欧式空间的最佳逼近
最佳逼近
若p S是最佳逼近元，则f p S，即
( f - g , 1 ( x)) 0, ( f - g , 2 ( x)) 0,..., ( f - g , m ( x))
称为法方程或者正规方程。
( f ( x ) - p( x )) ( x ) [ y (c ( x ) ... c
函数的最佳逼近
主讲 孟纯军
插值法是用多项式近似的表示函数,并要 求在他们的某些点处的值相拟合. 最佳逼近（或者曲线拟和）也是用简单 函数逼近复杂函数（或未知函数），但 是，逼近的原则和插值的原则不一样。
离散情形
最小二乘拟合直线 最小二乘拟合多项式 非线性拟合
Hilbert空间中的投影定理
1的基为1, x, 则g 1是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
(f g ,1)= ( f ( xi ) g ( xi )) 1 ( f ( xi ) (a bxi )) 1 0
i 1 i 1
n
n
(f g ,x)= ( f ( xi ) g ( xi )) xi ( f ( xi ) (a bxi )) xi 0
2 i 1
n
即如下最佳逼近问题：
1.子空间为 m，即次数不超过n的多项式， 取它的基函数为 1， x,...x ;
m
2. 在 m中找一个元素p( x)，使它与给定函数 f ( x)最靠近,即 ( p( xi） f ( xi )) 2 min 。
i 1 n
p m是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
b=0.9068
最小二乘拟合直线为y= 0.0147 +0.9068x
索伯列夫空间 逼近定理
索伯列夫空间逼近定理
索伯列夫空间逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及
到函数序列在特定条件下的逼近性质。
索伯列夫空间是一个拓扑向
量空间，而逼近定理则描述了在这样的空间中，可以找到一个函数
序列，它可以逼近该空间中的任意函数。
这个定理在实际问题中有
着广泛的应用，比如在数值分析、逼近论和偏微分方程等领域。
从数学角度来看，索伯列夫空间逼近定理可以被分为几个方面
来讨论。
首先，我们可以从定义和条件入手，详细阐述索伯列夫空
间的定义以及逼近定理的前提条件。
其次，我们可以讨论逼近定理
的具体表述，即如何通过一个函数序列来逼近索伯列夫空间中的函数。
接着，可以探讨逼近定理的证明思路和关键步骤，以及可能涉
及到的一些重要引理或定理。
此外，还可以从实际应用的角度来看，例如在信号处理中的应用，或者在数值计算中的意义等方面进行讨论。
除了数学角度，我们还可以从历史和发展的角度来探讨索伯列
夫空间逼近定理。
可以介绍该定理的提出者、发展历程以及对数学
分析和其他领域的影响。
此外，还可以从教学和学习的角度来探讨，比如逼近定理在数学教学中的作用和意义，以及在学习过程中的一
些案例或习题。
总的来说，索伯列夫空间逼近定理是数学分析中的一个重要定理，从数学角度、历史发展角度以及教学学习角度都有着深远的意义和影响。
通过全面地从多个角度来讨论这个定理，可以更好地理解和应用它。
最佳逼近定理
最佳逼近定理
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，一个函数可以用另一个函数来最佳逼近。
这个定理在实际应用中有着广泛的应用，比如在信号处理、图像处理、数据分析等领域中都有着重要的作用。
最佳逼近定理的核心思想是，对于一个函数f(x)，如果我们想用另一个函数g(x)来逼近它，那么我们需要找到一个最佳的g(x)，使得它与f(x)的误差最小。
这个误差可以用欧几里得距离或者其他的距离度量来表示，而最佳逼近定理就是告诉我们，这个最小误差是一定存在的，并且可以通过一定的方法来求得。
最佳逼近定理的应用非常广泛，比如在信号处理中，我们经常需要对信号进行滤波处理，而滤波器的设计就可以通过最佳逼近定理来实现。
在图像处理中，我们也可以利用最佳逼近定理来进行图像压缩和去噪等处理。
在数据分析中，最佳逼近定理可以用来进行数据拟合和预测等任务。
最佳逼近定理的证明比较复杂，需要用到一些高等数学知识，比如泛函分析、函数空间等。
但是在实际应用中，我们并不需要深入理解其证明过程，只需要掌握其基本思想和应用方法即可。
最佳逼近定理是数学中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。
通过最佳逼近定理，我们可以找到一个最佳的函数来逼近
另一个函数，从而实现信号处理、图像处理、数据分析等任务。
欧几里得距离
欧几里德空间和距离欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的二维和三维空间的一般化。
所谓一般化就是把欧几里德对于距离、以及相关的概念如长度和角度等转换成任意数维的坐标系。
欧几里德距离(Euclidean Distance)The Euclidean distance between points andin Euclidean n-space, is definedas:.设x n和y n分别是n维度量空间中的点，则其欧几里德距离定义为：d(x,y)=(∑(x i-y i)2)1/2当n=2时，则为平面上两点的距离，当n=3时，则为三维空间中两点的距离。
2.2.1 区间标度变量区间标度变量是一个粗略线性标度的连续变量。
用来计算相异度d（i，j），其距离度量包括欧几里德距离，曼哈坦距离和明考斯基距离。
首先实现数据的标准化，给定一个变量f的度量值，可以进行一下转化：（1）计算平均的绝对偏差S f：S f = （|x1f-m f|+|x2f-m f|+……+|x nf-m f|）/n这里x1f，……，x nf是f的n个度量值，m f是f的平均值。
（2）计算标准化的度量值：Z if = （x if-m f）/s f我们知道对象之间的相异度是基于对象间的距离来计算的。
最常用的度量方法是欧几里德距离，形式如下：d(i,j) = (|xi1-xj1|2+|xi2-xj2|2+……+|xip-xjp|2)1/2这里i=（xi1,xi2,……,xip）和j=（xj1,xj2,……，xjp）是两个p维的数据对象。
曼哈坦距离的公式如下：d(i,j)=|xi1-xj1|+|xi2-xj2|+……|xip-xjp|上面的两个公式必须满足下面的条件：d(i,j)≧0:距离非负。
d(i,i)=0:对象与自身的距离为0。
d(i,j)=d(j,i):距离函数具有对称性。
d(i,j)≦d(i,h)+d(h,j):对象i到对象j的距离小于等于途经其他任何对象h的距离之和。
Bochner-Lebesgue空间内的最佳同时逼近
Bochner-Lebesgue空间内的最佳同时逼近魏海花;徐景实【摘要】在本文中,我们研究了Bochner-Lebesgue空间内的相对于欧氏空间的Minkowski范数的最佳同时逼近.首先,给出了由距离函数表示的最佳同时逼近的刻画.然后,利用可测选择定理证明其函数取值于一个闭的可分子空间的Bochner-Lebesgue空间,其同时可逼近性等价于此闭的可分子空间的同时可逼近性.最后,指出子空间的可分性是同时可逼近性等价的必要条件.%In this paper, we consider the best simultaneous approximations in Bochner-Lebesgue spaces with respective to Minkowski'norms in Euclidean spaces. Firstly, we give a characterization of best simultaneous approximations by the distance func-tions. Then,by applying this characterization and a measurable selection theorem we show the simultaneous proximinality of a Bochner-Lebesgue space whose func-tions take values in a closed separable subspace is equivalent to the simultaneous proximinality of the closed separable subspace. Finally, we conclude that for their equivalence,the separability of the subspace is necessary.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2017(034)005【总页数】8页(P563-570)【关键词】Bochner-Lebesgue空间;同时可近性;最佳同时逼近【作者】魏海花;徐景实【作者单位】海南师范大学数学与统计学院,海口571158;海南师范大学数学与统计学院,海口571158【正文语种】中文【中图分类】O174.41 IntroductionLet(A,A,µ)be a measure space and X be a Banach space.If a function f:A→X can be written asEiis a measurable set for i∈{1,2,···,k},then f is called a simple function,where and what follows χDdenotes the indicator function on D.If ther e exists a sequence of simple functions fnwhich converges to f almost everywhere on A,then f is called stronglyµ-measurable.If 1≤p<∞,then the Bochner-Lebesgue space Lp(A,X)is the collection of all stronglyµ-measurable function f:A→X endowed with the normWhen X isRorC,we simply denote Lp(A,X)by Lp(A).Let 1≤p<∞,denote the norm inRmbyLet Y be a subset of normed space X.For x1,x2,···,xm∈X,definey0∈Y is called a best-simultaneous approximation of x1,x2,···,xm∈X from Y ifIf for any m-tuple of vector x1,x2,···,xm∈X,there is a best p-simultaneous approximation of x1,x2,···,xm∈X from Y,then Y is said to bep-simultaneously proximinal in X.If thisp-simultaneous approximation is unique for m-tuple of vector x1,x2,···,xm∈X,then Y is said to be Chebyshev p-simultaneously proximinal in X.Recently,simultaneously proximinality in Banach space valued Bochner-Lebesgue spaces has been extensively studied;see[1–16].Indeed,when p=1 and Y is a closed subspace of a Banach space X,Eyad Abu-Sirhanin[1]considered the 1-simultaneous approximation of L1(A,Y)in L1(A,X).And in[4],considered the 1-simultaneous approximation of E(Y)in E(X)when E is a Köthe space on the measure space(A,A,µ).In this note,we will generalise those results in[1]for p=1 to the casesp∈[1,∞).Precisely,l et Y be a subspace of X,we will consider the p-simultaneous approximation of Lp(A,Y)in Lp(A,X)for 1≤p<∞by introducing a distance function and the equivalence of the simultaneously proximinality of Lp(A,Y)and the simultaneously proximinality of Y.Our results will be given in the next section.2 Main resultsFirstly,we give a characterization of distance functions.Theorem 1 Let Y be a subspace of Banach space X.Suppose 1≤p<∞.Forf1,f2,···,fm∈Lp(A,X),define the distance function ϕ:A→ Rbyϕ(s):=dp({fi(s):1≤i≤m},Y).Then ϕ∈Lp(A)andProof Let f1,f2,···,fm∈Lp(A,X),there exist sequences of simplefunctions{fi,n}which converge to fialmost everywhere respectively.SupposeBy the continuity of dp,almost everywhere.Hence ϕis measurable.Since 0 ∈Y,we obtain thatϕ∈L p.Now for each h∈Lp(A,Y),Thus,we haveThereforeFor the reverse inequality,let ϵ>0 be given and yi,i=1,2,···,m be simple functions in Lp(A,X)such thatAssume,Akare disjoint and 0<µ(Ak)<∞and xi,k∈X.Pick zk∈Y such thatwhere in the last third inequal ity we used Mikowski’s inequality.Since ϵ is arbitrary,we haveThis completes the proof.From Theorem 1,we easily have the following corollaries.Corollary 1 Let Y be a closed subspace of a Banach space X.Suppose1≤p<∞.Then an element g of Lp(A,Y)is ap-simultaneous approximation to elements f1,f2,···,fmin Lp(A,X)if and only if g(s)is a p-simultaneous approximation in Y to f1(s),f2(s),···,fm(s)for almost all s∈A.Corollary 2 Let Y be a Chebyshevp-simultaneously proximinal subspace of a Banach space X.Suppos e 1 ≤p<∞.If Lp(A,Y)isp-simultaneously proximinal in Lp(A,X),then it is a Chebyshev -simultaneously proximinal subspace of Lp(A,X).Next,we transfer the -simultaneously proximinality of Y in X to Lp(A,Y)in Lp(A,X).To do so,we need preliminaries.Let(A,A,µ)be a measure space and X be a Banach space.If f−1(O)is measurable for each open set O⊂X,then f:A→X is called to be measurable in the classical sense.To prove our result we need the following lemmas.Lemma 1[17]Let(A,A,µ)be a complete measure space and X be a Banach space.If f is a measurable function in the classical sense from A to X and has essentially separable range,then f is strongly measurable.Lemma 2[17](A,A,µ)be a complete measure space and X be a Banach space.If f is a strongly measurable function from A to X,then f is a measurable in the classical sense.Let Φ be a set-valued mapping,taking each point of a measurable space A into a subset of a metric space W. Φ is called to be weakly measurable if Φ−1(O)is measurable in A whenever O is open in W.H ence we set for any Q⊂W,The following lemma belongs to Kuratowski and Ryll-Nardzewskiin in[8],it is known as Measurable Selection Theorem.Lemma 3 Let Φ be weakly measurable set-valued map which carries each point of a measurable space A to a closed non-void subset of a complete separable metric space W.Then Φ has a measurable selection;i.e.,there is a function f:A→W such that f(s)∈ Φ(s)for each s∈A and f−1(O)is measurable in A whenever O is open in W.Theorem 2 Let(A,A,µ)be a σ-finite complete measure space and let 1≤p<∞.Let Y be a closed separable subspace of a Banach space X.Then the following are equivalent.(i) Lp(A,Y)is ∥·∥p-simultaneously proximinal in Lp(A,X).(ii) Y is∥·∥p-simultaneously proximinal in X.Proof (i)⇒(ii).Let A0⊂A such that 0<µ(A0)<∞.Otherwise there is nothing to prove.Let x1,x2,···,xm∈X.Define fi:A→X,i=1,2,···,m,byThen fi∈Lp(A,X),i=1,2,···,m.By the condition,there is f0 ∈Lp(A,Y)such thatSo,by Theorem 1,for almost all s and for any strongly measurable function h∈Lp(A,Y).Letbe a countable dense set of Y.Let hj= χA0yj,then hj∈Lp(A,Y).Thus,there exist Ej such thatµ(Ej)=0 andSinceis dense in Y,we obtain thatThis means that f0(s)is a best simultaneous approximation of x1,x2,···,xmin Y.(ii)⇒(i).In this part,we follow the idea of[1].Suppose f1,f2,···,fm∈Lp(A,X).For each s∈A,denoteThen for each s∈A,Φ(s)is closed,bounded,and nonempty subset of Y.Now we shall prove that Φ is weakly measurable.Let O be an open set in X,the setcan be also represented asSince(A,A,µ)is complete,by Lemma 2 fiis measurable in the classical sense for i=1,2,···,m.Then since the norm is continuous,the mapis measurable for each set Q⊂A.It follows that Φ−1(O)is measurable.Thus by Lemma 3,Φ has a measurable selection;i.e.,there is a function f:A→Y such th at f(s)∈Φ(s)for each s∈A and f is measurable in the classical sense.By Lemma 1,f is strongly measurable.Therefore f is a best simultaneous approximation for f1,f2,···,fmin Lp(A,Y)by Corollary 1.This completes the proof.We remark here that in[13]Mendoza gave a example showed that Y is proximinal in X,but Lp([0,1],Y)is not proximinal in Lp([0,1],X).This showsthat in Theorem 2 the condition Y be separable is necessary.We do not know whether Theorem 2 still holds for general norms onRm. References:[1]Abu-Sirhan E.Simultaneous approximation in functionspaces[C]//Approximation Theory XIII,New York:Springer,2010:321-329 [2]Abu-Sirhan E.Best simultaneous approximation in function and operator spaces[J].Turkish Journal of Mathematics,2012,36(1):101-112[3]Khandaqji M,Shatanawi W.Best p-simultaneous approximation in some metric space[J].Turkish Journal of Mathematics,2008,32(1):1-9[4]Khandaqji M,Awawdeh F,Jawdat J.Simultaneous proximinality of vector valued function spaces[J].Turkish Journal of Mathematics,2012,36(3):437-444[5]Khalil R.Best approximation in Lp(I,X)[J].Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,1983,94(2):277-279[6]Khalil R,Deeb W.Best approximation in Lp(I,X),II[J].Journal of Approximation Theory,1989,59(3):296-299[7]Khalil R,Saidi F.Best approximation in L1(I,X)[J].Proceedings of the American Mathematical Society,1995,123(1):183-190[8]Kuratowski K,Ryll-Nardzewski C.General theorem on selector[J].Bulletin de l’Acad´emie Polonaise des Sciences,S´erie des SciencesMath´ematiq ues,1965,13(1):397-403[9]Li C,Watson G A.On best simultaneous approximation[J].Journal of Approximation Theory,1997,91(3):332-348[10]Li C,Watson G A.Best simultaneous approximation of an infinite set offunctions[J].Computers and Mathematics with Applications,1999,37(2):1-9 [11]Li C,Watson G A.On nonlinear simultaneous Chebyshev approximation problems[J].Journal of Mathematical Analysis andApplications,2003,288(1):167-181[12]Luo X F,Li C,Xu H K,et al.Existence of best simultaneous approximations in Lp(S,Σ,X)[J].Journal of Approximation Theory,2011,163(9):1300-1316 [13]Mendoza J.Proximinality in Lp(µ,X)[J].Journal of Approximation Theory,1998,93(2):331-343[14]Mendoza J.Pakhrou T.Best simultaneous approximation[J].Journal of Approximation Theory,2007,145(2):212-220[15]Saidi F B,Hussein D,Khalil R.Best Simultaneous Approximation inLp(I,E)[J].Journal of Approximation Theory,2002,116(2):369-379[16]You Z Y,Guo T X.Pointwise best approximation in the space of strongly measurable functions with applications to best approximation inLp(µ,X)[J].Journal of Approximation Theory,1994,78(3):314-320[17]Light W A,Cheney E W.Approximation Theory in Tensor Product spaces[M].Berlin:Springer,1985。
hausdoff空间下的多项式曲面逼近算法
hausdoff空间下的多项式曲面逼近算法Hausdorff空间下的多项式曲面逼近算法是计算机图形学领域中的一项重要技术，可以有效地处理复杂的曲面数据，实现曲面的快速而精确地逼近。
下面，我们就来探讨一下这一算法的原理、特点和应用。
一、算法原理Hausdorff空间是定义在一个度量空间中的一种特殊的空间，在这个空间中，两个点之间的距离是它们的最小分离距离。
多项式曲面逼近算法就是通过对一个曲面数据集和一个多项式曲面进行比较，计算两者之间的Hausdorff距离，并根据距离的大小来逐步调整曲面的形状，以达到逼近曲面数据集的目的。
具体来说，该算法可以分为两个步骤：首先，根据给定的曲面数据集，生成一个初步的多项式曲面模型，并计算与之间的Hausdorff距离；接着，通过不断地修改多项式曲面参数，使得曲面的Hausdorff 距离逐步减小，最终达到与曲面数据集足够接近的程度。
二、算法特点1. 高效性：相较于其他曲面逼近算法，Hausdorff空间下的多项式曲面逼近算法具有更高的计算效率，可以在较短的时间内对大规模的曲面数据集进行快速处理。
2. 精确性：该算法采用Hausdorff距离作为衡量曲面接近程度的标准，能够在不同程度上满足曲面逼近的精确度要求。
3. 稳定性：为了避免过度修正多项式曲面导致过度逼近曲面数据集，该算法在进行多项式曲面参数优化的过程中，采用一定的参数调适策略，确保算法的稳定性和鲁棒性。
三、应用范围1. 工业设计：多项式曲面逼近算法在汽车、飞机等工业设计领域中，可以有效地处理复杂的曲面数据，提高产品的设计精度和效率。
2. 医学影像处理：该算法在医学影像处理中的应用也颇具前景，可以对人体器官等复杂的曲面数据进行处理和分析，提供医学诊断和治疗方案的支持。
3. 视频游戏：多项式曲面逼近算法同样可用于视频游戏中的场景和角色建模，提高游戏的真实感和互动性。
综上所述，Hausdorff空间下的多项式曲面逼近算法是一项十分有潜力的技术，其应用前景广阔，在相关学科和领域的发展中将扮演重要的角色。
第四章 3最佳平方逼近(1)
§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。
一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。
例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。
例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。
定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。
二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。
例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。
内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。
高代课程论文——最佳逼近
高等代数课程论文——最佳逼近：学号：班级：一．摘要欧几里德空间(Euclidean Space) 简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
积空间是对欧氏空间的一般化。
积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
当一个线性空间定义了积运算之后它就成为了欧几里德空间。
二.关键字欧式空间最佳逼近函数构造三、问题的阐述1、欧式空间的定义设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g称为积），则V称为（对于g的）积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数（1）<ξ,η>=<η,ξ>（2）<ξ+η,ζ>= <ξ,ζ>+<η, ζ>（3）<aξ,η>= a<ξ,η>（4）当ξ≠0 时<ξ,ξ>0这里ξ,ζ,η是V的任意向量a是任意实数,那么V叫作对这个积来说的一个欧几里的空间,简称欧式空间。
2、举例说明例1：在Rn里对于任意两个向量ξ=（x1，x2，…，Xn）η=（y1，y2，…，Yn）规定<ξ，η>=x1y1+x2y2+…+xnyn容易验证关于积的公理被满足，因而Rn对于这样定义的积来说作成一个欧式空间。
最佳逼近 2
构造C[0,1]上W=)x ,x,(1,9 到f(x)=e x 上的最佳逼近目录引言 ....................................................................................................................................... - 2 - 摘要 ....................................................................................................................................... - 2 - 1、1 欧式空间的定义 ......................................................................................................... - 2 - 1、2 举例说明 ..................................................................................................................... - 3 - 1、2、1 ................................................................................................................................. - 3 - 1、2、2 ................................................................................................................................. - 3 - 1、3 最佳逼近的含义 ......................................................................................................... - 4 - 1、3 构造的方法 ................................................................................................................. - 5 - 1、4 定理8.2.4 .................................................................................................................... - 6 - 1、5 构造具体的最佳逼近 ................................................................................................. - 6 - 1、5、1 ................................................................................................................................. - 7 - 1、5、2 ................................................................................................................................. - 7 - 1、5、3 ................................................................................................................................. - 8 - 1、5、4 ................................................................................................................................. - 9 - 1、5、5 ............................................................................................................................... - 11 - 1、6 论文总结 ................................................................................................................... - 18 - 致谢..........................................................................................................._21_参考文献 (21)引言欧几里德空间，简称为欧式空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化.这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关概念的长度和角度，转换成任意维数的坐标系.这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧式距离 用法
欧式距离用法
欧式距离是欧几里得空间中两点间的直线距离，它的计算方法是通过勾股定理或毕达哥拉斯定理来求解的。
在二维空间中，两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间的欧式距离可以通过以下公式计算：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
在三维空间中，两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)之间的欧式距离可以通过以下公式计算：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
欧式距离是一种常用的距离度量方式，在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学、统计学、计算机图形学、地理信息系统等领域中，经常需要计算两点之间的欧式距离。
此外，欧式距离也是许多机器学习算法中常用的距离度量方式，例如k-近邻算法、聚类算法等。
总之，欧式距离是一种简单而实用的距离度量方式，能够准确地反映点之间的直线距离，因此在许多领域中都有广泛的应用。
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义一、引言Hilbert空间是数学中重要的概念之一，它是一种完备的内积空间。
在实际应用中，Hilbert空间经常被用来描述物理现象、信号处理、图像处理等领域。
而最佳逼近定理则是Hilbert空间中的一个重要定理，它具有很强的几何意义。
本文将从几何角度出发，探讨Hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义。
二、Hilbert空间和最佳逼近定理1. Hilbert空间Hilbert空间是指一个完备的内积空间，也就是说，在这个空间中任意一个柯西序列都有一个极限点。
同时，在这个内积空间中定义了向量之间的内积运算，使得这个向量空间成为一个带有度量结构的向量空间。
2. 最佳逼近定理最佳逼近定理是指在Hilbert空间中，对于任意给定的向量f和子集S （S为该Hilbert子集下所有可能函数组成的集合），都存在唯一一个g∈S，使得||f-g||最小。
其中||·||表示范数（也就是长度）。
三、线性代数与几何1. 线性代数线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量、矩阵和线性变换等概念。
在线性代数中，向量可以被看作是带有长度和方向的量。
2. 几何几何是研究空间形态、大小、位置关系和运动的一门学科。
在几何中，我们通常使用点、线、面等基本元素来描述空间。
四、最佳逼近定理的几何意义1. 点到直线的最短距离问题我们考虑一个点P到一条直线L的距离问题。
这个距离可以被看作是一个函数f(x)，其中x表示点P在直线L上的投影点。
因此，我们可以将这个问题转化为在Hilbert空间中寻找一个函数g(x)使得||f(x)-g(x)||最小。
而这个函数g(x)就是点P到直线L的最短距离函数。
2. 曲面拟合问题曲面拟合问题是指给定一些散点数据，如何用一个曲面来拟合这些数据。
我们可以将这些散点数据看作是一个函数f(x,y)，其中x和y表示平面上的坐标。
因此，我们可以将这个问题转化为在Hilbert空间中寻找一个函数g(x,y)使得||f(x,y)-g(x,y)||最小。
欧式距离优化算法
欧式距离优化算法
欧式距离（Euclidean Distance）算法是相当流行的距离度量量度。
它在数学中--应用最广泛，用于衡量两点间的距离。
简单来说，欧氏距离就是两个点之间直线距离的平方根。
在机器学习算法中，欧式距离可以作为监督学习算法的算法参数，以更准确地得到有效的结果。
欧氏距离优化算法通常分为两个阶段：
首先，建立数据集，确定每个点的欧氏距离，以及找出每对点之间的最短距离。
其次，找出单个点的最小距离阈值，找到最优的距离，从而得出最合适的模型参数。
欧氏距离优化算法在机器学习中用处多样：
1.在数据分类和分组中，可以用欧氏距离来确定类别或组内每个数据点之间的相似程度，从而完成数据分类。
2.在数据密度估计中，也可以使用欧氏距离算法来检测出不同的样本的相似度，从而可以更好地理解数据集。
3.在模式识别和实验设计中，欧氏距离算法也可以用来评估一个模型在不同参数下的表现，从而可以得到更准确的结果。
欧式距离优化算法的一个优点是它对特征空间中任意点的距离都可以被计算出来，这样在很多应用场景中能较好地在这个空间中建立一个模型。
另外，欧式距离优化算法也支持多个维度的距离乘积，也就是说，不论特征的维度有多少，欧氏距离优化算法都可以带来良好的性能提升。
欧式距离、曼哈顿距离与切比雪夫距离
1. 欧几里得距离
计算公式（n维空间下）
二维：dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
三维：dis=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 )
2.曼哈顿距离：两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和
dis=abs(x1-x2)+(y1-y2)
3.切比雪夫距离：各坐标数值差的最大值
dis=max(abs(x1-x2),abs(y1-y2))
曼哈顿距离与欧氏距离的关系：
图中红线代表曼哈顿距离，绿色代表欧氏距离，也就是直线距离，而蓝色和黄色代表等价的曼哈顿距离。
曼哈顿距离——两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离，
即d（i，j）=|xi-xj|+|yi-yj|。
曼哈顿距离与切比雪夫距离的关系：
两者的定义看上去好像毛线关系都没有，但实际上，这两种距离可以相互转化！
我们考虑最简单的情况，在一个二维坐标系中，设原点为(0,0)(0,0)
如果用曼哈顿距离表示，则与原点距离为11的点会构成一个边长为11的正方形
如果用切比雪夫距离表示，则与原点距离为11的点会构成一个边长为22的正方形
仔细对比这两个图形，我们能发现第二个图像是由第一个图像放大两倍后旋转45°得到的然后根据向量矩阵计算变换可以得到
第一个图中的点(x,y)对应第二个图中的点( (x+y)/2,(x-y)/2)
这样我们就可以将其进行互相转换了。
欧氏空间中向量正射影“最佳逼近”性的应用
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玉 溪 师 专 学 报 ( 自 然 科 学版 )
1 9 8 8 年
第2 期
欧 氏空 间 中 向量 正 射 影 最 佳 逼 近 性 的 应 用
高富德
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m 元 线性 方 程 组 可解 的判 别 和 m 元 矛 盾 方 程 组 的 解
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最佳逼近与最优求积问题
最佳逼近与最优求积问题在数学中，求解是一项重要的研究课题。
这个问题的核心是在给定的条件下，找到一个最佳的逼近或求积方法，使得逼近或求积的误差最小。
首先，我们来看最佳逼近问题。
在实际应用中，我们常常需要用一个函数来逼近另一个函数。
这个问题的关键在于如何选择逼近函数，使得逼近的误差最小。
一种常见的方法是使用多项式逼近。
多项式逼近的基本思想是通过一个多项式函数来逼近给定函数，在一定的条件下，选择最佳的多项式函数使得逼近误差最小。
此外，还有其他方法，如三角函数逼近、有理函数逼近等。
这些方法都是通过数学模型和计算方法来寻找最佳逼近函数，从而达到最小误差的目标。
接下来，我们来看最优求积问题。
在实际应用中，我们常常需要计算某个函数的积分。
最优求积问题的关键在于如何选择求积方法，使得求积的误差最小。
一种常用的方法是使用数值积分。
数值积分的基本思想是将积分转化为一个数值求和问题，通过一定的计算方法，选择最佳的求积方法使得求积误差最小。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
这些方法都是通过数学模型和计算方法来寻找最佳的求积方法，从而达到最小误差的目标。
最佳逼近与最优求积问题在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，我们常常需要通过实验数据来逼近某个物理规律，这时最佳逼近问题就起到了关键的作用。
在工程设计中，我们常常需要计算一些复杂的积分，这时最优求积问题就显得尤为重要。
通过研究和解决最佳逼近与最优求积问题，我们可以得到更准确的逼近结果和积分值，从而提高科学研究和工程实践的精确度。
总之，最佳逼近与最优求积问题是数学中的一项重要课题。
通过研究和解决这些问题，我们可以找到最佳的逼近函数和求积方法，从而得到更准确的结果。
这对于科学研究和工程应用都具有重要意义，为我们提供了一种有效的数学工具。
欧式空间和欧式距离、曼哈顿距离
欧式空间和欧式距离、曼哈顿距离从起源来讲，欧式空间是满⾜欧⼏⾥得《⼏何原本》中⼏何五公理的空间。
维基百科欧⼏⾥得⼏何中给出的解释如下：1. 从⼀点向另⼀点可以引⼀条直线。
2. 任意线段能⽆限延伸成⼀条直线。
3. 给定任意线段，可以以其⼀个端点作为圆⼼，该线段作为半径作⼀个圆。
4. 所有直⾓都相等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同⼀边的内⾓之和⼩于两个直⾓，则这两条直线在这⼀边必定相交。
在数学中，欧⼏⾥得距离或是欧⼏⾥得空间中两点间“普通”（即直线）距离。
使⽤这个距离，欧⽒空间成为度量空间。
相关联的范数称为欧⼏⾥得范数。
欧⼏⾥得度量（euclidean metric）（也称欧⽒距离）是⼀个通常采⽤的距离定义，指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的⾃然长度（即该点到原点的距离）。
在⼆维和三维空间中的欧⽒距离就是两点之间的实际距离。
它将样本的不同属性（即各指标或各变量量纲）之间的差别等同看待，这⼀点有时不能满⾜实际要求。
例如，在教育研究中，经常遇到对⼈的分析和判别，个体的不同属性对于区分个体有着不同的重要性。
因此，欧⽒距离适⽤于向量各分量的度量标准统⼀的情况。
曼哈顿距离，我们可以定义曼哈顿距离的正式意义为L1-距离或城市区块距离，也就是在欧⼏⾥得空间的固定直⾓坐标系上两点所形成的线段对轴产⽣的投影的距离总和。
例如在平⾯上，坐标（x1, y1）的点P1与坐标（x2, y2）的点P2的曼哈顿距离为：，要注意的是，曼哈顿距离依赖座标系统的转度，⽽⾮系统在坐标轴上的平移或映射。
当坐标轴变动时，点间的距离就会不同。
通俗来讲，想象你在曼哈顿要从⼀个⼗字路⼝开车到另外⼀个⼗字路⼝，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除⾮你能穿越⼤楼。
⽽实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”，这也是曼哈顿距离名称的来源，同时，曼哈顿距离也称为城市街区距离(City Block distance)。
图中红线代表曼哈顿距离曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由⼗九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使⽤在⼏何度量空间的⼏何学⽤语，⽤以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。
2.5在逼近论中的应用
问题：H是希尔伯特空间，M是闭子空间，
如矢量 x 在 M 上的投
影；如果只知道 M 的一个基（不知是否
正交），这时应该如何求正交投影？
2.5.2希尔伯特空间中的逼近
定理2.5.9（线性无关集）
希尔伯特空间 H 中的元素y1， y2 ，…
yn构成线性无关集的充分必要条件是由其
形成的格拉姆行列式 Δ 不为零。
2.5 在逼近论中的应用
2.5.1 赋范空间中的逼近
定义2.5.1（最佳逼近） 设 M 是赋范空间 X 的一个固定的非空子空间，对于任意给
定的 x ∈ X，x 到 M 的距离为
ρ = d ( x , M ) = inf ‖x - y‖
y∈ M
若存在 y0 ∈ M，使得
‖x - y0 ‖= ρ
就称 y0 是 M 中对 x 的最佳逼近。
定理2.5.2（最佳逼近存在定理）
设 M 为赋范空间 X的有穷维子空间，
则对于每一个x∈X，必存在 M 中对 x 的
最佳逼近。
定理 2.5.8（希尔伯特空间的逼近）
设 H 是一希尔伯特空间，对于每个给
定的 x ∈ H 和每个闭子空间 M （含于
H ），x 在 M 中有唯一的最佳逼近。
2.5.2 希尔伯特空间中的逼近
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义
hilbert空间的最佳逼近定理的几何意义引言Hilbert空间是数学中一个重要的概念，它是一个完备的内积空间，常常用于描述物理现象和工程问题。
在Hilbert空间中，最佳逼近定理是一个重要的结果，它揭示了在Hilbert空间中，我们可以通过选择合适的元素来最佳逼近一个给定的目标元素。
本文将深入探讨最佳逼近定理的几何意义，以及其在几何学领域中的应用。
Hilbert空间概述在介绍最佳逼近定理之前，先来了解一下Hilbert空间的基本概念。
Hilbert空间是一个实或复的向量空间，配以一个内积，它是一个完备的度量空间。
在Hilbert空间中，我们可以定义向量的长度、角度和距离，这使得Hilbert空间成为了研究几何性质和进行几何分析的理想工具。
最佳逼近定理的表述最佳逼近定理是Hilbert空间理论中的一个重要结果，它描述了如何通过选择合适的元素来最佳逼近一个给定的元素。
具体而言，最佳逼近定理表明，在Hilbert空间中，对于任意一个给定的元素，总存在一个最佳逼近序列，使得在所有逼近中，这个序列收敛到目标元素，并且存在一个收敛的逼近序列能够达到最佳逼近。
最佳逼近定理可以用数学公式表示如下：定理：设H为Hilbert空间，f是H中的一个元素，E是H中的子空间。
则存在一个最佳逼近序列{en}，使得：1.对于任意n，en属于E；2.对于任意e属于E，||f-en|| <= ||f-e||，其中||.||表示H中的范数；3.对于序列{en}的每一个子序列{en_k}，都存在项ek使得||f-ek||是最小的。
最佳逼近定理的几何意义最佳逼近定理的几何意义十分重要，它从几何的角度解释了Hilbert空间中的最佳逼近现象。
在Hilbert空间中，我们可以将元素看作空间中的点，而子空间可以看作空间中的平面或曲面。
最佳逼近定理告诉我们，在给定一个点的情况下，我们可以选择一个平面或曲面，使得这个点到平面或曲面的距离最小。
关于距离矩阵的最佳欧氏逼近
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摘要
欧几里德空间，简称为欧式空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
内积空间是对欧氏空间的一般化。
内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质
当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。
一、问题的阐述
1、欧式空间的定义
设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g 称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数
2、举例说明
1. （经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x1y1+...+xnyn，则R^n为欧几里德空间。
（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。
）
2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。
3、最佳逼近的含义
在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。
设向量b是向量a在W上的正射影，向量c是垂直于W的向量，则a=b+c。
所以向量a到W 的最短距离为∣a-b∣，也就是∣c∣。
显然有∣a-b∣≥0，当且仅当向量a在W内，等号成立。
有定理8.2.5得：对于W中的任意向量d≠向量a，都有∣a-b∣＜∣a-d∣。
由此，我们就把向量a在子空间W上的正射影向量b叫作W到向量a的最佳逼近。
二、构造的方法
有三角形定理知，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这个定理不仅在几何空间中成立，在向量空间中也同样成立。
我们可以把三角形的三边看成三个向量，首尾相连就构成了一个矢量三角形。
都是三角形，所以有相同的性质，即满足上述条件（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。
但是不同的是，向量不仅有大小而且有方向，在任意的空间中如果三个向量共线，则构不成三角形；如果不共线又满足上述条件则可以构成一个三角形。
这样虽然做出了一个三角形，但是这个三角形具有不唯一和不确定性，所以我们就希望用一定的方法把这个三角形确定下来。
解析如下：
设W是欧式空间V的一个非空子集。
如果V的一个向量a与W 的每一个向量正交，那么就说a与W正交，并且记作<a,W>=0。
令Q={a∈V|<a,W>=0}.那么0∈Q，因而Q≠空集。
其次，设e,f∈R, a,b∈Q,那么对于任意c∈W,我们有<e a+f b,c>=e<a,c>+f<b,c>=0,因而e a+f b ∈Q。
这样，Q是V的一个子空间。
有令W是欧式空间V 的一个有限维子空间。
那么V=W+Q,因而V 的每一个向量a可以唯一地写成a=b+d,这里b∈W，<d,W>=0.我们把子空间Q叫作W的正交补。
分解式a=b+d右端第一个被加项b叫作向量a在子空间W上的正射。
这样，欧式空间V的每一个向量a都可以分解a在任意一个有限维空集W上的正射影和一个与W正交的向量的和，并且这种分解式唯一的。
例：
令W是由1,x,x ,x 生成的子空间在欧式空间C[-1,1]里。
所以{1,x,x ,x }是W 的一个基。
下面进行正交化：
令a =1,a =x,a = x ,a = x
取b = a =1.
取b = a -< a , b >/< b , b >* b =x,
b = a -< a , b >/< b , b >* b -< a , b >/< b , b >* b = a -1/3* b
= x -1/3
b = a -< a , b >/< b , b >* b -< a , b >/< b , b >* b -< a , b >/< b , b >*v= a -3/5 b = x -3/5x
∵∣b∣= , ∣b∣= /3
∣b∣=2/15 ∣b∣=2/35
∴W的规范正交基为
{ /2, /2x, 3/4 x - /4,4/5 x -3/4 }
W的每一元素都可以写成
F(x)=c +c x+c x +c x ①
的形式。
F[x]是一个3次多项式。
设p[x]∈C[-1,1].
我们求一个3次多项式F[x]，使得
dx的值最小。
用欧式空间的语言来说就是，求F[x]∈W，使得∣F[x]-P[x]∣= dx最小。
这就是我们要解决的问题。
因此，所求的F[x]应该是F[x]在W上的正射影。
由定理8.2.4，我们有
F[x]=<p, a > a +<p, a > a +<p, a >a +<p, a > a .
与等式①作比较，我们得到
c = <p, a >= p[x]dx=2 dx
从而c =2/3 xdx
c =8/75 x dx
c =28/1225 x dx
∴F[x]= 2 dx,+ 2/3 xdx*x+8/75 x dx* x +
28/1225 x dx* x .
三、论文总结
在这篇小论文中我们用了简单的数学方法把问题简洁的表达出，并构造出了简单的一维、二维和三维空间上的最佳逼近。
由于知识和思想的局限性，在这篇简单的论文中，我们并没有很充分的表达出欧式空间的n 维空间的含义和正确的表达出数学符号。
通过这次简单的课题研究，我们更深刻的了解到了欧式空间的含义和其广阔的空间思想，最重要的是真正的理解了最佳逼近的意义和思维：在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。
设向量b是向量a在W上的正射影，向量c是垂直于W的向量，则a=b+c。
所以向量a到W 的最短距离为∣a-b∣，也就是∣c∣。
显然有∣a-b∣≥0，当且仅当向量a在W内，等号成立。
又因为（定理8.2.5）对于W中的任意向量d≠向量a，都有∣a-b∣＜∣a-d∣。
由此，我们就把向量a在子空间W上的正射影向量b叫作W到向量a的最佳逼近。
四、参考文献
【1】张禾瑞郝鈵新《高等代数》高等教育出版社2009年第五版
【2】张贤科许甫华《高等代数学》清华大学出版社1998年第一版。