西安交通大学《计算方法》课程课件-第五章

x( k 1) ( x( k ) ), k 0,1, 2,...
(5-3)
当给定初始近似值x(0)后,只需逐次计算函数值, 可获得迭代序列{x( k ) }
由于这一迭代过程十分简单, 因此称为简单迭代法
( x)称为迭代函数
迭代格式的获得 将(5 1)改写为x ( x), 可得到形如(5 - 3)的等价方程 不动点 若 ( x)为连续函数, 则当迭代式(5 - 3)产生的序列{x( k ) }收敛
x
( k 1)
2e
x( k )
, k 0,1, 2,...
x( k 1) ln(2 x( k ) ), k 0,1, 2,...
演示
不收敛
收敛
例 5.2 设方程x e x 2 0, 在[2, 1],[1, 2]中各有一根
取x
( k 1)
e
x( k )
2, k 0,1, 2,...
x
(k )
( k 1) ( k ) f ( x( k ) ) f ( x( k ) ) ( x x ) / 1 ( k 1) ( k 1) f ( x ) f ( x )
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.4 区间方法
收敛性的要求,对于构造等价方程x ( x)至关重要
定理5.1 (压缩映像原理)
设函数 ( x)定义在[a, b]上 ,满足以下条件 (1) x [a, b], 有 ( x) [a, b]
(2)存在常数q, 满足0 q 1, 使
( x) ( y) q x y , x, y [a, b]
例.非线性方程求解
演示
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.2 牛顿迭代法
设第k次近似x( k )已知 ,以x( k )处的两个函数信息f ( x( k ) )和f ( x( k ) ) 构造Newton插值多项式
l ( x) f ( x( k ) ) f ( x( k ) )( x - x( k ) )
割线法的迭代公式可以写为
x( k 1) ( x( k ) , x( k -1) )
因此,称其为两步法方法 其速度比简单方法快,比Newton方法慢
当x( k ) , x( k 1) 接近于x*时, f ( x( k ) ), f ( x( k -1) )也较接近,因此会引起较大误差
x
( k 1)
并且满足 lim x ( k ) x*时, 有x* ( x* )
则x 为方程(5-1)的解,也称为 ( x)的不动点
*
k
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.1 简单迭代法
例 5.1 设方程x e x - 2 0, 在[0,1]中有一解
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得到迭代格式 ( x) x - f ( x), 取x(0) 0
思想: 迭代过程确定了一个区间的序列{I ( k ) } ,使每个区间I ( k )
都包含方程的一个解x* , 且区间I ( k )长度趋向于零 ,则当区间长度
足够小时, 必有区间中的任一点与x*的差小于给定误差值 , 则
可取区间中的任一点作为x*
要解决的问题: (1)初始区间的确定
满足f ( x0 ) f ( x1 ) 0的区间[ x0 , x1 ]都可以作为初始区间
同理 x( k 1) x( k ) q k x(1) x(0)
x( m1) x( k ) ( x( m1) x( m) ) ( x( m) x( m1) )
x ( j 1) x( j )
q j k x ( k 1) x ( k ) 1 q mk 1 ( k 1) ( k ) 1 q mk 1 k (1) (0) x x q x x 1 q 1 q
x* lim x( k )
k
第5章 非线性方程求解 5.2 收敛性问题 5.2.1 简单迭代---不动点
(4)证明迭代格式误差 取m k , 有 x( m1) x( m) ( x( m) ) ( x( m1) ) q x( m) x( m1) q mk x( k 1) x( k )
演示
x(0) 0时收敛
x(0) 1时收敛
x(0) 1.5时不收敛
取x( k 1) ln( x( k ) 2), k 0,1, 2,... x(0) 1.5时收敛
当x(0) (1.841406, )时收敛 当x(0) (2, 1.841406)时不收敛
第5章 非线性方程求解
则任取x [a, b],由迭代公式x
(0) ( k 1) (k )
(k ) 生成的序列 x =(x )
必收敛于在[a, b]中的唯一不动点x* = ( x* )
且有误差估计
x* x ( k ) 1 ( k 1) ( k ) q k (1) (0) x x x x 1- q 1- q
(2)如何缩小区间,使得缩小后的区间中仍保含x*
(3)评定误差
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.4 区间方法
二分法
算法
思想是每次减少区间的一半
(1)确定初始区间I 0 [ x(0) , x(1) ] ,满足f ( x(0) ) f ( x(1) ) 0, k 0
(2)计算区间I [ x , x
k (k )
__
1 ] 的中点 x ( x( k ) x ( k 1) ) 2 __ __ __ (k ) ( k 1) ( k 1) (k ) (3)若f ( x ) f ( x ) 0, 则令x x ,取I =[x , x ],
( k 1) __
因此,由连续函数的介值定理知, , 必有x* [a, b], 使 ( x* ) 0
即有x* ( x* ), 因此, ( x)在[a, b]中存在不动点x* (2)证明根唯一 __ __ __ 若 ( x)在[a, b]还有一个不动点 x ,使 x = ( x ),则
x x (x ) ( x) q x x x x
(2)迭代的初始条件x(0)的选取 (3)迭代产生的序列{x( k ) }的收敛性
(4)迭代的终止条件和误差估计 两种方法
a.第k次迭代后,x( k )充分接近于x*
b.第k次迭代后, 有 f ( x( k ) )
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.1 简单迭代法
简单迭代公式 ,构造(x)使
* * * *
__
__
__
__
矛盾
因此,x*为唯一的一个不动点.
第5章 非线性方程求解 5.2 收敛性问题 5.2.1 简单迭代---不动点
(3)证明迭代格式收敛
由条件(1)知,任取x(0) [a, b] ,由迭代格式产生的x( k ) [a, b], k 0,1, 2,... 由条件(2)知,
f ( x) an xn an-1 xn-1 a1 x a0 0的方程,其中n 1
只有当f ( x)为不超过4次的多项式时,可使用公式求出其解
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法
可以使用迭代法获得f ( x) 0的近似解
需要讨论以下几个问题 (1)迭代格式的构造
特点
(1)速度快:Newton迭代法比简单迭代法收敛快
(2)由于要计算导数,因此计算量稍大
可以使用一点Newton迭代法
x ( k 1)
(k ) (k ) f ( x ) f ( x ) (k ) x( k ) x , k 0,1, 2... (k ) (0) f ( x ) f ( x )
第5章 非线性方程求解
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法
一个变量的非线性方程是指形如以下形式的方程 f ( x) 0
其中,f ( x)是实变量x的非线性实单值函数
满足方程(5-1)的实数x* , 使f ( x* ) 0成立 ,称为非线性方程(5 1)的解
(5-1)
一元非线性方程是指f ( x)是多项式的非线性方程 ,即形如
x ( k 1) f ( x ( k ) ) x ( k ) f ( x ( k 1) ) , k 0,1, 2,... (k ) ( k 1) f (x ) f (x )
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.3 割线法
几何意义 x( k 1)为过(x( k 1) , f ( x( k 1) ))和( x ( k ) , f ( x ( k ) ))的割线与x轴的交点
令m , q m-k 1 0 , x( m1) x* 得证
j k
m
+( x( k 1) x( k ) ) |
j k m
第5章 非线性方程求解 5.2 收敛性问题 5.2.1 简单迭代---不动点
分析
1 ( k 1) ( k ) (1) 由 x x x x 1- q 可以用相邻两步的近似误差来做事后估计 k q (2) 由 x* x( k ) x(1) x(0) 1- q 可以对误差进行先验估计 ,即根据误差确定迭代次数
第5章 非线性方程求解 5.2 收敛性问题 5.2.1 简单迭代---不动点
证明: (1)证明有根 由条件(2)知,函数 ( x)连续 ,构造辅助函数 ( x) x ( x)
则 ( x)在[a, b]上也连续 ,由条件(1)知 ( a ) a (a) 0 同理 (b) b (b) 0
在局部代替函数f ( x) ,有 f ( x( k ) ) f ( x( k ) )( x - x( k ) ) 0 得到 f ( x(k ) ) (k ) ( k 1) xx x f ( x ( k ) )
这一迭代方法称为Newton迭代法
其迭代函数为 f ( x) ( x) x f ( x)
x ( k 1)
(k ) f ( x ) x( k ) , k 0,1, 2,... (k ) ( k 1) f (x ) f (x ) x ( k ) x ( k 1)
或 x
( k 1)
(k ) ( k 1) x x (k ) x( k ) f ( x ), k 0,1, 2,... (k ) ( k 1) f (x ) f (x )
x( k ) x* ( x( k 1) ) ( x* ) q x( k 1) x* q k x(0) x*
(k ) * 由于q 1 ,当k 时, qk 0,由此可知 x x 0
因此{x( k ) }收敛 且收敛于 ( x)在[a, b]中的唯一的不动点x*
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.3 割线法
为避免求导数值, 可以通过( x( k 1) , f ( x( k 1) ))和( x( k ) , f ( x( k ) ))
的线性插值公式近似f ( x)
f ( x( k ) ) f [ x( k 1) , x( k ) ]( x x( k ) ) 0 得到割线法的迭代式
否则令x
(k )
x ,取I
( k 1)
(k )
=[ x , x( k 1) ]
( k 1)
__
(4)计算区间长度,若 x
x
x( k ) x( k 1) < , 则停止,令x , 输出 2
*
否则,令k k 1, 转(2)
第5章 非线性方程求解 5.2 收敛性问题 5.2.1 简单迭代---不动点
当f ( x* ) 0时, f ( x) 0的解x*必为方程 ( x)的不动点
第5章 非线性方程求解 5.1 解一元方程的迭代法 5.1.2 牛顿迭代法
Newton迭代法的几何意义
它在点( x( k ) , f ( x ( k ) ))邻近的局部范围内,以过此点的切线近似 代替曲线y f ( x),以切线与x轴的交点, 作为下一次的近似x ( k 1)