几何画板实验报告(函数y=Asin(ωx+φ)图象)
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
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参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
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参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
函数y=Asin(ωx ψ)的图象与性 (1)
函数 y = A sin(ωx +ϕ) 的图象与性质（习题） ➢ 例题示范例 1：把函数 y = tan x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 后， 3 再将其图象向左平移 π 个单位长度，所得函数的解析式为（ ） 4 A. y = tan(1 x + π) B. y = tan(1 x + π )3 4 C. y = tan(3x + π ) 3 12 D. y = tan(3x + 3π )例 2：为得到函数 y = sin(2x + π) 的图象，只需将函数 y = sin x 的 3图象（ ） A. 向左平移π 3 到原来的 1 2 B. 向左平移π 3个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短 ，纵坐标不变个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长 到原来的 2 倍，纵坐标不变 C 1 π ．把各点的横坐标缩短到原来的 2 纵坐标不变，再向左平移 个单位长度， 3D ．把各点的横坐标伸长到原来的 2 度，纵坐标不变 倍，再向左平移π 3个单位长1， 思路分析：由 y = sin x → y = sin(2x + π) ，发现 A 不变，ω，ϕ发生变化，函3数图象既发生了伸缩变换，又发生了平移变例 3：已知函数 f (x ) = 2sin(ωx +ϕ)（ω> 0 ， π π）的部分- <ϕ< 2 2图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ． 2 ，- π 6思路分析：B ． 2 ，- π 3C ． 4 ，- π 6D ． 4 π3 观察图象，根据图象的周期可确定ω的值，再代入特殊点坐标， 结合ϕ的范围限制，可确定ϕ的值．由图象可得， 3 T = 5π - (- π) = 3π ，4 12 3 4∴ T = 2π= π，ω ∴ω= 2 ，f (x ) = 2sin(2x +ϕ) ，∵点(- π ，0) 在函数 y = 2sin(2x +ϕ) 的图象上，3代入可得sin(- 2π +ϕ)=0 ，3∴ - 2π +ϕ= k π，k ∈ Z ，即ϕ= 2π + k π，k ∈ Z ，33π π ∵ - <ϕ< ，2 2∴ϕ= - π ，3综上，ω= 2 ，ϕ= - π ，故选 B ．326 3 y = sin(2x + π) = sin 2(x + π) ，故选 A ．26 个单位长度 1 到原来的 ππ向左平移 6 横坐标缩短 y = sin x −−−−−→ y = sin 2x −−−−−→ y = sin 2(x + )3 1 到原来的 23 个单位长度 π横坐标缩短 π 3 y = sin x −−−−−→ y = sin(x + ) −−−−−→ y = sin(2x + )π向左平移， ， ， ➢ 巩固练习1. 将函数 y =sin x 的图象向左平移ϕ（ 0 ≤ϕ< 2π）个单位长度后，得到函数 y = sin(x - π) 的图象，则ϕ的值为（ ）6A ． πB ． 5πC ． 7πD ． 11π 6 6 6 62.为得到函数 y = sin(2x - π) 的图象，可以将函数 y = cos 2x 的图 6 象（ ） A. 向右平移π 6 C π 个单位长度 B. 向右平移 π 个单位长度 3 π．向左平移 6 个单位长度 D ．向左平移 3 个单位长度3. 将函数 y = 3sin(2x + π) 的图象向右平移π 个单位长度后，所得3 2图象对应的函数（ ）A. 在区间[ π 7π] 上单调递减12 12 [ π 7π B. 在区间 ， 12 12] 上单调递增 C. 在区间[- π π] 上单调递减 6 3D.在区间[- π π] 上单调递增 6 34. 将函数 f (x ) = sin(2x +θ) （ - π < θ< π ）的图象向右平移2 2ϕ（ϕ> 1 ）个单位长度后，得到函数 g (x ) 的图象，若 f (x ) ，g (x )的图象都经过点 P (0 ， 3 ) ，则ϕ的值可以是（ ） 2 A ． 5π B ． 5π C ． π D ． π 3 6 2 35. 将函数 y = sin 2x 的图象向右平移π 个单位长度，再把各点横3坐标伸长到原来的 4 倍，所得函数的解析式为（ ）A. y = sin( 1 x - 2π)B. y = sin(8x - π) 2 3 6C. y = sin( 1 x - π)D. y = sin(8x - π) 2 6 36. 函数 f (x ) = sin(2x - π) 的图象的一条对称轴是直线（ ）4A. x = π 8B. x = - π 4C. x = π 4D. x = - π87. 若函数 y = 3cos(2x +ϕ) 的图象关于点( 4π ，0) 中心对称，则ϕ3的最小值为（ ）A ． πB ． πC ． πD ． π6 4 3 28.若函数 y = sin(ωx + π)（ω> 0 ）的图象上相邻两个对称中心间 3 的距离为 A ． 1 2π ，则ω的值为（ ） 2A.1 C ．2 D ．49. 若函数 y = sin(x +ϕ)（0 ≤ϕ≤π ）是 R 上的偶函数，则ϕ的值为（） A ．0 B ．π C ． π D ． π 4222⎨⎪⎧kx +1 （- 2 ≤x < 0 ）10.已知函数y =⎪8π2 sin(ωx +ϕ)（0 ≤x ≤⎩ 3的图象如图所示，则）（）A．k =1，ω=1，ϕ=π2 2 6C．k =-1，ω=2 ，ϕ=π2 6B．k =1，ω=1，ϕ=π2 2 3D．k =-2 ，ω=2 ，ϕ=π31.函数f (x) =A sinωx（A > 0 ，ω> 0 ）在一个周期内的图象如图所示，则f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =（）A.B．22C．2 +D．212. 已知函数y =A s in(ωx +ϕ)（A > 0 ，ω> 0 ，ππ），在同-<ϕ<2 2一周期内，当x =π9时函数取最大值12，当x =4π时函数取最9小值-1，则该函数的解析式为（）2A．y = 2 s in(x-π)3 6C．y = 2 s in(3x -π)6B．y =1sin(3x +π)2 6D．y =1sin(3x -π)2 6213.已知函数f (x) = sin(ωx +π)（x ∈R ，ω> 0 ）的最小正周期为4π，将f (x) 的图象向左平移ϕ个单位长度，若所得图象关于y 轴对称，则ϕ的值可能是（）A．πB．3πC．πD．π2 8 4 814. 已知函数f (x) =A sin(ωx +ϕ)（A > 0 ，ω>0 ，ϕ<π）的最小2值为-2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差为3π，且图象经过点(0，1)．（1）求f (x) 的解析式；（2）求f (x) 的单调区间．【参考答案】➢巩固练习1. D2. B3. B4. B5. A6. D7. A8. C9. C10.A11.A12.B13.D14. （1）f (x) =2 s in(1x +π)3 6（2）单调递增区间为[-2π+ 6kπ，π+ 6kπ]（k ∈Z ）单调递减区间为[π+ 6kπ，4π+ 6kπ]（k ∈Z ）。
第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
如下表所示． x
ωx＋φ
y＝Asin(ωx＋φ)
_－__ω_φ___
0
0
φπ －ω＋2ω
π ____2_____
A
5
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
π－φ _____ω_____
32π ω－ωφ
2π－φ _____ω______
π
3π ____2_______
2π
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象．( × )
(3)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值为－A．( × )
(4)振幅 A 的大小是由一个周期内图象中最高点与最低点确定的．( √ )
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
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2.[教材改编]函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
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01 02
知识特训 能力特训
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பைடு நூலகம்
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
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01
知识特训
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
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[梳知识·逐点清]
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，
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2．(2022·浙江卷)为了得到函数 y＝2sin 3x 的图象，只要把函数 y＝2sin(3x
＋π)的图象上所有的点( ) 5
A．向左平移π个单位长度 B．向右平移π个单位长度
正弦型函数y=Asin(ωx φ)的图象及应用
第4讲 正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8答案 A2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3解析 由题图象知T ＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A ＝2，可得sin ⎝⎛⎭⎫π3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6答案 C 3．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x .答案 A 4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y 1＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2，又y 与y 1的图象重合，则－4π3ω＝2k π(k ∈Z)．∴ω＝－32k .又ω＞0，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，ω取最小值为32，故选C.5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解 (1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3. 【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，令k ＝0，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案 62【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)设2x ＋π6＝B ，则函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)． 考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域． 解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故函数f (x )的值域为[－1,2]．利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A 的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．解 (1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得：－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． 规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题【问题研究】 (1)在求解中，一定要注意其定义域．(2)主要题型：①求已知三角函数的值域(或最值)；②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数；③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题． 【解决方案】 ①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将原式化为y ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)＋c 的形式后，再求值域(或最值)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ，将原式化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 的形式，进而在t ∈[－1,1]上求值域(或最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，将原式化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c 的形式，进而在闭区间t ∈[－2，2]上求最值．【例】 (2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．[解答示范] (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.(8分)于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－13．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是 A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由三角函数图象可得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫56－13＝2＝2πω，则ω＝π，将点⎝⎛⎭⎫13，2代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．12解析：将f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π2ω所得图象与原图象重合，有ωx ＋φ＋π2ω＝ωx ＋φ＋2k π，得ω＝4k (k ∈Z)．5．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2 D ．3解析：在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2.则ωx 的取值 ⎣⎡⎦⎤－ωπ3，ωπ4，∴－ωπ3≤－π2或ωπ4≥3π2，∴ω的最小值等于32. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.解析：从图象可知A ＝2，32T ＝π，从而可知T ＝2πω＝2π3，ω＝3，得f (x )＝2sin(3x ＋φ)，又由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0可取φ＝－3π4，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －3π4，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4－3π4＝0. 7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ) ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 解析：设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)，x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin(12x －π4)的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)．对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 解：(1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 因为f (x )为偶函数，所以对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6， 即－sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＋cos ωx sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6，整理得sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0. 因为ω＞0且x ∈R ，所以cos ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝0又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2，故f (x )＝2cos 2x .因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象．所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k∈Z)时，g (x )单调递减因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x 得f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，故f ⎝⎛⎭⎫π6等于2或－2. 二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m 的图象关于y 轴对移，所以π3＋m ＝k π，k ∈Z.即m ＝k π－π3，k ∈Z ，当k ＝1时，m 取最小值为2π3. 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：数形结合法：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x x ∈[0，π]，－sin x x ∈(π，2π].由图象知：1<k <3.5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．解(1)依题意得：A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π∴ω＝2ππ＝2，故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(2)函数的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(3)由5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤0得2k π－π≤2x －π6≤2k π∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z.∴使y ≤0的x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z.6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解：(1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos(2x ＋π6)．故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12.由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32.∵0＜x ＜π，∴－π12＜2x －π12＜2π－π12 ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π，∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6.一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x解析：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos2x ＝2cos 2x .答案：B2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称知，f (43π)＝0，即3cos(8π3＋φ)＝0，∴8π3＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，∴φ＝kπ＋π2－8π3(k ∈Z)．|φ|的最小值为|φ|＝⎪⎪⎪⎪2π＋π2－8π3＝π6. 3．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：因为T ＝π，则ω＝2πT ＝2，f (x )＝sin(2x ＋π4)，g (x )＝cos2x .将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度时，y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π8)＋π4＝sin(2x ＋π2)＝cos2x .4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3·sin x cos x )·cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴π6≤x ＋π6＜2π3，∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值2.5．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.12解析：由题意可知，此函数的周期T ＝2(1112π－712π)＝2π3，故2πω＝2π3，∴ω＝3，f (x )＝A cos(3x ＋φ)．f (π2)＝A cos(3π2＋φ)＝A sin φ＝－23.又由题图可知f (7π12)＝A cos(3×7π12＋φ)＝A cos(φ－14π)＝22(A cos φ＋A sin φ)＝0，∴f (0)＝A cos φ＝23.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．解析：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是____(4)(2)或(2)(6)____(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin(x ＋π3)――→(2) y ＝sin(x 2＋π3)，或y ＝sin x ――→(2) y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12(x ＋2π3)＝sin(x 2＋π3)． 10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后纵坐标不变，把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再横坐标不变，把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．解：(1)f (x )＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32.令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得：ω＝1 (2)由(1)得f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32.经过题设的变化得到的函数g (x )＝sin(12x －π6)＋32.当x ＝4kπ＋43π，k ∈Z 时，函数取得最大值52.令2kπ＋π2≤12x －π6≤2kπ＋32π，即x ∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k ∈Z 为函数的单调递减区间．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【高考会这样考】1．考查正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及简单应用．3．考查y ＝sin x 到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种变换途径．1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示2．函数y ＝sin x3A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出φ由特殊点确定． 一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 的振幅、频率和初相分别为( )． A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π82.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π33．函数y ＝cos x (x ∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )． A.23 B.43 C.32D ．3 5．(2011·重庆六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.考向一 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象【例1】►设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【训练1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考向二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式（先根据函数图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．）【例2】►(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【训练2】 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考向三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间．规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题3．(2010·临沂二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6(x ∈R C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π3(x ∈R) 4．(2010·福建卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．125．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32C ．2D ．3. 6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12＝________.7．(2010·济南二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________.8．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．9．已知函数y ＝3 sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象径过怎么样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．10．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间． 1．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或0二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)3．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 4．如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．. 5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．6．函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．一、选择题1(2009·山东将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位再向上平移1个单位所得图象的函数解析式是A ．y ＝cos2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝2sin 2x2．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为A.π6B.π4C.π3D.π23．(2009·天津)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象只要y ＝f (x )的图象A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．(2009·江西高考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为A ．1B ．2C.3＋1 D.3＋25．(2009·辽宁高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝A ．－23B ．－12C.23 D.127．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，则函数解析式为____________．9．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；(3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．10．已知函数f (x )＝3sin(12x －π4)，x ∈R.(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？11(2009·合肥)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R(ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．。
几何画板在三角函数图象教学中的应用与反思
几何画板在三角函数图象教学中的应用与反思函数y =A sin(ω x+φ)的图象一节内容已经上了一课时,第二课时主要的问题是用五点法画函数y= 3sin(2x+ π/3) )的图象,并由此总结出由函数y=sin x的图象到函数y= A sin(ω x+φ)的图象的变化规律,这样就必然涉及到大量的图象,在以往的教学中对这个问题的处理总是不能达到很好的效果,于是采用计算机辅助教学就成为必然的选择.本人在网上找到了几个有关的课件,发现都是严格按照课本上给出的方式进行演示,而这样并不一定符合学生的思维习惯,本人就课件制作的问题与同备课组的的老师进行了探讨.我们认为,计算机辅助教学必须充分体现“以学生发展为本”.以学生为主体,让学生积极参与,自行探索,获得亲身体验,对数学的概念和内涵有更为深入的理解,从而达到可持续发展的要求.仍然采用录像对课堂教学进行分析,对将函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到函数y =A sin(ω x+φ)的图象,课堂上学生经过,提出了只需三个步骤,共六种变换方式,以函数y =sin x的图象变换到函数y =A sin(ω x+φ)的图象的步骤为例,分别是:以上变换分别如图2-1—图2-6表示.12对学生在学习过程中出现的错误情况,本人先是让学生充分地说出自己的理由,并让学生找证据为自己的结论进行辩护,然后用几何画板演示,如果按照学生的思路去进行变换,将会得到怎样的结果.通过电脑的演示,让学生在错误的结果与正确的结果之间进行比较,转变了学生的思维.如图2-7所示.建议在备课组讨论的几个问题:1.数学问题:点(x , y)在函数y =sin x的图象上,则点( x/2 - π/6, 3 y)在函数y =f (x)的图象上,写出函数y =f (x)的解析式.2.评价学生的思维:学生在猜想、讨论时思维的广阔性是否得到了培养,电脑演示对学生的思维活动起了怎样的促进作用?3.教学法问题: 函数y =A sin(ωx+φ)的图象的教学中,与过去一支粉笔一块黑板相比,现在的计算机辅助教学除了增大教学容量外,还体现了“以学生发展为本”.学生出错的思维机制怎样转变.4.背景问题:教师在课堂上并没有完全按照课本上的顺序进行教学,而是按照学生讨论的情况进行教学,这体现了教师怎能样的教学思想?5.课件的评价:借助计算机技术,在课堂教学中,很容易地得到丰富的函数图象.这样,学生就很容易通过自己的参与、探索与归纳,深刻理解A、ω、φ这三个系数对函数y=A sin(ω x+φ)的图象的影响,大大地增加了教学容量,活跃了课堂气氛,提高了教学效率,为进一步研究其他函数图象的性质,打下了坚实的基础,学生的主体地位得到了较好的体现. “以学生发展为本”是我们进行课件设计时的重要指导思想..。
第5部分 第7讲函数y=Asin(ωx φ)的图象及性质---文本资料
大变化，而不是“角变化”多少．
【变式迁移】
2 ． (2010· 天津卷 ) 下图是函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(x∈R)
在区间 上的图象，为了得到这个函数的图象， ) 只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点(
A．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横
坐标缩短到原来的
B．向左平移 C．向左平移 坐标缩短到原来的
(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换
得到．
点评：(1)由图象写解析式，要注意数形结合，要
注意它和“五点法”作图的联系．
(2)图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换 (先平移再伸缩)；先周期变换后相位变换(先伸缩再
平移)．一般采用先平移再伸缩，要注意每一个变换
总是对字母 x 而言，即图象变换要看 “ 变量 ” 起多
解法 2： 函数 f(x) 的图象向左平移 m个单位后所对应 g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m＋
恒成立．
)＝sin(3x＋3m＋
)对x∈R
点评：要善于利用f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象直观性地
得到函数的性质，如：①图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为半周期；②两相邻的对称轴之间 的距离为半周期；③对称中心都是它们的零点；④对 称轴都经过它们的最高点或最低点，且与x轴垂直的直 线等．
( A )
在区间
的简图是
解：排除法：因为x＝0时，y<0，所以排除B，D.
又因为x＝
时，y＝0，排除C，故选A.
3．(2010·四川卷)将函数y＝sinx的图象上所有的点向
右平行移动
是( C )
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
正弦函数的图像与性质——y=Asin(ωx+φ)的图象》
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
正弦型函数：y=Asin(x+)
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时， 振幅：A就表示这个量振动时离开平衡位置的最
y=sin2x
二、函数y=sinx(>0)的图象
y 1
y=sin1 x
2
2
O
Hale Waihona Puke 34 x1
y=sin2x
y=sinx
y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。
y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最大值 为A， 最小值为-A.
一般地，函数y=Asinx的值域是最大值是 |A|，最小值是－|A|，由此可知，|A|的大小， 反映曲线波动幅度的大小。因此|A|也称为 振幅。
y 1 O 1
1 y=sin 2
2
x
3 4 x
y=sinx
振幅相同
2
5
0
2
0
2
0
y
3
1 y 2 sin( x ) ③ 3 6
2
1
13 2 7 2
o
-１
6
2
2
x
-2
-3
1 例1画出函数y=2sinx xR；y= sinx xR 2
正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质导入新课思路1(情境引入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A 、ω、φ是常数)。
例如，物体做简谐振动时位移y 与时间x 的关系，交流电中电流强度y 与时间x 的关系等，都可用这类函数来表示。
这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象。
揭示课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
思路2（直接导入）从解析式来看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。
一、新知探究 提出问题（1）你能用学过的三角函数知识描述大观览车周而复始的运动吗？（2）你能算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度吗？活动：教师可先制作一个大观览车模型，让学生动手画出大观览车的示意图，或先演示课件然后和学生一起探究上述问题。
如图1是大观览车的示意图。
设观览车转轮半径长为R ，转动的角度为ωrad/s.点P 0表示座椅的初始位置.此时∠xoP 0=φ,当转轮转动t 秒后,点P 0P 位置,射线OP 的转角为ωt+φ,由正弦函数的定义,得点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为y=Rsin(ωt+φ).这样，如果已知车轮半径R ，转动的角速度ω和初始的角度φ你就可计算出某一时刻你的“座位”离开地面的高度了。
在函数y= Rsin(ωt+φ)中，点P 旋转一周所需要的时间 T=ϖπ2，叫做点P 的转动周期。
在一秒内，点P 旋转的周数f=,2π=T 叫做转动的频率。
OP 0与x 轴正向的夹角φ叫做初相。
例如一动点以角速度4πrad/s 做匀速圆周运动，则T=.21,2142Hz Tf s ===ππ形如y=Asin(ωx+φ)（其中A ，ω，φ都是常数)的函数，在物理、工程等科学的研究中经常遇到，这种类型的函数通常叫做正弦函数。
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
函数y=asin(ωx+φ)的图像课件和性质
周期和振幅
振幅
振幅a是曲线顶端到中心线的距离，也是曲线顶端到 底端距离的一半。
周期
正弦函数的周期是指曲线上相邻两个正弦波峰或波 谷之间的距离。
周期函数的性质
1 周期性质
函数y=asin(ωx+φ)是周期 函数，其周期为2π/ω。
2 奇偶性质
平移和伸缩
1
水平平移
如果在正弦函数的x值上加上常数c，则图像会水平向左移动c。如果在x值上减去常数c，则 会向右移动c。
2
垂直平移
如果在正弦函数的y值上加上常数c，则图像会垂直上移c。如果在y值上减去常数c，则会向 下移动c。
3
水平伸缩
对正弦函数x值乘以常数c可以使图像水平伸缩。如果c>1，则会左右压缩，如果0<c<1，则会 左右拉伸。
纵坐标解释
a为正数
代表正弦的波峰为正值，用于描述物体的正向位移 或正向摆动。
a为负数
代表正弦的波谷为负值，用于描述物体的反向位移 或反向摆动。
参数改变对图像的影响
振幅a
增大振幅会使正弦函数的波峰和波谷变高，缩小振幅则有相反效果。
角频率ω
增大角频率会让正弦函数的周期变短，缩小角频率则相反。相位 Nhomakorabeaφ4
垂直伸缩
对正弦函数y值乘以常数c可以使图像垂直伸缩。如果c>1，则会上下收缩，如果0<c<1，则会 上下拉伸。
正弦函数是奇函数，即满 足sin(-x)=-sin(x)的函数。
3 单调性质
正弦函数一般不单调，其 在每一个周期内既有单调 递增的区间，也有单调递 减的区间。
对称性
高中数学函数1.5y=Asin(ωx+φ)的图像几何画板课件报告新人教A版
实验报告实验项目：设计制作课堂教学型的课件班级：姓名：学号：实验时间：一、实验目的：通过计算机辅助教学的理论与实践相结合，查阅资料，设计制作中学数学某一节课（自选内容）的课堂教学型课件，在实验过程中掌握课堂教学型课件设计方法与制作技巧。
二、实验设备：多媒体计算机、几何画板等三、教学设计方案一、教材内容选自：人教版学科：高中数学必修 4 第一章第五节具体内容如下：二、学生特征分析：本节课在高一第二学段，学生进入高中学习已经三个月，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。
关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。
三、知识点的划分与教学目标的确定序号知识点内容简述教学目标描述教学目标 2 形成性练习题数1 平移变换学会用图像表示不同函数之间的变换通过自主探究以及教师讲解后，学生可自行完成相关练习且会运用。
32 周期变换3 振幅变换4 各种变换的方法综合运用 1四、分析教学重点、难点及其解决办法1、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。
这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。
学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。
所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。
2、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。
因为相对来说，、A 对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。
几何画板实验报告(函数y=Asin(ωx+φ)图象)
实验报告实验项目：设计制作课堂教学型的课件班级：姓名：学号：实验时间：2013 年月日一、实验目的：通过计算机辅助教学的理论与实践相结合，查阅资料，设计制作中学数学某一节课（自选内容）的课堂教学型课件，在实验过程中掌握课堂教学型课件设计方法与制作技巧。
二、实验设备：多媒体计算机、几何画板等三、教学设计方案四、课件的创作思路按照课本要求，考虑到函数y=Asin(ωx+φ)的图象相对难掌握，特选取几何画板作为课件的制作软件。
课件设计由浅入境，通过对旧知识点的回顾复习，再慢慢计入新知识点的学习，以问题为基本主导线，注重学生自主动手，自主学习能力，通过讨论，探讨问题渐渐深入课程学习，渐渐把握参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。
所以课件在设计中看重问题，情景的设计，以及如何让学生更容易，更直观地了解，掌握参数φ，ω，A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律。
讲授新知识点后及时进行例题讲解，让学生查漏补缺，真正把知识学懂，学通，学透，本课件按照人教版要求，符合普遍学生的学习接受能力，通过提出问题观察图片，吸引学生的注意力，以带动学生思考问题。
在传递新内容上，通过图文解说，形象表达学习内容，层次分明，能让学生容易理解、学习和掌握知识。
学习完新知识后，进行一段小结，巩固学生记忆。
最后布置几道与这节课内容相关的习题，是为了巩固本节课内容。
使学生通过本节课，能基本掌握参数φ，ω，A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律。
五、思考题分析课件所使用的媒体在课堂教学实践中的作用。
本课件主要应用了几何画板软件，应用几何画板的“形象、直观”的动态效果，能很好的演示课本上的内容和几何图片，容易让学生理解掌握新概念。
本节课的一些思考及练习，能很好的培养学生的发散思维，达到举一反三的目的。
几何画板的重要作用就是能准确地表达几何图像。
本课件适用大部分地区高中学校的课堂教学。
《函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)》的设计思路与反思
《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象（一）》的设计思路与反思———成都七中 刘在廷尊敬的各位专家、领导、老师们：大家上午好！2010年秋季，四川省正式实施新课程改革。
在新课改的背景下，这一节课该怎么上，也困扰了自己很久。
课程改革的重点之一，是转变学生的学习方式，倡导以“主动参与、乐于探究、交流与合作”为主要特征的学习方式。
结合高2014级10班的学生基本情况：整个班级在平行班中的整体基础较为薄弱，但学生普遍爱动、好动。
所以本节课尽量让学生动起来，让学生参与探索与发现，这也正是新课标的理念。
从而，创造性地使用教材，将五点作图法提到前面学习，以便于学生更好的探究ϕ，ω，A 对函数)sin(ϕω+=x A y 的影响。
三角函数是中学数学的重要内容之一，本节课从我们平时生活中的交流电引入，由交流电电流与时间的关系图，引出正弦型函数。
再结合学生对旧知识的一些延伸，即：x y sin =的变换，从而引出本节课的研究内容：函数)sin(ϕω+=x A y 的图象。
在教学过程中，先学后教，以教导学。
用预习单的形式督促学生先学。
所以在研究ϕ对图象的影响时，结合到学生的预习，师生共同探索。
并在教学中，不断通过“思考”的形式，将问题“深入化”、“重点化”。
而教学的真正含义是教师教学生如何学习，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．所以在研究ω，A 对函数)sin(ϕω+=x A y 的影响时，采用学生主导，教师辅导的形式。
将学生亲自动手画的图采用实物投影直接展示。
老师同时向学生提供了观察函数图象的素材-几何画板，通过演示，加深学生对ϕ，ω，A 对图象影响的理解。
在探索由x y sin =得到)sin(ϕω+=x A y 的过程中，通过课堂师生交流，了解学生对知识的掌握程度，通过反馈，对易错、易混的知识点，做出了启发性的指导。
《几何画板》在“函数y=Asin(ωx+φ)的图象”教学中的应用
《几何画板》在“函数y=A s i n（ωx+φ）的图象”教学中的应用广西xx县xx高级中学xxx xx摘要：“三角函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；函数的两种表达方式——解析式和图象之间常常需要对照。
为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
关键词：几何画板函数图象三角对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。
不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。
同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。
正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。
”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。
从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
《几何画板》给高中数学教学带来了极多方便，作为一名高中数学教师就此谈在“函数y=Asin（ωx+φ）的图象”教学中的应用。
一、用《几何画板》动态、直观地推演出最基本的正弦函数Y=sinx的图像要研究三角函数的性质，首先我们必须从他的图像入手。
然而为了解决数形结合的问题，在有关三角函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图没有动态感；应用几何画板动态、直观的显示正弦函数Y=sinx的图像怎么得来及变化情况．这样学生通过动态变化的图象自主的接受和理解，讲的再好还不如亲眼所见．二、探索函数图象y=Asin x与y=sin x图象之间的关系。
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实验报告
实验项目：设计制作课堂教学型的课件
班级：姓名：
学号：实验时间：2013 年月日
一、实验目的：通过计算机辅助教学的理论与实践相结合，查阅资料，设计制作中学数学某一节课（自选内容）的课堂教学型课件，在实验过程中掌握课堂教学型课件设计方法与制作技巧。
二、实验设备：多媒体计算机、几何画板等
三、教学设计方案
四、课件的创作思路
按照课本要求，考虑到函数y=Asin(ωx+φ)的图象相对难掌握，特选取几何画板作为课件的制作软件。
课件设计由浅入境，通过对旧知识点的回顾复习，再慢慢计入新知识点的学习，以问题为基本主导线，注重学生自主动手，自主学习能力，通过讨论，探讨问题渐渐深入课程学习，渐渐把握参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响。
所以课件在设计中看重问题，情景的设计，以及如何让学生更容易，更直观地了解，掌握参数φ，ω，A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律。
讲授新知识点后及时进行例题讲解，让学生查漏补缺，真正把知识学懂，学通，学透，本课件按照人教版要求，符合普遍学生的学习接受能力，通过提出问题观察图片，吸引学生的注意力，以带动学生思考问题。
在传递新内容上，通过图文解说，形象表达学习内容，层次分明，能让学生容易理解、学习和掌握知识。
学习完新知识后，进行一段小结，巩固学生记忆。
最后布置几道与这节课内容相关的习题，是为了巩固本节课内容。
使学生通过本节课，能基本掌握参数φ，ω，A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律。
五、思考题
分析课件所使用的媒体在课堂教学实践中的作用。
本课件主要应用了几何画板软件，应用几何画板的“形象、直观”的动态效果，能很好的演示课本上的内容和几何图片，容易让学生理解掌握新概念。
本节课的一些思考及练习，能很好的培养学生的发散思维，达到举一反三的目的。
几何画板的重要作用就是能准确地表达几何图像。
本课件适用大部分地区高中学校的课堂教学。