天津高考数学试题文解析版
2020年天津市高考数学试卷-解析版
2020年天津市高考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设全集U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，则A∩(∁U B)=()A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y=4x的图象大致为()x2+1A. B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A. 10B. 18C. 20D. 365.若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A. 12πB. 24πC. 36πD. 144π)−0.8，c=log0.70.8，则a，b，c的大小关系为()6.设a=30.7，b=(13A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b7. 设双曲线C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过抛物线y 2=4x 的焦点和点(0,b)的直线为l.若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. x 24−y 24=1B. x 2−y 24=1C. x 24−y 2=1D. x 2−y 2=18. 已知函数f(x)=sin(x +π3).给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π2)是f(x)的最大值；③把函数y =sinx 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y =f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是( )A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③9. 已知函数f(x)={x 3,x ≥0,−x,x <0.若函数g(x)=f(x)−|kx 2−2x|(k ∈R)恰有4个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(2√2,+∞) B. (−∞,−12)∪(0,2√2) C. (−∞,0)∪(0,2√2)D. (−∞,0)∪(2√2,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数8−i2+i =______．11. 在(x +2x 2)5的展开式中，x 2的系数是______．12. 已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ，B 两点．若|AB|=6，则r 的值为______． 13. 已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为______；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______． 15. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为______，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =2√2，b =5，c =√13．(Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求sin A 的值；(Ⅲ)求sin(2A +π4)的值．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD =1，CE =2，M 为棱A 1B 1的中点．(Ⅰ)求证：C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)求二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅲ)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19. 已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3).(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1b n+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．20.已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数．(Ⅰ)当k=6时，(ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(ⅰ)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x> (Ⅱ)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2)．x1−x2答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查列举法的定义，以及补集、并集的运算，属于基础题． 进行补集、交集的运算即可． 【解答】解：全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={−1,0，1，2}，B ={−3,0，2，3}， 则∁U B ={−2,−1,1}， ∴A ∩(∁U B)={−1,1}， 故选：C ．2.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解得a 的范围，即可判断出结论． 【解答】解：由a 2>a ，解得a <0或a >1，故a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件， 故选：A ．3.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断． 【解答】解：函数y =f(x)=4xx 2+1，则f(−x)=−4xx 2+1=−f(x)，则函数y =f(x)为奇函数，故排除C ，D ， 当x >0是，y =f(x)>0，故排除B ， 故选：A ．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．根据频率分布直方图求出直径落在区间[5.43,5.47)的频率，再乘以样本的个数即可． 【解答】解：直径落在区间[5.43,5.47)的频率为(6.25+5)×0.02=0.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为0.225×80=18个，5.【答案】C【解析】【分析】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，所以2R=√(2√3)2+(2√3)2+(2√3)2=6，所以R=3，S=4πR2=36π．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．根据指数函数和对数函数的性质即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，则b>a>1，log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．先求出直线l的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出a，b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，则直线l的方程为y=−b(x−1)，∵双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b ax，∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，∴−ba =−b，ba⋅(−b)=−1，∴a=1，b=1，∴双曲线C的方程为x2−y2=1，故选：D．【解析】【分析】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于中档题．由已知结合正弦函数的周期公式可判断①，结合函数最值取得条件可判断②，结合函数图象的平移可判断③．【解答】解：因为f(x)=sin(x+π3)，①由周期公式可得，f(x)的最小正周期T=2π，故①正确；②f(π2)=sin(π2+π3)=sin5π6=12，不是f(x)的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象，故③正确．故选：B．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于难题．问题转化为f(x)=|kx2−2x|有四个根，⇒y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，再分三种情况当k=0时，当k<0时，当k>0时，讨论两个函数四否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则f(x)=|kx2−2x|有四个根，即y=f(x)与y=ℎ(x)=|kx2−2x|有四个交点，当k=0时，y=f(x)与y=|−2x|=2|x|图象如下：两图象有2个交点，不符合题意，当k<0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2<x1)图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当k>0时，y=|kx2−2x|与x轴交于两点x1=0，x2=2k(x2>x1)在[0,2k)内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y=x3与y=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个交点，即可，即x3=kx2−2x在(2k,+∞)还有两个根，即k=x+2x 在(2k,+∞)还有两个根，函数y=x+2x≥2√2，(当且仅当x=√2时，取等号)，所以0<2k<√2，且k>2√2，所以k>2√2，综上所述，k的取值范围为(−∞,0)∪(2√2,+∞)．故选：D．10.【答案】3−2i【解析】【分析】本题考查了复数的运算，属于基础题．根据复数的运算法则即可求出．【解答】解：i是虚数单位，复数8−i2+i =(8−i)(2−i)(2+i)(2−i)=15−10i5=3−2i，故答案为：3−2i11.【答案】10【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．在(x+2x2)5的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可得到展开式中x2的系数．【解答】解：∵(x+2x2)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r x5−r2r x−2r=2r C5r x5−3r，令5−3r=2，得r=1，∴x2的系数是2×C51=10，故答案为10．12.【答案】5【解析】【分析】本题考查直线与圆相交的性质，涉及弦长的计算，属于基础题．根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x−√3y+8=0的距离，结合直线与圆相交的性质可得r2=d2+(|AB|2)2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0,0)，半径为r；则圆心到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，若|AB|=6，则有r2=d2+(|AB|2)2=16+9=25，故r=5；故答案为：513.【答案】16；23【解析】【分析】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题． 根据互斥事件的概率公式计算即可． 【解答】解：因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13， 则甲、乙两球都落入盒子的概率12×13=16，甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1−(1−12)(1−13)=1−13=23， 故答案为：16，23．14.【答案】4【解析】 【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题． 由12a +12b +8a+b =a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b，利用基本不等式即可求出．【解答】解：a >0，b >0，且ab =1， 则12a+12b+8a+b=a+b 2ab+8a+b=a+b 2+8a+b≥2√a+b 2⋅8a+b=4，当且仅当a+b2=8a+b，即a =2+√3，b =2−√3或a =2−√3，b =2+√3 取等号，故答案为：415.【答案】16 ；132【解析】 【分析】本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D 的坐标，即可求出λ的值，再设出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积可得关于x 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【解答】解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系， ∵∠B =60°，AB =3， ∴A(32,3√32)， ∵BC =6，∴C(6,0)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD//BC ，设D(x 0,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−32,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32(x 0−32)+0=−32，解得x 0=52，∴D(52,3√32)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=16，∵|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设M(x,0)，则N(x +1,0)，其中0≤x ≤5， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52,−3√32)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −32,−3√32)， ∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −52)(x −32)+274=x 2−4x +212=(x −2)2+132，当x =2时取得最小值，最小值为132， 故答案为：16，132．16.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理以及a =2√2，b =5，c =√13，则cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×5=√22， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π4；(Ⅱ)由正弦定理，以及C =π4，a =2√2，c =√13，可得sinA = asinC c=2√2×√22√13=2√1313；(Ⅲ)由a <c ，及sinA =2√1313，可得cosA =√1−sin 2A =3√1313， 则sin2A =2sinAcosA =2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A =2cos 2A −1=513，∴sin(2A +π4)=√22(sin2A +cos2A)=√22(1213+513)=17√226．【解析】本题考了正余弦定理，同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于中档题．(Ⅰ)根据余弦定理即可求出C 的大小； (Ⅱ)根据正弦定理即可求出sin A 的值；(Ⅲ)根据同角的三角形函数的关系，二倍角公式，两角和的正弦公式即可求出．17.【答案】解：以C 为原点，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C 1(0,0，3)，A 1(2,0，3)，B 1(0,2，3)，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，(Ⅰ)证明：依题意，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,−2)，∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2+0=0，∴C 1M ⊥B 1D ；(Ⅱ)依题意，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)， 设n⃗ =(x,y ，z)为平面DB 1E 的法向量， 则{n ⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +z =02x −z =0，不妨设x =1，则n⃗ =(1,−1,2)， ∴cos <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√66， ∴sin <CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=√1−16=√306， ∴二面角B −B 1E −D 的正弦值√306；(Ⅲ)依题意，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，由(Ⅱ)知，n⃗ =(1,−1,2)为平面DB 1E 的一个法向量， ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√33， ∴直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为√33．【解析】(Ⅰ)建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明； (Ⅱ)先平面DB 1E 的法向量n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B −B 1E −D 的正弦值；(Ⅱ)求出cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值． 本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k 2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k ⋅32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．【解析】(Ⅰ)根据可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程； (Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ，∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)， 解得q =2， ∴b n =2n−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k2k+1−22k−22k−1)=22n2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14knk=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①， 由①×14可得14∑c 2k n k=1=142+343+⋯+2n−34 n +2n−14n+1，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n2n+1−6n+59×4n −49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．【解析】(Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题．20.【答案】解：(I)(i)当k =6时，f(x)=x 3+6lnx ， 故f′(x)=3x 2+6x ，∴f′(1)=9， ∵f(1)=1，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=9(x −1)，即9x −y −8=0． (ii)g(x)=f(x)−f′(x)+9x =x 3+6lnx −3x 2+3x ，x >0， ∴g′(x)=3x 2−6x +6x −3x 2=3(x−1)3(x+1)x 2，令g′(x)=0，解得x =1， 当0<x <1，g′(x)<0， 当x >1，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， x =1是极小值点，极小值为g(1)=1，无极大值 证明：(Ⅱ)由f(x)=x 3+klnx ，则f′(x)=3x 2+kx ， 对任意的x 1，x 2∈[1,+∞)，且x 1>x 2，令x 1x 2=t ，t >1，则(x 1−x 2)[f′(x 1)+f′(x 2)]−2[f(x 1)−f(x 2)]=(x 1−x 2)(3x 12+k x 1+3x 22+kx 2)−2(x 13−x 23+kln x1x 2)，=x 13−x 23−3x 12x 2+3x 1x 22+k(x 1x 2−x 2x 1)−2kln x1x 2，=x 23(t 3−3t 2+3t −1)+k(t −1t −2lnt)，①令ℎ(x)=x−1x−2lnx，x>1，当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，∴当t>1，ℎ(t)>ℎ(1)=0，即t−1t−2lnt>0，∵x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3，∴x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t −2lnt)>t3−3t2+3t−1−3(t−1t−2lnt)=t3−3t2+6lnt+3t−1，②，由(Ⅰ)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(1)即t3−3t2+6lnt+3t>1，③，由①②③可得(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)+f(x2)]>0，∴当k≥−3时，对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【解析】(Ⅰ)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；(Ⅱ)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，根据导数和函数最值的关系，以及放缩法即可证明．本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题．。
2019年天津高考文科数学试题(含解析)
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2019年天津高考文科数学试题（含解析）
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
2021年天津市高考数学试卷真题+答案解析
2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合{1,0,1}A =-，{1,3,5}B =，{0,2,4}C =，则()(A B C = )A ．{0}B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}2．（5分）已知a R ∈，则“6a >”是“236a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．（5分）函数2||()2ln x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)，[70,74)，⋯，[94,98)，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是( )A ．20B ．40C ．64D ．805．（5分）设2log 0.3a =，12log 0.4b =，0.30.4c =，则三者大小关系为( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π7．（5分）若2510a b ==，则11(a b+= ) A ．1-B ．7lgC ．1D ．7log 108．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|||CD AB =，则双曲线的离心率为()A B C ．2D ．39．（5分）设a R ∈，函数22cos(22)()2(1)5x a x a f x x a x a x aππ-<⎧=⎨-+++⎩，若函数()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．9511(2,](,]424B ．7511(,2](,]424C ．911(2,][,3)44D ．711(,2)[,3)44二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i 是虚数单位，复数922ii+=+ ． 11．（5分）在361(2)x x+的展开式中，6x 的系数是 ．12．（5y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切于点B ，则||AB = ． 13．（5分）已知0a >，0b >，则21ab a b ++的最小值为 ． 14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和35，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE AB⊥且交AB于点E，//DF AB 且交AC于点F，则|2|+⋅的最小值为．DE DF DA+的值为；()BE DF三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 2A B C =b =． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值； （3）求sin(2)6C π-的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点． （1）求证：1//D F 平面11A EC ；（2）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （3）求二面角11A AC E --的正弦值．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且||BF =（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．19．（15分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}n b 是公比大于0的等比数列，14b =，3248b b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记21n n nc b b =+，*n N ∈． ()i 证明：22{}nn c c -是等比数列； ()ii证明：*)nk n N =<∈．20．（16分）已知0a >，函数()x f x ax xe =-． （1）求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）证明函数()f x 存在唯一的极值点；（3）若a ∃，使得()f x a b +对任意的x R ∈恒成立，求实数b 的取值范围．2021年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）设集合{1,0,1}A =-，{1,3,5}B =，{0,2,4}C =，则()(A B C = )A ．{0}B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}【解答】解：因为集合{1,0,1}A =-，{1,3,5}B =，{0,2,4}C =，所以{1}A B =，则(){0,1,2,4}A B C =．故选：C ．【点评】本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集与并集的定义，属于基础题． 2．（5分）已知a R ∈，则“6a >”是“236a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：①6a >，236a ∴>，∴充分性成立， ②236a >，6a ∴>或6a <-，∴必要性不成立， 6a ∴>是236a >的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题． 3．（5分）函数2||()2ln x f x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，2||()2ln x f x x =+，其定义域为{|0}x x ≠， 有2||()()2ln x f x f x x -==+，是偶函数，排除AC ， 在区间(0,1)上，||0ln x lnx =<，必有()0f x <，排除D ，故选：B ．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的判断，属于基础题．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70)，[70,74)，⋯，[94,98)，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82,86)内的影视作品数量是( )A ．20B ．40C ．64D ．80【解答】解：由频率分布直方图知，评分在区间[82,86)内的影视作品的频率为(8682)0.050.2-⨯=，故评分在区间[82,86)内的影视作品数量是4000.280⨯=，故选：D ．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题． 5．（5分）设2log 0.3a =，12log 0.4b =，0.30.4c =，则三者大小关系为( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【解答】解：22log 0.3log 10<=，0a ∴<，11220.4log 0.51log >=，1b ∴>，0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a c b ∴<<，故选：D ．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题． 6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π【解答】解：如图，设球O 的半径为R ，由题意，343233R ππ=，可得2R =，则球O 的直径为4，两个圆锥的高之比为1:3，11AO ∴=，13BO =，由直角三角形中的射影定理可得：213r =⨯，即r =∴这两个圆锥的体积之和为21(13)43V ππ=⨯⨯+=．故选：B ．【点评】本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题． 7．（5分）若2510a b ==，则11(a b+= ) A ．1-B ．7lgC ．1D ．7log 10【解答】解：2510a b ==，2log 10a ∴=，5log 10b =，∴1010251111log 2log 5lg101g 1010lo log a b +=+=+==，故选：C ． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D两点，若|||CD AB =，则双曲线的离心率为()ABC ．2D ．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为2px =-，设AB ，CD 与x 轴分别交于M ，N ，由|||CD AB =，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|||CN AM =，由题意可得：2p c =，即2p c =，可得222212x y a b px ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：2||b y a =，所以2||b AM a =，2p x b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得：||bc y a =，所以||bc CN a =，所以可得2bc b a a =，可得c =， 所以222222()c b c a ==-，解得：c =，所以双曲线的离心率ce a=A ． 【点评】本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．9．（5分）设a R ∈，函数22cos(22)()2(1)5x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++⎩，若函数()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A ．9511(2,](,]424B ．7511(,2](,]424C ．911(2,][,3)44D ．711(,2)[,3)44【解答】解：()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点又二次函数最多有两个零点，()cos(22)f x x a ππ∴=-至少有四个根， ()cos(22)cos2()f x x a x a πππ=-=-，∴令()0f x =，即2()2x a k πππ-=+k Z ∈，∴124k x a =++，又(0,)x ∈+∞，∴1024k a a <++<，即11222a k --<<-， ①当x a <时，15242a ----，()f x 有4个零点，即7944a<， 16252a ----，()f x 有5个零点，即91144x<， 17262a ----，()f x 有6个零点，即111344x<， ②当x a 时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，∴△22244(1)4(5)8160b ac a a a =-=+-+=-=，解得2a =，当2a <时，△0<，()f x 无零点， 当2a =时，△0=，()f x 有1个零点，当2a >时，22()2(1)525f a a a a a a =-+++=-+， ()f x 的对称轴1x a =+，即()f a 在对称轴的左边，∴当250a -+时，即522a<，()f x 有两个零点， 当250a -+<时，即52a >，()f x 有1个零点， 综合①②可得，若函数()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则需满足： 7944522a a ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或91144522a a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>=⎪⎩或或1113442a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩，解得9511(2,](,]424a ∈．故选：A ． 【点评】本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i 是虚数单位，复数922ii+=+ 4i - ． 【解答】解：复数2292(92)(2)1824942(2)(2)2i i i i ii i i i i ++-++-===-++--，故答案为：4i -．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（5分）在361(2)x x+的展开式中，6x 的系数是 160 ．【解答】解：361(2)x x +的展开式的通项公式为361661(2)()2r r r rr T C x C x-+==6184rr x --，令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是362C 3160=．故答案为：160． 【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切于点B ，则||AB【解答】解假设A 在x x 轴交于D ，则可得tan ADO ∠所以cot BAC ∠如图所示，由圆C 的方程可得，圆的半径为||1BC =，由于B为切点，所以AB BC ⊥，所以||||cot AB BC BAC =⋅∠=【点评】本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题．13．（5分）已知0a >，0b >，则21ab a b++的最小值为 【解答】解：0a >，0b >，∴22112222a a b b b a b a b b++⋅+=+，当且仅当21a a b =且2b b =，即a b =时取等号，∴21ab a b++的最小值为 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和35，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 13；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．【解答】解：一次活动中，甲获胜的概率为531(1)653⨯-=，3∴次活动中，甲至少获胜2次的概率为32231117()()(1)33327C +⨯⨯-=．故答案为：13，727． 【点评】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式，至少问题等基础知识，是中档题．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ，//DF AB 且交AC 于点F ，则|2|BE DF +的值为 1 ；()DE DF DA +⋅的最小值为 ． 【解答】解：如图，设BE x =，ABC ∆是边长为1等边三角形，DE AB ⊥，30BDE ∴∠=︒，2BD x =，DE =，12DC x =-，//DF AB ，DFC ∴∆是边长为12x -等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯︒+-=，则|2|1BE DF +=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅22)(12)(1)531x x x x =+-⨯-=-+23115()1020x =-+，1(0,)2x ∈， ()DE DF DA ∴+⋅的最小值为1120．故答案为：1，1120． 【点评】本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 2A B C =b =． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值；（3）求sin(2)6C π-的值．【解答】解：（1）ABC ∆中，sin :sin :sin 2A B C =::2a b c ∴=， 2b =，2a b ∴==2c ==．（2）ABC ∆中，由余弦定理可得2223cos 24a b c C ab +-===．（3）由（2）可得sin C =，sin 22sin cos C C C ∴=21cos22cos 18C C =-=，sin(2)sin 2cos cos2sin 666C C C πππ-=-． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点． （1）求证：1//D F 平面11A EC ；（2）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值； （3）求二面角11A AC E --的正弦值．【解答】（1）证明：以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则1(0,0,2)A ，(2,1,0)E ，1(2,2,2)C ，故111(2,2,0),(0,1,2)A C EC ==， 设平面11A EC 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n AC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则2x =，2y =-，故(2,2,1)n =-，又(1,2,0)F ，1(0,2,2)D ，所以1(1,0,2)FD =-，则10n FD ⋅=，又1D F ⊂/平面1A EC ，故1//D F 平面11A EC ；（2）解：由（1）可知，1(2,2,2)AC =，则111|||cos ,|||||3n AC n AC n AC ⋅<>===⨯， 故直线1AC 与平面11A EC ； （3）解：由（1）可知，1(0,0,2)AA =，设平面11AA C 的法向量为(,,)m a b c =，则1110m AA m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00ca b =⎧⎨+=⎩，令1a =，则1b =-，故(1,1,0)m =-，所以||4|cos ,|||||32mn m n m n ⋅<>===⨯故二面角11A AC E --13．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．（15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且||BF =（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MPBF ，求直线l 的方程．【解答】解：（1）因为离心率e ，||BF =222c aa abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ，2c =，1b =，所以椭圆的方程为2215x y +=．（2）设00(),M x y ，则切线MN 的方程为0015x x y y +=，令0x =，得01N y y =， 因为PN BF ⊥，所以1PN BF k k ⋅=-，所以1()12PN k ⋅-=-，解得2NP k =，设10(,)P x ，则01120NP y k x ==-，即1012x y =-，因为//MP BF ，所以MP BF k k =，所以001122y x y =-+，即000122y x y -=+，所以000122x y y =--， 又因为220015x y +=，所以22002042115520y y y +++=，解得0y =0N y >，所以00y >，所以0y =，0x ==615y +=，即0x y -+．【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 19．（15分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{}n b 是公比大于0的等比数列，14b =，3248b b -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记21n n nc b b =+，*n N ∈． ()i 证明：22{}nn c c -是等比数列； ()ii证明：*)nk n N =<∈．【解答】证明：（1）由数列{}n a 是公差d 为2的等差数列，其前8项的和为64， 可得11887642a d +⨯⨯=，解得11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-，n N ∈；由数列{}n b 是公比q 大于0的等比数列，14b =，3248b b -=， 可得24448q q -=，解得4(3q =-舍去），所以4n n b =，n N ∈； （2）()i 证明：因为21n a n =-，4n n b =，所以221144n n n n n c b b =+=+， 则22242422221111(4)(4)4244244444n n n n n n n n n n n n c c -=+-+=+⋅+--=⋅， 所以211222224424n n n nn n c c c c +++-⋅==-⋅， 又222412211(4)(4)844c c -=+-+=，所以数列22{}nn c c -是以8为首项，4为公比的等比数列； ()ii证明：设2n nnp ==， 考虑2n n nq =，则n n p <，所以2112...222nk n k n q ==+++∑，则23111122222n k n k n q +==++⋅⋅⋅+∑，两式相减可得，2111111(1)111122211222222212nn k n n n n k n n n q +++=⨯-+=++⋅⋅⋅+-=-=--∑， 所以12222nk nk n q =+=-<∑，则1n n k k k q ==<nk =． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式的证明，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 20．（16分）已知0a >，函数()x f x ax xe =-． （1）求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）证明函数()f x 存在唯一的极值点；（3）若a ∃，使得()f x a b +对任意的x R ∈恒成立，求实数b 的取值范围． 【解答】（1）解：因为()(1)x f x a x e '=-+，所以(0)1f a '=-，而(0)0f =， 所以在(0,(0))f 处的切线方程为(1)(0)y a x a =->； （2）证明：令()(1)0x f x a x e '=-+=，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，令()0g x '=，解得2x =-， 当(,2)x ∈-∞-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当(2,)x ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当x →-∞时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x >， 作出图象所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =， 则1m >-，且()()0f m a g m =-=，当(,)x m ∈-∞时，()a g m >，()0f x '>，()f x 为增函数； 当(,)x m ∈+∞时，()a g m <，()0f x '<，()f x 为减函数； 所以x m =时()f x 的极大值点，故()f x 仅有一个极值点；（3）解：由（2）知()()max f x f m =，此时(1)m a m e =+，(1)m >-，所以2{()}()(1)(1)(1)(1)m m m m max f x a f m a m e m me m e m m e m -=-=+---+=-->-， 令2()(1)(1)x h x x x e x =-->-，若存在a ，使()f x a b +对任意的x R ∈恒成立， 则等价于存在(1,)x ∈-+∞，使得()h x b ，即()min b h x ， 而2()(2)(1)(2)x x h x x x e x x e '=+-=-+，(1)x >-， 当(1,1)x ∈-时，()0h x '<，()h x 为单调减函数， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为单调增函数， 所以()(1)min h x h e ==-，故b e -， 所以实数b 的取值范围[,)e -+∞．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．。
2022-2023学年天津市高考数学试卷(含解析)
2022-2023学年天津市高考数学试卷题号一二三总分得分一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2.“或”是“”的条件( )A. 必要不充分B. 充分不必要C. 充要D. 既不充分又不必要3.函数的图象为( )A. B.C. D.4.某工厂抽取件产品测其重量单位：其中每件产品的重量范围是数据的分组依据依次为，，，，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为( )A. B. C. D.5.已知，，，则( )A. B. C. D.6.化简的值为( )A. B. C. D.7.已知抛物线，，分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为( )A. B. C. D.8.如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，与平面的距离为，则该多面体的体积为( )A. B. C. D.9.已知，关于该函数有下列四个说法：的最小正周期为；在上单调递增；当时，的取值范围为；的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知是虚数单位，化简的结果为．11.的展开式中的常数项为．12.若直线与圆相交所得的弦长为，则．13.张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为；已知第一次抽到的是，则第二次抽取的概率为．14.在中，，，是中点，，试用，表示为，若，则的最大值为．15.设，对任意实数，记若至少有个零点，则实数的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题分在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．求的值；求的值；求的值．17.本小题分直三棱柱中，，，，为中点，为中点，为中点．求证：平面；求直线与平面的正弦值；求平面与平面夹角的余弦值．18.本小题分设是等差数列，是等比数列，且．求与的通项公式；设的前项和为，求证：；求．19.本小题分椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．求椭圆的离心率；直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．20.本小题分已知，，函数，．求函数在处的切线方程；若和有公共点，当时，求的取值范围．答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的并集和补集的混合运算．求出与的并集，在求补集即可．【解答】解：集合，，，全集，．故选A．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了充分必要条件，是一道基础题，结合充分必要条件的定义进行判断，从而得到结论．【解答】解：或不能推出，例如，；能推出或，故“或”是“”的必要不充分条件．故选A．3.【答案】【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，判断函数的奇偶性，属于较易题．根据函数的奇偶性和区间内函数值的正负，即可判断．【解答】解：函数的定义域为，，该函数为奇函数，故A错误；当时，，故C错误；当时，，且，当增大时，的值也越来越大，故B错误，故D正确．故本题选D．4.【答案】【解析】【分析】本题考查产品件数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．由频率分布直方图得重量在内的频率为由此能求出重量在内的产品件数．【解答】解：由频率分布直方图得：重量在内的频率为：．所以重量在内的产品件数为．故选：．5.【答案】【解析】【分析】本题考查了根据指数函数和对数函数的图象与性质判断函数值的大小，属于较易题．根据指数函数和对数函数的图象与性质，可判断．【解答】解：是定义在上的单调递增函数，，即，是定义在上的单调递减函数，，即，是定义在上的单调递增函数，，即，所以．故本题选C．6.【答案】【解析】【分析】本题考查了对数的换底公式的应用，以及对数式的化简，属于较易题．利用对数的换底公式计算即可．【解答】解：．故选B．7.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程，抛物线的焦点、准线，以及双曲线的渐近线，属于较易题．先由抛物线方程得出准线方程，从而得双曲线的半焦距，再联立抛物线准线方程与双曲线的渐近线方程解得，接着由，可得，从而得，最后再通过建立方程即可求解．【解答】解：由题意可得抛物线的准线为，又抛物线的准线过双曲线的左焦点，，双曲线的渐近线方程为，设直线与直线相交于点，则，解得，又，，，，，又，，，，双曲线的标准方程为．故选C．8.【答案】【解析】【分析】本题考查多面体的体积的求法，是中档题．取中点，中点，连结、、，该多面体的体积，由此能求出结果．【解答】解：取中点，中点，连结、、，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且点到平面的距离为，该多面体的体积：．故选D．9.【答案】【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象和性质，属于较易题．由题意，利用正弦函数的图象和性质，即可得出结论．【解答】解：，最小正周期为，故错误；当时，，函数在上单调递增，故正确；当时，，的取值范围为，故错误；函数的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故错误．故选A．10.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数的除法运算，属于较易题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：，故答案为．11.【答案】【解析】【分析】本题考查二项展开式及其通项，属于较易题．先写出二项式的展开式的通项，整理出最简形式，根据要求只要使得变量的指数等于，求出的值，代入系数即可求出结果．【解答】解：的展开式的通项是要求展开式中的常数项只要使得，即常数项是．故答案为．12.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与圆的交点坐标、弦长，点到直线的距离公式，属于较易题．先求出圆心到直线的距离，再根据圆中的弦长公式建立方程，最后解方程即可得解．【解答】解：由题知，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，又直线与圆相交所得的弦长为，，解得或舍．故答案为．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查概率的乘法公式，以及条件概率公式，属于中档题．由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到的条件下，第二次抽到的概率．【解答】解：由题意，设第一次抽到的事件为，第二次抽到的事件为，则，，．故答案为；．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的夹角，由基本不等式求最值，以及向量的数量积与向量的垂直关系，属于中档题．由题意，利用两个向量加减法及其几何意义即可求，利用两个向量的数量积公式，以及基本不等式，可求出的最小值，即可得的最大值．【解答】解：中，，，是中点，，如图，，又，，即，，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故C的最大值为，即的最大值为．故答案为；．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了函数的零点、方程的根的个数，属于较难题．设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．【解答】解：设，，当时，，又函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，，解得或，当时，，作出函数、的图象如下图所示：此时函数只有两个零点，不符合题意，故舍，当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，无解，故舍去，当时，，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的零点个数为，符合题意，当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，即，综上所述，实数的取值范围是．故答案为．16.【答案】解因为，，，由余弦定理可得，解得；因为，，所以，因为，所以，由正弦定理可得，即，可得，所以；因为，，所以，，因为，可得，所以，所以的值为．【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．由余弦定理及题中条件可得边的值；由正弦定理可得的值，再由及正弦定理可得的值；求出及的正余弦值，由两角差的正弦公式可得的正弦值．17.【答案】解：证明：取的中点，连接，，又为中点，为中点，为中点，，，又平面，平面，平面，同理可得，平面，又，平面平面，平面，在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系，又，为中点，为中点，为中点．故B，，，，，则，，，设是平面的法向量，则有：，，即，令，则，，所以，设直线与平面的夹角为，则，，则，，设平面的法向量为，则有，，即，令，则，，故，设平面与平面的夹角为，所以．【解析】本题考查了利用空间向量求线面角以及二面角的大小，属于较难题．利用中位线可证，建立空间直角坐标系设是平面的法向量，平面的法向量为，可解．18.【答案】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，，，解得，，；证明：由知，等比数列的公比为，，，为数列的前项和，，；，，设．则，，，得：，，．【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式与前项和公式，错位相减法求和，以及数列中前项和与第项的关系，属于较难题．设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，可得，，解得，，即可得出数列与的通项公式；由等比数列的性质及通项公式与前项和的关系即可证明；先求出，利用并项求和，结合错位相减法即可求出结果．19.【答案】解：，，，，，；由可知椭圆为，即，设直线：，联立，消去得：，又直线与椭圆只有一个公共点，，，，，又，，解得，则，又的面积为，，解得，又，，，椭圆的标准方程为．【解析】本题考查求椭圆的离心率，椭圆中三角形的面积，以及椭圆的标准方程，属于较难题．根据建立，的等式，再转化为，的等式，从而得离心率的值；先由将椭圆方程转化为，再设直线为，联立椭圆方程求出点的坐标，再由及，且的面积为建立方程组，再解方程组即可得解．20.【答案】解：，，，，函数在处的切线方程为；，，又和有公共点，方程有解，即有解，且，在上有解，设，，，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，的取值范围为．【解析】本题考查导数的几何意义及直线的斜截式方程，利用导数解不等式，以及利用导数研究恒成立与存在性问题，属于较难题．利用导数的几何意义及直线的斜截式方程即可求解；将和有公共点转化为在上有解，构造函数，，接着利用导数求出的值域，从而得的取值范围．。
2024年天津高考数学真题(原卷版+解析版】
2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4 B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}12. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）的获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源A. B.C. D.4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c>> B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.328. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）.A.B.12+C.D.12-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．11. 在63333x xæö+ç÷èø展开式中，常数项为______．12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤的的16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．的2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}2,3,4 C. {}2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B =I ，获取更多高中资料关注公众号：网盘网课资源2. 设,a b ÎR ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3. 下列图中，相关性系数最大的是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4. 下列函数是偶函数的是（ ）A. 22e 1x x y x -=+ B. 22cos 1x x y x +=+ C. e 1x xy x -=+ D. ||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -¹，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ¹-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x j +=，函数定义域为R ，因为()sin141e j +=，()sin141ej ---=，则()()11j j ¹-，则()x j 不是偶函数，故D 错误.故选：B.5. 若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c>> C. c a b>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+¥上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6. 若,m n 为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）A. 若//m a ，n Ìa ，则//m nB. 若//,//m n a a ，则//m nC. 若//,a a ^m n ，则m n ^D. 若//,a a ^m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m a ，n Ìa ，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n a a ，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,a a ^m n ，过m 作平面b ，使得s b a =I ，因为m b Ì，故//m s ，而s a Ì，故n s ^，故m n ^，故C 正确. 对于D ，若//,a a ^m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7. 已知函数()()πsin303f x x w w æö=+>ç÷èø的最小正周期为π．则函数在ππ,126éù-êúëû的最小值是（ ）A. B. 32-C. 0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出w ，得()sin2f x x =-，再整体求出,126éùÎ-êúëûππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x w w w æö=+=+=-ç÷èø，由2ππ3T w==得23w =，即()sin2f x x =-，当,126éùÎ-êúëûππx 时，ππ2,63x éùÎ-êúëû，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126éù-êúëû上递减，所以，当π6x =时，()min πsin 3f x =-=故选：A8. 双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A. 22182y x -= B. 22184x y -= C. 22128x y -= D. 22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF Ð=°，设2PF m =，211122,PF F PF F q q Ð=Ð=，由21tan 2PF k q ==，求得1sin q =，因为1290F PF Ð=°，所以121PF PF k k ×=-，求得112PF k =-，即21tan 2q =，2sin q =，由正弦定理可得：121212::sin :sin :sin 902PF PF F F q q =°=，则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =×=×=V 得m =，则2122PF PF F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C9. 一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（ ）A.B.12+ C.D.12-【答案】C 【解析】【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，212111142ABC DEF ABC HIJ V V --==´´´=.故选：C.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i是虚数单位，复数))i 2i +×-=______．【答案】7【解析】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527+×-=+-+=-.故答案为：7-.11. 在63333x xæö+ç÷èø的展开式中，常数项为______．【答案】20【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+æöæö===×××ç÷ç÷èøèø，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12. 22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y xì-+=ïí=ïî可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF 的距离为4455d ==，故答案为：4513. ,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．【答案】 ①.35②. 12【解析】【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214. 在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， 1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r l m ，则l m +=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ×uuu r uuur的最小值为______．【答案】 ①.43②. 518-【解析】【分析】解法一：以{},BA BC uuu r uuu r 为基底向量，根据向量的线性运算求BE uuu r，即可得l m +，设BF BE k =uuu r uur ，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ×uuu r uuur 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE uuu r，即可得l m +，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，求,AF DG uuu r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ×uuu r uuur 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uur ，则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r ，可得1,13l m ==，所以43l m +=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==×=uuu r uuu r uuu r uuu r，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+Îuuu r uuu r uuu r uuu r，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC æö=+=+=-+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC æöæö=+=-+=-+-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur ，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC éùéùæöæöæö×=-+×-+-ç÷ç÷ç÷êúêúèøèøèøëûëûuuu r uuur uuu r uuu ruuu r uuur22111563112329510k k k k æöæöæö=-+-=--ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又因为[]0,1k Î，可知：当1k =时，AF DG ×uuu r uuur取到最小值518-；解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E æö---ç÷èø，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE æö=-==-ç÷èøuuu r uuu r uuu r ，因为(),BE BA BC l m l m =+=-uuu r uuu r uuu r ，则131l m ì-=-ïíï=î，所以43l m +=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x éù=-Î-êúëû上，设()1,3,,03F a a a éù-Î-êúëû，且G 为AF 中点，则13,22a G a -æö-ç÷èø，可得()131,3,,122a AF a a DG a +æö=+-=--ç÷èøuuu r uuur ，则()()22132331522510a AF DG a a a +æöæö×=+---=+-ç÷ç÷èøèøuuu r uuur ，且1,03a éùÎ-êúëû，所以当13a =-时，AF DG ×uuu r uuur 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15. 若函数()21f x ax =--+有唯一零点，则a 的取值范围为______．【答案】()(1-È【解析】【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ³或0x £，计算可得(]0,2a Î时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a Î时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -³，当0a =时，x ÎR，有211=--=，则x =±当0a >时，则23,2121,ax x a ax x a ì-³ïï--=íï-<ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得x a ³或0x £，当0x £时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a Î，12x a =-+或102x a=>-（正值舍去），当()2,a Î+¥时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a Î时，210ax --+=在0x £时有唯一解，则当(]0,2a Î时，210ax --+=在x a ³时需无解，当(]0,2a Î，且x a ³时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a æöç÷èø上单调递减，在23,a a æöç÷èø上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a æö-ç÷-ø=è，故x a ³时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x æö=-ç÷èø，其斜率为2，又(]0,2a Î，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a ³时的斜率(]0,2a Î，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +¥上单调递增，故有13a aa a ì<ïïíï>ïî，解得1a <<，故1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax x a ì-£ïï--=íï->ïî，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ì-£ïï=íï->ïî有唯一交点，由20x ax -³，可得0x ³或x a £，当0x ³时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x éùéù---=++--=ëûëû，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a Î-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a=-，当(),2a Î-¥时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a Î-时，210ax --+=在0x ³时有唯一解，则当[)2,0a Î-时，210ax --+=在x a £时需无解，当[)2,0a Î-，且x a £时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-£ïï=íï->ïî关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a æöç÷èø上单调递减，在32,a a æöç÷èø上单调递增，同理可得：x a £时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分渐近线方程为22a y x æö=-+ç÷èø，其斜率为2-，又[)2,0a Î-，即()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî在2x a <时的斜率[)2,0a Î-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），的且函数()g x 在(),a -¥上单调递减，故有13a aa aì>ïïíï<ïî，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a Î-U .故答案：()(1-È.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ì-³ïï=íï-<ïî的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC V 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．【答案】（1）4 （2（3）5764【解析】【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，为即229254922316t t t t =+-´´´，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以sin B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin A =法二：由余弦定理得2222225643cos22564bc a A bc +-+-===´´，因为()0,πA Î，则sin A ==小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB Î，所以π0,2B æöÎç÷èø，由（2）法一知sin B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===，2231cos 22cos 12148A A æö=-=´-=ç÷èø()1957cos 2cos cos 2sin sin 281664B A B A B A -=+=´+=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148AA æö=-=´-=ç÷èø，因为B 为三角形内角，所以sinB ===所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=´=【17. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ^平面ABCD ，AD AB ^，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．【答案】（1）证明见解析（2（3【解析】【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP Ì平面1CB M ，1D N Ë平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =-uuur 、()1,0,1CM =-uuuu r 、()10,0,2BB =uuur，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =r 、()222,,n x y z =r，则有111111200m CB x y z m CM x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuur r uuuu r r ，1222122020n CB x y z n BB z ì×=-+=ïí×==ïîuuur r uuur r ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m =r 、()1,1,0n =r，则cos ,m =r ，故平面1CB M 与平面11BB CC；【小问3详解】由()10,0,2BB =uuur ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =r，=即点B 到平面1CB M.18. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2æö-ç÷èø的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ×uur uuu r，再根据0TP TQ ×£uur uuu r 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,A c B C æ-ççè，故122ABC S c =´=△故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ì+=ïí=-ïî可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-uur uuu r，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t æöæö×=+--=+----ç÷ç÷èøèøuur uuu r ()()22121233122kx x k t x x t æöæö=+-++++ç÷ç÷èøèø()22222731231342342k k k t t k k æöæöæö=+´--+´++ç÷ç÷ç÷++èøèøèø()2222222327271812332234k k k t t t k k æö----++++ç÷èø=+()22223321245327234t t k t k æöéù+--++-ç÷ëûèø=+，因为0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立，故()223212450332702t t t ì+--£ïíæö+-£ïç÷èøî，解得332t -££.若过点30,2æö-ç÷èø的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -££，两者结合可得332t -££.综上，存在()30,32T t t æö-££ç÷èø，使得0TP TQ ×£uur uuu r 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=ì=í+<<î，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -³×；（ⅱ）求1nS i i b =å．【答案】（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=å【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k γ，当124kk n a +=³=时，则111221111k k k k k a n n a a -++ì=<-=-í-=-<î，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--×=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--³--=-׳-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -³×；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ³，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-éù=×+=×=---ëûå，所以()()()232113141115424845431434499nnS n n i i n b n n -=-+éù=+´-´+´-´+×××+---=ëûå，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=å.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<£-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=éù=---ëûå.20. 设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处切线方程；（2）若()(f x a x ³在()0,x ¥Î+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．【答案】（1）1y x =- （2）{}2（3）证明过程见解析【解析】【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】的由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x =¢+.所以()10f =，()11f ¢=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t¢-=-=，从而当01t <<时()0h t ¢<，当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+¥上递增，这就说明()()1h t h ³，即1ln t t -³，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g æö--=-=-=×ç÷øè.当()0,x ¥Î+的取值范围是()0,¥+，所以命题等价于对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³.一方面，若对任意()0,t ¥Î+，都有()0g t ³，则对()0,t ¥Î+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø，取2t =，得01a £-，故10a ³>.再取t =，得2022a a a £+-=-=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ¥Î+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a --=+=+<+---，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x =¢+，可知当10ex <<时()0f x ¢<，当1e x >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,eæùçúèû上递减，在1e ,éö+¥÷êëø上递增.不妨设12x x £，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ££<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <££时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c æùÎçúèû，设()ln ln x x x c c j =--()ln 1x x j =+¢.由于()x j ¢单调递增，且有11110j =+<+=-+=¢，且当2124ln 1x c c ³-æö-ç÷èø，2cx >2ln 1c ³-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c j æö=+>++=-³ç÷èø¢.所以()x j ¢在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x j ¢单调递增，即知00x x <<时()0x j ¢<，0x x c <<时()0x j ¢>.故()x j 在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ££时，有()()0x c j j £=；②当00x x <<112221e e f f cæö=-£-=<ç÷èø，故我们可以取1,1q c öÎ÷ø.从而当201cx q <<->()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q cj ö=-<-<--=-<÷ø.再根据()x j 在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x j <；综合①②可知对任意0x c <£，都有()0x j £，即()ln ln 0x x x c c j =--£.根据10,ec æùÎçúèû和0x c <£的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -£.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-£.情况三：当12101ex x <££<时，根据情况一和情况二讨论，可得()11e f x f æö-££ç÷èø，()21e f f x æö-££ç÷èø而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f æö-£-ç÷èø或()()()1221e f x f xf f x æö-£-ç÷èø.故一定有()()12f x f x -£成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.的。
2021年天津市高考数学试卷(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()() P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B ．•球的体积公式313V R ，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh ，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合 1,0,11,3,5,0,2,4A B C ，，则()A B C （）A.0 B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】∵ 1,0,11,3,5,0,2,4A B C ，，1A B ， ()0,1,2,4A B C .故选：C.2.已知a R ，则“6a ”是“236a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a ，则236a ，故充分性成立；若236a ，则6a 或6a ，推不出6a ，故必要性不成立；所以“6a ”是“236a ”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln ||2x y x的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当 0,1 x 时， 0f x ，排除D ，即可得解.【详解】设 2ln ||2x y f x x ，则函数 f x 的定义域为0x x ，关于原点对称，又2ln ||2x f x f x x，所以函数 f x 为偶函数，排除AC ；当 0,1 x 时，2ln ||0,10x x ，所以 0f x ，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： 66,70、 70,74、 、 94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D 【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 82,86内的影视作品数量为4000.05480 .故选：D.5.设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b cB.c a bC.b c aD.a c b【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10 ∵，0a ，122225log 0.4log 0.4log log 212∵，1b ，0.3000.40.41 ∵，01c ，a c b .故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12【答案】B 【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD，设球的半径为R ，则343233R，可得2R ，所以，44AB AD BD BD ，所以，1BD ，3AD ，CD AB ∵，则90CAD ACD BCD ACD ，所以，CAD BCD ，又因为ADC BDC ，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD，CD ，因此，这两个圆锥的体积之和为 21134433CD AD BD .故选：B.7.若2510a b ，则11a b（）A.1 B.lg 7C.1D.7log 10【答案】C 【解析】【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求.【详解】∵2510a b ，25log 10,log 10a b ，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b .故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的右焦点与抛物线22(0)y px p 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若||CD AB ．则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】设公共焦点为 ,0c ，进而可得准线为x c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c ，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b与抛物线22(0)y px p 的公共焦点为 ,0c ，则抛物线22(0)y px p 的准线为x c ，令x c ，则22221c y a b ，解得2b y a ，所以22bAB a,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a ，所以2bcCD a，所以22bc a a，即c ，所以222212a c b c ，所以双曲线的离心率ce a故选：A.9.设a R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a，若()f x 在区间(0,) 内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A.95112,,424B.5711,2,424C.9112,,344D.11 ,2,3447【答案】A 【解析】【分析】由 222150x a x a 最多有2个根，可得 cos 220x a 至少有4个根，分别讨论当x a 和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】 222150x a x a ∵最多有2个根，所以 cos 220x a 至少有4个根，由22,2x a k k Z可得1,24k x a k Z ，由1024k a a 可得11222a k ，（1）x a 时，当15242a 时， f x 有4个零点，即7944a ；当16252a ， f x 有5个零点，即91144a ；当17262a ， f x 有6个零点，即111344a ；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a ，22Δ4(1)4582a a a ，当2a 时， ， f x 无零点；当2a 时，0 ， f x 有1个零点；当2a 时，令22()2(1)5250f a a a a a a ，则522a ，此时 f x 有2个零点；所以若52a时， f x 有1个零点.综上，要使()f x 在区间(0,) 内恰有6个零点，则应满足7944522a a或91144522a a a 或或1113442a a ，则可解得a 的取值范围是95112,,424.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a 和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题目，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数92i2i_____________．【答案】4i 【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5 .故答案为：4i .11.在6312x x的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x的展开式的通项为636184166122rrrr r r r T C x C x x，令1846r ，解得3r ，所以6x 的系数是3362160C .故答案为：160.12.的直线与y 轴交于点A ，与圆 2211x y 相切于点B ，则AB ____________．【答案】【解析】【分析】设直线AB方程为y b，则点 0,A b ，利用直线AB 与圆2211x y 相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b，则点 0,A b ，由于直线AB 与圆 2211x y 相切，且圆心为 0,1C ，半径为1，则112b ，解得1b 或3b ，所以2AC ，因为1BC ，故AB .13.若0 , 0a b ，则21a b a b 的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】∵0 , 0a b ，212a b b a b b b当且仅当21a a b 且2b b，即a b所以21a b ab的最小值为.故答案为：14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C .故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB 且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF的值为____________；()DE DF DA的最小值为____________．【答案】①.1②.1120【解析】【分析】设BE x ，由222(2)44BE DF BE BE DF DF 可求出；将()DE DF DA化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x ，10,2x，ABC ∵ 为边长为1的等边三角形，DE AB ，30,2,,12BDE BD x DE DC x ，∵//DF AB ，DFC 为边长为12x 的等边三角形，DE DF ，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ，|2|1BE DF，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA ∵ 222311)(12)(1)53151020x x x x x，所以当310x时，()DE DF DA 的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B Cb ．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C的值．【答案】（I ）（II ）（III ）116【解析】【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c ，即可求出；（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C ，由正弦定理可得::2a b c ，b ∵2a c ；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab ；（III ）3cos 4C ∵，7sin 4C ，3sin 22sin cos 2448C C C ，291cos 22cos 121168C C ，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C111828216.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角正弦值．（III ）求二面角11A A C E 的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）9；（III ）13【解析】【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ，即可得证；（II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C 运算即可得解；（III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 0,0,0A , 10,0,2A , 2,0,0B , 2,2,0C , 0,2,0D , 12,2,2C , 10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 2,1,0E ， 1,2,0F ，所以 11,0,2D F , 112,2,0A C , 12,1,2A E,设平面11A EC 的一个法向量为 111,,m x y z ，则11111111202202m x y m x y A A E z C ，令12x ，则 2,2,1m ，因为1220m D F ，所以1m D F ，因为1D F 平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；（II ）由（1）得， 12,2,2AC ，设直线1AC 与平面11A EC 所成角为 ，则111sin cos ,9m A C AC m m C A ；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为 2,2,0DB ，则22cos ,3DB m DB m DB m ，所以二面角11A A C E的正弦值为13 .18.已知椭圆 222210x y a b a b的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为5，且BF （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y ；（2）0x y .【解析】【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点 00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x x y y ，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k ，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点 ,0F c 、 0,B b ，故BF a因为椭圆的离心率为5c e a ，故2c ，1b ，因此，椭圆的方程为2215x y ；（2）设点 00,M x y 为椭圆2215x y 上一点，先证明直线MN 的方程为0015x x y y ，联立00221515x x y y x y ，消去y 并整理得220020x x x x ，2200440x x ，因此，椭圆2215x y 在点 00,M x y 处的切线方程为0015x x y y.在直线MN 的方程中，令0x ，可得01y y ，由题意可知00y ，即点010,N y，直线BF 的斜率为12BF b k c ，所以，直线PN 的方程为012y x y ，在直线PN 方程中，令0y ，可得012x y ，即点01,02P y ，因为//MP BF ，则MP BF k k ，即20000002112122y y x y x y ，整理可得 20050x y ，所以，005x y ，因为222000615x y y ，00y ，故066y ，0566x ，所以，直线l的方程为166x y，即0x y .【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m 与椭圆方程联立，由0 进行求解；（2）椭圆22221x y a b在其上一点 00,x y 的切线方程为00221x x y y a b ，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b 与椭圆22221x y a b相切.19.已知 n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b ．（I ）求 n a 和 n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N ，（i ）证明22n n c c 是等比数列；（ii）证明 *n k n N 【答案】（I ）21,n a n n N ，4,n n N b n ；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得 n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224n n n c c ，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c，进而可得112n n k k k k ，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为 n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ，所以11a ，所以 12121,n n n n N a a ；设等比数列 n b 的公比为 ,0q q ，所以 221321484q b b b q q b q ，解得4q （负值舍去），所以114,n n n b q n N b ；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b ，所以22224211442444n n n n n nn c c ，所以220n n c c ，且212222124424n n n n n n c c c c ，所以数列22n n c c 是等比数列；（ii ）由题意知， 22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a ，12n n ，所以112n n k k k k ，设10121112322222n n k n k k n T ，则123112322222n n n T ，两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n n n T ，所以1242n n n T，所以1112422n n k n k k n.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为n k 由错位相减法即可得证.20.已知0a ，函数()x f x ax xe ．（I ）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）(1),(0)y a x a ；（II ）证明见解析；（III ）,e【解析】【分析】（I ）求出 f x 在0x 处的导数，即切线斜率，求出 0f ，即可求出切线方程；（II ）令 0f x ，可得(1)x a x e ，则可化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点，利用导数求出 g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令 2()1,(1)xh x x x e x ，题目等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ，利用导数即可求出 h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e ，则(0)1f a ，又(0)0f ，则切线方程为(1),(0)y a x a ；（II ）令()(1)0x f x a x e ，则(1)x a x e ，令()(1)x g x x e ，则()(2)x g x x e ，当(,2)x 时，()0g x ， g x 单调递减；当(2,)x 时，()0g x ， g x 单调递增，当x 时， 0g x ， 10g ，当x 时， 0g x ，画出 g x 大致图像如下：所以当0a 时，y a 与 y g x 仅有一个交点，令 g m a ，则1m ，且()()0f m a g m ，当(,)x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递增，当 ,x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递减，x m 为 f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m ，此时)1(1,m a m e m ，所以 2max {()}()1(1),m f x a f m a m m e m ，令 2()1,(1)xh x x x e x ，若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ， 2()2(1)(2)x x h x x x e x x e ，1x ，当(1,1)x 时，()0h x ， h x 单调递减，当(1,)x 时，()0h x ， h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ，故b e ，所以实数b 的取值范围 ,e .【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x .祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年天津卷高考数学试题解析
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子 概率为 ，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为 ，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
故答案为： ； .
14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
根据已知条件，将所求的式子化为 ，利用基本不等式即可求解.
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 内的个数为（）
A.10B.18C.20D.36
【答案】B
根据直方图确定直径落在区间 之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
7.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（）A.Fra bibliotekB. C. D.
【答案】D
由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再根据双曲线的渐近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】(1). (2).
根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
2020年高考数学天津卷 试题+答案详解
2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ．如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---,集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-,则()U A B = ð（）A.{3,3}- B.{0,2}C.{1,1}- D.{3,2,1,1,3}---2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数241xy x =+的图象大致为（）A.B.C. D.4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ,并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A.10B.18C.20D.365.若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.12πB.24πC.36πD.144π6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（）A.22144x y -= B.2214y x -= C.2214x y -= D.221x y -=8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩ 若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A.1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B.1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.(,0)2)-∞D.(,0)(22,)-∞+∞ 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________．11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．12.已知直线380x y -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．15.如图,在四边形ABCD 中,60,3B AB ︒∠==,6BC =,且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- ，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和．20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k - 时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考答案一、选择题1.【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知{}U 2,1,1B =--ð，则(){}U 1,1A B =- ð.故选C.2.【答案】A【解析】解不等式2a a >可得1a >或0a <，∴1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A.3.【答案】A【解析】由函数的解析式可得()()241xf x f x x --==-+,则函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称,选项CD 错误；当1x =时,42011y ==>+,选项B 错误.故选A.4.【答案】B【解析】根据直方图,直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=.故选B.5.【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，∴球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选C.6.【答案】D 【解析】∵0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，∴1c a b <<<.故选D.7.【答案】D【解析】由题可知,抛物线的焦点为()1,0，∴直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，∵双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，∴b b a -=-,1bb a-⨯=-，又∵0,0a b >>，∴1,1a b ==．故选D ．8.【答案】B【解析】∵()sin(3f x x π=+，∴周期22T ππω==，故①正确；∵51()sin(sin122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选B.9.【答案】D【解析】∵(0)0g =,要使()g x 恰有4个零点,只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根,令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.∵2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时,2y =,如图1,2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点,不满足题意；当k 0<时,如图2,此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点,满足题意；当0k >时,如图3,当2y kx =-与2y x =相切时,联立方程得220x kx -+=,令0∆=得280k -=，解得k =（负值舍去），∴k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选D.二、填空题10【答案】32i-【解析】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-.故答案为32i -.11【答案】10【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．12【答案】5【解析】∵圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =可得6=，解得=5r ．13【答案】(1)16；(2)23.【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，∴甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1(1233-⨯-=，∴甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为16；23.14【答案】4【解析】∵0,0a b >>，∴0a b +>,1ab =,∴11882222ab ab a b a b a b a b ++=++++842a b ab +=+≥=+，当且仅当a b +=4且1ab=,解得22a b =-=+或22a b =+=-时，等号成立.故答案为4.15【答案】（1）16；（2）132.【解析】AD BC λ=，∴//AD BC ，∴180120BAD B ∠=-∠= ，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xBy ，∵6BC =,∴()6,0C ，∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3,22A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,又∵16AD BC = ,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤），则533,22DM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，333,22DN x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2225321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当2x =时，DM DN ⋅ 取得最小值132.故答案为16，132.三、解答题.16【答案】（Ⅰ）4C π=；（Ⅱ）213sin 13A =；（Ⅲ）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由5,a b c ===及余弦定理得222cos 22a b c C ab +-===，又∵(0,)C π∈，∴4C π=.（Ⅱ）在ABC ∆中，由4C π=，a c ==可得2sin 2sin a C A c ⨯===13；（Ⅲ）由a c <知角A 为锐角，由sin 13A =，可得cos A ==13，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=，∴125sin(2)sin 2cos cos2sin 444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26.17【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306；（Ⅲ）33.【解析】依题意,以C 为原点,分别以CA 、CB、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意,()11,1,0C M = ,()12,2,2B D =--,从而112200C M B D ⋅=-+=，∴11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB = ，()2,0,1ED =- ．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．cos ,6C CA n A C n A n ⋅<>===⋅，∴sin ,6CA n <>== ．∴二面角1B B E D --的正弦值为6；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，∴cos ,3AB n AB n AB n ⋅<>==-⋅．∴直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3.18【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-．【解析】（Ⅰ） 椭圆()222210x ya b a b+=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，∴椭圆的方程为221189x y +=.（Ⅱ） 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，∴CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx +=，即3y kx =-，联立方程组2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221kx k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，∴点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，∴点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，∴直线CP 的斜率为222303216261121CP k k k k k k --+=-+-+=，又∵CP AB ⊥，∴231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =.∴直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-.19【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，得d =1.∴{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，得2440q q -+=，解得q =2，∴{}n b 的通项公式为12n nb -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，∴21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，∴2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，∴221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444nnk k n n k k k n n c -==---==+++++∑∑①由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑ ，由于11211121221121156544144334444123414n n n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-，从而得21565994nk n k n c =+=-⨯∑.∴2212111465421949n n n nk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑.∴数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯.20【答案】（Ⅰ）（i）98y x =-；（ii）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）(i)当k =6时,()36ln f x x x =+,()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.(ii)依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞.从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x'-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：x ()0,11x =()1,+∞()'g x -+()g x 单调递减极小值单调递增所以，函数()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；()g x 的极小值为()11g =，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+.对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞.当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫-+-+--⎪⎝⎭()32133132ln t t t t t t ⎛⎫≥----- ⎪⎝⎭+32336ln 1t t t t=-++-.②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->.∴当3k ≥-时,[)12,1,x x ∀∈+∞且12x x >有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.。
精品解析：2020年天津市高考数学试卷(解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． 如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． 球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A. {3,3}-B. {0,2}C. {1,1}-D. {3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】 【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.2.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3.函数241xy x =+的图象大致为（ ） A .B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 4.从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A. 10B. 18C. 20D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可. 【详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=， 则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题. 5.若棱长为3 ） A. 12π B. 24πC. 36πD. 144π【答案】C 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解. 【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6.设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log ay x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7.设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22144x y -=B. 2214y x -=C. 2214x y -=D. 221x y -=【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程． 【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 【详解】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.9.已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数82ii-=+_________． 【答案】32i - 【解析】 【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果. 【详解】()()()()8281510322225i i i ii i i i ----===-++-. 故答案为：32i -.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.11.在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出．【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．12.已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6==5r ． 故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 【答案】 (1). 16(2). 23【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23， 且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=， 甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=， 所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23. 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题. 14.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解.【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 15.如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】 【分析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设点(),0M x ，则点()1,0N x +（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值. 【详解】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为333,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 故答案为：16；132. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4Cπ；（Ⅱ）213sin A =（Ⅲ）172sin 2426A π⎛⎫+=⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin ,cos ,A A 进一步求出sin 2,cos 2A A ，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在ABC中，由5,a b c ===222cos 22a b c C ab +-===， 又因为(0,)C π∈，所以4C π；（Ⅱ）在ABC 中，由4Cπ，a c ==sin sin a C A c=== （Ⅲ）由a c <知角A为锐角，由sin 13A =，可得cos A=13， 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313A A A A A ===-=，所以125sin(2)sin 2coscos2sin444132132A A A πππ+=+=⨯+⨯=26. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）306；（Ⅲ）33. 【解析】 【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =，()12,2,2B D =--， 从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥； （Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =，()2,0,1ED =-．设(),,n x y z =为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．6cos ,26C CA n A C nA n ⋅<>===⋅⨯， 230sin ,1cos ,CA n CA n ∴<>=-<>=． 所以，二面角1B B E D --30； （Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-为平面1DB E 的一个法向量，于是3cos ,226AB n AB n AB n⋅<>===⨯⋅．所以，直线AB 与平面1DB E所成角的正弦值为3. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【答案】（Ⅰ）221189x y +=；（Ⅱ）132y x =-，或3y x =-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+.将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+， 整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.19.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n nn n +--+⨯. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果； (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnk kn n k k k n n c -==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444n k nn k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n nk n n n k n n c ++=⎛⎫-⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.20.已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-， 整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+. 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞. 当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++-> ③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x fx f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
2024数学新高考-天津卷试题答案解析
一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}1【答案】B【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 因此{}2,3,4A B =，故选B2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选C.3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（）A ．22e x x y −=B ．22cos x x y += C ．e x xy −=D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3−<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2−<<<，所以0.30.30 4.21 4.2−<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选B6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交 【答案】C【详解】A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，A 错误. B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，B 错误.C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，C 正确.D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，D 错误. 故选C.7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32− C ．0 D ．32故选A8．双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x −=B ．221x y −=C ．221x y −=D ．221x y −=因为1290F PF ∠=︒，所以k 21sin 5θ=，由正弦定理可得：则由2PF m =得12PF m =由12121122PF F SPF PF =⋅=由双曲线第一定义可得：．一个五面体ABC DEF −．已知，且两两之间距离为．并已知．则该五面体的体积为（ ）A B 12+ C D 12【答案】C【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN −（顶点与五面体ABC DEF −一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．．圆(1)25−+=x y 的圆心与抛物线2(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， CE =12DE,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．18{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得，求AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，DG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值1CE DE =，即+CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 31,0BC BA BA BC ==⋅=，上的动点，设[1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=−+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=−+=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DGk BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=−+⋅−+− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦221156311329510k k k k ⎫⎛⎫⎛⎫−+−=−−⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭， 时，AF DG ⋅取到最小值解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()(1,0,0,0,0,1A B C −⎝可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛=−==− ⎝因为(),BE BA BC λμλμ=+=−，则μ⎧−⎪⎨⎪⎩因为点F 在线段:3BE y =−22⎝可得()11,3,2a AF a a DG +⎛=+−=⎝则()()213322a AF DG a +⎛⋅=+−− ⎝1,03a ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以当时，AF DG ⋅取到最小值为15．若函数()21f x ax =−+恰有一个零点，则a 的取值范围为 ．)()1,3.三、解答题16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A −的值．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面CB M 的距离．有()0,0,0A 、(2,0,0B 则有()11,1,2CB =−、(1,0,1CM =−、(10,0,2BB =设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为(11,,m x y z =、(22,,n x y =111m CB x m CM x ⎧⋅=−⎪⎨⋅=−⎪⎩122212220n CB x y z n BB z ⎧⋅=−+⎪⎨⋅==⎪⎩分别取121x x ==，则有11=、21y =()1,3,1m =、()1,1,0n =，cos ,19m n m n m n ⋅==⋅+故平面1CB M 与平面1BB CC 11）由()10,0,2BB =()1,3,1m =，1219BB m m⋅=+因此点B 到平面1CB M 18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．，使得0TP TQ ⋅≤恒成立）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程32，()11,P x y 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求12，故2a c =3b c =，其中若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：设()()1122,,,P x y Q x y 223436x y ⎧+=而()(112,,,TP x y t TQ x y =−=故()(1212TP TQ x x y t y ⋅=+−()2121kx x +−因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则2，使得0TP TQ ⋅≤恒成立19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==−． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a −+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b −≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x −≤−．。
2021年天津市高考数学试卷 (解析版)
2021年天津市高考数学试卷一．选择题（共9小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4} 2．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7108．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i是虚数单位，复数＝．11．在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．已知椭圆+＝1（a＞b）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一．选择题（共9小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．2．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．3．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．80解：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．5．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π解：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．7．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．9．设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次方程最多有两个零点，∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣6≤﹣5，f（x）有4个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有5个零点，即，﹣8≤﹣7，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，a．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i是虚数单位，复数＝4﹣i．解：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．11．在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是160．解：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．解：假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．13．已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为2．解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为1；（+）•的最小值为．解：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．解：（1）∵△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＝＝．（3）由（2）可得sin C＝＝，∴sin2C＝2sin C cos C＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2C cos﹣cos2C sin＝．17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F//平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．18．已知椭圆+＝1（a＞b）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）e m﹣m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m （m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．。
2022年新高考天津数学高考真题(解析版)
【解析】
【分析】设 , ,分析可知函数 至少有一个零点,可得出 ,求出 的取值范围,然后对实数 的取值范围进行分类讨论,根据题意可得出关于实数 的不等式,综合可求得实数 的取值范围.
【详解】设 , ,由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点,则函数 至少有一个零点,则 ,
解得 或 .
①当 时, ,作出函数 、 的图象如下图所示：
【详解】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成,作 于M,如图,
因为 ,所以 ,
因为重叠后的底面为正方形,所以 ,
在直棱柱 中, 平面BHC,则 ,
由 可得 平面 ,
设重叠后的EG与 交点为
则
则该几何体的体积为 .
故选：D.
9.已知 ,关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不允分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“ 为整数”与“ 为整数”的逻辑关系即可.
【详解】由题意,若 为整数,则 为整数,故充分性成立；
当 时, 为整数,但 不为整数,故必要性不成立；
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件.
2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）
一、选择题：本题共9小题,每小题5分,共45分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1.设全集 ,集合 ,则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出 ,再根据交集的定义可求 .
【详解】 ,故 ,
故选：A.
2.“ 为整数”是“ 为整数”的（）
2021年高考真题—普通高等学校统一考试—文科数学(天津卷)—解析版
2021年高考真题—普通高等学校统一考试—文科数学（天津卷）—解析版20XX年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：·如果事A，B互斥，那么.·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，则 A.{2}B.{2，3}C.{-1，2，3}D.{1，2，3，4}【答案】D 【解析】【分析】先求，再求。
【详解】因为，所以.故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设变量满足约束条，则目标函数的最大值为A.2B.3C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值。
由，得，所以。
故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.设，则“”是“”的A.充分而不必要条B.必要而不充分条C.充要条D.既不充分也不必要条【答案】B 【解析】【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出。
精品解析：2023年新高考天津数学高考真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A = ð（ ）A. {}1,3,5B. {}1,3C. {}1,2,4D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由{3,5}U B =ð，而{1,3}A =， 所以{1,3,5}U B A = ð. 故选：A2. “22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =-≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立； 由222a b ab +=，则2()0a b -=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B3. 若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. b a c >> 【答案】D 【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=， 由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>. 故选：D4. 函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A.()25e e 2x xx --+ B.25sin 1xx + C.()25e e 2x xx -++D.25cos 1xx + 【答案】D 【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A 、C 中函数在(0,)+∞上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f -=<， 由225sin()5sin ()11x xx x -=--++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x -->+、25(e e )02x x x -+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除； 故选：D5. 已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ） A. sin 2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭ C. sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭D. cos 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x =处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A 选项中242T ππ==，B 选项中242T ππ==，C 选项中284T ππ==，D 选项中284T ππ==，排除选项CD ，对于A 选项，当2x =时，函数值sin 202π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A ，对于B 选项，当2x =时，函数值cos 212π⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，故2x =是函数的一条对称轴， 故选：B.6. 已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（ ） A. 3 B. 18 C. 54 D. 152【答案】C 【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a 的值. 【详解】由题意可得：当1n =时，2122a =+，即1122a q a =+， ① 当2n =时，()31222a a a =++，即()211122a q a a q =++，②联立①②可得12,3a q ==，则34154a a q ==. 故选：C.7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（ ）A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 【答案】C 【解析】【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断D 选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 选项错误，C 选项正确；由于0.8245r =是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D 选项错误 故选：C8. 在三棱锥-P ABC 中，线段PC 上的点M 满足13PM PC =，线段PB 上的点N 满足23PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥-P ABC 的体积之比为（ ） A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.先证NN '⊥平面PAC ，则可得到//BB NN ''，再证//MM CC ''.由三角形相似得到13MM CC ''=，'2'3NN BB =，再由P AMN N PAMP ABC B PACV V V V ----=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C 作,MM PA CC PA ''⊥⊥,垂足分别为,M C ''.过B 作BB '⊥平面PAC ，垂足为B '，连接PB ',过N 作NN PB ''⊥,垂足为N '.因为BB '⊥平面PAC ，BB '⊂平面PBB '，所以平面PBB '⊥平面PAC .又因为平面PBB ' 平面PAC PB '=，NN PB ''⊥，NN '⊂平面PBB '，所以NN '⊥平面PAC ，且//BB NN ''.在PCC '△中，因为,MM PA CC PA ''⊥⊥，所以//MM CC ''，所以13PM MM PC CC '=='， 在PBB '△中，因为//BB NN ''，所以23PN NN PB BB '=='， 所以11123231119332PAM P AMN N PAMP ABC B PACPAC PA MM NN S NN V V V V S BB PA CC BB ----⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭====⎛⎫'''⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭V V .故选：B9. 双曲线2222(0,0)x y a b a b->>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线1PF，则双曲线的方程为（ ） A. 22184x y -=B. 22148x y -=C. 22142x y -=D. 22124x y -=【答案】D 【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出b ，设2POF θ∠=，由tan b bOP aθ==得到OP a =，2OF c =.再由三角形的面积公式得到P y ，从而得到P x，则可得到22a a =+，解出a ，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，所以2bcPF b c===， 所以2b =设2POF θ∠=,则2tan PF b bOPOP aθ===，所以OP a =，所以2OF c =. 因为1122P ab c y =⋅,所以P ab y c =，所以tan P P P ab y b c x x a θ===，所以2P a x c =， 所以2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为()1,0F c -，所以1222222242PF ab ab a a ck a a c a a a c c=====+++++)224a a +=，解得a =所以双曲线的方程为22124x y -=故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为_________．【答案】4i +##i 4+ 【解析】.【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i -，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-. 故答案为：4i +.11. 在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为_________．【答案】60 【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式()61841612kk kk k T C x --+=-⨯⨯⨯，令1842k -=确定k 的值，然后计算2x 项的系数即可.【详解】展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk k k kk k T x x x ---+⎛⎫=-=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 令1842k -=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560--⨯⨯=⨯=.故答案为：60.12. 过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________． 【答案】6 【解析】【分析】根据圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，=，解得：k=22y y px ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩或23p x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以483p OP ===，解得：6p =． 当k = 故答案为：6．13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 【答案】 ①. 0.05②.35##0.6 【解析】【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数25%4n n ⨯=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个， 所以，()93155n P B n ==． 故答案为：0.05；35． 14. 在ABC V 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】 ①. 1142a b + ②. 1324 【解析】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E 为CD 的中点进行求解；空2：用,a b表示出AF ，结合上一空答案，于是AE AF ⋅ 可由,a b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED ADAE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+，为即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC ACAF FB AB⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ . 记,AB x AC y ==， 则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC V 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ， 由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=， 故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号， 则1x y ==时，AE AF ⋅. 故答案为：1142a b + ；1324.15. 若函数()2221f x ax x x ax =---+有且仅有两个零点，则a 的取值范围为_________．【答案】()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+ 【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a 的取值范围．【详解】（1）当210x ax -+≥时，()0f x =⇔()()21210a x a x -+--=，即()()1110a x x --+=⎡⎤⎣⎦，若1a =时，=1x -，此时210x ax -+≥成立； 若1a ≠时，11x a =-或=1x -， 若方程有一根为=1x -，则110a ++≥，即2a ≥-且1a ≠；若方程有一根为11x a =-，则2111011a a a ⎛⎫-⨯+≥ ⎪--⎝⎭，解得：2a ≤且1a ≠； 若111x a ==--时，0a =，此时110a ++≥成立． （2）当210x ax -+<时，()0f x =⇔()()21210a x a x +-++=， 即()()1110a x x +--=⎡⎤⎣⎦，若1a =-时，1x =，显然210x ax -+<不成立； 若1a ≠-时，1x =或11x a =+， 若方程有一根为1x =，则110a -+<，即2a >；若方程有一根为11x a =+，则2111011a a a ⎛⎫-⨯+< ⎪++⎝⎭，解得：2a <-； 若111x a ==+时，0a =，显然210ax -+<不成立； 综上，当2a <-时，零点为11a +，11a -； 当20a -≤<时，零点为11a -，1-； 当0a =时，只有一个零点1-； 当01a <<时，零点为11a -，1-； 当1a =时，只有一个零点1-； 当12a <≤时，零点为11a -，1-； 当2a >时，零点为1,1-．所以，当函数有两个零点时，0a ≠且1a ≠．故答案：()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c．已知2,120a b A ==∠= ．（1）求sin B 的值； （2）求c 的值； （3）求()sin B C -． 【答案】（1（2）5（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sin C ，再由平方关系求出cos ,cos B C ，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】 由正弦定理可得，sin sin a b A B =2sin B =，解得：sin B =； 【小问2详解】由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得：5c =或7c =-（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin C =，解得：sin C =，而120A =o ，所以,B C都为锐角，因此cos C ==，cos B ==为故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-==-． 17. 三棱台111ABC A B C -中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.（1）求证：1A N //平面1C MA ；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值； （3）求点C 到平面1C MA 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2）23（3）43【解析】【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12ACMN ==， 由棱台性质，11A C //AC ，于是MN //11A C ，由111MN A C ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA . 【小问2详解】过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E . 由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ⋂=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12ABME ==，1cos CAC ∠=，则1sin CAC ∠=，故11sin EF CAC =⨯∠=Rt MEF V 中，90MEF ∠= ，则MF == 于是2cos 3EF MFE MF ∠==【小问3详解】[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，11C A C C ==，1C M ==，根据勾股定理，1C Q == 由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ V中，1123PC PQ PR QC ⋅===， 又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍， 即点C 到平面1C MA 的距离是43. [方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .121111223323C AMCAMC V C P S -=⨯⨯=⨯⨯⨯=V ，111113322C C MA AMC hV h S h -=⨯⨯=⨯⨯=V .由11223C AMC C C MA h V V --=⇔=，即43h =.18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12e =.（2）)2y x =-. 【解析】【分析】（1）由31a c a c +=⎧⎨-=⎩解得2,1a c ==，从而求出b =，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2A P 的方程，与椭圆方程联立，消去y ，再由韦达定理可得2A P x x ⋅，从而得到P 点和Q 点坐标.由211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+V V V V V 得23Q P y y =，即可得到关于k 的方程，解出k ，代入直线2A P 的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图，由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得2,1a c ==，所以b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12c e a ==.【小问2详解】由题意得，直线2A P 斜率存在，由椭圆的方程为22143x y +=可得()22,0A ，设直线2A P 的方程为()2y k x =-，联立方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 整理得：()2222341616120k x k x k +-+-=， 由韦达定理得222161234A P k x x k -⋅=+，所以228634P k x k-=+， 所以2228612,3434k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，()0,2Q k -. 所以21142A QA Q S y =⨯⨯V ,2112A PF P S y =⨯⨯V ,12142A A P P S y =⨯⨯V ， 所以211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+V V V V V ， 所以23Q P y y =，即21222334kk k-=-+，解得k =2A P的方程为)2y x =-. 19. 已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=． （1）求{}n a 的通项公式和1212n n ii a --=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<， （Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk k -<<+； （Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和． 【答案】（1）21n a n =+，12121232n n n ii a---==⨯∑；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2nn b =，前n 项和为122n +-.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2a d ==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n 项和公式计算可得12121232n n n ii a---==⨯∑.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，取12k n -=，当21221k k n --≤≤-时，nk a b <，取121k n -=-，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想2nn b =，然后分别排除2q >和2q <两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n 项和. 【小问1详解】由题意可得2515325624a a a d a a d +=+=⎧⎨-==⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，则数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+-=+， 注意到11222121n n n a --=⨯+=+，从12n a -到21n a -共有1121212n n n ----+=项，故()()11121121122121222122122222322n n n n n nn n n n n i i a ----------=-=⨯++⨯=++-=⨯∑【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221k k n -≤≤-时，k n b a <，取12k n -=，则11222121k k k kb a --<=⨯+=+，即21k k b <+，当21221k k n --≤≤-时，n k a b <，取121k n -=-，此时()1121221121k k k n a a ---==-+=-，据此可得21kk b -<，综上可得：2121kk kb -<<+.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：123413,35,79,1517b b b b <<<<<<<<， 据此猜测2nn b =，否则，若数列的公比2q >，则1111122n n n n b bq b ---=>⨯>， 注意到()1122112n n n ----=-，则()12210n n --->不恒成立，即1221n n ->-不恒成立，此时无法保证21nn b -<，若数列的公比2q <，则11111232n n n n b bq b ---=<⨯<⨯， 注意到()11322121n n n --⨯-+=-，则1210n --<不恒成立，即13221n n -⨯<+不恒成立，此时无法保证21n nb <+，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nn b =， 其前n 项和为：()12122212nn nS +⨯-==--..【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 20. 已知函数()()11ln 12f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭． （1）求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率； （2）当0x >时，证明：()1f x >； （3）证明：()()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）1ln 334- （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为0x >时()2ln 12xx x +>+，构造()2()ln 12x g x x x =+-+，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造()()1()ln !ln 2h n n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，*N n ∈，作差法研究函数单调性可得()(1)1h n h ≤=，再构造(5)(1)()42x x x x x ϕ+-=-+且0x >，应用导数研究其单调性得到(5)(1)ln 42x x x x +-≤+恒成立，对()(1)h n h n -+作放缩处理，结合累加得到311(1)()ln 212126h h n -<-+<，即可证结论. 【小问1详解】ln(1)ln(1)()2x x f x x ++=+，则211ln(1)()(1)2(1)x f x x x x x +'=+-++，所以1ln 3(2)34f '=-，故2x =处的切线斜率为1ln 334-； 【小问2详解】 要证0x >时()()11ln 112f x x x ⎛⎫=++>⎪⎝⎭，即证()2ln 12x x x +>+，令()2()ln 12x g x x x =+-+且0x >，则22214()01(2)(1)(2)x g x x x x x '=-=>++++， 所以()g x 在(0,)+∞上递增，则()(0)0g x g >=，即()2ln 12xx x +>+. 所以0x >时()1f x >.小问3详解】 设()()1()ln !ln 2h n n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，*N n ∈， 则()()1111(1)()1()ln (11()ln(1222h n h n n n n n n n+-=++-++=-++， 由（2）知：1x n =(0,1]∈，则111()(12f n n n=++>， 所以(1)()0h n h n +-<，故()h n 在*N n ∈上递减，故()(1)1h n h ≤=； 下证15ln(!)()ln()26n n n n -++>， 令(5)(1)()ln 42x x x x x ϕ+-=-+且0x >，则22(1)(1)()(21)x x x x x ϕ--'=+，当01x <<时()0x ϕ'>，()ϕx 递增，当1x >时()0x ϕ'<，()ϕx 递减， 所以()(1)0x ϕϕ≤=，故在()0,x ∞∈+上(5)(1)ln 42x x x x +-≤+恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1()1()2224(32)1212(3)n n h n h n n n n n n n nn+-+=++-≤+⋅-=<-+-+， 所以11(2)(3)(1)122h h -<-，111(3)(4)()1223h h -<-，…，111(1)()()121h n h n n n--<--， 累加得：11(2)()(112h h n n -<-，而3(2)2ln 22h =-，则113()(1)2ln 2122h n n -<--+， 所以311311(1)()ln 21(1ln 212122126h h n n -<-+-<-+<，故5()6h n >； 综上，5()16h n <≤，即()()51ln !ln 162n n n n ⎛⎫<-++≤ ⎪⎝⎭.【【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究()()1()ln !ln 2h n n n n n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭单调性证右侧不等关系，再构造(5)(1)()ln 42x x x x x ϕ+-=-+且0x >，导数研究其函数符号得(5)(1)ln 42x x x x +-≤+恒成立，结合放缩、累加得到311(1)()ln 21(1212h h n n -<-+-为关键.。
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天津高考数学试题文解析版Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则AB =（ ）（A ）}3,1{（B ）}2,1{（C ）}3,2{（D ）}3,2,1{【答案】A【解析】试题分析：{1,3,5},{1,3}B A B ==,选A.考点：集合运算（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65（B ）52（C ）61（D ）31【答案】A考点：概率（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B 考点：三视图（4）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）（A ）1422=-y x （B ）1422=-y x（C ）15320322=-y x （D ）12035322=-y x【答案】A考点：双曲线渐近线（5）设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】试题分析：34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C考点：充要关系（6）已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ ）（A ）)21,(-∞（B ）),23()21,(+∞-∞（C ）)23,21(（D ）),23(+∞【答案】C 【解析】试题分析：由题意得1|1||1||1|2113(2)(222|1|222a a a f f a a ---->⇒-><⇒-<⇒<<，故选C考点：利用函数性质解不等式（7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81（C ）41（D ）811【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.考点：向量数量积 （8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(【答案】D考点：解简单三角方程第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z +=，则z 的实部为_______.【答案】1 【解析】试题分析：2(1)211i z z i i+=⇒==-+，所以z 的实部为1考点：复数概念（10）已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】3 【解析】试题分析：()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴= 考点：导数（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为_______.【答案】4考点：循环结构流程图（12）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点(0,5)M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=的距离为45，则圆C 的方程为__________. 【答案】22(2)9.x y -+= 【解析】试题分析：设(,0),(0)C a a >，则2452,2535a r =⇒==+=，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=考点：直线与圆位置关系（13）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE的长为__________.【答案】233考点：相交弦定理(14) 已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_________. 【答案】12[,)33【解析】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以12132,1637a a a <-≤⇒>≥，因此a 的取值范围是12[,)33考点：函数综合三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为a,b,c ，已知sin 23sin a B b A =.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若1cos A 3=，求sinC 的值.【答案】（Ⅰ）6π=B （Ⅱ）261+ 考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理 (16) (本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润并求出此最大利润.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元试题解析：（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+003001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.(1)M2x+3y=z (2)3x+10y=3004x+5y=2008x+5y=3601010yxO考点：线性规划(17) (本小题满分13分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，6，DE=3，∠BAD=60o，G 为BC 的中点. (Ⅰ)求证：FG||平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）65（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，060,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=BD ，进而可得090=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ；平面AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED .（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为65. 考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角 (18) (本小题满分13分)已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且6123112,63S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}21nn b -的前2n 项和.【答案】（Ⅰ）12-=n n a （Ⅱ）22n（Ⅱ）解：由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=- 考点：等差数列、等比数列及其前n 项和 （19）（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）6±（2）设直线的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ，由方程组221,43(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，整理得2222(43)1616120k x k x k +-+-=，解得2x =或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B ky k -=+，由（1）知(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++，考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 （20）（本小题满分14分）设函数b ax x x f --=3)(，R x ∈，其中R b a ∈, （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：0201=+x x ； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41.【答案】（Ⅰ）递减区间为33(a a ，递增区间为3(,)a -∞，3()a +∞.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：2()3f x x a '=-，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，存在三个单调区间试题解析：（1）解：由3()f x x ax b =--，可得2()3f x x a '=-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有2()30f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞.②当0a >时，令()0f x '=，解得3a x =或3a x =. 当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：x3(,)3a-∞-33a - 33(,)33a a -33a3(,)3a-+∞ ()f x '+ 0 - 0 +()f x单调递增极大值 单调递减 极小值单调递增所以()f x 的单调递减区间为33(,)a a -，单调递增区间为3(,)a -∞-，3(,)a -+∞. （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠.由题意得200()30f x x a '=-=，即203ax =，进而300002()3af x x ax b x b =--=--， 又3000000082(2)822()33a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠， 由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足10()()f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-， 所以10+2=0x x .（3）证明：设()g x 在区间[1,1]-上的最大值为M ，max{,}x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三种情况讨论：②当334a ≤<时，23332311a a a a -≤-<-<<≤， 由（1）和（2） 知233(1)()()33a a f f f -≥-=，233(1)()()33a a f f f ≤=-， 所以()f x 在区间[1,1]-上的取值范围为33[(),()]33a a f f -， 所以3322max{|(|,|()|}max{|3|,|3|}99a a a a f f ab a b -=--- 2222331max{|3|,|3|}3||39999444a a a a b a b a b =+-=+≥⨯⨯⨯=.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式。