初中数学辅导2013全国数学中考冲刺押题训练3.3.2二次函数

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九年级中考三轮考前冲刺数学压轴题：二次函数专题强化训练练习(二)

2021年中考三轮考前冲刺数学压轴题：二次函数专题强化训练练习（二）1、如图，已知，二次函数的图像交轴正半轴于点，顶点为，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，的正切值为.（1）求二次函数的解析式与顶点坐标；（2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值.2、如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G 的坐标；（3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式．3、如图，抛物线y =12（x ﹣3）2−32与x 轴交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点，顶点D ．（1）求点A 、B 、D 三点的坐标；（2）连结CD 交x 轴于G ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，交抛物线对称轴于E ，求出E 点的纵坐标；（3）以②中点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标．4、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），OB =OA ，且∠AOB =120°．（1）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△OBC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为抛物线上一点，点N 为对称轴上一点，是否存在点M 、N 使得A 、O 、M 、N 构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5、已知抛物线L：y＝x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．6、已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+√3对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．7、如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．8、如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且周长取最大值时，求点G的坐标．9、如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。

2013年历年初三数学中考二次函数及答案

二次函数一级训练1．(2012年广西北海)已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为()A．(－2，－1) B．(2,1) C．(2，－1) D．(－2,1)2．(2012年贵州黔东南州)抛物线y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为()A．(4，－1) B．(0，－3) C．(－2，－3) D．(－2，－1)3．(2011年浙江温州)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图3－4－4.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是()图3－4－4A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值4．(2012年湖南衡阳)如图3－4－5为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0; ②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为()图3－4－5A．1 B．2 C．3 D．45．(2012年陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m的最小值为()A．1 B．2 C．3 D．66．在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是()7．(2012年黑龙江哈尔滨)李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图3－4－6所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是()图3－4－6A．y＝－2x＋24(0<x<12)B ．y ＝－12x ＋12(0<x <24)C ．y ＝2x －24(0<x ＜12)D ．y ＝12x －12(0<x <24)8．(2011年浙江宁波)将抛物线y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为____________．9．(2011年贵州贵阳)写出一个开口向下的二次函数的表达式______________________． 10．(2011年浙江舟山)如图3－4－7，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1,0)，(1，－2)，当y 随x 的增大而增大时，x 的取值范围是____________．图3－4－711．(2011年江苏淮安)抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标是__________．12．(2011年江苏盐城)已知二次函数y ＝－12x 2－x ＋32.(1)在如图3－4－8中的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；(3)若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．图3－4－813．(2011年广东)已知抛物线y ＝12x 2＋x ＋c 与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx ＋1经过的象限，并说明理由．14．(2012年黑龙江哈尔滨)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x (单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm ，这个三角形的面积S (单位：cm 2)随x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，这个三角形面积S 最大？最大面积是多少？⎣⎡⎦⎤参考公式：当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有最小(大)值4ac －b 24a二级训练15．(2011年甘肃兰州)如图3－4－9所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①b 2－4ac >0；②c >1；③2a －b <0；④a ＋b ＋c <0.你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个图3－4－916．(2011年广东茂名)给出下列命题：命题1：点(1,1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点．命题2：点(1,2)是双曲线y ＝2x 与抛物线y ＝2x 2的一个交点．命题3：点(1,3)是双曲线y ＝3x与抛物线y ＝3x 2的一个交点．……请你观察上面的命题，猜想出命题n (n 是正整数)：______________________________. 17．(2011年湖南怀化)已知：关于x 的方程ax 2－(1－3a )x ＋2a －1＝0. (1)当a 取何值时，二次函数y ＝ax 2－(1－3a )x ＋2a －1的对称轴是x ＝－2? (2)求证：a 取任何实数时，方程ax 2－(1－3a )x ＋2a －1＝0总有实数根．三级训练 18．(2011年四川凉山州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图3－4－10，反比例函数y ＝ax与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象是( )图3－4－1019．(2012年广东深圳)如图3－4－11，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－4,0)，B (1,0)，C (－2,6)．(1)求经过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE＝CE；(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．图3－4－11二次函数参考答案【分层训练】 1．B2．A 解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以顶点坐标为(2，－1)，右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为(4，－1)．3．C4．C 解析：①图象开口向下，能得到a ＜0；②对称轴在y 轴右侧，x ＝－1＋32＝1，则有－b2a＝1，即2a ＋b ＝0；③当x ＝1时，y ＞0，则a ＋b ＋c ＞0； ④由图可知，当－1＜x ＜3时，y ＞0. 5．B 解析：由y ＝x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)，可求出抛物线与x 轴有两个交点分别为(3,0)(－2,0)，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．6．C7．B 解析：本题考查函数解析式的表示方法及自变量取值范围．AB ＋CD ＋BC ＝24，即2AB ＋x ＝24,2y ＋x ＝24，所以y ＝12－12x .因为菜园一边的墙足够长，所以自变量x (BC )只要小于24即可，又边长大于零，所以x 取值范围0＜x ＜24.故选B.8．y ＝x 2＋1 9.y ＝－x 2＋2x ＋1(答案不唯一)10．x >12 11.(1,2)12．解：(1)画图(如图D8)．图D8(2)当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜－3或x ＞1. (3)平移后图象所对应的函数关系式为y ＝－12(x －2)2＋2⎝⎛⎭⎫或写成y ＝－12x 2＋2x . 13．解：(1)∵抛物线与x 轴没有交点，∴Δ＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12.(2)∵c ＞12，∴直线y ＝cx ＋1随x 的增大而增大． ∵b ＝1，∴直线y ＝cx ＋1经过第一、二、三象限．14．解：(1)S ＝12×x (40－x )＝－12x 2＋20x .(2)当x ＝－b2a ＝20时，S ＝4ac －b 24a＝200，所以当x ＝20 cm 时，三角形的面积最大，最大面积是200 cm 2. 15．D。

2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：3.3.1二次函数的图象与性质pdf版

开口方向和对称轴确定二次函数图象的顶点、
）＋）－狓＋２２Ｂ．狓＋２２狔＝（狔＝（Ａ．２２２（）（）（ · 四川德阳）在同一平面直角坐标系内，将函数Ｃ．２＋２Ｄ．２－２１．２０１２狓狔＝狓－狔＝狓－狔＝２＋４狓＋１的图象沿狓轴方向向右平移２个单位长度后再沿３与轴交 ·浙江杭州）已知抛物线狔＝（）（６．（２０１２犽狓＋１狓－）狓犽轴向下平移个单位长度，得到图象的顶点坐标是（）１．狔与狔轴交于点犆，则能使 △犃犅，犅犆为等腰三角形的，），）于点犃、Ａ．（－１１Ｂ．（１－２抛物线的条数是（）．，），）Ｃ．（２－２Ｄ．（１－１２Ａ．２Ｂ．３（ · 山东日照）二次函数２．２０１２犪狓＋狔＝４Ｄ．５（）的图象如图所示，给出下犫狓＋犮犪≠０Ｃ．（ ·浙江衢州）１５若自列结论：２已知二次函数狔＝－１狓．２０１２－７狓＋，７２２２；；４犪犮０ ②２犪＋犫０ ③４犪－２犫 ①犫－＞＜变量狓分别取狓，且０则对应的函数值狓狓狓狓＜１狓２，３，１＜２＜３，；＋犮＝０犫 ∶ 犮＝－１ ∶ ２ ∶ ３． ④ 犪∶ ，，的大小关系正确的是（）．１狔２狔３狔其中正确的是（．）Ａ．Ｂ．１＞２＞３１＜２＜３狔狔狔狔狔狔Ａ．①② Ｂ．②③ （第２题）Ｃ．Ｄ．＞＞＜＜２３１２３１狔狔狔狔狔狔Ｃ．③④ Ｄ．①④ ２２（ · 甘肃兰州）抛物线的对称轴是（ ·山东烟台）已知二次函数狔＝２（）＋１下列说８．２０１２２狓＋１．）狔＝－３．（２０１２狓－３．法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线；１１狓＝－３ ① ② Ｂ．直线狓＝－Ａ．直线狓＝２２，）；３－１３时， ③其图象顶点坐标为（ ④当狓＜狔随狓的增大而轴直线Ｃ．Ｄ．狓＝２狔减小．其中说法正确的有（．）（ ·安徽）如图，点犃在半径为２的⊙犗上，过线段犗９．２０１２犃上个个Ａ．１Ｂ．２的一点犘作直线犾，与⊙犗过点犃的切线交于点犅，且 ∠犃犘犅Ｃ．３个Ｄ．４个，设，则的面积关于的函数图象大致２的图象向下平移＝６０ ° 犗犘＝狓 △犘犃犅狓狔 ·广东广州）将二次函数狔＝４．（２０１２狓１个单是（）．位，则平移后的二次函数的解析式为（．）２２Ａ．狓－１Ｂ．狓＋１狔＝狔＝２２））Ｃ．狓－１Ｄ．狓＋１狔＝（狔＝（２（ · 江苏扬州）将抛物线先向左平移个单位，５．２０１２狓＋１２狔＝再向下平移３个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（第９题）（．）

(名师整理)最新人教版数学中考冲刺压轴题《二次函数》专题训练(含答案解析)

中考九年级数学压轴题强化训练：二次函数1、若抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 与顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”.(1) 若直线y =mx +1与抛物线y =x 2－2x +n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2) 若某“路线”L 的顶点在反比例函数xy 6的图像上，它的“带线” l 的解析式为y =2x－4，求此“路线”L 的解析式；(3) 当常数k 满足21≤k ≤2时，求抛物线L: y =ax 2+(3k 2－2k +1)x + k 的“带线” l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围.2、如图，顶点为(3,1)A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ；（3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标．3、如图，抛物线y=ax 2+bx-1(a ≠0)经过A (-1，0),B (2，0)两点，与y 轴交于点C 。

(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)点P 在抛物线的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，求出点P 的坐标；(3) 点N 在抛物线上，点M 在抛物线的对称轴上，是否存在以点N 为直角顶点的Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

4、已知如图，在平面直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4，⑴求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；⑵在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；⑶若点M为该抛物线上一动点，在⑵的条件下，请求出当||PM AM-的最大值时点M的坐标，并直接写出||PM AM-的最大值。

中考数学三轮冲刺特训卷：二次函数(含答案)

二次函数A级基础题1．(2013 年浙江丽水 ) 若二次函数 y＝ax2的图象经过点P(－ 2,4)，则该图象必经过点()A ． (2,4)B． (－ 2，－ 4)C．( －4,2)D． (4，－ 2)2．抛物线y＝ x2＋ bx＋c 的图象先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得图象的函数分析式为y＝ (x－ 1)2－ 4，则 b， c 的值为 ()A ． b＝ 2， c＝－ 6 B． b＝ 2， c＝ 0 C． b＝－ 6， c＝ 8D． b＝－ 6， c＝ 23．(2013 年浙江宁波 )如图 3-4-11，二次函数y＝ax2＋ bx＋ c 的图象张口向上，对称轴为直线 x＝ 1，图象经过 (3,0)，以下结论中，正确的一项为哪一项()A ． abc＜ 0B． 2a＋ b＜0C． a－ b＋ c＜ 0 D ． 4ac－ b2＜ 0图 3-4-11图3-4-124．(2013 年山东聊城 )二次函数y＝ax2＋bx 的图象如图3-4-12，那么一次函数y＝ ax＋ b 的图象大概是 ()A B C D5． (2013 年四川内江 )若抛物线y＝ x2－ 2x＋c 与 y 轴的交点为 (0，－ 3)，则以下说法不正确的选()项是A ．抛物张口向上B．抛物的称是x＝ 1C．当x＝ 1 ， y 的最大－4D．抛物与x 的交点( －1,0)， (3,0)6． (2013 年江徐州)二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 象上部分点的坐足下表：x⋯－ 3－2－ 101⋯y⋯－ 3－2－ 3－ 6－ 11⋯函数象的点坐()A．(－3，－ 3)B．(－ 2，－ 2)C．( －1，－ 3) D ． (0，－ 6)7．(2013年湖北黄石)若对于x 的函数y＝ kx2＋ 2x－ 1 与 x 有一个公共点，数k 的__________ ．8． (2013年北京) 写出一个张口向上，而且与y 交于点(0,1) 的抛物的分析式______________．9． (2013 年浙江湖州 )已知抛物y＝－ x2＋ bx＋c 点 A(3,0)， B(－ 1,0)．(1)求抛物的分析式；(2)求抛物的点坐．B中等10．(2013年江州)已知二次函数y＝x2－ 3x＋ m(m 常数)的象与x 的一个交点(1,0) ，对于x 的一元二次方程x2－ 3x＋m＝0 的两数根是()A ． x1＝ 1， x2＝－ 1B ． x1＝1， x2＝ 2 C． x1＝ 1， x2＝ 0 D ．x1＝1， x2＝ 3 11． (2013 年四川绵阳 )二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c 的图象如图3-4-13，给出以下结论：①2a＋ b＞ 0；② b＞ a＞c；③若－ 1＜ m＜ n＜ 1，则 m＋n＜－ba；④ 3|a|＋ |c|＜ 2|b|.此中正确的结论是 ____________( 写出你以为正确的全部结论序号)．图 3-4-1312． (2013 年广东 )已知二次函数y＝ x2－ 2mx＋ m2－1.(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的分析式；(2)如图 3-4-14，当 m＝ 2 时，该抛物线与y 轴交于点C，极点为D，求 C， D 两点的坐标；(3)在 (2) 的条件下， x 轴上能否存在一点P，使得PC＋ PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明原因．图 3-4-14C级拔尖题113．(2013 年黑龙江绥化)如图 3-4-15，已知抛物线y＝a(x－ 2)(x＋ a)(a＞ 0)与 x 轴交于点B， C，与 y 轴交于点E，且点 B 在点 C 的左边．(1)若抛物线过点M(－ 2，－ 2)，务实数 a 的值；(2)在 (1) 的条件下，解答以下问题；①求出△ BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使 CH ＋EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．图 3-4-1514． (2012 年广东肇庆 )已知二次函数y＝ mx2＋ nx＋ p 图象的极点横坐标是2，与 x 轴交于 A(x1,0)， B(x2,0)， x1<0< x2，与 y 轴交于点 C，O 为坐标原点， tan∠ CAO－tan∠ CBO＝ 1.(1)求证： n＋4m＝0；(2)求 m，n 的值；(3)当 p>0 且二次函数图象与直线y＝ x＋ 3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值．15．(2013 年广东湛江 )如图 3-4-16，在平面直角坐标系中，极点为(3,4) 的抛物线交y 轴于 A 点，交 x 轴与 B， C 两点 (点 B 在点 C 的左边 )，已知 A 点坐标为 (0，－ 5)．(1)求此抛物线的分析式；(2)过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点D，假如以点 C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙ C 的地点关系，并给出证明；(3)在抛物线上能否存在一点P，使△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．图 3-4-16二次函数1． A2．B 分析：利用反推法解答，函数 y＝ (x－ 1)2－ 4 的极点坐标为 (1，－ 4) ，其向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，获得函数y＝ x2＋ bx＋ c，又∵ 1－ 2＝－ 1，－ 4＋3＝－ 1，∴平移前的函数极点坐标为(－1，－ 1)，函数分析式为 y＝ (x＋ 1)2－1，即 y＝ x2＋2x，∴ b＝ 2， c＝ 0.3． D 4.C 5.C 6.B7． k＝0 或 k＝－ 18.y＝ x2＋ 1(答案不独一 )9．解： (1) ∵抛物线y＝－ x2＋ bx＋ c 经过点 A(3,0)，B(－ 1,0)，∴抛物线的分析式为y＝－ (x－ 3)(x＋ 1)，即 y＝－ x2＋2x＋ 3.(2)∵ y＝－ x2＋ 2x＋3＝－ (x－ 1)2＋ 4，∴抛物线的极点坐标为(1,4)．10． B11.①③④12．解： (1) 将点 O(0,0)代入，解得m＝±1，二次函数关系式为y＝ x2＋ 2x 或 y＝ x2－ 2x.(2)当 m＝2 时， y＝x2－4x＋ 3＝ (x－ 2)2－ 1，∴D(2，－ 1)．当 x＝0 时， y＝3，∴ C(0,3) ．(3)存在．接连结C，D 交 x 轴于点 P，则点 P 为所求．由 C(0,3) ，D (2，－ 1)求得直线 CD 为 y＝－ 2x＋ 3.当 y＝ 0 时， x＝32，∴ P32， 0 .13．解： (1)将 M(－2，－ 2)代入抛物线分析式，得1－ 2＝a(－ 2－ 2)( － 2＋ a)，解得 a＝ 4.1(2)①由 (1) ，得 y＝4( x－2)( x＋ 4)，1当 y＝ 0 时，得 0＝4(x－ 2)(x＋ 4)，解得 x1＝ 2， x2＝－ 4.∵点 B 在点 C 的左边，∴ B( － 4,0)， C(2,0)．当 x＝ 0 时，得 y＝－ 2，即 E(0，－ 2)．1∴S△BCE＝2×6×2＝ 6.1 x ＝－ 1，②由抛物线分析式 y ＝ (x － 2)(x ＋ 4)，得对称轴为直线4依据 C 与 B 对于抛物线对称轴 x ＝－ 1 对称，连结 BE ，与对称轴交于点 H ，即为所求．设直线 BE 的分析式为 y ＝ kx ＋ b ，－ 4k ＋ b ＝ 0，将 B(－4,0)与 E(0，－ 2)代入，得b ＝－ 2，1解得k ＝－ 2，∴直线 BE 的分析式为 y ＝－ 1 x － 2. b ＝－ 2.2将 x ＝－ 1 代入，得 y ＝ 1－2＝－ 3，2 23则点 H －1，－.14． (1)证明： ∵二次函数 y ＝ mx 2＋ nx ＋ p 图象的极点横坐标是2，n∴抛物线的对称轴为x ＝ 2，即－＝ 2，化简，得 n ＋ 4m ＝ 0.(2)解： ∵二次函数 y ＝mx 2＋ nx ＋p 与 x 轴交于 A(x 1,0)， B(x 2,0) ，x 1＜0＜ x 2，np∴ OA ＝－ x 1， OB ＝ x 2， x 1＋ x 2＝－ m ， x 1·x 2 ＝m . 令 x ＝ 0，得 y ＝ p ，∴ C(0，p)．∴ OC ＝ |p|.由三角函数定义，得tan ∠ CAO ＝OC＝－|p|， tan ∠ CBO ＝OC ＝|p|OAx 1 OB x 2 .∵ tan ∠ CAO － tan ∠ CBO ＝1，即－x 1＋ x 2 － 1化简，得＝.x 1·x 2|p|将 x 1＋ x 2＝－ n ， x 1·x 2＝ p 代入，得 mm|p|－|p|＝1.x 1 x 2n－ m － 1 化简，得 ? n ＝ pp ＝＝ ±1. |p| |p|m由 (1)知 n ＋ 4m ＝ 0，∴当 n ＝ 1 时， m ＝－1 ；当 n ＝－ 114时， m ＝ .4∴ m ， n 的值为： m ＝ 1， n ＝－ 1(此时抛物线张口向上 )或 m ＝－ 1， n ＝ 1(此时抛物线开44口向下 )．1(3)解：由 (2) 知，当 p ＞ 0 时， n ＝ 1， m ＝－ 4，∴抛物线分析式为： y ＝－1 2x ＋ x ＋ p.4联立抛物线 y ＝－1x 2＋ x ＋ p 与直线 y ＝ x ＋ 3 分析式获得－ 1 x 2＋ x ＋ p ＝ x ＋ 3， 44化简，得 x 2－ 4(p － 3)＝ 0.∵二次函数图象与直线y ＝x ＋ 3 仅有一个交点，∴一元二次方程根的鉴别式等于0，即＝ 02＋ 16(p － 3)＝ 0，解得 p ＝ 3. ∴ y ＝－121 2＋4. x ＋ x ＋ 3＝－(x －2)44当 x ＝ 2 时，二次函数有最大值，最大值为4.15．解： (1) 设此抛物线的分析式为 y ＝ a(x － 3)2＋ 4，此抛物线过点 A(0，－ 5)，∴－ 5＝ a(0－ 3)2＋ 4，∴ a ＝－ 1.∴抛物线的分析式为y ＝－ (x － 3)2＋4，即 y ＝－ x 2 ＋6x － 5.(2)抛物线的对称轴与⊙ C 相离．证明：令 y ＝ 0，即－ x 2＋ 6x － 5＝0，得 x ＝1 或 x ＝ 5，∴ B(1,0) ，C(5,0)．设切点为 E ，连结 CE ，由题意，得， Rt △ ABO ∽ Rt △ BCE.2 2∴AB ＝OB ，即 1＋5＝ 1 ，BC CE 4 CE解得 CE＝4. 26∵以点 C 为圆心的圆与直线BD 相切，⊙ C 的半径为 r ＝ d＝4. 26又点 C 到抛物线对称轴的距离为5－ 3＝ 2，而 2> 4.26则此时抛物线的对称轴与⊙ C 相离．(3)假定存在知足条件的点P(x p， y p)，∵A(0，－ 5)， C(5,0)，∴ AC2＝ 50，2222222222AP＝ (x p－ 0) ＋ (y p＋ 5)＝ x p＋ y p＋ 10y p＋ 25， CP ＝ (x p－ 5)＋ ( y p－ 0)＝ x p＋ y p－ 10x p＋25.①当∠ A＝ 90°时，在 Rt△ CAP 中，由勾股定理，得AC2＋AP2＝ CP2，∴50＋x2p＋ y2p＋10y p＋ 25＝ x2p＋ y2p－10x p＋25，整理，得 x p＋ y p＋ 5＝ 0.∵点 P(x p， y p)在抛物线 y＝－ x2＋6x－ 5 上，∴y p＝－ x2p＋ 6x p－ 5.∴x p＋ (－ x2p＋ 6x p－ 5)＋ 5＝ 0，解得 x p＝ 7 或 x p＝ 0，∴ y p＝－ 12 或 y p＝－ 5.∴点 P 为 (7，－ 12)或(0，－ 5)(舍去 )．②当∠ C＝ 90°时，在 Rt△ACP 中，由勾股定理，得AC2＋CP2＝ AP2，∴50＋x2p＋ y2p－10x p＋ 25＝ x2p＋ y2p＋10y p＋25，整理，得 x p＋ y p－ 5＝ 0.∵点 P(x p， y p)在抛物线 y＝－ x2＋6x－ 5 上，∴y p＝－ x2p＋ 6x p－ 5，∴x p＋ (－ x2p＋ 6x p－ 5)－ 5＝ 0，解得 x p＝ 2 或 x p＝ 5，∴ y p＝ 3 或 y p＝ 0.∴点 P 为 (2,3) 或 (5,0)(舍去 )综上所述，知足条件的点P 的坐标为 (7，－ 12)或 (2,3)．第二部分空间与图形。

2013届中考数学考前热点冲刺《第16讲二次函数的应用》课件新人教版

第16讲┃ 回归教材
回归教材
如何定价利润最大
教材母题
人教版九下 P23 探究 1
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
第16讲┃ 归类示例
[2012· 无锡] 如图16－3，在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知 E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
图16－1
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用h＝2.6，将(0，2)代入解析式求出即可； 1 (2)利用当x＝9时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时， 60 1 － (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60 (3)根据当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h的图象还过 (0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点(9，2.43)， y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可得出答案．
第16讲┃ 归类示例
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之二二次函数在营销问题方面的应用

2013年中考真题二次函数综合压轴题60题

1、（2013潍坊）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.2、（2013绵阳）如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点C 的坐标为（0，-2），交x 轴于A 、B 两点，其中A （-1，0），直线l ：x =m （m ＞1）与x 轴交于D 。

（1）求二次函数的解析式和B 的坐标；（2）在直线l 上找点P （P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q ，使△BP Q 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。

3、（2013昆明）如图，矩形OABC 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC 边上，且抛物线经过O ，A 两点，直线AC 交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D 的坐标；（3）若点M 在抛物线上，点N 在x 轴上，是否存在以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4（2013山西）综合与探究：如图,抛物线213442y x x =--与x 轴交于A,B 两点(点B 在点A 的右侧)与y 轴交于点C,连接BC,以BC 为一边,点O 为对称中心作菱形BDEC,点P 是x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q（1）求点A,B,C 的坐标。

3.3.2二次函数2013全国数学中考冲刺押题训练教师版

第3章函数及其图象
3.3.2二次函数
1．如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 相交于A （1，0）、B （3，2）两点，则不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为，m 值为．
答案：x ＞3或x ＜1 －1
【解析】观察可知当x ＞3或x ＜1时，抛物线的图象位于直线y
＝x ＋m 的上方，所以此时，x 2＋bx ＋c ＞x ＋m ，把A （1，0）代
入y ＝x ＋m 得m ＝－1．
2．如图所示，小明在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中y （M ）是球的飞行高度，x （M ）是球飞出的水平距离，结果
球离球洞的水平距离还有2M ．
（1）请写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）请求出球飞行的最大水平距离；
（3）若小明再一次在此处击球，要想让球飞行的最大高度
不变，且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其关系式．
答案：（1）抛物线开口向下，顶点坐标为（4，5
16）对称轴为直线x ＝4．
（2）当y ＝0时，有－51x 2＋5
8x ＝0．
即得x 1＝0，x 2＝8．
∴抛物线与x 轴两交点坐标为（0，0）和（8，0）．
∴球飞行的最大水平距离为8m ．
（3）球的最大飞行高度不变即顶点的纵坐标不变．
设抛物线关系式为y ＝a （x －k ）2＋5
16．又击球点到球洞的距离为8＋2＝10（m ）．
该抛物线经过点（10，0）和（0，0）．
∴516)0(0516)10(022k a k a ，解得5
125
16
k a。

2013年中考总复习压轴训练试题冲刺教师版(11套)-1

初三数学总复习(3)【例01】(2012年上海市中考试题)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4，0)、B(-1，0)，与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F．(1)求这个二次函数的解析式．(2)求线段EF、OF的长(用含有t的代数式表示)．(3)当∠ECA=∠OAC时，求t的值．考点：相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理.解答：解：(1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4，0)、B(-1，0)，∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=-2x2+6x+8；(2)∵∠EFD=∠EDA=90°h∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，∴DF=2，∴OF=t-2．(3)∵抛物线的解析式为：y=-2x2+6x+8，∴C(0，8)，OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA(等角的余角相等)；在△CAG与△OCA中，，∴△CAG≌△OCA，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t-2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC-OF=10-t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10(不合题意，舍去)，t2=6，∴t=6．【例02】(2012年嘉兴市中考试题)在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线y=x2上的动点(点在第一象限内)．连接OP，过点O作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ交y轴于点M，作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．(1)如图1所示，当m①求线段OP的长和tan∠POM的值．②在y轴上找一点C使得 OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标．(2)如图2所示，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标．②求证四边形ODME是矩形．考点：二次函数综合题.解答：解：(1)①把x=代入y=x2，得y=2，∴P(，2)，∴OP=∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．②设Q(n，n2)，∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=∴Q(，)，∴OQ=．当OQ=OC时，则C1(0，)，C2(0，)；当OQ=CQ时，则C3(0，1)．(2)①∵P(m，m2)，设Q(n，n2)，∵△APO∽△BOQ，∴∴，得n=，∴Q(，)．②设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P(m，m2)、Q(，)代入，得：解得b=1，∴M(0，1)∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA同理可证：EM∥OD又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形．【例03】(2012年资阳市中考试题)抛物线214y x x m =++的顶点在直线y =x +3上，过点F (-2，2)的直线交该抛物线于点M 、N 两点(点M 在点N 的左边)，MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ． (1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m 的代数式表示)，再求m 的值． (2)设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF =NB ． (3)若射线NM 交x 轴于点P 且PA •PB =1009，求点M 的坐标．考点：二次函数综合题. 专题：压轴题. 分析： (1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；(2)首先利用点N 在抛物线上，得出N 点坐标，再利用勾股定理得出NF 2=NC 2+FC 2，进而得出NF 2=NB 2，即可得出答案；(3)求点M 的坐标，需要先求出直线PF 的解析式．首先由(2)的思路得出MF =MA ，然后连接AF 、FB ，通过证明△PFA ∽△PBF ，利用相关的比例线段将PA •PB 的值转化为PF 的值，进而求出点F 的坐标和直线PF 的解析式，即可得解．解答：解：(1)y =x 2+x +m =(x +2)2+(m -1)∴顶点坐标为(-2，m -1)∵顶点在直线y =x +3上，∴-2+3=m -1，得m =2；(2)∵点N 在抛物线上，∴点N 的纵坐标为：a 2+a +2，即点N (a ，a 2+a +2) 过点F 作FC ⊥NB 于点C ，在Rt △FCN 中，FC =a +2，NC =NB -CB =a 2+a ， ∴NF 2=NC 2+FC 2=(a 2+a )2+(a +2)2，=(a 2+a )2+(a 2+4a )+4，而NB 2=(a 2+a +2)2， =(a 2+a )2+(a 2+4a )+4∴NF 2=NB 2，NF =NB ；(3)连接AF 、BF ，由NF =NB ，得∠NFB =∠NBF ，由(2)的结论知，MF =MA ， ∴∠MAF =∠MFA ，∵MA ⊥x 轴，NB ⊥x 轴，∴MA ∥NB ，∴∠AMF +∠BNF =180° ∵△MAF 和△NFB 的内角总和为360°，∴2∠MAF +2∠NBF =180°，∠MAF +∠NBF =90°， ∵∠MAB +∠NBA =180°，∴∠FBA +∠FAB =90°，又∵∠FAB +∠MAF =90°，∴∠FBA =∠MAF =∠MFA ，又∵∠FPA =∠BPF ，∴△PFA ∽△PBF ，∴=，PF 2=PA ×PB =，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，在Rt △PFG 中，PG ==，∴PO =PG +GO =，∴P (-，0)设直线PF ：y =kx +b ，把点F (-2，2)、点P (-，0)代入y =kx +b ，解得k =，b =，∴直线PF ：y =x +，解方程x 2+x +2=x +，得x =-3或x =2(不合题意，舍去)，当x =-3时，y =，∴M (-3，)．点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，(3)题通过构建相似三角形将PA •PB 转化为PF 的值是解题的关键，也是该题的难点．【例04】(2012年娄底市中考试题)二次函数y =x 2-(m 2-2)x -2m 的图象与x 轴交于点A (x 1，0)和点B (x 2，0)，x 1<x 2，与y 轴交于点C 且满足121112x x +=． (1)求这个二次函数的解析式．(2)探究：在直线y =x +3上是否存在一点P 使得四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．考点：二次函数综合题.分析：(1)欲求抛物线的解析式，关键是求得m 的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m 的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m 的值，需要进行检验，把不符合题意的m 值舍去；(2)利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P 点的纵坐标，进而得到P 点的横坐标，从而求得P 点坐标．解答：解：(1)∵二次函数y =x 2-(m 2-2)x -2m 的图象与x 轴交于点A (x 1，0)和点B (x 2，0)，x 1<x 2，令y =0，即x 2-(m 2-2)x -2m =0 ①，则有：x 1+x 2=m 2-2，x 1x 2=-2m ． ∴===，化简得到：m 2+m -2=0，解得m 1=-2，m 2=1．当m =-2时，方程①为：x 2-2x +4=0，其判别式△=b 2-4ac =-12<0，此时抛物线与x 轴没有交点，不符合题意，舍去；当m =1时，方程①为：x 2+x -2=0，其判别式△=b 2-4ac =9>0，此时抛物线与x 轴有两个不同的交点，符合题意．∴m =1，∴抛物线的解析式为y =x 2+x -2．(2)假设在直线y =x +3上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形．如图所示，连接PA ．PB ．AC ．BC ，过点P 作PD ⊥x 轴于D 点．∵抛物线y =x 2+x -2与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点， ∴A (-2，0)，B (1，0)，C (0，2)，∴OB =1，OC =2． ∵PACB 为平行四边形，∴PA ∥BC ，PA =BC ， ∴∠PAD =∠CBO ，∴∠APD =∠OCB ．在Rt △PAD 与Rt △CBO 中，∵，∴Rt △PAD ≌Rt △C BO ，∴PD =OC =2，即y P =2，∴直线解析式为y =x +3，x P =-1，∴P (-1，2)．所以在直线y =x +3上存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形，P 点坐标为(-1，2)．点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x 轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．【例05】(2012年福州市中考试题)已知抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过A (3，0)、B (4，4)两点．(1)求抛物线的解析式．(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标．(3)若点N 在抛物线上且∠NBO =∠ABO ，则在(2)的条件下，求出所有满足∆POD ∽∆NOB 的点 P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)．考点：二次函数综合题．分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；(2) 根据已知条件可求出OB 的解析式为y =x ，则向下平移m 个单位长度后的解析式为：y =x -m ．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m 的值和D 点坐标；(3) 综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB 沿x 轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°．特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y =-x 的对称点也满足题意，即满足题意的P 点有两个，避免漏解．解答：解：(1) ∵ 抛物线y =ax 2+bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．∴ ⎩⎨⎧9a ＋3b ＝016a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1b ＝－3．第22题图①第22题图②∴ 抛物线的解析式是y =x 2-3x ．(2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，由点B (4，4)，得：4=4k 1，解得k 1=1．∴ 直线OB 的解析式为y =x ．∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y =x -m ． ∵ 点D 在抛物线y =x 2-3x 上．∴ 可设D (x ，x 2-3x )．又点D 在直线y =x -m 上，∴ x 2-3x =x -m ，即x 2-4x +m =0．∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △=16-4m =0，解得：m =4．此时x 1=x 2=2，y =x 2-3x =-2，∴ D 点坐标为(2，-2)．(3) ∵ 直线OB 的解析式为y =x ，且A (3，0)，∴ 点A 关于直线OB 的对称点A '的坐标是(0，3)．设直线A 'B 的解析式为y =k 2x +3，过点B (4，4)，∴ 4k 2+3=4，解得：k 2=14．∴ 直线A 'B 的解析式是y =14x +3．∵ ∠NBO =∠ABO ，∴ 点N 在直线A 'B 上，∴ 设点N (n ，14n +3)，又点N 在抛物线y =x 2-3x 上，∴ 14n +3=n 2-3n ，解得：n 1=-34，n 2=4(不合题意，会去)，∴ 点N 的坐标为(-34，4516)．方法一：如图1，将△NOB 沿x 轴翻折，得到△N 1OB 1，则N 1(-34，-4516)，B 1(4，-4)，∴ O 、D 、B 1都在直线y =-x∵ △P 1OD ∽△NOB ，∴ △P 1OD ∽△N 1OB 1，∴ OP 1ON 1=OD OB1=12，∴ 点P 1的坐标为(-38，-4532)．将△OP 1D 沿直线y =-x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(4532，38)．综上所述，点P 的坐标是(-38，-4532)或(4532，38)．方法二：如图2，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°，得到△N 2OB 2则N 2(4516，34)，B 2(4，-4)， ∴ O 、D 、B 2都在直线y =-x 上．∵ △P 1OD ∽△NOB ，∴ △P 1OD ∽△N 2OB 2，∴ OP 1ON 2=OD OB 2=12，∴ 点P 1的坐标为(4532，38)．将△OP 1D 沿直线y =-x 翻折，可得另一个满足条件的点P 2(-38，-4532)综上所述，点P 的坐标是(-38，-4532)或(4532，38)．点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．图1【例06】(2012年兰州市中考试题)如图所示，Rt∆ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3，0)、(0，4)，抛物线y=23x2+bx+c经过点B且顶点在直线x=52上．(1)求抛物线对应的函数关系式．(2)若把∆ABO沿x轴向右平移得到∆DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上并说明理由．(3)在(2)的条件下连接BD，已知对称轴上存在一点P使得∆PBD的周长最小，求出P点的坐标．(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作MN∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，∆PMN的面积为S，求S和t的函数关系式并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题.分析：(1)根据抛物线y=经过点B(0，4)，以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：(1)∵抛物线y=经过点B(0，4)∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴；∴所求函数关系式为；(2)在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P()，(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则(PF+OM)•OF=(+t)×，∵，()×=，S=(-)，=-(0<t<4)，S存在最大值．由S=-(t-)2+，∴当S=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为(0，)．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．【例07】(2012年南通市中考试题)如图所示，过点A (0，-4)的抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点B (-2，0) 和C ，O 为坐标原点． (1)求抛物线的解析式． (2)将抛物线y =12x 2+bx +c 向上平移72个单位长度、再向左平移m (m >0)个单位长度得到新抛物线．若新抛物线的顶点P 在 ABC 内，求m 的取值范围．(3)设点M 在y 轴上，∠OMB +∠OAB =∠ACB ，求AM 的长．【考点】二次函数综合题．【专题】分类讨论．【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A 、B 两点坐标代入即可得解．(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m 表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB 、AC 的解析式中，即可确定P 在△ABC 内时m 的取值范围．(3)先在OA 上取点N ，使得∠ONB =∠ACB ，那么只需令∠NBA =∠OMB 即可，显然在y 轴的正负半轴上都有一个符合条件的M 点；以y 轴正半轴上的点M 为例，先证△ABN 、△AMB 相似，然后通过相关比例线段求出AM 的长．【解答】解：(1)将A (0，-4)、B (-2，0)代入抛物线y = 1 2x 2+bx +c 中，得：0+c =-4 1 2 ×4-2b +c =0，解得： b =-1 c =-4 ∴抛物线的解析式：y = 12x 2-x -4．(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y = 12(x +m )2-(x +m )-4+7 2 ，即：y = 12 x 2+(m -1)x +1 2 m 2-m -1 2 ；它的顶点坐标P ：(1-m ，-1)；由(1)的抛物线解析式可得：C (4，0)；那么直线AB ：y =-2x -4；直线AC ：y =x -4；当点P 在直线AB 上时，-2(1-m )-4=-1，解得：m =5 2 ；当点P 在直线AC 上时，(1-m )-4=-1，解得：m =-2； ∴当点P 在△ABC 内时，-2<m <5 2 ；又∵m >0， ∴符合条件的m 的取值范围：0<m <5 2 ． (3)由A (0，-4)、B (4，0)得：OA =OC =4，且△OAC 是等腰直角三角形；如图，在OA 上取ON =OB =2，则∠ONB =∠ACB =45°； ∴∠ONB =∠NBA +OAB =∠ACB =∠OMB +∠OAB ，即∠ONB =∠OMB ；，吗激活码【如图，在△ABN 、△AM 1B中，∠BAN =∠M 1AB ，∠ABN =∠AM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ，得：AB 2=AN •AM 1；易得：AB 2=(-2)2+42=20，AN =OA -ON =4-2=2； ∴AM 1=20÷2=10，OM 1=AM 1-OA =10-4=6；而∠BM 1A =∠BM 2A =∠ABN ，∴OM 1=OM 2=6，AM 2=OM 2-O A =6-4=2．综上，AM 的长为6或2．【点评】考查了二次函数综合题，该函数综合题的难度较大，(3)题注意分类讨论，通过构建相似三角形是打开思路的关键所在．【例08】在ABC ∆中，30C ∠=︒，点O 和I 分别是外心、内心，在边AC 和BC 上分别有点D 和E 使得 AD BE AB ==，求证OI DE ⊥且OI DE =．【解析】解法1：如图，连AI 、BI 、DI 、EI 、AO 、BO 、DO ，作DAO ∠的平分线交BC 于K ，易证：AID AIB EIB ∆∆∆≌≌，从而AID AIB EIB ∠=∠=∠．而1901052AIB C ∠=︒+∠=︒，则360105345DIE ∠=︒-︒⨯=︒．又260AOB C ∠=∠=︒，则AOB ∆为正三角形，于是1302AKB DAO ∠=︒+∠130()2BAC BAO =︒+∠-∠130(60)2BAC =︒+∠-︒12BAC =∠BAI BEI =∠=∠，从而，有AK IE ∥．注意到45DIE ∠=︒和正弦定理，设DIE ∆的外接圆半径为R ，则2sin 45DE R =⋅︒=，2cos45IO R =⋅︒．故IO DE =．解法2 ：如图，连AI 并延长交ABC ∆的外接圆于M ，连BI 、BD 、BO 、BM 和OA 、OM ．因为I 为ABC ∆的内心，知点M 平分BMC ，于是OM BA ⊥，且MOB BAC ∠=∠．由30C ∠=︒，知60AOB ∠=︒，从而AB OB OM ==．于是，DAB MOB ∆∆≌，MB BD =．又I 是内心，则MBI MBC CBI ∠=∠+∠ 1122BAC ABC =∠+∠=1(180)752C ︒-∠=︒．而M IB IAB IBA ∠=∠+∠ 1122CAB CBA =∠+∠=1(180)2C ︒-∠75=︒．从而M IB M BI ∠=∠，即MB MI =．又AD AB =，AI 平分DAB ∠，则AI DB ⊥，即IM BD ⊥．而OM BE ⊥，且OM BE =，则OMI ∠和EBD ∠的两对边分别垂直且相等．又两者都是锐角．因此OMI EBD ∆∆≌，且通过旋转90︒和平移可使三个三角形重合，故OI DE ⊥，且OI DE =．MA BCD EOI I OED CBA KABCD EOI最大最全最精的教育资源网【例09】设ABC ∆的内切圆O 切边BC 于点D ，过点D 作直径DE ，连接AE 并延长交BC 于点F ，求证 BF CD =．【解析】解法1：如图，令圆O 分别切AB 、AC 于点M 、N ．过点E 作GH BC ∥，分别交AB 、AC 于点G 、H ，则GH 切圆O 于点E ，且AGE ABF ∆∆∽，AGH ABC ∆∆∽．记AGH ∆与ABC ∆的周长分别为2'p 、2p ，则AG GE AG GM +=+AM AN =='AH HN AH HE p =+=+=于是'2'2p p AG p p AB =='GF AG GE p BF AB BF AB BF +===++ 即有p AB BF =+，故BF p AB CD =-=．解法2：设AB c =，AC b =，BC a =，则1()2BD b a b c +=++，∴1()2BD a c b =+-下面仅需证明1()2CF a c b =+-．为此，作1FI BC ⊥交2O 的延长线于DCB ∠，1I G AC ⊥于G ，即仅需证明1I 是ABC ∆旁切圆在A ∠内的旁心．事实上，由111I F AI I GIE AI IH==（H 是边F 与圆I 的切点）但IE IH =，可知11I F I G =，即1I 确是旁心，∴1()2CF a b c =+-，即BD CF =．F DCB HGI 1AB CDFEF D C B【例10】如图所示，C 、A 、B 、D 四点共线且CA AB BD ==，AB 为圆O 的直径，CT 切圆于点P ，求证CPA DPT ∠=∠．【解析】过P 点做圆O 的直径PE ，连接DE 、CE ，延长PA 交CE 于点F ．因为CO DO =，PO EO =，所以四边形CEDP 为平行四边形，TPD PCE ∠=∠．又90CPE ∠=︒，在Rt CPE ∆中，因为2CA AO =，所以A 为Rt CPE ∆的重心，所以PF 为Rt CPE ∆的斜边CE 上的中线，且CF PF =，即ECP CPA ∠=∠．所以CPA DPT ∠=∠．注重心的性质在解决某些问题时能起到重要的作用，它的逆命题也是成立的．本题就是用它的逆命题证得PF 是中线．由此想到思考某些问题时需要逆向思考．【例11】ABC ∆的外心为O ，AB AC =．D 是AB 的中点，E 是ACD ∆的重心，求证OE CD ⊥．【解析】依题意作图如下，连接DE 并延长，交AC 于点F ，则F 必为AC 中点，取BC 中点G ，连接AG ，则AG BC ⊥．连接OD ，则OD AB ⊥．连接FG 交CD 于点K ，连接CD 交AG 于点H ，可知H 为ABC ∆的重心．连接EH ．由E 是ACD ∆的重心可知2DE EF =． ∵AD BD =，AF CF =，BG CG = ∴DF BG CG ==∵DF BC ∥， ∴1DK DF DK CK CK CG==⇒=∵H 为ABC ∆的重心 ∴13DH CD = ∴2DH HK = ∴EH FG AB ∥∥∵OD AB ⊥ ∴OD EH ⊥ ∵AG BC ⊥，DF BC ∥∴点O 是DEH ∆的垂心故OE CD ⊥．FKHG E ODCBATE FAB C D P TO最大最全最精的教育资源网【例12】AB 为半圆O 的直径，两弦AF 、BE 相交于Q ，过E 、F 分别作半圆的切线得交点P ，求证PQ AB ⊥．PBAHKBA【解析】如图，延长EP 到K ，使PK PE =，连接KF 、AE 、EF 、BF ．直线PQ 交AB 于H ．因(901)(902)EQF AQB ∠=∠=︒-∠+︒-∠ABF BAE AFP BEP =∠+∠=∠+∠QFP QEP =∠+∠．又由PK PE PE K PFK ==⇒∠=∠，则()EQF K QFP QEP PFK ∠+∠=∠+∠+∠QFK QEK =∠+∠．由凸四边形内角和为360︒，则13601802EQF K ∠+∠=⨯︒=︒知E 、Q 、F 、K 四点共圆．又PK PE PF ==．则点P 必是EFK ∆之外心，即点P 是E 、Q 、F 、K 四点共圆的圆心，显然PQ PE PF ==于是111AQH PQF PFQ ∠+∠=∠+∠=∠+∠1190AFP ABF =∠+∠=∠+∠=︒ 由此可知，QH AH ⊥，即PQ AB ⊥．。

中考数学复习冲刺培优专练二次函数

中考数学复习冲刺培优专练二次函数1. 如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于点A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（－2,0），点C 的坐标为（0,6），对称轴为直线x ＝1．点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标为m （1＜m ＜4），连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线y ＝14x 2－x －3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为（4，－3）．（1）请直接写出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式;（2）若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为m （m ≥0），过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ．PM 与直线l 交于点N ，当点N 是线段PM 的三等分点时，求点P 的坐标;（3）若点Q 是y 轴上的点，且∠ADQ ＝45°，求点Q 的坐标．3. 如图，抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．直线122y x =-经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一动点，过点P 且垂直于x 轴的直线与直线BC 及x 轴分别交于点D 、M ．PN BC ⊥，垂足为N ．设(),0M m ．①点P 在抛物线上运动，若P 、D 、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m 的值；②当点P 在直线BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点P ，使PNC △与AOC △相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴的交点A(－3,0)和B(1,0)，与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AD ，DC ，CB ，将△OBC 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O ′B ′C ′，点O 、B 、C 的对应点分别为O ′、B ′、C ′，设平移时间为t 秒，当点O ′与点A 重合时停止移动，记△O ′B ′C ′与四边形AOCD 重合部分的面积为S ，请直接写出．．．．S 与t 之间的函数关系式；（3）如图2，过该抛物线上任意．．一点M （m ，n ）向直线l ：y ＝92作垂线，垂足为E ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得ME －MF ＝14？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx+c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线γ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx+c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM 12=S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b 12+AM+2DM 时，求b 的值．6. 如图1，在平面直角坐标系中，A （-2，-1），B （3，-1），以O 为圆心，OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ，连接AB ，BC ，过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ，D ，连接OB ，CD.图1 图2（1）求证：BC 是半圆O 的切线；（2）试判断四边形OBCD 的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D 且顶点为E ，①求此抛物线的解析式；②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点，以E ，D ，P 为顶点的三角形与△OAB 相似，问抛物线上是否存在一点Q ，使OAB EPQ S S ∆∆=？若存在，请直接写出Q 点的横坐标；若不存在，说明理由.7. 如图，抛物线25y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线2x =是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当4b ≥，02x ≤≤时，函数值y 的最大值满足315y ≤≤，求b 的取值范围．8. 如图所示，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．（1）求点C 及顶点M 的坐标．（2）若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN 求△BCN 面积的最大值及此时点N 的坐标．（3）若点D 是抛物线对称轴上的动点，点G 是抛物线上的动点，是否存在以点B 、C 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －6与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，OA ＝2，OB ＝4，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D 在x 轴的下方，当△BCD 的面积是29时，求△ABD 的面积；（3）在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，抛物线26y ax x c =-+交x 轴于, A B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-+经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 与直线BC 相交于点P ，连接,AC AP ，判定APC △的形状，并说明理由；（3）在直线BC 上是否存在点M ，使AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，抛物线L ：y ＝12x 2－54x －3与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ． (1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；(2)如图15(1)，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD ＋BD 的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图15(2)，将抛物线L ：y ＝12x 2－54x －3向右平移得到抛物线L ′，直线AB 与抛物线L ′交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L ′的解析式．12.如图，二次函数21()y a x m n =-+、226y ax n =+(0,0,0)a m n <>>的图像分别为1C 、2C ，1C 交y轴于点P ，点A 在1C 上，且位于y 轴右侧，直线PA 与2C 在y 轴左侧的交点为B ．（1）若P 点的坐标为()0,2，1C 的顶点坐标为()2,4，求a 的值；（2）设直线PA 与y 轴所夹的角为α．①当45α=︒，且A 为1C 的顶点时，求am 的值；②若90α=︒，试说明：当a 、m 、n 各自取不同的值时，PA PB的值不变；（3）若2PA PB =，试判断点A 是否为1C 的顶点？请说明理由．13.已知，图1，直线l 经过点(4,0) 且平行于 y 轴，二次函数 y =ax 2−2ax +c （a 、c 是常数，a <0 ）的图像经过点M(−1,1) ，交直线l 于点 N ，图像的顶点为 D ，它的对称轴与 x 轴交于点 C ，直线DM 、DN 分别与x 轴相交于 A 、B 两点．图15(2)图15(1)图#（1）当a=−1时，求点N的坐标及AC的值；BC的值是否发生变化？请说明理由；（2）随着a的变化，ACBC（3）如图2，E是x轴上位于点B右侧的点，BC=2BE，DE交抛物线于点F．若FB=FE，求此时的二次函数表达式．14. 在篮球比赛中，琪琪投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）当球运动到点C时被琪琪抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．①求OD的长．②琪琪抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友婷婷，目标为婷婷的接球点E（4，1.3）．琪琪起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与琪琪起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比琪琪晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与琪琪起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．琪琪的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．15. 如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m．队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m 的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m．即BA＝2.88m．这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底1.4）。

2013年中考数学压轴题真题分类汇编二次函数

2013年中考数学压轴题真题分类汇编：二次函数四、二次函数1．（北京）已知二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2( t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx ＋6的图象与二次函数的图象都经过点A （－3，m ），求m 和k 的值；（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移n （n ＞0）个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线y ＝kx ＋6向上平移n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．2．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋(m －2)x ＋3(m ＋1)．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有交点；（2）设抛物线与y 轴交于点C ，当抛物线与x 轴有两个交点A 、B （点A 在点B 的左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA 这两角中有一个角是钝角，求m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当△P AO 的面积与△ABC 的面积相等时，求该抛物线的解析式．3．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xO y 中，二次函数y ＝－13x 2＋bx ＋c 的图象经过点A （－1，1）和点B （2，2），该函数图象的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO ＝∠CBO ；（3）如果点P 在直线AB 上，且△POB 与△BCD 相似，求点P4．（安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a (x －6)2＋h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．5．（安徽某校自主招生）已知二次函数y ＝x2－2mx ＋1．记当x ＝c 时，相应的函数值为y c ，那么，是否存在实数m ，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a 、b ，总有y a ＋y b≥1．如果存在，求出实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．6．（浙江模拟）已知二次函数y ＝x2＋ax ＋a －2．（1）证明：不论a 取何值，抛物线y ＝x2＋ax ＋a －2的顶点P 总在x 轴的下方；（2）设抛物线y ＝x2＋ax ＋a －2与y 轴交于点C ，如果过点C 且平行于x 轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D ，问：△QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x 轴的交点之一为点A ，则能使△ACD 的面积等于14的抛物线有几条？请证明你的结论．7．（江苏镇江）对于二次函数y ＝x2－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4，把y ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点A （2，0）和抛物线E 上的点B （－1，n ），请完成下列任务：【尝试】（1）当t ＝2时，抛物线y ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)的顶点坐标为____________；（2）判断点A 是否在抛物线E 上；（3）求n 的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y ＝－3x2＋5x ＋2是二次函数y ＝x2－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB 为边作矩形ABCD ，使得其中一个顶点落在y 轴上，若抛物线E 经过A 、B 、C 、D 其中的三点，求出所有符合条件的t 的值．8．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xO y ，1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y y ＝kx －120(1＋k2)x2（k ＞0），其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．9．（江苏模拟）已知一次函数y ＝kx ＋b 与二次函数y ＝2ax2＋2mx ＋c （m 为整数）的图象交于A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）两点，二次函数y ＝2ax2＋2mx ＋c 和y ＝ax2＋mx ＋c －1的最小值的差为l ．（1）若一次函数y ＝kx ＋b 与二次函数y ＝ax2＋mx ＋c －1的图象交于C 、D 两点，求|CD |值．（2）问是否存在点P ，从点P 作一射线分别交两个二次函数的图象于M ，N ，使得PMPN为常数？若存在，求出点P 的坐标和该常数；若不存在，请说明理由． 10．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x 轴交于A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为C ，AC 且⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线解析式；（2）点Q 在直线y ＝kx ＋1上移动，O 为原点，当m ＝4时，直线上只存在一个点Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线解析式．11．（湖南娄底）已知二次函数y ＝x2－(m2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1 x 2＝1 2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2．①求k 的值；②当k ≤x≤k ＋2时，请结合函数图象确定y 的最大值与最大值． 13．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：（1）解方程x2－2x －3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x 的方程mx2＋(m －3)x －3＝0（m 为常数，且m ≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x 的函数y ＝mx2＋(m －3)x －3（m 为常数）．①求证：不论m 为何值，此函数的图象恒过x 轴、y 轴上的两个定点（设x 轴上的定点为A ，y 轴上的定点为C ）；②若m ≠0时，设此函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围；当△ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出m 的取值范围．请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．14．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx2＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1．（1）求证：n ＋4m ＝0；（2）求m 、n 的值；（3）当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 15．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝2x 和函数y 2＝－x ＋6，不论x 取何值，y 0都取y 1与y 2二者之中的较小值．（1）求y 0关于x 的函数关系式；（2）现有二次函数y ＝x2－8x ＋c ，若函数y 0和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y 0和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．Ox y。

初中中考数学三轮冲刺压轴题：二次函数

中考数学三轮冲刺压轴题：二次函数一、选择题1.二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a)，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.如图，二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③一元二次方程有两个不相等的实数根；④当或时，．上述结论中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.抛物线（a ，b ，c为常数，且）经过点和，且，当时，y随着x的增大而减小，有下列结论：①；②若点，点都在抛物线上，则；③．其中，正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知当时，二次函数的值恒大于1，则k的取值范围是（）A. k≥B. －≤k≤－C. －＜k＜0D. －≤k＜05.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C 运动，连结BM，CM，AN，DN，则在整个运动过程中，阴影部分面积和的大小变化情况是（）A. 不变B. 一直变大C. 先减小后增大D. 先增大后减小6.二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（）A. B. C. D.7.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点为(2，0).若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个8.已知二次函数y＝a(x－2)2＋c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2.若|x1－2|＞|x2－2|，下列表达式中正确的是( )A. y1＋y2＞0B. y1－y2＞0C. a(y1－y2)＞0D. a(y1＋y2)＞0二、填空题9.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+6x-8与x轴交于点A ，B（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C ．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3），若x1<x2<x3，记s=x1+x2+x3，则s的取值范围为________．10.如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于，过抛物线，顶点的直线与、、围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为________.11.“水晶晶南浔”的美食文化中以特有的双交面出名，盛面的瓷碗截面图如图1 所示，碗体DEC 呈抛物线状(碗体厚度不计)，点E 是抛物线的顶点，碗底高EF＝1cm，碗底宽AB＝2 cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD＝83cm，此时面汤最大深度EG＝6cm，将瓷碗绕点B 缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当LABK＝30 时停止，此时液面CH 到桌面的距离为________cm；碗内面汤的最大深度是________cm．12.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是________．13.已知抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点，是的中点．在抛物线上，关于直线的对称点为，关于点的对称点为．当时，线段的长随的增大而发生的变化是：________．（“变化”是指增减情况及相应的取值范围）14.如图，已知二次函数的图象与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线 .有以下结论：①，②，③若点和在该图象上，则，④设，是方程的两根，若，则 .其中正确的结论是________（填入正确结论的序号）.15.已知函数的图象与函数的图象恰好有四个交点，则的取值范围是________.16.如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，2的值总是正数；②；③当时，；④．其中正确结论是________．三、解答题17.在平面直角坐标系中，已知抛物线（m为常数）．（1）当抛物线的顶点在第二象限时，求m的取值范围．（2）当-2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且当x=1时y有最小值，求整数m 的值（3）当m=1时，点A是直线y=2上一点，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B ，以线段AB为边作正方形ABCD ，使CD与y轴在的AB的同侧．若点C落在抛物线上，求点A的横坐标．（4）已知EFG三个顶点的坐标分别为E(0，1)，F(0，-1)，G(2，1)．当抛物线与EFG的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．18.如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6相交于A( ，)和B(4，m)，直线AB交x轴于点E，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式.（2）连结AC、BC，是否存在一点P，使△ABC的面积等于14？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）若△PAC与△PDE相似，求点P的坐标.19.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B ，与y轴交于点C（0，﹣4），顶点为D ，其对称轴直线x＝1交x轴于点P ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，线段MN的两端点M ，N都在抛物线上（点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧），且MN＝4，求四边形PMDN面积的最大值和此时点N的坐标；（3）如图2，点Q是直线l：y＝kx+1上一点，当以Q ，A ，C ，B为顶点的四边形是平行四边形时，确定点Q的坐标和k的值．20.如图，抛物线与x轴交于A、B点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BCED，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P 作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CDMQ是平行四边形；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，抛物线与轴交于点A，与x轴正半轴交于点，点C在线段上，连接，过点B作交y轴于点E，点在线段上，且点M在点之间，．点分别是线段上的动点，当点P从点A匀速运动到点C时，点Q恰好从点M匀速运动到点N，设，已知．（1）求抛物线的对称轴；（2）求线段和的长；（3）连接，当直线经过的一个顶点时，请直接写出直线与抛物线对称轴交点的纵坐标．22.在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B ，经过点B的函数图象的一部分（自变量大于0）记为，将沿y轴对折，再向下平移两个单位长度得到的图象记为，图象合起来得到的图象记为G ．（1）若，则OB的长度为：________；（2）若，其中m是常数，①则图象的函数关系式为：▲；②点关于y轴对称且，当与线段恰好有一个公共点时，求m的取值范围；③设G在上最高点的纵坐标为，当时，直接写出m的取值范围．23.综合与实践如图1，抛物线y＝﹣x2﹣x+6与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ．（1）求直线AC的表达式；（2）点E在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设点P从点O出发以1个单位长度/秒的速度向终点A运动，同时点Q从点A出发以个单位长度/秒的速度向终点C运动，运动时间为t秒，当∠OPQ的平分线恰好经过OC的中点时，求t的值．24.综合与探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于点A和点B（点A在点B的左侧），交y轴于点C ．点P是线段OA上的一个动点，沿OA以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，过点P作DP⊥x轴，交抛物线于点D ，交直线AC于点E ，连接BE ．（1）求直线AC的表达式；（2）在点P运动过程中，运动时间为何值时，EC＝ED？（3）在点P运动过程中，△EBP的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.如图，已知点在抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）E在抛物线对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由.26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C.（1）直接写出抛物线的解析式为：________；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m.①求DF＋HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值.27.在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为点B，对称轴为直线，且对称轴与x轴交于点C．直线，经过点A，与线段交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）联结、．当的面积为3时，求直线的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D为y轴上的一点，联结、，当时，求的余切值．28.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴，y轴于A，C两点，二次函数的图象经过A，C两点，与x轴另一个交点是B．动点P从A点出发，沿以每秒2个单位长度的速度，向终点B运动，过点P 作于点D．（点P不与点A，B重合）作，边交射线于点Q．设P点运动时间为t．（1）求二次函数关系式；（2）设与重叠面积为S，求S与t之间函数关系；（3）拋物线上是否存在点M，使，若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题1. A2. C3. C4. A5. C6. D7. B8. C二、填空题9. 10<s< 10. 108 11. ；12. -15 13 当时，的长随的增大而减小；当时，的长随的增大而增大．14. ③④15. 16. ①④三、解答题17. （1）解：，顶点坐标为（，）．∵抛物线的顶点在第二象限∴可得，解得．（2）解：∵当-2≤x≤1时，y先随x的增大而增大，后随x的增大而减小，且抛物线对称轴x=m，∴-2＜m＜1当时，当时，∵当时，y有最小值，∴-m2+5m≤-m2-m-3，解得∴．∵m为整数，∴m=-1（3）解：当m=1时，，设点A的坐标为（a，2），则点B的坐标为（a，），∴或．∵或，∴或．解得，或，（不合题意，舍去）．综上，点A的横坐标为或或（4）或18. （1）解：∵B(4，m)在直线y＝x+2上，∴m＝4+2＝6，∴B(4，6)，∵A( ，)，B(4，6)在抛物线y＝ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6；（2）解：设动点P的坐标为(n，n+2)，则C点的坐标为(n，2n2﹣8n+6)，∵点P是线段AB上异于A、B的动点，∴，∴PC＝(n+2)﹣(2n2﹣8n+6)＝﹣2n2+9n﹣4，假设△ABC的面积等于14，则PC•(x B﹣x A)＝14，∴，即：2n2﹣9n+12＝0，∵△＝(-9)2﹣4×2×12＜0，∴一元二次方程无实数解，∴假设不成立，即：不存在一点P，使△ABC的面积等于14；（3）解：∵PC⊥x轴，∴∠PDE＝90°，∵△PAC与△PDE相似，∴△PAC也是直角三角形，①当P为直角顶点，则∠APC＝90°由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；②若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°.如图1，过点A( ，)作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝ .过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝，∴OM＝ON+MN＝+ ＝3，∴M(3，0).设直线AM的解析式为：y＝kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：或(与点A重合，舍去)，∴C(3，0)，即点C、M点重合.当x＝3时，y＝x+2＝5，∴P1(3，5)；③若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°.∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝2.如图2，作点A( ，)关于对称轴x＝2的对称点C，则点C在抛物线上，且C( ，).当x＝时，y＝x+2＝ .∴P2( ，).∵点P1(3，5)、P2( ，)均在线段AB上，∴综上所述，若△PAC与△PDE相似，点P的坐标为(3，5)或( ，).19. （1）解：由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）解：由抛物线解析式得点D坐标为（1，﹣），设四边形PMDN面积为S，则S＝S△PDM+S△PDN＝PD（x N﹣x M）＝（x N﹣x M），故当MN与轴平行时，此时MN＝4，S的面积最大，则S＝9，此时点M、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为3，当x＝3时，y＝x2﹣x﹣4＝﹣2.5，故点N的坐标为（3，﹣2.5）；（3）解：把y=0代入y＝x2﹣x﹣4得x2﹣x﹣4=0，解得：，∴点A（-2,0），点B（4,0）设点Q的坐标为（m，km+1），当AC为边时，如图1，点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点C，同样点B向右平移2个单位向下平移4个单位得到点Q，即解得，故点Q的坐标和k分别为（6，﹣4）、﹣；如图2，点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点C，同样点Q向右平移2个单位向下平移4个单位得到点B，即，解得，故点Q的坐标和k分别为（2，4）、1.5；当AC是对角线时，由中点公式得解得，故点Q的坐标和k分别为（﹣6，﹣4）、﹣；综上，点Q的坐标和k分别为（6，﹣4）、﹣或（2，4）、1.5或（﹣6，﹣4）、﹣．20. （1）解：当y=0时, ，解得∵点B在点A的右侧∴A（-2，0），B（8，0）当x=0时，y=﹣4∴C（0，﹣4）（2）解：由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则解得∴直线BD的解析式为∵l⊥x轴，当MQ=DC时，四边形CDMQ是平行四边形化简得：m2-4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m2=4时，四边形CDMQ是平行四边形．（3）解：若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如图所示：由勾股定理得：AD=∴△ABD为直角三角形即点A为所求的点Q．∴Q1（﹣2，0）③以点B为直角顶点．如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=﹣yOK=x，BK=8﹣x．易证△Q2KB∽△BOD，即整理得：y=2x﹣16∵点Q在抛物线上，解得x=6或x=8当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；当x=6时，y=﹣4.∴Q2（6，﹣4）综上所述，符合题意的点Q的坐标为（﹣2，0）或（6，﹣4）．21. （1）解：将，代入可得，抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为．（2）解：P在C点时，，，令，代入，即．的坐标为，在中，，，由勾股定理可知，，，，．（3）或22. （1）1（2）解：①；②由①得：的对称轴为，A点在第一象限，轴于点B，∴，由点关于y轴对称且，知：点的横坐标分别为4、-4，∵与线段只有一个公共点，且开口向下，则此点为的顶点，∵的顶点坐标为( ，)，∴，解得：(负值舍去)；当过点时，有，解得：，而G2与线段只有一个公共点时，，综上，与线段只有一个公共点时，或；③23. （1）解：令，得：，解得：，，，，令，得：，，∴直线AC的表达式：，（2）解：对称轴：，设，，，由两点间距离公式得：，，，∵A、C、E、F为矩形，∴A、C、E三点形成，①当时，∴，∴，解得：，，②当，∴，∴，解得：，，③当，∴，∴，解得：，，，，综上所述：、、、，（3）解：记OC中点D，作于点H ，过点C作AO平行线交PQ于点G，连接DG，如图所示：∵DP为角平分线∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，直线AC的表达式：，，设的解析式为：PQ的解析式为：，将点代入PQ得，，解得：，，经检验：，都是原方程的根，但不合题意，舍去，故24. （1）解：∵抛物线y＝﹣x2﹣3x+4与x轴分别交于A，B，交y轴于点C，∴当x＝0时，y＝4．∴C（0，4）．当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴A（﹣4，0），B（1，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴解得：∴直线AC的表达式为y＝x+4．（2）解：设点P的运动时间为t秒，∵点P以每秒1个单位长度的速度由点O向点A运动，∴OP＝t．∴P（﹣t，0）．∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4．∴Rt△AOC为等腰直角三角形．∴∠CAO＝∠ACO＝45°，AC＝OA＝4 ．∵DP⊥x轴，在Rt△APE中，∠CAP＝45°，∴AP＝PE＝4﹣t，AE＝AP＝（4﹣t）．∴EC＝AC﹣AE＝t．∵E，P的横坐标相同，∴E（﹣t，﹣t+4），D（﹣t，﹣t2+3t+4）．∴DE＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t．∵EC＝DE，∴﹣t2+4t＝t．解得：t＝0或t＝4﹣．∴当运动时间为0或（4﹣）秒时，EC＝ED．（3）解：存在．P的坐标为（﹣，0）．在Rt△AEP中，∠OAC＝45°，∴AP＝EP．∴△AEB的周长为EP+BP+BE＝AP+BP+BE＝AB+BE．∵AB＝5，∴当BE最小时，△AEB的周长最小．当BE⊥AC时，BE最小．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，∠BAC＝45°，AB＝5，BE⊥AC，∴PB＝AB＝．∴OP＝PB﹣OB＝．∴P（﹣，0）．25. （1）解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：（2）解：由（1）得，抛物线的对称轴为：；设点E（1，y）、点F（s，t），，当BC为边时，点C向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点B，同样E（F）向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），∴或，解得：，或故点F的坐标为：（，）或（，）；当BC为对角线时，由中点公式和BC=EF得：，解得：（舍去），或，故点F的坐标为（2，）或（2，2）；综上所述，点F的坐标为（，）或（，）或（2，）或（2，2）（3）解：存在；由点A、C的坐标知，∠CAB=45°=∠BQC，∴点Q在△ABC的外接圆上，即A、Q、B、C四点共圆，∵AB垂直于抛物线的对称轴，∴该圆的圆心E在抛物线的对称轴上，设点E的坐标为（1，m），由CE=BC得：12+（m 1）2=（1 3）2+m2，解得m= 1，故圆的半径为，则点Q的坐标为（1，）26. （1）（2）解：①当x=0时，=3.∴C(0，3)，又∵B(3，0)，所以直线BC的解析式为y=-x+3，∵OB=OC=3，∴∠OB C=∠OC B=45°过点F作FK⊥y轴于点K，如下图又∵FH⊥BC，∴∠KFH=∠K HF=45°，∴.FH= KF= OE∴DF+HF=DE-EF+ OE＝(-m2+2m+3) - (-m+3) + m＝－m2+ (3+ ) m,由题意得，0<m<3且又-1<0∴当m= 时，DF+HF取得最大值，DF+HF的最大值为：；②过点G作GM⊥y轴于点M,记直线FH与x轴交于点N, ∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠KFH=45°,∴∠EFH=∠ENF=45°,∴EF=EN,∵∠KHF= ∠ONH=45°,∴OH=ON,∵的对称轴为直线x=1,∴MG=1,∴HG= MG= ,∵∠GEH=45°,∴∠GEH=∠EFH,∵∠EHF=∠GHE,∴△EHG~△FHE,∴∴在Rt△OEH中，OH=ON=|OE-EN| =|OE-EF|＝｜m- (-m+3) |=|2m-3| 又OE=m,∴HE2=OE2+OH2,即2m=m2+ (2m-3) 2,解得：m=1或27. （1）解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，∴，∴∴抛物线表达式为；（2）解：把代入得y=4，∴抛物线顶点B坐标为，由的面积为3得,∴BE=2，∵点E在线段BC上，∴点E坐标为，把点和点代入得，∴，∴直线表达式为；（3）解：如图，①若，如图，则四边形为平行四边形：则点坐标为，连接，∴；②若与不平行，如图，则四边形为等腰梯形：作BF⊥y轴于F，则，∴点坐标为，连接，∴，综上所述，此时的余切值为或．28. （1）解：∵直线与x轴，y轴交于点A，C ∴，∵二次函数经过A，C两点∴解得∴二次函数关系式为：（2）解：在中，∴∵∴∴当点Q和点C重合时，，当时在中，，∴，当时，在中，，∴CE=CQ tan∠CQE，∴ 2 （t-1）∴∴（3）解：，∵∠OAC=30°，即∠BAC=30°,若M在第二象限，设M ，作MN⊥x轴于点N，如图，∴MN=- ，ON=-x，∴BN=ON+OB=1-x，在Rt△MNB中，tan∠ABM= ，即：解得：x=-2或x=1（舍去）当x=-2时，- =- ，∴M点的坐标为（-2，）；若M在第三象限，设M ，作M’N’⊥x轴于点N’，此时，M´N´=-（- ）= ，ON´=-x，BN´=1-x，∴tan∠ABM´= ，即，解得：（舍去），当x=-4时，- =- =- ；此时，M´（-4，）故M（-2，）或（-4，）．。

2013届中考数学考前热点冲刺《第14讲二次函数的图象与性质一》课件新人教版

第14讲┃ 考点聚焦考点2 二次函数的图象及画法
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是图象
2 b 4ac－b －， 2a 以______________为顶点，以直线 4a
用描点法画二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的步骤
b x＝－ ________为对称轴的抛物线 2a y＝a(x－h)2＋k (1)用配方法化成____________的形式； (2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
第14讲┃ 归类示例
解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1. (2)由(1)知图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－ 1)，列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 3 … 描点作图如下图．
(3)y1>y2， (4)如图，点C、D的横坐标x3、x4即为方程x2－4x＋3＝2 的根．
第14讲┃二次函数的图象与性质(一)
第14讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的概念
定义二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的结构特征
y＝ax2＋bx＋c 一般地，如果______________(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是2; ②二次项系数a≠0
第14讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一二次函数的定义
命题角度：二次函数的概念．
若 y＝(m＋1)xm2 A．7 B．－1
－ 6m－5
是二次函数， m＝则 D．以上都不对
( A )
C．－1 或 7
[解析] 让x的次数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．由题意得：m2－6m－5＝2，且m＋1≠0. 解得m＝7或－1，且m≠－1， ∴m＝7，故选A.

2013年全国各地中考数学二次函数压轴题1[1]

2012年中考二次函数（一）一．解答题（共30小题）1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．2．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．1 / 615．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m、n的值；（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．7．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？8．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2012•盐城）知识迁移当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=_________时，y1+y2取得最小值为_________．变形应用已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？17．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．18．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．19．（2012•湘潭）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．20．（2012•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O 出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．21．（2012•武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？22．（2012•武汉）如图1，点A为抛物线C1：y=x2﹣2的顶点，点B的坐标为（1，0）直线AB交抛物线C1于另一点C（1）求点C的坐标；（2）如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE=4：3，求a的值；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N．NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．23．（2012•无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？24．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．25．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．26．（2012•潍坊）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣1）三点，过坐标原点O 的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，﹣2）作平行于x轴的直线l1、l2．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．27．（2012•天门）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．28．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．29．（2012•泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．30．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．，﹣2）∴解得：x，=﹣，﹣3+2，=x（x332．（2012•资阳）抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．x（a，aaa（a∴=PB=PG==，（﹣（﹣k=y=，解方程+x+2=x+，y=）3．（2012•珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．，则一次函数解析式为4．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．）∵b=+ABO==，×﹣t+2tx5．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4），将（（得：解得：•x+）x﹣=5x＜=0t=，∵6．（2012•肇庆）已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m、n的值；（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．x==2，；CAO==，CBO==．，即﹣化简得：代入得：=．，，，xx解析式得到：x+x+3=7．（2012•湛江）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A 的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？t=5=﹣x﹣xt BAO=t=××（t BAO=ttNM=；AN=时，==6，即：t=t=t t=或或8．（2012•张家界）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．+﹣=2（﹣，222x+22OA=2OD=OA=2点的横坐标为，纵坐标为（y=，∴．AQ=t AQ=2﹣•﹣t﹣）；依题意，得t=2时，有最大值为9．（2012•云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．y=y=∴．x x+2x+2，∴，（y=x+2x+2 x x+2=x+2，（，，BD==MD=﹣轴，∴，MD=﹣∴，即m+=）=，BM==∴，即，），（（，），10．（2012•岳阳）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．xx﹣y=x EBO=≠：=，=（﹣（（﹣x+bx+b=x（，﹣：的距离：=x+b=x（﹣，：的距离：=，）=×d=11．（2012•益阳）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）（∴；解得：，，两点的坐标分别为（（=12．（2012•义乌市）如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？的长度之比转化为相似三角形的相似比，即的表达式（）；∴在抛物线和直线上不同位置时，同理可得OA=∴，∴，（，∴∴∴得∴∴（顶点为（）时，OE=x=时，任取一个时，时，13．（2012•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？，，∴的坐标是（﹣，的坐标是（，，，∴（）﹣﹣3，4﹣ax+3）4+3a+，14．（2012•宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．PB ABx=PA=BD=315．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．，解得：，解得：=1±，，﹣16．（2012•盐城）知识迁移当a＞0且x＞0时，因为，所以x﹣+≥0，从而x+≥（当x=）是取等号）．记函数y=x+（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．直接应用已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．变形应用已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？变形运用：先得出y=x+（x=（=的最小值为：=4=4的最小值为故平均每千米的运输成本为：=0.001x++1.6=0.001x+0.001x=取得最小，此时≥+1.6=1201.617．（2012•盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q．（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣+2t．现以线段OP为直径作⊙C．①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．。

2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：3.3.2二次函数pdf版

上一动点（端点除外），过点犘作犘交犅连犇∥犃犆，犆于点犇，结犆犘．（）求该抛物线的解析式；１ ① 写出二次函数犔２与二次函数犔１有关图象的两条相同２（）当动点犘运动到何处时，的性质；犅犘＝犅犇·犅犆．２问线段犈８犽与抛物线犔２交于犈、犉两点，犉 ②若直线狔＝的长度是否发生变化？如果不会，请求出犈犉的长度；如果会，请说明理由．（第１２题）（第１０题）３２ ·广东）如图，抛物线狔＝１狓１１．（２０１２－狓－９与狓轴交于２２２ ·广东汕头）已知抛物线狔＝１狓３．（２０１１＋狓＋犮与狓轴没有与狔轴交于点犆，连结犅犃、犅两点，犆、犃犆．１２（）求犃交点．犅和犗犆的长；１（）点从点出发，沿轴向点运动（点与点、不（）求犮的取值范围；２犈犃狓犅犈犃犅１重合），过点犈作直线设犃交犃并说明理由．（）试确定直线狔＝犾平行犅犆，犆于点犇．犈的犮狓＋１经过的象限，２长为犿，的面积为，求关于的函数关系式，犇犈犛犛犿 △犃并写出自变量犿的取值范围．（第１１题）
化范围是（．）
２２ ·四川乐山）二次函数狔＝（ · 广西北海）二次函数狔＝狓）的图象的６１．（２０１２犪狓＋犫狓＋１犪≠ ．（２０１２－４狓＋５的顶点坐标为０顶点在第一象限，且过点（，）设狋，则狋值的变－１０．＝犪＋犫＋１．

中考数学三轮复习冲刺专题训练解析版-二次函数与动点的综合

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．
【答案】(1)点C的坐标为(2，3+2 )；(2)OA＝3 ；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD＝．
【解析】
【分析】
(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝ CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝ AD＝3，从而得出点C坐标；
8.（2019-2020年湖北省模拟数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点 P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
(1)求出该二次函数的表达式及点的坐标；
(2)若Rt△AOC沿轴向右平移，使其直角边与对称轴重合，再沿对称轴向上平移到点与点重合，得到，求此时与矩形重叠部分图形的面积；
(3)若Rt△AO C沿轴向右平移个单位长度( )得到，与重叠部分图形的面积记为，求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
①若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
②取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
6．（广东2019年中考模拟数学试题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）。