高中物理微积分应用(完美)
微积分在物理解题方面的应用
形式上的应用：例：1，质点在力F= --kv 的作用下，初速为V0 开始运动，求质点运动距离。
以上在解题过程中，利用了导数的微商式dy/dx以及微分可进行四则运算的性质，将答案“凑”出来，因为对方程变形时，不需要考虑物理意义（并不是没有物理意义），这属于最基础的形式上的应用运动学中常见的微商变形：dv/dt=(dv/dw)*(dw/dt)=β*(dv/dw)dv/dt=（dv/dθ）*（dθ/dt）=w(dv/dθ)剩下的，大家可以自己在学习中总结。
微元法：数学基础：关于微分的相关概念，性质，可以自行翻阅“高数”或者“微积分”或者“数学分析”教材。
（很重要）微元法：是指将所需研究的物理对象，先微分成非常小的微元，然后研究单个微元的性质（在研究中一般会用到近似关系），找出规律，再求出整体性质的方法.微元法的一般步骤：一，写出待求量的微元表达式。
二，给出积分表达式。
三，确定积分上下限。
四，算吧= =+来来来，看看例题。
例1：求弹簧弹性势能公式例2：（变力做功）质量为m的物体以v的速度在光滑水平面上沿x正方向运动，当它到达o点是，撞击一劲度系数为k的轻弹簧，并开始受到摩擦力的作用，摩擦因数是位置的函数，可表示为μ=ax （a比较小）。
求物体第一次返回到o点时的速度。
3 求各种转动惯量杆，圆环，圆盘，圆柱等等。
4一个质量为m的圆环，其于桌面之间的动摩擦因数为μ，求当该圆环在桌面上绕着通过圆心且垂直于桌面的转轴旋转时，所受的摩擦力矩。
变：将圆环改为圆盘5一无限长直导线，均匀带电，电荷线密度为λ，(λ>0) A，B 两点到直导线的垂直距离分别为a，b，若以A点为零电势点，B点电势为（仅用场强推导）（暂时不用看）5有重物m，用缠绕在水平柱上的轻绳将其拉住缠绕了两圈，柱与绳间的摩擦因数为μ，为使得重物不下落，所用最小拉力为多大。
（备用）积分表达式的建立：一，直接利用物理量以及物理定律的微分或者导数形式，求得积分式。
高中物理微积分应用(完美)
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
式：
⑴ 导数的四则运算
①=±
③=
②=·v + u·
⑵ 常见函数的导数
①=0(C为常数)； ④=-sint；
②=ntn-1 (n为实数)； ⑤=et；
③=cost；
⑶ 复合函数的导数
在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自
变量。
=·
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以
L（弧长）=α(弧度)x r(半径) (弧度制)
又因为车在A、B两点以速率v作圆周运动，所以：
综合以上各式得： F= 圆周运动向心力公式 故摩擦力对车所做的功： 【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力，从最低点运动到最高点摩擦 力所做的功为 小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
2、解决变力做功问题
v 恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力做功，我们如
何求解呢？ 例2：如图所示，质量为m的物体以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道 运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为，求物体从轨道最低点运 动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
微积分在高中物理中的应用
121微积分在高中物理中的应用邓圭恩微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
微积分是指求函数曲线的切线斜率、求函数图形的面积、求图形的体积的一种方法和过程，在高中物理概念、物理定律都包涵微积分的思想。
本文分析了微积分在高中物理的一些具体应用，目的是理解微积分思想的同时也能熟练地运用微积分来解决物理中的问题。
数学作为物理学中的重要工具，它即能准确而又简洁地表达物理概念和规律，也能为物理提供思维语言和方法。
运用数学方法解决物理问题是高中阶段学习目标之一，高中生掌握求导和积分的思想及方法，是为物理学习提供了即方便实用又强大的工具。
1微积分在高中动力学中的应用 1.1利用微积分解决变速运动问题在高中阶段，变速运动问题往往是许多同学的难点，很多变速运动问题的模型都很难建立，对许多同学甚至是教师的思维能力都是一个很大的考验。
但微积分知识和思想能帮助大家用更简洁普适的模型来解决这方面的问题，比如对于下面这一道题：例2：狐狸沿半径R 的圆轨道以恒定速率v 奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心O 出发以相同的速率v 追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。
（1）建立相应坐标系，求出猎犬运动的轨道方程，并画出轨道曲线。
（2）判断猎犬能否追上狐狸。
这道题是一道经典的物理竞赛题，现在也是被选入许多高校的自招理论试题，其经典解法有很多，但绝大多数都复杂冗长，很多同学并不能很好的理解。
而如果我们选用微积分的方法，就会得到很容易为大家所接受，也较容易的解法了。
取圆心O 为坐标原点，从O 到狐狸的初始位置设置极轴，建立极坐标系。
我们先得到猎犬切向、径向加速度、速度与猎犬所在的r、θ的关系狐狸的圆运动角速度为：Rv dt d ==ωθ当狐狸在θ角位置时，圆心O、猎犬D 及狐狸F 共线，如图所示故猎犬的横向速度为猎犬的径向与切向速度为：r Rv dt d rv ==θθ，vRr v v v r 22221-=-=θ 径向与切向加速度为：R r R v v dtd r dt d dt dr r a 122222-⋅==+⋅=ωθθθv r a R r dt dr dr dv r dt dv dt d r d r d r r r 22222222)(-=-⋅=-=-=ωωθθ 由r R v v r d dr r22-==θθ积分：⎰⎰=-θθθ022d r R dr r 可得猎犬的轨道方程为: θ=Rr arcsin 即θsin R r =猎犬的轨道曲线如图中虚线所示。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分在高中物理教学及高考中的应用
作者：杨洪伟
来源：《新课程·教师》2016年第09期
微积分作为一种重要的数学方法，不只在大学物理中的应用十分广泛，在高中物理中微积分思想也有很多应用，并且在高考试题中也时有出现。
一、高中物理教学中常见的微积分应用
1.微元法定义瞬时速度
在高中物理学习之初瞬时速度的定义中就涉及微积分思想，求物体在某处的瞬时速度，可在该点附近取一段位移除以对应的时间即可得到该段位移的平均速度，所取的位移越小，其对应的时间越小，所得到的平均速度越接近所求点的瞬时速度，当所取位移近似为零时，所得到的平均速度即可认为是所求点的瞬时速度，在该部分内容中采用了微元并取极限的方法，其实就是微积分中最基本的微元思想。
微积分在物理_中的简单应用(DOC)
求解在立体斜面上滑动的物体的速度一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数今使物体获得一水平速度 V 0而滑动，如图一， 求：物体在轨道上任意一点的速度V 与■-的关系，设 '为速度与水平线的夹角。
解：物体在某一位置所受的力有：重力G ，f=」mgcos ：二 tg^mgcos ： = mg si n r重力在斜面上的分力为 G 1，如图二，将G 1 分解为两个分力：G 「是G i 沿轨迹切线方向的分 力，G^G 1sin= mg sin ： sin ； G ；是沿轨 迹 法 向 的 分 力，G ； = G ； cos 二 mg sin 二 cos ，如图三。
根据牛顿运动定律，得运动方程为G ； - f = ma （ 1）G ；=ma n（ 2）由（ 1），图三1a(mgsi n ： sin - mgs in ：)二 g sin ： (si n -1) m而a 二亚,得到 * dtdV = gsin ： (sin -1)dt,弹力N 以及摩擦力f 。
摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值」恰好满足-tg 「，：•为斜面的倾角。
图一(3)式中••是t 的函数，但是这个函数是个未知函数， 因此还不能对上式积分，要设法在-与t 中消去一个变量，才能积分，注意到ds而.表示曲线在该点的曲率半径根据（2）式,dmgsin ： cos = m V (5)由式（3）（ 4）（5），可得到dV 二（tg _sec ）d ,VdV=0 （tg -sec ）d ，积分，得到In / 二—In cos -1n(sectg ) = —In(1 sin )，V 1 sin运用积分法求解链条的速度及其时间图_一条匀质的金属链条，质量为m 挂在一个光滑的钉子上， 一边长度为L !，另一边长度为L 2,而且0 ：：：L 2 ：：：，如图一。
试求：链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。
解：设金属链条的线密度为m一.当一边长度为L 1 +L 2L ! x ，另一边长度为L 2 -X 时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程（L i x ） g -T =馆 x ） a,d^d ^1 dS dV V d *T - (L 2 - x)..g = (L 2 - x)./.a.因为 a = dV =dVdx =VdV ，所以dt dx dt dx令x : L 2,可以求得链条滑离钉子时的速度大小 对应的式子。
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分在高中物理教学及高考中的应用
微积分是一门重要的数学课程，在高中物理教学及高考中有重要的应用。
首先，在高中物理教学中，微积分可以帮助学生理解物理学的深层次的概念和原理。
例如，在力学和弹性中，知道力和位移之间的关系，学生需要用到微积分，例如需要用到曲率来计算曲线上力的变化情况，或者用梯度和位移之间的关系来分析影响力的改变等。
此外，散度和积分也在物理学中有实际的应用，例如在电动力学中，学生可以运用微积分的知识确定电流的变化情况。
其次，在高考中，微积分也是非常重要的科目之一，它不但是数学竞赛中的重要科目，而且也在高考的多项科目中得到了普遍的应用。
例如，在物理学中，考生可以利用提高后的微积分知识分析曲线上的力、磁力场和重力场等问题；在电动力学中，考生可以运用微积分知识计算电势和电压；在力学中，考生可以利用微积分知识求出运动弹性曲线；在热力学中，考生可以利用梯度来分析热力学问题；而在化学中，考生可以利用积分来分析反应的反应速率等。
总之，在高考中，微积分的应用是不可分割的部分。
最后，微积分在高中物理教学及高考中的应用，不仅可以扩大学生们在物理学和化学中的知识面，而且可以提高学生的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。
因此，在高中物理教学及高考中，加强对微积分的学习和学术研究是非常有必要的。
综上所述，在高中物理教学及高考中，微积分有着重要的应用，它可以帮助学生更深入地理解物理学和化学中的问题，同时提高学生
的数学水平，从而增强学生的理解和解决问题的能力。
因此，加强对微积分的学习及学术研究，有助于提高高中物理教学及高考中的教学水平。
微积分在物理学中的应用
微积分在物理学中的应用微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和变化率，是物理学中不可或缺的工具。
微积分的应用范围广泛，尤其在物理学中，它发挥着重要的作用。
本文将介绍微积分在物理学中的几个重要应用。
一、速度和加速度的计算在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
微积分可以帮助我们计算速度和加速度。
假设一个物体在时间t内的位移为s(t)，那么速度v(t)可以通过求位移函数的导数来计算，即v(t) =ds(t)/dt。
同样地，加速度a(t)可以通过求速度函数的导数来计算，即a(t) = dv(t)/dt。
微积分的求导运算可以帮助我们精确地计算速度和加速度，从而更好地理解物体的运动规律。
二、曲线的长度和曲率的计算在物理学中，我们经常需要计算曲线的长度和曲率。
微积分可以帮助我们解决这些问题。
对于一条曲线C，我们可以将其分割成无数个小线段，然后计算每个小线段的长度，再将这些长度相加，就可以得到曲线的长度。
这个过程可以通过微积分中的积分运算来实现。
同样地，曲率描述了曲线的弯曲程度，可以通过微积分中的导数运算来计算。
微积分的这些运算使得我们能够准确地计算曲线的长度和曲率，从而更好地理解曲线的性质。
三、力和功的计算在物理学中，力和功是描述物体受力和做功的重要概念。
微积分可以帮助我们计算力和功。
假设一个物体在位移s下受到力F的作用，那么力可以通过求位移函数的导数来计算，即 F = dW(s)/ds。
同样地，功可以通过力和位移的乘积来计算，即W = ∫Fds。
微积分的这些运算使得我们能够准确地计算力和功，从而更好地理解物体受力和做功的过程。
四、体积和质量的计算在物理学中，体积和质量是描述物体性质的重要概念。
微积分可以帮助我们计算体积和质量。
对于一个具有复杂形状的物体，我们可以将其分割成无数个小体积，然后计算每个小体积的大小，再将这些大小相加，就可以得到物体的体积。
同样地，质量可以通过微积分中的积分运算来计算。
高中物理微积分应用(完美)
Q0→Q1
q ③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ； ④联立上式，有i=== - CR ⑤进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR= 同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数 的导数等于函数本身？ 我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数。 故可以知道，i = Cex = Ce-t/CR 当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C=
我们解决物理问题。
导数
㈠ 物理量的变化率
我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可
以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上
的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=.
t
v
下面我们从代数上考察物理量的变化率：
【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,
①（△t+C）=C
②C·△t=0 ③f(△t)=f(0)
④ f(t+△t)=f(t)
⑤=1
『附录』常用等价无穷小关系（）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
㈢ 导数
前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z
可以写成:
z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常
用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N
小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。对一般的变速直 线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v－t图像， 找“面积”就可以。或者，利用定积分就可解决.
微积分在高中物理中的应用
微积分在高中物理中的应用一、非匀变速直线运动的位移计算一小球以速度v 做直线运动，其速度随时间变化规律为22+-=t v ，求小球在0—1s 内的位移。
由题意可知，小球的速度并不是均匀变化的，无法运用匀变速直线运动的公式计算位移，现在尝试运用微积分的思想来解决问题。
试想，将[0，1]这段时间分为n 个时间段：[0，n 1]，[n 1，n 2],…，[nn 1-,1] 每个时间段的长度为 nn t t t t t i i 101=-=-=∆- 当Δt 很小时，在[t 1-i ,t i ]上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似的以速度v(t 1-i )做匀速运动，在这一段时间上物体的位移t t v x i i ∆≈∆-)(1在[0，1]上物体的总位移∑∑=-=∆=∆=n i i n i it t v x x 111)(∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=n i i n n t x 12121- ()[]()()22111131-26121n 1-2121n 1-2111110-3222322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=+-+⋯++=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋯-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n n n n n n nn n n n n 所以，n 越大即t ∆越小时，时间段[0，1]分得越细，∑=∆n i i x 1与x 的近似程度就越好，当∞→n 时，两者之差趋向于零，即3522111131-lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=∞→=-∞→∑x n n x tv x n ni i n 所以，小球在0—1s 内的位移为35m 由此可以看出利用微积分思想可以解决非匀速直线运动的位移问题。
此过程比较麻烦，也可以直接使用牛顿—莱布尼茨公式。
二、变力作功在弹簧的弹性限度内，将其从平衡位置拉到距平衡位置l m 处，已知弹簧劲度系数为k ,求此过程中拉力F 所做的功W 。
在弹性限度内，拉力F 与弹簧拉伸长度成正比()kx x F =所以 20202121kl kx dx kx W ll ===⎰ 拉力F 所做的功为221kl三、交变电流有效值的计算求正弦式交变电流t I i m ωsin =的有效值解： 设电流的有效值为I ，则i W Rt I =2将t I i m ωsin =等号两边同时平方得到t I i m ω222sin =Rt I Q 2=令 T t =所以在半个周期内TRI W t t RI W dt t RI W dt t I R W dt t I R W m i T m i T m i Tmi Tm i 2202202202222412sin 412122cos 2122cos 1sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰ωωωωω所以 TR I W Rt I m i 2241==2221m I I =2mI I = 正弦式交流电的有效值为2mI I =。
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用微积分是数学中的一个重要分支，它在物理学中有着广泛的应用。
物理学领域中的微积分主要涉及到有关运动、力学、能量、功等方面的计算。
以下将分步骤阐述微积分在物理学中的应用。
第一步，微积分在运动学中的应用。
运动学是研究物体运动状态及其规律的一门学科。
微积分可以帮助我们求出物体运动过程中的速度、加速度、位移等参数。
当需要知道物体在某一时刻的速度时，可以通过微积分的导数计算。
同样地，当需要知道物体在某一时刻的加速度时，可以通过微积分的二阶导数计算。
微积分也可以用于求解物体的位移，这是通过将速度对时间积分得到的。
第二步，微积分在力学中的应用。
力学是研究物体在受外力作用下运动、平衡和变形规律的一门学科。
微积分可以帮助我们计算物体在不同受力状态下的运动轨迹，从而分析出受力过程。
在求解物体受力的过程中，可以通过微积分的积分方式得到物体的总受力。
同时，微积分也可以计算出物体所受的重力、弹力、张力等，从而提供更加精确的计算。
第三步，微积分在能量中的应用。
能量是指物体进行运动和发生变形时所具有的能力。
微积分可以帮助我们计算物体在不同状态下的能量变化量。
当物体在运动过程中所进行的功时，可以通过微积分的积分方式计算出功率。
当需要知道物体在某个瞬间的能量时，积分可以帮助得出更加精确的计算结果。
综上所述，微积分在物理学中的应用非常广泛，主要通过计算物体的运动、力学和能量等方面。
在进行微积分计算时，必须基于正确的公式和理论基础，从而得出准确的结果。
对于学习微积分的人来说，需要认真掌握微积分的基本知识和技能，以便于在物理学中应用。
微积分思想在高中物理中的典型应用
微积分思想在高中物理中的典型应用任孝有 任雅群（北京市通州区潞河中学 北京 １０１１００）（收稿日期：２０１９－０４－１６）摘要：微积分思想是现代物理学中的重要思想，它将复杂变化的物理过程转化为定量可解，对学生物理思维和数学思维的提升十分有益．本文结合高中物理中的典型习题，实际说明了如何运用微积分思想解决物理问题．关键词：微积分 图像面积 物理方程 对如图１所示的匀加速直线运动过程，将其运动过程分为ｎ个运动间隔，如图２所示，每个间隔的时间为Δｔｉ，每个间隔的最小速度为ｖｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则每个间隔的位移近似为ｘｉ＝ｖｉΔｔｉ，全程的总位移近似为Ｘ＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋…＝∑ｘｉ，在几何上体现为如图２所示的Δｔｉ上的矩形面积和，此时的Ｘ小于真实总位移．增大ｎ从而减小Δｔｉ，ｖｉ更加接近全程的真实速度，则ｘｉ更加接近对应过程的真实位移，Ｘ也更加接近真实总位移，矩形面积和也更加接近梯形面积；令ｎ趋近于无穷，则ｘｉ和Ｘ趋近于真实值，即对ｎ取极限后，矩形面积和等于梯形面积，也就是图线与横纵轴所围成图形的面积，为真实的位移．因此直接求得梯形面积，就可算出对应的变速运动的位移．其他物理过程同理．图１ 匀加速直线运动ｖ－ｔ图像图２ 匀加速直线运动分割当然，如果ｖｉ表示的是每个间隔的最大速度，取和后Ｘ大于真实值，但取极限后，Ｘ转化为真实值，仍旧体现为图线与横纵轴所围成图形的面积．分割，化变为恒获得物理意义；求和，获得宏观近似值；取极限，获得精确值．以上过程是一种连续后的跳跃，突变．也就是说，在数学图像中，如果横纵轴两个物理量的乘积是个新物理量，而且这个物理量是个过程量，那么图像与横纵轴所围的面积就反映着这个过程量的具体数值．但如果是个状态量则对应的是矩形面积，不可累加，如图３所示电源的Ｕ－Ｉ图像．櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆櫆 （ｍｇ）２＋（ｑＥ）槡２ｍｇ＝ｖＭｖＮ（１２）设Ｍ和Ｎ离开电场的动能分别为Ｅｋ１和Ｅｋ２，由题设条件可得Ｅｋ１＝１．５Ｅｋ２．即 １２ｍｖ２Ｍ＝１．５×１２ｍｖ２Ｎ（１３）联立式（１２）、（１３）可得 Ｅ＝ｍｇ槡２ｑ（１４）点评：在这道题中运用了运动的合成与分解、平均速度、动量定理、相似比等方法．巧妙的分别在水平方向和竖直方向来进行分析研究，一切问题迎刃而解．图３ Ｕ－Ｉ图像１ 数学图像的面积先微分再积分【例１】电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存的能量Ｅ与电容器的电容Ｃ，电荷量Ｑ及电容器两极间电压Ｕ之间的关系．他从等效的思想出发，认为电容器储存的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中克服电场力所做的功．为此他做出电容器两极间的电压ｕ随电荷量ｑ变化的图像如图４所示．请按照他的想法，推导电容器储存的能量．图４ ｕ－ｑ图像解析：电容器两极板间电压为ｕ′时，从一个极板搬运Δｑ的电荷量到另一极板，克服电场力所做的功近似为Ｗ＝Δｑｕ′，图像上体现为Δｑ上方小矩形的面积，类似于ｖ－ｔ图像，图线与横轴所围的面积表示的就是充电过程中克服电场力做功即最终储存的电能Ｅ＝１２ｑＵ＝１２ＣＵ２＝１２ｑ２Ｃ小结：克服电场力做功的过程就是其他形式的能转化为电容器储存的能量的过程．【例２】利用图像分析问题是物理学中常用的方法，其中的斜率、面积通常具有明确的物理意义．（１）小明以６ｍ／ｓ的初速度将足球水平踢出，足球在草坪上滚动直到停下来的全过程中的速度－时间图像如图５所示．图５中图线与坐标轴所围的面积等于１２个小方格的面积．求足球滚动了多远才停下来？解析：图５中图线与坐标轴所围的面积即为足球滚动距离，每个小格代表的距离为１ｍ，所以足球滚动了１２ｍ才停下来．图５ 足球在草坪滚动时的ｖ－ｔ图像（２）用如图６所示的电路研究电容器的放电过程，其中电压传感器相当于一个理想电压表，可以显示电阻箱两端电压随时间的变化关系．实验时将电阻箱Ｒ的阻值调至２ ０００Ω，将开关Ｓ拨到ａ端，电源向电容器充电，待电路稳定后，将电压传感器打开，再将开关Ｓ拨到ｂ端，电容器通过电阻箱放电．以Ｓ拨到ｂ端时为ｔ＝０时刻，电压传感器测得的电压Ｕ随时间ｔ变化图像如图７所示．忽略导线及开关的电阻，且不考虑电路的辐射问题．求电容器所带电荷量的最大值．图６ 研究电容器放电过程电路图图７ 电阻箱两端Ｕ－ｔ图像解析：Ｕ－ｔ图像面积无物理意义，但改造成ＵＲ ｔ图像即Ｉ－ｔ图像，面积即最大电荷．在电容器放电过程中的极短时间内有ΔＱ＝ＩΔｔ根据欧姆定律有Ｉ＝ＵＲＵ ｔ图线与ｔ轴所围面积除以电阻Ｒ即为电容器所带电荷量的最大值，由图可知该面积等于１２个小方格的面积．因此电容器所带电荷量的最大值Ｑ＝６×１０－３ Ｃ小结：非规则图形如何求总面积？数格！对于不是整格的，将不足半格与超过半格凑成一个整格，但不好凑怎么办？舍去不足半个的，只数超过半个的就可以！不能恰好凑成一个呢？数格子也是一种测量方法，有误差不可避免！可以将格子分得尽可能小，以减小误差．计算时，注意横纵轴的物理单位．这种思想在“用油膜法估测分子大小”的实验中得到很好的体现．【例３】摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米．电梯的简化模型如８所示．考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度ａ随时间ｔ变化．已知电梯在ｔ＝０时由静止开始上升，ａ－ｔ图像如图９所示．类比是一种常用的研究方法．对于直线运动，教科书中讲解了由ｖ－ｔ图像求位移的方法．请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图９所示ａ－ｔ图像，求电梯在第１ｓ内的速度改变量Δｖ１和第２ｓ末的速率ｖ２．图８ 电梯简化模型图９ 电梯ａ－ｔ图像解析：Δｖ１＝１２×１×１ｍ／ｓ＝０．５ｍ／ｓｖ２＝Δｖ２＝１２（１＋２）×１ｍ／ｓ＝１．５ｍ／ｓ小结：面积是速度的变化量而不是速度，清楚乘积的物理意义才能正确解决问题．【例４】如图１０所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计．物块（可视为质点）的质量为ｍ，在水平桌面上沿ｘ轴运动．以弹簧原长时物块的位置为坐标原点Ｏ，当弹簧的伸长量为ｘ时，物块所受弹簧弹力大小Ｆ＝κｘ，κ为常量．请画出Ｆ随ｘ变化的示意图，并根据Ｆ－ｘ图像求物块沿ｘ轴从Ｏ点运动到位置ｘ的过程中弹力所做的功．图１０ 例４情境图解析：根据胡克定律Ｆ＝κｘ，可以画出Ｆ－ｘ图像如图１１所示，有Ｗ＝－１２κｘ２图１１ Ｆ－ｘ图像小结：弹簧弹力的功写成－κｘ·ｘ则是以末状态的力充当了全程的力，忽视了弹簧弹力是变力的特点．【例５】如图１２所示的匀强磁场内有一光滑水平轨道，在外力作用下，金属杆从Ｏ点由静止开始向右做匀加速运动．加速度大小为ａ，磁感应强度大小为Ｂ，光滑轨道宽Ｌ，左侧电阻阻值为Ｒ，不计其他电阻．求在从静止开始的一段时间ｔ内安培力的冲量大小．图１２ 例５情境图解析：根据题意有Ｆ安＝ＢＩＬＩ＝ＢＬｖＲｖ＝ａｔ联立以上３式Ｆ安＝Ｂ２ Ｌ２ ａＲｔ画出安培力的冲量与时间关系的Ｆ安－ｔ图像，如图１３所示，由图像面积可得安培力的冲量Ｉ安＝１２ｔＢ２ Ｌ２ ａＲｔ＝Ｂ２ Ｌ２ ａ２Ｒｔ２图１３ Ｆ安－ｔ图像小结：可否不画图，直接根据安培力的平均值Ｆ安＝０＋Ｂ２ Ｌ２ ａｔＲ２计算冲量？不可以，因为需要体现Ｆ安与时间ｔ是线性关系．２ 物理方程的先微分再积分【例６】如图１４所示，空间有一个范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为Ｂ，一个质量为ｍ，电荷量为＋ｑ的带电小圆环套在一根固定的绝缘竖直细杆上，杆足够长，环与杆的动摩擦因数为μ．现使圆环以初速度ｖ０向上运动，经时间ｔ圆环回到出发位置．不计空气阻力．已知重力加速度为ｇ．求当圆环回到出发位置时速度ｖ的大小．图１４ 例６情境图解析：在圆环运动的过程中，圆环受向下的重力ｍｇ，水平方向的洛伦兹力ｑｖＢ，细杆的弹力Ｎ和摩擦力ｆ，其中ｆ一直与运动方向相反，且摩擦力的大小ｆ＝μＮ＝μｑｖＢ圆环从开始向上运动到回到出发位置的过程中，取竖直向上为正方向，根据动量定理有Ｉｆ－ｍｇｔ＝－ｍｖ－ｍｖ０而Ｉｆ＝－∑ｆ上ｉｔ上ｉ＋∑ｆ下ｉｔ下ｉ＝－∑μｑｖ上ｉＢｔ上ｉ＋∑μｑｖ下ｉＢｔ下ｉ＝－μｑＢ∑ｖ上ｉｔ上ｉ＋μｑＢ∑ｖ下ｉｔ下ｉ＝μｑＢ（ｘ下－ｘ上）＝０所以ｖ＝ｇｔ－ｖ０小结：需要对上下两个过程分别使用微积分，因为向上运动的距离与返回运动的距离相等，最终求得滑动摩擦力的冲量为零．【例７】如图１５所示，在竖直向下的磁感应强度为Ｂ的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ．一质量为ｍ的导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．轨道和导体棒的电阻均不计．若轨道左端Ｍ与Ｐ间接一电容器，电容器的电容为Ｃ，导体棒在水平向右恒力Ｆ的作用下从静止开始运动．求导体棒运动过程中加速度的大小．图１５ 例７情境图解析：导体棒ａｂ向右加速运动，在极短时间Δｔ内，导体棒的速度变化Δｖ，根据加速度的定义ａ＝ΔｖΔｔ导体棒产生的电动势变化ΔＥ＝ＢＬΔｖ电容器增加的电荷Δｑ＝ＣΔＥ＝ＣＢＬΔｖ根据电流的定义Ｉ＝ΔｑΔｔ解得Ｉ＝ＣＢＬａ导体棒ａｂ受到的安培力Ｆ安＝ＢＩＬ＝Ｂ２ Ｌ２ Ｃａ根据牛顿第二定律Ｆ－Ｆ安＝ｍａ解得ａ＝Ｆｍ＋ＣＢ２ Ｌ２小结：加速度是恒定的吗？不清楚！为了求出加速度，分割后看成是匀变速运动，此处也是化变为恒，是化变加速为匀加速，即变化的ａ转化为恒定的ａ．从最终结果看出，ａ与时间无关，也就是说各段的ａ相同，即全程是匀加速直线运动．上什么山唱什么歌，具体问题要具体分析．【例８】在磁感应强度为Ｂ，方向如图１６所示的匀强磁场中，两根平行且光滑的金属轨道ＭＮ和ＰＱ固定在水平面内，相距为Ｌ，电阻不计．轨道端点Ｍ和Ｐ间接有阻值为Ｒ的电阻．一个长为Ｌ，质量为ｍ，阻值为ｒ的金属导体棒ａｂ垂直于ＭＮ和ＰＱ放在轨道上，与轨道接触良好．给导体棒ａｂ瞬时速度ｖ０，求：金属棒ａｂ向前运动的最大距离ｘ．图１６ 例８情境图解析：以金属棒为研究对象，在很短的一段时间Δｔ内根据动量定理 ＢｉＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（１）在某时刻根据全电路欧姆定律ｉ＝ＢＬｖｉＲ＋ｒ（２）由式（１）、（２）得 ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝ｍΔｖｉ（３）ａｂ经时间ｔ停下来，对式（３）在时间ｔ内求和 ∑ＢＢＬｖｉＲ＋ｒＬΔｔ＝∑ｍΔｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬ∑ｖｉΔｔ＝ｍ∑Δｖｉ ＢＢＬＲ＋ｒＬｘ＝ｍｖ０（４）解得ｘ＝ｍｖ０（Ｒ＋ｒ）Ｂ２ Ｌ２小结：安培力的冲量，用式（４）左侧计算出的结果是真实值还是近似值？式（１）左侧的匀速如何对应于右侧的变速？下面简要说明为什么是近似值．对于在一极短时间Δｔ内，初速度为ｖｉ的匀减速直线运动过程，结合Ｆ安－ｔ图像，如图１７所示，安培力的冲量ＩＦｉ＝１２Ｂ２ Ｌ２ｖｉＲ＋ｒ＋Ｂ２ Ｌ２（ｖｉ－ａΔｔ）Ｒ＋ｒ［］Δｔ＝Ｂ２ Ｌ２２（Ｒ＋ｒ）（２ｖｉΔｔ－ａΔｔ ２）图１７ Δｔ时间内Ｆ安－ｔ图像因为Δｔ为一极短时间，Δｔ ２相对于Δｔ来说可以忽略不计，所以ＩＦｉ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｖｉΔｔ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘｉ同样ａｂ经时间ｔ停下来，对上式在时间ｔ内求和ＩＦ＝Ｂ２ Ｌ２Ｒ＋ｒｘ与式（４）左侧一致，因此近似在Δｔ ２的忽略上．物理结果是存在误差的，但这个误差是极小的，可以满足实际的需要．微积分思想与整体法和隔离法是一脉相承的，只是操作时，先分析可研究的局部，再获得整体，适当的练习有益于学生尤其是高三学生物理思维的提升．参考文献１ 程守洙，江之永．普通物理学．北京：高等教育出版社．２０１６２ 匡继昌．微积分和无穷小量的哲学思考．数学教育学报，２００７，１６（２）。
微积分在物理中的应用
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
(I) 求容器的容积； (II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位： m ，重力加速度为 g m/s2 ，水的密度为103 kg/m3 ）.
3
【解】（I）由对称性，所求的容积为
∫ ∫ V = 2π
1
2 x2 d y = 2π
1 2
(1
−
y2)d
y
=
9π
.
−1
−1
4
即该容器的容积为 9π 立方米. 4
（II）所求的功为
∫ ∫ W = 103
1
2 π (1− y2 )(2 − y)g d y +103
−1
12π (2 y − y2 )(2 − y)g d y
2
∫ ∫ =
103πg
⎡ ⎢
⎣
1
2 (2 − y − 2y2)d y +
−1
2
1 (4y
−
w = w1 + w2 + w3,
其中 w1 是克服抓斗自重所作的功；w2 是克服缆绳重力所作的
功； w3 为提出污泥所作的功. 由题意知
w1 = 400 × 30 = 12000. 将抓斗由 x 处提升到 x + d x 处，克服缆绳重力所作的功为
d w2 = 50(30 − x) d x,
从而
∫ 30
.
【例 2】（2015 年 2）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率
与该时刻物体和介质的温度差成正比.现将一初始温度为120 C 的物体在 20 C 恒温介质中
4
冷却， 30 min 后物体温度降至 30 C ，若要将物体的温度继续降至 21 C, 还需冷却多长
利用微分方程思想解决物理问题的应用举例
利用微分方程思想解决物理问题的应用举例微分方程是数学中的一个重要分支，不仅在数学中有着广泛的应用，还可以被用于解决物理中的问题。
物理学家们在对物理现象进行建模和分析时经常会遇到微分方程，例如引力、波动、热力学等方面的问题。
利用微分方程的思想，可以对这些问题进行深入研究和分析。
本文将以几个例子来说明微分方程如何被用于解决物理问题。
首先我们将考虑一个经典的物理问题 - 自由落体。
当一个物体在没有任何阻力的情况下自由落下时，它的运动可以由微分方程描述。
假设在运动的过程中，物体在高度为h的位置上以初速度v0开始自由落体。
我们可以通过分析重力的作用和牛顿第二定律来获得微分方程。
该微分方程可以写成如下形式：$$\frac{d^2s}{dt^2}=-g$$其中s是物体的下落距离，t是时间，g是重力加速度。
这个微分方程可以被解析求解，例如，可以通过积分获得物体在任意时间点的速度和位置。
通过这种方式，我们可以对自由落体的运动进行深入分析，并获得许多关于它的性质的重要信息。
下一个例子是关于弯曲的钢铁梁的问题。
当一条长的钢梁弯曲时，它的形状会发生变化，且弯曲的部位会承受压力。
因此，理解弯曲过程的数学模型对于诊断问题和设计解决方案非常重要。
我们可以通过微分方程的方法来解决这个问题。
假设一条长，圆柱形的钢梁沿其长度方向均匀受力，在其任意截面处的弯曲量可以用y(x)表示，其中x是其长度的距离。
通过平衡方程和几何关系，可以得到如下微分方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M}{EI}$$其中M是弯矩，E是钢的弹性模量，I是截面结构的惯性矩。
这个微分方程可以用于预测钢梁弯曲的形状，并确定承受弯曲的部位。
最后一个例子是关于热传导方程的问题。
当一个材料被加热或冷却时，它的温度分布会发生变化。
我们可以通过微分方程的方法来预测材料温度随时间和空间的变化。
假设我们要研究一个均匀的材料，其平均温度可以用u(y,t)表示，其中y是其在空间中的位置，t是时间。
高中数学的实践应用掌握微积分的求导技巧
高中数学的实践应用掌握微积分的求导技巧高中数学的实践应用：掌握微积分的求导技巧微积分作为数学的分支之一，在高中数学教学中占据着重要的地位。
它是探究函数和曲线变化规律的重要工具，广泛应用于物理、经济学等实践领域。
而求导作为微积分的基本运算，是学习微积分不可或缺的一环。
本文将介绍高中数学的实践应用，并重点讨论如何掌握微积分的求导技巧。
一、匀速运动的实际应用匀速运动是物理学中常见的一种情况，涉及了速度和位移的关系。
在高中物理学中，我们需要用到求导技巧来推导匀速运动的位移公式。
通过对运动过程进行微分，我们可以得到每个时刻的瞬时速度，从而求解出位移。
这样的实践应用让我们学习到了微积分的实际意义，也培养了我们的问题解决和分析能力。
二、函数图像的研究与应用在高中数学中，我们需要研究各种函数的图像及其性质。
而对函数的导数进行研究，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
通过求导可以得到函数的极值点、拐点等重要信息，从而准确地绘制函数图像。
同时，函数的导数也能够帮助我们解决实际问题，如物体的速度、加速度与时间的关系等。
三、费率问题的数学建模在经济学中，我们经常需要研究各种费用与产量的关系。
而求导技巧在这方面发挥了重要的作用。
以生产企业为例，通过对成本函数进行求导，我们可以确定最佳的生产规模，使得利润最大化。
类似地，我们还可以计算市场需求函数的弹性，从而了解价格变动对需求的影响程度。
这些实际问题的数学建模，帮助我们将数学的抽象概念与实际经济问题相结合，培养了我们的应用能力。
四、最优化问题的求解在高中数学中，我们学习了很多优化问题，如最大值、最小值等。
而这些问题的求解往往需要用到求导技巧。
例如，我们需要求解一个函数的最大值，可以通过求导和导数的性质来判断。
对于单调递增函数，其导数一直为正，而单调递减函数的导数则一直为负。
这样的实践应用让我们对求导技巧有了更深刻的理解，同时也提高了我们的数学思维能力。
五、科学研究与工程实践除了上述实践应用外，微积分的求导技巧还广泛应用于科学研究和工程实践中。
(完整)微积分在物理 中的简单应用(DOC)
求解在立体斜面上滑动的物体的速度擦因数μ恰好满足一物体放在斜面上,物体与斜面间的摩αμtg =，α为斜面的倾角.今使物体获得一水平速度0V 而滑动，如图一，求:物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。
G ，弹力N以及摩擦力解：物体在某一位置所受的力有:重力f 。
摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====重力在斜面上的分力为1G,如图二,将1G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分力，φαφsin sin sin 11mg G G =='' ；1G'是沿轨迹法向的分力，φαφcos sin cos 11mg G G =='，如图三。
根据牛顿运动定律,得运动方程为τma f G =-''1(1） n ma G ='1（2) 由（1)，)1(sin sin )sin sin sin (1-=-=φααφατg mg mg m a 而,dtdVa =τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）式中φ是t 的函数,但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分,要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到φφd d ds V V dS dt 1==（4） 而φd ds表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，ρφα2cos sin V mmg = (5）由式(3）（4）（5）,可得到 ,)sec (φφφd tg V dV-= φφφφd tg V dV V V ⎰⎰-=00)sec (， 积分,得到)sin 1ln()ln(sec cos ln lnφφφφ+-=+--=tg V V， .sin 10φ+=V V运用积分法求解链条的速度及其时间子上,一边长度为1L ,另一条匀质的金属链条，质量为m,挂在一个光滑的钉一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。
微积分在物理的应用
微积分在物理的应用
微积分是数学中的一个分支，它主要研究连续变化的量和它们的变化率。
这种数学工具在物理中有广泛的应用，尤其在描述物理系统的动态时非常有用。
微积分可以帮助我们计算速度、加速度和力的变化率。
例如，当一个物体在运动时，我们可以用微积分来计算它的速度和加速度。
同样，在描述天体运动时，我们可以用微积分来计算天体的位置和速度。
微积分也可以帮助我们理解能量和功的概念。
当物体受到力时，它会进行功。
我们可以用微积分来计算这些功。
在电学和磁学中，微积分也有着重要的应用。
例如，我们可以用微积分来计算电场和磁场的变化。
总之，微积分是物理学中不可或缺的数学工具。
它可以帮助我们更好地理解物理系统的动态和变化。
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高中物理中微积分思想伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
1、解决变速直线运动位移问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt ；但变速直线运动，那么物体的位移如何求解呢？例1、汽车以10m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速2m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解析】 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式at v v +=0 2021at t v x +=就可以求得汽车走了0.025公里。
但是，高中所谓的的匀变速直线运动的位移公式是怎么来的，其实就是应用了微积分思想：把物体运动的时间无限细分。
在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即2021at t v x +=。
【微积分解】汽车在减速运动这段时间内速度随时间变化的关系t at v v 2100-=+=，从开始刹车到停车的时间t=5s ，所以汽车由刹车到停车行驶的位移kmt t t a t v dt at v dt t v x 025.0)10()2()()(50252050050=-=+=+==⎰⎰小结：此题是一个简单的匀变速直线运动求位移问题。
对一般的变速直线运动，只要结合物理知识求速度关于时间的函数，画出v －t 图像，找“面积”就可以。
或者，利用定积分就可解决.2、解决变力做功问题恒力做功，我们可以利用公式直接求出Fs W =；但对于变力做功，我们如何求解呢？例2：如图所示，质量为m 的物体以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知物体与竖直圆轨道间的摩擦因数为μ，求物体从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功。
【解析】物体沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，在不同位置与圆环间的正压力不同，B ，设OA 、OB 与水平直径的夹角为S 所做的功之和可表示为：(μθμ-+∆-=∆R N W A f 又因为车在A 、B 两点以速率vA综合以上各式得：θμ∆-=∆22mv W f 故摩擦力对车所做的功：22222mvmv mv W W f f πμθμθμ-=∆∑-=∆-∑=∆∑=【微积分解】物体在轨道上受到的摩擦力N F f μ=，从最低点运动到最高点摩擦力所做的功为22022)(mv d mv d R N R N W B A f πμθμθμμπ-=-=--=⎰⎰小结：这题是一个复杂的变力做功问题，利用公式直接求功是难以办到的。
利用微积分思想，把物体的运动无限细分，在每一份位移微元内，力的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在恒力作用下的运动；接下来把所有位移内的功相加，即“无限求和”，则总的功就可以知道。
在高中物理中还有很多例子，比如我们讲过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。
作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。
“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。
我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。
分析：①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ；②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为K Qr U==Ckρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；CKQa 其中Q=ρa 3③ 大立方体的角点电势：U 0= Ckρa 2 ；小立方体的角点电势：U 2= Ckρ（）2=a 2CK ρa24大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ckρa 2 ；即U 0=U 112【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。
如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。
Rmv mg N R mv mg N B A 22sin sin =+=-θθ导数㈠ 物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上的微积分。
我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=.△v△t 下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。
（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近似处理成瞬△s△t 时速度。
s(t)=3t+2t 2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t 2=3△t+4t△t+2△t 2v===3+4t+2△t△s △t 3△t +4t △t +2△t2△t 当△t 取很小，小到跟3+4t 相比忽略不计时，v=3+4t 即为t 时刻的瞬时速度。
【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t 3,求感应电动势随时间t 的函数关系。
【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z 的步骤：①写出t 时刻y 0=f(t)的函数表达式；②写出t+△t 时刻y 1=f(t+△t)的函数表达式；③求出△y=y 1- y 0=f(t+△t)- f(t)；④求出z==；△y △t f(t +△t)- f(t)△t ⑤注意△t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。
㈡ 无穷小当△t 取很小时，可以用V=求瞬时速度，也可用i=求瞬时电流,用ε=求瞬时感△s △t △Q △t N △φ△t 应电动势。
下面，我们来理解△t：△t 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t 大，即：ε>△t 。
或者从动态的角度来看，给定一段时间t ，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=；t2第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=；t3第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=；t4…………第N 次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=；tN +1…………一直这样进行下去，我们知道，△t 越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t →0。
或者，用数学形式表示为 △t=0。
其中“”表示极限，意思是△t 的极限值为0lim t ∆→0lim t ∆→0。
常规计算：①（△t+C ）=C ②C ·△t=0 ③f(△t)=f(0)lim t ∆→0lim t ∆→0lim t ∆→④ f(t+△t)=f(t) ⑤ = 10lim t ∆→0limt ∆→sin(△t)△t 『附录』常用等价无穷小关系（）0x →① ；② ；③ ；④ ；⑤sin x x =tan x x =211cos 2x x -=()ln 1x x +=1x e x -=㈢ 导数前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y 的变化率的瞬时值z 可以写成:lim t ∆→z=,并简记为z=,称为物理量y 函数对时间变量t 的导数。
物理上经常用某物理量的变lim t ∆→△y △t dyd t 化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、ε=N 等，甚至不限于对时间求导，如F=dx d t dv d t dq d t d Фd t 、E x =、ρ=等。
dWF d x dU dx dm dl 这个dt （也可以是dx 、dv 、dm 等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用来求lim t ∆→物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。
如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。
同学们可以课后推导以下公式：⑴ 导数的四则运算 ①=± ③= d(u ±v)d t du d t dv d t ②=·v + u· d(u·v)d t du d t dv d t uv⑵ 常见函数的导数①=0(C 为常数)； ④=-sint ；dCdt d cos tdt ②=nt n-1 (n 为实数)；⑤=e t ；dtndt detdt ③=cost ； d sin tdt ⑶ 复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。
=·du(v(t))d t du(v(t))d v(t)dv(t)d t复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式法则。
【练】1、某弹簧振子在X 轴上做直线运动，其位移x 与时间t 的关系为x=Asin ωt ，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A （A 称为振幅），周期为（ω称为角频率），物理上把这种运动叫简2πω谐运动。
请完成以下几问：g①求出t 时刻的速度v②写出合力F 与位移x 的关系③验证简谐运动中质点的机械能守恒。
【练】2、某矩形线框面积为S ，匝数为N ，处于磁感应强度为PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t 感应电动势ε三：微分和积分㈠ 简单问题【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。