2017-2018年江苏省南京市高一第二学期期末数学试卷和参考答案

2017-2018学年江苏省南京市高一第二学期期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则θ的值为．2．（5分）在等比数列{a n}中，己知，则a6的值为．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点（﹣1，0），（1，4），则直线l的方程是．4．（5分）已知α为锐角，且，则sin2α的值为．5．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．6．（5分）不等式的解集为．7．（5分）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则此圆锥的体积为．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为．9．（5分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．记异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ的值为．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，经过点P（1，1）的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B．若，则直线l的方程是．11．（5分）α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是．（填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若m⊥α，m∥n，则n⊥α；④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β．12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2，且△ABC的面积为50，则△ABC周长的最小值为．13．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}前15项和为S15的值为．14．（5分）已知正实数x，y满足x2+xy﹣2y2＝1，则5x﹣2y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（15分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l的方程为x+my﹣2m＝0（m≠0）．（1）若直线l的斜率为﹣1，求实数m的值；（2）若直线l与坐标轴为成的三角形的面积为2，求实数m的值．16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形，侧面BCC1B1是菱形，M是AB1的中点．N是BC1与B1C的交点，AC⊥B1C，求证：（1）MN∥平面ACC1A1；（2）BC1⊥平面AB1C．17．（15分）在△ABC中，已知点D在BC边上，且2BD＝DC，AB＝2，．（1）若AD⊥BC，求tan∠BAC的值；（2）若，求线段AC的长．18．（15分）已知函数f（x）＝x2+ax﹣b（a，b∈R）．（1）若b＝﹣1，且函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（2）当b＝1﹣a时，解关于x的不等式f（x）≤0；（3）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．19．（15分）某水产养殖户制作一体积为1200立方米的养殖网箱（无盖），网箱内部被隔成体积相等的三块长方体区域（如图），网箱．上底面的一边长为20米，网箱的四周与隔栏的制作价格是200元/平方米，网箱底部的制作价格为90元/平方米．设网箱上底面的另一边长为x米，网箱的制作总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系，并指出定义域；（2）当网箱上底面的另一边长x为多少米时，制作网箱的总费用最少．20．（15分）已知{a n}是公差不为零的等差数列，{b n}是等比数列，且a2＝b2＝1，a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和S n；（3）若满足不等式成立的n恰有3个，求正整数m的值．2017-2018学年江苏省南京市高一第二学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：直线y＝x﹣2的倾斜角是θ，则tanθ＝1，即θ＝，故答案为：【点评】本题考查了直线的斜率，属于基础题．2．【考点】88：等比数列的通项公式．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，己知，∴＝＝，∴a6＝＝＝3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．【考点】ID：直线的两点式方程．【解答】解：根据两点式方程可得＝，即y＝2x+2，故答案为：y＝2x+2【点评】本题考查了两点式方程，属于基础题．4．【考点】GS：二倍角的三角函数．【解答】解：∵α锐角，且，∴sin＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．【考点】LW：直线与平面垂直．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．6．【考点】7E：其他不等式的解法．【解答】解：不等式，等价于x（x﹣2）≤0，∴0≤x≤2，∵x≠2．∴不等式的解集为：[0，2）故答案为：[0，2）【点评】本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．7．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，OA＝1，P A＝3，则OP＝．∴圆锥的底面积S＝π×12＝π，体积V＝．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的体积求法，是基础的计算题．8．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：∵，，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，∵b＜c，B为锐角，∴B＝．∴A＝π﹣C﹣B＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值及三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：∵在直四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，．∴BD∥B1D1，∴∠AB1D1是异面直线AB1，与BD所成的角（或所成的角的补角），设＝，∴AD1＝AB1＝＝2，B1D1＝，记异面直线AB1异面直线AB1，与BD所成的角为θ，则cosθ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．【考点】96：平行向量（共线）．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），（k≠0），可得A（1﹣，0），B （0，1﹣k）．∵，∴（1﹣﹣1，﹣1）＝﹣2（﹣1，1﹣k﹣1），即（﹣，﹣1）＝（2，2k）．∴﹣＝2，﹣1＝2k．解得k＝﹣．∴直线l的方程为：y﹣1＝﹣（x﹣1），化为：x+2y﹣3＝0．故答案为：x+2y﹣3＝0．【点评】本题考查了直线的方程、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故③正确；在④中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2＝（a•+b•）2＝c2，∴可得：a2＝b2+c2，可得：A＝，∵△ABC的面积为50，即：bc＝50，可得：bc＝100，∴可得a2＝b2+c2≥2bc＝200，可得：a≥10，当且仅当b＝c时等号成立，∵b+c＝＝≥＝20，∴△ABC周长l＝a+b+c≥，当且仅当b＝c时等号成立．故答案为：20+10．【点评】本题主要考查了余弦定理，勾股定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．13．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：数列{a n}的通项公式为，由＝（﹣），可得S15＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）+（2+4+6+…+14）﹣7×7＝×+×7×16﹣49＝．故答案为：．【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等差数列的求和公式和裂项相消求和方法，考查运算能力，属于中档题．14．【考点】KE：曲线与方程．【解答】解：∵x2+xy﹣2y2＝1，∴（x+2y）（x﹣y）＝1，令m＝x+2y，n＝x﹣y，∴mn＝1，∵x，y都是正实数，∴m＞0，则n＝＞0，∴5x﹣2y＝（x+2y）+4（x﹣y）＝m+4n．当且仅当m＝4n，即m＝2，n＝，也就是x＝1，y＝时，5x﹣2y有最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查曲线方程的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）由题意可得：＝﹣1，解得m＝1．（2）由m≠0，x＝0时，y＝2；y＝0时，x＝2m；则围成的三角形面积为＝2，解得m＝±1．【点评】本题考查了直线的方程、三角形面积计算公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直．【解答】证明：（1）由四边形BCC1B1是菱形，可得N为B1C中点，又因为M为AB1，中点，可得MN∥AC，又因为MN⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，故MN∥平面ACC1A1；（2）由四边形ACC1A1为矩形，可得AC⊥CC1，又因为AC⊥B1C，CC1⊂平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C＝C，可得AC⊥平面BCC1B1，则AC⊥BC1，由四边形BCC1B1是菱形，可得B1C⊥BC1，因为AC⊥B1C，B1C⊥BC1，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，AC∩B1C＝C，故BC1⊥平面AB1C．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17．【考点】HR：余弦定理．【解答】解：（1）AD⊥BC时，，由DC＝2BD，可得，则tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，可得：tan∠BAC＝tan（∠BAD＝＝＝﹣3；（2）三角形ABD内由余弦定理，则，即BD2﹣3BD+2＝0，解得BD＝1或2，当BD＝1时，BC＝3，三角形ABC内，由余弦定理＝；当BD＝2时，BC＝6，三角形ABC内由余弦定理＝则AC＝2，或．【点评】本题主要考查了勾股定理，两角和的正切函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．18．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）b＝﹣1时，f（x）＝x2+ax+1，由函数f（x）有零点，可得△＝a2﹣4≥0，即a≤﹣2或a≥2；（2）b＝1﹣a时，f（x）＝x2+ax+a﹣1＝（x+1）（x+a﹣1），当﹣1＜1﹣a即a＜2时，f（x）≤0的解集为[﹣1，1﹣a]，当﹣1＝1﹣a即a＝2时，f（x）≤0的解集为{﹣1}，当﹣1＞1﹣a即a＞2时，f（x）≤0的解集为[1﹣a，﹣1]；（3）二次函数f（x）开口响上，对称轴，由a＞2可得f（x）在[1，+∞）单调递增，x∈[1，+∞）时f（x）≥0恒成立，当且仅当f（1）≥0，即1+a﹣b≥0，即a≥b﹣1，由，可得，则，由＞0可得b2﹣4b+4≤0，即（b﹣2）2≤0，则b＝2，此时1≤a≤1，则a＝1．【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．19．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）网箱的高为米，由三块区域面积相同可得隔栏与左右两边交点为三等分点，隔栏与四周总面积为平方米，底部面积为20x平方米，则×，定义域为（0，+∞）；（2），由x＞0可得，当且仅当即x＝20时等号成立，答：，定义域为（0，+∞）；网箱上底面的另一边长x为20米时，制作网箱的总费用最少．【点评】本题考查函数与方程的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，a3＝a2+d＝1+d，b3＝b2q＝q；a4＝a2+2d＝1+2d，；由a3﹣1＝b3，a4﹣1＝b4可得1+d﹣1＝q，1+2d﹣1＝q2，由d≠0，q≠0可得d＝q＝2，则a1﹣a2﹣d＝﹣1，，则a n＝2n﹣3，；（2），×21+…+（2n﹣3）×2n﹣2（2n﹣5）×2n﹣2+（2n﹣3）×2n﹣1作差可得2×21﹣…﹣2×2n﹣2+（2n﹣3）×2n﹣1，则×；（3）不等式可化为，即，即，n＝1，m∈N*时一定成立，则n≥2时，满足的n共有两个，此时2n﹣3＞0，m+8＞0，即满足的n共有两个，令，n≥2，＝，则n＝2时，c3＜c2，n≥3时，c n+1＜c n，，，，，则n≥2时，{c n}中最大的三项值为，由n≥2时满足的n共有两个，可得，由m＞0解得，则正整数m＝3．【点评】本题考查数列的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查转化思想以及计算能力．。