公式计算：
P(n, a) = a! / (a-n)!
其中，a! 表示a 的阶乘，即a! = a * (a-1) * (a-2) *...* 1，而(a-n)! 表示(a-n) 的阶乘。

四、a 的各阶顺序主子式的应用
a 的各阶顺序主子式在实际应用中有着广泛的应用，如在概率论中，它可以用来计算事件发生的概率；在组合数学中，它可以用来计算组合的数量等。

五、结论
总的来说，a 的各阶顺序主子式是一个重要的数学概念，它在数学的许多领域中都有着广泛的应用。