矢量知识
矢量知识
⇒
v −B
v B
v B
v C
v B
v A
v v v A+ B +C = 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。 在直角坐标系中两矢量的减法运算：
v v v v v A − B = ( Ax − Bx ) i + ( Ay − By ) j + ( Az − Bz ) k
3.乘法： 3.乘法： 乘法
v Ax
γ
o
α
β
v Ay
y
x
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。 加法: 加法
v B
v C
v v v C = A+ B
v C
v B
v A
⇒
v A
v v v v a.满足交换律： A + B = B + A v v v v v v v v b.满足结合律： ( A + B) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
→ →
A⋅ B = 0.
功W
= F ⋅ ∆r
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
大小 矢量的数乘： 矢量的数乘： B = m A矢量 mA
r r 方向 m > 0, B与 A的 方 向 一 致 ； 反 之 相 反 。
： （2）矢量的矢积（叉乘） 两矢量相乘得到新矢量的乘法 矢量的矢积（叉乘） r
v v v v A = Ax i + Ay j + Az k
v 模的计算： | A |= A2 + A2 + A2 x y z
大学物理简明教程矢量基础知识
引言概述：在研究物理学时，矢量是一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将以大学物理为基础，介绍矢量的基础知识，包括矢量的定义、性质以及运算法则等。
通过学习这些知识，读者将能够更好地理解和应用矢量概念。
正文内容：1.矢量的定义和性质1.1定义：矢量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并且满足平行四边形法则。
1.2强调大小和方向：矢量的大小由模和单位来表示，方向由箭头指向表示。
1.3矢量的分类：自由矢量和定向矢量。
1.4坐标系：在空间中表示矢量，一般采用直角坐标系、极坐标系等。
1.5矢量的性质：平移性、相等性、零矢量等。
2.矢量的运算法则2.1矢量的加法法则：满足三角形法则和平行四边形法则。
2.2矢量的减法法则：将减法转化为加法，即AB=A+(B)。
2.3矢量与标量的乘法：数乘，即矢量的模与数的乘积。
2.4矢量的数量积：点乘，模乘以夹角的余弦值。
2.5矢量的向量积：叉乘，模乘以夹角的正弦值。
3.极坐标表示下的矢量3.1极坐标系：用极径和极角来表示矢量。
3.2极坐标系下的加法法则：将加法转化为直角坐标系下的加法。
3.3极坐标系下的减法法则：将减法转化为直角坐标系下的减法。
3.4极坐标系下的数量积和向量积：类似于直角坐标系下的计算方法。
4.平面矢量的应用4.1矢量和标量的关系：矢量可以表示位移、速度、加速度等。
4.2位移矢量：表示物体从一个位置到另一个位置的矢量。
4.3速度矢量：表示物体在单位时间内位移的矢量。
4.4加速度矢量：表示物体在单位时间内速度的变化率的矢量。
4.5矢量和矢量的关系：矢量可以相加、相减、求量积和向量积等。
5.矢量的应用实例5.1力的分解与合成：将力分解为两个矩形方向上的力，合成为一个合力。
5.2刚体平衡问题：通过矢量的平衡条件，求解物体的平衡问题。
5.3物体运动问题：通过矢量的运算法则，分析物体在平面运动中的速度、加速度等。
5.4牛顿定律问题：利用矢量的知识，解决物体的牛顿定律问题。
矢量基础知识
7
7.矢量对 t 的导数
对矢量函数（简称矢函数）f(t )，如果极限：
lim f (t t ) f (t )
t 0
t
存在，就称它为矢函数
f (t)
的导数，记作
• f (t)
df (t
)
的导数仍为矢函数，从而还可像标量函数一样求其二阶导数、
高阶导数。
对矢量函数求导数，一般是对它的各个分量分别求导，这时矢 量导数就变成了标量函数的求导，但是如果坐标也在变，也必须对 单位矢量求导，如自然坐标系中的切向单位矢量和法向单位矢量。
3）且可得
1 v v v v v v
i gi j gj k gk ?
0 v v v v v v v v v v v v
i gj j gi j gk k gj k gi i gk ?
6
（2）矢量的矢积（又称：叉乘、叉积、外积）：
i jk
A B Ax Ay Az ( Ay Bz Az By )i ( Az Bx AxBz ) j ( AxBy Ay Bx )k Bx By Bz
10
量，各分矢量按照平行四边形法则，又可合成原矢量。
y
矢量在直角坐标中的分矢量
Ay g
i , j , k 为三坐标轴的单位矢量
A j
A Axi Ay j Azk
g z Az
ko i
gx
Ax Cx
矢量与三个轴的夹角为 , ,
cos Ax , cos Ay , cos Az
A
A
A
3
4.矢量的加法、减法：
4
5.矢量的数乘
以实数
乘以矢量
A
称为矢量的数乘，记作
A，显然有：
主矢知识点总结
主矢知识点总结矢量是一个重要的概念，在物理学、数学、工程学等各个领域都有广泛的应用。
矢量是一个同时包含大小和方向信息的量，它可以用来描述物理量的运动、力的方向和大小、电场的方向和强度等。
本文将从数学、物理和工程角度总结矢量的基本概念和相关知识点。
一、矢量的基本概念1.1 矢量的定义矢量是指具有大小和方向的物理量。
在数学上，矢量通常用箭头表示，并且箭头所指方向表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，最常见的表示方法有点表示、分量表示和矩阵表示。
点表示是将矢量的起点和终点坐标表示出来；分量表示是将矢量在坐标轴上的投影表示出来；矩阵表示是将矢量表示为一个列向量。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积等。
矢量的加法是将两个矢量的对应分量相加；减法是将一个矢量减去另一个矢量；数量乘法是将一个矢量的每个分量都乘以一个实数；点积是将两个矢量的对应分量相乘再相加。
1.4 矢量的性质矢量具有平行四边形法则、共线性、可加性等性质。
平行四边形法则指出两个矢量的和等于构成这两个矢量的两条边的平行四边形的对角线。
二、矢量的物理应用2.1 力的矢量表示在物理学中，力是一个矢量量，它包含有大小和方向的信息。
力的方向对物体的运动方向和速度有重要的影响。
2.2 运动的矢量表示在描述物体的运动时，使用矢量来表示物体的位移、速度和加速度。
位移的方向和大小都可以用矢量来表示，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
2.3 矢量叠加原理矢量叠加原理是指当一个物体同时受到多个力的作用时，可以将这些力的矢量相加得到合力的矢量。
2.4 矢量的分解矢量的分解是指将一个矢量分解为相互垂直的两个分量的过程。
这个过程在解析力学和物体的平衡问题中经常用到。
三、工程中的矢量应用3.1 电场的矢量表示在电学中，电场是一个矢量量，它包含有方向和大小的信息。
电场矢量可以用来描述电荷粒子受到的力和电场的分布情况。
矢量知识简介
B0
∫
∫
∫
∫
∫
B
∫ Adt
t0
t
B0 : t = t 0时的位置矢量。
矢量知识简介
矢量的矢积（或称叉积 、叉乘）
C = A× B
大小：C = AB sin α
方向：右手螺旋
C
B A
矢积性质：A × B = B × A C × ( A + B) = C × A + C × B
可以得到： i × j = k , j × k = i , k × i = j . i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0
k
i
j
矢量知识简介
矢量的导数与积分
dAy dAx dAz dA d = ( Ax i + Ay j + Az k ) = i+ j+ k dt dt dt dt dt
d dA dB ( A + B) = + dt dt dt d (cA) dA =c (c为常数） dt dt
dB 设 = A,有dB = Adt = ( Ax i + Ay j + Az k )dt ,有 dt 用不定积分则有：B = Adt + C = ( Ax dt )i + ( Ay dt ) j + ( Az dt )k + C
矢量知识简介 矢量相加（ 矢量相加（减）
C = A+ B
平行四边形法则 三角形法则
B A
C
B
C
B A
C ′ = A B = A + ( B)
B B A
或者A = B + C ′
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
矢量基本知识-2022年学习资料
二、矢量的运算法则-1加法-R-平行四边形法则和三角形法则-A-多边形法则-C=A2+B2+2ABcosa Bsina-o arctan-A+Bcosa-4
矢量加法满足：-交换律：公+B=B+X-结合律：尽+B+8=尽+B+-式中各个矢量均相对同一个参照系-2数 -大小C=2A-AR=2-∫九>0&平行于8-<0平行于-&-5
3、正交坐标系中的矢量表示法-正交坐标系由相互正交的坐标组成，各个-坐标上的单位矢量的集构成正交坐标系的基 -直角坐标系是正交坐标系，它的基为：-,5,-I.-k,ixk=-12
练习-1-i.jxk+k-ixj+j-kxi-=1+1+1-=3-2-ix++x心+6+x位+芳+-txt 时ix+x+x+x发-k-j-k+i+j-i+0-14
五、矢量的导数和积分-1、矢量的导数-di。-}+A9+R-dt-_dt-"d导法则-设A与B均为t的函数-dt-24B-Barf-层8=月-+8-品局-出，月-，R+-dr
2、矢量的积分-U-设AB在同一平面直角坐标系内-dB-可--A:-→dB=Adt-∫B=∫i=∫A"+A dh-→8Aay"+Adj-17
三、矢量的分解-任一个矢量都可以分解为任意多个分矢-量如：-6
三维空间中应有3个不共面的矢量-若按直角坐标正交分解-X=A+A,5+A花-A的模：-A=图=+A+-7
A.=Acosa-B.Bcosa-Ay =Asin a-By Bsin a-Cx=Ax+B-C,=A,+B -C-CC-X-8
矢量基础知识
AAy
y
cos2 cos2 cos2 1 x
2、矢量的运算法则：
B
C
（1）矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。
A
C
B
A
2
（2）矢量的减法运算
矢量的减法运算是加法运算的逆运算。
（3）矢量的乘法运算
矢量 A 、B 形成右手螺旋关系：
伸出右手，使手平面垂直 A 、B所构成的平 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 A B 于180的角转到矢量 B 的 方向 ，此时姆指 指示的方向，就是矢量 A B 的方向。
B
A
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，
大家一定要把符 号搞清 楚， 不 要混淆。
Ay
y
i , j, k表示沿x，y，z轴的单位矢量。 x
矢量的模 A | A | Ax2 Ay2 Az2
1
矢量方向：可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
设矢量与x，y，z三轴的夹角为
z
、、。
cos x ,
r
cos y ,
r
此三个角满足关系：
cos z
r
Az
x，y，z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各
分量值进行矢量合成。
Ax dAx , Ay dAy , Az dAz
A Axi Ay j Azk
☜☞5
一、矢量代数的基本知识
标量只有大小，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
矢量相关物理知识点总结
矢量相关物理知识点总结矢量是描述物理量的一种数学工具，它可以用来表示物理量的大小和方向。
在物理学中，矢量被广泛应用于描述力、速度、加速度、位移等物理量。
在本文中，我们将总结矢量相关的物理知识点，包括矢量的基本概念、矢量的运算、矢量的坐标表示、以及矢量在物理学中的应用等内容。
一、矢量的基本概念1. 矢量的定义矢量是具有大小和方向的物理量，通常用有向线段来表示。
在数学上，矢量可以表示为箭头，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量在物理学中有着广泛的应用，例如表示力、速度、加速度、位移等物理量。
2. 矢量的性质矢量有三个基本性质：大小、方向和起点。
矢量的大小表示为矢量的模，通常用|A|表示；矢量的方向表示为矢量的方向角，通常用θ表示。
起点是矢量的起始位置，通常用A表示。
3. 矢量的分解矢量可以分解为两个或多个分量矢量，分量矢量的和等于原始矢量。
矢量的分解可以帮助我们理解矢量的性质和运算规律。
二、矢量的运算1. 矢量的加法矢量的加法满足平行四边形法则，即两个矢量的和等于这两个矢量构成的平行四边形的对角线。
在坐标表示下，矢量的加法可以表示为A+B=(Ax+Bx, Ay+By)。
2. 矢量的减法矢量的减法可以看作是矢量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
在坐标表示下，矢量的减法可以表示为A-B=(Ax-Bx, Ay-By)。
3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积或内积，表示为A·B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。
数量积的结果是一个标量，表示为A·B=|A||B|c osθ。
4. 矢量的向量积矢量的向量积又称为叉积或外积，表示为A×B，是两个矢量的模的乘积乘以它们的夹角的正弦值，并且方向垂直于这两个矢量所在的平面。
向量积的结果是一个矢量。
三、矢量的坐标表示1. 矢量的坐标分量矢量在笛卡尔坐标系中可以表示为一个有序实数对(x,y)，其中x表示矢量在x轴上的分量，y表示矢量在y轴上的分量。
高一物理必修一第三章知识总结
高一物理必修一第三章知识总结第三章矢量矢量是物理学中非常重要的概念之一。
在物理学中，我们需要描述和分析物体的运动和相互作用。
矢量是一种有大小和方向的量，用于表示物理量。
1. 矢量和标量矢量和标量是物理量的两个基本分类。
标量只有大小，没有方向，如时间、质量等。
矢量有大小和方向，如速度、加速度等。
2. 矢量的表示矢量可以用箭头上方的字母表示，也可以用加粗的字母表示。
例如，矢量A可以表示为A或者A。
3. 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法和数量乘法。
矢量的加法满足交换律和结合律。
减法和加法类似，只需要将减去的矢量取负值后进行加法运算。
矢量的数量乘法是将矢量的大小乘以一个标量。
4. 矢量的分解和合成分解和合成是处理多个矢量的常用方法。
分解是将一个矢量表示为多个矢量的和，合成是将多个矢量合并为一个矢量。
5. 矢量的数量表示矢量的数量表示包括模长、方向角和坐标表示。
模长表示矢量的大小，可以用两点间的距离表示。
方向角表示矢量与某一固定方向的夹角，可以用三角函数表示。
坐标表示将矢量的首尾端点的坐标表示出来。
6. 单位矢量单位矢量是模长为1的矢量。
单位矢量通常用帽子(^)在字母上方表示。
单位矢量通常用于表示方向。
7. 矢量投影矢量的投影是一个重要概念。
给定一个矢量A和另一个矢量B，矢量A在矢量B上的投影表示矢量A在矢量B方向上的分量，可以用数学公式计算。
8. 力矢量和力的平衡力是物体的作用于其他物体的推或拉，是矢量量。
力的平衡是物体受力之和等于零的状态。
力的平衡可以用物体的受力分析和力的合成进行分析。
9. 速度和加速度速度是物体在单位时间内位移的大小和方向。
加速度是物体单位时间内速度的变化量。
速度和加速度都是矢量亮，可以用矢量加法进行计算。
10. 矢量的应用矢量广泛应用于物理学中的各种问题，如运动学、力学、电磁学等。
矢量运算和矢量分析是物理学中非常重要的概念和技巧。
总结：矢量是物理学中重要的概念，用于描述和分析物体的运动和相互作用。
高中数学矢量知识点总结
高中数学矢量知识点总结1. 矢量的表示方法矢量可以用不同的表示方法来进行表述。
最常见的两种表示方法是坐标法和分解法。
在坐标法中，一个矢量可以表示为一个有序数对(a, b)。
在分解法中，一个矢量可以被分解成两个垂直方向的分量。
2. 矢量的加法和减法对于矢量的加法，可以利用平行四边形法则，将两个矢量放在一起，然后通过平行四边形的对角线来求和。
对于矢量的减法，可以利用加法的逆运算来进行计算。
3. 矢量的数量积和向量积数量积也叫点积，是两个矢量的数量乘积再乘以他们的夹角的余弦值。
向量积也叫叉积，是两个矢量的乘积然后再乘以他们的夹角的正弦值。
4. 矢量的模长和方向角矢量的模长是指矢量的大小。
它可以通过勾股定理来求解。
方向角是指矢量与坐标轴的夹角。
5. 矢量的坐标变换在平面直角坐标系中，一个矢量的坐标变换可以通过坐标轴的变换来进行。
6. 矢量的线性运算矢量具有线性性质，即对于任意的实数a和b，有a（u+v）=au + av和a（bv）=（ab）v。
7. 矢量的共线与共面如果存在一个非零数k，使得矢量a = k*v，则矢量a与v共线。
如果在同一平面上有n个矢量和它们的线性组合也在同一平面上，则这些矢量共面。
8. 矢量的投影一个矢量在另一个矢量上的投影可以通过数量积来求解。
9. 矢量的基本定理矢量存在的基本定理是矢量可以通过两个非零矢量的线性组合来构成。
10. 空间直角坐标系下矢量的数量积与向量积在三维空间中，矢量的数量积和向量积的计算方式与二维空间有所不同。
11. 空间直角坐标系下矢量的坐标变换空间直角坐标系下，矢量的坐标变换也有所不同，需要考虑三个方向的变化。
12. 平面上直线的方程矢量可以用来表示平面上的直线的方程，通过矢量的运算可以求解直线的交点等问题。
总的来说，矢量是一种重要的数学工具，它在几何、物理等领域都有广泛的应用。
熟练掌握矢量知识可以帮助我们更好地理解和解决数学和物理问题。
《矢量分析与场论》知识点归纳
《矢量分析与场论》知识点归纳一、内容概览首先矢量，是这本书的基础。
它代表的是有大小又有方向的量，像是速度、力等物理量。
书中会详细介绍矢量的各种运算，比如加法、减法、数乘等，还有矢量的几何意义和代数意义。
接下来向量场和标量场是本书的重点之一，向量场可以理解为空间中每个点都有一个矢量，而标量场则是每个点都有一个数值。
这两个概念在物理和工程中有广泛应用，比如风的速度和方向就可以形成一个向量场。
此外书中还会涉及到一些更高级的概念，如矢量函数、矢量场的积分和微分等。
这些内容在物理学、工程学等领域都有着重要的应用。
《矢量分析与场论》是一本帮助我们理解矢量与场论基础知识的书籍。
无论你是数学爱好者，还是物理或工程专业的学子，都可以从中受益匪浅。
让我们一起期待书中更多精彩内容吧！二、矢量基础知识矢量分析与场论，听起来好像很高大上，但其实它就在我们身边，矢量基础知识就是它的基石。
咱们先来聊聊矢量的基本概念。
想象一下我们在谈论一个既有大小又有方向的东西，比如风的速度、水流的方向等。
这时候就需要用到矢量了，矢量就像一个有箭头的线段，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
像速度、加速度、力这些我们生活中经常遇到的物理量，都可以看作是矢量。
接下来我们要了解矢量的基本运算，矢量的加减就像我们平时处理数字一样简单，只要对应着加上或减去就可以了。
但是要注意，矢量有方向性，所以我们要沿着正确的方向去加或减。
还有矢量的模，那就是矢量的长度，也就是大小。
这些基础概念了解清楚了之后，咱们就能更好地理解矢量分析的一些内容了。
知道了矢量的基本概念和运算后，我们再来说说场论中矢量的一些重要概念和应用场景。
记住哦矢量基础知识虽然听起来有点复杂，但其实它并不神秘，只要我们掌握了这些基础内容，理解矢量分析与场论就不再是难题了！1. 矢量的定义和性质首先我们来聊聊矢量的定义和性质，矢量简单来说，就是既有大小又有方向的量。
想象一下我们在谈论速度时，不只是说“快”或“慢”，还要指明是往哪个方向。
矢量知识
矢量的微分
dA A lim dt t 0 t
既然矢量的变化包括其大小和方向两方面的变化， 矢量的变化也分为由它的大小变化和方向变化所引起 的两部分： A=AA0
dA dA 0 dA0 A A dt dt dt
(1-24)
下面，我们分两种特殊情况讨论这两个部分的矢量变 化率：
(1)A的方向不变，则上式第二项为零，A的变化率
[只需证明等号两边一个（i）分量上的值相等即可。] 左边=b1(a2c2+a3c3)-c1(a2 b2+a3b3), 右边=b1(a1c1+a2b2+a3c3)-c1(a1b1+a2 b2+a3 b3)= b1(a2c2+a3c3)-c1(a2b2+a3b3)
6. 矢量的混合积
（A B) C (C A) B (B C) A (B A) C
几何意义：以 A 、 B 和 C 为棱边的平行六面体的体积。 7. 注意 * 矢量的非法运算包括：
1 A
, ln B, C , e D
* 矢量与标量不能相等！
* 书写时别忘记加上矢量号（帽子）。
三、正交坐标系 1. 正交坐标系的基失 一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正交的坐标系 称为 正 交 坐标系。直角坐标系是正交坐标系，它的基 为： （i , j , k ) 。
加法满足： 交换律： 结合律：
A B B A
A (B C) ( A B) C
A 0 A
零矢量的定义：
2. 矢量的数乘
大小 A C 方向
结合律： 分配律：
CA 同向 0 C与 A 0 C与 A反向
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
物理量矢量
物理量矢量
物理量矢量是指具有大小和方向的物理量，除了数值大小，还需要用方向来描述其特征。
常见的矢量有位移、速度、加速度、力、力矩等。
矢量的运算遵循特定的规则，如矢量相加、相减、相乘等。
在进行矢量运算时，不仅要考虑数值的大小，还要考虑方向的影响。
例如，两个力的合力不仅取决于它们的大小，还取决于它们的方向关系。
矢量在物理学中具有重要的地位，它们能够帮助我们更全面地描述物体的运动和相互作用。
通过矢量的表示和运算，我们可以研究物体的运动轨迹、加速度变化、力的平衡等问题。
理解和应用物理量矢量是学习物理学的基础。
它们提供了一种简洁而精确的方式来描述自然界中的现象，并帮助我们深入研究物体的运动和相互作用。
对于物理学的学习者来说，掌握矢量的概念和运算方法是至关重要的。
总之，物理量矢量在物理学中扮演着重要的角色，它们帮助我们更准确地描述物体的运动和相互作用，是理解和研究物理学的基础。
矢量知识
3、矢 量的分解 i , j , k 表示空间直角坐标系
沿x，y，z三个坐标轴正方向上的单位矢量
在直角坐标系中 矢量可 以分解为
z
a axi ay j azk
az
矢量的模
a
a | a |
ax2 ay2 az2
o
ax
ay y
x
注意：一个矢量分量依赖所选坐标系，在不同坐标系
中，矢量的分量值不同，但矢量本身保持不变。
, n 表示自然坐标系单位矢量
在自然坐标系中矢量可以分解为 a
at
a at ann
o
an
矢量的模
a | a |
at 2 an2
Shockwave Flash Object
4、常矢量和变矢量
常矢量：矢量的模和方向都不变化的矢量
例如：直角坐标轴的单位矢量 i , j, k
模值不变 i j k 1
叉乘是不同的概念：
a
a b a b ab ba
直角坐标系：
k
i j k ; j k i;k i j
o
j
i
ab
(axi
a
y
j
az k ) (bx i
by
j
bz
k
)
(axbz aybz )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k
ax
dax,
ay
da y,
az daz
a axi ay j azk
例：物体的速度 就是时间t的矢性函数，
记做(t) 。在直角坐标系表示成：
பைடு நூலகம்
(t) x (t)i y (t) j z (t)k
5、矢径和矢端曲线
大学物理预备知识之矢量
一 矢量(vector) 标量(scalar quantity)：只具有大小而没有方向的物理量，我
们把它称之为标量。
矢量：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述它，还 需要用方向来描述它。例如说，我们只知道一个人从学校 门口走了1公里，就无法确定他到了什么地方。但如果还知 道了他走的方向是正东，我们就能确定他到了什么地方了。 这种既具有大小又具有方向的物理量，我们把它称之为矢 量。
矢量的标积遵守
(1) 交换率： ABBA
(2) 结合率： (A B )C A C B C
2. 矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为：
A B A B s ine
其中 e 为由 A 和 B 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。
由矢积的定义得：
i i j j k k 0
2. 矢量相减(minus)
由于矢量 B 与 B 方向相反，大小相等，有：
B B x i B yj B zk
矢量相减
A B(A xiA yjA zk)(B xiB yjB zk)
(A xB x)i(A yB y)j(A zB z)k
矢量的加减合称为矢量的合成(compose,
四 矢量的标积与矢积 1. 矢量的标积(scalar product) 矢量的标积也称为矢量的点乘，定义为
则：
Ax Bxdt
Ay Byபைடு நூலகம்t
2.2对空间的积分
Az Bzdt
A B d s B x d x B y d y B z d z
A B A B c o s
sum)
实质是一 矢量大小 与另一矢 量在其方 向上投影 大小乘积
标积的定义得： iijj kk 1
物理矢量小船知识点总结
物理矢量小船知识点总结一、矢量的概念和性质1、矢量的概念矢量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度代表其大小，箭头的方向代表其方向。
2、矢量的性质（1）矢量的加法矢量的加法是将两个矢量首尾相接，作为新的矢量的方法。
如果矢量a、b的大小和方向分别为|a|、|b|和θ，那么它们的和c的大小和方向分别为|c|=|a|+|b| 和θ。
（2）矢量的减法矢量的减法是将一个矢量的方向调转，并与另一个矢量相加。
（3）矢量的数量积矢量的数量积是一种运算，其结果是一个数量。
矢量a和b的数量积可以表示为a·b=|a| |b| cosθ。
其中θ为a和b之间的夹角。
（4）矢量的叉积矢量的叉积也是一种运算，其结果是一个矢量。
矢量a和b的叉积可以表示为a×b=|a| |b| sinθ n。
其中θ为a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位矢量。
二、小船的运动及相关矢量1、小船的运动小船在水面上运动时，可能会受到多种力的影响，如风力、水流的影响。
因此，小船的运动状态是一个复杂的问题，需要考虑多个方面的因素。
2、小船的相关矢量（1）速度矢量小船的速度可以用矢量来表示，其大小和方向分别代表了船的速度大小和方向。
（2）加速度矢量如果小船的速度发生变化，那么小船将受到加速度的影响，加速度可以用矢量表示。
（3）风力矢量风力是会影响小船运动的力之一，风力也可以用矢量来表示，其大小和方向分别代表了风力的大小和方向。
（4）水流矢量水流也会影响小船的运动，其大小和方向也可以用矢量来表示。
三、小船的矢量分析1、小船速度的矢量分析小船速度可以分解为横向速度和纵向速度，分别代表了船在横向和纵向上的速度大小和方向。
这种分解可以使问题的分析更加简单和清晰。
2、小船受力的矢量分析小船受力情况复杂，需要进行受力的矢量分解和合成计算，以确定小船受力的方向和大小。
3、小船运动的矢量分析通过对小船的速度矢量和受力矢量进行分析，可以得出小船的运动状态。
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r i r j r k
矢量的有向线段表示方法： 矢量的有向线段表示方法： 作图时，用有方向的线段表示矢量。 作图时，用有方向的线段表示矢量。 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的长度按一定比例表示矢量的大小， 线段的方向表示矢量的方向。 线段的方向表示矢量的方向。
r A r B
矢量的一个重要性质－ 矢量的一个重要性质－矢量平移的不变性 把矢量在空间平移， 把矢量在空间平移，矢量的大小和方向 都不会因平移而改变。 都不会因平移而改变。
r r r B C 的方向垂直于A、 两矢量所决定的平
面，其指向由右手螺旋法则确定。 其指向由右手螺旋法则确定。
矢 量 矢 积 图 示 法
r C r C
r B
r C
θ
r A
v Ax、Ay、Az 表示矢量 A在直角坐标系三
个坐标轴的投影(坐标分量 ，可正可负。 个坐标轴的投影 坐标分量)，可正可负。 坐标分量 矢量大小与三个坐标分量的关系： 矢量大小与三个坐标分量的关系：
A= A + A + A
2 x 2 y
2 z
பைடு நூலகம்
r A方向由该矢量与三个坐标轴的夹角
(方向角 确定 方向角)确定 方向角
Cx = Ax + Bx
2 2 2 Cy = Ay + By C = Cx +Cy +Cz Cz = A + Bz z
r C
方向由三个方向角确定
( ) ( ) r r cosγ = cos( C • k) = C
r r cosα = cos C • i = Cx C r r cosβ = cos C • j = Cy C
z
C
六、矢量的乘积
1．矢量的标积(点积、点乘 ．矢量的标积 点积 点乘)——是标量 点积、 是标量 标积乘号
r r A•B = ABcosα
2．矢量的矢积(叉积、叉乘 ．矢量的矢积 叉积 叉乘)——是矢量 叉积、 是矢量
r r r C = A× B
矢积乘号
r r C = A× B = ABsinα
数学知识
一、矢量的定义
矢 量 知 识
二、矢量的表示方法 三、矢量的合成 四、矢量的分解 五、矢量合成的解析法 六、矢量的乘法
一、矢量的定义
矢量：既有大小又有方向， 矢量：既有大小又有方向，并满足 平行四边形相加法则的量。 平行四边形相加法则的量。
矢量的大小。 矢量的大小。 矢量的模： 矢量的模：
二、矢量的表示方法
印刷品上的表示方法： 印刷品上的表示方法：
用加黑粗斜体字母表示矢量；A 加黑粗斜体字母表示矢量； 斜体字母表示矢量
r r A = AA A= AA 0 0
用不加黑斜体字母表示矢量的大小(模)；A 不加黑斜体字母表示矢量的大小( 斜体字母表示矢量的大小 用带下标0的加黑粗斜体字母表示单位矢量：A0 带下标0的加黑粗斜体字母表示单位矢量： 斜体字母表示单位矢量
常用方向单位矢量的表示方法： 常用方向单位矢量的表示方法： x轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量 y轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量 z轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量： 轴方向单位矢量
r 径矢方向单位矢量 方向单位矢量： 径矢方向单位矢量： r 0 r 切线方向单位矢量 方向单位矢量： 切线方向单位矢量：τ r 法线方向单位矢量 方向单位矢量： 法线方向单位矢量： n
r r cosα = cos A•i = A A x r r cos β = cos A• j = Ay A r r cosγ = cos A• k = Az A
( ( (
) ) )
五、矢量合成的解析法 r r r C = A+ B r r r r r r = Axi + Ay j + Azk + Bxi + By j + Bzk r r r = ( Ax + Bx ) i + (Ay + By ) j +( Az + Bz ) k
r A r A
r A
三、矢量的合成
r r r 1．矢量相加： C = A+ B ．矢量相加：
C = A + B + 2ABcosα
2 2
C A
β α
C B
同向时， 当A、B同向时， α=0° 、 同向时 °
C = A+ B
反向时， 当A、B反向时， α=180° 、 反向时 °
A
C = A− B
B
手写习惯表示方法： 手写习惯表示方法：
r 用带箭头斜体字母表示矢量； A 带箭头斜体字母表示矢量； 斜体字母表示矢量
r r A×B
用不带箭头斜体字母表示矢量的大小(模)；A 不带箭头斜体字母表示矢量的大小( 斜体字母表示矢量的大小
r 带下标和箭头斜体字母 表示单位矢量： 斜体字母e 用带下标和箭头斜体字母e表示单位矢量： A 0
2．矢量相减： ．矢量相减：
A D
r r r D = A− B
r r = A+ − B
( )
β －B
α
B
B与－B大小相等，方向相反。 与 大小相等， 大小相等 方向相反。
四、矢量的分解
1．直角坐标系分量： ．直角坐标系分量：
r r r r r r r A= Ax + Ay + A = Axi + Ay j + Azk z