习题与答案

一、填空题

1、的实部是，虚部是，辐角主值是

2、)43(Ln i +-的值为

3、函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？，

何处解析？

4、级数∑∞+=1n n n

i 是否收敛？；是否绝对收敛？ 5、函数1e

)(-=z z

z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径

为 6、为函数的_____级极点；在该点处的留数为____ 7、在映射

下，处的旋转角为，伸缩率为_____ 8、幂级数0n n nz

∞=∑的收敛半径为__________.

9. 若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________

10. z

z sin 的孤立奇点为________ 二计算题

1．z z z z z d )

1(sin 2||22⎰=- 2．x x x d cos 0⎰∞++5

2 3、12

sin (1)z z z dz z e =-⎰ 4、212z z e dz z -=-⎰ 和221211z z z dz z -=-+-⎰

5、计算积分：⎰-=i

i z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆

6、设2371()C f z d z

λλλλ++=-⎰，其中{:||3}C z z ==，试求'(1).f i + 三、证明22(,)v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数v i u z f +=)(且满足条件()f i i =-． 四、将)

(1)(i z z z f -=在i z z ==100与处展成Laurent 级数。 五、试求Z 平面的下半平面在分式线性映射i z i z w +-=

下的象区域 六、求分式线性映射w=f(z),使上半平面映射为单位圆内部并满足条件：f(i)=0,f(-1)=1

1、的实部是，虚部是，辐角主值是

2、)43(Ln i +-的值为π)2k π3)/arctan(4-(ln5+++i

3、函数)3(3)(2323y x y i y x x z f -+-=在何处可导？（0,0）点，何处解析？处处不解析

4、级数∑∞+=1n n n

i 是否收敛？；是否绝对收敛？ 5、函数1e

)(-=z z

z f 在0=z 点展开成泰勒(Taylor )级数的收敛半径

为1 6、为函数

的___6__级极点；在该点处的留数为___0__ 7、在映射下，处的旋转角为2

π，伸缩率为__1___ 8、幂级数0n n nz

∞=∑的收敛半径为__1________.

9. 若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_解析函数_________

10. z

z sin 的孤立奇点为__0______ 二、计算题

1、1sin 22i π

2、525

-e π

3、i π2

4、22i e π、i π4

5、单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-

≤≤. 所以22

222i i i i z dz de e i ππ

θθππ---===⎰⎰.

是 否

6、解令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,

()()2()c f z dz i z z

ϕλπϕλ==-⎰. 所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+.

三、验证22(,)v x y x y x =-+是一调和函数，并构造解析函数v i u z f +=)(且满足条件()f i i =-．

解：(1) 222v x ∂=∂，222v y ∂=-∂，22220v v x y

∂∂+=∂∂，故(,)v x y 为调和函数。 (2)由2v u y y x

∂∂=-=∂∂，⇒(2)2()u y d x xy y φ=-=-+⎰， 由(21)2()v u x x y x y φ∂∂'-

=-+==-+∂∂， ⇒()1y φ'=-，⇒()y y c φ=-+，

⇒22()2()f z xy y c i x y x =--++-+，

(3) 由()f i i =-得1C =，

即22()21()f z xy y i x y x =--++-+．

21iz iz =++

四、将)

(1)(i z z z f -=在i z z ==100与处展成Laurent 级数。 解：)(z f 在复平面有孤立奇异点00=z 与i z =1，

(1)在0=z 点展开

① 1||0<

11/11()()()()11n n n n n n i i z z f z i i z z z z z z i i i i

∞∞∞

--===-=⋅=⋅=⋅⋅==---∑∑∑ ② +∞<<||1z 时 ∑∑∞

=∞=+==-⋅=-⋅=00222)(1111111)(n n n n n z i z i z z i z z i z z z f

(2)在i z -=点展开

①1||0<-

i z i i z i z i i z z f ---⋅-=-+-⋅-=-+⋅-= 1010)()(-∞=-∞=⋅-=⋅-⋅--=∑∑n n n n n n i i z i i z i z i

②+∞<-<||1i z 时 ∑∞=--⋅-=-+⋅-=0)(1111)(n n i

z i i z i z i

i z z f

五、试求Z 平面的下半平面在分式线性映射i z i

z w

+-=下的象区域. 解：在实轴上依次取，

（3分）

由分式线性映射的保圆性知：

决定了

故 实轴在 下的象区线为单位圆周，（3分）

再由边界对应原理知：

在下的象区域为。（3分）

即像区域为单位圆的外部(如图)。