【精品推荐】高中数学北师大版必修二课后训练1.1.1 简单旋转体 Word版含答案
北师大版数学高一必修二练习简单旋转体
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体一、基础过关1．下列说法正确的是() A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线2．下列说法正确的是() A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4 ) D．(1)(5) 4．下图是由哪个平面图形旋转得到的()5．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．6．描述下列几何体的结构特征．7. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．二、能力提升8．下列说法正确的个数是()①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行．A．0 B．1 C．2 D．3 9．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()10．已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？三、探究与拓展12. 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．答案1．C 2．D 3．D 4．D 5．圆锥6．解 图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体．7．解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．8．A 9．B 10.π611．解 假设直角三角形ABC 中，∠C ＝90°.以AC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所示．当以BC 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示． 当以AB 边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示． 12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt △OPA 与Rt △OQB 相似，得OA OA ＋AB ＝510，可求得OA ＝20 cm.设∠BOB ′＝α，由扇形弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等，而底面圆Q 的周长为2π×10 cm.扇形OBB ′的半径为OA ＋AB ＝20＋20＝40(cm)，扇形OBB ′所在圆的周长为2π×40＝80π(cm)．所以扇形弧BB ′的长度20π为所在圆周长的14.所以OB ⊥OB ′.所以在Rt △B ′OM 中，B ′M 2＝402＋302，所以B ′M＝50 cm ，即所求绳长的最小值为50 cm.。
北师大版高中数学必修二教师用书：1-1-1 简单旋转体
1．1简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．()(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．()(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ()(4)圆柱的任意两条母线相互平行．()(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．()[★答案☆](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引]根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析]①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[★答案☆]①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1]下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[★答案☆]C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析]如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[★答案☆]91．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[★答案☆]D2．下列命题正确的个数为()①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有()A．一条B．两条C．三条D．无数[解析]经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[★答案☆]D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析]圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[★答案☆]②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以★答案☆选B.[★答案☆] B2．下列说法不正确的是( )A ．圆柱的侧面展开图是一个矩形B ．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C ．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D ．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．[★答案☆] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[★答案☆] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.[★答案☆] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[★答案☆] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析]作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r＝1.[★答案☆]17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.[★答案☆]228．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析]球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．[★答案☆]①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.[解]设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R ＝6，∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B ．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C ．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D ．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C 正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B 、D 都不正确．故选C.[★答案☆] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．[★答案☆]C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[★答案☆]B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3， 所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[★答案☆] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
北师大版高中数学必修二课后训练1.1.1简单旋转体.docx
课后训练1．关于下列几何体，说法正确的是( )．A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的( )．3．矩形ABCD(不是正方形)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．44．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是( )．5．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为( )．A．13 B．12C．5 D．246．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面面积为__________．7．已知四边形ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且AB＞CD，绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体是由________和________所构成的组合体．8．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是36π cm2，求球心与截面圆圆心的距离．9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．参考答案1答案：D 解析：图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2答案：A 解析：B 旋转后为两共底的圆锥；C 旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D 旋转后为两圆锥与一圆柱．3答案：B 解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．4答案：B 解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．5答案：C 解析：如图所示，d =.6答案：20 解析：圆柱的轴截面面积为l ×2r ＝5×2×2＝20.7答案：两个一样的圆锥 一个圆柱解析：根据旋转体的定义可知，该组合体是由两个一样的圆锥和一个圆柱拼接而成的． 8答案：解：设截面圆的半径为r cm ，球心与截面圆圆心的距离为d cm ，球的半径为Rcm.由已知得，πr 2＝36π，∴r ＝6(cm)．又∵R ＝10(cm)，∴d ==8(cm)．∴球心与截面圆圆心的距离为8 cm.9答案：解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．因为圆台上底面面积为4π cm 2，所以上底面半径为2 cm.又因为圆台下底面面积为25π cm 2，所以下底面半径为5 cm ，所以高为AM =．(2)延长BA ，CD 相交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，因为Rt△SAO 1∽Rt△SBO ， 所以1AO SA SB BO =，即1225l l -=， 解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。
高中数学必修二北师大版学案1.1 简单的旋转体(学生版)
课题：简单的旋转体☆学生版☆学习目标.能根据几何结构特征对空间物体进行分类.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.学习重点：感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征.学习难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括..学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习问题：这些图形具有什么样的几何结构特征？你能对他们进行分类吗？问题；简单旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.（）球的旋转定义:（）球的集合定义:.注意! 球体与球面的区别：球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面.球(即球体):球面所围成的几何体,它包括球面和球面所包围的空间问题；球的有关概念:①半圆的圆心叫做球心.一个球用它的球心字母来表示, 球.②连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的（线段).③连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的（线段).（）圆柱、圆锥、圆台的定义.三、合作探究★探究一：判断正误：（对的打√,错的打×.）.半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球. （）.在空间,到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球.（）.球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面. （）.经过球面上不同的两点只能作一个大圆（）.球半径是,截面圆半径为,则球心到截面圆所在平面的距离为（）.★★探究二：已知一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为°，求该圆锥的高．四、课堂检测.给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是( )．．．．．下列几何体中，轴截面是圆面的是( )．圆柱．圆锥．球．圆台。
北师大必修二课本习题
第一章立体几何初步第一节简单几何体1.1简单旋转体1.2简单多面体练习1.球、圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是什么图形？2.斜棱柱的侧面中可能有矩形吗？3.图中的几何体是不是棱台？习题1—1A组1.底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？2.探索长方体棱长和对角线长的关系。
3.举出生活中的球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的实例。
B组1.用厚纸做一个正四棱锥的模型。
2.用两个截面将三棱柱分成三个三棱锥。
例1、画水平放置的正六边形的直观图。
例2、画正五棱锥的直观图。
练习1.画水平放置的正方形和正三角形的直观图。
2.画出长、宽、高分别为6cm，4cm，3cm的长方体的直观图。
3.画圆柱的直观图。
习题1—2A组1.画水平放置的等腰梯形和平行四边形的直观图。
2.画出底面边长为4cm，高为5cm的正四棱锥的直观图。
3.画一个底面边长为3cm，高为4.5cm的正三棱柱的直观图。
4.画出上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为4cm的正四棱台的直观图。
B组观察你周围的建筑物，选择一个简单的，画出它的直观图。
3.1 简单组合体的三视图例1、螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图。
例2、如图，是截去一个角的长方体，画出它的三视图。
例3、画出如图所示组合体的三视图。
例4、如图，是物体的实物图，在四个选项中有一个是它的俯视图，请指出是哪一个。
主视左视俯视ABC主视俯视 左视AB例5、在下图中图②是图①中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后分别画出它们的左视图。
练习1.判断以下物体的主视图和俯视图有无错误，如果有错，请改正，并分别画出它们的左视图。
2.标出下列几何体的视图方向，并画出它们的三视图。
②俯视图主视图①①俯视图 主视图②主视图俯视图3.2由三视图还原成实物图例6、如图是4个三视图和4个实物图，请将三视图和实物图正确配对。
例7、根据三视图想象物体原型，并画出物体的实物草图。
2019-2020年北师大版数学必修二：第1章+§1+1.1+1.2+简单几何体及答案
§1 简单几何体 1．1 简单旋转体 1．2 简单多面体1．两个平面平行及直线与平面垂直的概念(1)两个平面平行：称无公共点的两个平面是平行的．(2)直线与平面垂直：直线与平面内的任意一条直线都垂直，称为直线与平面垂直．2．简单的旋转体(1)定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)球、圆柱、圆锥、圆台的概念及比较：思考1：(1)圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？(2)过旋转体的轴的截面叫作轴截面，那么圆锥的轴截面是什么图形？(3)圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？(4)球能否由圆面旋转而成？提示：(1)圆柱的母线有无数条；它们之间相互平行．(2)等腰三角形．(3)一定．由于圆台可认为是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交．(4)能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周所形成的旋转体即为球．3．简单的多面体(1)简单多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征思考2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？提示：不是．如图所示的几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱．1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①⑤B．①C．③④D．①④[答案] D2．长方体相对的两个侧面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定A[根据两个平面平行的定义可知长方体相对的两个侧面平行，故选A.]3．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆面绕定直线旋转形成球体C．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的D[直线与定直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误；半圆面以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B错误；矩形绕对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故C错误，所以应选D.]4．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫作侧棱．①③[由棱柱的概念知①③正确．②④错误．(1)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的几何体是圆台；(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；(4)圆面绕它的任一直径所在直线旋转一周形成的几何体是球．A．0个B．1个C．2个D．3个B[(1)应以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故(1)错；(2)以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故(2)错；(3)用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故(3)错；(4)正确．]1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定直线旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．1．下列说法正确的是________．①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；③在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球．②[①错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．②正确．③错．应为球面．]①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱柱的侧面一定是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．②③④ [①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱柱的侧面是对边平行的四边形； ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．]判断棱柱、棱锥、棱台形状的两个方法： (1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱柱、棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：2．给出下列几个结论：①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； ②多面体至少有四个面；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点． 其中，错误的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个A [①正确；对于②，一个图形要成为空间几何体，它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，故这样的面必是三角形，所以②是正确的；对于③，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，所以③是正确的．]1．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？提示：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．2．若知道空间几何体表面上两点，如何求两点间最短的表面距离？提示：在几何体的表面上求两点间的最短表面距离问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理．3．六棱锥P-ABCDEF的底面是边长为1 m的正六边形，侧棱长为2 m，M为P A的中点，从D点拉一条绳子，沿锥体侧面(不经过底面)到达M点．分组讨论，在什么情况下，绳子最短？提示：制作这样一个六棱锥观察实验，不难发现，当去掉底面，沿侧棱P A剪开，铺平后，两点D，M之间的距离即为最短绳长．【例3】如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？[思路探究]将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最短求解．[解]把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.将例3中的圆柱体变为长方体如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，求沿着长方体的表面从A到C1的最短距离．[解]将长方体相邻两个面展开，比较三个展开图，图①中AC1＝26，图②中AC1＝32，图③中AC1＝25，∴从A到C1的最短距离为3 2.在几何体的表面上求连接两点的曲线长的最短问题，常转化为求其展开图中相应的线段长，即用“化曲为直”的方法转化为平面问题来处理.1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．3．球面、球体的区别和联系1．思考辨析(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．()(3)棱柱的侧面都是平行四边形．()(4)棱锥的侧面都是三角形．() [解析](1)×，若绕直角三角形斜边旋转得到的是两个同底圆锥．(2)×，两个截面与圆柱底面不平行时就不是圆柱．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④D[依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．] 3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台C[无论用怎样的平面去截球，截面一定是圆面，其他三个旋转体截面则不一定是圆面．]4．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．3，2[设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.]5．如图所示为长方体ABCD-A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′，C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．[解]截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′-CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′-DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．。
高中数学 第一章1.1.1 简单旋转体目标导学 北师大版必
1．1 简单旋转体学习目标重点难点1.通过实物操作，增强学生的直观感知．2．能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类．3．会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．4．会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.重点：感受大量空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括与简单计算．疑点：一个平面截圆锥就得到圆台，对吗？1．球面、球体(球)以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．预习交流1根据“球”的定义，乒乓球是“球”吗？提示：教学中的球，是球体的简称，它包括球面及所围成的空间部分，所以生活中的乒乓球不是教学中的球，而是球面．2．旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体．3．圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．预习交流2怎样判断旋转体的形状？提示：判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．预习交流3一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°将得到什么几何体？提示：如图①和图②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥；如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥．1．对简单旋转体的理解下列叙述正确的个数是( )．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：本题①②为已知旋转轴判断旋转所得的几何体；③是判断旋转体的底面与截面．解答时可先根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征详细分析，再结合已知的各个命题的具体条件进行具体分析．解析：①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图①，故①错；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图②，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错．故选A.答案：A1．有下列命题，其中正确的是( )．①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的A．①②B．②③C．①③D．②④答案：D2．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是______．答案：①②对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．2．简单旋转体中有关量的计算圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．思路分析：解有关圆台问题时，常常将其补成圆锥解决，作出圆锥的轴截面利用直角三角形可解．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图，∠ASO ＝30°，在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin 30°，∴SA ′＝2r .在Rt △SAO 中，2rSA＝sin 30°，∴SA ＝4r ，∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r＝2a ，r ＝a ，∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2，∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.1．用一个平面截半径为5 cm的球，球心到截面距离为4 cm，求截面圆的面积．解：如图，设AK为截面圆的半径，则OK⊥AK.在Rt△OAK中，OA＝5 cm，OK＝4 cm，∴AK＝OA2－OK2＝52－42＝3(cm)，∴截面圆的面积为π·AK2＝9π(cm2)．2．将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积．解：设圆柱底面半径为r，则2πr＝a，r＝a2π，故轴截面的长为a，宽为aπ，面积为aπ·a＝a2π.1.计算简单旋转体中有关量的解题步骤：2．解有关球的问题时，常用如下性质：(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．(2)如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2＝r2＋d2.球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形．1．以下几何体中符合球的结构特征的是( )．A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球解析：球包括球面及球体内部(即实心)，足球、篮球、乒乓球通常指球面，铅球才是球体．答案：D2．将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )．答案：C3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )．A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案：B4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．答案：圆台5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．解：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.。
2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章 1.1简单旋转体
[学业水平训练]1.如图所示的平面结构，绕中间轴旋转180°，所形成几何体的形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B.由于外面圆旋转成球体，而中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B.2．如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的，则这个平面图形是( ) 解析：选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A 中的平面图形，绕着轴线旋转才可形成图1的几何体，故选A.3.下列命题中错误的是( )A ．以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱B ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥C ．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥D ．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥解析：选B.“绕直角三角形的一边”没有强调是“直角边”，故旋转后得到的不一定是圆锥．4.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )A ．4B ．3 2C ．2 3D ．2 6解析：选D.圆台的母线长l 、高h 和上、下两底面圆的半径r ，R 满足关系式l 2＝h 2＋(R －r )2，求得h ＝26，即两底面之间的距离为2 6.5.圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为5 cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短路线长为( )A ．10 cmB.52 π2＋4 cm C ．5 2 cm D ．5π2＋1 cm解析：选B.如图①所示，四边形ABCD 是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm ，设圆柱的底面圆半径为r ，则r ＝52cm. 所以底面圆的周长为l ＝2πr ＝5π(cm)．将圆柱的侧面沿母线AD 剪开后平放在一个平面内，如图②所示，则从A 到C 的最短路线长即为图中AC 的长．由于AB ＝l 2＝5π2cm ，BC ＝AD ＝5 cm ，则AC＝25π24＋25＝52π2＋4(cm)．故选B.6.如图所示的是某单位公章，这个几何体是由简单几何体中的__________组成的．解析：最上部为半球体，中间为圆柱，最下部为圆台．答案：半球、圆柱、圆台7.给出下列说法：①圆柱的底面是圆面．②圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交，也可能不相交．其中说法正确的是________．解析：①正确，圆柱的底面是圆面．②正确，如图所示，任意两条母线所在的直线互相平行．③不正确，圆台的母线延长后相交于一点．答案：①②8.已知A，B，C是球O表面上的三点，弦(连接球面上两点的线段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC＝30 cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球的半径的一半，则球的半径为________ cm.解析：设球的半径为R，因为AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，其外接圆的半径r＝302＝15.由已知得R2－(R2)2＝152，解得R＝10 3 cm.答案：10 39.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：作出圆台的轴截面如图，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′，交OO′的延长线于点S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，∴SO′＝A′O′＝x cm，SO＝AO＝3x cm，∴OO′＝2x cm.又S轴截面＝12(6x＋2x)2x＝392，∴x＝7.综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝2OO′＝14 2 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.10.在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49πcm2，400πcm2，求此球的半径．解：若截面位于球心的同侧，如图①所示，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm，由πr21＝49 π，得r1＝7，由πr2＝400π，得r ＝20，在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9.即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25.若球心在两截面之间，如图②所示，OC1＝R2－49，OC＝R2－400，由题意知OC1＋OC＝9.即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，两边平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.[高考水平训练]1.有下列几种说法：①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．其中正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.由圆柱的定义知①②均正确，③不一定围成圆柱．2.湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为8 cm 的空穴，则这个球的半径为________ cm.解析：截面图如图所示，设球心为O，冰面圆的圆心为O1，球的半径为R，由图知OB＝R cm，O1B＝12AB＝12 cm，OO1＝OC－O1C＝R－8，在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122，解得R＝13.答案：133.如图，底面直径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁．现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝π×1＝π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋π2.即蚂蚁爬行的最短距离为4＋π2.4．用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，过这个圆柱的轴作一个轴截面，求这个轴截面的面积．解：设圆柱母线长为l，底面半径为r，则轴截面的面积S＝l·2r＝2lr，当l＝4 cm时，2πr＝8 cm，即r＝4πcm，；此时S＝2lr＝32πcm2当l＝8 cm时，2πr＝4 cm，即r＝2πcm，此时S＝2lr＝32πcm2，综上可知，所得圆柱的轴截面积为32πcm2.。
高中数学北师大版必修2同步练习：1.1.1 简单旋转体(含答案解析)
1．1简单旋转体时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．如图所示，其中为圆柱体的是()答案：C解析：B、D不是旋转体，首先被排除．又A不符合圆柱体的定义，只有C符合，所以选C.2．下列几何体中，轴截面是圆面的是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台答案：C解析：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，故选C.3．给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，若以斜边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是由两个圆锥组成的组合体，故①错误；以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台，以其他的边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体不是圆台，②错误；③④是正确的．4．给出下列几种说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱任意两条母线互相平行．其中不正确说法的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：A解析：根据圆柱的形成过程知①说法正确；圆柱的任意两条母线均是平行的，②④说法也正确；只有当连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段平行于旋转轴时，才是母线，所以③说法错误．5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()A BC D答案：B解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.6．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案：D解析：对于①③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面上，当然有可能不是母线了，②④由母线的定义知正确．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是__________．答案：圆台解析：等腰梯形的对称轴为两底中点的连线，此线把等腰梯形分成两个全等的直角梯形，旋转后形成圆台．8．矩形ABCD(不是正方体)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是__________．答案：2解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．9．过长方体一个顶点的三条棱长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的半径为________． 答案：5 22解析：设长方体的对角线长为l ，球的半径为R ，则l ＝2R.∴4R 2＝l 2＝32＋42＋52＝50⇒R ＝5 22. 三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图所示的直角梯形ABCD ，AB ⊥BC ，绕着CD 所在直线l 旋转一周形成一个几何体，试说明该几何体的结构特征．解：如图所示，过A ，B 分别作AO 1⊥l ，BO 2⊥l ，垂足分别为O 1，O 2，则Rt △CO 2B 绕l 旋转一周所形成的几何体是圆锥，直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的几何体是圆台，Rt △DO 1A 绕l 旋转一周所形成的几何体是圆锥．综上，可知所求几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．11．已知一个圆锥的母线长为10 cm ，母线与轴的夹角为60°，求该圆锥的高．解：如图为圆锥的一个轴截面，其中母线PA ＝10 cm ，圆锥的高为PO ，∠APO ＝60°，在Rt △AOP 中，PO ＝AP×cos60°＝10×12＝5(cm)． 所以圆锥的高为5 cm.12．圆台的两底面半径分别为5cm 和10cm ，高为8cm ，有一个过圆台的两母线截面，且上、下底面中心到截面与两底面的交线距离分别是3cm 和6cm ，求截面面积．解：如图，过圆台两母线的截面为等腰梯形ABB 1A 1，OO 1为圆台的高，取AB 、A 1B 1的中点C 、C 1，则OC ＝6cm ，O 1C 1＝3cm.∴AB ＝2AO 2－OC 2＝16(cm)， A 1B 1＝2 A 1O 21－O 1C 21＝8(cm)，CC 1＝O 1O 2＋－O 1C 12 ＝82＋－2＝73(cm)．∴S 截＝12(AB ＋A 1B 1)CC 1＝12×(16＋8)×73＝12 73(cm 2)．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.1 简单旋转体课时作业(含解析)北师大版必修2-北师大版高一
第一章立体几何初步课时作业1简单旋转体时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是(D)①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：①圆柱是旋转体；④球是旋转体；②③⑤不是旋转体．2．以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是(C)A．球B．圆锥C．圆柱D．圆台解析：根据圆柱的定义，在矩形中，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆柱．3．圆台的所有母线的位置关系是(C)A．平行B．在同一平面内C．延长后交于一点D．垂直解析：圆台是由平行于圆锥底面的截面截圆锥而得到的，所以圆台的母线延长后交于一点．4．以一个等边三角形底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是(C)A．一个圆柱B．一个圆锥C．两个同底面的圆锥D．一个圆台5．有下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆．其中正确命题的个数是(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确．故选C.6. 已知球的两个平行截面的面积分别为9π和16π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是(B)A．4 B．5C．3 D．3 2解析：如图，设球的半径为R，两截面圆的半径分别为r1，r2，则πr21＝9π，πr22＝16π，∴r1＝3，r2＝4.又O1O2＝1，取OO2＝x，则有R2＝9＋(x＋1)2，R2＝16＋x2，∴9＋(x＋1)2＝16＋x2，∴x＝3，∴R＝5.7．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是(B) A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能解析：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆面，故C不满足要求．故选B.8．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是(A)A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D ．其他等腰三角形解析：因为圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，所以圆锥的底面圆的直径为a2，母线长也为a2，所以此圆锥的轴截面是等边三角形．二、填空题9．轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为r ，则其轴截面面积为r 2.解析：由圆锥的结构特征，可知轴截面为等腰直角三角形，其高为r ，∴S ＝12×2r 2＝r 2.10．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是3 cm ，则圆台的母线长为9_cm.解析：如图，作轴截面，利用相似比，由上、下两底面积之比为116，设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r .根据相似三角形的性质知33＋l ＝r4r ，解得l ＝9 cm. 所以，圆台的母线长为9 cm.11．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为2，则其底面面积为π2.解析：如图所示，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC ，设圆锥的底面半径为r .∵△ABC 为等腰三角形， ∴△ABO 为直角三角形． 又∵∠BAO ＝30°， ∴BO ＝r ＝12AB ＝22.∴底面圆O 的面积为S ＝πr 2＝π2.三、解答题12．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长是10 cm ，求圆锥的母线长．解：设圆锥的母线长为y cm ，圆台上、下底面半径分别为x cm 、4x cm ，作圆锥的轴截面如图所示，在Rt △SOA 中， O ′A ′∥OA ，∴SA ′SA ＝O ′A ′OA ，即(y －10)y ＝x4x ，解得y ＝403，故圆锥的母线长为403cm.13．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．用一个与圆柱下底面距离等于l 并且平行于底面的平面去截此几何体，求所得截面的面积．提示：圆柱中挖去圆锥后的几何体被平行于底面的平面所截得的截面是一个圆环面，它是由圆柱被截得的圆面去掉一个圆锥被截得的同心圆面而得到的，作出轴截面再求解．解：轴截面如图所示．被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的半径O 1D 为x .∵OA ＝AB ＝R ，∴△OAB 是等腰直角三角形． 又∵CD ∥OA ，∴CD ＝BC ， ∴OA －CD ＝AB －BC ，即x ＝l . ∴截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．——能力提升类——14．向高为H 的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如下图(1)所示，那么水瓶的形状是(下图(2)所示)( B )解析：令h ＝H2，由图象知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B 正确．15．一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)用x 表示圆柱的轴截面面积S . (2)当x 为何值时，S 最大？提示：应用轴截面中的平行关系列比例式，构建内接圆柱的底面半径与x 的等量关系即可．解：(1)如图，设内接圆柱的底面圆半径为r ，由已知得5－x 5＝r 3，所以r ＝15－3x 5.所以S ＝2·15－3x 5·x ＝－65x 2＋6x ，其中0<x <5.(2)当x ＝－62×(－65)＝52时，S 最大．。
北师大高中数学必修二课后作业1 简单旋转体 含解析
课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C 错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°.[答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B.8π C.4π D.2π[解析]若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析]作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13，∴r＝1.[答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________．[解析]设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1.设球的半径为R，则R＝d2＋r2＝2，故球的直径为2 2.[答案]2 28．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确．[答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径.[解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎨⎧ 2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q 2. 所以此圆柱的底面半径为Q 2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R ＝6，∴圆锥的底面圆的面积S ＝πR 2＝36π，圆锥的高h ＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A ．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析]平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A 错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()[解析]截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析]外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm2.[解析]如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·(O1C)2＝9π.[答案]9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r＝6－x 3，∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6，∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
北师大版数学高一(北师大)必修2试题 1.1.1简单旋转体
第一章§1 1.1一、选择题1．关于下列几何体，说法正确的是()A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[答案] D[解析]图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．2．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10B．20C．40D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20.3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是()A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上均有可能[答案] B[解析]圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．4．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成()[答案] C[解析]汽车内胎是圆形筒状几何体．5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )[答案] B[解析] 由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答案为B.6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为( ) A ．13 B ．12 C ．5 D ．149[答案] A[解析] 设球的半径为R ，则R ＝52＋122＝13. 二、填空题7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为________．[答案] 2[解析] 设下底面半径为r ，则r －11＝tan45°，∴r ＝2.8．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段； ②球的直径是球面上任意两点间的线段； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球． 其中正确的有________． [答案] ①[解析] 球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．三、解答题9．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的小圆锥的母线长是3 cm ，求圆台OO ′的母线长．[解析]设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.过轴SO作截面如图所示．则△SO′A′∽△SOA，∴SA′SA＝O′A′OA.又SA′＝3，SA＝3＋l，O′A′＝r，OA＝4r，∴33＋l＝r4r＝14.解得l＝9.即圆台的母线长为9 cm.一、选择题1．下列命题中，错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形[答案] B[解析]当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是()A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析]如图，设球的半径为R，两截面圆的半径分别为r 1，r 2，则πr 21＝5π，πr 22＝8π，∴r 1＝5，r 2＝2 2. 又O 1O 2＝1，取OO 2＝x ， 则有R 2＝5＋(x ＋1)2，R 2＝8＋x 2， ∴5＋(x ＋1)2＝8＋x 2， ∴x ＝1，∴R ＝3. 二、填空题3．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是________． [答案] 2 2[解析] 如图所示，设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的高是16－r 2，∵12·2r ·16－r 2＝8， ∴r ＝2 2.∴圆锥的高为16－(22)2＝2 2.4．已知圆锥母线与旋转轴所成的角为30°，母线的长为2，则其底面面积为________． [答案] π2[解析] 如图所示，过圆锥的旋转轴作其轴截面ABC ，设圆锥的底面半径为r .∵△ABC 为等腰三角形， ∴△ABO 为直角三角形． 又∵∠BAO ＝30°， ∴BO ＝r ＝12AB ＝22.∴底面圆O 的面积为S ＝πr 2＝π2.三、解答题5．如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰．分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．[解析](1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图(1)所示．(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图(2)所示．(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图(3)所示．6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为3，求该圆锥的底面半径、高和母线长．[解析]如图△SAB为等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则在轴截面△SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°.在直角△SOB中，h＝3r，l＝2r，所以S△SAB＝12×AB×SO＝rh＝3r2，根据题意得3r2＝3，解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝3r＝ 3.即该圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2.7．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解析] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)． 因为圆台上底面面积为4πcm 2， 所以上底面半径为2cm.又因为圆台下底面面积为25πcm 2， 所以下底面半径为5cm ，所以高为AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)延长BA ，CD 相交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 因为Rt △SAO 1∽Rt △SBO ， 所以SA SB ＝AO 1BO ，即l －12l ＝25，解得l ＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.。
高中数学第一章立体几何初步1.1.1简单旋转体训练案北师大版必修2(2021年整理)
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1.1。
1 简单旋转体[学业水平训练］错误!如图所示的平面结构，绕中间轴旋转180°，所形成几何体的形状为( ）A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B。
由于外面圆旋转成球体,而中间矩形旋转形成一个圆柱．故选B。
2．如图1所示的几何体是由图2中某个平面图形旋转得到的，则这个平面图形是( ）解析：选A.由旋转体的概念及结构特征可判断只有选项A中的平面图形，绕着轴线旋转才可形成图1的几何体，故选A。
错误!下列命题中错误的是( ）A．以矩形一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥解析：选B。
“绕直角三角形的一边"没有强调是“直角边"，故旋转后得到的不一定是圆锥．错误!上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( ）A．4 B．32C．2错误!D．2错误!解析：选D。
北师大版必修2 1.1.1简单旋转体
4、一个平面可以把空间分成两部分. (
7
§1.简单几何体
导入：三维空间是人类生存的现实空间，生活
中蕴涵着丰富的几何体，我们的生活空间有各 式各样的几何体，请大家欣赏下列图形。
8
9
我们最熟悉的几何体是长方体。在如图1-1所示
的长方体中，相对的两个面ABCD和A′B′C′D′所 在的平面是无公共点的，我们称无公共点的两 个平面是平行的；棱AA′所在直线和棱AB、棱 AD分别垂直，事实上，棱AA′所在直线与 ABCD所在平面内任意一条直线都垂直，我们 把直线和平面的这种关系称为直线与平面垂直. 长方体是数学中最基本的几何图形，在后面的 学习中，将发挥重要作用.
29
例题讲解
直角三角形绕其一边旋转一周所形 成的几何体是否一定是圆锥． [分析] 概念辨析题要紧扣定义，抓准差 别进行判断，圆锥定义中要求以直角三角 形的一条直角边所在直线为轴旋转． [解析] 不一定，当绕其直角边旋转时形 成圆锥，当绕其斜边旋转时形成同底的两 个圆锥．
[例1]
30
13
一条平面曲线绕它所在的平面内的
一条直线旋转所形成的曲面叫做旋 转面； 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋 转体。 显然，球面是旋转面，球体是旋转 体
14
二、圆柱、圆锥、圆台
问题1:如图所示：已知线段AB垂直于直线L
于A点，如果把线段AB绕着点A旋转一周， 且在线段AB在旋转的过程中始终与直线L垂 直，那么线段AB在旋转的过程中所形成的图 形会是什么呢？
β α 记为：平面α C O A 记为：平面ABC B 记为：平面圆O
6
A
B 记为：平面ABCD 或平面AC、平面BD
记为：平面β
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的 题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长可以为4 米，宽 可以为2 米； 2、平面没有边界，但有厚度； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ( ) ) ) ( )
高中数学北师大版,必修2配套课件：,1.1.1简单旋转体
箭的第 122次飞行．众所周知，要发射卫星必须要有大推力的
运载火箭，那么运载火箭什么模样？
如图，这是某种大推力运载火箭的发射图，从图中我们可 以看出，承载人类航空航天梦想的高科技航天器并没有华丽的 外表，整个箭体是由圆锥、圆台、圆柱(这些几何体数学上叫旋 转体)堆叠而成，而就是这种“其貌不扬”的组合体一次又一次
名称 母线 轴截 面 平行 于底 面的 截面 侧面 展开 图
圆柱 平行、相等且 垂直于底面
圆锥 相交于一点
圆台 延长线交于一点
全等的矩形
全等的圆，与 全等 底面________
等腰三角形 全等的________ 等腰梯形 全等的__________ 相似的圆 (比例关系)
圆
矩形 ________
扇形 ________
第一章
立体几何初步
第一章 §1 简单几何体
1．1 简单旋转体
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课后强化作业
课前自主预习
新华网西昌 2010 年1 月 17 日电： 1 月 17 日0 时 12分，中国在 西昌卫星发射中心用“长征三号”运载火箭发射第三颗北斗导 航卫星．这是中国今年的首次卫星发射，也是长征系列运载火
扇环
3.球 (1)球和球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所成的 球面 ．球面所围成的几何体叫球体，简称_____ 球 ． 曲面叫______ 用集合的观点来描述，到定点的距离等于定长的所有点的 球面 ． 集合(轨迹)叫________
特别提示：球和球面是两个不同的概念，球面仅仅指球的 表面；而球(球体)不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围 的空间．因此，用一个平面去截一个球，截面是圆面；而用一 个平面去截一个球面，截面是圆．
高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2
1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
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课后训练
1．关于下列几何体，说法正确的是()．
A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥
C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台
2．下图是由选项中的哪个图形旋转得到的()．
3．矩形ABCD(不是正方形)绕边所在直线旋转得到不同形状的圆柱的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4
4．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形不可能是()．
5．一条直线被一个半径为13的球截得的线段长为24，则球心到直线的距离为()．A．13 B．12
C．5 D．24
6．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面面积为__________．
7．已知四边形ABCD为等腰梯形，两底边为AB，CD且AB＞CD，绕AB所在直线旋转一周，所形成的几何体是由________和________所构成的组合体．
8．已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是36π cm2，求球心与截面圆圆心的距离．
9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
参考答案
1答案：D 解析：图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．
2答案：A 解析：B 旋转后为两共底的圆锥；C 旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D 旋转后为两圆锥与一圆柱．
3答案：B 解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．
4答案：B 解析：因为矩形的长宽不同，则形成2个不同形状的圆柱．
5答案：C 解析：如图所示，d =.
6答案：20 解析：圆柱的轴截面面积为l ×2r ＝5×2×2＝20.
7答案：两个一样的圆锥 一个圆柱
解析：根据旋转体的定义可知，该组合体是由两个一样的圆锥和一个圆柱拼接而成的． 8答案：解：设截面圆的半径为r cm ，球心与截面圆圆心的距离为d cm ，球的半径为R cm.由已知得，πr 2＝36π，∴r ＝6(cm)．
又∵R ＝10(cm)，
∴d ==8(cm)．
∴球心与截面圆圆心的距离为8 cm.
9答案：解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图)．
因为圆台上底面面积为4π cm 2，
所以上底面半径为2 cm.
又因为圆台下底面面积为25π c m 2，
所以下底面半径为5 cm ，
所以高为AM = (cm)． (2)延长BA ，CD 相交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，
因为Rt △SAO 1∽Rt △SBO ， 所以1AO SA SB BO =，即1225
l l -=， 解得l ＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.。