高等数学李伟版课后习题答案第三章
高中数学必修3第三章课后习题解答
新课程标准数学必修3第三章课后习题解答第三章概率3．1随机事件的概率练习（P113）1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面.（2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25.2、略3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1.练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次.练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B习题3.1 A组（P123）1、D.2、（1）0；（2）0.2；（3）1.3、（1）430.067645≈；（2）900.140645≈；（3）7010.891645-≈.4、略5、0.136、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1.3．3几何概率练习（P140）1、（1）1；（2）38.2、如果射到靶子上任何一点是等可能的，那么大约有100个镖落在红色区域.说明：在实际投镖中，命中率可能不同，这里既有技术方面的因素，又是随机因素的影响，所以在投掷飞镖、射击或射箭比赛中不会以一枪或一箭定输赢，而是取多次成绩的总和，这就是为了减少随机因素的影响.习题3.3 A组（P142）1、（1）49；（2）13；（3）29；（4）23；（5）59.2、（1）126；（2）12；（3）326；（4）326；（5）12；（6）313.说明：（4）是指落在6,23,9三个相邻区域的情况，而不是编号为6,7,8,9,四个区域.3、（1）25； （2）115； （3）35. 说明：本题假设在任何时间到达路口是等可能的. 习题3.3 B 组（P142） 1、设甲到达的时间为x ，乙到达的时间为y ，则0,24x y <<. 若至少一般船在停靠泊位时必须等待，则06y x <-<或06x y <-<，必须等待的概率为：22189711241616-=-=.2、D .第三章 复习参考题A 组（P145）1、56，16，23. 2、（1）0.548； （2）0.186； （3）0.266.3、（1）38； （2）14.4、（1）813； （2）726； （3）665. 5、分别计算两球均为白球的概率、均为红球的概率、均为黑球的概率，然后相加，得1223311166666636⨯⨯⨯++=⨯⨯⨯. 6、56. 说明：利用对立事件计算会比较简单. 第三章 复习参考题B 组（P146）1、第一步，先计算出现正面次数与反面次数相等的概率46328=. 第二步，利用对称性，即出现正面的次数多于反面次数的概率与出现反面的次数多于正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于反面次数的概率为35(1)2816-÷=. 2、（1）是； （2）否； （3）否； （4）是.3、（1）45； （2）15； （3）25； （4）25. 说明：此题属于古典概型的一类“配对问题”，由于这里的数比较小，可以用列举法.4、参考教科书140页例4.。
高等代数答案-第三章
第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-+=-ïï-+--=íï-++-=ïï++-+=-î 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï--+-=ïí-+-+=ïï-+-+=î 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=ìï-+=-ïí+++=ïï-++=-î 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=ïï-++=-î 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=ìï-+-=ïí+-+=-ïï-+-=î 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=ìï++-=ïï+++=íï++-=ïï++=î解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--éùéùêúêú----êúêúêúêú®------êúêú-----êúêúêúêú-----ëûëû102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000--éùéùêúêú---êúêúêúêú®®--êúêúêúêúêúêú---ëûëû因为()()45rank A rank B ==<所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=ìï+=-ïí-=ïï-+=î 解得123451022x k x k x x k x k=+ìï=ïï=íï=ïï=--î 其中k 为任意常数.2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616--éùéùêúêú------êúêú®êúêú----êúêú---ëûëû 120321120321033451033451252982529800110011333333003325297000001--éùéùêúêú------êúêú®®êúêú--êúêúêúêú--êúêúëûëû因为()4()3rank A rank A =>=所以原方程无解.3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有1234412344011130111313011053530731307313----éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú----ëûëû1012210008011130100300201200201200482400080---éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú--ëûëû因为(()4rank A rank A ==所以方程组有惟一解，且其解为12348360x x x x =-ìï=ïí=ïï=î 4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有34571789233223324111316411131672137213--éùéùêúêú----êúêú®êúêú--êúêú--ëûëû 17891789017192001719200171920000003438400000--éùéùêúêú----êúêú®®êúêú-êúêú--ëûëû即原方程组德同解方程组为123423478901719200x x x x x x x +-+=ìí-+-=î由此可解得1122123142313171719201717x k k x k k x k x k ì=-ïïï=-íï=ïï=î 其中12,k k 是任意常数g5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有2111121111322327001451121300122113440025--éùéùêúêú---êúêú®êúêú---êúêú---ëûëû 21111211117001470014100002100002100300001--éùéùêúêú--êúêú®®êúêúêúêú---ëûëû 因为()4()3rank A rank A =¹=所以原方程组无解.6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有12311354023211125202231112311122211453025520255202éùéùêúêú-êúêúêúêú®êúêú-êúêúêúêúëûëû2020000000552020570211611010015555101001010000000-éùéùêúêúêúêúêúêú®®-----êúêúêúêú--êúêúêúêúëûëû即原方程组的同解方程组为23341357261550x x x x x x +=ìïï-+=-íï-+=ïî 解之得123427551655x k x k x k x k =ìïï=-ïí=ïï=-+ïî其中k 是任意常数.2.把向量b 表成1234,,,a a a a 的线性组合.12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)b a a a a ===--=--=--12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1,1,1)b a a a a =====--解 1）设有线性关系11223344k k k k b a a a a =+++代入所给向量，可得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=ìï+--=ïí-+-=ïï--+=î 解之，得15,4k = 21,4k = 31,4k =- 414k =-因此123451114444b a a a a =+--2）同理可得13b a a =-3.证明：如果向量组12,,,r a a a L 线性无关，而12,,,,r a a a b L 线性相关，则向量可由12,,,r a a a L 线性表出.证 由题设，可以找到不全为零的数121,,,r k k k +L 使112210r r r k k k k a a a b +++++=L显然10r k +¹.事实上，若10r k +=，而12,,,r k k k L 不全为零，使11220r r k k k a a a +++=L成立，这与12,,,r a a a L 线性无关的假设矛盾，即证10r k +¹.故11rii i r k k b a =+=-å即向量b 可由12,,,r a a a L 线性表出.4.12(,,,)(1,2,,)i i i in i n a a a a ==L L ，证明：如果0ij a ¹，那么12,,,n a a a L 线性无关.证 设有线性关系11220n n k k k a a a +++=L代入分量，可得方程组111212112122221122000n n n nn n nn n k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L L 由于0ij a ¹，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n a a a L 线性无关.5.设12,,,r t t t L 是互不相同的数，r n £.证明：1(1,,,)(1,2,,)n i i i t t i r a -==L L是线性无关的.证 设有线性关系11220r r k k k a a a +++=L则1211221111122000r r rn n n r rk k k t k t k t k t k t k t k ---+++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 1）当r n =时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0nn j i i jn n n nt t t t t t t t t t t <---=-¹ÕL LL M M O M L所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r a a a L 线性无关.2）当r n <时，令21111121222221(1,,,,)(1,,,,)(1,,,,)r r r r r r rt t t t t t t t t b b b ---ì=ï=ïíïï=îL L L L L L L L L L L 则由上面1)的证明可知12,,,r b b b L 是线性无关的.而12,,,r a a a L 是12,,,r b b b L 延长的向量，所以12,,,r a a a L 也线性无关.6.设123,,a a a 线性无关，证明122331,,a a a a a a +++也线性无关. 证 设由线性关系112223331()()()0k k k a a a a a a +++++=则131122233()()()0k k k k k k a a a +++++=再由题设知123,,a a a 线性无关，所以13122300k k k k k k +=ìï+=íï+=î 解得1230k k k ===所以122331,,a a a a a a +++线性无关.7.已知12,,,s a a a L 的秩为r ，证明：12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12,,,i i ir a a a L 是12,,,s a a a L 中任意r 个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量(1,2,,)j j s a =L 都可由12,,,i i ir a a a L 线性表出就可以了.事实上，向量组12,,,,i i ir j a a a a L 是线性相关的，否则原向量组的秩大于r ，矛盾.这说明j a 可由12,,,i i ir a a a L 线性表出，再由j a 的任意性，即证.8.设12,,,s a a a L 的秩为r ，12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 中的r 个向量，使得12,,,s a a a L 中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.证 由题设知12,,,r i i i a a a L 与12,,,s a a a L 等价，所以12,,,r i i i a a a L 的秩与12,,,s a a a L 的秩相等，且等于r .又因为12,,,r i i i a a a L 线性无关，故而12,,,r i i i a a a L 是12,,,s a a a L 的一个极大线性无关组.9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组.证 将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示.若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量a 不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将a 添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的.进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）.继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组.10.设向量组为1(1,1,2,4)a =-，2(0,3,1,2)a =，3(3,0,7,14)a =4(1,1,2,0)a =-，5(2,1,5,6)a =1） 证明：12,a a 线性无关.2） 把12,a a 扩充成一极大线性无关组.证 1）由于12,a a 的对应分量不成比例，因而12,a a 线性无关. 2）因为3123a a a =+，且由1122440k k k a a a ++=可解得1240k k k ===所以124,,a a a 线性无关.再令112244550k k k k a a a a +++=代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即1245,,,a a a a 线性相关，所以5a 可由124,,a a a 线性表出.这意味着124,,a a a 就是原向量组的一个极大线性无关组.注 此题也可将1245,,,a a a a 排成54´的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论.11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：12341)(6,4,1,2),(1,0,2,3,4)(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)a a a a =-=-=--=-，123452)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,1,2,0)(2,1,5,6)a a a a a =-===-=解 1）设12346411210234149162271013A a a a a -éùéùêúêú-êúêú==êúêú--êúêú-êúëûëû 对矩阵A 作行初等变换，可得0411192600102341023404111926004569980114223101142231A --éùéùêúêú-êúêú®®êúêú---êúêú----ëûëû 所以1234,,,a a a a 的秩为3，且234,,a a a 即为所求极大线性无关组.3） 同理可得124,,a a a 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 12.证明：如果向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出，那么（Ⅰ） 的秩不超过（Ⅱ）的秩.证 由题设，向量组（Ⅰ）的极大线性无关组也可由向量组（Ⅱ）的极大线性无关组线性表出，即证向量组（Ⅰ）的秩不超过向量组（Ⅱ）的秩.13.设12,,,n a a a L 是一组维向量，已知单位向量12,,,n e e e L 可被它们线性表出，证明：12,,,n a a a L 线性无关.证 设12,,,n a a a L 的秩为r n £，而12,,,n e e e L 的秩为n . 由题设及上题结果知n r £从而r n =.故12,,,n a a a L 线性无关.14.设12,,,n a a a L 是一组n 维向量，证明：12,,,n a a a L 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.证 必要性.设12,,,n a a a L 线性无关，但是1n +个n 维向量12,,,,n a a a b L 必线性相关，于是对任意n 维向量b ，它必可由12,,,n a a a L 线性表出.充分性.任意n 维向量可由12,,,n a a a L 线性表出，特别单位向量12,,,n e e e L 可由12,,,n a a a L 线性表出，于是由上题结果，即证12,,,n a a a L 线性无关.15.证明：方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=ìï+++=ïíïï+++=îL L L L L L L L L L L L L 对任何12,,,n b b b L 都有解的充分必要条件是系数行列式0ij a ¹.证 充分性.由克拉默来姆法则即证.下证必要性.记1212(,,,)(1,2,,)(,,,)i i i ni n i n b b b a a a a b ===L L L则原方程组可表示为1122n n x x x b a a a =+++L由题设知，任意向量b 都可由线性12,,,n a a a L 表出，因此由上题结果可知12,,,n a a a L 线性无关.进而，下述线性关系12220n n k k k a a a +++=L仅有惟一零解，故必须有0ij A a =¹，即证.16.已知12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，证明： 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 等价.证 由于12,,,r a a a L 与121,,,,,,r r s a a a a a +L L 有相同的秩，因此它们的极大线性无关组所含向量个数必定相等.这样12,,,r a a a L 的极大线性无关组也必为121,,,,,,r r s a a a a a +L L 的极大线性无关组，从而它们有相同的极大线性无关组.另一方面，因为它们分别与极大线性无关组等价，所以它们一定等价. 17.设123213,,,r r b a a a b a a a =+++=+++L L L 121r r b a a a -=+++L证明：12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 具有相同的秩.证 只要证明两向量组等价即可.由题设，知12,,,r b b b L 可由12,,,r a a a L 线性表出.现在把这些等式统统加起来，可得12121()1r r r b b b a a a +++=+++-L L 于是121111(1)1111i i r r r r r a b b b b =+++-++----L L (1,2,,)i r =L即证12,,,r a a a L 也可由12,,,r b b b L 线性表出，从而向量组12,,,r b b b L 与12,,,r a a a L 等价.18.计算下列矩阵的秩：1）01112022200111111011-éùêú--êúêú--êú-ëû 2）11210224203061103001-éùêú--êúêú-êúëû3）141268261042191776341353015205éùêúêúêúêúëû 4）10014010250013612314324563277éùêúêúêúêúêúêúëû5）1010011000011000011001011éùêúêúêúêúêúêúëû解 1）秩为4.2）秩为3. 3）秩为2. 4）秩为3. 5）秩为5.19.讨论,,a b l 取什么值时，下列方程有解，并求解.1）12212321231x x x x x x x x x l l l l lì++=ï++=íï++=î 2）122123123(3)(1)23(1)(3)3x x x x x x x x x l l l l l l l l +++=ìï+-+=íï++++=î3）1221231234324ax x x x bx x x bx x ++=ìï++=íï++=î解 1）因为方程组的系数行列式21111(1)(2)11D l l l l l==-+所以当1l =时，原方程组与方程1221x x x ++=同解，故原方程组有无穷多解，且其解为11221321x k k x k x k=--ìï=íï=î 其中12,k k 为任意常数.当2l =-时，原方程组无解.当1l ¹且2l ¹-时，原方程组有惟一解.且12231212(1)2x x x l l l l l +ì=-ï+ïï=í+ïï+=ï=î2）因为方程组的系数行列式231211(1)333D l l l l l l l l +=-=-++所以当0l =时，原方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为2与3，所以无解.当1l =时，A 的秩为2，A 的秩为3，故原方程组也无解. 当0l ¹，且1l ¹时，方程组有唯一解321232232323159(1)129(1)43129(1)x x x l l l l l l l l l l l l l l ì+-+=ï-ïï-+ï=í-ïï--+=ï-ïî3) 因为方程组的系数行列式1111(1)121a Db b a b ==--所以当0D ¹时，即1a ¹且0b ¹时，方程组有惟一解，且为12321(1)1124(1)b x b a x b ab b x b a -ì=ï-ïï=íï+-ï=ï-î当0D =时1o若0b =，这时系数矩阵A 的秩为2，而它的增广矩阵A 的秩为3，故原方程组无解。
高数阶段练习第三章参考答案
第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。
6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。
高数习题(第三章)第三章重难点总结复习
再来说说2展开,对比3我们发现它少了 1 x3 1= 1 x3的这样一个三阶项,所以就是展开的
3!
3!
少了。
那么3就是正确的.首先我们能够找到所有的三阶及比其低阶的量,其次由于sin x的泰勒展开
起步为x, 所以两式相乘时e x只需要展开到二阶即可得到三阶项.类似的,e x泰勒展开起步为1, 所以我们的sin x展开到三阶就可以得到最后的三阶项.这个就是开头说的所有的意思.
2.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x o x
3.ex 1 x x2 o x2 2
sin x x 1 x3 o x3 3! 对于1展开,错误在于没有和第一种加的情况相区分,这样如果两式相乘,导致 x3 与sin x任意
3! 一项展开都不是我们所需要的,因为是比三阶高.即展开多了.
a
lim
n
n2 n2
n
a
、
注：第四种方法虽然结果正确，但是我们一般不采取这种方法。
7.若 lim x0
sin 6x xf x3
x
0, 则 lim x0
6 f x
x2
解析：恒等变形后使用洛必达法则
lim
x0
6x
xf x3
x
lim
x0
6
x
sin 6x x3
sin
6x xf x3
x
lim 6x sin 6x lim 6 6 cos 6x 36
分析：令F x f x g x F x在a,b上连续，在a,b内可导，在题设条
件下，要证存在 a,b，F '' =0.已知F a F b =0,只需再证c a,b, F c =0.
1由题设x1 a,b, M
高等数学李伟版课后习题答案第三章
⾼等数学李伟版课后习题答案第三章习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值⼀定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处⼀定存在着⽔平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以⽤来判断函数是否存在零点，⼆者没有差别；（4）虽然拉格朗⽇中值公式是⼀个等式，但将()f ξ'进⾏放⼤或缩⼩就可以⽤拉格朗⽇中值公式证明不等式，不过这类不等式中⼀定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不⼀定是极值；⽽极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有⽔平切线．（3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的．（4）正确．⼀类是明显含有)()(a f b f -的；另⼀类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成⽴．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理，并求出公式中的ξ．解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成⽴．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π，内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='，在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满⾜柯西定理的条件，⼜21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--，有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成⽴．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导，且-+='211)(x x f 0112≡+x，由拉格朗⽇定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数，设C x f ≡)(，⽤0=x 代⼊，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有⼏个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，⽤这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，⼜0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满⾜罗尔定理，所以⾄少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理⾄少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f ⾄少有两个实根．⼜因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时⼆次多项式，于是0)(='x f 是⼆次代数⽅程，由代数基本定理，得0)(='x f ⾄多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-；（2）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1．证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成⽴．当b a <时，取函数x x f cos )(=，显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗⽇定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即)(sin cos cos b a b a -?-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-?-=-ξ．当b a >时，只要将上⾯的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成⽴．所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗⽇定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ．因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有⼆阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ．再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满⾜罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，?)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松⽐赛中，我国运动员以2⼩时19分26秒的成绩夺得了⼥⼦组冠军．试⽤微分中值定理说明她在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松⽐赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上⽤拉格朗⽇定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，⽽15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使⽤连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv，这表明该运动员在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．证明：采⽤反证法，若⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，?，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f ⽭盾，所以⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．（注：本题结论也适⽤于⽆穷区间） 3．证明⽅程015=-+x x 只有⼀个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，⽅程015=-+x x 在)(∞+-∞，内⾄多有⼀个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从⽽⽅程015=-+x x 在)0(∞+，内⾄少有⼀个实根．综上，⽅程015=-+x x 只有⼀个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（⽅法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，⽤0=x 代⼊，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（⽅法2）记b f =)0(，∈?x ),(+∞-∞，若0=x ，则满⾜b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满⾜0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，⽤1=x 代⼊，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满⾜拉格朗⽇定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ．（2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈?x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成⽴．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满⾜拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f fx f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-，所以，M x f x f +'=)()(ξ，从⽽M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满⾜罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．⽽)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利⽤函数的柯西中值定理得到的，因此不能利⽤洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以⽤洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞?∞型的不定式，要想⽤洛必达法则，需先通过变形．⽐如“0?∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0?∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使⽤洛必达法则，⾸先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使⽤洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能⽤洛⽐达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．⽤洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ；（2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→；（4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ；（6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→；（8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→；（10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→；（12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →；（14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm．（3）=-?-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-．（4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=?=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1．（9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11( lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ，所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+= +∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2 110e )(cos lim 2x x x e1．（14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=?=?=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0．因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．⽤洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→；（2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→；（4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →；（6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）．解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-．（2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-．（3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -?+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32．（4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 002 02 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-?=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1．（6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分⼦极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分⼦极限为零，同样得1=b ，进⽽022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩．3.若函数)(x f 有⼆阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→．解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．（注：根据题⽬所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能⽤⼀次洛⽐达法则，再⽤⼆阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就⼀定能写出该函数的泰勒多项式．⼀个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，⼆者相差⼀个不恒为零的余项；（2）⼀个函数在某点附近展开带有拉格朗⽇余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗⽇型的余项；（3）在应⽤泰勒公式时，⼀般⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式⽐较⽅便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本⾝是⼀个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数．（2）不正确．拉格朗⽇型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利⽤泰勒公式求极限时就要⽤带有⽪亚诺余项的泰勒公式，⼀般在对余项进⾏定量分析时使⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式，在对余项进⾏定性分析时使⽤带⽪亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代⼊到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更⾼阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带⼊到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ，于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带⼊到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗⽇型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3），于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带⼊到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗⽇型余项的n 阶泰勒公式．解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，，）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代⼊到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）．习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的⾼速公路，测量员测量海拔⾼度差时，必须考虑地球是⼀个球体⽽表⾯不是⽔平，从⽽对测量的结果加以修正．（1）如果R 表⽰地球的半径，L 是⾼速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利⽤泰勒公式证明3422452R L R L C +≈．（3）当⾼速公路长100公⾥时，⽐较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公⾥）．证明：（1）由αR L =，有R L =α，⼜在直⾓三⾓形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ．（2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<2245211sec x x x ++≈，取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +．（3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ，按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ，它们相差⼤约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +?-++?-?+?-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ，按规律，由于nx2项的后⼀项为22+n x，所以余项也可以⽤)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带⽪亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式．解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上⼀题，余项也可以⽤)(12+m x o ．（注意：像2、3题⽤变量代换写泰勒公式的⽅法只使⽤于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适⽤带有拉格朗⽇型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗⽇型余项） 4．应⽤三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1）330；（2）18sin ．解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+?-+-+=+=，3339/11332730+?=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈，误差为54431089.19310-?R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）⽤x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈，误差为5531055.2)10(!51-?≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈．5．利⽤泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→；（2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→．解：（1）原式64636426 642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++?-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有⼆阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为⼀阶泰勒公式，有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别⽤b x a x ==、代⼊上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η），上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+，由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+，所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有⼆阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，⽤泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，，将)(x f 展开为⼀阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上⼆次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为⼀阶泰勒公式，有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间）分别⽤20==t t 、代⼊上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=，（x <<10ξ）（1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，（22<<ξx ）（2）（2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=，即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-?≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(．习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）；（2）函数的极⼤值点与极⼩值点都可能不是唯⼀的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第⼀充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第⼆充分条件是根据函数在其驻点处⼆阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间I 上连续的函数，其最⼤值点或最⼩值点⼀定是它的极值点.答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，⽽032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，⽽3x y =在0=x 点不取极值；⼜如函数3x y =有不可导点0=x ，⽽3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第⼀充分条件对连续函数的不可导点也适⽤．（4）不正确．函数的最⼤（⼩）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少．解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成⽴，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，⼜因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-；（2）xx y 12+=；（3）3232x x y +?=；（4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(；（6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极⼤值为：0)0(=y ，极⼩值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，，，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-，极⼤值为：2)1(-=-y ，极⼩值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ?+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，，单减区间为：]1(--∞，，⽆极⼤值，极⼩值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，，，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，，单减区间为：]20(，，⽆极⼤值，极⼩值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，，极⼤值为：0)0(=y ，⽆极⼩值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，，单减区间为：)1(--∞，，既⽆极⼤值，也⽆极⼩值．4．求下列函数在指定区间的最⼤值M 和最⼩值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ；（2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ．解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），⽐较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在。
高等数学李伟版课后习题答案第二章
习题2—1（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限； （2）求分段函数(),,()(),x x a f x x x aϕφ<⎧=⎨≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)()(00--'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00++'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．2．设函数2x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.解：1lim 10lim)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．3．设函数y =10=x 点处的导数．解：2111lim11lim)1(11=+=--='→→x x x y x x ．4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．解：xxx xxx x y x x x x x x 1e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim110==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆．5． 对函数x x x f 2)(2-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．解：22)22(lim )2()](2)[(lim)(0220-=+-=--+-+='→→x h x hx x h x h x x f h h ，（1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为221gt s =，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ．解：速度为gt h gt hgth t g t s t v h h =+=-+='=→→)2(lim 2/2/)(lim)()(022，加速度为g g hgth t g t v t a h h ==-+='=→→0lim )(lim)()(．7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11)1(1=='==x xy k ，切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(110--=-x y ，即01=-+y x ．8．若函数)(x f 可导，求下列极限：（1）xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000； （2）xx f x )(lim→（其中0)0(=f ）；（3）hh x f h x f h )()(lim000--+→； （4）xx f f x )sin 1()1(lim--→．解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆xx f x x f xx f x x f x x )()(lim)()(lim000000)(0x f '-．（2）=--=→→0)0()(lim )(lim0x f x f xx f x x )0(f '．（3）hh x f h x f h )()(lim000--+→='+'=---+-+=→→)()()()(lim)()(lim00000000x f x f hx f h x f hx f h x f h h )(20x f '．（4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim)sin 1()1(limf xx x f x f xx f f x x )1(f '．9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1）3x y =，在0=x 点；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点； （3）2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，因为+∞==--→→32031lim0limxx x x x （极限不存在），所以3x y =在0=x 点不可导．（2）因为21arctanlim 0)/1arctan(lim22π==--→→xx x x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(211=====+-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1f x f x =→，所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，又2)1(lim 11lim )1(111lim)1(1211=+=--='=--='---→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ，所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．10．设函数⎩⎨⎧≥<=，，，，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．解：因为e 1e e lim )1(e 11elim e 1ee lim)1(1111=--='=--=--='---→+-→→-x x f x x f x x x xx ，，所以=')1(f e ．11．设函数⎩⎨⎧≥+<=，，，，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．解：当0<x 时，x x x f sin )(cos )(-='='，当0>x 时，22lim )12(1)(2lim)12()(0==+-++='+='→→h h hx h x x x f ，当0=x 时，由20112lim )0(001cos lim)0(0_=--+='=--='+→+→-x x f x x f x x ，，于是函数在0=x 点不可导，所以⎩⎨⎧><-='.020sin )(x x x x f ，，，习题2—1（B ）1．有一非均匀细杆A B 长为20 cm ，M 为A B 上一点，又知A M 的质量与从A 点到点M 的距离平方成正比，当A M 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) A M 为2 cm 时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M 处的密度．解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，所以，22)(x x m =，x h x hxh x x m h h 4)24(lim 2)(2lim)(022=+=-+='→→ g/cm ．（1）A M 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==282)2(m 4 g/cm ．（2）全杆的平均线密度为==2080020)20(m 40 g/cm ．（3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．2．求b a ，的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．而1e lim )0(0==-→-x x f ，b b ax f x =+=+→+)(lim )0(0，b f =)0(，由)0()0()0(f f f ==+-，得1=b ，此时1)0(=f ．又11e lim)0(0=-='-→-xf xx ，a xax f x =-+='+→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ．所以，当11==b a ，时，函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导．3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．解：1tan lim 0tan lim)0(0-=-=-='--→→-xx xx f x x ，1tan lim 0tan lim )0(0==-='++→→+xx xx f x x因为)0()0(+-'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导．4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数． 证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-， 因为)()()(lim)()(lim)(00x f hx f h x f hx f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，所以)(x f '是奇函数．（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-， 因为)()()(lim)()(lim)(00x f hx f h x f hx f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→，所以)(x f '是偶函数．5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ． 因为hx f h f x f hx f h x f h h )()()(lim)()(lim0-=-+→→)()0()()0()(lim)(1)(lim)(0x af f x f hf h f x f hh f x f h h ='=-=-=→→，所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='． 6．求曲线xx y 1+=上的水平切线方程．解：hx x h x h x hx y h x y x y h h )/1()]/(1[lim)()(lim)(00+-+++=-+='→→211])(11[lim xh x x h -=+-+=→，由0)(='x y ，得±=x ，当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ； 当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程． 解：对21x y -=，导函数为：x h x hx h x hx y h x y x y h h h 2)2(lim )1(])(1[lim)()(lim)(0220-=+-=--+-=-+='→→→，设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ， 根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-， 切线方程为：)21(143+⋅=-x y ，即0544=+-y x ．8．已知曲线2ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.由两曲线在0x x =时相切，有⎩⎨⎧==./12ln 00,020x ax x ax 得21ln 0=x ，即e 0=x ，此时，e21=a ，210=y ，公切线斜率为e1=k ，公切线方程为)e (e121-=-x y ，化简得021e1=+-x y .习题2—2（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ∆'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈∆+=∆；后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ∆==∆．（2）不正确．因为x x f x f x x ∆'==)()(d 00，可见0)(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自变量x 在该点的增量x ∆有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：（1）x y ln =； （2）3x y =（0≠x ）； （3）xy 1=（0≠x ）； （4）22x x y +=．解：（1）因为xy 1='，所以xx y d d =．（2）因为322233203331)()(1limlim)(xxh x x h x hxh x x y h h ⋅=++++=-+='→→，所以，323d d xxy ⋅=．（3）因为xx hx x xxhx h hx x hxh x x y h h h 211lim1lim/1/1lim)(02-=++-=++-=-+='→→→，所以，xx x y 2d d -=．（4）因为)1(2)22(lim )2(])()(2[lim)(0220x h x hx x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→，所以x x y d )1(2d +=．3．求下列函数在0x x =点处的微分0d x x y =：（1） x y cos =，20π=x ； （2）xx y 1+=，10=x ．解：（1）因为x y sin -='，所以x x xyx x d d sin d 2/2/-=⋅-===ππ．（2）因为211xy -='，所以0d 0d ]11[d 121=⋅=⋅-===x x xyx x ．4．设函数y =10=x ，1.0=∆x 时函数的微分y d ．解：因为xxh x h xh x y h h 211limlim=++=-+='→→，所以05.02d 1.011.01=∆==∆==∆=x x x x xx y．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）0330sin ' ； （2）05.1； （3）002.1ln ．解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='， 由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得5076.05000.00076.0217203213606cos0330sin =+≈+=+⋅≈'πππ．（2）取105.1)(0===x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02105.1=+⨯≈．（3）取)1ln()(x x f +=，当1<<x 时，先证明x x ≈+)1ln(， 事实上，取00=x ，则0)0()(0==f x f 10)1ln(lim)0()(00=--+='='→x x f x f x ，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-⋅≈+0)0(1)1ln(， 利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性： （1）32)(x x f =； （2）x x x f =)(； （3）⎩⎨⎧≥<=.0sin 0)(3x x x x x f ，，， 解：（1）因为∞==--→→30321limlimxx xx x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，所以32)(x x f =在0=x 不可微．（2）因为0lim 00lim==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，所以x x x f =)(在0=x 点可微．（3）因为100sin lim )0(00lim)0(03=--='=--='+-→+→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ，得⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(3x x x x x f ，，，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微． 习题2—2（B ）1．已知单摆的振动周期gl T π2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？ 解：02244.020201lim220/202/2limd d 202020≈=+=--=→→=gl gl gg l lT l l l ππππ由l T T ∆'≈∆)20(，得23.202244.005.0)20(≈≈'∆≈∆T T l ，即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为4/)(2D D A A π==，2)2(lim 44/]4/)([lim)(022D h D hD h D D A h h ππππ=+=-+='→→；2/)(D D D D A A ∆⋅=∆'≈∆π，当05.003.60≤∆=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈⨯⨯≤∆A mm 2， 所以绝对误差大约为4.715 mm 2；0017.003.6005.0224/2/2≈⨯≤∆⋅=∆⋅≈∆DD D D D AA ππ，所以相对误差大约为0.17%．3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)(lim 0=→xx f x ，求0d =x y．解：由1)(lim=→xx f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0=→x f x ，1)(lim)0()(lim)0(0==--='→→xx f x f x f f x x ，x x f yx d d )0(d 0='==．4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限yy x d lim 0∆→∆．解：由已知，有x y ∆=2d ，所以101]2)(1[lim d )(d limd lim 0=+=∆∆+=∆+=∆→∆→∆→∆xx o yx o y yy x x x ．习题2—3（A ）1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：（1）3232++=xx y ； （2）)1(2xx x y +=；（3）32(1)x y x-=； （4）ln y x x =；（5）xx x y xsin tan 2-+=； （6）cos 1cos x y x=+．解：（1）)3()1(2)(32'+'+'='xx y xx x xx x 12012-=+-=．（2）252123232323)()(---='+'='x x x x y )11(233xx -=．（3）132)33(2312-+-='-+-='--xxx xxy ．（4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ． （5）2sin )(sin )(tan )2(xxx x x x y x'-'-'+'=22sin cos sec2ln 2xxx x x x --+=．（6）22)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x x x x x x x y +-=+'+-+'='．3．求下列函数在指定点的导数或微分：（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2f π'；（2）3523xxy +-=，求0d =x y与2d =x y．解：（1）x x x f sin cos )(+='，()3f π'2313sin3cos+=+=ππ， ()2f π'12sin2cos=+=ππ．（2）22223)5(2)5()1(2)3()52(x x x x xxy +-=+--⨯-='+'-=，因为938492)2(252)0(=+='='y y ，，所以==0d x yx d 252，==2d x yx d 938．4．求下列函数的导数：（1）7(2)y x =-； （2）cos(32)y x =+； （3）x y arctan e =； （4）x y -=1tan；（5）x y 2e arcsin =； （6）1arccos y x=；（7）y = （8）21sinx y +=；（9）)2ln 1(cos 2x y +=； （10）ln(y x =+． 解：（1）66)2(7)2()2(7x x x y --='--='． （2）)23sin(3)23)(23sin(+-='++-='x x x y ．（3）2arctan arctan 1e)(arctan exx y xx+='='．（4）xxx xxx x y ---='---='--='121sec)1(121sec)1(1sec222．（5）xx xxxxx y 4242222e 1e2e 1)2(e )e (1)e (-=-'=-'='．（6）111)/1(1)/1(2222-=-⋅=-'-='x xx x x x x y ．（7）xx x x x x xx y 2222sin1cos sin sin12)(sin sin 2sin 12)(sin+=+'=+'='．（8）22222221cos 11cos 12)()1(1cos xxx x xx x x y ++=++'='++='．（9）)2ln 1)(2ln 1sin()2ln 1cos(2])2ln 1)[cos(2ln 1cos(2'+++-='++='x x x x x yxx xx x )2ln 22sin(]2)2(0)[2ln 22sin(+-='++-=．（10）xxx x xxx xx x x y ++=++=+'+='21)11(212)2(．5．求下列函数的微分y d ：（1）3ln 33++=x x y ； （2）x x y 2sin 2=； （3）2ln (1)y x =+； （4）)1(sec 2x y -=； （5）21xx y -=； （6）2tan(12)y x =+；（7）21arctanx y +=； （8）xy 2sin 2-=．解：（1）x x x x x x x y x x x ln3)d 33(d 0d 3ln 3d 3)3(ln d )3(d )(d d 223+=⋅++=++=． （2）x x x x x x x x x x x x x x x y d )2cos 2(sin 2d 2cos 2d 2sin 2)2(sin d )(d 2sin d 222+=+=+=． （3）x xx x xx x x y d 1)1ln(2)d(11)1ln(2)]1[ln(d )1ln(2d ++=+++=++=．（4）)d(1)1tan()1(sec 2)1sec(d )1sec(2d 2x x x x x y ---=--=x x x d )1tan()1(sec 22---=．（5）因为2/32222)1(11)1/(11x xx x x xy -=-----⋅='，所以，2/32)1(d d x x y -=．（6）因为)21(sec 44)21(sec 2222x x x x y +=⋅+='，所以x x x y d )2(1sec 4d 22+=． （7）因为222221)2(122)1(11xx xxx x y ++=+⋅++='，所以221)2(d d xx x x y ++=．（8）因为xxx x y 22sin2sin22sin 2ln )sin(2ln 2--⋅⋅-='-⋅='，所以x x y xd 22sin 2ln d 2sin-⋅⋅-=．6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：（1）d( )2=d x ； （2）d( )21x=+d x ；（3）d( )2sin 2x =d x ； （4）d( )=x ；（5）d( )nx =d x （1-≠n ）； （6）d( )211x+=d x ．解：（1）因为2)2(='+C x ，所以x C x d 2)2(d =+． （2）因为xC x +='++12)1ln 2(，所以d(C x ++1ln 2)21x=+d x ．（3）x C x 2sin 2)sin2(2='+，所以d(C x +2sin 2)2sin 2x =d x ，或因为x C x 2sin 2)2cos (='+-，所以d(C x +-2cos )2sin 2x =d x ．（4）因为xC x 21)(='+，所以d(C x +)=x ．（5）因为nn x C n x='+++)1(1，所以d(C n xn +++11)nx =d x （1-≠n ）． （6）因为211)(arctan xC x +='+，所以d(C x +arctan )211x+=d x ．习题2—3（B ）1．如图所示的,,A B C 三个圆柱型零件．当圆柱A 转过x 圈时，B 转过u 圈，从而带动C 转过y 圈．通过计算周长知道,32u y u x ==，因此3d d 21d d ==x uuy ，，求xy d d ．解：23321d d d d d d =⨯==xu u y xy ．2．求下列函数的导数：（1）x x y xsin e =； （2）x y ln ln ln =； （3）)ln(22x a x y ++=； （4）)cot ln(csc x x y -=；（5）xx y -+=11ln； （6）ax ax a x y arcsin22222+-=；（7）xx y +-=11arcsin； （8）x x x x y 12)2(+=．解：（1）)cos sin (sin e )(sin e sin )e (sin e x x x x x x x x x x x y xx x x ++='+'+'='．（2）xx x xx x xx x xx y ln ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln )(ln ln ln )ln (ln ⋅⋅=⋅⋅=⋅'='='．（3）2222222222/1)(xa xa x x a x xa x x a x y +=++++=++'++='．（4）x x x xx x xx x x y csc cot csc csc cot csc cot csc )cot (csc 2=-+-=-'-='．（5）xx x x x x x x y )1(1)1(21)1(21])1[ln(])1[ln(-=-++='--'+='．（6）2222222)/(1/1222a x aaxa xx a y -+---='2222222222222222222xa x a x a xa ax a xx a -=-+-=-+---=．（7）)1(2)1(1)1()1()1(112111112x x x x x x xx xx y -+-=+--+-+-+--='．（8）因为xx x x x x x x y 2ln ln 212ee )2(+=+=，所以x xxxxx x xxxx xxx y 12222ln ln 2)2(2ln 1)2ln 2(2ln 1e)2ln 2(e-++=-++='．3．若函数)(x f 可微，求下列函数的导数：（1）)(2x f y =； （2）)(2x f y =； （3）)]([x f f y =； （4）]e1ln[)(x f y +=．解：（1）)(2))((222x f x x x f y '=''='．（2）)()(2])()[(2x f x f x f x f y '='='．（3）)()]([])()][([x f x f f x f x f f y ''=''='．（4）)()()()()()(e1)(ee1])([ee1]e 1[x f x f x f x f x f x f x f x f y +'=+'=+'+='．4．设可导函数)(x f 满足方程xxf x f 3)1(2)(=+，求)(x f '．解：（方法1）等式两边对x 求导，有223)1)(1(2)(xxxf x f -=-'+'，用x1替换上式中的x ，有223)(2)1(x x f x xf -='-'，从而得212)(xx f +='．（方法2）用x1替换题中等式里的x ，有x x f xf 3)(2)1(=+，由此得xx x f 12)(-=， 所以，212)(xx f +='．5．设]1)([2x x g f y -=，其中)()(u g u f ，可微，求y d ． 解：x xx g f xx g x g xx g xx g f y d ]1)([]1)()(2[]1)([d ]1)([d 2222-'+'=--'=.6．试写出垂直与直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程． 解：x x x y 63)(2+='，设切点的横坐标为t x =，则切线斜率t t t y k 63)(2+='=， 而直线0162=+-y x 的斜率3/11=k ，由已知11-=kk ，有122-=+t t ，得1-=t ，切点为)31(--，，切线斜率为3-=k ， 于是，所求切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x ．习题2—4（A ）1．下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）如果()y f x =的导数()f x '大于零，那么()y f x =的二阶导数也一定大于零； （2）变速直线运动的加速度大于零，该变速运动一定是加速运动． 答：（1）不正确．如x x f ln )(=（0>x ），01)(>='xx f ，但是01)(2<-=''xx f ．（2）正确．由0)()(>='t a t v ，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动． 2．求下列函数的二阶导数：（1）22ln y x x =+； （2）34x y x+=；（3）x y arctan =； （4）)21sin(x y -=； （5）x x y arcsin 12-=； （6）x y xcos e =；（7）y =； （8）2ln(1)y x =+；（9）)1ln(2-+=x x y ； （10）x x y sh =．解：（1）xx y 22+='，222xy -=''．（2）121242--++=x xx y ，22342----='xxx y ，328232xxx y +⋅+=''．（3）211xy +='，22)1(2x x y +-=''．（4）)21cos(2x y --='，)21sin(4x y --=''．（5）1arcsin 12+--='x xx y ，22/3222222221)1(arcsin 111arcsin )1(1/1xx x x xxx x x xx xy ----=-⋅----+--=''．（6）)sin (cos e x x y x -='，x x x x x y x x sin e 2)cos sin sin (cos e -=---=''． （7）32-='x x y ，2/322222)3(333/3--=----=''x x x x x y ．（8）212xx y +='，222222)1()1(2)1(22)1(2x x x xx x y +-=+⋅-+=''．（9）1111/1222-=-+-+='x x x x x y ，2/32212)1(])1[(--='-=''-x x x y ．（10）x x x y ch sh +='，x x x x x x x y sh ch 2sh ch ch +=++=''．3．设函数24()32f x x x x =+++，求)0(f '''及)0()4(f．解：3441)(x x x f ++='，2124)(x x f +=''，x x f 24)(='''，24)()4(=x f，024)0(0=='''=x xf ；2424)0(0)4(===x f．4．计算下列各题：（1）12e)(+=x x f ，求)()5(x f；（2）(1)ln y x x =+，求33d d xy ；（3）x y sin ln =，求y '''．解：（1）12e 2)(+='x x f ，12e 4)(+=''x x f ，12e 8)(+='''x x f ，12)4(e16)(+=x x f，12)5(e32)(+=x x f． （2）xx xy 11ln d d ++=，22211d d xxxy -=，33233221d d xx xxxy -=+-=．（3）x xx y cot sin cos =='，x y 2csc-=''，x x x x x y cot csc 2)cot csc (csc 22⋅=-⋅-='''．5．验证函数x x C C y λλ-+=e e 21（其中21,C C 为任何常数）满足关系式（微分方程） 20y y λ''-=．证明：因为x x C C y λλλλ--+='e )(e 21，y C C y x x 22221e )(e λλλλλ=-+=''-，所以20y y λ''-=． 6．验证函数x y x sin e =满足关系式220y y y '''-+=． 证明：因为x x y x x cos e sin e +='，x x x x x y xxxxxcos e 2sin e cos e cos e sin e =-+++=''，所以0sin e 2)cos e sin e (2cos e 222=++-=+'-''x x x x y y y x x x x习题2—4（B ）1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm ，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为0=t ，在时刻t 时物体的位置为t s cos 5=．求时刻t 时物体的速度和加速度． 解：物体的速度t ts t v sin 5d d )(-==；物体的加速度t tv ts t a cos 5d d d d )(22-===．2．设函数2arcsin442x xx y --=，求y ''．解：2244/14/144224xx x x x xx x y --=----=',2/32222)4(244/)2(4x x x xx xx x x xx y --=------=''．3．设函数x y arcsin =，求)0()10(y．解：由x y arcsin =是奇函数，则)(x y '是偶函数，)(x y ''是奇函数，)(x y '''是偶函数， 以此类推)()10(x y是奇函数，根据初等函数导数的性质，)()10(x y在0=x 点有定义，所以0)0()10(=y ．4．求下列函数的n （3≥n ）阶导数：（1）x x y e =； （2）x x y cos 2=； （3）x x y ln 2=；（4）0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- （其中),,2,1(n i a i =为常数，0≠n a ）． 解：（1）（方法1）)1(e e e +=+='x x y x x x ，)2(e e )1(e +=++=''x x y x x x ，)3(e e)2(e +=++='''x x y xxx，以此类推)(e )(n x y x n +=．（方法2）)(e )e ()e ()e ()()1()()()(0)(n x x n x x Cyxn x n x k n x k nk k nn +='+==--=∑．（2）)()(20)()(cos )(k n k nk k nn x x Cy-=∑=)2(2)1(2)(2)(c o s )(2)1()(c o s )()(c o s--''-+'+=n n n x x n n x x n x x)()(2)c o s )(1()(sin 2)2cos(n n x n n x nx n x x --+++=π)2sin(2)2cos()(22ππn x nx n x n n x ++++-=．（3）（方法1）)()(2)()(ln )(k n k nk knn x x Cy-=∑=)2(2)1(2)(2)(ln )(2)1()(ln )()(ln --''-+'+=n n n x x n n x x n x x231212)!3()1)(1()!2()1(2)!1()1(--------+--+--⋅=n n n n nn xn n n xn nx xn x21)!3()1(2----=n n xn ．（方法2）x x x y +='ln 2，3ln 2+=''x y ，2123)2()2()()3()1(2)3()1(2)3ln 2()(--------=--=+=''=n n n n n n n xn xn x y y．（4）)(0)(1)(11)()()()()()(n n n n n n n n n a x a xa x a y++++=--!000!n a n a n n =++++= ．5．若函数)(x f 满足(sin )cos 2csc f x x x '=+，求)(x f ''． 解：由xx x x x f sin 1sin21csc 2cos )(sin 2+-=+='，有xx x f 121)(2+-='，所以2214)121()(xx xx x f --='+-=''．6．若函数()y f x =存在二阶导数，分别求)(2x f y =及2()y f x =的二阶导数． 解：对)(2x f y =，)()(2x f x f y '='，=''y )()(2)]([2])()(2[2x f x f x f x f x f ''+'=''；对2()y f x =，)(22x f x y '='，=''y ])(2[2''x f x )(4)(2222x f x x f ''+'=． 7．若函数)(x f 有任意阶导数，且)()(2x f x f ='，证明)(!)(1)(x fn x f n n +=．证明：用数学归纳法进行证明， 当1=n 时显然成立， 设k n =时成立，即)(!)(1)(x fk x fk k +=，当1+=k n 时，等式)(!)(1)(x fk x fk k +=两边同时对x 求导，得)()!1()()()!1()()()1(!)(22)1(x fk x f x f k x f x f k k x fk k k k +++=+='+=，即对1+=k n ，式子)(!)(1)(x fn x f n n +=，所以根据数学归纳法原理，对任何正整数n 都有)(!)(1)(x fn x fn n +=．习题2—5（A ）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数)(x y y =的导数时，所得到的()y x '是x 的一元函数，若再求)(x y y =的二阶导数，直接对x 的函数()y x '求导即得；（2）求由参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数的导数时，在()0t ϕ'≠的条件下，若再求22d d x y，只需将所求得的xy d d 对t 再继续求导数即可；（3）在知道两个变量,x y 中的一个对第三个变量t 的变化率，求另一个变量对t 的变化率时，应首先求出两个变量,x y 之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到,x y 对变量t 的变化率之间的关系．答：（1）不正确．在)(x y '的表达式中不仅含有变量x ，还含有函数)(x y ，在用求导法则求)(''=''y y 时，凡是遇到含有y 的项，都要将其视为x 的函数，按复合函数进行求导．（2）不正确．xy d d 要先对t 求导，再乘以t 对x 的导数（或除以x 对t 的导数）．这是因为)(/))()((d d d d ))()((d d ))()((d d )d d (d dd d 22t t t t x t t t t t t x xyx xy ϕϕψϕψϕψ''=⋅''='==．（3）正确．如果变量y x ，有函数关系)(x f y =，两边同时对t 求导，有tx x f ty d d )(d d '=，这就是y 对t 的变化率ty d d 与x 对t 的变化率tx d d 之间的关系．2．设函数)(x y y =由下列方程确定，求xy d d ：（1）012=++xy y ； （2）3330x y xy +-=； （3）y x xy +=e ； （4）x y y e 2ln -=． 解：（1）方程012=++xy y 两边同时对x 求导，有0d d d d 2=++⋅xy xy xy y ，解得xy y xy +-=2d d ．（2）方程3330x y xy +-=两边同时对x 求导，有0d d 33d d 3322=--+xy x y xy yx ，解得22d d yx x y xy ---=．（3）方程yx xy +=e 两边同时对x 求导，有)d d 1()d d 1(ed d xy xy xy xy x y yx +=+=++，解得)1()1(d d ---=y x x y xy ．（4）方程xy y e 2ln -=两边同时对x 求导，有xxy xy xy y e d d ed d 1--=，解得xx y y xy e1ed d 2+-=．3．求曲线yx y e 1-=上对应于0=x 点处的切线方程．解：将0=x 代入方程y x y e 1-=，得1=y ，切点坐标为)10(，，方程y x y e 1-=两边同时对x 求导，有y x y y y '--='e e ，用0=x ，1=y 代入，得1)0(-='y ，即切线斜率为1-=k ，切线方程为)0(11--=-x y ，即01=-+y x ．4．求星形线3/23/23/2a y x =+在点)42,42(a a 处的切线方程与法线方程． 解：方程3/23/23/2a y x =+两边同时对x 求导，有032323/13/1='+--y yx，用a y a x 42,42==，得1)42(-='a y ，即切线斜率1-=k ，切线方程为)42(142a x a y -⋅-=-，即022=-+a y x ；法线方程为)42(142a x a y -⋅=-，即0=-y x ．5．设函数)(x y y =由下列方程确定，求22d d xy ：（1）y y x 222=+； （2）y x y e 1+=． 解：（1）方程y y x 222=+两边同时对x 求导，有xy xy yx d d 2d d 22=+，得yx xy -=1d d ，所以3322222)1(1)1()1()1()(1)1(d d y y x y y y x y yx xy x -=-+-=-'---='-=．（2）方程yx y e 1+=两边同时对x 求导，有xy y xy x xy yyyd d )1(ed d eed d -+=+=，得yxy y-=2ed d ，所以32222)2()3(e)2()(e )2(e d d y y y y y y xy yyy--=-'---'=．6．用对数求导法求下列函数的导数xy d d ：（1）x x y 1)1(+=； （2）xxy x-=1；（3）xxy xsin e12+=； （4）0=-xyy x ．解：（1）将x x y 1)1(+=两边取对数，有xx y )1ln(ln +=，两边再同时对x 求导，有)1()1l n ()1()1l n ()1/(22x x x x x xx x x yy +++-=+-+='，所以)1()1ln()1()1()1()1ln()1(d d 212x x x x x x x x x x x y xy x +++-⋅+=+++-⋅=．（2）将xxy x-=1两边取对数，有)1ln(ln ln x x x y --=，两边再同时对x 求导，有)]ln 1)(1(1[11111ln x x xxx yy +-+-=---+='，所以)]ln 1)(1(1[)1()]ln 1)(1(1[)1(d d 2x x x xx x x y xy x+-+-=+-+-=．（3）将xxy xsin e12+=两边取对数，有x x x y sin ln )1ln(21ln 2--+=，两边再同时对x求导，有x x x yy cot 2)1(21--+='，所以=xy d d )cot 2411(sin 2e1]cot 2)1(21[2x x xx xx x x y x--++=--+．（4）将xyy x=两边取对数，有y x x y ln ln =，两边再同时对x 求微分，有yy x x y xx y y x d d ln d d ln +=+⋅，即y x x y xy x y y x xy d d ln d d ln 22+=+⋅，解得22ln ln d d xx xy y y xy xy --=，或写作)1(ln )1(ln d d 22--=y x x y xy ．7．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的导数xy d d ：（1）⎩⎨⎧-==；，3212/t y t x （2）⎩⎨⎧--=++=；，t y t x 1111 （3）⎩⎨⎧==；t y t x tt cos e ,sin e （4）⎩⎨⎧-=+=.arctan )1ln(2t t y t x ，。
高等数学李伟版课后习题答案第八章.
习题8—1（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）一个点集的内点一定属于，其外点一定不属于，其边界点一定不属于，其聚点一定属于；（2）开集的所有点都是其内点，开集也称为开区域；（3）一个有界集一定能包含在以坐标原点为圆心，适当长的线段为半径的圆内；（4）考查二元函数的定义域时，应从两方面去考虑：用解析式表达的函数要考虑使该解析式有意义的所对应的点的集合（自然定义域）．对有实际意义的函数还应该从自然定义域中找出使实际问题有意义的点集；（5）当沿某一条曲线趋于时，函数的极限存在，并不能说明极限存在，但如果当沿某一条使函数有定义的曲线趋于时，函数的极限不存在，则一定不存在；（6）为说明极限不存在，通常也采取用当沿两条不同曲线趋于时，函数的极限不相等的方法；（7）如果函数在点连续，点必须是函数定义域的内点；（8）若是二元函数的间断点，那么一定不存在．答：（1）前两者都正确，这是根据内点、外点的定义；后两者都不正确，无论是边界点还是聚点它们都可以是的点，也可以是非的点，如当是闭集是，的边界点是的点当是开集时的边界点就不是的点；又如点是集合的聚点，但是它不是的点．（2）前者正确，这是有开集定义决定的；后者不正确，连通的开集才是开区域，不连通的开集不是开区域，如是开集，但是不是开区域．（3）正确，这就是有界集的定义．（4）正确，求多元函数的自然定义域如同一元函数的定义域，要从以下几个方面考虑：①分式中分母不能为零，②开偶次方底数要大于等于零，③对数中真数要于零，④、中要求，⑤若干个式子的四则运算中，取每个式子有意义的交集，等等．（5）两者都正确，如：不存在，但是沿取极限时值为1；后者是由极限的定义决定．（6）正确，这是证明多元函数极限不存在的基本方法，它源于在中，是以（定义域内的）任意方式实现的．（7）不正确．如：在点连续，但是点不是函数定义域的内点．（8）不正确．如：点是函数的间断点，但是极限．2．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所组成的集合（称为导集，用表示）和边界：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）是有界闭区域，其导集，其边界．（2）是非开非闭的有界区域，其导集，其边界．（3）是无界区域，其导集，．（4）是有界开集（不是区域），其导集，其边界．3．设函数，求，．解：，．4．设函数，求．解：．5．设函数，已知时，，求及的表达式．解：由时，，有，即，所以；而．6．设函数，求的表达式．解：（方法1）因为，所以．（方法2）令，则，于是，所以．7．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定义域．（2）由及，有，得定义域．（3）由，有，得定义域．（4）由，有，或，得定义域．8．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）．（2）．（3）．（4）因为有界，而，所以．（5）．（6）．9．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证明：（1）沿取极限，则，当取不同值时，该极限值不同，所以极限不存在．（2）先沿取极限，则；再沿取极限，则，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限不存在．10．找出下列函数的间断点的集合：（1）；（2）；（3）．解：三个函数都是初等函数，找间断点只需找函数无定义的点，并且这些点又是定义域的聚点．（1）函数只在点无定义，且是定义域的聚点，所以断点的集合．（2）函数在圆周上无定义，且圆周上的点都是定义域的聚点，所以断点的集合．（3）函数的定义域，函数在及上无定义，这些点中只有，及（）是定义域的聚点，所以断点的集合．习题8—1（B）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为（单位：元），两个市场的销售量各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是，试用表示该厂生产此产品的利润．解：根据已知，设，由时，；时，，有得，于是．由时，；时，，有得，于是．两个市场销售该产品的收入为，该产品的成本．根据利润等于收入减去成本，得．2．设函数求函数值．解：当时，则，于是；当时，则，于是．3．求函数的定义域．解：由，有且，即且，或写作且；或且，即且，或写作且，所以定义域．4．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，则当时，，所以．或者：因为时，与是等价无穷小，所以．（2）．（3）令，则当时，（其中在区间内任意变化），所以．（4）因为，而，，根据“夹逼准则”得．5．证明极限不存在.证明：先沿取极限，，再取极限，，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限不存在．6．讨论函数的连续性．解：当时，是连续函数．当时，满足的点是轴上点或轴上点，对轴上点，极限，这些点是函数的连续点．对轴上点（除去），当时，极限不存在（极限不是零，震荡），所以这些点是间断点．综上，函数在点（）处不连续，其余点处都连续．习题8—2（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）极限既是的一元函数在点处的导数，也是二元函数在点处对变量的偏导数；（2）二元函数在某一点处连续是在这点偏导数存在的必要条件；（3）二元函数的两个二阶混合偏导数与只要存在就一定相等．答：（1）正确，这是根据导数与偏导数的定义．（2）不正确，例如函数在点处连续，但是都不存在．事实上：因为不存在，所以不存在；由变量的对称性得，也不存在．（3）不正确．还需要与连续，否则它们不一定相等，如函数在点处，，从而．事实上，，特别，，特别，，．2．求下列函数对各个自变量的一阶偏导数：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1）将函数改写为，则，．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），．（8），由变量的对称性，得．（9），，．（10），，．3．求下列函数在指定点的偏导数：（1）设，求及；（2）设，求及．解：（1）在时，将函数改写为，则，，．（2）因为，所以，因为，所以．4．求曲线在点处的切线与轴正向的夹角．解：，，用表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角，则，所以．5．求下列函数的高阶偏导数：（1）设，求，，和；（2）设，求，和；（3）设，求，和．解：（1），，，，，，．（2），，，，，．（3），，，，．6．设函数，求，和．解：因为，则，因为，则，．7．设函数，证明．证明：因为，所以．8．设函数，证明．证明：因为，所以．9．设函数，证明．证明：因为，，，，，，所以．10．若函数都可导，设，证明．证明：因为，，，所以．习题8—2（B）1．设一种商品的需求量是其价格及某相关商品价格的函数，如果该函数存在偏导数，称为需求对价格的弹性、为需求对价格的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量与其价格及彩色喷墨打印机的价格有关，为，当，时，求需求对价格的弹性、需求对价格的交叉弹性．解：由，，有，，当，时，需求对价格的弹性：，需求对价格的交叉弹性：．2．已知满足，证明．证明：由，有，由，有，由，有，得．3．设函数，证明．证明：将函数改写为，则，，由变量的对称性，有，，所以．4．设函数满足，且，，求．解：由，两边同时对求不定积分，有，用代入该式，有，根据条件，得，于是．上式两边同时再对求不定积分，有，由条件，得，所以．5．设函数，求及．解：，（或由变量的对称性求得）．6．设函数证明在点处的两个偏导数都不存在．证明：因为极限不存在，极限不存在，所以在点处的两个偏导数都不存在．习题8—3（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）称函数在可微分，如果在这一点函数的两个偏导数都存在，并且，其中为函数在点的全增量，；（2）函数在一点可微分，它在这点必连续；（3）函数在一点可微分的充分必要条件是，在这点的偏导数都存在；（4）函数在一点的偏导数连续，能保证在这点附近曲面可以用平面来近似替代，其中．答：（1）正确，可微的必要条件是两个偏导数存在，且，再根据，有，即．，这就是函数可微的定义．（2）正确，事实上，由可微，根据定义有，于是，这表明函数在该点连续．（3）不正确，偏导数存在仅仅是可微的必要条件，而不是可微的充分条件，如函数在两个偏导数都存在且等于零（习题8-2（B）5），但是函数在不可微．事实上，若可微，则，但是不存在（分别沿、取极限，其值为0及），这与矛盾，所以函数在不可微．函数可微的充分条件是偏导数在该点连续．（4）正确，若记，则，由此得，这表明在点附近曲面可以用平面来近似替代，这就是所谓的局部线性化．2．求下列函数的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）因为，，所以．（2）因为，，所以．（3）因为，，所以．（4）因为，，所以（5）因为，，，所以．（6）因为，，，所以．3．当，时，求函数的全微分和局部线性化．解：因为，，，，所以，而，．4．当，，，时，求函数的全增量及全微分．解：，，，，当，，，时：全增量，全微分．习题8—3（B）1．一个圆柱形构件受压后发生形变，它的半径由cm增加到cm，高由cm减少到cm，求此构件体积变化的近似值．解：设构件的高为、底半径为、体积为，则．，，于是，当时，(，即体积大约减少了628 (．2．计算的近似值．解：考虑函数，取，而，，、、，则．3．设函数在点的某个邻域内可微，且，其中，求函数在点处的全微分及局部线性化．解：在中，令，得．在点考虑函数的全增量：，（其中）根据全微分的定义，有，并且得．．4．设函数在点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数的可微性．解：因为，，所以在点处函数的两个偏导数都存在，且．再讨论可微性，函数在处的全增量用表示，则，记，则不存在（沿取极限，其值为；沿取极限，其值为），所以函数在点处不可微．进而得偏导（函）数在点处不连续（若偏导（函）数在点处连续，根据可微的充分条件，则函数一点可微，与函数不可微矛盾）．习题8—4（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）对多元复合函数来说，欲求其对自变量的偏导数，借助于树形图比较方便．不论中间变量是几元函数，最终求出的偏导数所含的项数等于从因变量到达该自变量的路径数目，某一项有几个因式，取决于与该项相对应的路径中所含有的线段数目；（2）对于可微的复合函数，，对于的偏导数；（3）利用全微分形式的不变性，对一个多元复合函数来说可以先求其全微分，最后再得出该复合函数对各自变量的偏导数．答：（1）正确，这是复合函数的链式求导法则决定的，如若函数由函数复合而成，复合函数的树形图为右图，而在图中我们可以看到从变量到变量有四条路径，由此导数公式中有四项之和，而每一项中（如第一项）偏导数或导数的个数（3个）等于这条路径上从到段数（3段）．（2）不正确，左、右式中的含义不同，左式中表示对自变量求导，它涉及图中三个，而右式中的仅表示对中间变量（一）求导，（当某一个变量在复合函数中有双重身份，既是自变量又是中间变量时会出现这种记号混淆情况），为了与左式中区别，此处应当用记号（同时分别用）表示，即写作．（3）正确，即若某个复合函数的全微分是（通常这个全微分是由微分法则与微分形式不变性求得），则、，这是多元复合函数求偏导数的方法之一．2．设函数，而，，求．解：（方法1）函数的复合关系如图，则．（方法2）消去中间变量，有，按一元函数求导，得．（注：具体函数的复合函数都有以上两种方法，并且方法2简单，但是本节的目的在于练习复合函数链式求导方法，所以后面只用方法1求导）3．设函数而是的可微函数，求．解：．4．设函数，而，求．解：．5．设函数，而，，求和．解：，．6．设函数，求和．解：这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令，则，．（注：可以由变量的对称性直接写出）7．求下列函数的一阶偏导数（其中函数具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．8．设函数，其中是可微函数，证明．证明：因为，，所以．9．设函数，其中是可微函数，证明．证明：因为，，所以．10．用微分形式不变性求函数的偏导数和．解：令，则，则根据微分法则与微分形式不变性，得所以，，．习题8—4（B）1．在解偏微分方程（含有未知函数的偏导数的方程，也称为数理方程）时，常常要用变量代换将一个复杂的方程化为一个简单的方程，从而可以求其解．设具有二阶连续偏导数，若用变量代换将偏微分方程化为，求的值．解：，，，，．由，有，即，要化为，必须，且，由，即，得或，但是由，所以只能是．2．设有一阶连续偏导数，且满足，，，求.解：令，等式两边同时对求导，有，（*）由于，，则（*）式化为，所以．3．若函数有二阶导数，且，又函数满足方程，求．解：令，则，于是，，，，由，有，即，这是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程是，特征根为，方程的通解是，，由条件，有，，得，所求所求函数是．4．若函数可微，且对任何正实数有，证明．证明：等式两边同时对导，则，记，则上式为，令，得，将该式中的分别用表示，则，即．5．求下列函数的二阶偏导数（其中函数具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．6．设，其中函数、有二阶导数，求、及.解：，，，，．7．设，其中函数、有二阶导数，证明．证明：因为，，．所以．习题8—5（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）要使方程确定一个隐函数，如果将定理5.1中的条件换为而其它不变，则该方程仍能确定一个隐函数；（2）如果函数满足类似于定理5.1的条件，对各个自变量有连续偏导数，且对某个变量的偏导数不为零，则元方程可以确定一个具有连续偏导数的元函数；（3）若按照教材中的说法，一个方程组可以确定一组多元函数．那么函数的个数等于方程组中方程的个数，函数的元数等于方程中所含变量的总个数减去方程的个数；（4）若方程组能确定两个二元隐函数那么通过对该方程组中的各个方程的两边对同一个变量求导，就可以得到含有的方程组，通过解这个方程组，就可以求得．答：（1）不正确，如方程（其中），在点处有，但是它不能确定一个隐函数，因为在这点左侧附近给定一个对应有两个值，在这点右侧附近没有值对应；当且其它条件不变时，可以确定一个一元函数．（2）正确，这是定理5.1的推广．（3）正确，但是要注意两点，一是变量的个数需大于方程的个数（否则方程组可能只确定一点，或者无解）；二是要满足隐函数存在的条件（超出教学要求，此处略去）．（4）正确，如同例5.4、例5.5等的解法．2．若函数分别由下列方程确定，求．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）（方法1）设，则，所以（方法2）方程两边同时对求导，有，解得．（注：两种方法最大的差别在于：方法1中在求时都看作自变量，而方法2在求导过程中要看作的函数．尽管方法1简单一些，但是它有局限性，只适用于求一个方程确定的隐函数的一阶导数或偏导数，而方法2适用于各类隐函数的各阶导数或偏导数的求法，后面一般都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，解得．（3）方程两边同时对求导，有，得．（4）方程两边取对数，有，该式两边同时对求导，有，即，解得．3．设函数分别由下列方程确定，求．（1）；（2）．解：（1）方程两边同时对求导，有，得，．（2）方程两边同时对求导，有，解得，．4．若函数分别由下列方程确定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）（方法1）设，则，所以．（方法2）方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得（或由变量的对称性，得）．（3）方程两边对求导，有，即，而，所以，得，由变量对称性有．（4）方程改写为，方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．5．若函数，，都是由方程确定的隐函数，其中有一阶连续非零的偏导数，证明．证明：因为，所以．6．设函数，而函数由方程确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，．7．设函数，而函数、分别由方程及确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以．8．设函数，而由方程确定，求．解：方程两边同时对求导，有，用、代入，有，得．于是，所以．习题8—5（B）1．某工件的外表面是一个椭球面，方程由给出，现在点处要将其局部线性化（即做一个切平面），求局部线性化表达式．解：设方程在点确定的隐函数为，方程两边对求导，有，用、代入，有，得，由变量对称性，得．所以．2．若函数由方程确定，求．解：方程两边对求导，有，得，由变量的对称性，得．等式两边同时对求导，有，即所以．或．3．若函数由方程确定，其中是可微函数，求、．解：方程两边同时对求导，有，解得，方程两边同时对求导，有，解得．4．若函数由方程确定，其中是可微函数，证明．证明：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以．5．设函数，而由方程确定，其中函数连续，、可微，且，求．解：方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．，所以．6．求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程组两边同时对求导，有消去，有，得，而．（2）方程组两边同时对求导，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程组两边同时对求导，有与前面解法类似，得，．习题8—6（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）如果曲线的参数方程为（），那么它就对应一个向量值方程若存在并且不同时为零，那么，曲线在相应点处的切向量为，由此利用直线的点向式方程就可写出该点处的切线方程；（2）求曲线的切线方程与法平面方程的关键是求切向量，而其中又以参数方程为基础，其它形式的曲线方程都划归为参数方程，找出相应的切向量，然后写出要求的方程；（3）曲面的切平面方程是以曲面的一般方程为基础进行讨论的，如果曲面方程为的形式，那么必须把它化为的形式，其中，因而它在点处的法向量一定为，切平面方程为：；（4）如果曲线为一般方程那么，曲线在点的切向量可取为．答：（1）正确，这就是曲线为参数方程时，切线方向向量的求法．此时切线方程为；法平面方程为．（2）正确，对参数方程，在处的切向量；对形如的取向方程，将变量看作参数，在处的切向量对一般方程按隐函数它可以确定两个一元函数，如，按隐函数求导方法得到，从而得在处的切向量．（3）不确切，曲面的法向量可以直接由给出，也可以由给出．（4）正确，设曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，根据法平面的定义有，于是可取．2．空间一质点在时刻时的位置为，求质点在时刻的速度．解：．3．求曲线在点处的切线及法平面方程．解：点对应参数为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．4．求曲线，在对应于的点处的切线及法平面方程．解：切点为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．5．求曲线在点处的切线及法平面方程．解：，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．6．求曲线在点处的切线及法平面方程．解：设，则切向量，切线方程为，法平面方程为，即．7．求曲面在点处的切平面及法线方程．解：设，则法向量，切平面方程是，即，法线方程是．8．求曲面在点处的切平面及法线方程．解：法向量切平面方程是，即，法线方程是．习题8—6（B）1．求曲线（）上平行于平面的切线方程，并写出该点处的法平面方程．解：设切点坐标为，该点对应参数，曲线在该点的切向量为，由切线与平面平行，有，得，即，由于，所以．切点坐标为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．2．在椭球面上求平行于平面的切平面方程．解：设切点坐标为，，则法向量，由切平面平行于平面，有，即，代入到曲面方程之中，有，得，切点为或，在点，切平面为，即；在点，切平面为，即．3．问旋转抛物面上哪一点处的切平面过曲线，，在点处的切线．解：设切点坐标为，则法向量，切平面方程为，即．曲线，，在点对应参数，曲线在点处的切向量．由在曲面上，有．①由切平面过，有．②曲线，，在点处的切线在切平面上，有所以，即．③由方程①、②、③式解得或，于是所求点为或．4．证明二次曲面在点处的切平面方程为：．证明：设，则曲面在的法向量。
高数(上)第三章 复习题(含参考答案)
高数上第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cotξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令x ex f x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限:(1)xe e xx x sin lim0-→-;解2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . (2)22)2(sin ln lim x x x -→ππ;解 812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(3)xx x x cos sec )1ln(lim20-+→;解 x x xx x x x x x x x 22022020cos 1lim cos 1)1ln(cos lim cos sec )1ln(lim -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim 00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的.因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x xx xx xx x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x ,也就是221)1ln(1x x x x +>+++.5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2. 因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1); 解122+='x x y ,22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1,ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x xx x x x f x f -=-='⋅,)ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x<e时, f'(x)>0; 当x>e时, f'(x)<0, 所以唯一驻点x=e 为最大值点.因此所求最大项为333max{=.,2}3。
微积分第三章习题参考答案
2t 3 3t 2 6t 6ln(t 1) c
2 x 1 33 x 1 66 x 1
6ln( 6 x 1 1) c.
p54.4.解法1:
1
x4 1 x4
I
x3(
x4
dx 1)
x3(
x4
dx 1)
(
1 x3
x
x4
)dx 1
1 2x2
1 arctan 2
x2
c.
解法2:I
2
当 1时,
x ln xdx 1 ln xdx1
1
x1 ln x 1 x dx
1 1
x 1 ln x
x 1
1 ( 1)2 c.
p56. 7.I0 x c, I1 x ln x x c,
In x lnn x n lnn1 xdx x lnn x nIn1
6. 2e x ( x 1) c . 7. 1 e2x2 c . 4
8. 1 x2 f ( x2 ) 1 f ( x2 ) c .
2
2
p59.二.1. esin x sin 2 xdx 2 esin x sin xd sin x
2 sin xdesin x 2esin x sin x 2 esin xd sin x
4. I x2 x4 c . 5. x 2sin t, x 3sec t . 4
da tan t
a sec2 tdt
p53.6.I
(a2 tan2 t a2 )3
a3 sec3 t
1 a2
cos tdt
1 a2
sin t
c
a2
x
c.
a2 x2
二.1. 2.
I 1 e2 x2 c; 4
高等数学课后习题及答案(共11单元)03导数的应用
习题3-11．验证下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理： （1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x ； （2）x x f ln )(=，],1[e x ∈； （3）32)(x x f =，]2,1[-∈x ； （4）22)(xxx f -=，]1,1[-∈x . 答案：（1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x解 函数25)(23-+-=x x x x f 在闭区间]1，0[上连续，在开区间()10，内可导，并且312501)0()1(-=---=--）（）（f f .由于1103)(2+-='x x x f ，所以令311032-=+-x x ，解此方程得3135±=x ，这说明在)1,0(内有3135-=ξ，使得3)(-='ξf .（2）x x f ln )(=，],1[e x ∈解函数x x f ln )(=在闭区间]1[e ，上连续，在开区间()e ，1内可导，并且111011)1()(-=--=--e e e f e f .由于x x f 1)(='，所以令111-=e x ，解此方程得1-=e x ，这说明在),1(e 内有1-=e ξ，使得11)(-='e f ξ.（3）32)(x x f =，]2,1[-∈x解 函数32)(x x f =在闭区间]2，1[-上连续，在开区间()21，-内可导，并且314)1(2)1()2(3-=----f f .由于332)(x x f ='，所以令3143233-=x ，解此方程得33)142(-=x ，这说明在)2,1(-内有33)142(-=x ，使得314)(3-='ξf .（4）22)(x xx f -=，]1,1[-∈x 解 函数22)(x x x f -=在闭区间]1，1[-上不连续，所以22)(x xx f -=在]1，1[-不满足拉格朗日中值定理.2．用洛必达法则求下列极限：（1）bx axx sin tan lim 0→； （2）x e e x x x sin lim 0-→；（3）ax ax a x --→sin sin lim ； （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x ；（5）x x x ln 1lim1-→； （6）x x x 3cos sin 21lim 6-→π；（7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π； （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π；（9）x x x ln lim+∞→； （10）xxx cot ln lim 0→；（11）xx x sin ln ln lim 0+→； （12）ax b x e x ∞→lim （a ，0>b ）.答案：（1）bx axx sin tan lim0→解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得ba bxb ax a bx ax x x ==→→cos sec lim sin tan lim 200. （2）xe e x x x sin lim 0-→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 2111cos lim sin lim 00=+=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . （3）a x ax a x --→sin sin lim解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得a x x a x a x a x a x a x cos cos lim 010cos lim sin sin lim ==--=--→→→. （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 41122)32)(3(2lim 23)3ln(lim 22222=⨯⨯=--=+--→→x x x x x x x x . （5）x x x ln 1lim 1-→解 这是00型未定式，所以应用洛必达法则得1lim 11lim ln 1lim 111===-→→→x xx x x x x . （6）x xx 3cos sin 21lim6-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 33132323sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 66=⨯-⨯-=--=-→→xx x x x x ππ. （7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 limx→∞π2−arctan x sin1x=limx→∞−11+x 2−1x 2cos1x=lim x→∞x 21+x 2∙lim x→∞1cos 1x=1×1=1 （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 111lim 1)1()1(11lim 1arctan 2lim 202200=+=-⋅+-=-+++→→→x x x x x x x x π （9）x xx ln lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01lim 11lim ln lim ===+∞→+∞→+∞→xx x x x x x . （10）x xx cot ln lim 0→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01cos sin 2lim sin lim csc 1lim cot ln lim 020200=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x . （11）x xx sin ln ln lim 0+→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得1sec lim tan lim sin cos 1lim sin ln ln lim 20000====++++→→→→x xx xx x x x x x x x . （12）ax bx ex ∞→lim （a ，0>b ）解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 0!lim )1(lim lim lim 221===-==∞→-∞→-∞→∞→ax b x axb x ax b x ax b x e a b e a x b b ae bx e x . 3．用洛必达法则求下列极限：（1）)11ln 1(lim 1--→x x x ； （2）)1(cot lim 0xx x -→；（3）)111(lim 0--→x x e x ； （4）x x x 2cot lim 0→；（5）2120lim x x e x →； （6）xx x sin 0lim →；（7）xx x-→111lim ； （8）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（9）xx x ln 10)(cot lim +→.答案： （1）)11ln 1(lim 1--→x x x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 xxx x x x x x x x x x x ln 111lim )1(ln ln 1lim )11ln 1(lim 111+--=---=--→→→ =limx→1x−1x−1+x ln x=limx→111+1+ln x=12.（2）)1(cot lim 0xx x -→解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 2000sin cos limsin sin cos lim )1(cot lim x xx x x x x x x x x x x x -=-=-→→→ 02sin lim 2cos sin cos lim 00=-=--=→→x x x x x x x x . （3）)111(lim 0--→x x e x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得xx x x x x x x x xe e e e x x e e x +--=---=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000 21021lim 0=+=++=→x x x x x xe e e e . （4）x x x 2cot lim 0→解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得212cos 21lim 2sec 21lim 2tan lim2cot lim 202000====→→→→x x x x x x x x x x .（5）212lim x x e x →解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为∞∞型的未定式，再应用洛必达法则得 ∞==--==→→→→222210313021012lim 1212lim 1lim lim x x xx x x x x e x e x x e ex .（6）xx xsin 0lim →解 这是00型未定式，利用对数恒等式有x x x e e xln sin ln sinx sin x ==，而0)(lim 11lim 1ln lim ln lim ln sin lim 020000=-=-===→→→→→x xx x xx x x x x x x x x ， 所以1lim 0sin 0==→e xxx .（7）xx x-→111lim解 这是∞1型未定式，利用对数恒等式有x xx ee xln 11ln x-1111x-==-，而11lim 11lim 1ln lim 111-=-=-=-→→→xx x x x x x 所以ee xxx 1lim 1111==--→.（8）xx x 2tan 4)(tan lim π→解 这是∞1型未定式，有)ln(tan 2tan )ln(tan tan2x2tan tanx)x x x e e x==（，而x xx x x x x x x x 2csc 2sec tan 1lim 2cot )ln(tan lim )ln(tan 2tan lim 22444-==→→→πππ 1)2sin (lim 4-=-=→x x π所以ee x xx 1)(tan lim 12tan 4==-→π.（9）xx x ln 10)(cot lim +→解 这是0∞型未定式，有xxx xee co xln cot ln )ln(cot ln 1ln 1tx )==（，而x x x x x xx x xx x x x x 2sin 2lim sin cos lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 00200-=-=-=++++→→→→12cos 1lim 0-=-=+→x x所以e e x xx 1)(cot lim 1ln 10==-→+.4．求下列函数的极限： （1）x x xx x cos sin 2lim-+∞→； （2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （4）x x x x x e e e e --+∞→-+lim .答案： （1）xx xx x cos sin 2lim-+∞→解 20102cos 1sin 2lim cos sin 2lim =-+=-+=-+∞→∞→xx x xx x x x x x . （2）xx x x sin 1sinlim20→ 解 x xx x x x x x x x x x x x x sin lim 1sinlim sin 1sin lim sin 1sin lim00020→→→→== 0101sin 1lim ===∞→xxx .（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→解 xx x x x x x x x x x x x x 1lim ln lim )1ln (lim ln ln lim2+∞→+∞→+∞→+∞→+=+=+ +∞==+=+∞→+∞→x xx x lim 011lim.（4）xx xx x e e e e --+∞→-+lim解101011111limlim 22=-+=-+=-++∞→--+∞→x x x xxxx x ee e e e e . 习题3-21．判定下列函数在指定区间内的单调性： （1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x ； （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x ； （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x . 答案：（1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x解 因为2221111)(x x x x f +-=-+='在指定区间),(+∞-∞内恒为负值， 所以x x x f -=arctan )(在),(+∞-∞内是单调减少的. （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x解 因为x x f sin 1)(-='在指定区间]2,0[π内恒为正值， 所以x x x f cos )(+=在]2,0[π内是单调增加的. （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x解 因为x x f 2sec )(='在指定区间)2,2(ππ-内恒为正值， 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是单调增加的. 2．求下列函数的单调区间：（1）x x f ln )(=； （2）24)(+-=x x f ；（3）71862)(23---=x x x x f ； （4）x x x f ln 2)(2-=；（5）xe x xf -=)(； （6）22)(x x x f -=.答案：（1）x x f ln )(=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx f 1)(='，在定义区间内0)(>'x f ， 所以函数)(x f 的单调增加区间是),0(+∞. （2）24)(+-=x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，4)(-='x f ，在定义区间内0)(<'x f ， 所以函数)(x f 的单调减少区间是),(+∞-∞.（3）71862)(23---=x x x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，18126)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得11-=x ，32=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是]3,1[-. （4）x x x f ln 2)(2-=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x x x x x f 1414)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x .所以函数)(x f 的单调增加区间是),21[+∞，单调减少区间是]21,0(. （5）xe x xf -=)(解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，xe xf -='1)(，令0)(='x f ，得0=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是]0,(-∞，单调减少区间是),0[+∞. （6）22)(x x x f -=解 函数)(x f 的定义域为]2,0[，22212222)(xx x xx x x f --=--='，令0)(='x f ，得所以函数)(x f 的单调增加区间是]1,0[，单调减少区间是]2,1[. 3．求下列函数的极值点和极值：（1）263423+--=x x x y ； （2）1)1(22--=x y ； （3）)1ln(x x y +-=； （4）213xxy +=； （5）xxe e y --=2； （6）x x y tan +=.答案：（1）263423+--=x x x y 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1)(12(66612)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点211-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；因此，函数)(x f 的极大值点为2-=x ，极大值为4)1(=-f ；极小值点为1=x ，极小值为3)3(-=f .（2）1)1(22--=x y解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1(444)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、02=x 、13=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x 、1=x ，极小值为1)1(-=-f 、1)1(-=f ；极大值点为0=x ，极大值为0)0(=f .（3）)1ln(x x y +-=解 函数)(x f 的定义域为),1(+∞-； xxx x f +=+-='1111)(，令0)(='x f ，解得驻点01=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为0=x ，极小值为0)0(=f . （4）213xxy +=解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；2222222)1()1(3)1(6)1(3)(x x x x x x f +-=+-+='，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x ，极小值为2)1(-=-f ；极大值点为1=x ，极大值为23)1(=f . （5）xxee y --=2解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；xx xx ee ee xf 122)(2+=+='-，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加； 因此，函数)(x f 无极值点. （6）x x y tan +=解 函数)(x f 的定义域为)(2Z k k x ∈+≠ππ；x x f 2sec 1)(+='，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加；因此，函数)(x f 无极值点.习题3-31．求下列函数在给定区间上的最值： （1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x ； （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x ； （3）x x y +=，]4,0[∈x ；（4）12+=x xy ，],0[+∞∈x ；（5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x ； （6）xxy +-=11arctan ，]1,0[∈x . 答案：（1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x 解 )1(161616)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]2,2[-上得驻点11-=x 、02=x 、13=x ； 驻点处的函数值为4)1(-=-f 、0)0(=f 、4)1(-=f ， 端点处的函数值为32)2(=-f 、32)2(=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为32)2()2(==-f f ，最小值为4)1()1(-==-f f . （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x 解 )3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]4,1[上得驻点3=x ； 驻点处的函数值为61)3(-=f ，端点处的函数值为29)1(-=f 、47)4(-=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为29)1(-=f ，最小值为61)3(-=f . （3）x x y +=，]4,0[∈x 解 0211)(>+='xx f ，因此函数)(x f 在区间]4,0[上单调增加； 所以，函数在]4,0[上的最大值为6)4(=f ，最小值为0)0(=f . （4）12+=x xy ，],0[+∞∈x 解 2222222)1(1)1(21)(+-=+-+='x x x x x x f ， 令0)(='x f ，在）,0[+∞上得驻点1=x ；驻点处的函数值为21)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f ；所以，函数在）,0[+∞上的最大值为21)1(=f ，最小值为0)0(=f . （5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x 解 323223)1(4)22(232)(xx x x xx x f --=-⨯-='，令0)(='x f ，在]3,0[上得驻点1=x ；驻点处的函数值为1)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f 、39)3(=f ； 所以，函数在]3,0[上的最大值为39)3(=f ，最小值为0)0(=f .（6）x xy +-=11arctan，]1,0[∈x 解 0)1()1(2)1(2)11(11)(2222<-++-=+-⨯+-+='x x x xx x f ，因此函数)(x f 在区间]1,0[上单调减少；所以，函数在]4,0[上的最大值为4)0(π=f ，最小值为0)1(=f .2.证明：（1）面积一定的矩形中，正方形周长最短；（2）周长一定的矩形中，正方形面积最大. （1）证明：设面积为S 的矩形长为x ，则其宽为x S ，矩形周长)(2xS x A +=； 因22222)(2224xS x x S x x A -=--='，令0='A ，得S x =； 所以长S x =的矩形周长A 最小，即：面积一定的矩形中，正方形周长最短.（2）证明：设周长为A 的矩形长为x ，则其宽为22x A -，矩形面积2)2(x A x S -=； 因24x A S -='，令0='S ，得4Ax =； 所以长4Ax =的矩形面积S 最大，即：周长一定的矩形中，正方形面积最大.3．设22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= ，问x 取多大时，S 最小？ 解 由22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= 知)(22)22()22()22(121n n a a nx a x a x a x S ++-=-++-+-=' ，令0='S ，得na a a x n+++=21；所以当na a a x n+++= 21时，S 最小.4．某企业生产每批产品x 单位的总成本x x C +=3)(（万元），得到的总收入26)(x x x R -=（万元），为了提高经济效益，每批生产产品多少单位，才能使总利润最大？解 总利润35)3()6()()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x F ，52)(+-='x x F ，令0)(='x F ，得25=x ； 所以每批生产产品25单位，才能使总利润最大.5．某厂生产一种自行车，每月固定成本3万元.而每生产1千辆，要增加成本5万元，大批量生产时，可节约部分开支，当每月生产x 千辆时，可以节约成本326001407x x -万元.问x 为多大时，其成本最低？（6030<<x ）解 总成本32600140753)(x x x x F +-+=， 52072001)(2+-='x x x F ； 令0)(='x F ，得函数0)(=x F 在)60,30(内唯一驻点50=x ；所以50=x 千辆时，其成本最低.6．甲船以6千米/小时的速度向东航行，乙船在甲船北16千米处，以8千米/小时的速度向南航行，问何时两船距离最近？解 设x 小时后，两船距离y 千米256256100)816()6(222=-=-+=x x x x y ，256200-='x y ，令0='y ，得28.1=x ；所以1.28小时后两船距离最近.习题3-41．求下列曲线的凹凸性和拐点：（1）24x x y -=； （2）1323+-=x x y ；（3）5224-+=x x y ； （4）xx y 12+=； （5）32x x y =； （6）)1ln(2x y +=； （7）xey arctan =； （8）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）24x x y -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，42+-='x y ，02<-=''y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凸的，无拐点. （2）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)1,1(-. （3）5224-+=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 443+='，04122>+=''x y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凹的，无拐点. （4）xx y 12+= 解 函数的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，212xx y -='，3322x x y +=''；令0=''y ，解得定义区间内的实根1-=x ；所以列表讨论如下：因此函数在区间)1,(--∞和),0(+∞内是凹的、在区间)0,1(-内是凸的，拐点为)0,1(-. （5）32x x y =解 函数的定义域为),(+∞-∞，3235x y ='，331910910xx y ==''-； 0=''y 无解，y ''不存在的点0=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)0,(-∞内是凸的、在区间),0(+∞内是凹的，拐点为)0,0(.（6）)1ln(2x y +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，212xx y +='，222)1()1(2x x y +-=''. 令0=''y ，解得定义区间内的实根1±=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(--∞和),1(+∞内是凸的、在区间)1,1(-内是凹的，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(.（7）xey arctan =解 函数的定义域为),(+∞-∞，2arctan 1xe y x +='，22arctan )1)21(x x e y x +-=''（； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间),21(+∞内是凸的、在区间)21,(-∞内是凹的，拐点为),21(21arctan e .（8）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，3316ln 48x x x y -='，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)7,1(-. 2．已知曲线4923+-+=x ax x y 在1=x 处有拐点，试确定系数a ，并求出曲线的凹凸区间和拐点.解 由4923+-+=x ax x y 知9232-+='ax x y ，a x y 26+=''； 因为曲线在1=x 处有拐点，所以0216=+⨯a ，得3-=a ；可知曲线方程为49323+--=x x x y ，9632--='x x y ，66-=''x y ；因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 3．a 、b 为何值时，点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 解 由曲线方程23bx ax y +=知bx ax y 232+='，b ax y 26+=''； 令0=''y ，解得ab x 3-=； 又因为点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，所以3=+b a 、13=-ab； 联立方程组，求解得：23-=a ，29=b 4．试证明曲线112+-=x x y 有位于同一直线上的三个拐点（提示：证明任意两个拐点的连线斜率相等）.证明 因为曲线方程为112+-=x x y ，定义域为),(+∞-∞；222)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(12++-+=''x x x x y （； 令0=''y ，解得11-=x 、322-=x 、323+=x ；所以曲线拐点为)1,1(--A 、）34831,32(---B 、）34831,32(+++C ； 因为9624132134831=+-+--=--=A B A B ABx x y y k 、9624=--=A C A C AC x x y y k ； AC AB k k =，所以曲线三个拐点位于同一直线上.习题3-51．求下列曲线的渐近线： （1）211x y -=； （2）2)3(361++=x y ；（3）11-=xe y ； （4）xx y 12+=. 答案： （1）211xy -=解 由于函数211x y -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞ ， 且011lim 2=-∞→x x ，∞=--→2111lim x x 、∞=-→2111lim x x ； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线1-=x 、1=x 为曲线的垂直渐近线. （2）2)3(361++=x y 解 由于函数2)3(361++=x y 的定义域为),3()3,(+∞---∞ ， 且lim x→∞[1+36(x+3)2]=1，lim x→−3[1+36(x+3)2]=∞； 因此直线y =1为曲线的水平渐近线，直线3-=x 为曲线的垂直渐近线. （3）11-=xe y解 由于函数11-=xe y 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且0)1(lim 1=-∞→xx e ，lim x→0+(e 1x −1)=+∞； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线0=x 为曲线的垂直渐近线. （4）xx y 12+= 解 由于函数xx y 12+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且)1(lim 2x x x +∞→不存在，∞=+→)1lim 20xx x （； 因此直线0=x 为曲线的垂直渐近线，曲线无水平渐近线.2．作出下列函数的图像：（1）3210710x x x y -++=； （2）2)2)(1(-+=x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x ； （5）xxe y -=； （6）x x y arctan +=答案：（1）3210710x x x y -++= 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)7)(13(+-+='x x y ，令0='y 得311-=x 、72=x ；206+-=''x y ，令0=''y 得3103=x ；取辅助点)12,1(-，)10,0(，)26,1(，)134,4(，)194,8(；根据以上讨论，做出函数3210710x x x y -++=的图像如图所示图3-1（2）2)2)(1(-+=x x y 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)2(3-='x x y ，令0='y 得01=x 、22=x ； 66-=''x y ，令0=''y 得13=x ；x)0,(-∞)1,0(1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － 0 ＋ y ''－ － － 0 ＋ ＋ ＋ y╭极大值4 ╮拐点）2，1（ ╰极小值╯取辅助点)0,1(-，)827,21(，)85,23(，)4,3(； 根据以上讨论，做出函数2)2)(1(-+=x x y 的图像如图所示图3-2（3）)1ln(+-=x x y 解 函数的定义域为),1(+∞-，1+='x xy ，令0='y 得01=x ； 2)11+=''x y （，令0=''y ，无解； 列表讨论如下：x)0,1(-),0(+∞y '－ 0 ＋ y ''＋ ＋ ＋ y╰极小值0╯取辅助点)2ln 21,21(+--，)2ln 1,1(-； 根据以上讨论，做出函数)1ln(+-=x x y 的图像如图所示图3-3（4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x 解 函数的定义域为]2,0[π， x y 2sin 211-='，令0='y ，无解；x y 2cos -=''，令0=''y 得41π=x 、432π=x 、453π=x 、474π=x ； 列表讨论如下：x )4,0(π4π)43,4(ππ 43π )45,43(ππ 45π)47,45(ππ47π )2,47(ππ y '＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ y ''－ 0 ＋ 0 － 0 ＋ 0 － y╭拐点╯拐点╭拐点╯拐点╭拐点）41，4（+ππ、拐点）413，43（+ππ、拐点）415，45（+ππ、拐点）417，47（+ππ 取辅助点)21,0(，)2,2(ππ，)21,(+ππ，)23,23(ππ，)212,2(+ππ； 根据以上讨论，做出函数x x y 2cos 21+=的图像如图所示图3-4（5）xxey -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，)1(x e y x -='-，令0='y 得11=x ； )2(x e y x +-=''-，令0=''y 得22=x ；x)1,(-∞1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － y ''－－－0 ＋y╭ 极大值e1╮拐点)2，2(2e╰0=y 为水平渐近线；取辅助点)0,0(，)3,3(3e；根据以上讨论，做出函数xxey -=的图像如图所示图3-5（6）x x y arctan +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，奇函数， 2212x x y ++='，令0='y ，无解；22)12+-=''x x y （，令0=''y 得01=x ； x)0,(-∞),0(+∞y '＋ ＋ ＋ y ''＋ 0－ y╯拐点)0，0( ╭取辅助点)41,1(π---，)41,1(π+；根据以上讨论，做出函数x x y arctan +=的图像如图所示图3-6习题3-61．求下列曲线在指定点处的曲率：（1）24x x y -=在其顶点处； （2）x x y cos =在原点处； （3）32x y =在点)8,4(处； （4）x y sin =在点)1,2(π处.答案：（1）24x x y -=在其顶点处解 由24x x y -=得42+-='x y ，2-=''y ； 代入计算公式得：曲线曲率为232)17164(2+-=x x K ；曲线顶点为2=x ，所以顶点处曲率为22==x K .（2）x x y cos =在原点处解 由x x y cos =得x x x y sin cos -='，x x x y cos sin 2--=''， 代入计算公式得：曲线曲率为23222)1sin 2sin (cos cos sin 2++---=x x x x x xx x K ；所以原点处曲率为00==x K.（3）32x y =在点)8,4(处解 由32x y =得23x y =，知2123x y ='，2143-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2321)491(43x x K +=-；所以点)8,4(处曲率为8001034==x K . （4）x y sin =在点)1,2(π处解 由x y sin =得x y cos ='，x y sin -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)cos 1(sin x x K +-=；所以点)1,2(π处曲率为14==x K.2．求下列曲线在指定点处的曲率半径：（1）4=xy 在点)2,2(处； （2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处； （3）x y ln =在点21=x 处； （4）x y cos =在点0=x 处；（5）x y tan =在点)1,4(π处； （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处.答案：（1）4=xy 在点)2,2(处解 由4=xy 得14-=x y ，知24--='x y ，38-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2343)161(8--+=x x K ；所以点)2,2(处曲率半径为22122====x X K R .（2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处解 由)0(42>=p px y 得212x p y =（所讨论的点为)2,(p p ）， 知21-='x p y ，2321--=''xp y ；代入计算公式得：曲线曲率为23123)1(21--+=px xp K ；所以点)2,(p p 处曲率半径为R |X=p =1K |x=p=252p =4√2p .（3）x y ln =在点21=x 处解 由x y ln =得xy 1='，21x y -=''；代入计算公式得：曲线曲率为2322)11(1xx K +=； 所以点21=x 处曲率半径为23312121====x x KR . （4）x y cos =在点0=x 处解 由x y cos =得x y sin -='，x y cos -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)sin 1(cos x x K +=；所以点0=x 处曲率半径为1111====x x K R . （5）x y tan =在点)1,4(π处解 由x y tan =得x y 2sec ='，x x y tan sec 22=''；代入计算公式得：曲线曲率为2342)sec 1(tan sec 2x x x K +=；所以点)1,4(π处曲率半径为545144====ππx x KR . （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处解 由x x y 44cos sin -=得x x x y 2sin 2cos sin 4=='，x x x y 2cos 4sin 4cos 422=-=''；代入计算公式得：曲线曲率为232)2sin 41(2cos 4x x K +=；所以点)1,0(-处曲率半径为41100====x x K R .复习题三1．填空题：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少尊在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________.（4）曲线xxe y =在区间______________内是凹的，在区间_______________内是凸的. （5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.（6）函数xxy ln =的极值点是_______________，拐点是_______________，渐近线为____________________.（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为_______________，最小值为_______________.答案：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.解ab a f b f --)()(；（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.解 单调增加，单调减少，是常数；（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________. 解 减少；（提示：01cos )(<-='x x f ）（4）曲线xxe y =在区间____________内是凹的，在区间___________内是凸的.解 ),2(+∞-，)2,(--∞；（提示：)2x e y x+=''（，拐点为2-=x ）（5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.解 ),0(e ，),(+∞e ，),(23+∞e ，),0(23e ；（提示：2ln 1x x y -='，驻点为e x =；3ln 23xxy +-=''，拐点为23e x =） （6）函数xxy ln =的极值点是________，拐点是_________，渐近线为__________. 解 e x =，)23,(2323-e e ，直线0=x ，直线0=y ；（提示：∞==→→x x x x x 1lim ln lim00，01lim ln lim ==∞→∞→xx x x x ）（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为________，最小值为_________. 解 5ln )2(=f ，0)0(=f . （提示：212x xy +='，驻点为0=x ；0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ） 2．选择题：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（ ） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减；C ．单调递减，单调递增；D ．单调递减，单调递减. （2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（ ） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.（3）设函数232+-=x x y ，则（ ）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（ ） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（ ）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 答案：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减； C ．单调递减，单调递增； D ．单调递减，单调递减. 解A ；（提示：)4(42-='x x y ）（2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.解B ；（提示：定义域为),1(+∞-，xxy +='1） （3）设函数232+-=x x y ，则（）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.解C ；（提示：由图像分析可知）（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. 解D ；（提示：)112-=''x x y （） （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 解A （提示：)2(x xe y x-='-，)42(2x x e y x+-=''-） 3．求下列极限：（1）2233lim a x a x a x --→； （2）30arctan lim xxx x -→； （3）x x x 4sin 1tan lim 4-→π； （4）x x e x 3lim +∞→；（5）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （5）)1(lim 1-+∞→x x e x .答案：（1）2233lim a x a x a x --→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 a x x x a x a x a x a x a x 2323lim 23lim lim 22233===--→→→. （2）3arctan lim xxx x -→ 解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 31)1(31lim 3111lim arctan lim202203=+=+-=-→→→x x x x xx x x x .（3）xx x 4sin 1tan lim4-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 21424cos 4sec lim 4sin 1tan lim 244-=-==-→→xx x x x x ππ. （4）x x ex 3lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得06lim 6lim 3lim lim 23====+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x ee x e x e x . （5）xx x x x ln ln lim 2++∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 xx x x x xx x x x x x 112lim ln 112lim ln ln lim 22-=++=++∞→+∞→+∞→ ∞==-=+∞→+∞→x xx x x 4lim 12lim 2. （6）)1(lim 1-+∞→xx e x解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为00型的未定式，再应用洛必达法则得11lim 1lim )1(lim 001==-=-→→+∞→xx x x xx e xe e x . 4．求下列函数的单调区间： （1）149323+--=x x x y ； （2）x ex y -=2；（3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x . 答案：（1）149323+--=x x x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，9632--='x x y ， 令0='y ，得11-=x ，32=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是)3,1(-. （2）xex y -=2解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，)2(x xe y x-='-， 令0='y ，得01=x ，22=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)0,(-∞和),2(+∞，单调增加区间是)2,0(. （3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x 解x y cos 21-='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得1π=x ，52π=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)3,0(π和)2,35(ππ，单调增加区间是)35,3(ππ. 5．求下列函数的极值：（1）43+=x xy ； （2）x x y 2ln =；（3）221xx y +=； （4）x x y 33cos sin +=； （5）32)1(23+-=x y ； （6）)1ln(21arctan 2x x y +-=.答案： （1）43+=x xy 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，233)4()2(2+--='x x y ；令0='y ，解得驻点32=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数43+=x x y 的极大值为62323==x y .（2）xxy ln =解 函数y 的定义域为),0(+∞，2ln 1x xy -='； 令0='y ，解得驻点e x =，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数x y =的极大值为e y e x ==. （3）221xx y +=解 函数y 的定义域为),0()0,+∞∞- （，34)12x x y -='（； 令0='y ，解得驻点1±=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数22x x y +=的极小值为21=±=x y . （4）x x y 33cos sin +=解 )cos (sin cos sin 3x x x x y -='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得01=x 、42π=x 、23π=x 、234π=x 、455π=x ；列表讨论如下：因此，函数x x y 33cos sin +=的极小值为224==πx y 和123-====ππx x y y ， 极大值为120====πx x y y 和2245-==πx y . （5）32)1(23+-=x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，3134+-='x y ；令0='y ，无解，另y '不存在的点为1-=x ；列表讨论如下：因此，函数32)1(23+-=x y 的极大值为31=-=x y . （6）)1ln(21arctan 2x x y +-= 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，211xxy +-='； 令0='y ，解得驻点1=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数y 的极大值为2ln 241-==x y .6．求下列函数在指定区间上的最值：（1）2211x x x x y -++-=，]1,0[∈x ； （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x . 答案：（1）2211xx x x y -++-=，]1,0[∈x 解 221)122）（（x x x y -+-='，令0='y ，在]1,0[上得驻点21=x ； 驻点处的函数值为5321==x y ，端点处的函数值为110====x x y y ； 所以，函数在]1,0[上的最大值为110====x x y y ，最小值为5321==x y . （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x解 )tan 1(sec 22x x y -='，令0='y ，在]3,0[π上得驻点4π=x ；驻点处的函数值为14==πx y ，端点处的函数值为00==x y ，3323-==πx y ；所以，函数在]3,0[π上的最大值为14==πx y ，最小值为00==x y .7．求下列函数的凹凸区间和拐点：（1）1323+-=x x y ； （2）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)1,1(-. （2）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，)1ln 3(163-='x x y ，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 8．作出下列函数的图像： （1）23x x y -=； （2）115-+=x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）32)1(x x y -=.答案： （1）23x xy -=解 函数的定义域为），3（）3，3（)3,(∞+---∞ ，222)3(3x x y -+='，令0='y ，无解；322)3)92x x x y -+=''（（，令0=''y 得0=x ；0=y 为水平渐近线，3±=x 为垂直渐近线；取辅助点)21,3(-，)2,2(-，)21,1(--，)21,1(，)4,2(-，)21,3(-；。
高等数学李伟版课后习题答案第八章.
习题8—1（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）一个点集的内点一定属于，其外点一定不属于，其边界点一定不属于，其聚点一定属于；（2）开集的所有点都是其内点，开集也称为开区域；（3）一个有界集一定能包含在以坐标原点为圆心，适当长的线段为半径的圆内；（4）考查二元函数的定义域时，应从两方面去考虑：用解析式表达的函数要考虑使该解析式有意义的所对应的点的集合（自然定义域）．对有实际意义的函数还应该从自然定义域中找出使实际问题有意义的点集；（5）当沿某一条曲线趋于时，函数的极限存在，并不能说明极限存在，但如果当沿某一条使函数有定义的曲线趋于时，函数的极限不存在，则一定不存在；（6）为说明极限不存在，通常也采取用当沿两条不同曲线趋于时，函数的极限不相等的方法；（7）如果函数在点连续，点必须是函数定义域的内点；（8）若是二元函数的间断点，那么一定不存在．答：（1）前两者都正确，这是根据内点、外点的定义；后两者都不正确，无论是边界点还是聚点它们都可以是的点，也可以是非的点，如当是闭集是，的边界点是的点当是开集时的边界点就不是的点；又如点是集合的聚点，但是它不是的点．（2）前者正确，这是有开集定义决定的；后者不正确，连通的开集才是开区域，不连通的开集不是开区域，如是开集，但是不是开区域．（3）正确，这就是有界集的定义．（4）正确，求多元函数的自然定义域如同一元函数的定义域，要从以下几个方面考虑：①分式中分母不能为零，②开偶次方底数要大于等于零，③对数中真数要于零，④、中要求，⑤若干个式子的四则运算中，取每个式子有意义的交集，等等．（5）两者都正确，如：不存在，但是沿取极限时值为1；后者是由极限的定义决定．（6）正确，这是证明多元函数极限不存在的基本方法，它源于在中，是以（定义域内的）任意方式实现的．（7）不正确．如：在点连续，但是点不是函数定义域的内点．（8）不正确．如：点是函数的间断点，但是极限．2．判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所组成的集合（称为导集，用表示）和边界：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）是有界闭区域，其导集，其边界．（2）是非开非闭的有界区域，其导集，其边界．（3）是无界区域，其导集，．（4）是有界开集（不是区域），其导集，其边界．3．设函数，求，．解：，．4．设函数，求．解：．5．设函数，已知时，，求及的表达式．解：由时，，有，即，所以；而．6．设函数，求的表达式．解：（方法1）因为，所以．（方法2）令，则，于是，所以．7．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）由且，得定义域．（2）由及，有，得定义域．（3）由，有，得定义域．（4）由，有，或，得定义域．8．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）．（2）．（3）．（4）因为有界，而，所以．（5）．（6）．9．证明下列极限不存在：（1）；（2）．证明：（1）沿取极限，则，当取不同值时，该极限值不同，所以极限不存在．（2）先沿取极限，则；再沿取极限，则，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限不存在．10．找出下列函数的间断点的集合：（1）；（2）；（3）．解：三个函数都是初等函数，找间断点只需找函数无定义的点，并且这些点又是定义域的聚点．（1）函数只在点无定义，且是定义域的聚点，所以断点的集合．（2）函数在圆周上无定义，且圆周上的点都是定义域的聚点，所以断点的集合．（3）函数的定义域，函数在及上无定义，这些点中只有，及（）是定义域的聚点，所以断点的集合．习题8—1（B）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为（单位：元），两个市场的销售量各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是，试用表示该厂生产此产品的利润．解：根据已知，设，由时，；时，，有得，于是．由时，；时，，有得，于是．两个市场销售该产品的收入为，该产品的成本．根据利润等于收入减去成本，得．2．设函数求函数值．解：当时，则，于是；当时，则，于是．3．求函数的定义域．解：由，有且，即且，或写作且；或且，即且，或写作且，所以定义域．4．求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）令，则当时，，所以．或者：因为时，与是等价无穷小，所以．（2）．（3）令，则当时，（其中在区间内任意变化），所以．（4）因为，而，，根据“夹逼准则”得．5．证明极限不存在.证明：先沿取极限，，再取极限，，由于沿两种不同方式取极限其极限值不同，所以极限不存在．6．讨论函数的连续性．解：当时，是连续函数．当时，满足的点是轴上点或轴上点，对轴上点，极限，这些点是函数的连续点．对轴上点（除去），当时，极限不存在（极限不是零，震荡），所以这些点是间断点．综上，函数在点（）处不连续，其余点处都连续．习题8—2（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）极限既是的一元函数在点处的导数，也是二元函数在点处对变量的偏导数；（2）二元函数在某一点处连续是在这点偏导数存在的必要条件；（3）二元函数的两个二阶混合偏导数与只要存在就一定相等．答：（1）正确，这是根据导数与偏导数的定义．（2）不正确，例如函数在点处连续，但是都不存在．事实上：因为不存在，所以不存在；由变量的对称性得，也不存在．（3）不正确．还需要与连续，否则它们不一定相等，如函数在点处，，从而．事实上，，特别，，特别，，．2．求下列函数对各个自变量的一阶偏导数：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）．解：（1）将函数改写为，则，．（2），．（3），．（4），．（5），．（6），．（7），．（8），由变量的对称性，得．（9），，．（10），，．3．求下列函数在指定点的偏导数：（1）设，求及；（2）设，求及．解：（1）在时，将函数改写为，则，，．（2）因为，所以，因为，所以．4．求曲线在点处的切线与轴正向的夹角．解：，，用表示曲线在点处的切线与轴正向的夹角，则，所以．5．求下列函数的高阶偏导数：（1）设，求，，和；（2）设，求，和；（3）设，求，和．解：（1），，，，，，．（2），，，，，．（3），，，，．6．设函数，求，和．解：因为，则，因为，则，．7．设函数，证明．证明：因为，所以．8．设函数，证明．证明：因为，所以．9．设函数，证明．证明：因为，，，，，，所以．10．若函数都可导，设，证明．证明：因为，，，所以．习题8—2（B）1．设一种商品的需求量是其价格及某相关商品价格的函数，如果该函数存在偏导数，称为需求对价格的弹性、为需求对价格的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量与其价格及彩色喷墨打印机的价格有关，为，当，时，求需求对价格的弹性、需求对价格的交叉弹性．解：由，，有，，当，时，需求对价格的弹性：，需求对价格的交叉弹性：．2．已知满足，证明．证明：由，有，由，有，由，有，得．3．设函数，证明．证明：将函数改写为，则，，由变量的对称性，有，，所以．4．设函数满足，且，，求．解：由，两边同时对求不定积分，有，用代入该式，有，根据条件，得，于是．上式两边同时再对求不定积分，有，由条件，得，所以．5．设函数，求及．解：，（或由变量的对称性求得）．6．设函数证明在点处的两个偏导数都不存在．证明：因为极限不存在，极限不存在，所以在点处的两个偏导数都不存在．习题8—3（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）称函数在可微分，如果在这一点函数的两个偏导数都存在，并且，其中为函数在点的全增量，；（2）函数在一点可微分，它在这点必连续；（3）函数在一点可微分的充分必要条件是，在这点的偏导数都存在；（4）函数在一点的偏导数连续，能保证在这点附近曲面可以用平面来近似替代，其中．答：（1）正确，可微的必要条件是两个偏导数存在，且，再根据，有，即．，这就是函数可微的定义．（2）正确，事实上，由可微，根据定义有，于是，这表明函数在该点连续．（3）不正确，偏导数存在仅仅是可微的必要条件，而不是可微的充分条件，如函数在两个偏导数都存在且等于零（习题8-2（B）5），但是函数在不可微．事实上，若可微，则，但是不存在（分别沿、取极限，其值为0及），这与矛盾，所以函数在不可微．函数可微的充分条件是偏导数在该点连续．（4）正确，若记，则，由此得，这表明在点附近曲面可以用平面来近似替代，这就是所谓的局部线性化．2．求下列函数的全微分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）因为，，所以．（2）因为，，所以．（3）因为，，所以．（4）因为，，所以（5）因为，，，所以．（6）因为，，，所以．3．当，时，求函数的全微分和局部线性化．解：因为，，，，所以，而，．4．当，，，时，求函数的全增量及全微分．解：，，，，当，，，时：全增量，全微分．习题8—3（B）1．一个圆柱形构件受压后发生形变，它的半径由cm增加到cm，高由cm减少到cm，求此构件体积变化的近似值．解：设构件的高为、底半径为、体积为，则．，，于是，当时，(，即体积大约减少了628 (．2．计算的近似值．解：考虑函数，取，而，，、、，则．3．设函数在点的某个邻域内可微，且，其中，求函数在点处的全微分及局部线性化．解：在中，令，得．在点考虑函数的全增量：，（其中）根据全微分的定义，有，并且得．．4．设函数在点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数的可微性．解：因为，，所以在点处函数的两个偏导数都存在，且．再讨论可微性，函数在处的全增量用表示，则，记，则不存在（沿取极限，其值为；沿取极限，其值为），所以函数在点处不可微．进而得偏导（函）数在点处不连续（若偏导（函）数在点处连续，根据可微的充分条件，则函数一点可微，与函数不可微矛盾）．习题8—4（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）对多元复合函数来说，欲求其对自变量的偏导数，借助于树形图比较方便．不论中间变量是几元函数，最终求出的偏导数所含的项数等于从因变量到达该自变量的路径数目，某一项有几个因式，取决于与该项相对应的路径中所含有的线段数目；（2）对于可微的复合函数，，对于的偏导数；（3）利用全微分形式的不变性，对一个多元复合函数来说可以先求其全微分，最后再得出该复合函数对各自变量的偏导数．答：（1）正确，这是复合函数的链式求导法则决定的，如若函数由函数复合而成，复合函数的树形图为右图，而在图中我们可以看到从变量到变量有四条路径，由此导数公式中有四项之和，而每一项中（如第一项）偏导数或导数的个数（3个）等于这条路径上从到段数（3段）．（2）不正确，左、右式中的含义不同，左式中表示对自变量求导，它涉及图中三个，而右式中的仅表示对中间变量（一）求导，（当某一个变量在复合函数中有双重身份，既是自变量又是中间变量时会出现这种记号混淆情况），为了与左式中区别，此处应当用记号（同时分别用）表示，即写作．（3）正确，即若某个复合函数的全微分是（通常这个全微分是由微分法则与微分形式不变性求得），则、，这是多元复合函数求偏导数的方法之一．2．设函数，而，，求．解：（方法1）函数的复合关系如图，则．（方法2）消去中间变量，有，按一元函数求导，得．（注：具体函数的复合函数都有以上两种方法，并且方法2简单，但是本节的目的在于练习复合函数链式求导方法，所以后面只用方法1求导）3．设函数而是的可微函数，求．解：．4．设函数，而，求．解：．5．设函数，而，，求和．解：，．6．设函数，求和．解：这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令，则，．（注：可以由变量的对称性直接写出）7．求下列函数的一阶偏导数（其中函数具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），．（2），．（3），．（4），，．8．设函数，其中是可微函数，证明．证明：因为，，所以．9．设函数，其中是可微函数，证明．证明：因为，，所以．10．用微分形式不变性求函数的偏导数和．解：令，则，则根据微分法则与微分形式不变性，得所以，，．习题8—4（B）1．在解偏微分方程（含有未知函数的偏导数的方程，也称为数理方程）时，常常要用变量代换将一个复杂的方程化为一个简单的方程，从而可以求其解．设具有二阶连续偏导数，若用变量代换将偏微分方程化为，求的值．解：，，，，．由，有，即，要化为，必须，且，由，即，得或，但是由，所以只能是．2．设有一阶连续偏导数，且满足，，，求.解：令，等式两边同时对求导，有，（*）由于，，则（*）式化为，所以．3．若函数有二阶导数，且，又函数满足方程，求．解：令，则，于是，，，，由，有，即，这是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程是，特征根为，方程的通解是，，由条件，有，，得，所求所求函数是．4．若函数可微，且对任何正实数有，证明．证明：等式两边同时对导，则，记，则上式为，令，得，将该式中的分别用表示，则，即．5．求下列函数的二阶偏导数（其中函数具有二阶连续偏导数）：（1）；（2）；解：（1），，，，．（2），，，，．6．设，其中函数、有二阶导数，求、及.解：，，，，．7．设，其中函数、有二阶导数，证明．证明：因为，，．所以．习题8—5（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）要使方程确定一个隐函数，如果将定理5.1中的条件换为而其它不变，则该方程仍能确定一个隐函数；（2）如果函数满足类似于定理5.1的条件，对各个自变量有连续偏导数，且对某个变量的偏导数不为零，则元方程可以确定一个具有连续偏导数的元函数；（3）若按照教材中的说法，一个方程组可以确定一组多元函数．那么函数的个数等于方程组中方程的个数，函数的元数等于方程中所含变量的总个数减去方程的个数；（4）若方程组能确定两个二元隐函数那么通过对该方程组中的各个方程的两边对同一个变量求导，就可以得到含有的方程组，通过解这个方程组，就可以求得．答：（1）不正确，如方程（其中），在点处有，但是它不能确定一个隐函数，因为在这点左侧附近给定一个对应有两个值，在这点右侧附近没有值对应；当且其它条件不变时，可以确定一个一元函数．（2）正确，这是定理5.1的推广．（3）正确，但是要注意两点，一是变量的个数需大于方程的个数（否则方程组可能只确定一点，或者无解）；二是要满足隐函数存在的条件（超出教学要求，此处略去）．（4）正确，如同例5.4、例5.5等的解法．2．若函数分别由下列方程确定，求．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）（方法1）设，则，所以（方法2）方程两边同时对求导，有，解得．（注：两种方法最大的差别在于：方法1中在求时都看作自变量，而方法2在求导过程中要看作的函数．尽管方法1简单一些，但是它有局限性，只适用于求一个方程确定的隐函数的一阶导数或偏导数，而方法2适用于各类隐函数的各阶导数或偏导数的求法，后面一般都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，解得．（3）方程两边同时对求导，有，得．（4）方程两边取对数，有，该式两边同时对求导，有，即，解得．3．设函数分别由下列方程确定，求．（1）；（2）．解：（1）方程两边同时对求导，有，得，．（2）方程两边同时对求导，有，解得，．4．若函数分别由下列方程确定，求及．（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）（方法1）设，则，所以．（方法2）方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．（以下都按方法2作）（2）方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得（或由变量的对称性，得）．（3）方程两边对求导，有，即，而，所以，得，由变量对称性有．（4）方程改写为，方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．5．若函数，，都是由方程确定的隐函数，其中有一阶连续非零的偏导数，证明．证明：因为，所以．6．设函数，而函数由方程确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，．7．设函数，而函数、分别由方程及确定，求全导数．解：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以．8．设函数，而由方程确定，求．解：方程两边同时对求导，有，用、代入，有，得．于是，所以．习题8—5（B）1．某工件的外表面是一个椭球面，方程由给出，现在点处要将其局部线性化（即做一个切平面），求局部线性化表达式．解：设方程在点确定的隐函数为，方程两边对求导，有，用、代入，有，得，由变量对称性，得．所以．2．若函数由方程确定，求．解：方程两边对求导，有，得，由变量的对称性，得．等式两边同时对求导，有，即所以．或．3．若函数由方程确定，其中是可微函数，求、．解：方程两边同时对求导，有，解得，方程两边同时对求导，有，解得．4．若函数由方程确定，其中是可微函数，证明．证明：方程两边同时对求导，有，得，方程两边同时对求导，有，得，所以．5．设函数，而由方程确定，其中函数连续，、可微，且，求．解：方程两边对求导，有，得，方程两边对求导，有，得．，所以．6．求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）求和．（2）求及．解：（1）方程组两边同时对求导，有消去，有，得，而．（2）方程组两边同时对求导，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得．方程组两边同时对求导，有与前面解法类似，得，．习题8—6（A）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）如果曲线的参数方程为（），那么它就对应一个向量值方程若存在并且不同时为零，那么，曲线在相应点处的切向量为，由此利用直线的点向式方程就可写出该点处的切线方程；（2）求曲线的切线方程与法平面方程的关键是求切向量，而其中又以参数方程为基础，其它形式的曲线方程都划归为参数方程，找出相应的切向量，然后写出要求的方程；（3）曲面的切平面方程是以曲面的一般方程为基础进行讨论的，如果曲面方程为的形式，那么必须把它化为的形式，其中，因而它在点处的法向量一定为，切平面方程为：；（4）如果曲线为一般方程那么，曲线在点的切向量可取为．答：（1）正确，这就是曲线为参数方程时，切线方向向量的求法．此时切线方程为；法平面方程为．（2）正确，对参数方程，在处的切向量；对形如的取向方程，将变量看作参数，在处的切向量对一般方程按隐函数它可以确定两个一元函数，如，按隐函数求导方法得到，从而得在处的切向量．（3）不确切，曲面的法向量可以直接由给出，也可以由给出．（4）正确，设曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，根据法平面的定义有，于是可取．2．空间一质点在时刻时的位置为，求质点在时刻的速度．解：．3．求曲线在点处的切线及法平面方程．解：点对应参数为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．4．求曲线，在对应于的点处的切线及法平面方程．解：切点为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．5．求曲线在点处的切线及法平面方程．解：，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．6．求曲线在点处的切线及法平面方程．解：设，则切向量，切线方程为，法平面方程为，即．7．求曲面在点处的切平面及法线方程．解：设，则法向量，切平面方程是，即，法线方程是．8．求曲面在点处的切平面及法线方程．解：法向量切平面方程是，即，法线方程是．习题8—6（B）1．求曲线（）上平行于平面的切线方程，并写出该点处的法平面方程．解：设切点坐标为，该点对应参数，曲线在该点的切向量为，由切线与平面平行，有，得，即，由于，所以．切点坐标为，切向量，切线方程为，法平面方程为，即．2．在椭球面上求平行于平面的切平面方程．解：设切点坐标为，，则法向量，由切平面平行于平面，有，即，代入到曲面方程之中，有，得，切点为或，在点，切平面为，即；在点，切平面为，即．3．问旋转抛物面上哪一点处的切平面过曲线，，在点处的切线．解：设切点坐标为，则法向量，切平面方程为，即．曲线，，在点对应参数，曲线在点处的切向量．由在曲面上，有．①由切平面过，有．②曲线，，在点处的切线在切平面上，有所以，即．③由方程①、②、③式解得或，于是所求点为或．4．证明二次曲面在点处的切平面方程为：．证明：设，则曲面在的法向量。
高等数学课后习题答案第三章
习题三1(1)解：所给函数在定义域(,)−∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x ′=−−=+−可得函数的两个驻点：121,3x x =−=,在(,1),(1,3),(3,)−∞−−+∞内，y ′分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)−∞−+∞内单调增加，在[1,3]−内单调减少.(2)解:函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x ′=−，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y ′<；在[2,)+∞内y ′>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3)解:函数定义域为(,)−∞+∞，0y ′=>,故函数在(,)−∞+∞上单调增加.(4)解:函数定义域为(,)−∞+∞,22(1)(21)y x x ′=+−，则函数有驻点:11,2x x =−=,在1(,]2−∞内，0y ′<，函数单调减少；在1[,)2+∞内，0y ′>，函数单调增加.(5)解:函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n x n x x n y nx x x n x −−−−−′=−=−函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y ′>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y ′<，函数单调减少.(6)解:函数定义域为(,)−∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪−∈−∈⎪⎩Z Z 1)当π[π,π]2x n n ∈+时，12cos 2y x ′=+，则1π0cos 2[π,π23y x x n n ′≥⇔≥−⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n ′≤⇔≤−⇔∈++.2)当π[π,π]2x n n ∈−时，12cos 2y x ′=−，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n ′≥⇔≤⇔∈−−1π0cos 2[π,π]26y x x n n ′≤⇔≥⇔∈−.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,)223k k k z +∈，函数单调减少区间为ππππ[,)2322k k k z ++∈.(7)解:函数定义域为(,)−∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x ′=−++−+⋅=+−−函数驻点为123111,,2218x x x =−==,在1(,]2+∞−内，0y ′>,函数单调增加，在111[,]218−上，0y ′<,函数单调减少，在11[,2]18上，0y ′>,函数单调增加，在[2,)+∞内，0y ′>,函数单调增加.故函数的单调区间为:1(,]2−∞−，111[,218−，11[,)18+∞.2.(1)证明:令()sin tan 2,f x x x x =−−则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x −++′=,当π02x <<时，()0,()f x f x ′>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=,即sin 2tan 2.x x x −>(2)证明:令2()=e sin 12xx f x x −+−−,则()=e cos xf x x x −′−+−,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x −−′′−−=−+<,则()f x ′为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ′′<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x −+<+3.证明:设()sin f x x x =−，则()cos 10,f x x =−≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4.(1)解:22y x ′=−,令0y ′=，得驻点1x =.又因20y ′′=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =.(2)解:266y x x ′=−,令0y ′=，得驻点120,1x x ==,126y x ′′=−,010,0x x y y ==′′′′<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =−.(3)解:2612186(3)(1)y x x x x ′=−−=−+,令0y ′=，得驻点121,3x x =−=.1212y x ′′=−,130,0x x y y =−=′′′′<>,故极大值为(1)17y −=，极小值为(3)47y =−.(4)解:1101y x ′=−=+，令0y ′=，得驻点0x =.201,0(1)x y y x =′′′′=>+,故(0)0y =为极大值.(5)解:32444(1)y x x x x ′=−+=−，令0y ′=，得驻点1231,0,1x x x =−==.210124, 0,0,x x y x y y =±=′′′′′′=−+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6)解:1y ′=,令0y ′=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]−∞内有一不可导点21x =，当34x >时，0y ′<;当34x <时，0y ′>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =.因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)解:y ′=,令0y ′=，得驻点125x =.当125x >时，0y ′<；当125x <，0y ′>,故极大值为12()5y =.(8)解:2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x −+′=++,令0y ′=，得驻点122,0x x =−=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x −−+++++′′=++200,0x x y y =−=′′′′><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y −=.(9)解:e (cos sin )x y x x ′=−,令0y ′=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±⋯.2e sin x y x ′′=−，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++′′′′<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=.(10)解:11211ln (ln )xxxy x x x x x −′′==,令0y ′=，得驻点e x =.当e x >时，0y ′<，当e x <时，0y ′>,故极大值为1e(e)e y =.(11)解:2e e x xy −′=−,令0y ′=，得驻点ln 22x =−.ln 222e e ,0x x x y y −=−′′′′=+>,故极小值为ln 2()2y −=.(12)解:y ′=，无驻点.y 的定义域为(,)−∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y ′<，当x <1时，0y ′>，故有极大值为(1)2y =.(13)解:y ′=无驻点.y 在1x =−处不可导，但y ′恒小于0，故y 无极值.(14)解:21sec 0y x ′=+>,y 为严格单调增加函数，无极值点.5.证明：232y ax bx c ′=++，令0y ′=，得方程2320ax bx c ++=，由于22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=−=−<，那么0y ′=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6.解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有π3π0()(cos cos3)3x f a x x =′==+，得a =2.又π3π0((2sin 3sin 3)3x f x x =′′=<=−−，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7.（1）解：y 的定义域为(,0)−∞，322(27)0x y x +′==，得唯一驻点x =－3且当(,3]x ∈−∞−时，0y ′<，y 单调递减；当[3,0)x ∈−时，0y ′>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27.又lim ()x f x →−∞=+∞，故f (x )无最大值.(2)解：10y ′==，在(5,1)−上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎞==−=−⎜⎟⎝⎠ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545−.(3).解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而y (－1)=－5，y (0)=2，y (2)=－14，y (3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.8.解：20y ax b ′=+=得2b x a =−不可能属于以0和ba 为端点的闭区间上,而22(0)0,b b y y a a ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠,故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠.9.解：令y =,y ′===令0y ′=得x =1000.因为在(0，1000)上0y ′>，在(1000,)+∞上0y ′<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)y y ==.故数列的最大项为1000a =.10.证明：11,01111(),01111,11x x x a f x x ax x a x a x x a ⎧+<⎪−−+⎪⎪=+≤≤⎨+−+⎪⎪+>⎪++−⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a ′=+>−−+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a ′=−++−+;此时令()0f x ′=，得驻点2a x =，且422a f a ⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠，当x >a 时，()()2211()011f x x x a ′=−−<++−,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1a f f a a +==+.而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故{}max 242(),,0121a af x a a a++==+++.11.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=−令0V ′=,得.h =即圆柱体的高为3r 时，其体积为最大.12.解：由题设知21π22x xy a⎛⎞+⋅=⎜⎟⎝⎠得21π18π8a x a y x x x −==−截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+−+=++′=+−令()0l x ′=得唯一驻点x =，即为最小值点.即当x =.13.解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<′=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短.14.解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a =−⋅=−+′=−+令0V ′=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a时方盒容积最大.15.(1)解：42,20y x y ′′′=−=−<，故知曲线在(,)−∞+∞内的图形是凸的.(2)解：cosh ,sinh .y x y x ′′′==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ′′>，当(,0)x ∈−∞时，0y ′′<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]−∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.(3)解：23121,0y y x x ′′′=−=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4)解：2arctan 1x y x x ′=++，2220(1)y x ′′=>+故曲线图形在(,)−∞+∞内是凹的.16.(1)；解：23103y x x ′=−+610y x ′′=−，令0y ′′=可得53x =.当53x <时，0y ′′<，故曲线在5(,)3−∞内是凸弧；当53x >时，0y ′′>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎞⎜⎟⎝⎠是曲线的唯一拐点.(2)解：(1)e , e (2)x xy x y x −−′′′=−=−令0y ′′=，得x =2当x >2时，0y ′′>，即曲线在[2,)+∞内是凹的；当x <2时，0y ′′<，即曲线在(,2]−∞内是凸的.因此(2，2e －2)为唯一的拐点.(3)；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x ′′′=++=++>故函数的图形在(,)−∞+∞内是凹的，没有拐点.(4)解：222222(1), 1(1)x x y y x x −′′′==++令0y ′′=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ′′>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ′′<，即在(,1],[1,)−∞−+∞内曲线是凸的.因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).(5)；解：arctan arctan 222112e ,e1(1)x xx y y x x −′′′==++ 令0y ′′=得12x =.当12x >时，0y ′′<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的；当12x <时，0y ′′>，即曲线在1(,]2−∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e )2.(6)解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x ′′′=−= 令0y ′′=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ′′>，即曲线在[1,)+∞内是凹的;当0<x <1时，0y ′′<，即曲线在(0，1]内是凸的，故有唯一拐点(1，－7).17.(1);证明：令()nf x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x −−′′′==−> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠,即1()22nn n x y x y +⎛⎞<+⎜⎟⎝⎠.(2);证明：令f (x )=e x()e ,()e 0x x f x f x ′′′==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y∀∈≠ 则()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即2e e e2x yx y ++<.(3)证明：令f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x′′′=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠即1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+，即ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.18.(1)解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t xt x t +−==令22d 0d yx =，得t =1或t =－1则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx <，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2)解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a xa θθθθθ⋅⋅==−⋅−222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=−+⋅=⋅−−令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=−，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ−<<时，22d 0d y x >，当tan θ>或tan θ<π3θ<−或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=−时，都是y的拐点，且拐点为3,2a ⎞⎟⎠及3,2a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠.19.证明：22221(1)x x y x −++′=+，y ′′=令0y ′′=，得1,22x x x =−=+=−当(,1)x ∈−∞−时，0y ′′<；当(1,2x ∈−时0y ′′>；当(22x ∈−+时0y ′′<；当(2)x ∈++∞时0y ′′>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2−+.因为111212−−+因此三个拐点在一条直线上.20.解：y′=3ax 2+2bx ,y″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得39,22a b =−=.21.解：令f (x )=ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22.解：224(3),12(1)y kx x y k x ′′′=−=− 令0y ′′=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±′=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ∓，法线方程为18y x k =∓.由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k =±,得22321, 321k k ==−(舍去)故8k ==±.23.答：因00()()0f x f x ′′′==，且0()0f x ′′′≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ�中，000()()()()()()f x f x x x f x x f ηη′′′′′′′′′′=+−=−，故()f x ′′在0x 左侧与0()f x ′′′异号，在0x 右侧与0()f x ′′′同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24.(1)；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +−−′==++−′′=+令0y ′=，可得1x =±，令0y ′′=，得x =0，,当x→∞时，y→0，故y=0是一条水平渐近线.函数有极大值1(1)2f=，极小值1(1)2f−=−，有3个拐点，分别为,⎛⎜⎝(0，0)，，作图如上所示.(2)解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)yxxyx′=−+′′=+令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.列表讨论如下：x0(0，1)1(1，∞)y′－0+y″0++y0极小又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=−=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞−=−=−故πy x=−是斜渐近线，由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=−，极大值π(1)12y−=−.(0，0)为拐点.作图如上所示.(3)；解：函数的定义域为,1x R x∈≠−.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+−+′==≠−++′′=+令y′=得x=0，x=－2当(,2]x∈−∞−时，0,()y f x′>单调增加；当[2,1)x∈−−时，0,()y f x′<单调减少；当(1,0]x∈−时，0,()y f x′<单调减少；当[0,)x∈+∞时，0,()y f x′>单调增加,故函数有极大值f(－2)=－4，有极小值f(0)=0又211lim()lim1x xxf xx→−→−==∞+，故x=－1为无穷型间断点且为铅直渐近线.又因()lim1xf xx→∞=，且2lim(())lim11x xxf x x xx→∞→∞⎡⎤−==−−⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y=x－1.综上所述，曲线图形为：(4)解：函数定义域为(－∞，+∞).22(1)(1)22(1)e e 2(241)x x y x y x x −−−−′=−−′′=⋅−+令0y ′=，得x =1.令0y ′′=，得1x =±.当(,1]x ∈−∞时，0,y ′>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y ′<函数单调减少；当(,1[1)x ∈−∞−++∞∪时，0y ′′>，曲线是凹的；当[1,122x ∈−+时，0y ′′<，曲线是凸的,故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1,e ),(1,e )22A B −−−+，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25.(1)解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x −−′=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x −−−−−−−−−+⋅+⋅−−′′==++当x >0时，()0,()g x g x ′′<在(0，+∞)内是凸的.当x <0时，()0,()g x g x ′′>在(－∞，0)内是凹的.当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A→−∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2)解：()()1e 1e cx cxA Ag x g x A −−+=+=++.(3)证明：∵()1e 1e e c x T cx cT A Ay B B −+−−==++取e1cTB −=，得ln B T c =即曲线1e cx A y B −=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln B T c =个单位的平移.26.解：324d π,π,.3d r V r A r v t === 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V rr v t r t A A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27.解：d d de e .d d d a a r r a a t t ϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=28.解：22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅−⋅=−=⋅=⋅=29.解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x yx y t t⋅+⋅=由d d d d x y tt −=.得161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠.30.解：当水深为h时，横截面为212s h ==体积为22212V sh h ′====d d 2d d V hh t t=⋅当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt −=⋅.故有d 320.5d ht =⋅，得d d h t =(m 3·min －1).31.解：设t 小时后，人与船相距s公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t st ==≈(km ·h－1)32.解：d d d 236.d d d y y xx x t x t=⋅=⋅=当x =2时，d 6212d yt =×=(cm ·s －1).33.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则53456y y t=+化简得d 7280,40,40d yy t y t t ===(m ·min －1).即人影的长度的增长率为常值.34.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时，0,2y y ′′′==− ，故23/22.(1)y k y ′′==′+35.解：sinh ,cosh .y x y x ′′′== 当x =0时，0,1y y ′′′== ，故23/21.(1)y k y ′′==′+36.解：cos ,sin y x y x ′′′==−.当π2x =时，0,1y y ′′′==− ，故23/21.(1)y k y ′′==′+37.解：2tan ,sec y x y x ′′′== 故223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ′′===′++1sec R x k ==.38.解：22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d y y a t t t t x x a t tt ===−−，22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x ta t t a t t t −−=−=⋅==−，故423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t==+−且当t =t 0时，23sin 2k a t =.39.解：cos ,sin y x y x ′′′==− .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大，225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +′=+令0k ′=，得π2x =为唯一驻点.在π0,2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′>，在π,π2⎛⎞⎜⎟⎝⎠内，0k ′<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.40.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,11.x x x x y x y x ====′==′′=−=−故曲率中心212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧′′⎡⎤+==−⎪⎢′′⎣⎦⎪⎨′⎡⎤+⎪==−+⎢⎥⎪′′⎣⎦⎩曲率半径为R =.故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y −++=.41.解：0010,5000x x y y ==′′′==，23/2(1)5000y R y ′+==′′飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅===(牛顿)故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+×=(牛顿).42.解：(1)边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ′′=+=(2)利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=−=−−′=−令()0L q ′=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3)盈亏平衡时：R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.43.解：(1)利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =−+−=−+−′=−+−令()0L q ′=，得231206000q q −+=即2402000q q −+=得20q =−(舍去)2034.q =+≈此时，32(34)0.01340.63463496.56L =−×+×−×=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+−−=−++令()0L x′=,得5x=(5)121.5696.56L=>故应该提高价格，且应提高5元.44.(1)解：y′=a即为边际函数.弹性为：1Ey axa xEx ax b ax b =⋅⋅=++,增长率为：yaax b γ=+.(2)解：边际函数为：y′=ab e bx弹性为：1eebxbxEyab x bx Ex a=⋅⋅=,增长率为：eebxy bxabbaγ==.(3)解：边际函数为：y′=ax a－1.弹性为：11aaEyax x a Ex x−=⋅⋅=,增长率为：1.ay aax ax x γ−==45.解：因弹性的经济意义为：当自变量x变动1%，则其函数值将变动% EyEx⎛⎞⎜⎟⎝⎠.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.46.解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。
高数总复习3参考答案
第三章 中值定理与导数的应用一、填空题1．02sin limxxx x x e ex-→-=--212．11lim ()x x x e →+= 2e3．=-→221)1(lnlimx xx 14．曲线211().y x x =-+++的水平渐近线是___________ . .1-=y5.函数432.y x x =-的拐点为________. 拐点(0,0), (1,1) 6．1ln()y x x =-+的单调区间是 增区间0(,)+∞；减区间10(,)- 7．函数)0(542<-=x xx y 的最小值是 128．函数x x y 2⋅=的极小值点为 2ln 1-9．函数4225y x x =-+在区间[-2,2]上的最小值是 4 10．函数arctan y x x =+的斜渐近线有 2y x π=±11．假设某种产品的供给函数和需求函数分别为2520s q p =+，5100d q p =-+，那么该产品的市场均衡价格为___________,此时均衡量为____________. 4,80 12．设某种商品的市场需求量与价格的函数关系式为005100.pq e -=，那么当价格为20的时该商品的需求弹性()__________.p η= 1 13．某种商品的平均成本为32()C q q=+，那么其边际成本为_________. 214．对于函数3()f x x =在区间[-1,2]上满足拉格朗日中值定理的点__.ξ= 1二、单项选择题1．下列函数中满足罗尔定理条件的是（ A ）A ．25623(),[,];f x x x x =-+∈B ．150105,,().x x f x x +-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩C ．231021(),[,];()f x x x =∈-D ．01(),[,].xf x xe x -=∈2．设0x 为()f x 的极大值点，则（ B ）A ．必有00()f x '= B. 00()f x '=或不存在； C ．0()f x 为()f x 在定义域内的最大值； D. 必有00()f x ''< 3．设123()()()()f x x x x =---则方程0()f x '=（ C ）.A . 无实根;B 有三个实根123,,x =C.有两个实根,分别位于(1,2),(2,3)之间;D.有一个实根,位于(1,3)之间.4．下列各命题中，正确的是 B A .若)(x f y =在0x x =处有0)("0=x f ，则),(00y x 一定是曲线)(x f y =的拐点 B .若可导函数)(x f y =在0x x =处取得极值，则0)('0=x fC .若)(x f y =在0x x =处有0)('0=x f ，则)(x f 在0x x =处一定取得极值D .极大值一定大于极小值5．已知函数bx ax x x f ++=23)(在点1=x 处取得极值2-，则 B A .0,3=-=b a 且点1=x 为函数)(x f 的极小值点 B .3,0-==b a 且点1=x 为函数)(x f 的极小值点 C .0,3=-=b a 且点1=x 为函数)(x f 的极大值点 D .3,0-==b a 且点1=x 为函数)(x f 的极大值点6．函数)(x f y =的导数)(''x f y =的图像如图所示，则下列结论正确的是 D A .在)1,(--∞内，曲线)(x f y =是凸的B .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是凸的C .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是直线D .在),(+∞-∞内，曲线)(x f y =是凹的7．下列函数中在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是 （ B ） A ）x ln ln B ）x ln C ）1xln D ）2x ln()-8．设f(x)与g(x)可导，0)(lim )(lim ==→→x g x f ax ax ，且A x g x f ax =→)()(lim ，则 CA)必有A x g x f ax =''→)()(lim B ）必有B B x g x f ax ≠=''→A )()(lim 存在，且C)如果 B B x g x f ax ==''→A )()(lim 存在，则 D ）如果B B x g x f ax ==''→A )()(lim 存在，不一定14．函数arctan y x x =的图形 B A) (,)-∞+∞ 处处是凸的； B ）(,)-∞+∞ 处处是凹的； C) 00(,) 是拐点； D ）以上说法都不对9.设函数f(x)在[0,1]上有0"()f x >，那么1010(),(),()()f f f f ''-或者01()()f f -之间的关系为（ ） BA) 1010()()()()f f f f ''>>- B ）1100()()()()f f f f ''>-> C) 1010()()()()f f f f ''->> D ）0110()()()()f f f f ''->> 10．下列四个命题中正确的是（ ） CA) 如果 ()f x '在(0,1)内连续，那么()f x 在(0,1)内有界 B ）如果 ()f x 在(0,1)内连续，那么()f x 在(0,1)内有界C) 如果 ()f x '在(0,1)内有界，那么()f x 在(0,1)内有界 D ）如果 ()f x 在(0,1)内有界，那么()f x '在(0,1)内有界11．设21()()lim()x af x f a x a →-=--，则在a x =处（ ）B（A ）)(x f 导数存在且0)(≠'a f ； （B ）)(x f 取得极大值； （C ）)(x f 取得极小值； （D ）)(x f '不存在. 12．已知f (x ) 在x = 0的某邻域内连续，且f (0) =0，21cos )(lim=-→x x f x ，则在x=0处，f (x ) .（A ）不可导 （B ）可导且0)0(≠'f （C ）取得极大值 （D ）取得极小值 C三、求下列极限1．1tan 1tan 1lim---+→xx e xx2．1111111lim cot 11ln lim22=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→xx xx arc x x x 3．2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x 4．11sec 12sin lim sin tan sec 12lim cos sec )1ln(lim 2202020=++⋅=++=-+→→→x xx x x x x x x x x x x x x 5．⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→x x x 1cos1lim 2 （21=）6．⎪⎭⎫⎝⎛-→221sin1lim x xx （31=） 7．⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛+++→→→x x x x x x x xx cot ln lim exp 1ln tan lim exp 1lim 00tan 0 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++→→x x x x x x x sin sin lim exp csc 1lim exp 020 =10=e8．⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+++→⋅→→x x exx xx x xx csc ln lim ex p lim lim 0ln sin 0sin()1}tan lim exp{cot csc 1lim exp 00=-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-++→→x x x x x x四、应用题1．求x x y ln 22-=的单调区间。
高等数学 线性代数 习题答案第三章
第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim (2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。
解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x xx -=-。
由已知直线过点(3,8),得 00082(3)y x x -=- (1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x = (2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。
也即440x y --=或8160x y --=。
4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=--0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数： (1) y (2) y ；(3) y 322x ．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x -=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y xx xx -==15661()6y x x-''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→-===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。
高等数学李伟版课后习题答案第五章.
习题5—1(A．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确．如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2．（2）正确．事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，，并且等价于，所以．（3）正确．它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等．（4）正确．它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.．自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以．．一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功项目管理PMP.1-项目管理框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.．用定积分的几何意义求下列积分值：（1）；（2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。
（2）如图，面积，->根据定积分几何意义，所以，7.．．8.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。
高等数学课后题答案(西工大版)第3章
2 1− x ex + sin x
=
1 2
.
(2)
lim
ln(1 + x2 )
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎝0⎠
====
lim
2x 1+ x2
x→0 sec x − cos x
x→0 tan x sec x + sin x
=
lim
x→0
sin
x
⋅
1
2 +x
2
x(sec2 x
+
1)
2
= lim 1 + x 2 = 1
⎝π
⎠
⎝π
⎠
ln⎜⎛ 2 arctan x ⎟⎞
lim ln y = lim x ln⎜⎛ 2 arctan x ⎟⎞ = lim
x →+∞
x→+∞ ⎝ π
⎠ x→+∞
⎝π x −1
⎠
1 21
⎜⎛ 0 ⎟⎞
=⎝=0=⎠ = lim x →+∞
2 arctan x π 1 + x2 π
− x−2
=
−
lim
令
f
(x)
=
ex x
,
g(x)
=
1 x
,易验证
f
(x)
和
g(x)
在 [x1,
x2 ] 上满足柯西中值定理的条件,于
是存在 ξ ∈ (x1, x2 ) ,使得
f (x2 ) − f (x1 ) = f '(ξ ) , g(x2 ) − g(x1 ) g'(ξ )
e x2 − e x1
xex− ex
x2 x1 = x2
高等数学课后习题答案--第三章中值定理与导数的应用
第三章中值定理与导数的应用典型例题解析例1验证函数()f x =在[0,1]上满足罗尔定理的条件． 解 因()f x 是在[0,1]上有定义的初等函数，所以()f x 在[0,1]上连续，且212233212()3(1)x f x x x -'=⋅- 在(0,1)内存在；(0)(1)0f f ==．故()f x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，由定理知至少存在一点(0,1)ξ∈使()0f ξ'=．即2120ξ-=，于是解得ξ=(0,1)∈．例2 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，求证在(0,1)内至少存在一点ξ使等式()()f f ξξξ'=-成立．分析 要证()()f f ξξξ'=-成立，即证()()0f f ξξξ'+=，即[()]0x xf x ξ='=，作辅助函数()()F x xf x =，对()F x 在区间[0,1]上应用罗尔定理．证明 设()()F x xf x =，则它在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0F F ==．由罗尔定理知至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ'=，即()()f f ξξξ'=-．证毕．例3 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明对于任意实数λ，在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f f ξλξ'=-．分析 要证()()0f f ξλξ'+=，即证[()()]0e f f λξξλξ'+=，即[(()())]|0xx e f x f x λξλ='+=，即证[()]|0xx e f x λξ='=，作辅助函数()()x F x e f x λ=，并对()F x 在区间[,]a b 上应用罗尔定理．证明 令()()x F x e f x λ=，易知()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即[()()]0e f f λξξλξ'+=，而0e λξ≠，故()()0f f ξλξ'+=，即()()f f ξλξ'=-，(,)a b ξ∈．证毕．注 证明至少存在一点满足抽象函数一阶或二阶导数的关系式，且题中没有给出函数关系式的命题时，用罗尔定理证明的方法和步骤：（1）把要证的中值等式改写成右端为零的等式，改写后常见的等式有()()0f f ξξξ'+=， ()()()()0f g f g ξξξξ''+=，()()0f f ξξξ'-=， ()()0f kf ξξξ'-=，()()()()0f g f g ξξξξ''-=， ()()()()0f g f g ξξξξ''''-=， ()()0f f ξλξ'±=， ()()()0f f g ξξξ''±=等等．（2）作辅助函数()F x ，使()F ξ'等于上述等式的左端．对于（1）中所述等式，分别对应辅助函数()F x 为()()F x xf x =， ()()()F x f x g x =，()()f x x F x =， ()()k f x F x x =， ()()()f x F xg x =， ()()()()()F x f x g x f x g x ''=-，()()x F x e f x λ±=， ()()()g x F x e f x ±=．（3）在指定区间上对()F x 应用罗尔定理证明． 例4 设01,,,n a a a L 为满足1200231n a a a a n ++++=+L 的实数，证明：方程 2301230n n a a x a x a x a x +++++=L 在(0,1)内至少有一个实根．分析 函数230123()n n f x a a x a x a x a x =+++++L 虽然在[0,1]上连续，但是难以验证()f x 在[0,1]的某个子区间的端点处的函数值是否异号，所以不能用闭区间上连续函数的零点定理，但发现函数231310()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++L 在1x =处的值为 120(1)0231n a a aF a n =++++=+L ，且(0)0F =，所以该命题可以用罗尔定理来证．证明 作辅助函数231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++L ，显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且(0)0F =，120(1)0231n a a aF a n =++++=+L ．对()F x 在区间[0,1]上应用罗尔定理，则至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即2301230n n a a a a a ξξξξ+++++=L ，即方程2301230n n a a x a x a x a x +++++=L 在(0,1)内至少有一个实根ξ．证毕．注 关于()0f x =的根（或()f x 的零点）的存在性的两种常用证明方法证法1 如果只知()f x 在[,]a b 或(,)a b 上连续，而没有说明()f x 是否可导，则一般用闭区间上连续函数的零点定理证明；证法2 先根据题目结论构造辅助函数()F x ，使得()()F x f x '=，然后在指定区间上验证()F x 满足罗尔定理的条件，从而得出()f x 的零点存在性的证明．例5 若()f x 在[1,1]-上有二阶导数，且(0)(1)0f f ==，设2()()F x x f x =，则在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ''=．分析 要证()0F ξ''=，只要证在()F x '区间[0,1]上满足罗尔定理，关键是找到两个使()F x '相等的点．此外，该题还可以用泰勒公式证明．证法1 （用罗尔定理证）因为2()()F x x f x =，则2()2()()F x xf x x f x ''=+．因为(0)(1)0f f ==，所以(0)(1)0F F ==．()F x 在[0,1]上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点1(0,1)ξ∈使得1()0F ξ'=，而(0)0F '=，即1(0)()0F F ξ''==．对()F x '在1[0,]ξ上用罗尔定理，则至少存在一点1(0,)ξξ∈使得()0F ξ''=，而1(0,)(0,1)ξξ∈⊂，即在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()0F ξ''=．证毕．证法2（用泰勒公式证）()F x 的带有拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式为2()()(0)(0)2!F F x F F x x ξ'''=++, 其中(0,)x ξ∈．令1x =，注意到(0)(1)0F F ==，(0)0F '=，可得()0F ξ''=，(0,1)ξ∈．证毕．注 结论为()()0 (2)n f n ξ=≥的命题的证明常见方法有两种： （1）对(1)()n f x -应用罗尔定理；（2）利用()f x 的1n -阶泰勒公式．例6 设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个x ，函数()f x 的值都在开区间(0,1)之内，且()1f x '≠，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使得()f x x =．分析 根据题目结论，容易联想构造辅助函数()()F x f x x =-，用零点定理证()F x 存在零点；而唯一性常用反证法证之．证明 作辅助函数()()F x f x x =-，易知()F x 在区间[0,1]上连续，又0()1(0)(0)0f x F f <<⇒=>，(1)(1)10F f =-<，根据闭区间上连续函数的零点定理可知，至少存在一个(0,1)ξ∈，使得()()0F f ξξξ=-=，即()f ξξ=．下面用反证法证明唯一性．假设存在1x ，2(0,1)x ∈，且不妨设12x x <，使得11()f x x =，22()f x x =，12()()0F x F x ==．显然()F x 在12[,]x x 上满足罗尔定理的三个条件，于是存在12(,)(0,1)x x η∈⊂使得()0F η'=，即()1f η'=，这与题设()1f x '≠((0,1))x ∈矛盾，故唯一性也成立．证毕．例7 假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数，并且()0g x ''≠，()()()()0f a f b g a g b ====，试证：（1）在开区间(,)a b 内()0g x ≠；（2）在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()()()f fg g ξξξξ''=''． 分析 证（1）可采用反证法，设存在(,)c a b ∈使得()0g c =，且由已知条件()()0g a g b ==，可以两次利用罗尔定理推出与()0g x ''≠相矛盾的结论．问题（1）是基本题．证（2）的关键是构造辅助函数()x ϕ，使得()()0a b ϕϕ==，且()()()x f x g x ϕ'''=-()()f x g x ''，通过观察可知()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-．构造()x ϕ是本题的难点．证 （1）反证法．设存在(,)c a b ∈，使得()0g c =，由于()()()0g a g b g c ===，对()g x 分别在区间[,]a c 和[,]c b 上应用罗尔定理，知至少存在一点1(,)a c ξ∈，使得1()0g ξ'=．至少存在一点2(,)c b ξ∈，使得2()0g ξ'=．再对()g x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知至少存在一点312(,)ξξξ∈，使得3()0g ξ''=，这与题设()0g x ''≠矛盾，从而得证．（2）令()()()()()x f x g x f x g x ϕ''=-，则()()0a b ϕϕ==．对()x ϕ在区间[,]a b 上应用罗尔定理，知至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0ϕξ'=，即()()()()0f g f g ξξξξ''''-=．又因()0g x ≠，(,)x a b ∈，故()0g ξ≠，又因为()0g x ''≠，所以()0g ξ''≠，因此有()()()()f fg g ξξξξ''=''． 证毕．例8 验证函数,0()1,x e x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩在1[1,]e-上拉格朗日中值定理的正确性．分析 此题主要考查拉格朗日中值定理的条件是否满足．解 因为0lim ()lim 1x x x f x e --→→==，00lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=，则 (0)(0)(0)f f f -+==，故()f x 在0x =处连续，故()f x 在1[1,]e-上连续．又因为00(0)(0)1(0)lim lim 1x x x f x f e f x x--∆-∆→∆→+∆--'===∆∆，0(0)(0)(1)1(0)lim lim 1x x f x f x f x x++∆→∆→+∆-+∆-'===+∆∆， 故(0)1f '=从而()f x 在1(1,)e -内可导．则由拉格朗日中值定理知存在ξ∈1(1,)e-使11()(1)()(1)f f f e eξ'--=+， 即()1e f e ξ'=+，而,0()1,0x e x f x x ⎧≤'=⎨>⎩，所以1ee e ξ=+，解得1ln(1)e ξ=-+．例9 设02πβα<≤<，证明22tan tan cos cos αβαβαββα--≤-≤． 分析 当βα<时，即证221tan tan 1cos cos αββαβα-≤≤-． 此式中的tan tan αβαβ--可看成函数()tan f x x =在区间[,]βα上的改变量与相应自变量的改变量之商，故可考虑用拉格朗日中值定理证明．证明 当βα=时，不等式中等号成立．当βα<时，设()tan f x x =．由于()f x 在[,]βα(0)2πβα<<<上连续，在(,)βα内可导，利用拉格朗日中值定理得2tan tan 1cos αβαβξ-=-，(0)2πβξα<<<<．因为02πβξα<<<<，所以222111cos cos cos βξα<<．从而可得 221tan tan 1cos cos αββαβα-≤≤-， 即22tan tan cos cos αβαβαββα--≤-≤．证毕． 注 用中值定理（通常是用拉格朗日中值定理）证明不等式的具体做法：首先选择适当的函数及区间，然后利用中值定理，得到一含有ξ的等式；其次对等式进行适当地放大或缩小，去掉含有ξ的项即可．例10 设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f a f b =．证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'>．证法1 因为()f x 不恒为常数，故至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()()f x f a f b ≠=． 先设0()()()f x f a f b >=，在0[,][,]a x a b ⊂上运用拉格朗日中值定理，于是可知存在0(,)(,)a x a b ξ∈⊂，使得001()[()()]0f f x f a x a ξ'=->-．若0()()()f x f a f b <=，则在0[,][,]x b a b ⊂上运用拉格朗日中值定理知，同样可知存在0(,)(,)x b a b ξ∈⊂，001()[()()]0f f b f x b x ξ'=->-．综上所述，命题得证．证法2 反证法． 若不存在这样的点ξ，则对任意的(,)x a b ∈，()0f x '≤，所以()f x 在[,]a b 上单调不增，而()()f a f b =，故()f x 在[,]a b 上为常数，与题设矛盾．所以命题得证．证毕．例11 设函数()f x 在[0,1]上可导，且0()1f x <<，()1f x '≠-，证明：方程()f x 1x =-在(0,1)内有唯一的实根．分析 要证方程()f x 1x =-在(0,1)内有唯一的实根，实际上相当于证明函数()()1F x f x x =+- 有唯一的零点，零点的存在可以根据已知用零点定理或者罗尔定理证明，唯一性可以利用反证法或函数的单调性来证明．证明 先证存在性．令()()1F x f x x =+-，则()F x 在[0,1]内连续，且(0)(0)10F f =-<，(1)(1)0F f =>．由闭区间上连续函数的零点定理知，存在(0,1)ξ∈，使()0F ξ=，即ξ为方程()f x 1x =-的实根．唯一性（用反证法证）若()f x 1x =-在(0,1)内有两个不等实根1x ，2x 12(01)x x <<<，即11()1f x x =-，22()1f x x =-．对()f x 在12[,]x x 上利用拉格朗日中值定理，至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂，使得21212121()()(1)(1)()1f x f x x x f x x x x ξ----'===---．这与题设条件()1f x '≠-矛盾．唯一性得证．证毕．注 此题与例6类似．例12 （05研） 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =． 证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（2）存在两个不同的点η，(0,1)ζ∈，使得()()1f f ηζ''=． 证明 （1）令()()1g x f x x =+-，则()g x 在[0,1]上连续，且(0)10g =-<，(1)10g =>， 故由零点定理知存在(0,1)ξ∈，使得()()10g f ξξξ=+-=，即()1f ξξ=-．（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在(0,)ηξ∈，(,1)ζξ∈，使得()(0)1()0f f f ξξηξξ--'==-，(1)()1(1)()111f f f ξξξζξξξ---'===---，从而1()()11f f ξξηζξξ-''==-．证毕．注 要证在(,)a b 内存在ξ、η，使某种关系式成立的命题，常利用两次拉格朗日中值定理，或两次柯西中值定理，或者柯西中值定理与拉格朗日中值定理并用．例13 求极限sin 0lim sin x xx e e x x→--．分析 该极限属于0型，可用洛必达法则，根据题目的特点可用拉格朗日中值定理，可用导数的定义，也可以将指数差化成乘积后用等价代换．解法1 用洛必达法则．sin 0limsin x x x e e x x →--sin sin 2sin 00cos sin cos lim lim 1cos sin x x x x xx x e xe e xe xe x x→→-+-==- sin sin sin 3sin 0cos sin cos 2cos sin cos lim 1cos x x x x xx e xe x xe x xe xe x→+++-==．解法2 对函数()x f x e =在区间[sin ,]x x （或[,sin ]x x ）上使用拉格朗日中值定理可得sin sin x xe e e x xξ-=-，其中sin x x ξ<<或sin x x ξ<<．当0x →时，0ξ→，故sin 0limsin x xx e e x x→--0lim 1e ξξ→==． 解法3 用导数的定义．sin 0limsin x x x e e x x →--sin 0sin 0sin 00lim lim sin 0sin 0x xx x x x x e e e e e x x x x --→→--==----000lim ()|10u u u u e e e u =→-'===-． 解法4 sin sin sin 1sin sin x x x xx e e e e x x x x---=--，当0x →时， sin 1sin x x e x x ---:，故sin 0lim sin x x x e e x x →--sin sin 01lim sin x xx x e ex x-→-=-0sin lim 1sin x x x x x →-==-． 例14 设()f x 在[,]a b 上可微(0)a b <<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得22()()b a f ξ'-2[()()]f b f a ξ=-．分析 考虑将要证明的等式变为22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-，则用柯西中值定理证明；也可将要证明的等式变形为222[()()(()())]0x b a f x x f b f a ξ='---=，则可用罗尔定理来证明．证法1 只要证明22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-，易知()f x 和2()g x x =在[,]a b 上满足柯西中值定理的条件，故存在(,)a b ξ∈，使22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-． 证法2 只要证明222[()()(()())]0x b a f x x f b f a ξ='---=．令222()()()(()())F x b a f x x f b f a =---，()F x 在[,]a b 可导，且22()()()()F a b f a a f b F b =-=，由罗尔定理知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ'=，即22()()b a f ξ'-2[()()]f b f a ξ=-．证毕．错误证明 要证的结论可改写成22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-．对函数()f x 和2()g x x =在区间[,]a b 上分别使用拉格朗日中值定理，存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-，222()b a b a ξ-=-，于是22()()()2f b f a f b a ξξ'-=-．错解分析 以上证法错在认为()f x 和2()x g x =分别使用拉格朗日中值定理所得的ξ是同一值，实际上这两个ξ不一定相同．例如，取3()f x x =，()f x 在(0,1)内使1(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-成立的点是1ξ=；2()g x x =在(0,1)内使2(1)(0)()(10)g g g ξ'-=-成立的点是212ξ=；而使柯西中值公式 33()(1)(0)(1)(0)()f f f g g g ξξ'-='-成立的点是323ξ=． 例15 把函数()x f x xe -=展成带佩亚诺余项的n 阶麦克劳林公式．分析 将函数展成n 阶泰勒公式或者麦克劳林公式，通常有直接法和间接法两种方法，一般用间接法较为简单．解法1 直接法()x f x xe -=， (0)0f =． ()(1)x f x x e -'=--， (0)1f '=． 2()(1)(2)x f x x e -''=--， (0)2f ''=-．3()(1)(3)x f x x e -'''=--， (0)3f '''=．L L L L()()(1)()n n x f x x n e -=--， ()1(0)(1)n n f n -=-．所以()f x 的n 阶麦克劳林公式为2341(1)()1!2!3!(1)!n x n n x x x x xe x o x n --=-+-++-+-L ．解法2 间接法在x e 的带佩亚诺余项的n 阶麦克劳林公式中，以x -代x ，得231(1)()2!3!!nx n n x x x e x o x n -=-+-++-+L ． 上式两端同乘以x ，有2341(1)()1!2!3!!n xn n x x x x xex x o x n +-=-+-++-+⋅L ．因为 10(1)()!lim0n nn nx x o x xn x +→-+⋅=， 故1(1)()()!n nn n x o x x o x n +-+⋅=，从而2341(1)()1!2!3!(1)!n x n n x x x x xe x o x n --=-+-++-+-L ．例16 求2240cos limx x x ex -→-．分析 该极限属于型，如果用洛必达法则来求解将会比较复杂，根据题目的特点可考虑利用cos x ，x e 的泰勒公式．解 因为244cos 1()2!4!x x x o x =-++，222224224211()(())1()22!2228x x x x x x eo o x -=-+-+-=-++，2240cos limx x x e x -→-242444401()[1()]2!4!28lim x x x x x o x o x x→-++--++= 44401()112lim 12x x o x x →-+==-． 注1 此题属0型的不定式，可以利用洛必达法则，读者不妨一试，并与上述解法比较一下孰优孰劣．注2 在某些情况下，用泰勒公式求极限比用其它方法求极限更为简便，这种方法通常是把具有佩亚诺型余项的泰勒公式代入要求的极限式中，经过简便的有理运算，便可求出极限，应用该方法需要熟记内容提要中所列举的常用函数的麦克劳林公式．注3 几条高阶无穷小的运算规律（这些规律在用麦克劳林公式求极限时尤为有用）： （这里以0x →为例）：a ．()()()n n n o x o x o x ±=；b ．当m n >时，()()()m n n o x o x o x ±=；c ．()()()m n m n o x o x o x +⋅=；d ．当()x ϕ有界，则()()()n n x o x o x ϕ⋅=． 例17 求极限201lim cos31x x e x →--．分析 该极限属于0型，可以用洛必达法则，也可以采用等价无穷小替换定理．解法1 用洛必达法则．201lim cos31x x e x →--202lim 3sin3x x xe x →=-20232lim 9sin39x x x e x →=-⋅=-． 解法2 用等价无穷小替换定理．201lim cos31x x e x →--2202lim 19(3)2x x x →==--． 例18 求极限0ln tan(7)lim ln tan(2)x x x +→．分析 该极限属于∞∞型，可直接用洛必达法则；也可以先用洛必达法则，然后用等价无穷小替换定理．解法1 0ln tan(7)lim ln tan(2)x x x +→20217tan(7)cos (7)lim 12tan(2)cos (2)x x x x x +→⋅=⋅00177sin(4)sin(7)cos(7)lim lim 122sin(14)sin(2)cos(2)x x x x x x x x ++→→⋅==⋅07cos(4)4lim 12cos(14)14x x x +→=⋅=． 解法2 0ln tan(7)lim ln tan(2)x x x +→20217tan(7)cos (7)lim 12tan(2)cos (2)x x x x x +→⋅=⋅22007cos (2)tan(2)lim lim 2cos (7)tan(7)x x x x x x ++→→=⋅ 072lim 127x xx +→=⋅=例19（99研） 011lim()2tan x x x x→-=_______．分析 该极限属于∞-∞型．将211tan x x x-通分，然后再用洛必达法则．解 2011lim()tan x x x x →-20tan lim tan x x x x x →-=30tan limx x xx →-=220sec 1lim 3x x x →-=220tan 1lim 33x x x →==． 例20 求极限2lim x x xe -→∞．分析 该极限属于0⋅∞型，应当先变形为∞∞或00型，再用洛必达法则，究竟变形为何种类型，要根据实际情况确定，例如，2lim xx xe -→∞2222322lim lim lim 111x x xx x x e xe e x x x ---→∞→∞→∞====L ，按照该方法计算下去越来越复杂．若将它化为∞∞型，则简单得多． 解 2lim x x xe -→∞221limlim02xxx x x e xe →∞→∞===．例21 求极限sin 0lim xx x +→． 分析 该极限属于00型，先化为∞∞型，再用洛必达法则． 解 sin sin ln 0ln lim lim lim exp()1sin x x x x x x xx e x+++→→→==，而 200021ln sin lim lim lim 1cos cos sin sin x x x x x x x x x x x+++→→→==--00sin sin lim lim 0cos x x x x x x++→→=-⋅=． 故sin 0lim x x x +→01e ==． 例22 求极限1lim ()x xx x e →+∞+．分析 该极限属于0∞型，先取对数（或者用恒等式ln ,0x e x x =>）将其转化为0⋅∞型，然后将其转化为00或∞∞型，再用洛必达法则． 解法1 设1()x xy x e =+，1ln ln()x y x e x =+ln()1lim ln lim lim x x x x x x x e e y xx e →+∞→+∞→+∞++==+lim 11xx x e e →+∞==+， 故1lim ()xxx x e →+∞+lim ln 1x ye e e →+∞===．解法2 1lim ()x xx x e →+∞+1lim exp[ln()]x xx x e →+∞=+11exp[lim ln()]exp(lim )1xx x x x e x e x e x →+∞→+∞++=+=exp(lim )1x x x e e e →+∞==+．例23 求极限11cos0sin lim()x x x x-→．分析 该极限属于1∞型，可把1∞型变为ln1e ∞⋅型．于是，问题归结于求ln1∞⋅型即0⋅∞型的极限；也可以用重要极限．解法1 11cos 0sin lim()xx x x-→0sin ln lim 1cos x x x x e →-=，由于200sin lnln sin ln lim lim 1cos 2x x x x x x x x →→-=-0cos 1sin lim x x x x x→-= 20cos sin lim sin x x x x x x →-=30cos sin limx x x xx →-= 20sin lim3x x x x →-=0sin 1lim 33x x x →-==-． 故011cossin lim()x xx x→-13e -=． 解法2 利用重要极限1lim(1)xx x e →+=．11cos 0sin lim()x x x x -→1sin sin 1cos 0sin lim(1)xx xx x x xx x x x-⋅⋅--→-=+．因为 0021sin 1sin limlim 11cos 2x x x x x xx x x x→→--⋅=⋅-02cos 1lim 32x x x →-=202112lim 332x x x→-==-， 故11cos0sin lim()xx x x-→13e -=． 注1 对于00或∞∞型可直接利用洛必达法则，对于00型，1∞型，0∞型，可以利用对数的性质将00型转化为0ln 0e ⋅型，将0∞化0ln e ⋅∞型，将1∞化为ln1e ∞⋅型，于是问题就转化为求0⋅∞型，然后将其化为00或∞∞型，再用洛必达法则．注2 用洛必达法则求极限时应当考虑与前面所讲的其它方法（如等价无穷小替换定理，重要极限等 ）综合使用，这样将会简化计算．例24 求极限211lim ()(0)nn n n a a a →∞->．分析 对于数列()f n 的极限lim ()n f n →∞不能直接用洛必达法则，这是因为数列不是连续变化的，从而更无导数可言．但可用洛必达法则先求出相应的连续变量的函数极限，再利用数列极限与函数极限的关系得lim ()lim ()n x f n f x →∞→+∞=，但当lim ()x f x →+∞不存在时，不能断定lim ()n f n →∞不存在，这时应使用其它方法去求．解法1 设2()x xa a f x x-=，则22000lim ()lim lim(ln 2ln )ln x xx x x x x a a f x a a a x a a x→→→-==-⋅=． 故211lim ()nn n n a a →∞-01lim ()lim ()ln n x f f x a n→∞→===． 解法2 令()x f x a =，于是()ln x f x a a '=．对()x f x a =在区间211[,]n n上使用拉格朗日中值定理，得到211211ln ()nn a a a a n nξ-=⋅-，其中211n nξ<<．当n →∞时，0ξ→，1a ξ→．故 211lim ()nn n n a a →∞-＝211lim ln ()ln n na a a n nξ→∞⋅-=． 例25 求极限2cos lim3sin x x xx x→∞+-．解 由于当x →∞时，cos 1cos 0x x x x =→，sin 0xx→，故 2cos lim3sin x x x x x →∞+-cos 22lim sin 33x x x x x→∞+==-． 错误解答 由洛必达法则得2cos 2sin lim lim3sin 3cos x x x x x x x x →∞→∞+-=--，由于极限2sin lim 3cos x xx→∞--不存在，故原极限不存在．错解分析 上述解法错在将极限()lim()f x g x ''存在这一条件当成了极限()lim ()f xg x 存在的必要条件．事实上这仅仅是一个充分条件，所以此时不能用洛必达法则．例26 求sin lim cos x x x e xe x→+∞++．分析 该极限属于∞∞型，若用洛必达法则将会出现下列情况： sin lim cos x xx e x e x →+∞++=cos lim sin x x x e x e x →+∞+-（∞∞）sin lim cos x x x e x e x →+∞-=-（∞∞）=⋅⋅⋅． 每用一次洛必达法则得到类似的极限并循环往复，无法求出结果．必须要考虑用其它方法．解 sin lim cos xx x e x e x →+∞++=sin 110lim1cos 101x x xxe x e→+∞++==++． 注 在使用洛必达法则求极限时，首先要分析所求极限的类型是否为00或∞∞型；要 结合其它方法（主要是用等价代换以及将极限为非零的因子的极限先求出来）来化简所求极限；如有必要可以多次使用洛必达法则；当所求极限越来越复杂时，要考虑改用其它方法；不能用洛必达法则来判别极限的存在性．例27 设()f x 的二阶导数存在，且()0f x ''>，(0)0f =，证明()()f x F x x=在0x <<+∞上是单调增加的．分析 只需要证明2()()()0xf x f x F x x '-'=>，((0,))x ∈+∞即可．证明 因为2()()()xf x f x F x x '-'=，((0,))x ∈+∞．令()()()x xf x f x ϕ'=-，显然()x ϕ在(0,)+∞上连续，且()()0x xf x ϕ'''=>，(0,)x ∈+∞，故()x ϕ在(0,)+∞上是单调增加的．即()(0)0x ϕϕ>=．从而()0F x '>，(0,)x ∈+∞．故()()f x F x x=在0x <<+∞上是单调增加的．证毕． 例28 求曲线5233y x x =-的单调区间、凹凸区间和拐点．解 2113335252()3333x y x x x --'=-=-，在0x =处，y '不存在，在25x =处，0y '=．144333102102()9999y x x x x ---''=+=+，在15x =-处，0y ''= ．由函数单调性的判定法可知函数的单调增加区间是(,0)-∞及2(,)5+∞，单调减少区间是2[0,]5；由函数的凹凸性判定法可知函数凸区间是1(,]5-∞-，凹区间是1(,)5-+∞和[0,)+∞．拐点为1(,5-．注1 求函数y =()f x 单调区间的步骤:（1）确定()f x 的定义域；（2）找出单调区间的分界点（即求驻点和()f x '不存在的点），并用分界点将定义域分成相应的小区间；（3）判断各小区间上()f x '的符号，进而确定y =()f x 在各小区间上的单调性． 注2 通常用下列步骤来判断区间I 上的连续曲线y =()f x 的拐点： （1）求()f x ''；（2）令()0f x ''=，解出该方程在I 内的实根，并求出()f x ''在I 内不存在的点； （3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ，检查()f x ''在0x 左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点00(,())x f x 是拐点，当两侧的符号相同时，点00(,())x f x 不是拐点．设y =()f x 在0x x =处有三阶连续导数，如果0()0f x ''=，而0()0f x '''≠，则点00(,())x f x 一定是拐点．例29 求函数543121540y x x x =+-的极值点与极值．解 函数的定义域为(,)-∞+∞，4322606012060(1)(2)y x x x x x x '=+-=-+，令0y '=，求得驻点为10x =，21x =，32x =-．下面分别用极值第一、第二充分条件进行判断： 解法1 （用极值第一充分条件）点10x =，21x =，32x =-将定义域分成四个部分区间(,2)-∞-，(2,0)-，(0,1)，(1,)+∞，由上表及极值第一充分条件可知1x =为极小值点，2x =-为极大值点，0x =不是极值点，且极小值(1)13y =-；极大值(2)176y -=．解法2 （用极值第二充分条件） 首先求y ''，260(434)y x x x ''=+-．而(0)0y ''=，(1)1800y ''=>，(2)7200y ''-=-<．故1x =为极小值点，2x =-为极大值点，但对0x =点第二充分条件失效，需用第一充分条件判断，可知0x =不是极值点，且极小值(1)13y =-；极大值(2)176y -=．例30 可导函数()y f x =由方程3233232x xy y -+=所确定，试求()f x 的极大值与极小值．分析 函数()y f x =是由方程所确定的隐函数，可利用隐函数求导公式求出dydx及22d y dx ，将0dy dx=与原二元方程联立求解可得驻点，再用函数取得极值的第二充分条件判定． 解 在方程两边对x 求导，得22233663()(2)0x y xyy y y x y x y yy '''--+=-+-=．由于x y =不满足原来的方程，又()y f x =是可导函数，因此0x y -≠，20x y yy '+-=，即2dy x y dx y +=．令0dydx=，得0x y +=，与原二元方程联立求解可得2x =-，2y =，由此可知，函数()y f x =有唯一可能的极值点2x =-．又因为2222d y y xy dx y '-=， 故2222104x y d ydx=-==>， 因此由函数取得极值的第二充分条件知，函数()y f x =有唯一的极小值2，没有极大值．注 求极值的步骤：（1）找出全部可能的极值点（包括驻点和一阶导数不存在的点）； （2）对可能的极值点，利用函数取得极值的第一或第二充分条件判定； （3）求极值．例31 设函数2,0()2,0x x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，求()f x 的极值．解 先求出可能的极值点，再判别函数在这些点是否取得极值． 当0x >时，22ln 2ln 2()()()(2ln 2)2(ln 1)x x x x x x f x x e x e x x '''===+=+；当0x <时，()(2)1f x x ''=+=，因为0lim ()2x f x -→=且 22ln 0lim ()lim lim x x x x x x f x x e +++→→→==002ln exp(lim )exp[lim (2)]11x x xx x++→→==-=，可见()f x 在0x =点不连续，所以(0)f '不存在，于是有22(ln 1),0()1,0x x x x f x x ⎧+>'=⎨<⎩，令()0f x '=，即22(ln 1)0x x x +=，得1x e -=．所以可能的极值点为1x e -=和0x =，将定义域分成三个部分区间(,0)-∞，1-，1-由此可知()f x 在1x e -=处取得极小值，极小值为21()ef e e --=，显然，经过0x =点时，导数()f x '的符号由正号变为负号，即0x =点为极大值点，函数的极大值为(0)2f =．例32 （03研）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数图形如图3-1所示，则()f x 有（ ）．A ．一个极小值点和两个极大值点．B ．两个极小值点和一个极大值点．C ．两个极小值点和两个极大值点．D ．三个极小值点和一个极大值点．图3－1分析 由()f x 的导函数图形可知导函数何时大于零、等于零、小于零，从而可知()f x 的单调性，进一步可推知其极值．解 选C ． 由图形可看出，一阶导数为零的点有3个，而0x =则是导数不存在的点．三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个为极小值点，一个为极大值点，在0x =左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点，故()f x 有两个极小值点和两个极大值点，应选C ．例33 讨论方程ln (0)x ax a =>在(0,)+∞内有几个实根？分析 如果对函数()f x 的单调性、极值、最值等问题讨论清楚了，则其零点也就弄明白了，讨论方程ln (0)x ax a =>在(0,)+∞内有几个实根等价于讨论()ln f x x ax =-在(0,)+∞内有几个零点．解 设()ln f x x ax =-，则只需讨论函数()ln f x x ax =-零点的个数．由1()0f x a x'=-=， 解得1x=．列表：由此可知()f x 在1(0],a 上单调递增，在1,)[a+∞上单调递减，且1()(ln 1)f a a =-+是函数的最大值，由0lim ()lim(ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞，及ln lim ()lim[()]x x xf x x a x→+∞→+∞=-=-∞，可得（1）当1()0f a <，即1a e >时，1()()0f x f a <<，函数()f x 没有零点，故方程没有实根．（2）当1()0f a =，即1a e =时，函数()f x 仅有一个零点，故方程ln x ax =只有惟一实根1x e a ==．（3）当1()0f a >，即10a e <<时，由1()0f a >，0lim ()x f x +→=-∞，知()f x 在10)(,a内至少有一个零点．又()f x 在10)(,a内单调递增，所以()f x 在10)(,a内仅有一个零点，即方程ln x ax =在10)(,a 内只有一个实根．同理方程ln x ax =在1(,)a+∞内也只有一个实根．故当10a e <<时，方程ln x ax =恰有两个实根．例34 证明不等式：当02x π<<时，2sin x x π>．分析 证明不等式可用拉格朗日中值定理、函数的单调性和最值及凹凸性等．证法1 （用单调性证明）令sin ()xf x x=，则 22cos sin cos (tan )()x x x x x x f x x x --'==， 令()tan x x x ϕ=-，则22sin ()cos x x x ϕ-'=．所以在(0,)2π内，()0x ϕ'<，而(0)0ϕ=，所以()0x ϕ<，从而可知()0f x '<，故()f x 单调减少，由此得()()2f x f π>，即2sin x x π>．证法2 （用凹凸性证明）设2()sin xg x x π=-，则2()cos g x x π'=-，()sin 0g x x ''=-<．所以()g x 的图形是凸的．又(0)()02g g π==，因此()0g x >，即2sin x x π>．证法3 （用最值证明）设2()sin xF x x π=-，则由闭区间上连续函数的性质知()F x 在[0,]2π可取到最大最小值． 2()cos F x x π'=-，令()0F x '=，得()F x 在(0,)2π内的唯一驻点02arccos x π=，又因为()sin F x x ''=-，当02x π<<时，有()0F x ''<．所以()F x 在点02arccos x π=处取得极大值．因此()F x 在[0,]2π上的最小值必在端点处取得，这是因为()F x 在(0,)2π内没有极小值．又由于(0)()02F F π==，所以()F x 的最小值为零，因此，在(0,)2π内必有()(0)0F x F >=，即2sin x x π>．证毕．例35 证明：当0x >，0y >时，有不等式ln ln ()ln2x yx x y y x y ++≥+，且等号仅当x y =时成立．分析 将不等式两端同除以2，转化为ln ln ln222x x y y x y x y+++≥．可以看出，左端是函数()ln f t t t =在x ，y 两点取值的平均值，而右端是它在中点2x y+处的函数值．因此，可用函数图形的凹凸性来证明．证明 设()ln f t t t =，则在(0,)+∞内有()1ln f t t '=+，1()0f t t''=>，从而函数()ln f t t t=的图形是凹的．故对任意0x >，0y >且x y ≠，有()()()22x y f x f y f ++<成立，即ln ln ln222x x y y x y x y+++>成立． 当x y =时，等号显然成立．于是有ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++≥+，且等号仅当x y =时成立．证毕．例36 设()f x 有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1||x f x x →''=，则（ ）． A ．(0)f 是()f x 的极大值． B ．(0)f 是()f x 的极小值．C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点． D ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点．分析 要讨论函数()f x 的极值与凹凸性，则要讨论(0)f '、(0)f ''的正负号．解 选B ．由题设0()lim 1||x f x x →''=，可得0lim ()0x f x →''=，且由保号性知存在0x =的某邻域使得()0f x ''≥，即在(0,(0))f 的左、右两侧都是上凹的，故(0,(0))f 不是拐点，排除C ．由拉格朗日中值定理可得()(0)()f x f f x ξ''''-=，其中ξ介于0与x 之间，由于(0)0f '=，故()()f x f x ξ'''=，而()0f x ''≥，从而可知当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增，由此可知(0)f 是()f x 的极小值，选B ．例37 求内接于22221x y a b+=且四边平行于x 轴和y 轴的面积最大的矩形(,0)a b >．分析 首先要求出矩形面积的表达式，然后求其最大值，此时对应的矩形即为所求． 解 设所求矩形在第一象限的顶点坐标为(,)x y ，则矩形的面积为()44S x xy ==，(0)x a <<，由2()4S x '=-，令()0S x '=得驻点x =而当0x <<时，()0S x '>；当x a <<时，()0S x '<．所以x =()S x 的最大值点．因而所求矩形在第一象限的顶点坐标为，最大矩形面积为2ab ． 例38 描绘函数32(1)x y x =+的图形．解（1）求函数的定义域．定义域为(,1)-∞-，(1,)-+∞．（2）求渐近线． 因为lim ()1f x x =∞→-，故1x =-是一条铅直渐近线，而由lim ()x f x →∞=∞可知无水平渐近线，又因为32()lim lim 1(1)x x f x x x x x →∞→∞==+，且32lim[]2(1)x x x x →∞-=-+， 故2y x =-是斜渐近线．（3）求使y '，y ''为零的点及不存在的点．23(3)(1)x x y x +'=+；46(1)x y x ''=+． 当0x =，3x =-时，0y '=； 当0x =时，0y ''=；当1x =-时，y '和y ''不存在．（4）列表说明图形在每个小区间上的升、降、凹、凸，及函数的极值点，曲线的拐点，并作图，如图3-2所示．图3－2例39 求曲线tan y x =在点(,1)4π处的曲率与曲率半径．解 2sec y x '=，232sin 2sec tan cos xy x x x''==，则曲率K 及曲率半径R 分别为 K ''=， 1R K ==由4|2x y π='=及4|4x y π=''=，得在(,1)4π的曲率与曲率半径分别为 K =，1R K == 例40 曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求x y e =的顶点，并求在该点处的曲率半径．解 x y e '=，x y e ''=，由曲率公式得x K ===为求出K 的最大值，只要求出2433()x xf x ee -=+的最小值即可．又243324()33x xf x e e -'=-+，令()0f x '=，得212x e =，1ln 22x =-，而 2433416()99x x f x e e -''=+，1(ln 2)02f ''->．所以1ln 22x =-是函数()f x 唯一的极小值点，也就是使曲线x y e =曲率最大的点，代入得y1(ln 2,2-，而曲线在该点的曲率半径为32123()122R K -===．。
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习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值一定是极值，但极值未必是最值； （2）函数的图形在极值点处一定存在着水平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以用来判断函数是否存在零点，二者没有差别； （4）虽然拉格朗日中值公式是一个等式，但将()f ξ'进行放大或缩小就可以用拉格朗日中值公式证明不等式，不过这类不等式中一定要含（或隐含）有某函数的两个值的差． 答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不一定是极值；而极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有水平切线． （3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的． （4）正确．一类是明显含有)()(a f b f -的；另一类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满足罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满足罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成立．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满足拉格朗日中值定理，并求出公式中的ξ． 解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满足拉格朗日中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成立．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π， 内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='， 在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满足柯西定理的条件，又21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--， 有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成立．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导， 且-+='211)(x x f 0112≡+x， 由拉格朗日定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数， 设C x f ≡)(，用0=x 代入，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有几个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，用这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，又0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满足罗尔定理，所以至少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理至少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f 至少有两个实根．又因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时二次多项式，于是0)(='x f 是二次代数方程，由代数基本定理，得0)(='x f 至多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1） 对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-； （2） 当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1． 证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成立．当b a <时，取函数x x f cos )(=， 显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗日定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ， 即)(sin cos cos b a b a -⋅-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-⋅-=-ξ．当b a >时，只要将上面的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成立． 所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗日定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ． 因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满足罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ． 再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满足罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，⊂)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松比赛中，我国运动员以2小时19分26秒的成绩夺得了女子组冠军．试用微分中值定理说明她在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松比赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上用拉格朗日定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，而15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使用连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv ，这表明该运动员在比赛中至少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明方程0)(=x f 在开区间），（b a 内至多有一个实根．证明：采用反证法，若方程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满足罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，⊂，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f 矛盾，所以方程0)(=x f 在开区间），（b a 内至多有一个实根．（注：本题结论也适用于无穷区间） 3．证明方程015=-+x x 只有一个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，方程015=-+x x 在)(∞+-∞，内至多有一个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从而方程015=-+x x 在)0(∞+，内至少有一个实根．综上，方程015=-+x x 只有一个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（方法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗日定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，用0=x 代入，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（方法2）记b f =)0(，∈∀x ),(+∞-∞，若0=x ，则满足b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满足0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗日定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，用1=x 代入，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满足拉格朗日定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ． （2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上用拉格朗日定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈∀x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成立．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满足拉格朗日定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-， 所以，M x f x f +'=)()(ξ，从而M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内至少存在一点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满足罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．而)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内至少存在一点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利用函数的柯西中值定理得到的，因此不能利用洛必达法则直接求数列极限； （2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以用洛必达法则来求其的极限值； （3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞⋅∞型的不定式，要想用洛必达法则，需先通过变形．比如“0⋅∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0⋅∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使用洛必达法则，首先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使用洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能用洛比达法则求得极限值． （3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．用洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ； （2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→； （4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ； （6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→； （8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→； （10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→； （12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →； （14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm． （3）=-⨯-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-． （4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=⋅=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1． （9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11(lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ， 所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+=+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2110e )(cos lim 2x x x e1． （14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能用洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能用洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能用洛必达法则求得．解：=⨯=⋅=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0． 因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能用 洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．用洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→； （2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→； （4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →； （6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）． 解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-． （2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-． （3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -⋅+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32． （4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 00202 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-⋅=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1． （6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是比2x 高阶的无穷小，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分子极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分子极限为零，同样得1=b ，进而022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是比2x 高阶的无穷小．3.若函数)(x f 有二阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→． 解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ． （注：根据题目所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能用一次洛比达法则，再用二阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就一定能写出该函数的泰勒多项式．一个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，二者相差一个不恒为零的余项；（2）一个函数在某点附近展开带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗日型的余项；（3）在应用泰勒公式时，一般用带拉格朗日型余项的泰勒公式比较方便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本身是一个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数． （2）不正确．拉格朗日型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利用泰勒公式求极限时就要用带有皮亚诺余项的泰勒公式，一般在对余项进行定量分析时使用带拉格朗日型余项的泰勒公式，在对余项进行定性分析时使用带皮亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代入到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更高阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带入到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式． 解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ， 于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带入到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3）， 于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带入到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式． 解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，， ）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代入到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）． 习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的高速公路，测量员测量海拔高度差时，必须考虑地球是一个球体而表面不是水平，从而对测量的结果加以修正．（1）如果R 表示地球的半径，L 是高速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利用泰勒公式证明3422452R L R L C +≈． （3）当高速公路长100公里时，比较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公里）． 证明：（1）由αR L =，有R L =α，又在直角三角形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ． （2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<<x 时，42245211sec x x x ++≈， 取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +． （3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ， 按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ， 它们相差大约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +⋅-++⋅-⋅+⋅-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ， 按规律，由于nx2项的后一项为22+n x，所以余项也可以用)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带皮亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式． 解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上一题，余项也可以用)(12+m x o ．（注意：像2、3题用变量代换写泰勒公式的方法只使用于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适用带有拉格朗日型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗日型余项） 4．应用三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： （1）330； （2）18sin ． 解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+⋅-+-+=+=，3339/11332730+⋅=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈， 误差为54431089.19310-⨯<⋅≤R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）用x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈ ，误差为5531055.2)10(!51-⨯≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈ ．5．利用泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→； （2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→． 解：（1）原式64636426642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++⋅-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有二阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为一阶泰勒公式， 有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别用b x a x ==、代入上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η）， 上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+， 由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+， 所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有二阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，用泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，， 将)(x f 展开为一阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上二次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为一阶泰勒公式， 有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间） 分别用20==t t 、代入上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=， （x <<10ξ） （1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ， （22<<ξx ） （2） （2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=， 即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-⋅≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(． 习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）； （2）函数的极大值点与极小值点都可能不是唯一的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第一充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第二充分条件是根据函数在其驻点处二阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点； （4）在区间I 上连续的函数，其最大值点或最小值点一定是它的极值点. 答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，而032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，而3x y =在0=x 点不取极值；又如函数3x y =有不可导点0=x ，而3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第一充分条件对连续函数的不可导点也适用．（4）不正确．函数的最大（小）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成立，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，又因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-； （2）xx y 12+=；（3）3232x x y +⋅=； （4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(； （6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极大值为：0)0(=y ，极小值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，， ，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-， 极大值为：2)1(-=-y ，极小值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ⋅+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，， 单减区间为：]1(--∞，， 无极大值，极小值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，， ，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，， 单减区间为：]20(，，无极大值，极小值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，， 极大值为：0)0(=y ，无极小值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，， 单减区间为：)1(--∞，，既无极大值，也无极小值．4．求下列函数在指定区间的最大值M 和最小值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ； （2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ． 解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），比较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在闭区间]20[，上最大值为25)2(==f M ，最小值为2)1(-==f m ． （2）因为在]40[，上0)1(2)(2>+='x x f ，所以函数11)(+-=x x x f 在]40[，上单调增加，于是最大值为5/3)4(==f M ，最小值为1)0(-==f m ． 5．求函数x x x f 2)(-=在区间)40(，内的最值． 解：xx f 11)(-='，由0)(='x f ，在区间)40(，内得唯一驻点1=x ，又，xx x f 21)(='' 021)1(>=''f ，所以1=x 是极小值点，也是最小值点，所以函数x x x f 2)(-=在区间)40(，内最小值为1)1(-==f m ．又开区间的区间端点处函数无定义，所以无最大值． 6．求函数xx x f 1)(=在区间)0(∞+，内的最值． 解：21ln 1)(xxx x f x-⋅='，由0)(='x f ，在区间)0(∞+，内得唯一驻点e =x ，而在e)0(，内0)(>'x f ，)(x f 单调增加；在)e (∞+，内0)(<'x f ，)(x f 单调减少，所以e =x 是函数xx x f 1)(=在区间)0(∞+，内的唯一极大值点，同时也是最大值点，所以函数xx x f 1)(=在区间)0(∞+，内的最大值为e1e )e (==f M ，无最小值． 7．借助现有的一面墙，围建一个长方形小院，求解下列问题：(1) 要使小院面积为32(m 2)，如何设计最省材料？(2) 如果建筑材料只够砌16(m)长的墙，如何设计才能使小院面积最大？ 解：如图，设小院的长为x （m ），宽为y （m ），则所砌围墙的长度为y x L 2+=（m ），小院面积为A （m 2）． （1）由小院面积为32(m 2)，有x y /32=，所以 目标函数为x x y x L 642+=+=（0>x ），由06412=-='xL ，得唯一驻点8=x ，此时4=y ，由实际意义L 有最小值，所以当长为8m 、宽为4m 时最省材料．（2）由162=+=y x L ，有y x 216-=，所以目标函数为2216y y xy A -==（0>y ），0416=-='y A ，得唯一驻点4=y ，此时8=x ，由实际意义A 有最大值，所以当长为8m 、宽为4m 时小院面积最大．8．一个周长为5m 的窗户如图所示，问d 和h 为多少时窗户 的采光最好？解：设窗户的面积为A ，则目标函数为 82d dh A π+=，而由522=++dh d π，得4210dd h π--=，目标函数化为2)4(8125d d A π+-=（π+≤<2100d ）， 由0)4(4125=+-='d A π，得唯一驻点π+=410d ，此时π+=45h ，由实际意义A 有最大值，所以当π+=410d ，π+=45h 窗户的采光最好．9．某工厂在一个月内生产某种产品Q （吨）时，总成本为2005)(+=Q Q C （万元），获得的收益为201.010)(Q Q Q R -=（万元），问一个月内生产该种产品多少吨时所获得的利润最大？最大利润是多少？解：设当产量为Q 时，该厂的利润为L ，则20001.052--=-=Q Q C R L （0≥Q ）， 由002.05=-='Q L ，得唯一驻点250=Q ，又002.0)250(<-=''L ，于是250=Q 是极大值点，也是最大值点，所以当产量为250吨时利润最大，最大利润425=L （万元）． 10．在所有面积为A 的长方形中，求对角线最短者．解：设长方形的边长分别为y x 、，则x A y /=，设对角线长为d ，为方便用2d D =作目标函数，则22222x A x y x D +=+=（0>x ），由02232=-='xA x D ，得唯一驻点A x =（A x -=舍去），由实际意义D 有最小值，于是当A x =时，此时A y =，D 最小，所以当两个边长都为A （即正方形）时，对角线最短．11．证明下列不等式：（1）当1>x 时，x x ln 1>-；（2）当0>x 时，3arctan 3x x x ->；（3）当1>x 时，x x x ln 1e 1>--．证明：（1）设函数x x x f ln 1)(--=（1≥x ），则xx f 11)(-='，当1>x 时，0)(>'x f ，由于函数在1=x 点连续，从而当1≥x 时，)(x f 单调增加，于是当1>x 时，有0)1()(=>f x f ，所以当1>x 时，x x ln 1>-．（2）设函数3arctan )(3x x x x f +-=（0≥x ），则24221111)(x x x x x f +=+-+='，当0>x 时，0)(>'x f ，由于函数在0=x 点连续，从而当0≥x 时，)(x f 单调增加，于是当0>x 时，有0)0()(=>f x f ，所以当0>x 时，3arctan 3x x x ->．（3）设函数=)(x f x x x ln 1e1---（1≥x ），则1ln e )(1--='-x x f x ，xx f x 1e )(1-=''-，当1>x 时，0)(>''x f ， )(x f '单调增加，于是0)1()(='>'f x f ， 进而)(x f 单调增加，于是0)1()(=>f x f ，所以当1>x 时，x x x ln 1e 1>--．12．证明方程x x arcsin =在)11(，-内有且只有一个实根．证明：设函数x x x f arcsin )(-=（]11[，-∈x ），有习题2知)(x f 单调减少，于是曲线)(x f y =与x 轴至多有一个交点，从而方程x x arcsin =在)11(，-内至多有一个实根．又函数x x x f arcsin )(-=在闭区间]11[，-上连续，并且02/1)1(>+-=-πf ，02/1)1(<-=πf ，由零点定理方程x x arcsin =在)11(，-内至少有一个实根．（或者，由0=x 是方程的一个实根，所以方程x x arcsin =在)11(，-内至少有一个实根）综上，方程x x arcsin =在)11(，-内有且只有一个实根．习题3—4（B ）1．货车以速度km/h x 行驶200km ，按交通法规限制10050≤≤x ．假使汽油的价格是5元/L ，而汽车耗油的速率是L/h )5004(2x +，司机的工资是20元/h ，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用是多少？解：设行车的费用为y 元，由题意知行车的时间为x200，则目标函数为 xx x x y 4000200]20)5004(5[2+=⋅++=（10050≤≤x ）， 由0400012=-='x y ，得唯一驻点1020=x （1020-=x 舍去），又0)1020(>''y ， 于是1020=x 是唯一的极小值点，也是最小值点，所以最经济的行车速度为25.631020≈=x km/h ，行车的总费用是≈)1020(y 253元． 2．a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处有极值？求出此极值．并且说明该极值是极大值还是极小值．解：x x a x f 3cos cos )(+='，由函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处有极值，有 012c o s 3c o s )3(=-=+='a a f πππ，得2=a ．此时3sin 313sin 2)3(=+=πππf ，又因为03sin 33sin2)3(<-=--=''πππf ，所以3)3(=πf 是极大值．3．设函数x bx x a x f ++=2ln )(在2,121==x x 都取极值，求a 与b 的值，并说明)1(f 、)2(f 是极大值还是极小值．解：b xax f bx x a x f 2)(12)(2+-=''++='，，由函数在2,121==x x 都取极值，有 ⎩⎨⎧='='，，0)2(0)1(f f 即⎩⎨⎧=++=++，，028012b a b a 解得61,32-=-=b a ；此时3132)(2-=''x x f ， 因为031)1(>=''f ，所以)1(f 是极小值， 因为061)2(<-=''f ，所以)2(f 是极大值．4．证明函数xx y )11(+=在区间)1(--∞，内单调增加．证明：]11)11[ln()11(x x x y x +-+⋅+='，记=)(x g xx +-+11)11ln(，则22)1(1)1(1)1(1)(x x x x x x g +-=+++-='，当1-<x 时，0)(>'x g ，在区间)1(--∞，内函数)(x g 单调增加，0]11)11[ln(lim )(lim )(=+-+=>-∞→-∞→xx x g x g x x ， 从而0>'y ，所以函数xxy )11(+=在区间)1(--∞，内单调增加．5．若函数)(x f 在区间),0[+∞上有二阶导数，且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明函数xx f x g )()(=在区间),0(+∞内单调增加． 证明：2)()()(x x f x f x x g -'='，记)()()(x f x f x x h -'=，则)()(x f x x h ''='，在),0(+∞内0)(>'x h ，又)(x h 在0=x 点右连续，从而)(x h 在区间),0[+∞内单调递增，则当0>x 时，0)0()(=>h x h ，进而0)()(2>='x x h x g ，所以函数x x f x g )()(=在区间),0(+∞内单调增加．6．求函数n x nx x f )1()(-=在区间]1,0[上的最大值)(n M ，并求极限)(lim n M n ∞→．解：)1()1()1()1()(12nx x x n x x n x n x f n n n ---=---='-，由0)(='x f ，在区间)10(，内得驻点n x +=11．由0)0(=f ，1)1()11(++=+n nn n f ，0)1(=f ，得函数n x nx x f )1()(-=在区间]1,0[上的最大值为nnn n M ++=1)1()(． e1e 11)/11(11lim )1(lim )(lim 1=⋅=++=+=∞→+∞→∞→n n n n n n n n n n n M ． 7．在由直线0=y ，8=x 与抛物线2x y =围成的曲边三角形的曲边上求一点，使该点的切线与两直角边围成的三角形面积最大．解：设所求点为)(2t t P ，，该点的切线斜率为t t y k 2)(='=，切线方程为)(22t x t t y -=-， 令0=y ，得2t x =，令8=x ，得216t t y -=，于是 AMN ∆的面积4)16()16)(28(2122t t t t t S -=--=4/86432t t t +-=（80≤≤t ），由0)16)(163(414316642=--=+-='t t t t S ，得316=t （16=t 舍去），因为0)0(=S ，2716)316(3=S ，321648)8(33==S ，所以面积最大值为2716)316(3=S ，从而P 点的横坐标为316=t ，纵坐标为62562=t ，所求点为)9256316(，． 8．求直线02=--y x 与抛物线x y =2的最近距离．解：设),(2x x 是抛物线上任一点，取该点到给定直线距离的平方22)2(21--=x x D 为目标函数，由0)21)(2(2=---='x x x D ，得唯一驻点21=x ，由实际意义D 有最小值，于是当21=x 时，D 取最小值，所以抛物线2x y =与直线01=--y x 的最近距离为82724/12/12=+-=D ． 9．求椭圆322=+-y xy x 上纵坐标的最大值和最小值．解：方程322=+-y xy x 两边同时对x 求导，有022='+'--y y y x y x ，令0='y ，有x y 2=，代入到方程322=+-y xy x 之中，有332=x ，得驻点1±=x ，而2)1(=y ，2)1(-=-y ，由于椭圆是有界闭曲线，其纵坐标一定有最小值与最大值，所以椭圆322=+-y xy x 上纵坐标的最大值2)1(=y ，最小值2)1(-=-y ．10．证明下列不等式：（1） 当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+；（2） 当100<<>α，x 时， x x ααα+-≤1； （3） 当2021π<<<x x 时，1212tan tan x x x x >． 证明：（1）设x x x x f 2tan sin )(-+=（2/0π<≤x ），2s e c c o s )(2-+='x x x f ，)cos 2(cos sin tan sec 2sin )(332x xx x x x x f -=+-=''， 当20π<<x 时，0)(>''x f ，)(x f '单调递增，由)(x f '在0=x 点连续，于是当20π<<x 时，0)0()(='>'f x f ，进而得)(x f 单调递增，同样0)0()(=>f x f ，所以当20π<<x 时，x x x 2tan sin >+．。