欧式空间的最佳逼近

摘要

欧几里德空间，简称为欧式空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。

欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质

当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

一、问题的阐述

1、欧式空间的定义

设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g 称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：

（1）g(x,y)=g(y,x)；

（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；

（3）g(kx,y)=kg(x,y)；

（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。

这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数

2、举例说明

1. （经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x1y1+...+xnyn，则R^n为欧几里德空间。（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。）

2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。

3、最佳逼近的含义

在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。设向量b是向量a在W上的正射影，向量c是垂直于W的向量，则a=b+c。所以向量a到W 的最短距离为∣a-b∣，也就是∣c∣。显然有∣a-b∣≥0，当且仅当向量a在W内，等号成立。有定理8.2.5得：对于W中的任意向量d≠向量a，都有∣a-b∣＜∣a-d∣。由此，我们就把向量a在子空间W上的正射影向量b叫作W到向量a的最佳逼近。

二、构造的方法

有三角形定理知，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这个定理不仅在几何空间中成立，在向量空间中也同样成立。我们可以把三角形的三边看成三个向量，首尾相连就构成了一个矢量三角形。都是三角形，所以有相同的性质，即满足上述条件（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。但是不同的是，向量不仅有大小而且有方向，在任意的空间中如果三个向量共线，则构不成三角形；如果不共线又满足上述条件则可以构成一个三角形。这样虽然做出了一个三角形，但是这个三角形具有不唯一和不确定性，所以我们就希望用一定的方法把这个三角形确定下来。

解析如下：

设W是欧式空间V的一个非空子集。如果V的一个向量a与W 的每一个向量正交，那么就说a与W正交，并且记作=0。令Q={a∈V|=0}.那么0∈Q，因而Q≠空集。其次，设e,f∈R, a,b∈Q,那么对于任意c∈W,我们有=e+f=0,因而e a+f b ∈Q。这样，Q是V的一个子空间。有令W是欧式空间V 的一个有限维子空间。

那么V=W+Q,因而V 的每一个向量a可以唯一地写成a=b+d,这里b∈W，=0.我们把子空间Q叫作W的正交补。分解式a=b+d右端第一个被加项b叫作向量a在子空间W上的正射。这样，欧式空间V的每一个向量a都可以分解a在任意一个有限维空集W上的正射影和一个与W正交的向量的和，并且这种分解式唯一的。

例：

令W是由1,x,x ,x 生成的子空间在欧式空间C[-1,1]里。

所以{1,x,x ,x }是W 的一个基。下面进行正交化：

令a =1,a =x,a = x ,a = x

取b = a =1.

取b = a -< a , b >/< b , b >* b =x,

b = a -< a , b >/< b , b >* b -< a , b >/< b , b >* b = a -1/3* b

= x -1/3

b = a -< a , b >/< b , b >* b -< a , b >/< b , b >* b -< a , b >/< b , b >*v= a -3/5 b = x -3/5x

∵∣b∣= , ∣b∣= /3

∣b∣=2/15 ∣b∣=2/35

∴W的规范正交基为

{ /2, /2x, 3/4 x - /4,4/5 x -3/4 }

W的每一元素都可以写成

F(x)=c +c x+c x +c x ①

的形式。F[x]是一个3次多项式。设p[x]∈C[-1,1].

我们求一个3次多项式F[x]，使得

dx的值最小。用欧式空间的语言来说就是，求F[x]∈W，使得∣F[x]-P[x]∣= dx最小。

这就是我们要解决的问题。因此，所求的F[x]应该是F[x]在W上的正射影。由定理8.2.4，我们有

F[x]= a + a +a + a .

与等式①作比较，我们得到

c = = p[x]dx=2 dx

从而c =2/3 xdx

c =8/75 x dx

c =28/1225 x dx

∴F[x]= 2 dx,+ 2/3 xdx*x+8/75 x dx* x +

28/1225 x dx* x .

三、论文总结

在这篇小论文中我们用了简单的数学方法把问题简洁的表达出，并构造出了简单的一维、二维和三维空间上的最佳逼近。

由于知识和思想的局限性，在这篇简单的论文中，我们并没有很充分的表达出欧式空间的n 维空间的含义和正确的表达出数学符号。