《初中数学辅助线》PPT课件
初中几何辅助线大全(终审稿)
初中几何辅助线大全公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]初中几何辅助线等腰三角形1. 作底边上的高,构成两个全等的直角三角形,这是用得最多的一种方法;2. 作一腰上的高;3 .过底边的一个端点作底边的垂线,与另一腰的延长线相交,构成直角三角形。
梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底,延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。
无论什么题目,第一位应该考虑到题目要求,比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段,再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股,A字形等。
三角形图中有角平分线,可向两边作垂线(垂线段相等)。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中,常作平行线。
作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。
③对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
【专题】全等三角形辅助线做法汇总PPT课件(沪科版)
∵ቐ∠ = ∠
=
∴△BDE≌△CDH(SAS)
∴BE=CH
在△CFH中,根据三角形三边数量关系
CF+CH>FH
即CF+BE>EF
猜想:AF+CE=EF
【解析】(3)延长FA至AH,使AH=CE
易证△HAD≌△CDE(SAS),HD=DE
再证△HDF≌△EDF(SAS)
图2
图3
【解析】(1)(2)问中,利用角度的和差关系,等角的余角相等,间接求证Rt△ADB≌Rt△AEC(AAS)
课堂练习
例8 如图所示,△ABC是边长为1的正三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°
的∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,求△AMN的周长。
不需要说明理由,请直接写出你的猜想。
(2)如图③,当∠ABC≠90°时,AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想进行说明。
【解析】
(1)猜想:AB=AC+CD 证明:方法如题①,在AB上截取AE=AC。
(2)猜想:AC+AB=CD 在AF上截取AH=AC易证△ACD≌△AHD(SAS)∴CD=HD再根据∠ACB=2∠B
(还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN)
结论:DM=DN,AM=AN,∠ADM=∠AND
典型例题
例4.已知:如图,在四边形ABC中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证:∠A+∠使BE=AB,连接DE
全等三角形(常见辅助线)用ppt课件
如图所示,已知AD∥BC,∠1=∠2, ∠3=∠4,直线DC经过点E交AD于点D, 交BC于点C。求证:AD+BC=AB
D
E 短C 截
1
2
A
4长
补 3
F
B
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
.
截长补短法
例1 如图,已知:在正方形ABCD中,∠BAC的平 分线交BC于E. 求证:AB+BE=AC.
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
----“周长问题”的转化
.
连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
.
连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
在证明过程中描述添法
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
.
角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
思考:
B
C
D
(1)若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
(2)能否用截长补短法,在AB上截取AE=AC?
.
角平分线上点向两边作垂线段
最新届中考数学几何辅助线专题复习幻灯片
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中,BP、CP是△ABC的角平分线,MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm,求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
3.单位冲激信号:∫
例:
(1)阶跃信号构成矩形脉冲信号: g(t)=u(t)-u(t-t0)
(2)阶跃信号构成符号函数:
Sgn(t)=2u(t)-1
常用信号的傅里叶变换: 矩形函数(图2-1)的傅里叶变换见式(2-9),其频谱
函数见图(2-2)。 冲激函数的傅里叶变换。 余弦函数的傅里叶变换。
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线求 , 证 A: D 1(AB AC ) 2
延长AD到点E,使DE=AE,
全等三角形(常见辅助线)课件
2. 由于DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠BED=∠CFD=90°。
3. 因为AD=AD(公共边),所以根据AAS全等条件,可 证△BED≌△CFD,从而得出BE=CF。
例题三:高线在全等三角形证明中的应用
题目描述
已知三角形ABC中,AD⊥BC于点D,∠BAC的平分线交AD于点E,EF⊥BC于 点F,求证:EF=ED。
掌握多种解题方法
加强实践应用
在学习全等三角形的过程中, 学生应尝试掌握多种解题方 法,培养灵活运用知识的能 力。
学生应多做一些与全等三角 形相关的练习题,通过实践 应用巩固所学知识,提高解 题能力。
拓展学习领域
在掌握全等三角形相关知识 的基础上,学生可以进一步 拓展学习领域,探索更广泛 的数学世界。
截长补短法
通过在长边上截取一段等于短 边,或将短边延长至等于长边
,从而构造出全等三角形。
利用已知条件构造辅助线
01
02
03
已知两边及夹角
可以通
可以通过作角平分线或截 长补短法来构造全等三角 形。
已知三边
可以通过作高、中线或截 长补短法来构造全等三角 形。
输标02入题
01
辅助线应用
03
若两角不直接相邻,可以通过作平行线来构造同位角 或内错角,再利用ASA判定。
04
当已知两角及夹边时,可以通过作角平分线或高来构 造全等三角形。
SSS判定与辅助线
SSS判定定理:三边对应相等的两个 三角形全等。
当已知三边时,可以通过作中线或高 来构造全等三角形。
辅助线应用
例题一:中线在全等三角形证明中的应用
解题步骤 1. 连接BD和CD,由于D是BC的中点,所以BD=CD。
全等三角形常见辅助线用 ppt课件
2020/12/27
14
如图:PD、PE分别垂直平分线段 AB、BC, 则PA____PC
P C
E
A
D
B
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15
联系生活
问题1:在某一乡村公路L的同侧,有两个村庄A、B,为
了便于两个村庄的人看病,乡政府计划在公路边上修建 一所医院,使得它到两村庄的距离相等,试问医院的院 址P应选在何处?
在证明过程中描述添法
2020/12/27
9
角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
2020/12/27
E D
C
10
角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
B
A
C
1.连结AC
D2.连结BDFra bibliotek构造全等三角形
构造两个等腰三角形
2020/12/27
5
连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
2020/12/27
6
连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
若有等角等线段,构筑全等把线添
图中有角平分线,可向两边作垂线。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
线段计算和与差,巧用截长补短法。
全等三角形常见辅助线用 ppt课件
F
过点E作EF⊥BC
构造了: 全等的直角三角形且距离相等 C
思考: 1.有没有其他辅助线的做法
2.你从本题中还能得到哪些结论?
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A E D
12
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
求证:EAF45
A
D
F
BE
C
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24
•如图,ΔABC中,E是BC边上的中点,
DE⊥BC于E,交 BAC 的平分线AD
于D,过D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于 N. 求证:BM=CN.
A
M
B
E
D
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C N
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Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
B
A
C
1.连结AC
D
2.连结BD
构造全等三角形
构造两个等腰三角形
2020/12/27
5
连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
2020/12/27
6
连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
添加辅助线方法ppt课件
过点D作DE⊥AB于点E
E
B
C
D
角平分线上的点向角两边做垂线段
角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
4.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的,因此,篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的,因 此,篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
截长 补短
已知在△ABC中,∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC,连接DE F 在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF
线段与角求相等,先找全等试试看。 图中有角平分线,可向两边作垂线。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段计算和与差,巧用截长补短法。 三角形里有中线,延长中线=中线。 想作图形辅助线,切莫忘记要双添。
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Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6,A AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, A AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
AM+ MP+AN+NP+6 AM+AN+MN+6 13+6
M
P
N
B
C
感谢下 载
感谢下 载
A
B
D
C
期中考试试题
如图,△ABC中,DC=AC, AE是DC的中线, AB是BC的中线, 求证:1、AB=2AE
2、AD平分∠BAE.
A
B
D
E
C
认真、细心、反思
• 如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF 的大小.
A
E
F
B
D
C
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形
A
连结CE.
B
C
D
E
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
延长BE和CD交于点F
构造了:
全等的直角三角形
C
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
A E DF
Ⅴ.“周长问题”的转化
借助“角平分线性
质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,
的中点,求证:∠AMB= ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD,AD=BC,
OB=5cm,求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
C P G EB
证明线段不等关系
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化
关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求△ABC的周长.
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
O
B A
N C
A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线
无为三中八年级 数学专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
线
段
(2010年安徽)如图,AD是△ABC的
的
边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出
和
△ABC是等腰三角形的是_________________。
差 问 题
(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD=∠ACD ②∠BAD=∠CAD,
• 如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
A
12 P
B
C D
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点.
A
连结AC、AD
构造全等三角形
B
E
CMD
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
③AB+BD=AC+CD
④AB-BD=AC-CD
方法有几种哟!
• 如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E, • 求证;AB=AC+BD
A
D
E
B
C
与中线有关的问题
• (数学竞赛“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的 取值范围是_________.
DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B
E
BE+AC
BE+AE
AB
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线
性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多
少?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
适用情况:图中已经存在一条线段MN 和
垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过
程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线,求证:AD 1 ( AB AC) 2
延长AD到点E,使DE=AE,
性质”
4.如图, △ABC中,MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm,求△ABC的周长.
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形
性质”
5.如图, △ABC中,BP、CP是△ABC的角平分线,MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm,求△ABC的周长.