初中几何定理大全之欧阳歌谷创编

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初一数学定理、概念、公式之欧阳歌谷创编

一、有理数

欧阳歌谷（2021.02.01）

（一）有理数

1、有理数的分类：

按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类：

正整数正整数

整数零正有理数

有理数负整数正分数

正分数有理数 0

分数负整数

负整数负有理数

负分数

2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。

（二）数轴

1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。

（三）相反数

1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫

做互为相反数。

3、代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。

（四）绝对值

1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。

2、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值

是0。

a (a＞0)，

即对于任何有理数a,都有|a|＝ 0（a＝0）

–a(a＜0)

4、绝对值的计算规律：

（1）互为相反数的两个数的绝对值相等.

（2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b.

（3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.

(经典)中考数学几何题总汇之欧阳与创编

三角形

知识考点：

理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。精典例题：

【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（）

A 、b L a 33>>

B 、a L b a 2)(2>>+

C 、a b L b a +>>+262

D 、b a L b a 23+>>- 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。

答案：B

变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（）

A 、1＜A

B ＜29 B 、4＜AB ＜24

C 、5＜AB ＜19

D 、9＜AB ＜19

评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。

略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE

例2图

D C B A

∴∠D ＝21∠ABC ，∠E ＝21

∠ACB

∴∠D ＋∠E ＝21

（∠ABC ＋∠ACB ）＝530

初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)之欧阳地创编

初中数学几何模型大全+经典题

型（含答案）

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另

外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

初中数学几何定理大全之欧阳光明创编

初中数学公理和定理

一、公理（不需证明）

1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那

么这两条直线平行;

2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）

4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）

5、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）

6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.

7、线段公理：两点之间，线段最短。

8、直线公理：过两点有且只有一条直线。

9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与

已知直线平行

10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且

只有一条直线与已知直线垂直

以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：

一、直线与角

1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。

4、对顶角相等

二、平行与垂直

5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

8、夹在两平行线间的平行线段相等

9、平行线的判定：

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行；

（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. （5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

10、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）

初中数学几何公式大全之欧阳与创编

初中数学几何公式

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平

行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12 两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18 推论 1 直角三角形的两个

锐角互余

19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三

角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

初中几何定理归纳整理之欧阳语创编

初中几何定理归纳整理

图形认识初步

1.两点确定一条直线；

2.两点之间，线段最短；

3.等角的余角相等；

4.等角的补角相等；

5角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，

6.角角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

相交线与平行线

1、余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等。

2、垂直

（1）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

（2）线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；

（3）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

(4)线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；

3、平行

（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

（2）平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。（3）平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。（4）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。

（5）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

三角形

1、三角形的有关性质（三角形具有稳定性）

①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800；

推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；

初中数学经典几何题及答案之欧阳科创编

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．

求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150

．

求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 求证：四边形A 2B 2C 2D 2

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD 是AB 、CD 的中点，AD 、BC F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

经典难题（二）

1、已知：△ABC 中，H 外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；

（2）若∠BAC ＝600

，求证：AH ＝AO A

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E 分别交MN 于P 、Q ．

求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和外侧作正方形ACDE 和正方形求证：点P 到边AB 的距离等于经典难1、如图，四边形ABCD 与CD 相交于F ．

求证：CE ＝CF 2、如图，四边形直线EC 交DA 求证：AE ＝AF 3、设P 是正方形平分∠DCE ．

求证：PA ＝PF

4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割

初中数学几何经典模型之欧阳治创编

于点G，求

、BC、CD边上的点，

个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l．求l的最小值．

【例17】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是.

【例18】如图所示，在矩形ABCD中，4,42

AB AD

==，E是线段AB的中点，F是线段BC 上的动点，BEF

∆沿直线EF翻折到'B EF

∆，连接'DB，'

DB最短为.

《三垂直模型》

课后练习题

【练习1】

问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，∠

MBN=1

2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样

的数量关系？请直接写出你的猜想；

问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的

七年级下几何证明题(精华版)之欧阳歌谷创作

几何证明题专项练习

欧阳歌谷（2021.02.01）

1、直接根据图示填空：

（1）∠α＝_________ （2）∠α＝_________ （3）∠α＝_________

（4）∠α＝_________ （5）∠α＝_________ （6）∠α＝_________

（1）（2）（3）

（4）（5）（6）

2、填空完成推理过程：

如图，∵AB∥EF（已知）

∴∠A +=1800（）

∵DE∥BC（已知）

∴∠DEF=（）2.

∠ADE=（）

3．已知：如图，∠ADE＝∠B，∠DEC＝115°．

求∠C的度数．

4.已知：如图，AD∥BC，∠D＝100°，AC平分∠BCD，

求∠DAC的度数．3.

5.已知AB∥CD，∠1=70°则∠2=_______，∠3=______，∠4=______

H G 2

1 F E

C B A 5. 4. 6. 已知：如图4， AB ∥C

D ，直线EF 分别

交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线

与∠DEF 的平分线相交于点P ．求∠P 的

度数

6.7.8.

7.直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分

∠AOC ，∠EOA ：∠AOD=1：4，求∠EOB 的度数．

8．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ分别交ＡＢ、ＣＤ于Ｍ、Ｎ，∠ＥＭＢ＝50°，ＭＧ平分∠ＢＭＦ，ＭＧ交ＣＤ于Ｇ，求∠１的度数.

9.如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A=37º，求∠D 的度数． 12.

9. 10.11.

10．如图，已知：，，求的度数。

11.已知：如图，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝４００，∠Ｅ＝３００，求∠Ｄ的度数

初中几何定理大全之欧阳与创编

初中几何概念、定理

平面几何

1.两点之间的所有连线中，线段最短。

2.两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

3.经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

4.将一个角分成相等的两部分的射线叫做这个角的角

平分线。

5.如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余

角。简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角。

6.如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补

角。简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补

角。

7.同角（或等角）的余角相等。

8.同角（或等角）的补角相等。

9.对顶角相等。

10.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

11.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线

平行。

12.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条

直线相互平行。

13.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相

垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。14.当两条直线互相处置时，其中一条直线叫做另一

条直线的垂线。

15.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

16.直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂

线段最短。

17.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点

到直线的距离。

18.同位角相等，两直线平行。

19.内错角相等，两直线平行。

20.同旁内角互补，两直线平行。

21.两直线平行，同位角相等。

22.两直线平行，内错角相等。

23.两直线平行，同旁内角互补。

24.在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的

距离，这样的图形运动叫做图形的平移。平移不改变图形的形状、大小。

25.如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任

意两点到另一直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。

初中数学经典几何题及答案之欧阳音创编

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方

形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）

1、已知：△ABC 中，H A P

C D B A F G C

E B O

D D 2

C 2

B 2 A 2 D 1

C 1

B 1

B D

A A 1

O 为外心，且OM⊥BC 于M ．

（1）求证：AH ＝2OM ；

（2）若∠BAC＝600，求证：AH ＝AO ．2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA⊥MN 自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．

求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 的外侧作正方形ACDE 和正方形EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 二）

经典难题（三）

初中数学几何公式大全之欧阳科创编

初中数学几何公式

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12 两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

初中数学经典几何题及答案之欧阳理创编

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．

求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△

PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形，

A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N

分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 于E 、F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

经典难题（二）

1、已知：△ABC 中，H 为外心，且OM ⊥BC 于M ．

A P

C D

F G C

O D

D 2 C 2

B 2

A 2 D 1

C 1

B 1

B D

（1）求证：AH ＝2OM ；

（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 以下命题：

设MN 是圆O 的弦，过MN DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 的外侧作正方形ACDE 和正方形中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．

初中数学概念、定义、定理、公式之欧阳歌谷创作

初中数学概念、定义、定理

逻辑与命题

1.仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不深入的、不全面的，

甚至是错误的。

2.判断某一件事情的句子叫做命题。

3.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。

4.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，

像这样的命题叫做假命题。

5.两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而

第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

数系及运算

1.正数是比0大的数。

2.负数是比0小的数。

3.0既不是正数，也不是负数。

4.数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

5.符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一

个的相反数。

6.0的相反数是0。

7.两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反

而小。

加。异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数和为0。一个数与0相加，仍得这个数。

9.有理数加法运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

10.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

11.有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值

相乘。任何数与0相乘都得0。

12.有理数乘法运算律交换律：a*b=b*a结合律：(a*b)*c=a*(b*c)

分配率：a*(b+c)=a*b+a*c

13.有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

14.有理数的乘方求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结

勾股定理培优讲义之欧阳道创编

b a

c b a c

a b c a b

a b c

b a E D C B

A 勾股定理知识点汇总表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，

b ，斜边为

c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为22

1422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为

222()2S a b a ab b =+=++

所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证222a b c +=

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关

角形的三边就不具有这一特征。

４.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，

90C ∠=︒，则c ，b ，a =

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

初三数学圆经典例题之欧阳歌谷创作

一．圆的定义及相关概念

欧阳歌谷（2021.02.01）

【考点速览】

考点1：

圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。

考点2：

确定圆的条件；圆心和半径

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

考点3：

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）

弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）

固定的已经不能再固定的方法：

求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：

考点4：

三角形的外接圆：

锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。

考点5

点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d＞r；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔d＜r；

【典型例题】

例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。

于B，且AB=OC，求∠A

例3 ⊙O平面内一点P和⊙O

3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？