《初中数学辅助线》PPT课件

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初中数学几何辅助线秘籍-角平分线模型的构造(共22张PPT).ppt

角平分线模型的构造
如图所示，AB=AC，BD,CD分别平分∠ABC，∠ACB,问：（4）如图d所示，BD平分∠ABC，CD平分外角∠ACG，DE∥BC交 AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。（5）如图e所示，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线， DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与 BE、CF有什么关系？
【思路点拨】第（1）问主要考察“双垂线+角平分线可得等腰三角形”，第（2）问遇到角平分线通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，所以过点E作AC的垂线，构造全等三角形解题，也可以过点F作AB的垂线。
角平分线模型的构造
阅读下列学习材料：如图a所示，OP平分 ∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接BC（如图b所示），易证△AOC≌△BOC
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型：已知 P是∠MON平分线上一点（1）若PA⊥OM于点 A，如图所示，可以过 P点作PB⊥ON于点 B，则 PB=PA ，可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型：已知 P是∠MON平分线上一点（2）若点A是射线 OM上任意一点，如图所示，可以在 ON上截取 OB=OA ，连接 PB，构造△OPB≌△ OPA，可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”

初中数学几何辅助线秘籍-圆中的辅助线问题(共16张PPT)

径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE. （1）求证：直线DE是⊙O的切线.
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.
圆中的辅助线问题
总结
1.构造等腰三角形 2.构造直角三角形 3.圆心角与圆周角倒角 4.切线的性质与判定 5.构造公共弦
THANKS
主讲老师：某某某
圆中的辅助线问题
已知：如图所示，AB和CD是⊙O的两条弦，
且AB⊥CD，垂足为H，连接AC、BD。作OE⊥DB于点 E，求证OE= AC
圆中的辅助线问题
如图所示，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO。（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F， △BEF的面积为8，且cos∠BFA= ，求△ACF的面积。
初中数学几何专题之辅助线
主讲老师：某某某
圆中的辅助线问题
圆中的辅助线问题
考情分析
“圆”是历年北京及全国各省市中考必考的重点内容，圆的概念和性质的考查主要以填空和选择题的形式出现，与圆的切线有关的证明题和计算题则出在解答题中，纵观近几年北京和各省市的中考题，预计：圆周角、圆心角的有关运算，垂径定理的应用，弧长、扇形、圆锥面积的计算在今后也还是中考的常见题型，而圆的切线的证明和计算，以及圆与三角函数、四边形、函数、方程等结合的综合题、探究题、开放题、动态题，将是中考的重点题型。

初中数学巧画辅助线求解问题长春红旗于建华教师1(1)

• 圆上若有一切线，切点圆心半径连。
• 切线长度的计算，勾股定理最方便。
• 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 • 是直径，成半圆，想成直角径连弦。
• 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
• 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
• 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 • 要想作个外接圆，各边作出中垂线。
• 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。
不常用梯形辅助线
B C
A A
D
B
C
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°， AD=1，BC=4，求DC的长．
A 1 D
45 B 4 E
F
C
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°， AD=2，BC=8. 求梯形两腰AB、CD的长.
A
D
B
F
C
如图，AB∥CD，AE⊥DC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形ABCD的面积是
• 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 • 内外相切的两圆，经过切点公切线。 • 若是添上连心线，切点肯定在上面。 • 要作等角添个圆，证明题目少困难。
几何模型
• 翻折类——重叠部分为等腰三角形
• 直角三角形带斜边上的高
• 角度相等类似图形
常见辅助线归类
• 梯形辅助线
• 证明相切常画辅助线 1.连半径，证垂直 2.做垂直，证半径 • 相似中常做辅助线

《初中数学辅助线》PPT课件

性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“等腰三角形
性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化
借助“垂直平分线
性质”
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
O
B A
N C
A2
Ⅴ.“周长问题”的转化借助“垂直平分线
A
B
D
C
期中考试试题
如图，△ABC中，DC=AC， AE是DC的中线， AB是BC的中线，求证：1、AB=2AE

初中数学辅助线口诀及图解

初中数学辅助线口诀及图解初中数学辅助线口诀及图解 1

作辅助线的方法和技巧

题中有角平分线，可向两边作垂线。

垂直平分线，可以把线连接到两端。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延长中线同样长。

成比例，正相似，常为平行线。

如果所有的线都在圆的外面，则通过切割圆心来连接这些线。

如果两圆内外切，经过切点作切线。

两个圆相交于两点，这两点一般作为它们的公共弦。

它是直径，在一个半圆里，我想把线连接成直角。

作等角，添个圆，证明题目少困难。

辅助线是虚线。小心不要更改图纸。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

需要将线段对折一半，延伸和缩短都可以测试。三角形的两个中点相连形成中线。

三角形有一条中线，中线延伸。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

移动平行对角线组成三角形是很常见的。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径和弦长计算，弦中心到中间站的距离。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

勾股定理是计算切线长度最方便的方法。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆形，要连接成直角的弦。

圆弧的中点与圆心相连，竖径定理要记完整。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

切角、切边、切弦、找同弧、同对角线等。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型地构造(倍长中线法;构造中位线法)

学生姓名学生年级学校

上课时间辅导老师科目

教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线

开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格

新课导入知识点归纳

1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；

2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；

3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；

4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.

新课内容做辅助线思路一：倍长中线法

经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.

【课堂训练】

1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：

①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）

A.①②④

B.①③④

C.①②③

D.①②③④

第1题图第2题图

2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）

①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为

《初中数学辅助线》课件

定义辅助线和其作用
介绍辅助线的概念和它在数学问题中的作用。
常见的辅助线
介绍一些常见的辅助线，例如垂直辅助线、平行辅助线和对称辅助线。
为什么使用辅助线在初中数学中很重要
解释为什么在初中数学中使用辅助线是非常重要的。
常见的辅助线技巧
以下是一些常见的辅助线技巧，可以帮助你更好地解决数学问题。
1
垂直辅助线的应用
介绍如何使用垂直辅助线来解决数
平行辅助线的应用
2
学问题。
介绍如何使用平行辅助线来解决数
学问题。
3
对称辅助线的应用
介绍如何使用对称辅助线来解决数
勾股定理的辅助线应用
4
学问题。
介绍如何使用勾股定理的辅助线应用来解决数学问题。
实例演示辅助线的使用
现在，让我们通过一些具体的数学问题来演示如何使用辅助线来解决问题。
涉及具Biblioteka Baidu的数学问题
介绍一个具体的几何问题，涉及使用辅助线进行解决。
通过示例说明辅助线如何帮助解决问题
通过示例演示，说明辅助线在解决数学问题时的作用和优势。
练习与应用
现在是练习和应用你学到的辅助线技巧的时候了。
1 练习题目
2 鼓励听
提供一些练习题目，让你巩固所学的辅助线技巧。
鼓励学生积极参与练习并互相交流学习经验。

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法).pptx

G A
F
B
C
ED
5.如图所示，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 上的一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AE＝EF，求证：AC＝BF.
A
E
F
B
D
C
6.如图所示，在△ABC 中，分别以 AB、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE，F 为 BC 边上中点，FA 的延长线交 DE 于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE．
M N
ED A
B
F
C
2.已知，如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，且 AC＝BD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，EF 分别交 AC、BD 于点 M、N.求证：OM＝ON.
C D
O
EMN
F
A
P
B
4
奉爱树教育个性化辅导
3.BD、CE 分别是的△ABC 外角平分线，过 A 作 AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是 F、G，易
D
G E
A
B
F
C
2
奉爱树教育个性化辅导
7.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 ED⊥FD.以线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形，或者是钝角三角形？

关于垂直平分线的辅助线- 初中部九年级数学复习课件(共10张PPT)

BE=(a-b)/2
A
G
C
F
D
练习：已知，如图，在△ABC中，∠BAC = 90o， AB = AC，P为BC上一点，求证：PB2＋PC2= 2PA2
证明：
作AO⊥BC于点O
∵AB=AC,∠BAC=90°
∴AO=BO=CO
∴PB=BO+PO=OA+OP,
PC=OC-OP=OA-OP，
A
∴PB²+PA²
（四）条件中出现特殊角时角三角形中.
把特殊角放在直
例：已知，如图，在△ABC中，∠B = 45o，∠C = 30o，AB = 2
，求AC的长. A
解：过A作AD⊥BC于D
∴∠B＋∠BAD = 90o，
B
C
∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45o
∴AD = BD
∵AB2 = AD2＋BD2，AB =
=（OA+OP）²+（OA-OP）²
=2(OA²+OP²)=2AP²
B
O
P
C
又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC
C
∴∠C =∠EAC
∴AE = CE
又∵CD = DE＋CE
∴CD = BD＋AB
C E
A
（二）延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC

初中数学辅助线的九种添加方法

1添辅助线有二种情况

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；

当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

初中数学几何辅助线作用

几何学作为数学的一个分支，是研究空间中的图形、大小、相对

位置等问题的学科。在几何学中，辅助线是指在解决几何问题时，临

时引入的辅助线段。引入辅助线可以帮助我们更好地理解、分析和解

决几何问题，下面就来了解一下辅助线的作用。

作用一：简化问题

辅助线能够将复杂的几何问题变得简单，从而更容易找到解决问

题的方法。在一个几何问题中，引入适当的辅助线，可以将问题重新

描述，使得问题的关键点和关键线段更加明晰，问题变得更加易于处理。有时候，问题看起来十分困难，但是只需引入合理的辅助线，问

题可能就会变得简单。

例如，在解决一个三角形中某一内角平分线所对应的边的问题时，往往可以引入中线，将三角形分成两个小三角形；或者可以引入两条

平行线，将大三角形划分为多个小三角形，从而使问题变得简单。

作用二：提高定位能力

在解决几何问题时，准确的定位非常重要。辅助线能够帮助我们

更准确地定位问题中的各个点和线段。例如，在求解一个多边形的面

积时，将多边形划分成多个小三角形，就能够更准确地确定多边形各

个角的位置。辅助线的作用就是能够帮助我们在几何图形中更精确地

定位各个关键点，从而有利于解决问题。

作用三：推导逻辑

在几何题目中，辅助线不仅可以简化问题，同时也可以帮助我们

推导出一些积木证明。通过引入合适的辅助线，消掉不必要的元素，

我们可以更好地理解几何问题并且发现规律。这样，我们就可以用更

加清晰的逻辑证明几何性质。

例如，在证明某一个三角形的中心和内心、外心等位置的问题中，引入合适的辅助线，可以清晰地描述出图形的几何特征和变化过程，

2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——添加辅助线

∴BD= ² + ²
=4 4 − 2 2
在Rt△AOD中，同理可
求AO=2 4 + 2 2
在Rt△OCG中,同理可求
OG=2 2+2
1
∴△ = AC·OG
2
=4 + 4 2
故④不正确
综上所述：①②③正确，
共计3个故选C
试炼场：
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂
明结论成立，所以与点G在AC边上的位置无关，也就是说这样的
两个等边三角形的图形组合总能形成如上结论，因此证明过程就
以图1为准.
图9
【解答】：
证明：如图10，在CF上截取CP=BD，
连接PD，PE，PB，作FQ⊥DE于点Q.
∵△ABC与△DEF是等边三角形，
∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AB=BC，
DE=EF.
∵∠DEF＋∠CEF=∠ABC十∠BDE，
∴∠BDE=∠CEF.
∴△BDE≌△CEF
（证明全等要严格按照书本上的格式书写），
∴BD=CE，则AD=BE.
同理，可证AD=BE=CF，AF=BD=CE.
∵CP=BD=CE，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠PEC=60°=∠ABC，PE=PC，∴PE//BD，
PE=BD，∴四边形BEPD是平行四边形.又

初中数学专题讲解课件专题十三几何图形的相关证明及计算(特殊三角形的辅助线)PPT模板

专题十三几何图形的相关证明及计算
（特殊三角形的辅助线）
初中数学专题讲解课件
汇报人：XXX
4. 如图，在▱ABCD中，对角线DB⊥AB，DB＝DC，BE⊥BF分别交CD，AD于E，F 两点，过点F作FG⊥AB于点G. (1)如图①，若tan∠DBE＝13，DE＝4，求FG的长； (2)如图②，点M，N分别为AD，AB上的两点，连接MN交BF于点P，若BD平分 ∠MBE，BN＝2AG，求证：MN∥BE.
专题十三几何图形的相关证明及计算
（特殊三角形的辅助线）
初中Biblioteka Baidu学专题讲解课件
汇报人：XXX
目录
01 考情聚焦 02 考点突破 03 考向课堂 04 其它补充
01
考情聚焦
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为BC延长线上一点，且BD ＝BE，连接DE，Q为DE的中点． (1)如图①，点P为边BC上一点，连接DP、PQ，若BP＝2，求△DPQ的面积； (2)如图②，连接CQ，AQ，求证：AQ⊥CQ.
2. 如图，已知▱ABCD中，以AB为斜边在▱ABCD内作等腰直角△ABE，且AE＝ AD，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F，交DC于点G，且∠AEF＝15°. (1)若EF＝ 3，求AB的长； (2)求证：2GE＋EF＝AB.
3. 如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在AC上，点E在BA的延长线上，连接BD，CE，AD＝AE，BD＝CE. (1)若BD＝ 17，AD＝1，求BC的长度； (2)将图①中的BD延长，过点A作AF∥BC交BD延长线于点F，如图②，连接FC，若BC＝BF，求证：CD＝CF.

初中数学专题：三角形中的常用辅助线汇总

初中数学专题：三角形中的常用辅助线（一）

二、例题分析

例题难度均小，旨在让同学们快速掌握其中方法.

（三）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

【典型例题1】已知，如图，AC 平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求证：∠B+∠ADC=180°.

【思路分析】

（1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用.

（2）解题思路：因为AC 是∠BAD 的平分线，所以可过点C 作∠BAD 的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题.

【思考总结】

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（四）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

【典型例题2】如图，ΔABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，连 EF 交BC 于 D，若 EB=CF. 求证：DE=DF.

【思路分析】

（1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线.

（2）解题思路：因为 DE、DF 所在的两个三角形ΔDEB 与ΔDFC 不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过 E 作 EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决.

（五）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段

与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

初中数学几何专题- 辅助线专题(1)-中线倍长问题

B N E
A
C
MD
【拓】等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 有公共的直角顶点 A，分别连接 CD、BE. （1）如图，若 N 为 BE 的中点，求证：2AN＝CD；
A
D
M
C
E
N
B
（2）如图，若 N 为 BE 的中点，点 M 为 AN 和 CD 的交点，求证：AM⊥CD； A
D
M
C
E
N
B
（3）如图，若 AM⊥CD 于点 M，点 N 为 MA 与 BE 的交点，求证：N 为 BE 的中点．
C
C
A
E
A
B
D
A
D
B B
C EO
E 图1
F 图2
D 图3
【典例讲练】【例 1】如图，在△ABC 中，CD 是中线．求证： CD 1 (AC BC) ．
2
C
A
B
D
【练】在△ABC 中，CD 为 AB 边上的中线，若 AC＝3，BC＝7，则 CD 长的取值范围为______________.
【拓】如图，点 D、E 三等分△ABC 的 BC 边，求证：AB＋AC＞AD＋AE. A
E
D
B
F
C
8、（思考题）如图，ABCDE 为五边形，连接 AC，AD，BE，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝BC，AE＝DE， BE＝10，求五边形 ABCDE 的面积．

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