矢量知识

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矢量简介

i i j j k k 1 i j j k k i 0
②分量式表示点积
C AB
(Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz BA
2.叉乘：矢积
C AB
大小：C ABsin
大学物理
1.使知识系统化，条理化； 2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）； 3.提高分析能力（量纲分析，判断结果的合理性等）；
4.数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。
矢量简介一、矢量和标量的定义 1.标量：只有大小（及单位）和正负的物理量。
如时间、质量、功、能量、温度等。
2.矢量：既有大小又有方向物理量。（又称向量）如位移、速度、加速度、力、动量、冲量
C AB
B
C
C A2 B2 2AB cos
2.矢量加法的多边形法则
C B
A

A
A合 A4
A3 A1 A2
y
Cy By
B
3.矢量合成的解析法
C
Cx Ax Bx
Ay
A
Cy Ay By
Ax Bx
Cx x
合矢量在任一直角坐标轴上的分量等于分矢量在同一坐标轴上各分量的代数和。
大小: C m A
方向：m>0 与 A 同向；

标量矢量知识点

标量与矢量知识点

1. 引言

在物理学和数学中，标量和矢量是两个非常重要的概念。它们用于描述物体的

性质和运动，并在各个学科中都有广泛的应用。本文将介绍标量和矢量的基本概念、区别以及一些常见的应用场景。

2. 标量的定义与特点

标量是一个只有大小（大小可以是实数或复数）而没有方向的量。在物理学中，温度、质量、时间和体积等都属于标量。标量可以用一个实数或复数来表示，例如：T=30℃，m=5kg。

标量具有以下特点：- 大小：标量具有具体的数值，表示量的大小；- 无方向：标量没有方向，只有大小的概念； - 可以进行数值运算：标量之间可以进行加、减、乘、除等运算。

3. 矢量的定义与特点

矢量是一个既有大小又有方向的量。在物理学中，速度、力、位移和加速度等

都属于矢量。矢量通常用带有箭头的字母表示，例如：v⃗表示速度矢量。

矢量具有以下特点： - 大小：矢量具有具体的数值，表示量的大小； - 方向：

矢量具有方向，可以用箭头表示； - 可以进行矢量运算：矢量之间可以进行加、减、乘、除等运算，并且结果仍然是一个矢量。

4. 标量与矢量的区别

标量和矢量之间的主要区别在于是否具有方向。标量只有大小，而矢量既有大

小又有方向。举个例子来说明：

假设有一个车辆在直线上行驶，速度为30 km/h。这个速度是一个标量，因为

它只有大小，没有方向。但是，如果我们知道车辆的速度是30 km/h，并且向东方行驶，那么速度就是一个矢量，因为它既有大小又有方向。

另一个例子是力的概念。如果我们只知道一个物体受到了5 N的力，那么这个

力是一个标量，因为它只有大小。但是，如果我们知道这个力是向上的，那么力就是一个矢量，因为它既有大小又有方向。

矢量知识

→ →
A⋅ B = 0.
功W
= F ⋅ ∆r
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
大小矢量的数乘：矢量的数乘： B = m A矢量 mA
r r 方向 m > 0, B与 A的方向一致；反之相反。
：（2）矢量的矢积（叉乘）两矢量相乘得到新矢量的乘法矢量的矢积（叉乘） r
v Ax
γ
o
α
β
v Ay
y
x
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。加法: 加法
v B
v C
v v v C = A+ B
v C
v B
v A
⇒
v A
v v v v a.满足交换律： A + B = B + A v v v v v v v v b.满足结合律： ( A + B) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
物理量的分类
算术量标量物理量代数量矢量
算术量：始终为正的标量。算术量：始终为正的标量。如 m、 t、 l、 S、 V 等。
t o c、 W 、 I、 q、 E p 。等代数量：有正有负的标量。代数量：有正有负的标量。如

矢量基本知识

dt

dB Adt (Axi Ay j)dt

B ( Axdt)i ( Aydt) j
C
三维空间中应有3个不共面的矢量
若按直角坐标正交分解 A Axi Ay j Azk
A的模： A A Ax2 Ay2 Az2
z
Az A
x Ax
Ay
y
Ax Acos

Ay

A sin
Bx B cos

By

B sin

Cx Cy
dt
dt
dt
(3)
d
(A B)
A
dB

B
dA
dt
dt
dt
(4)
d
(A B)
A
dB

dA

B

dA

B
A
dB
dt
dt dt
dt
dt
2、矢量的积分
设 A B 在同一平面直角坐标系内
dB
A

dB
Adt
i j i k j i j k k i k j k k k jki ji 0 0

大学物理简明教程矢量基础知识

引言概述：

在研究物理学时，矢量是一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。本文将以大学物理为基础，介绍矢量的基础知识，包括矢量的定义、性质以及运算法则等。通过学习这些知识，读者将能够更好地理解和应用矢量概念。

正文内容：

1.矢量的定义和性质

1.1定义：矢量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并且满足平行四边形法则。

1.2强调大小和方向：矢量的大小由模和单位来表示，方向由箭头指向表示。

1.3矢量的分类：自由矢量和定向矢量。

1.4坐标系：在空间中表示矢量，一般采用直角坐标系、极坐标系等。

1.5矢量的性质：平移性、相等性、零矢量等。

2.矢量的运算法则

2.1矢量的加法法则：满足三角形法则和平行四边形法则。

2.2矢量的减法法则：将减法转化为加法，即AB=A+(B)。

2.3矢量与标量的乘法：数乘，即矢量的模与数的乘积。

2.4矢量的数量积：点乘，模乘以夹角的余弦值。

2.5矢量的向量积：叉乘，模乘以夹角的正弦值。

3.极坐标表示下的矢量

3.1极坐标系：用极径和极角来表示矢量。

3.2极坐标系下的加法法则：将加法转化为直角坐标系下的加法。

3.3极坐标系下的减法法则：将减法转化为直角坐标系下的减法。

3.4极坐标系下的数量积和向量积：类似于直角坐标系下的计算方法。

4.平面矢量的应用

4.1矢量和标量的关系：矢量可以表示位移、速度、加速度等。

4.2位移矢量：表示物体从一个位置到另一个位置的矢量。

4.3速度矢量：表示物体在单位时间内位移的矢量。

4.4加速度矢量：表示物体在单位时间内速度的变化率的矢量。

4.5矢量和矢量的关系：矢量可以相加、相减、求量积和向量积等。

高一物理矢量和标量归纳知识点

高一物理矢量和标量归纳知识点在高一物理学习中，矢量和标量是重要的概念。矢量是具有大

小和方向的物理量，而标量只有大小没有方向。深入理解和掌握

这些概念对于学习物理非常关键。下面将对高一物理矢量和标量

的相关知识点进行归纳。

1. 矢量和标量的定义

矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，如力、速度、位移等。它们在运算中需考虑方向和大小的综合作用。而标量只

有大小，没有方向，常用数字表示，如时间、温度、质量等。标

量在运算中只需考虑大小的计算。

2. 矢量的表示方法

矢量可以使用多种表示方法，包括数值法、文字法和图示法。

数值法是指使用数值和单位来表示矢量，如10 m/s的速度矢量。

文字法是使用字母符号和单位来表示矢量，如V表示速度矢量。

图示法是通过箭头图示来表示矢量的大小和方向，箭头长度表示

大小，箭头方向表示方向。

3. 矢量的运算

矢量的运算包括矢量相加和矢量相减。矢量相加时，可以使用

平行四边形法则或三角形法则。平行四边形法则是将矢量按照顺

序排列，然后把它们的起点连起来构成平行四边形，连接对角线

得到结果矢量。三角形法则是将矢量按照顺序排列，然后从第一

个矢量的尾部画一条线到第二个矢量的尾部，再从第二个矢量的

尾部画一条线到第三个矢量的尾部，连接第一个矢量的起点和第

三个矢量的终点得到结果矢量。矢量相减可以通过将被减矢量取

反后再进行矢量相加来实现。

4. 矢量的分解

矢量的分解是将一个矢量分解为数个分量，常用直角坐标系进

行分解。例如，将一个力矢量分解为水平和垂直方向上的分量。

分解后的矢量之和等于原矢量。分解矢量使计算和分析更方便和

主矢知识点总结

矢量是一个重要的概念，在物理学、数学、工程学等各个领域都有广泛的应用。矢量是一个同时包含大小和方向信息的量，它可以用来描述物理量的运动、力的方向和大小、电场的方向和强度等。本文将从数学、物理和工程角度总结矢量的基本概念和相关知识点。

一、矢量的基本概念

1.1 矢量的定义

矢量是指具有大小和方向的物理量。在数学上，矢量通常用箭头表示，并且箭头所指方向表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。

1.2 矢量的表示

矢量可以用不同的方式表示，最常见的表示方法有点表示、分量表示和矩阵表示。点表示是将矢量的起点和终点坐标表示出来；分量表示是将矢量在坐标轴上的投影表示出来；矩阵表示是将矢量表示为一个列向量。

1.3 矢量的运算

矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积等。矢量的加法是将两个矢量的对应分量相加；减法是将一个矢量减去另一个矢量；数量乘法是将一个矢量的每个分量都乘以一个实数；点积是将两个矢量的对应分量相乘再相加。

1.4 矢量的性质

矢量具有平行四边形法则、共线性、可加性等性质。平行四边形法则指出两个矢量的和等于构成这两个矢量的两条边的平行四边形的对角线。

二、矢量的物理应用

2.1 力的矢量表示

在物理学中，力是一个矢量量，它包含有大小和方向的信息。力的方向对物体的运动方向和速度有重要的影响。

2.2 运动的矢量表示

在描述物体的运动时，使用矢量来表示物体的位移、速度和加速度。位移的方向和大小都可以用矢量来表示，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

2.3 矢量叠加原理

矢量叠加原理是指当一个物体同时受到多个力的作用时，可以将这些力的矢量相加得到合力的矢量。

矢量知识简介

矢量知识简介
矢量的矢积（或称叉积、叉乘）
C = A× B
大小：C = AB sin α
方向：右手螺旋
C
B A
矢积性质：A × B = B × A C × ( A + B) = C × A + C × B
可以得到： i × j = k , j × k = i , k × i = j . i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0
k
i
j
矢量知识简介
矢量的导数与积分
dAy dAx dAz dA d = ( Ax i + Ay j + Az k ) = i+ j+ k dt dt dt dt dt
d dA dB ( A + B) = + dt dt dt d (cA) dA =c (c为常数） dt dt
dB 设 = A,有dB = Adt = ( Ax i + Ay j + Az k )dt ,有 dt 用不定积分则有：B = Adt + C = ( Ax dt )i + ( Ay dt ) j + ( Az dt )k + C
矢量知识简介矢量相加（矢量相加（减）
C = A+ B
平行四边形法则三角形法则
B A
C

矢量知识

三角形法则
A B B A A ( B C ) ( A B) C
零矢量的定义： A 0 A
(2) 数乘
大小 A C 方向
C A 0 0 C平行于A C平行于－ A
结合律：
( A) ( ) A ( A B) A B
（, j, k ) (均为单位矢量) i
i j j k k i 0 i i j j k k 1 i j k , j k i ,k i j
一个矢量可以用基矢展开(即按基矢分解，也称向坐标轴投影)
A A1 i A2 j A3 k A1 A i, A2 A j, A3 A k A B A1B1 A2 B2 A3 B3 i j k A1 A2 A3 A B A1 A2 A3 ( A B ) C B1 B2 B3 B1 B2 B3 C1 C2 C3
(6)矢量的混合积
（A B) C (C A) B ( B C ) A ( B A) C
结果为平行六面体的体积 (7)矢量的非法运算包括
1 A , ln B, C , eD
*矢量与标量不能相等！！！
四.正交坐标系一个坐标系需要由基矢量组成。基矢量相互正交的坐标系称为正交坐标系。直角坐标系是正交坐标系，它的基矢量为：

矢量分析的知识点总结

一、矢量的定义和表示

1.1 矢量的定义

矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速

度等。矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。

1.2 矢量的表示

矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。坐标表示是指用矢

量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。

1.3 矢量的运算

矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一

个标量。

二、矢量的微积分

2.1 矢量的导数

矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。矢量的导数在物理

学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。

2.2 矢量场

矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。

2.3 曲线积分

曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。曲线积分在物理学中有

着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。

2.4 曲面积分

曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。曲面积分在物理学

中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。

三、矢量分析的应用

3.1 物理学中的应用

矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。

矢量基础知识

Axo
AAy
y
cos2 cos2 cos2 1 x
2、矢量的运算法则：
B
C
（1）矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量的叠加，用的是平行四边形法则或三角形法则。
A
C
B

A
2
（2）矢量的减法运算
矢量的减法运算是加法运算的逆运算。
（3）矢量的乘法运算
一、矢量代数的基本知识
标量只有大小，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
1、矢量的几种表示方式：
z
几何表示 ——有指向的线段。

解析表示

直角坐标系

A
Axi
Ay j Azk
Az A
Axo
x，y，z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各
分量值进行矢量合成。
Ax dAx , Ay dAy , Az dAz
A Axi Ay j Azk
☜☞5
矢量 A 、B 形成右手螺旋关系：
伸出右手，使手平面垂直 A 、B所构成的平面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 A B 于180的角转到矢量 B 的方向，此时姆指指示的方向，就是矢量 A B 的方向。

矢量相关物理知识点总结

矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。

一、矢量的基本概念

1. 矢量的定义

矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。

2. 矢量的性质

矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。起点是矢量的起始位置，通常用A表示。

3. 矢量的分解

矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。

二、矢量的运算

1. 矢量的加法

矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。

2. 矢量的减法

矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。

3. 矢量的数量积

矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。

高一月考物理知识点矢量

物理学中的矢量是一个非常重要且基础的概念，在高一的物理

学习中也是一个重要的知识点。本文将对高一物理学中关于矢量

的基本概念、运算规则和常见应用进行详细介绍。

一、矢量的基本概念

1. 什么是矢量？

矢量是具有大小和方向的物理量。与矢量相对的是标量，标量

只有大小没有方向，如时间、温度等。而矢量可以表示力、速度、位移等需要同时考虑大小和方向的物理量。

2. 矢量的表示方法

矢量可以使用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的

方向表示矢量的方向。在文字表示中，通常用粗体小写字母表示，如a、a，或者用带箭头的小写字母表示，如→a、→a。

3. 矢量的分解

任何一个矢量都可以分解为两个或多个分量。如果一个矢量a 在某一方向上的分量为a₁，那么矢量a可以写成a=a₁+a₂，其中a₂为与a₁正交的方向上的分量。

二、矢量的运算规则

1. 矢量的加法

矢量的加法满足三角形法则。如果有两个矢量a和a，将它们的起点放在一起，然后将它们的箭头相连，将连接的箭头作为新矢量的箭头，该箭头的起点就是新矢量的起点，终点就是新矢量的终点。新矢量的大小等于两个原始矢量大小的矢量和。

2. 矢量的减法

矢量的减法可以看作是矢量加法的反向操作。如果有两个矢量a和a，将矢量a颠倒方向，然后将其起点与矢量a的起点放在一起，将它们的箭头相连，连接的箭头即为新矢量的箭头。新矢量的终点就是矢量a的终点。新矢量的大小等于两个原始矢量大小的矢量差。

3. 矢量的数量积

矢量的数量积，也称为点积，是通过乘法运算得到一个标量。

数量积的结果等于两个矢量之间的夹角的余弦值乘以它们的大小。

高中数学矢量知识点总结

1. 矢量的表示方法

矢量可以用不同的表示方法来进行表述。最常见的两种表示方法是坐标法和分解法。在坐

标法中，一个矢量可以表示为一个有序数对(a, b)。在分解法中，一个矢量可以被分解成两个垂直方向的分量。

2. 矢量的加法和减法

对于矢量的加法，可以利用平行四边形法则，将两个矢量放在一起，然后通过平行四边形

的对角线来求和。对于矢量的减法，可以利用加法的逆运算来进行计算。

3. 矢量的数量积和向量积

数量积也叫点积，是两个矢量的数量乘积再乘以他们的夹角的余弦值。向量积也叫叉积，

是两个矢量的乘积然后再乘以他们的夹角的正弦值。

4. 矢量的模长和方向角

矢量的模长是指矢量的大小。它可以通过勾股定理来求解。方向角是指矢量与坐标轴的夹角。

5. 矢量的坐标变换

在平面直角坐标系中，一个矢量的坐标变换可以通过坐标轴的变换来进行。

6. 矢量的线性运算

矢量具有线性性质，即对于任意的实数a和b，有a（u+v）=au + av和a（bv）=（ab）v。

7. 矢量的共线与共面

如果存在一个非零数k，使得矢量a = k*v，则矢量a与v共线。如果在同一平面上有n个矢量和它们的线性组合也在同一平面上，则这些矢量共面。

8. 矢量的投影

一个矢量在另一个矢量上的投影可以通过数量积来求解。

9. 矢量的基本定理

矢量存在的基本定理是矢量可以通过两个非零矢量的线性组合来构成。

10. 空间直角坐标系下矢量的数量积与向量积

在三维空间中，矢量的数量积和向量积的计算方式与二维空间有所不同。

11. 空间直角坐标系下矢量的坐标变换

1.1 矢量

r r r r r r r r A ⋅ B = ( Ax i + Ay j + Az k ) ⋅ ( Bx i + B y j + Bz k )
= Ax Bx + Ay B y + Az Bz r r 特殊：特殊： A ⋅ dA = AdA
4
r r r r r (2) 矢量的叉乘 A × B =| A || B | sin ατ
z
r Az γ A
β Ay来自百度文库
y
r C
y x z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
此三个角满足关系：此三个角满足关系：
cos α + cos β + cos γ = 1
2 2 2
αo Ax
x r
B
2、矢量的运算法则：矢量的运算法则：（1）矢量的加法运算
r A
r C
预备知识 ——矢量矢量
1
一、矢量代数的基本知识
标量：只有大小，标量：只有大小，大小例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，大小又有方向一定的运算规则例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。 1、矢量的几种表示方式：矢量的几种表示方式：几何表示 ——有指向的线段。有指向的线段。有指向的线段解析表示（直角坐标系）解析表示（直角坐标系）

矢量图形知识点总结

1. 矢量图形的特点

矢量图形具有以下几个显著的特点：

1) 无限放大缩小，不会失真：矢量图形是由数学公式来描述的，因此可以根据需要随意放大或缩小而不会失真，这是矢量图形的最大特点之一。

2) 文件大小小：由于矢量图形是以数学公式来描述的，因此文件大小一般比位图图形要小得多。

3) 可编辑性强：矢量图形是以数学公式存储的，可以方便地修改颜色、线条、形状等属性。

4) 不适合描述真实场景：由于矢量图形是以线段、曲线等基本图元来描述的，因此不适合用来描述真实场景。

2. 矢量图形的基本要素

矢量图形的基本要素包括顶点、线段、曲线、填充等。

1) 顶点：顶点是矢量图形的基本构成单元，两个顶点之间可以通过线段或曲线相连，从而形成图形。顶点包括坐标信息和属性信息。

2) 线段：线段是由两个顶点相连而成的直线，它可以是直线段，也可以是曲线段。

3) 曲线：曲线是由多个顶点相连而成的曲线，常见的曲线包括贝塞尔曲线、样条曲线等。

4) 填充：填充是对图形内部进行填充颜色或纹理，常见的填充方式包括纯色填充、渐变填充、图案填充等。

3. 矢量图形的表示方法

矢量图形可以通过多种方式来表示，包括直角坐标系表示法、极坐标系表示法、参数方程

表示法等。

1) 直角坐标系表示法：直角坐标系表示法是最常见的表示方法，它以直角坐标系为基础，使用x轴和y轴的坐标来描述顶点的位置。

2) 极坐标系表示法：极坐标系表示法是以极坐标系来描述顶点的位置，它使用极坐标(r,θ)来表示点的位置，其中r为半径，θ为角度。

3) 参数方程表示法：参数方程表示法是通过参数t来描述点的位置，点的坐标可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别是参数t的函数。