湖南省2020届高三上学期期末统测 数学(理)试题-含答案

设该数列为 ，令 ，设 的前 项和为 ，又令 ，设 的前 项和为 .
易 ， ，进而得 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．在三棱锥 中， ，且 分别是棱 ， 的中点，下面四个结论：
（1）完成下列 列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；
生二孩
不生二孩
合计
头胎为女孩
60
头胎为男孩
合计
200
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数 的分布列及数学期望.
10．已知函数 是偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先根据函数的奇偶性，求得当 时， 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程.
【详解】
因为 ， ， ， ， ，所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.
A．16B．10C．12D．8
【答案】C
【解析】根据圆的几何性质，结合抛物线的定义，根据 到准线的距离，求得 .
【详解】
因为 三点共线，所以 为圆 的直径， .由抛物线定义知 ，所以 .因为 到准线的距离为6，所以 .
故选：C
【点睛】
本小题主要考查圆的几何性质，考查抛物线的定义和几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
附：
0.15
0.05
0.01
0.001
2.072
3.841
6.635
10.828
（其中 ）.
【答案】（1）见解析，有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.（2）分布列见解析，
【解析】（1）根据题目所给数据，计算并填写出 列联表，计算出 的值，由此判断出有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注： ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D． ，则
【答案】C
【解析】根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.
【详解】
A选项中， 可能异面；B选项中， 也可能平行或相交；D选项中，只有 相交才可推出 .C选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直.
故选：C
【点睛】
（2）利用超几何分布分布列和数学期望计算公式，计算出所求 的分布列及数学期望.
【详解】
（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为 .
因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为 .
列联表如下：
生二孩
不生二孩
合计
头胎为女孩
60
40
100
头胎为男孩
45
55
10
合计
105
95
200
【解析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得
【详解】
，故 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
3．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用“ 分段法”比较出 三者的大小关系.
【详解】
因为 ， ， ，所以 .ห้องสมุดไป่ตู้
故选：C
【点睛】
本小题主要考查指数、对数比较大小，属于基础题.
17．在 中， 分别是角 的对边，且 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 的值，进而求得 的值.
（2）利用余弦定理列方程，由此求得 ，再利用三角形的面积公式求得三角形 的面积.
【详解】
（1）因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题.
7．若执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据程序框图运行所计算的 的表达式，结合对数运算，求得输出的 的值.
【详解】
运行程序框图中的程序，可得 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，考查对数运算，属于基础题.
（2）三棱锥 的体积最大时，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证得 平面 ，由此证得 ，根据圆的几何性质证得 ，由此证得 平面 .
（2）判断出三棱锥 的体积最大时 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面 和平面 的法向量，计算出二面角 的余弦值.
【详解】
故选：D
【点睛】
本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
二、填空题
13．已知数列 是等比数列， ，则 __________.
【答案】
【解析】根据等比数列通项公式，首先求得 ，然后求得 .
【详解】
设 的公比为 ，由 ，得 ，故 .
① ；
② 平面 ；
③三棱锥 的体积的最大值为 ；
④ 与 一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是（）
A．①②③B．②③④C．①④D．①②④
【答案】D
【解析】①通过证明 平面 ，证得 ；②通过证明 ，证得 平面 ；③求得三棱锥 体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得 与 一定不垂直.
【详解】
设 的中点为 ，连接 ，则 ， ，又 ，所以 平面 ，所以 ，故①正确；因为 ，所以 平面 ，故②正确；当平面 与平面 垂直时， 最大，最大值为 ，故③错误；若 与 垂直，又因为 ，所以 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以 ，因为 ，所以显然 与 不可能垂直，故④正确.
【详解】
设椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ， ，由正弦定理得 .∵ ，∴ ，∴ .∵ ， ，∴ ，∴ .又∵ ， ，两边除以 并化简得 ，∴ .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查椭圆和双曲线的定义，考查双曲线离心率的求法，考查正弦定理进行边角互化，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
三、解答题
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ，
所以 .
由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
19．生男生女都一样，女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.
【详解】
（1）证明：由题意知 ，设 ，则 .
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立可得 ， ，即 的坐标为 .
因为 ，
所以 点恒在椭圆 上.
（2）解：当直线 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线 的方程为 ，由对称性可知，若平面内存在定点 ，使得 恒成立，则 一定在 轴上，故设 ，
湖南省2020届高三上学期期末统测
数学（理）试题
一、单选题
1．设集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求函数定义域求得集合 ，由此求得 .
【详解】
因为 ，所以 .
故选：A
【点睛】
本小题主要考查集合交集、补集的概念和运算，属于基础题.
2．已知复数 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
4．函数 的最小正周期为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用降次公式化简 表达式，再由此求得最小正周期.
【详解】
因为 ，所以最小正周期为 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.
5．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）
15． 展开式中常数项为______.
【答案】
【解析】求得二项展开式的通项，令 ，解得 ，代入即可得到展开式的常数项．
【详解】
由题意，二项展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 ．
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．已知函数 ，且满足 ，则 （）
A．29B．5C．3D．11
【答案】D
【解析】根据 求得 的对称轴，也即求得 的值，从而求得 的值.
【详解】
因为 ，所以 的图象关于 对称，所以 .
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数图像的对称性，考查函数值的求法，属于基础题.
9．已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一点且在第一象限，以 为圆心， 为半径的圆交 的准线于 ， 两点，且 三点共线，则 （）
（1）证明：因为平面 平面 是正方形，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为点 在以 为直径的半圆弧上，所以 .
又 ，所以 平面 .
（2）解：显然，当点 位于 的中点时， 的面积最大，三棱锥 的体积也最大.
不妨设 ，记 中点为 ，
以 为原点，分别以 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
16．双曲线 与椭圆 有相同的焦点，且左、右焦点分别为 ，它们在第一象限的交点为 ，若 ，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为____________.
【答案】
【解析】利用正弦定理求得 ，利用椭圆和双曲线的定义求得 ，进而由 列方程，并转化为含有双曲线离心率 的方程，由此求得双曲线的离心率.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.
14．已知向量 ， 的夹角为 ，则 __________.
【答案】
【解析】利用两个向量夹角计算公式，求得 的值，再根据同角三角函数的基本关系式求得 的值.
【详解】
依题意 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查向量夹角的坐标运算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
20．已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 为该椭圆的一条垂直于 轴的动弦，直线 与 轴交于点 ，直线 与直线 的交点为 .
（1）证明：点 恒在椭圆 上.
（2）设直线 与椭圆 只有一个公共点 ，直线 与直线 相交于点 ，在平面内是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析（2）存在，
【解析】（1）根据题意求得 的坐标，设出 的坐标，求得直线 的方程，由此求得 的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到 ，由此判断出 恒在椭圆 上.
（2）首先判断直线 的斜率是否存在.然后当直线 斜率存在时，设出直线 的方程 ，判断出 的位置并设出 的坐标.联立直线 的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得 的关系式，进而求得 的坐标，结合 点坐标以及 ，利用 列方程，结合等式恒成立求得 的坐标.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
骰子向上为6点的概率为 ，硬币向上为正面的概率为 ，故所求事件的概率为 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
6．设 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）
（2）由余弦定理得 .
因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
所以 的面积为 .
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.
18．如图， 是正方形，点 在以 为直径的半圆弧上（ 不与 ， 重合）， 为线段 的中点，现将正方形 沿 折起，使得平面 平面 .
（1）证明： 平面 .
A．1624B．1024C．1198D．1560
【答案】B
【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列 的通项公式和前 项和，利用累加法求得数列 的通项公式，进而求得 .
【详解】
依题意
：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
：1，2，3，4，5，……
，
故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.
（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则 的可能取值为1，2，3，4.
；
；
；
.
的分布列为
1
2
3
4
.
【点睛】
本小题主要考查 列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列和数学期望的计算，属于基础题.