一元一次方程的应用----等积变形问题

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一元一次方程实际应用题之等积变形问题

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:

1.等长变形问题

例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？

分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。

解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．

依题意得：2（x+1.2+x）=10，

解得x=1.9，

∴x=1.2+1.9=3.1，

答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。

2.等体积变形问题

例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？

分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。

解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，

60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；

依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x

解得：x=67.5

例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？

分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。

解：零件的底面积是x平方厘米。

一元一次方程应用题常见类型及等量关系

湖北翟升华搜集整理

班级姓名

一、和、差、倍、分问题

此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。

二、等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式：V=底面积×高＝S·h＝πr2h

②长方体的体积：V＝长×宽×高＝abc

三、行程问题

基本量之间的关系：路程＝速度×时间；时间＝路程÷速度；速度＝路程÷时间。

（1）相遇问题：

①甲行距＋乙行距＝原距；②（甲速+乙速）×相遇时

间=相遇距离。

（2）追及问题：

①快行距－慢行距＝原距；②（快速-慢速）×追及时间=追及距离。

（3）航行问题:

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度；

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度；

静水（风）速度＝（顺水（风）速度+逆水（风）速度）÷2；

水流（风）速度＝（顺水（风）速度-逆水（风）速度）÷2。

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静水速）不变的特点考虑相等关系．

（4）环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；

同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

（5）车上（离）桥（隧道）问题：

①车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长；

②车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。所走的路程为一个车长；

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积

变形)

1.假设原长方形的长为x，宽为y，则根据周长公式

2(x+y)=26，可得x+y=13.将长减少1，宽增加2后得到的正方

形的边长为y+2，因此有y+2=x-1.将这两个方程联立解得x=9，y=4，所以原长方形的长为9cm，宽为4cm。

2.圆锥体的体积为1/3πr^2h，圆柱体的体积为πr^2h，两

者相等，因此可得圆柱体的高为8×(30/10)^2=72cm，所以圆

柱体内的水高为8cm。

3.设新的长方形宽为x，则根据折叠后周长不变可得

2x+10=18，解得x=4，因此新的长方形的长为9cm，宽为4cm。

4.正方体的体积为20^3=8000cm^3，盛水量筒的容积为

12×h，其中h为水面升高的高度，因此有12h=8000，解得

h=666.67cm，所以水面升高了666.67/12≈55.56cm。

5.设大长方形面积为S，则重叠部分面积为S/6，小长方

形面积为S/4，阴影部分面积为224cm^2，因此有S/6-S/4=224，解得S=1344，所以重叠部分面积为S/6=224cm^2.

6.(1) 第一个中的水体积为π(4^2)×16=256π，第二个的底

面积为π(8^2)=64π，因此第二个中的水高为256π/64π=4cm。

2) 将1插入2后，1中的水体积为π(4^2)×10=160π，2中的水体积为π(8^2)×10=640π，因此水位上升了640π-

256π=384π，所以水面升高了384π/(π(8^2))≈1.5cm。

一元一次方程应用题(6)(等长变形、等积变形)

一元一次方程应用题

1.一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加2㎝，就可成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多厘米？

2.在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？

3.已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm ，宽为6cm ，把它重新折成一个宽为5cm 的长方形，则新的长方形的宽是多少？

4.将棱长为20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm 2

，问量筒中水面升高了多少cm ？

5.如图所示，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的六分之一，相当于小长方形面积的

四分之一，阴影部分的面积为224cm 2

，求重叠部分面积。

6.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm 和8cm ，高分别为16cm 和10cm ，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中。（1）问倒完后，第二个容器水面的高度是多少？

(2)如右图把容器1

口朝上插入容器2水位又升高多少？

一元一次方程应用题

1.一个长方形的周长为26㎝，这个长方形的长减少1㎝，宽增加

2㎝，就可成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多厘米？

2.在一个底面直径为30厘米，高为8厘米的圆锥体容器中倒满水，然后将水倒入一个底面直径为10厘米的圆柱体空容器内，圆柱体容器内的水有多高？

3.已知一个用铁丝折成的长方形，它的长为9cm ，宽为6cm ，把它重新折成一个宽为5cm 的长方形，则新的长方形的宽是多少？

4.将棱长为20cm 的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm 2

解一元一次方程应用题的十六种常见题型

列一元一次方程解应用题（设未知数，找等量关系列方程）

一．利润率问题：利润=进价（成本价）×利润率利润＝售价－进价

利润率=（利润÷进价）×100%进价（成本价）﹢利润=售价

1. 某商品进价为 500 元，按标价的 9 折销售，利润率为 15.2%，求商品的标价为多少元？

２. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

３. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？

４. 某商品的进价是 2000 元，标价为 3000 元，商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

５、某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，此时仍可获利10%，此商品的进价是多少元？

６、某商店在同一时间内以每件60元的价格卖出2件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则卖这2件衣服是盈利还是亏损了，还是不盈不亏？

二. 储蓄问题：利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息

利息税=利息×税率年利率＝月利率×12＝日利率×365

1. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 25

2.7 元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

2.某储蓄所去年储户存款为4600万元，今年与去年相比，定期存款增加20%，而活期存款减少25%，但总存款增加15%，问今年定期，活期存款各是多少？三. 相遇问题（相向而行）：

初一：一元一次方程应用等积变形、航程问题

一元一次方程应用之等积变形篇

物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．

一元一次方程解航行问题

要解航行问题，就要所有量之间的关系。首先，要弄清几个速度之间的关系：

顺流速度＝静水速度＋水流速度

逆流速度＝静水速度－水流速度

其次，要弄清速度、时间和路程的关系：

顺流路程＝顺流速度×顺流时间

逆流路程＝逆流速度×逆流时间

弄清这些关系后，就应该考虑怎样列方程了。为了方便，我把列方程的规律编成了顺口溜儿：

航行问题找三量，

静速水速和路程，

一个已知一设元，

余下一个列方程；

若遇三量都具体，

时间关系列方程。

针对上面的问题，下面文章举例说明！

一元一次方程_等积变形应用题

一元一次方程解应用题

————等积变形问题

复习：常用几何图形的计算公式

长方形的周长 = 长方形的面积 =

三角形的周长 = 三角形的面积 =

圆的周长= 圆的面积=

长方体的体积 = 圆柱体的体积 =

想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？

1、把一小杯水倒入另一只大杯中；

2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；

3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。

问题1

（1）用一根长8米的铁丝围成一个长方形．使长方形的宽比长少1米，求这个长方形的面积．（2）用一根长8米的铁丝围成一个正方形，求这个正方形的面积．

（3）用一根长8米的铁丝围成一个圆，求这个圆的面积．

（4）在周长相等的长方形、正方形、圆中，谁的面积最大？谁的面积最小？

精讲例题

1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是 20厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？

等量关系：

解设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表

锻压前锻压后

底面半径

高

体积

练习：

1、如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（计算时

思考：题目中有哪些已知量和未知量？

它们之间有什么关系？如何设未知数？

已知：圆钢直径（200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、90mm）

未知：圆钢的高

相等关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积

设未知数：设应截取圆钢 x 毫米。

2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器水面将升高多少?

一元一次方程——等积变形应用题

一元一次方程解应用题

复习：常用几何图形的计算公式长方形的周长= 三角形的周长= 圆的周长= 长方体的体积 =

想一想：请指出下列过程中，

------- 等积变形问题

长方形的面积 = 三角形的面积 = 圆的面积= 圆柱体的体积 =

量发生了变化，哪些量保持不变?

1、把一小杯水倒入另一只大杯中;

2、用一根15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形;

3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。问题1

(1)

用一根长8米的铁丝围成一个长方形.使长方形的宽比长少

1米，求这个长方形的面积

(2) 用一根长8米的铁丝围成一个正方形，求这个正方形的面积 (3) 用一根长8米的铁丝围成一个圆，求这个圆的面积

(4) 在周长相等的长方形、正方形、圆中，谁的面积最大？谁的面积最小？

精讲例题

1■将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是 20

解设锻压后圆柱的高为 x 厘米，填写下表

厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少?

等量关系：

底面半径

高

体积

练习:

1、如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为 300毫米、300毫米和90毫米

的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（计算时二取3.14.要求结果误差不超过 1毫米）？

思考：题目中有哪些已知量和未知量？它们之间有什么关系？如何设未知数？

已知：圆钢直径（200mm ）、长方体毛胚的长宽高（未知：圆钢的高

相等关系：圆钢体积=长方体毛胚的体积设未知数：设应截取圆钢

x 毫米。

2■已知一圆柱形容器底面半径为 0.5m,高为1.5m,里面盛有1m 深的水，将底面半径为0.3m ，高为0.5m 的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少

初一一元一次方程应用题八种类型解析与练习

初一一元一次方程应用题八种类型解析与

练习

初一一元一次方程应用题的八种类型解析与练

解一元一次方程应用题的一般步骤如下：

1.审题：弄清题意。

2.找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系。

3.设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。

4.解方程：解所列的方程，求出未知数的值。

5.检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案。

1.和、差、倍、分问题：

1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。

2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

3）增长量=原有量×增长率；现在量=原有量+增长量。

2.等积变形问题：

等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关

系为：

①形状面积变了，周长没变；

②原料体积=成品体积。

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变。

①圆柱体的体积公式V=底面积×高=πr²h。

②长方体的体积V=长×宽×高=abc。

3.劳力调配问题：

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

1）既有调入又有调出；

2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

4.数字问题：

1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且

1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9），则这个三位数表示为：100a+10b+c。

2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或

一元一次方程应用等积变形

3.2 一元一次方程的应用（1）

【学习目标】

1 初步掌握建立一元一次方程模型解应用题的方法和步骤。

2 能列出一元一次方程解简单的应用题。

【重点、难点】

重点：分析题意，寻找等量关系，设未知数建立方程模型。

难点：寻找等量关系。

【导学过程】

一、预习导学

（一）知识回顾

1、解下列一元一次方程：

（1）

5124121223+--=-+x x x （2）432311+=--x x

(3)

6751413-=--y y (4)12

55241345--=-++y y y

2、解一元一次方程的一般步骤为：

它们的依据是：

。

（二）自主学习

阅读课本P 93～94内容，完成下列问题。

1、将一个底面直径是10cm ，高为36cm 的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“短胖”形圆柱，高变成了多少？（1）在锻压过程中，圆柱的形状发生了变化，但圆柱的体积保持不变，即这个问题的等量关系为

= 。

（2）设锻压后圆柱的高为xcm ，填表：

（3）列出方程为：，高变成为

2、为了适应经济发展，铁路运输再次提速。如果客车行驶的平均速度增加40km/h,提速后

由合肥到北京

的1110km 的路程只需行驶10h ，那么，提速前，这趟客车平均每小时行驶多少千米？

（1）本题涉及的量有平均速度、时间、路程，它们之间的关系式

为：。

（2）设提速前，这趟客车平均每小时行驶x 千米，，则提速后每小时行驶 km (用

x 的代数式表示).

（3）根据等量关系“速度×时间=路程”列出方程为：，解得

x= 。

二、合作探究

1、通过前面两个问题，我们知道列方程解应用题的关键是什么？。

一元一次方程应用题专题等积变形问题【东湖中学】PPT课件

小结：说说列方程解应用题的一半步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系，用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2、用字母的一次式表示有关的量. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
等积变形问题
愿大家乘风破浪，在数学的海洋里
自由翱翔
驶向胜利的彼岸
你会填下表中各图形的周长和面积公式吗？
名称
正方形三角形
梯形圆平行四边形
图形
用字母表示公式
周长（C）
面积（S）
a C 4a S a2
bh c a
C abc
S 1 ah 2
b ch
a
d
C abcd
S 1 (a b)h 2
用一根直径12厘米的圆柱形铅柱，铸造10只直
径12厘米的铅球，问应截取多长的铅柱？
（
球的体积=
4 3
π
R3 ）
分析：变形过程中体积保持不变，
即圆柱形铅柱的体积 = 10只铅球的体积
解：设应截取X 厘米长的铅柱。
根据题意，列方程得
π （· 12）2 ·x ＝
2
4
10 ·
3
π
·（12 ）3 2
解得 x 80

3.2一元一次方程的应用(一)等积变形和行程问题

300
分
析
思考3：根据圆柱体和长方体体积公式列出所需代数式？如何根据等量关系“圆柱体钢体积=长方体毛胚的体积”列出方程？
圆柱体钢体积：
•（200/2)2 • x 长方体体积： 300×300×90
根据等量关系列出方程，得：
300 •（200/2)2 • x = 300×300×90
精讲
已知：圆柱体钢直径（
200mm）、长方体毛胚的长宽高（300mm、300mm、 90mm）
未知：圆柱体钢的高
300 设未知数：设应截取圆柱体钢长xmm。
精讲
例题
200
分
析
思考2：锻造前后有什么相等关系？
相等关系：圆柱体钢体积=长方体毛胚的体积
x 90
300 300
x 90
精讲
例题
200
练
习
2、甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从甲地出发每时行15km；另一人骑摩托车从乙地同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自行车车速的3倍，问多少时间后两人相遇？
例题
200
分
析
思考4：如何解这个方程？
•（200/2)2 • x = 300×300×90 化简的3.14x=810，故x≈258。
x 90
300 300
精讲
例题

等积变形问题

等积变形问题--一元一次方程的应用题

一知识点

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为:形状面积变了，周长没变；原料体积=成品体积。

二试试身手

1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000.，求原来正方形铁皮的边长.

2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0。62kg的零件毛坯,如果这种钢每立方厘米重7。8g，应截圆钢多长？

3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。求锻造后的圆钢的长。

4、直径为30厘米,高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料,现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。

5 现有直径为0。8米的圆柱形钢坯长30米,可足够锻造直径为0。4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？

6 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水），向一个由底面积为125＊125mm，内高为81mm的长方体铁盒倒满水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数，π=3。14)

7 把内径为200mm,高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm,高为400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？

8 要锻造一个直径为8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm.

一元一次方程的应用题型

【一元一次方程】应用题型汇总

1. 和、差、倍、分问题（增长率问题）

增长量＝原有量×增长率

现在量＝原有量＋增长量

（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，几分之几,增长率,减少,缩小……”来体现.

（2）多少关系：通过关键词语“多、少、大、小、和、差、不足、剩余…”来体现

审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别.

2. 等积变形问题

（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变(等积)为前提，是等量关系的所在常用等量关系：

①形状面积变了，周长没变

②原料体积＝成品体积

（2）常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变

①圆柱体的体积公式

V=底面积×高＝S·h＝πr2h

②长方体的体积

V＝长×宽×高＝abc

3. 劳力调配问题

从调配后的数量关系中找等量关系，要注意调配对象流动的方向和数量.这类问题要搞清人数的变化

常见题型：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变

4. 数字问题

要正确区分“数”与“数字”两个概念, 同一个数字在不同数位上，表示的数值不同，这类问题通常采用间接设法

常见的解题思路分析：

抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系列方程。

（1）要搞清楚数的表示方法：

一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a（其中a、b、c均为整数，且0≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9）.

（2）数字问题中一些表示：

一元一次方程应用之等积变形篇

等积变形篇

1.面积不变问题

例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.

解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.

根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.

解得x=1.

所以重叠部分的面积为1.

例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8

米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？

分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问

题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一

遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所

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