二元二次方程组-解法-例题
中考数学精选例题解析：二元二次方程组
答案： （1） x1 y1
0 ， x2 1 y2
1
2；
（2） x1
6 ，
x2
1
2
y1 1
y2 6
x1 （3）
y1
5 ，
x2
5
y2
5 ，
x3
5
y3
2
2 ，
x4
2
y4
22 2
【例 2 】已知方程组 y2 4x 2 y 1 0 有两个不相等的实数解， 求 k 的取值范围。 y kx 2
分析： 由②代入①得到关于 x 的一元二次方程，当△＞ 0 且二次项系数不为零时，
2 013 中考数学精选例题解析：二元二次方程组
知识考点：
了解二元二次方程的概念， 会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方 程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程 组（Ⅱ）。
精典例题：
【例 1】解下列方程组：
2x y 1
1、 10 x2
y2
；
x1 0
xy7
0 x1x2 0
n ＜ 1 且 n ≠0 2
（2）利用根与系数的关系得：
m
4(1 n2
n)
（
n＜
1 2
且
n ≠0＝
4(1 n)
2
1
（3） n
二元二次方程练习题及解析
二元二次方程练习题及解析
一、练习题
1. 解方程组：
{(x + y)² = 25
(x - y)² = 9
2. 解方程组：
{(x + y)² = 144
(x - y)² = 16
3. 解方程组：
{(2x + y)² = 25
(4x - y)² = 81
4. 解方程组：
{(3x + 2y)² = 16
(2x - y)² = 9
5. 解方程组：
{(2x + y)² = 36
(3x - y)² = 49
二、解析
1. 解方程组：
{(x + y)² = 25
(x - y)² = 9
解：
将两个方程展开得到：
(x² + 2xy + y²) = 25 (1)
(x² - 2xy + y²) = 9 (2)
将(2)式两边同时乘以4，并与(1)式相加得到： 5x² = 61
解得：x = ±√(61/5)
将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
2. 解方程组：
{(x + y)² = 144
(x - y)² = 16
解：
将两个方程展开得到：
(x² + 2xy + y²) = 144 (1)
(x² - 2xy + y²) = 16 (2)
将(2)式两边同时乘以9，并与(1)式相加得到： 10x² = 208
解得：x = ±√(208/10)
将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
3. 解方程组：
{(2x + y)² = 25
(4x - y)² = 81
解：
将两个方程展开得到：
(4x² + 4xy + y²) = 25 (1)
(16x² - 8xy + y²) = 81 (2)
将(2)式两边同时乘以1/9，并与(1)式相加得到： 5x² = 74/9
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方
法)
引言
二元二次方程是一个常见的数学问题，解决这类问题可以帮助我们进一步理解二次方程的性质和求解方法。本文将介绍四种不同的方法来解决二元二次方程，并提供相应的练题，以帮助读者巩固所学的知识。
方法一：代入法
代入法是一种简单直接的解法，通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。以下是一个代入法的例子：
例题：求解方程组
\begin{align*}
3x^2-4y^2&=5 \\
x+y&=3
\end{align*}
解法：
1. 将第二个方程中的 $x$ 替换为 $3-y$，得到新的方程 $3(3-y)^2-4y^2=5$。
2. 将该方程整理并解得 $y=1$。
3. 将 $y=1$ 代入第二个方程，解得 $x=2$。
因此，该方程组的解为 $x=2$，$y=1$。
练题：
1. 求解方程组
\begin{align*}
2x^2-3y^2&=4 \\
x+y&=2
\end{align*}
2. 求解方程组
\begin{align*}
4x^2-5y^2&=8 \\
2x+y&=3
\end{align*}
方法二：消元法
消元法是另一种常用的解法，通过将两个方程相加或相减，并适当选择系数，使得其中一个未知数的系数相同而相消，从而求解另一个未知数。以下是一个消元法的例子：
例题：求解方程组
\begin{align*}
2x^2-3y^2&=4 \\
5x-2y&=1
\end{align*}
解法：
1. 将第二个方程乘以 2，得到 $10x-4y=2$。
2. 将第一个方程乘以 5，得到 $10x^2-15y^2=20$。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法
二元二次方程是数学中的一种常见形式，其解法也是初中数学中的重要内容。下面将介绍二元二次方程的解法及其相关概念。
一、二元二次方程的定义及形式
二元二次方程是指含有两个变量的二次方程，一般形式为：
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x和y为变量。
二、解二元二次方程的方法有多种，下面将介绍常用的两种解法：代入法和消元法。
代入法的步骤如下：
步骤一：将一个方程中的一个变量用另一个方程中的另一个变量表示出来，然后带入另一个方程。
步骤二：将带入后得到的一元二次方程进行求解，得到变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
消元法的步骤如下：
步骤一：通过适当的乘法或除法，使得两个方程中的某个系数相等或互为相反数。
步骤二：将消去得到的新方程进行求解，得到一个变量的值。
步骤三：将求得的变量值带入原方程中，求解另一个变量的值。
三、二元二次方程解的情况分类
在解二元二次方程时，根据不同情况，解的形式也会有所不同。根据方程的判别式Δ的值，可将解分为三种情况：
情况一：当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解，即方程有两个交点。
情况二：当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，即方程有一个切点。
情况三：当Δ < 0时，方程没有实数解，即方程没有交点。
四、实例解析
现举例说明二元二次方程的解法：
例题：解方程组
x^2 + 3xy - 4y^2 - 2x + 4y - 1 = 0
2x^2 + 7xy - 6y^2 - 5x - 5y + 2 = 0
二元二次方程组的解法
二元二次方程组的解法
在代数学中，方程是一个等式，其中包含了未知数和常量的符号。方程组则是由多个方程组成的集合，它们共同包含了多个未知数和常量。
二元二次方程组是指包含了两个未知数和常量的二次方程的集合。形式如下：
ax^2 + bx + c = 0
dx^2 + ex + f = 0
其中，a、b、c、d、e和f都是常量，x和y是未知数。解决这个方程组的目标就是找到一组(x, y)的值，使得这两个方程都成立。
为了解决二元二次方程组，我们可以使用以下三种常见的方法：配准法、代入法和消元法。下面将依次介绍这三种方法的步骤及示例。
一、配准法
配准法又称一般解法，它的步骤如下：
1. 将两个方程都转化为标准的二次方程形式。
2. 通过配准，将两个方程中的常数项相等。
3. 将两个方程相减得到一个一元二次方程。
4. 解决这个一元二次方程，得到一个未知数的值。
5. 将这个值代入其中一个方程，解决另一个未知数。
示例：
假设我们有以下二元二次方程组：
2x^2 - 3xy + y^2 = 10
x^2 - 2xy + 3y^2 = 14
根据配准法，我们可以将它们转化为标准形式：
2x^2 - 3xy + y^2 - 10 = 0
x^2 - 2xy + 3y^2 - 14 = 0
通过对比系数，我们可以得到：
a = 2,
b = -3,
c = 1,
d = 1,
e = -2,
f = 3
接下来，我们将两个方程相减并进行化简：
(2x^2 - 3xy + y^2 - 10) - (x^2 - 2xy + 3y^2 - 14) = 0 x^2 + 4y^2 - 3xy + xy - 4 = 0
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法
一、引言
解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理
在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元
二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义
二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般
形式如下：
{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0
{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同
时为0。
2. 解二元二次方程的方法
解二元二次方程组的方法有以下几种：
（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关
于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤
下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法
（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
二元二次方程例题
二元二次方程例题
（原创实用版）
目录
1.二元二次方程的定义与特点
2.解二元二次方程的常用方法
3.例题解析
正文
一、二元二次方程的定义与特点
二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常写成 ax + bxy + cy = d 的形式，其中 a、b、c、d 为已知系数，x、y 为未知数。二元二次方程的解可以是实数、复数或无解，具体取决于判别式的值。
二元二次方程的特点如下：
1.含有两个未知数；
2.未知数的最高次数为二次；
3.通常有四个解，可以是实数、复数或无解。
二、解二元二次方程的常用方法
解二元二次方程有多种方法，常见的有以下几种：
1.替换法：通过代入法或消元法将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入原方程求解。
2.配方法：将二元二次方程化为两个一元二次方程，分别求解后再通过解的和或差求得另一个未知数。
3.韦达定理：对于二次方程 ax + bxy + cy = d，根据韦达定理，有x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。利用这两个关系式，可以求得一个未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
4.判别式法：根据判别式Δ = b - 4ac 的值判断方程的解的情况，然后根据具体情况选择合适的方法求解。
三、例题解析
例题：解方程组 x + 2xy + y - 3x - 2y + 2 = 0。
解：
1.将方程组写成二元二次方程的标准形式：x + 2xy + y - 3x - 2y +
2 = 0。
2.根据韦达定理，有 x1 + x2 = -2，x1x2 = 2。
3.利用 x1 + x2 = -2，解得 x1 = -2 - x2。
二元二次方程组-解法-例题
二元二次方程的解法
1．解二元二次方程组的基本思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
“二·一”型方程组的解法
（1）代入消元法（即代入法）
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；
④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；
⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系
对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意：不要丢掉一个解。
此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
二元二次方程组题型汇总
二元二次方程组题型汇总
引言
二元二次方程组是数学中常见的问题之一，它涉及到同时求解两个二次方程的解。解决这类题目需要熟练掌握二次方程的性质和解法，并采用合适的策略。
本文将汇总几种常见的二元二次方程组题型，并提供简洁有效的解题思路和方法。
题型一：相加消元法
当二元二次方程组中的两个方程的系数相等，并且方程组的常数项相反数相等时，可采用相加消元法求解。
解题步骤：
1. 将两个方程相加，得到一个一元二次方程；
2. 解一元二次方程，求得未知数的值；
3. 将求得的未知数值代入任意一个方程中，求解另一个未知数的值。
例题：
方程组：
x^2 + y^2 = 25
x + y = 5
解答：
将两个方程相加得到：
x^2 + y^2 + x + y = 30
化简为：
(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 32
因此，x + 1 = ±√2，y + 1 = ±√30 - √2
解出 x 和 y 的值分别为：
x = -1 ±√2，y = -1 ±√30 - √2
题型二：代入法
对于一元二次方程组，可以先求出其中一个未知数的值，再将该值代入另一个方程中，化简为一元二次方程求解。
解题步骤：
1. 解其中一个方程，求出一个未知数的值；
2. 将求得的未知数值代入另一个方程中；
3. 解一元二次方程，求得未知数的值。
例题：
方程组：
x^2 - y^2 = 3
x + y = 5
解答：
解第二个方程得到：x = 5 - y
将 x 的值代入第一个方程得到：
(5 - y)^2 - y^2 = 3
化简为：
-2y^2 + 10y + 22 = 0
二元二次方程组专项解析训练
1
二元二次方程组专项解析训练
【例题精选】
例1
解方程组
解：由②得x y =-3
——————③
把③代入①，得 ()()y y y -++-=3432122， 整理得 y y 2120--= ∴=-=y y 1234,． 把y 13=-代入③，得x =-6; 把y 24=代入③，得x =1．
∴=-=-⎧⎨⎩==⎧⎨
⎩
原方程组的解为x y x y 6314,;,
. 小结：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用
代入消元法解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值．
例2
解方程组
解法一 由①得 y x =-26
——————③
将③代入②，得
x x x x 225266260--+-=()() 即
15387202x x -+=
解得 x x 12418
5
==
, 把x 14=代入③得y 12=,
把x 2185=代入③得y 26
5
=.
∴==⎧⎨⎩==⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪原方程组的解为x y x y 112142185
65,,
.
解法二 由②得
()()x y x y x y x y --=-=-=230
2030
或
原方程组可化为两个二元一次方程组：
26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨
⎩,,,
.
∴==⎧⎨⎩==⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪原方程组的解为x y x y 112142185
65,,
.
例3 解方程组
解法一 由②得y x
=
-1132
③
2 把③代入①，得
x x x x x x 22
411324113221132
20--+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+---=().·
二元二次方程解法
二元二次方程解法
二元二次方程解法是可以解决一般的二元二次方程的数学解法。
1、定义：
二元二次方程解法是一种考虑当代性、计算和处理二元二次方程解的
一般算法，这种算法的计算可以求得该方程的实根，也可以采用多项
式展开法来解答二元二次方程。
2、求解方法：
（1）首先判断函数是否可以直接求解，当函数结构为ax²+ bx + c = 0时，可以直接利用二元二次方程解法求解出根;
（2）令D = b²-4ac，若D > 0，则针对二元二次方程ax²+ bx + c= 0有
两个不同的实根；若D = 0，则针对二元二次方程ax²+bx+c=0有相同
的实根；若D < 0，则针对该方程没有实根；
（3）采用多项式展开法解二元二次方程：首先将方程按其可分解性式
展开，对应展开后的二次多项式求解，便可得到方程组的解。
3、典型例题：
例题：解下列二元二次方程：2x²-4x+2= 0
解：设D = b²-4ac = (-4)²-4*2*2 = 16-16 = 0，所以D = 0，有相同的实根。故方程有两个相等的实数根，即x = 1;又2x²-4x+2 = 0写成x²-2x+1 = 0，
是一个典型的一元二次方程，该方程的解是x = 1。因此，2x²-4x+2＝0的两个实根为：x1 = x2 = 1.
二元二次方程组练习题
一、知识点精讲
1. 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次幂是2的整式，叫做二元二次方程。
关于x ，y 的二元二次方程的一般形式是：22
0ax bxy cy dx ey f +++++=（,,,,,a b c d e f 都是常数，且a ，b ，c 中至少有一个不是零，当b 为零时，a 与d 以及c 与e 分别不全为零。）
其中，22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a ，b ，c 分别叫做二次项系数，dx ，ey 叫做这个方程的一次项，d 与e 分别叫做一次项系数，f 叫做常数项。
2. 仅含有两个未知数，个方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2,像这样的方程组叫做二元二次方程组。
3. 能使二元二次方程的左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
4. 二元二次方程组的求解方法
消元法，代入法
二、例题精讲
例1.下列方程中，哪些是二元二次方程？
()()()()222211
2320
1320431
x y y y y x xy
x y +=-+=+-=++= 例2.下列方程中，哪些是二元二次方程组？
()()()23212
20218
5331
y x xy x xy x xy y x y x y =⎧⎨+-=⎩+=⎧⎨+=⎩+=⎧⎨-=-⎩
例3 解方程组：（1）2221010x y x y ⎧+-=⎨-+=⎩ （2）224915235
x y x y ⎧-=⎨-=⎩
例4 若方程组()()24210122y x y y mx ⎧--+=⎪⎨=+⎪⎩
有两个不相等的实数根，试求m 的取值范围。
二元二次方程组的解法
2015.5.18
解法二 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 的二元二次方程组。 ① x + y = 24 如： { x 2 - 9xy+14y 2 = 0 ② 将②式化简得，x-2y=0或x-7y=0 解得，
{
x1 = 16 y1 = 8
{
x 2 = 21 y2 = 3
2015.5.18
解法三 由两个二元二次方程组成的二元二次方程组。 如：
可将①式②式 都进行化简
{
x - 3xy+ 2y = 0
2 2
①
x 2 - 6xy+ 9y 2 =16 ②
解得，
{
x1 = -8 y1 = -4
{
x 2 = -2 y 2 = -2
{
x3 = 8 y3 = 4
{
x4 = 2 y4 = 2
2015.5.18
小结 一般步骤： 1、把能分解的方程转化为两个二元一次方程； 2、把这两个二元一次方程分别与另一个方程组成 两个新的方程组； 3、解这两个方程组，得原方程组的解。
2015.5.18
思考题 解方程组：{
x 2 - 2xy+ y 2 = 4
2 （x + y） -（ 3 x + y） -10 = 0
问：（1）此方程组与学过的方程组有何异同？ （2）此方程组能否像前面所学的方程组那 样来 解？你能否想出其它的方法来解？试加以证明。
二元二次方程和方程组及其解法
21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法
知识梳理+九大例题分析+经典同步练习
知识梳理
一、二元二次方程
1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：
（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.
2.二元二次方程的解
能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.
要点：
二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.
二、二元二次方程组
1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.
要点：
不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.
2. 二元二次方程组的解:
方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解
.
22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey
三、二元二次方程组的解法
1.代入消元法
代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：
①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
③解这个一元二次方程，求得未知数的值；
④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；
二元二次方程组的解法
3
y3
1 2
y4
1 2
(
2)
x x
2 2
y 2 20 5xy 6 y 2
0
① ②
解：由②得
x-2y=0或x-3y=0
解这两个方程组，得 原方程组的解为
因此，原方程组可化为两个方程 组
x1
3
2
x
2
3
2
x2+y2=20 x-2y=0
x2+y2=20 x-3y=0
y1 2 y2 2
y
2
10 2
x2+y2=5 x-y=0
x2+y 2=5 x-3y =0
3 2
32
x3 2 x4 2
y
3
2 2
y
4
2 2
小结
一般步骤： 1、把能分解的方程转化为两个
二元一次方程； 2、把这两个二元一次方程分别与另一个方
程组成两个由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的方程组； 3、解这两个方程组，得原方程组的解。
2.把下列各式因式分解
(1)x2-3xy+2y2 =(x-2y)(x-y) (2)4x2-4xy+4y2-25 =(2x-y+5)(2x-y-5) (3)(x+y)2-3(x+y)-4 =(x+y-4)(x+y+1) • (4) 4x2-9y2 =(2x-3y)(2x+3y)
中考数学《二元二次方程组》精选例题
2 013中考数学[二元二次方程组精]例题
知识考点：
了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。 精典例题：
【例1】解下列方程组：
1、⎩⎨⎧=+--=-0
1101
222x y x y x ； 2、⎩⎨
⎧==+67xy y x ； 3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0
23102222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。（3）为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2212
2y x ； （2）⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==2223
3y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x 【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--2
01242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。
分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(2
2=+-+x k x k
⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k 即⎩
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二元二次方程的解法
二次方程组的基本思想和方法
方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。
型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
程组的解法
元法（即代入法）
二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；
数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；
元二次方程，求得一个未知数的值；
的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；
个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
与系数的关系
二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意
二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。
解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。
程组的解法
中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。
中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。
方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。
析：例1．解方程组
观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。
1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6.
(3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。
据根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程，z2-8z+12=0的两个根，解这个方程，得z1=2, z2=6.
组的解是。
”型方程组中的两个方程，如果是以两数和与两数积的形式给出的，这样的方程组用根与系数的关系解是很方便的。但要特别注意最后方程x与2y的和,方程②是x与2y的积, ∴x与2y是方程z2-4z-21=0的两个根解此方程得:z1=-3,z2=7,
∴原方程的解是
于特殊型的方程组,可用一元二次方程的根与系数的关系来解.
型的二元二次方程组,也都可以通过变形用简便的特殊解法.
用代入法) 由②得:y=③把③代入①得:
+4()2+x-
7=0
. 把x=3代入③得:y=1
代入④得:y=. ∴原方程组的解为:
式分解法)
为(x-2y)2+(x-2y)-2=0 即(x-2y+2)(x-2y-1)=0 ∴x-2y+2=0或x-2y-1=0
化为:
分别解得:
I型二元二次方程组,一般可用代入法求解,当求出一个未知数的值代入求另一个未知数的值时,一定要代入到二元一次方程中去求,若针对二元则较为简便.
何值时，方程组。
相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。
代入法消去未知数y，可得到关于x的一元方程，如果这个一元方程是一元二次方程，那么就可以根据根的判别式来讨论。
入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0..................(3) 你（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根
解得：
，原方程组有两组相等的实数根。
时，方程(3)有两个不相等的实数根。
k<1且k≠0. ∴当k<1且k≠0时，原方程组（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在此问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需两种情况讨
是一元二次方程，无解条件是，，
解得：
k>1。
不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. 两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根。
判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ。
程组
元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程，再降次转化为一元一次方程解之。本题用代入法消元。
y=.......................(3) 将式(3)代入式(2)，得
)+()2-4x+3( -13x-35=0, 即(x-5)(4x+7)=0 ∴x1=5, x2=-.
(3),得y1=3, 将x2=-代入(3)，得y2=-. ∴
。
程组。
程组是由两个二元二次方程组成的方程组，在(1)式的等号左边分解因式后将二元二次方程转化为一元二次方程。
分解因式，得(x+y)(3x-4y)-(3x-4y)=0 即(3x-4y)(x+y-1)=0 ∴3x-4y=0,或x+y-1=0.
面两组方程组：
；（2）。（1）由3x-4y=0，得