专题：二次函数中的符号问题
26.1二次函数(7)有关符号的判断
精讲点拨：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
由抛物线与y轴的交点位置确定 （2）C的符号： 交点在x轴上方 c>0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c<0
c=0
先定a的符号，由对称轴的位置确定 （3）b的符号：
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
开口向上
对称轴是：直线x 1
练习：
1.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0)，无论k取什么实数， 图象顶点必在（ ）A . A.直线y=-x上 B.x轴上 C.直线y=x上 D.y 轴上
2.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2 －4x－1 有相同的顶点，并且在对称轴左侧，y随x的增大而 增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，则所求 的二次函数的解析式为（ A ） A.y=-x2+2x-4 B.y=ax2-2ax+a-3(a>0) C.y=-x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
课堂作业
1.已知二次函数y=ax2+bx+c， 写出a、b、c、△的符号。 2.二次函数y=ax2+bx+c的图
c 像如图所示，求点M（b, ) a 所在得象限
3、已知抛物线y=-2x2+3x-1，画出 抛物线的草图。
4、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 ( D )
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中不正确的是 （ D ） y A、abc＞0 B、b2-4ac＞0
二次函数中的符号问题
基础回顾：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向、形状与什么 有关？
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
a 相等
抛物线的形状相同
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是（0、c）.
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 X=- b .
2a
2
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
y
根据图像可得：
1、a＞0
2、- b ＞0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＞0
6
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
根据图像可得：
1、a＞0
b
2、-
＜0
2a
o
x 3、△=b²-4ac＞0
4、C＝0
7
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
M
B 1
Ax
O
1
17
再想一想：
5.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0）的
图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 -2 .
设正方形的对角线长为2n， 根据图像可得：
∵A（0、2n）、B（-n、n）、 C（n、n） ∴n=a（±n）²+2n、c=2n，
∴a=- 1 ，∴ac=2n*（-
②如图2a＋b _______0 4a＋2b＋c_______0
12
根据图象填空：
（1）a_____0； （2）b_____0； （3）c______0； （4）b2 4ac _____0； （5）a＋b＋c_____0； （6）a－b＋c_____0； （7）2a＋b_____0；
期末专题复习(一)二次函数的符号判断
的图象与 轴交于点
， 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直线 숸 ，点 的坐标为 ，则下列
结论：① 숸 ；② t t ；③ t ；④ t t ，其中正确的结
论有
个．
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7. 如 图 10 ， 二 次 函 数 숸 t t
的部分图象如图所示，图象过点
，对称轴为直线 숸 ，下列结论：（1） t 숸 ；（2） t t；
...
与 b （对称轴）和 a b c,3a b,2a 2b,2a b... 等特殊符号判断 2a
2a c,2a b, a b, a b 将对称轴与常数大小作比较/通过代入消元法解决.
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期末专题复习·九年级·数学
图象的一部分，对称轴为 숸 ，且
经过点
．有 下列 说法 ：① tt ； ② t 숸 ；③ t t ； ④若
，
是抛物线上的两点，则 숸 ．上述说法正确的是
A. ①②④
B. ③④
C. ①③④
D. ①②
图2
例题 3. （2018·深圳中考）如图 3，二次函数 숸 t
A. tt
B. t
C. t
A.
B.
C.
D.
10. 当 t 时， 숸 与 숸 t 的图象大致是
A.
B.
C.
D.
11. ，函数 숸 与 숸 在同一直角坐标系中的大致图象可能是
图 12
A.
B.
C.
D.
12. 如图 13，二次函数 숸 t t 的图象经过点
中考数学二次函数由图像判断符号题目(大全)
二次函数判断符号问题大全1 函数y=ax + 1与y=ax 2+ bx + 1 （a 工0的图象可能是（）大而增大；④a - b ■ C ：：： 0，其中正确的个数（） A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个4、 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2所示，若点A （1, yj 、B （2, y ?）是它图象上的两点，贝V y i 与y 2的大小关系是（ 、A . y 1 ::: y 2 B . y 1 = y 2 C . y 1 y 2 D .不能确定 5、 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a 丰0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a > 0.②该函数的图象关于直线 x =1对称•③当x 二-1或x 二3时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ 、A . 3 B . 2 C . 1 D . 02y = bx • b 2 -4ac 与反比例函数1Xo2、（3、 A .B .C .D .①ac 0 ；②方程ax 2 bx 0的两根之和大于 0 ；③y 随x 的增6、二次函数y =ax bx c的图象如图所示，则一次函数在同一坐标系内的图象大致为（①b ：：： 0②c0③b 2-4ac 0④a-b ，c ：：：0，其中正确的个数有()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2①b ：：：0②c 0③b -4ac 0④a-b ，c ：：：O ，其中正确的个数有(2已知二(a = 0 )的图象如图4所示，有下列四个结论：7 题图 8 题图 9 题图8、已知=次函数y = ax 2 +bx+c 的图象如图.则下列5 个代数式：ac , a+b+c , 4a — 2b+c ,2a+b , 2a — b 中，其值大于0的个数为(B 3C 、4D 、52已知二次函数y = ax bx c(a = 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：2a +b + c则一次函数 y = bx • b -4ac 与反比例函数 y 二10、二次函数y =ax bx c 的图象如图所示,A . 在同一坐标系内的图象大致为B .x C.xD .211、小强从如图所示的二次函数y =ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：（1） a ::： 0 ； （2）c 1 ； （ 3）b 0 ； （ 4） a b c 0 ；（ 5）a-b ・c 0.你认为其中正确信息的个数有A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个能是（）14、 二次函数y =ax 2 bx c 的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A . a v 0B. abc >0C. a b c > 0D. b 2 -4ac > 02J严：1 11 i/O ! 4\212、二次函数 y =ax bx c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1，则下列四个结论错误.的是13、在同一直角坐标系中，函数2B . 2a b=0C . b -4ac 0D . a -b c 02y = mx m 和函数 y = -mx 2x 2（m 是常数，且m = 0 ）的图象可12题图15、已知二次函数y =ax - bx - c的图象如图所示，有以下结论：① a b ： 0:② b c 1 :③abc 0 :④4a -2b • c ：：： 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B .①③④C .①②③⑤D .①②③④⑤15题图216、二次函数 y =ax bx c(a =0)B . b :: 017、二次函数y 二ax 2 - bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）D . b 2 -4ac ：：0 C . c ： 0)。
二次函数的符号的问题浙教版
观察抛物线的对称轴位置，若对称轴在 $y$ 轴左侧，则 $a$ 与 $b$ 同号；若对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 与 $b$ 异号。
已知二次函数根的情况求符号
若方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有两个不相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac > 0$，且 $a neq 0$。
当二次函数无实根时，若$a > 0$，则 函数值始终大于0；若$a < 0$，则函
数值始终小于0。
04 典型例题分析
已知二次函数解析式求符号
对于形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的二次函数，若 $a > 0$，则抛 物线开口向上，若 $a < 0$，则
抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为 $x = frac{b}{2a}$，若 $a$ 与 $b$ 同 号，则对称轴在 $y$ 轴左侧，若 $a$ 与 $b$ 异号，则对称轴在
二次函数与绝对值不等式
将绝对值不等式转化为分段函数，再结合二次函数的性质进行求解。
二次函数与实际应用问题
二次函数与最值问题
利用二次函数的性质，可以求解实际生活中的最值问题，如最大 利润、最小成本等。
二次函数与拟合问题
通过最小二乘法等方法，可以用二次函数对数据进行拟合，预测 未来趋势。
二次函数与动态规划
若方程有两个相等的实根，则 $Delta = b^2 - 4ac = 0$，且 $a neq 0$。
若方程无实根，则 $Delta = b^2 - 4ac < 0$，且 $a neq 0$。
05 浙教数的符号问题
参数影响二次函数开口方向
01
当参数使得二次项系数为正时，函数开口向上；为负时，开口
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)
初中数学专题训练：二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( )A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0，其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A(－1，0)，C(x，0)，且与y轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：2①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B，C两点，交y轴于点A.(1)根据图象确定a，b，c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB，BC＝4，求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧，a，b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点，则b2－4ac＞0，所以C选项的关系式正确；当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y＝bx的图象上，当x＝1时，y＝b，即公共点的坐标为(1，b)．又点(1，b)在抛物线上，得a＋b＋c＝b，即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0，一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上，而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限，故b＞0，一次函数的图象满足y随x的增大而增大，选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上，所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，所以b<0，所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以a ＋b＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时，y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1，所以b ＝－2a ，所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知，正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时y ＝c ，∴C(0，c)，∴OC ＝－c.∵OB＝OC ，∴B(－c ，0)．∵A(－2，0)，∴－c ，－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0，∴a ＝12，②正确；∵－c ，－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧，∴－b2a ＜0，∴b ＞0，∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋bc＜0，④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，∴－b2a＝－2，∴4a －b ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，∴另一个交点位于(－1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方，∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a.∵当x ＝－3时，y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0，故③正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a ，∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数，a ＜0，∴a(t ＋2)2≤0，∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0，∴at 2＋bt≤4a－2b ，即4a －2b≥at 2＋bt ，∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2，故⑤错误．综上所述，正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵函数图象过点(0，1)，∴c＝1.∵函数图象过点(1，0)，∴a＋b＋c＝0，∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知，当x＝－1时，应有y＞0，∴a－b＋c＞0，∴a＋(a＋1)＋1＞0，∴a＞－1，∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知，a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象，当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c，∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知，a ＞0，且抛物线经过点A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a>0，即a －b ＝2，b ＜0，故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代入0＜a ＜2中，得0＜b ＋2＜2，即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④.12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB ＝4，对称轴为直线x ＝－b 2a＝1，∴b ＝－2a ，即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知，当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c＝－3a.故③正确；当a ＝12时，b ＝－1，c ＝－32，抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32，得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC ，当AB ＝BC ＝4时，∵BO ＝3，△BOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－7，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时，∵AO ＝1，△AOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－1＝15.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－15，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝153； 当AC ＝BC 时，在△AOC 中，AC 2＝1＋c 2，在△BOC 中，BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC ，∴1＋c 2＝c 2＋9，此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a>0.又∵对称轴x ＝－b 2a<0， ∴a ，b 同号，即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0.综上所述，a>0，b>0，c<0.(2)∵OC＝OA ＝13OB ，BC ＝4， ∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)．把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1， ∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1. 14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0，b ＜0，c ＜0，∴b 2－4ac ＞0，∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)．∵x 1·x 2＝c a，a ＞0，c ＜0，∴x1·x2＜0，∴这个函数图象与x轴有两个交点，一个交点在x轴的正半轴上，另一个交点在x轴的负半轴上．。
二次函数的符号问题
y a>0, b>0, c=0, o x △>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定 、 、抛物线 如图所示， 如图所示 试确定a、 b、c、△的符号： 、 、 的符号：
二次函数的符号问题
知识点一： 知识点一：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： 的符号问题： 抛物线 的符号问题 的符号： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 ） 的符号 a>0 a<0 由抛物线与y轴的交点位置确定 的符号： （2）C的符号： ） 的符号 由抛物线与 轴的交点位置确定 c>0 交点在y轴正半轴 交点在 轴正半轴 交点在y轴负半轴 交点在 轴负半轴 经过坐标原点 c<0 c=0 开口向上 开口向下
c
二次函数的图象和性质
二次函数y=ax +bx+c(a≠0)的几个特例 的几个特例： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例： y (1)当 (1)当x=1 时， y=a+b+c (2)当x=(2)当x=-1时， y=a-b+c (3)当x=2时 (3)当x=2时，
x -2 -1 o 1 2
练习
o
x
o
x （C） ）
o （D） ）
x
练习
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 、已知：二次函数 的图象如图所 下列结论中： 示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a； ＞ ； ； ③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的 ＜ ； ＞ ＞ 正确的 个数是 （ C ） A、2个 、 个 C、4个 、 个 B、3个 、 个 D、5个 、 个
二次函数中的符号问题
→
3 、C ＞ 0
b ＜ 0
-1 o
1
x
→ b = 2a
X=-1
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c＜0；③4a+2b+c＞0；④ （a+c)2＜b2其中正确的个数是（ B ） A 、4 个 B 、3 个 C 、2 个 D 、1 个 y
根据图像可得： 1 、a ＜ 0
下降的
⇔
k ＜0
（2）、b符号的： 是由直线y=kx+b与y轴的交点位置确定的； ① 交于y轴的正半轴 ② 交于y轴的正半轴 ③ 交于原点
⇔ ⇔ ⇔
b ＞0 b ＜0 b ＝0
⑶、k和b的符号共同确定直线y=kx+b经过的象限。
二、新知讲解与归纳：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定；
①与x轴有两个交点 ②与x轴有一个交点
③与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
利用以上知识主要解决以下两方面问题：
（1）由抛物线的位置确定系数a、b、c、及∆（b²-4ac) 等有关含a、b、c的某些代数式的符号； （2）由a、b、c、及∆ （b²-4ac)的符号确定抛物线在 坐标系中的大致位置。
→b
o x 3 、C = 0
＞ 0
4、△ = b²- 4ac ＞ 0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
根据图像可得：
y 1、a ＞ 0
→b
o x 3 、C ＞ 0
专题二、二次函数的符号问题
2a
（3）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在y轴正半轴 交点在y轴负半轴 交点在坐标原点 c>0 c<0 c=0 y
o
x
（4）b2-4ac 的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴没有交点 与x轴有一个交点 与x轴有两个交点 b2-4ac< 0
b2-4ac=0
b2-4ac> 0
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 a>0 开口向上 y a<0 开口向下
o
x
（2）b的符号： 由对称轴与y轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b同号 a、b异号
b=0
y
b 0 2a
简记为：左同右异
o
b b 0 2a 0 b b 0 2a 0
x
y
o
x
合作探“究” 1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
2-4ac_____0 （1）a ___0, b ____0, c _____0, b ＞ ＞ ＜ ＜
（2）a+b+c____0, ＜ 4a-2b+c____0 ＞
＞ ， a-b+c____0
-2 -1
y=ax2+bx+c
0
1
(5)a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上 y
＜ ＜ （3）2a-b_____0, 2a+b_______0
-2 -1
0
1
（6）2a+b和2a-b的符号：由对称轴与直线x=1 或x=-1的位置确定
y y
二次函数--配方法二次函数中的符号问题
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
16
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＝0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
17
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
2 x -1 O 1
23
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点，则a可取的值为 ；
24
数学因规律而不再枯燥，
根据图像可得： 1、a＜0
o x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＜0 4、C＜0 18
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y
根据图像可得： 1、a＜0 2、-
b 2a
＞0
与x轴无交点
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
4a-2b+c的符号 9a+3b+c的符号
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2-4ac等符号问题(含答案)
初中数学专题训练：二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题（含答案）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a,b,c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A．当a＝1时,函数图象过点(－1,1)B．当a＝－2时,函数图象与x轴没有交点C．若a＞0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D．若a＜0,则当x≤1时,y随x的增大而增大2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示,则下列关系式错误的是( )图2－ZT－1A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜03．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限,则实数b 的取值范围是( )A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤24．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－2所示,则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b－cx在同一坐标系中的大致图象是( )图2－ZT－2图2－ZT－35．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝bx的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )图2－ZT－46．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图2－ZT－5所示,对称轴是直线x＝1.下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是( )图2－ZT－5A．①④ B．②④C ．①②③D ．①②③④7．如图2－ZT －6,抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2,0)和点B ,交y 轴负半轴于点C ,且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0,其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,其部分图象如图2－ZT －7所示,则下列结论：①4a －b ＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示,则a 的取值范围是________．图2－ZT－810．如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论：2①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1,0)；④当1＜x＜4时,有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b.其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT－911．如图2－ZT－10,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x 轴交于点A(－1,0),C(x2,0),且与y轴交于点B(0,－2),小强得到以下结论：①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时,x2＞5－1.以上结论中,正确的结论序号是________．图2－ZT－1012．如图2－ZT－11,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为－1,3,与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝12时,△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT－11三、解答题13．如图2－ZT－12,二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B,C两点,交y轴于点A.(1)根据图象确定a,b,c的符号；(2)如果OC＝OA＝13OB,BC＝4,求这个二次函数的表达式．图2－ZT－1214．已知函数y＝ax2＋bx＋c,若a＞0,b＜0,c＜0,则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？若无交点,请说明理由；若有交点,请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．详解详析二次函数图象与a,b,c,b2－4ac等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下,则a＜0,所以A选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y轴的右侧,a,b异号,则b＞0,所以B选项的关系式正确；抛物线与x轴有2个交点,则b2－4ac＞0,所以C选项的关系式正确；当x＝1时,y＞0,即a＋b＋c＞0,所以D选项的关系式错误．3．[答案] A4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1,且在反比例函数y＝bx的图象上,当x＝1时,y＝b,即公共点的坐标为(1,b)．又点(1,b)在抛物线上,得a＋b＋c＝b,即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0,一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上,而反比例函数y＝bx的图象的一支在第一象限,故b＞0,一次函数的图象满足y随x的增大而增大,选项B符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上,所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1,所以b<0,所以ab＜0.所以①正确；②抛物线与x轴有两个交点,所以b2－4ac>0,所以b2＞4ac.所以②正确；③由图象知,当x＝1时,y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴,所以c<0,所以a＋b ＋2c＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时,y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a＝1,所以b ＝－2a,所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知,正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中,当x ＝0时y ＝c,∴C(0,c),∴OC ＝－c.∵OB＝OC,∴B(－c,0)．∵A(－2,0),∴－c,－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0,∴a ＝12,②正确；∵－c,－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根,∴－c ＋(－2)＝－b12,即2b －c ＝2,①正确；把B(－c,0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c,得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c,即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0,∴ac －b ＋1＝0,∴ac ＝b －1,③正确；∵抛物线开口向上,∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧,∴－b2a ＜0,∴b ＞0,∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C,∴c ＜0.∴a ＋bc＜0,④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,∴－b2a＝－2,∴4a －b ＝0,故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0)和(－4,0)之间,∴另一个交点位于(－1,0)和(0,0)之间,∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方,∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a.∵当x ＝－3时,y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0,故③正确；∵4a －b ＝0,∴b ＝4a,∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数,a ＜0,∴a(t ＋2)2≤0,∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0,∴at 2＋bt≤4a－2b,即4a －2b≥at 2＋bt,∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1,⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点,∴将它们描在图象上可得由图象可知：y1<y3<y2,故⑤错误．综上所述,正确的有3个．故选B.9．[答案] －1＜a＜0[解析] ∵抛物线开口向下,∴a＜0.∵函数图象过点(0,1),∴c＝1.∵函数图象过点(1,0),∴a＋b＋c＝0,∴b＝－(a＋c)＝－(a＋1)．由题意知,当x＝－1时,应有y＞0,∴a－b＋c＞0,∴a＋(a＋1)＋1＞0,∴a＞－1,∴a的取值范围是－1＜a＜0.10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知,a＜0,b＞0,c＞0,故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知,方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根,即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知,抛物线与x轴的另一个交点是(－2,0)；④根据函数图象,当1＜x＜4时,有y2＜y1；⑤当x＝1时,y＝a＋b＋c＝3≥x(ax＋b)＋c,∴x(ax＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知,a ＞0,且抛物线经过点A(－1,0),B(0,－2),对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b2a >0，即a －b ＝2,b ＜0,故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2,将其代入0＜a ＜2中,得0＜b ＋2＜2,即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时,因为a ＞0,b ＜0,故有a ＝－b.又a －b ＝2,可得a ＝1,b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2,当y ＝0时,即有x 2－x －2＝0,解得x 1＝－1,x 2＝2, 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A,B 的横坐标分别为－1,3,∴AB ＝4,对称轴为直线x ＝－b2a＝1,∴b ＝－2a,即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知,当x ＝1时,y ＜0,即a ＋b ＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1,0),∴a －b ＋c ＝0,而b ＝－2a,∴a ＋2a ＋c ＝0,即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时,b ＝－1,c ＝－32,抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E,∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32,得y ＝12－1－32＝－2,∴点D 的坐标为(1,－2),∴AE ＝2,BE ＝2,DE ＝2,∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形,∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形,则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC,当AB ＝BC ＝4时,∵BO ＝3,△BOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－7,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时,∵AO ＝1,△AOC 为直角三角形,OC 的长为|c|,∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上,∴c ＝－15,与2a ＋b ＝0,a －b ＋c ＝0联立组成方程组,解得a ＝153； 当AC ＝BC 时,在△AOC 中,AC 2＝1＋c 2,在△BOC 中,BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC,∴1＋c 2＝c 2＋9,此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述,正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上,∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a<0, ∴a,b 同号,即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴,∴c<0. 综上所述,a>0,b>0,c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB,BC ＝4,∴点A 的坐标为(0,－1),点B 的坐标为(－3,0),点C 的坐标为(1,0)．把A,B,C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中,可得⎩⎨⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．[全品导学号：63422210]解：∵a＞0,b ＜0,c ＜0,∴b 2－4ac ＞0, ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1,0),(x 2,0)． ∵x 1·x 2＝ca ,a ＞0,c ＜0,∴x 1·x 2＜0,∴这个函数图象与x轴有两个交点,一个交点在x轴的正半轴上,另一个交点在x轴的负半轴上．。
二次函数中的符号问题(十分经典)
②、 y ax2 c(a 0)
③、 y a(x h)2 (a 0)
o
x
④、 y a(x h)2 k(a 0)
(顶点式)
⑤、y ax2 bx c(a 0)
(一般式)
⑥、y a(x b )2 4ac b2 (a 0)
2a
4a
4
练习1
实数根，则抛物线 y 2x 2 的 顶x 点n在（ ）
A、第一象限 C、第三象限
B、第二象限 D、第四象限
2、不论自变量取什么实数，函数 y 2x2 6x m 的值总是正数，你认为m的取值范围是 __________
3、如果二次函数 y x 2 4x c 的图像与x轴 最多有一个交点，则c的取值范围是 ________
A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
y x
y x
思考：3、4题的特征是什么？
练习4
5.已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象
是（ C ） y
y
o
判断的 （A）
x
技巧是 y
什么？
知识点三：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
二次函数中的符号问题
二次函数中的符号问题归纳知识点：抛物线y=ax 2+bx+c 的符号问题：（1开口向上 a>0 开口向下a<0 经过坐标原点 由抛物线与y 轴的交点位置确定:交点在x 轴上方 c>0 交点在x 轴下方c<0c=0由对称轴的位置确对称轴在y 轴左a 、b 同号 对称轴在y 轴右a 、b 异号 对称轴是y b=0 简记为：左同右异 （图218．如图，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y 轴交于负半轴．给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c =1；④a ＞1．其中正确结论的序号是______(少选、错选均不得分)．1.（07年南充）如图1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝-1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）．A. ②④B. ①④C.②③D.①③2.（07年天津市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0 )的图象如图2所示，有下列5个结论：①abc ＞0 ；②b ＜ a+c ；③ 4a ＋2b ＋c ＞ 0 ；④ 2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞ m (a m+b ) ,(m ≠1的实数)其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3. （08年陕西省）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （其中a ＞0 ，b ＞0 ，c ＜ 0 ），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ） 图1 （4）b 2-4ac 的符号： b 2-4ac>0 由抛物线与x 轴的交点个数确定: 与x 轴无交点 b 2-4ac<0 与x 轴有一个交点 b 2-4ac=0 与x 轴有两个交点A ．0B ．1C ．2D ．34. （08年天津市）已知关于x 的函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；②当x ＜2时，对应的函数值y ＜ 0；③当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大． 你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）．5.(07年福州市)如图4所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论： ①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 提示：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2b x a =-，顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 18．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0① ac>0； ②a –b +c<0； ③当x<0时，y<0；④方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个大于－1的实数根． 其中错误的结论有（A ）②③（B ）②④（C ）①③（D ）①④ （广西钦州市20XX 年）12．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是( ) (A)ab ＜0 (C)当x ＜2(D)二次函数y 的根 （湖北省荆门市13. (2010论： ①对称轴为式为y ＝－ｘ(x ④当x ≤0 （ ）A 10 图4 第18题 • • 4－3＝(x －a )2＋a －3，得抛物线y ＝x 2－2ax ＋a 2＋a －3的顶点坐标为(a ，a －3)．即：无论a 取任何实数，该抛物线 顶点的纵坐标y 与横坐标x 都满足关系式y ＝x －3．根据上述材料，可以确定抛物线y ＝x 2 ＋4bx ＋b 的顶点的纵坐标y 与横坐标x 都满足的关系式为．（贵港市20XX 年）18．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结（8.4A. C.2-a 20．且①（14.和点（（23.和(N n 三点（1（2（3（20XX 年乌鲁木齐市）7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，则下列结论正确的是A ．200040a b c b ac <<>->，，，Ｂ．200040a b c b ac ><>-<，，，Ｃ．200040a b c b ac <><->，，，Ｄ．200040a b c b ac <>>->，，，图3xyO 图7 （20XX 年昭通市）15. 如图7是二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c ＞0；②a +b +c ＜0；③ 2a －b ＜0；④b 2+8a ＞4a c 中正确的是（填写序号）． （玉溪市20XX 年）23．（2010 江苏镇江）运算求解（本小题满分6分） 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点. （1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若n y y C y Q y n P 求实数且上的两点是,,),2(),,(21121>的取值范围.11．抛物线2上部分点的横坐标，纵坐标y 的对应值如下表： ①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x =④在对称轴左侧y 随x 增大而增大A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4（20XX 年柳州市）。
中考数学二次函数a,b,c符号问题 讲解例题
二次函数a ，b ，c 符号问题1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（1）a>0 ；（2）b>•0；（3）c<0；（4）0ab < ；（5）0ab <； （6）0bc <；；（7）2a+b>0 ；（8）4a+b<0 ；（9）abc ＜0；（10）0a b c ++>；（11）；a-b ＋c ＜0 ；（12）a ＋c ＞b ；（13）9a-3b ＋c ＜0；(14）4a-2b ＋c ＜0 ；（15）240b ac -> ； (16） 0＜a b 2；（17），（的实数） ；（18）3a+c<0 ；（19）；（20）（a+c ）2<b 22、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个4、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +> ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）A . 1 B . 2 C . 3 D . 45、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤ 111- O xy。
九年级数学上二次函数的系数符号问题专题训练及答案解析
二次函数的系数符号问题专题训练一．选择题（共25小题）1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2B．3C．4D．52．如图，所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（5，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中错误的是（）A．abc＞0B．当x＜1时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝53．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜05．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示．下列结论中，错误的是（）A．abc＜0B．当m≠1时，a+b＞am2+bmC．2a+b＝0D．若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，x1+x2＝36．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（﹣3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A、C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（）A．abc＜0B．3a﹣b＞0C．2a﹣b+m＜0D．a﹣b＞2m﹣2 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论正确的是（）A．abc＞0B．a+c＞b C．b+2a＝0D．b2﹣4ac＜0 8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＝﹣2a；③b2+4ac＞0；④4a+2b+c＜0．其中结论正确的是（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a+b＞0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＞0．其中，结论正确的个数是（）A．5B．4C．3D．211．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论，错误的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．4a﹣2b+c＜0D．（a+c）2＞b2 12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b＜0；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．514．抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②b+2a＝0；③b2＞4ac；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物上，则y1＜y2；⑤13a﹣4b+c＞0；⑥3a+2c＜0，其中正确个数有（）A．2B．3C．4D．515．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A．1个B．2个C．3个D．4个17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm ≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．②③④18．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜﹣1，则y1＞y2，⑤abc＞0．其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个19．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当时y＞0，﹣1＜x＜3；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴为直线x＝﹣，下列结论：①abc＜0；②ax2+bx+c＝0两根之和大于0；③a+b＝0；④4a+c＜2b；⑤b2﹣4ac＞0；正确的个数是（）A．1B．2C．3D．422．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③25a﹣5b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc ＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个25．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤二．填空题（共6小题）26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，有下列结论：①b2＞4ac；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论中：①b2﹣4ac＜0；②2a﹣b ＝0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0；⑤abc＞0，则其中正确的结论有（填序号）．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）abc＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）5a+c＝0；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（填序号）．29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论正确的有（填序号）．①若图象过点（﹣3，y1）、（2，y2），则y1＜y2；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．30．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．31．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0 ③4a+2b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）．二次函数的系数符号问题专题训练参考答案一．选择题（共25小题）1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b＝0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2B．3C．4D．5解：∵抛物线与y轴交于负半轴∴c＞0，①正确；∵对称轴为直线x＝﹣1，∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，∴y1＞y2②错误；∵对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，则2a﹣b＝0，③正确；∵抛物线的顶点在x轴的上方，∴＞0，④错误；当x＝﹣2时，y＞0，则4a﹣2b+c＞0，⑤正确，故选：B．2．如图，所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（5，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中错误的是（）A．abc＞0B．当x＜1时，y随x的增大而增大C．a+b+c＞0D．方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝5解：A、抛物线开口向下得a＜0，抛物线的对称轴在y轴右侧得b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则abc＜0，所以A选项的结论错误；B、a＜0，当x＜1时，y随x的增大而增大，所以B选项的结论正确；C、当x＝1时，y＞0，即a+b+c＝0，所以C选项的结论正确；D、点（5，0）关于直线x＝1的对称点为（﹣3，0），所以方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣3，x2＝5，所以D选项的结论正确．故选：A．3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确是（）A．abc＞0B．2a+b＜0C．3a+c＜0D．ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根解：∵抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣，得到b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，A、abc＜0，错误；B、2a+b＝0，错误；C、把x＝1时代入y＝ax2+bx+c＝a+b+c，结合图象可以得出y＝3，即a+b+c＝3，a+c＝3﹣b，∵2a+b＝0，b＞0，∴3a+c＝2a+a+c＝﹣b+3﹣b＝3﹣2b＜0，3a+c＝2a+a+c＝a﹣b+c，应当x＝﹣1时，y＝a ﹣b+c＜0，所以c正确；D、由图可知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3有一个交点，而ax2+bx+c﹣3＝0有一个的实数根，错误；故选：C．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a+b+c＜0解：抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；对称轴x＝﹣＞0，所以b＜0；所以abc＞0；由图象可知：0＜﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0；由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0；由图可知：当x＝1时，y＜0，所以a+b+c＜0；故选：D．5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示．下列结论中，错误的是（）A．abc＜0B．当m≠1时，a+b＞am2+bmC．2a+b＝0D．若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，x1+x2＝3解：∵抛物线开口方向，∴a＜0，∵抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，∴2a+b＝0，故C正确；∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故A正确；∵当x＝1时，函数有最大值，∴当m≠1时，a+b＞am2+bm，故B正确；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴抛物线和x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），由图象可得x1+x2＜3，故D错误；故选：D．6．如图，在直角坐标系中，一次函数y＝mx+n（m≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于A（﹣3，0）和B两点，抛物线与x轴交于A、C两点，且C的横坐标在0到1之间（不含端点），下列结论正确的是（）A．abc＜0B．3a﹣b＞0C．2a﹣b+m＜0D．a﹣b＞2m﹣2解：A、由图可知，二次函数图象开口向下，所以，a＜0，∵C的横坐标在0到1之间（不含端点），∴﹣＜﹣1，∴b＜2a，∴b＜0，∵与y轴的交点C在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故本选项错误；B、∵A（﹣3，0）在二次函数图象上，∴9a﹣3b+c＝0，∴3a﹣b＝﹣c＜0，∴3a﹣b＜0，故本选项错误；C、∵b＜2a，∴2a﹣b＞0，∵一次函数y＝mx+n经过第一三象限，∴m＞0，∴2a﹣b+m＞0，故本选项错误；D、x＝﹣1时，a﹣b+c＞﹣m+n，∵一次函数经过点（﹣3，0），∴﹣3m+n＝0，∴n＝3m，∴a﹣b＞﹣m+3m﹣c＝2m﹣c，由图可知，c＜2，∴2m﹣c＞2m﹣2，∴a﹣b＞2m﹣2，故本选项正确．故选：D．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论正确的是（）A．abc＞0B．a+c＞b C．b+2a＝0D．b2﹣4ac＜0解：A、∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图形与y轴的交点在Y轴的正半轴上，∴c＞0，∵二次函数的图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本选项错误；B、把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故本选项错误；C、∵二次函数的图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，b＝﹣2a＞0，∴b+2a＝﹣2a+2a＝0，故本选项正确；D、∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故本选项错误；故选：C．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＝﹣2a；③b2+4ac＞0；④4a+2b+c＜0．其中结论正确的是（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③④解：图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，∴abc＞0，①正确；对称轴为x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，②正确；图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，③正确；∵x＝0时，y＞0，对称轴是x＝1，∴x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，④错误，故选：B．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，直线x＝1是它的对称轴，有下列5个结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④2a﹣b＝0；⑤方程ax2+bx+c ﹣3＝0有两个相等的实数根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由图象可知：a＜0，c＞0，＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；②抛物线的对称轴为x＝1，∴（﹣1，y）关于直线x＝1的对称点为（3，y），（0，c）关于直线x＝1的对称点为（2，c）∴x＝2，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；③抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由对称轴可知：＝1，∴2a+b＝0，故④错误；⑤由图象可知：y＝3时，此时ax2+bx+c＝3只有一解x＝1，∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相同的根，故⑤正确；故选：C．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③2a+b＞0；④9a+3b+c＜0；⑤8a+c＞0．其中，结论正确的个数是（）A．5B．4C．3D．2解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，b＝﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，故③错误；④观察图象得当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，故④正确；⑤∵b＝﹣2a，∴9a+3b+c＝9a﹣6a+c＝3a+c＞0∵a＞0∴8a+c＞0，故⑤正确，所以①②④⑤这四个结论都正确．故选：B．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论，错误的是（）A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．4a﹣2b+c＜0D．（a+c）2＞b2解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵对称轴在y轴的左边，∴b＜0；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，∴选项A正确；∵对称轴﹣1＜﹣＜0，a＜0，∴2a﹣b＜0，∴选项B正确；∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，∴选项C正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，但无法确定（a+c）2＞b2 ，∴选项D不正确．故选：D．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A．13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b＜0；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．5解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，所以③正确；∵点（﹣0.5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（﹣2，y2）到直线x＝﹣1的距离小，而抛物线开口向上，∴y1＜y2；所以④错误；∵b＝2a，∴5a﹣2b＝5a﹣4a＝a＞0，所以⑤错误．故选：A．14．抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②b+2a＝0；③b2＞4ac；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物上，则y1＜y2；⑤13a﹣4b+c＞0；⑥3a+2c＜0，其中正确个数有（）A．2B．3C．4D．5解：①由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝﹣1，∴b﹣2a＝0，故②错误；③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④∵（﹣0.5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（，y1），∵x＜﹣1时，y随着x的增大而减少，∴y1＜y2，故④正确；⑤∵抛物线经过（1，0），∴0＝a+b+c，∴c＝﹣3a，由于b＝2a，∴13a﹣4b+c＝13a﹣8a﹣3a＝2a＞0，故⑤正确；⑥3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，故⑥正确；故选：D．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（3，0），其部分图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0：②b2﹣4ac＜0；③a+b＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小；⑤3a+c＝0；⑥c＜4b．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由抛物线开口方向向下知，a＜0．由抛物线对称轴位于y轴右侧知，a、b异号，即ab＜0，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．则abc＜0．故错误；②由抛物线与x轴有两个不同的交点知，b2﹣4ac＞0．故错误；③由对称轴x＝﹣＝1知b＝﹣2a，则a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，即a+b＞0．故正确；④如图所示，当x＞1时，y随x的增大而减小，故错误；⑤如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣1，0）．所以当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＝0，即3a+c＝0，故正确；⑥∵3a+c＝0．∴c＝﹣3a．∴c﹣4b＝﹣3a﹣4b＝﹣3a+8a＝5a＜0．故正确．综上所述，其中正确的结论有3个．故选：C．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b＝0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A．1个B．2个C．3个D．4个解：由抛物线的对称轴为x＝2可得﹣＝2，即4a+b＝0，故①正确；由抛物线的对称性知x＝0和x＝4时，y＞0，则x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故②错误；∵抛物线的开口向下，且对称轴为x＝2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∵点A到x＝2的水平距离为5，点B到对称轴的水平距离为2.5，点C到对称轴的水平距离为3，∴y1＜y3＜y2，故③正确；令y＝a（x+1）（x﹣5），则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，∴x1＜﹣1＜5＜x2，故④正确；故选：C．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③b2﹣4ac＞0；④无论m为何值时，总有am2+bm ≤a+b；⑤9a+c＞3b，其中正确的结论序号为（）A．①②③B．①③④C．①③④⑤D．②③④解：①由图象可得c＞0，∵x＝﹣＝1，∴ab＜0，∴abc＜0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②错误；∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x＝1时，函数有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴am2+bm≤a+b，即无论m为何值时，总有am2+bm≤a+b．故④正确；⑤∵当x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，故⑤错误；故选：B．18．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b＝0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜﹣1，则y1＞y2，⑤abc＞0．其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个∴△＝b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，结论①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，结论②正确；③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴当x＝1与x＝﹣3的值相等，即当x＝1时y＜0，∴a+b+c＜0，结论③正确；④∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，x1＜x2＜﹣1，∴y1＜y2，结论④错误；⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＝2a＜0，c＞0，∴abc＞0，结论⑤正确．故选：B．19．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x＝﹣5和x＝7时函数值相等．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，y最大，即a+b+c＞2，∴a+c＞2﹣b，所以③错误；∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，而﹣＝1，c＝2，∴4a+4a+2＜0，∴a＜﹣，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝﹣5和x＝7时函数值相等，所以⑤正确．故选：C．20．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④当时y＞0，﹣1＜x＜3；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①由图可知：x＝1是抛物线的对称轴，且抛物线的开口向下，∴当x＝1时，y的最大值为y＝a+b+c，故①正确；②由于抛物线过点（﹣1，0），∴x＝﹣1时，y＝0，∴y＝a﹣b+c＝0，故②错误；③由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④（﹣1，0）关于x＝1对称点为（3，0），∴﹣1＜x＜3，y＞0，故④正确；故选：C．21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴为直线x＝﹣，下列结论：①abc＜0；②ax2+bx+c＝0两根之和大于0；③a+b＝0；④4a+c＜2b；⑤b2﹣4ac＞0；正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：①图象开口向上，a＞0，与y轴交于负半轴，c＜0，对称轴在y轴左侧，b＞0，∴abc＜0，①正确；②∵对称轴为直线x＝﹣，∴﹣＝﹣，x1+x2＜0，②错误；③∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0③错误；④由图象和对称轴可知x＝﹣2时，y＜0，④正确；⑤图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，⑤正确．故选：C．22．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③25a﹣5b+c＞0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝﹣2，∴b＝4a，ab＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，∴②⑤正确，∵当x＝﹣5时y＜0，即25a﹣5b+c＜0，∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B．23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a2﹣ab+ac＜0，其中正确的结论有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线开口向下，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴ab＞0，所以③错误；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，而a＞0，∴a（a﹣b+c）＜0，所以④正确．故选：C．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc ＜0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＜0；④2a+b＝0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2＞4ac，②正确；∵x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故③错误；∵对称轴为直线x＝1，∴，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，④正确．故选：B．25．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＜0；④b﹣4a＝0；⑤方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（）A．①③④B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝﹣2，∴b＝4a，ab＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x轴交于﹣4，0处两点，∴b2﹣4ac＞0，方程ax2+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，∴②⑤正确，∵当x＝﹣3时y＞0，即9a﹣3b+c＞0，∴③错误，故正确的有②④⑤．故选：B．二．填空题（共6小题）26．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，有下列结论：①b2＞4ac；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．其中所有正确的结论是①②④．（填写正确结论的序号）解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以②正确；∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，所以③错误；∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以④正确；故答案为①②④．27．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论中：①b2﹣4ac＜0；②2a﹣b ＝0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0；⑤abc＞0，则其中正确的结论有②③⑤（填序号）．解：∵二次函数y＝ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴结论①错误；函数的对称轴是x＝﹣1，即﹣＝﹣1，则b＝2a，2a﹣b＝0，故②正确；当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；当x＝﹣1时，函数对应的点在x轴上方，则a+b+c＞0，则④错误；∵a＜0，b＞0，c＜0，∴abc＞0，则⑤正确，故答案为：②③⑤．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）abc＞0；（3）b2﹣4ac＞0；（4）5a+c＝0；（5）若m≠2，则m（am+b）＞2（2a+b），其中正确的结论有（1）（3）（4）（填序号）．解：由对称轴为直线x＝2，得到﹣＝2，即b＝﹣4a，∴4a+b＝0，（1）正确；∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（2）错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，故（3）正确；∵图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，即c＝﹣a+b＝﹣a﹣4a＝﹣5a，∴5a+c＝5a﹣5a＝0，故（4）正确；∵当x＝2时函数取得最大值，且m≠2，∴am2+bm+c＜4a+2b+c，即m（am+b）＜2（2a+b），故（5）错误；故答案为：（1）（3）（4）29．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论正确的有①②③（填序号）．①若图象过点（﹣3，y1）、（2，y2），则y1＜y2；②ac＜0；③2a﹣b＝0；④b2﹣4ac＜0．解：①∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴（﹣3，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（1，y1），∵﹣3＜﹣1＜1＜2，∴y1＜y2，故①正确；②由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故②正确；③对称轴为x＝﹣1，∴＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故③正确；④由图象可知抛物线与x轴的交点有两个，∴△＞0，故④错误；故答案为：①②③．30．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b＝0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是①②③④（把正确的序号都填上）．解：①∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故正确；②∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与﹣1之间；∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故正确；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故正确；④∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正确；⑤∵抛物线和x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故错误；⑥如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误；∴正确的有4个．故答案为①②③④．31．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，给出以下结论：①abc＜0 ②b2﹣4ac＞0 ③4a+2b+c＜0④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）②③⑤．解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①错误．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确．∵抛物线对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴4a+2b+c＜0，故③正确．∵B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，∴y1，＜y2，故④错误，由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．∴②③⑤正确，故答案为②③⑤．。
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y
C、4个
D、5个
；
-1 o
1
x
练一练：
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
练一练：
4.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
y
2
x -1 O 1
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;
仔细想一想：
7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点 （-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴． (以下有(1)、(2)两问，你只需选答一问，若两问都答,则只以 第(2)问计分) 第(1)问：给出四个结论： ①a>0；② b>0；③c>0；④ a+b+c=0．其中正确结论的序号 是 ①④ （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第(2)问：给出四个结论： ① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．
b2-4ac>0
b2-4ac=0 b2-4ac<0
归纳知识点：
（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定 （6）a-b+c的符号： 由x=-1时抛物线上的点的位置确定
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
.
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定: 交点在x轴上方 c>0 c<0 a>0 a<0
交点在x轴下方
经过坐标原点
c=0
归纳知识点：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定： 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定: 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 a、b同号 a、b异号 b=0 简记为：左同右异
二次函数中的符号问题
(a、b、c、△等符号)
教学目标
由a,b,c,
△的符号确定抛物线在坐 标系中的大致位置
由抛物线在坐标系中的位置确定
a,b,c, △等符号及有关a,b,c的代 数式的符号
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
o
x
例题
若抛物线 y (m 1) x 2mx m 3 位于x轴上方,求m的取值范围.
2
练一练：
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点 b M（ ，a）在（ D ） c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ； ④a+b-c＞0; ⑤ b=2a正确的个数是 （ ） C A、2个 B、3个
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
想一想：
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的 顶点M在第二象限，且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1
再想一想：
6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a<0） 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值 是 -2 .