勾股定理的应用 学案
第十七章 勾股定理学案
- 1 -
18.1 勾股定理（一） （一）课前预习 1．直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：
命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
（二）、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，你能否利用右图：赵
爽弦图证明呢？
1．已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C
的对边为a 、b 、c 。
求证： 222a b c +=
勾股定理的内容是： 。 （三）学以致用 在Rt△ABC 中，已知两边求第三边-------简称“知二求一” 1．在Rt△ABC 中，90C ∠=︒ ， ⑴如果a =6，b =8，求c 的值； ⑵如果a =5，b =12，求c 的值； ⑶如果a =9，c =41，求b 的值； 练习 1．若一个直角三角形的两直角边分别为9和12，则第三边的长为（ ） A.13 B. 13 C. 5 D.15 2．若一个直角三角形的斜边长为26，一条直角边长为24，则另一直角边长为（ ） A.8 B.10 C.50 D.36 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a ︰b =3︰4，c=10，求a ，b 的值。 注意：⑴只有在直角三角形中，才能用勾股定理；
⑵在用勾股定理求第三边时，要分清直角三角形的斜边和直角边； （四）当堂检测：
1.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．
2．在Rt△ABC，∠C=90°；
勾股定理在坐标系下的应用
勾股定理在坐标系中的应用 学案
活动1：求出线段AB 的长度；
问题：如何在平面直角坐标系中构造直角三角形？ ；
活动2：
例1、已知：如图，一次函数 的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点， （1）求线段AB 的长度及∠OAB 的度数；
（2）若一次函数与正比例函数y =kx 图象交于C ，且AC =2，
求经过点C 的正比例函数解析式；
你有什么收获？ ； 333+-=x y
例2、已知：如图，一次函数3+=x y 的图像分别交x ，y 轴于A 、B 两点，点C 在线段AB 的延长线上，且BC =22，求OC 的长；
你有什么收获？ ；
活动4：拓广练习
一次函数 3y + 的图象分别交x 、y 轴于A 、B 两点，是否在坐标轴上存在一点C 使得△ABC 为直角三角形？若有，请求出C 点的坐标；
你有什么收获？ ；
1
．已知：如图，一次函数y =+
的图像分别交x 轴y 轴于A ，C 两点,交正比例函数y kx =图象于B ，
（1）当AB=2时，求经过点B 的正比例函数解析式
（2）设点D(0，1)，点P 在y 轴上，且点D 到直线AC 的距离与点P 到点D 的距离相等，
求点P 的坐标.
（3）设点D(0，1)，点P 在y 轴上，且点P 到直线AC 的距离与点P 到点D 的距离相等， 求点P 的坐标
2. 已知，如图点A （-4，4）、B(0,4)两点，点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形， （1）求：C 点坐标。
（2）将点A 的坐标改为（-3，0），求点C 的坐标；
3.
已知：如图，一次函数1+的图象分别交x 轴y 轴于A 、B ；点C 在直线AB 上， 设点D 是点A 关于y 轴的对称点，求BDC ∠的度数
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理学案
第一章勾股定理
一、基本知识点：
1.勾股定理
2.勾股定理的逆定理
3.实际应用的勾股定理：（1）求距离；（2）是否够用问题；（3）折叠问题；
二、基本方法：
1.直接计算求第三边；
2.用方程求第三边
三、举例：
例1.甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东350航行，乙船向南偏东550航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C ,B两岛相距40海里，问：乙船的航速是多少？
针对练习
9处决裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处。旗杆折断之前有多高？1.如图，一根旗杆在离地面m
例2.已知一辆装满货物的卡车高2.5米，宽1.6米，要开进某一如图所示的桥洞，AD=2.3米。问这辆卡车能否经过桥洞？说明理由。
针对练习
1.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高
2.4米，宽为3米的卡车能通过该隧道吗？
B
F
E
C
A
D 例2. 已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。
例3. 有一圆柱，高12cm,底面直径6cm ,在圆柱下底面有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物，爬
行的最短路程是多少？（π=3） 针对练习
1.如图，一圆柱高8cm, 底面半径2cm,一只蚂蚁从A 点爬行
到B 点吃食物，要爬行的最短的路程是（π取3）（ ） A 、20㎝ B 、10㎝ C 、14㎝ D 、无法确定
2.葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘升的路线，总是沿最短路线——螺旋前进的。难道植物也懂数学？ （1） 如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm ，则它爬行路程是多少厘米？ （2） 如果树的周长为8cm ，绕一圈爬行10cm ，则爬行一圈升高多少厘米？
勾股定理的简单应用(最短路径四种常见模型)学案苏科版数学八年级上册
（最短路径四种常见模型）
【学习目标】 1．掌握如何求长（正）方体中的最短路径
2．掌握如何求圆柱中的最短路径
3．掌握如何求阶梯的最短路径
4. 掌握如何求U 型滑道的最短路径
【典型例题】
类型一、长（正）方体中的最短路径
【例1】如图，一长方体木块长6AB =，宽5BC =，高1BB 2=， 一直蚂蚁从木块点A 处，沿木块表面爬行到点1C 位置最短路径的长度为（ ）
举一反三：
【变式1】如图，正方体的棱长为2cm ，点B 为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）
A ．√10cm
B ．4cm
C ．√17cm
D ．5cm
【变式2】如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．若AB =3，BC =4，CC 1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A ．√74
B ．3√10
C ．√89
D ．12
【变式3】棱长分别为5cm ，3cm 两个正方体如图放置，点P 在E 1F 1上，且E 1P =13E 1F 1，一只
蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．
【变式4】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm 的正方形，高为20cm ；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.
(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；
(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）
人教版初中数学八年级下册第17章《利用勾股定理求最值》学案(无答案)
b
a c 人教版初中数学八年级下册第17章《利用勾股定理求最值》学案
一、核心素养
1.熟记勾股定理内容，并会应用其求平面上两点之间距离的最小值
2.会求圆柱（锥）表面上两点之间距离的最小值
3.会求长（正）方体表面上两点之间距离的最小值
4.会用几何模型求特殊代数式的最值
5.体会转化、分类讨论、建模等数学思想 二.学习重难点
重点：求圆柱（锥）表面上两点之间距离的最小值；求长（正）方体表面上两点之间距离的最小值.
难点：用几何模型求特殊代数式的最值 三．课堂导学 1. 勾股定理的内容及应用模式是？ 2. 利用勾股定理求最值常见的问题有哪些类型？ 四．合作探究 知识储备
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=900
，b=3，a=2，则 c=_______ ．
2．如图，小华的家在A 处，书店在B 处，星期日小明到书店去买书，他想尽快的赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（ ）
A ． A →C→D→
B B ．A →C→F→B C.A →C→E→F→B D.A
→C→M→B 探究一 平面上两点之间的距离最小值
例1：如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
练习：如图，在正方形ABCD 中，AB 边上有一点E ，AE=3，EB=1，在AC 上有一点P ，使EP+BP 最短.求EP+BP 的最短长度.
探究二 圆柱体表面的两点间距离最值
例2：为筹备2019年国庆晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示，已知圆筒高30cm ，其横截面周长为40cm ，如果在圆筒表面恰好能缠绕油纸1圈，应至少裁剪________cm 的油纸．
初二-第06讲-勾股定理的应用-学案
第06讲 勾股定理的应用
温故知新
一、上节课重点回顾
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有222a b c += 。
2、勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。最长边所对的角为直角。
3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
课堂导入
一、 问题导入
知识要
点一
勾股定理的应用
1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理可以解决直角
三角形的边长问题。
（1）已知直角三角形的两边求第三边；
（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边。
2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是
直角三角形。
勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过数量关系来研究图形中的位置关系。
3、建立勾股定理及逆定理的模型解决实际问题：
用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是建立直角三角形号的模型，即将实际问题转化为数学问题，这里特别要注意弄清楚实际语言与数学语言间的关系。
典例分析
例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）
A．5m B．12m
C．13m D．18m
例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）
《勾股定理》学案
《勾股定理》学案1
一、课前预习新知
（一）、预习目标：
通过回顾以前所学的直角三角形知识与初步自学课本，感知勾股定理的探究过程，能说出勾股定理的内容，并能简单计算由两边求第三边.
（二）、预习内容：
1.直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角；
（2）直角三角形斜边上的中线等于；
（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于.
2.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边为c,那么
3
4．下列说法正确的是（）.
A．若a，b，c是△ABC的三边，则2
2
2c
b
a=
+
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则2
2
2c
b
a=
+
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则2
2
2c
b
a=
+
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则2
2
2c
b
a=
+
5．在Rt△ABC中，∠A＝90°，且1
,2=
=b
a，则c＝ .
6．在Rt△ABC中，AB＝2
2，CA＝CB，则AC＝.
参考答案：
1、（1）互余（2）斜边的一半；（3）斜边的一半；
2、222
a b c
+=
3、13，8，56，25.
4、D
5、1
6、2
二、课内探究新知
（一）、学习目标
1.了解勾股定理的由来，经历探索勾股定理的过程.
2.理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用.
3. 提高推理意识与探究习惯，感受我国古代数学的伟大成就.
学习重点：勾股定理及其实际应用.
学习难点：用面积法（拼图法）证明勾股定理.
（二）、学习过程
核对预习学案中的答案，并收集自学中疑问及困惑，掌握学习情况.
活动1故事导入
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他.谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.
2023年人教版初中八年级数学【学案】 勾股定理在几何中的应用
2023年人教版初中八年级数学《勾股定理在几何中的应用》学案
【学习目标】 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题． 【重、难点】 在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值． 【合作探究】
1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm ）
.
2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【课堂展示】
1.如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 处，求它所行的最短路线的长。
B
A
10cm 4cm
B
A
2.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90°，AB=3m ，BC=4m ，•CD=•12m ，AD=13m ．求这块草坪的面积．
3.如图所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?
【自学测评】
1.在△ABC 中，∠A: ∠B: ∠C=1：2：3，则BC:AC:AB=_________
人教版八下数学17.1 课时3 利用勾股定理作图或计算教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理
17.1 勾股定理
课时3 利用勾股定理作图或计算教案
【教学目标】
1．会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；
2．灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学重点】
会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.
【教学难点】
灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题．【教学过程设计】
一、情境导入
[过渡语] 上一节课,我们学会了利用勾股定理解决生活中的实际问题.本节课我们将继续研究勾股定理的综合运用.
我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上找到表示的点吗?表示的点呢?
[设计意图] 在七年级时,学生只能找到数轴上的表示有理数的点,而对于表示像,这样的无理数的点却找不到.学习了勾股定理后,这样的问题就可以得到解决.由旧入新,开门见山导入新课.
[过渡语]同学们,我们一起来欣赏一幅图片:
这个美丽的图案是怎么画出来的呢?它依据的是什么数学知识?
[设计意图] 以图案导入,在直观形象的图案欣赏中吸引了学生的注意力,加上巧妙设问,为新课的展开做好了铺垫.
二、合作探究
1.利用勾股定理证明HL定理
[过渡语]让我们一起来探究下面的问题:
在八年级上册中,我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后,你能证明这一结论吗?
师生共同画图,写出已知、求证.引导学生关注画图的过程,思考哪些元素相等.
已知:如图所示,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
勾股定理及逆定理的综合运用
1
初中部 八 年级 数学 导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔：刘世波 审核： 审批： 印数： 500 份 教师评价：
课题：勾股定理及逆定理的综合运用 课型：新授课
【学习目标】 掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用 【学习重点】 理解并掌握勾股定理及逆定理，并会应用。 【学习难点】 熟练的运用这些定理解题。
一、复习回顾
1、如下图，Rt ABC ∆,90A ∠=
写出你所知道的三边的关系式： _____________________________________________________。
2、判断下列各组数能否作为直角三角形的三边长
A 、3 ，4 ，5；
B 、9 ，12 ，15 ；
C 、5 ，12 ，13；
D 、1，2, 3
3、已知3和4是一直角三角形的两边，那么它的第三条边为_________________.
4、已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a+b=3，ab=1，c=7，（1）求2
2
b a +的值 （2）试判定△ABC 的形状，并说明理由
二、自主学习
四边形ABCD 中已知AB=3，AD=4，CD=13，BC=12，且∠A=900，求：（1）求BD 的长； （2）这个四边形的面积．
A B
C
D
4312
13
三、 合作探究：
已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°。
四、 交流展示：
如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，
《勾股定理的应用---最短路径问题》教案及学案
1 A
B
§14。2 勾股定理的应用---最短路径问题
安海中学 谢伟良
教学目标：
知识与技能目标：能运用勾股定理解决简单的实际问题．
过程与分析目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件． 情感与态度目标:培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情 教学重点：利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求得最短路程． 教学难点：寻找最短路径．
教学关键：把立体图形转化为合适的平面图形寻得最短路径再构造直角三角形应用勾股定理求最短路程。 教学准备:
教师准备:幻灯片、直尺。
学生准备：复习勾股定理,自制圆柱体、立方体和长方体. 教学过程:
一、复习引入，创设情境
1。复习提问:线段性质定理、勾股定理的内容及数学式子表示。 设定情景引入新课。
2。情景设定1（投影出示）：
在一款长30cm 宽40cm 的砧板上，蚂蚁要从点A 处到点B 处觅食，试问这只蚂蚁要
怎么选择路线才能使路线最短?最短距离是多少？
∵ 在Rt △ABC 中, ∠C=90º
∴
)(504030222
2cm BC AC AB =+=+=
∴ 走线段AB 的路线最短，且最短距离为50cm.
2
A
C
B
A B A
B
二、创设情境，解决问题
情景设定2：
情景设定3：
如图所示,圆柱体的底面直径为6cm ，高为12cm ，一只蚂蚁从A 点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B ，试求出爬行的最短路程（π取3). 2
2BC AC + ∴爬行的最短路程约为
解:如图，∵在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°
BC ＝½πd ≈½×3×6=9cm ，
17_1_2 勾股定理在实际生活中的应用(优质学案)
学习笔记记录区
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人教版初中数学八年级下册
17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 导学案
一、学习目标：
1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. 重点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 难点：熟练运用会用勾股定理解决简单实际问题. 二、学习过程： 课前热身
_______________________ ______________________ ______________________ _______________________ ______________________ ______________________
勾股定理与实际生活
《勾股定理与实际生活》教学设计
学习目标：1.掌握勾股定理，能运用勾股定理解决实际问题；
2.通过例题的分析与解决，感受勾股定理在实际生活中的应用；
3.在数学学习过程中，体验数学来源于生活实际，并为生活服务。学习重点：运用勾股定理解决简单的实际问题。
学习难点：勾股定理的灵活运用。
学习准备：自制正方体展开图，尺子等。
多媒体辅助教学：教学平台、pad
学习过程：
一、创设情境
【活动1】抢答游戏——勾股定理知多少？
题目：1、勾股定理只适用于什么图形当中？
2、勾股定理当中的勾和股分别指什么？
3、勾股定理的内容是什么？
4、请举例说出一组勾股数？
5、等腰直角三角形的斜边长为10，则腰长为多少？
6、若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边边长为多少？
学生分成6个小组，每组4人。举手抢答，每答对一题的同学所在的小组加1分，若不举手便提示答案的同学所在小组倒扣1分。（借助抢答器和教师用pad）
二、数学与生活
【活动2】在方格上画出点A到点B的最短路线，并求出它的长度。（小方格的边长为1厘米）
【探究】一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为多少？回顾正方体的展开图有很多种，不同的展开图所求出的最短路线会有所不同吗？
体——面——展开图
（1） （2） (3)
分别求出（1）（2）（3）中的最短路程是多少。再画几个不同的展开图试试，小组之间可互相交流。 A
∙ ∙ A B
B
A B
A B
A
a
a a B A 5)2(221=+=a
a a AB 5)2(22=+=
教师要求学生思考、练习，把自己画好的图形和解题过程，用pad 拍下上传；教师在这个过程中予以巡视和利用pad 来看看学生怎样去做，然后挑选具有代表性的解法在电脑上展示，进行评讲，和让学生小结。
人教版八下数学17.1 课时1 勾股定理教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理
17.1 勾股定理
课时1 勾股定理教案
【教学目标】
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．
.
【教学重点】
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
【教学难点】
了解利用拼图验证勾股定理的方法．
【教学过程设计】
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
知识点一：勾股定理
【类型一】直接运用勾股定理
例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于
D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S
△ABC
；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；
(2)S△ABC＝1
2CB·AC＝
1
2×5×12＝30(cm
2)；
(3)∵S△ABC＝1
2AC·BC＝
1
2CD·AB，∴CD＝
AC·BC
AB＝
60
13cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
2023年人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的应用》学案
新人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理的应用》学案
流程具体内容方法指导一、
目标导学【学习目标】
1．能熟练的叙述勾股定理的内容，能用股
定理进行简单的计算。
2．运用勾股定理解决生活中的问题。
二、自主学习复习旧知：
1．什么是勾股定理？它描述了直角三角形中的什么的关
系？
2．求出下列直角三角形的未知边。
学习新知：
先自主解决教材P66的探究1、2，然后合作交流。
方法指导
温馨提示：
（用时分钟）
三、问题探究
1．如图所示：一个圆柱形铁桶的底面半径是12cm，高
为10cm，若在其中隐藏一细铁棒，问铁棒的长度最
长不能超过多长？
2、由于台风的影响，一棵树在地面上6米处折断，树顶落在离
树干底部8米处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度
是。
方法指导
温馨提示：
（用时分钟）
四、
反
教材P68练习第1、2题方法指导
馈
提
升温馨提示：
（用时分钟）
五、达标运用1、有一根长70cm的木棒，要放在长、宽、高分别是
50cm,40cm,30cm的木箱中，能否放进去？
2．某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，
消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的水平距
离时2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?
方法指导
温馨提示：
限时分钟
总结与反思【知识梳理】
今天你有什么收获？与同伴交流一下。【收获与反思】
勾股定理教案2篇(一等奖)
勾股定理教案2篇（一等奖）
教材分析：
这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书（苏科版），八年级上册第三章第一节“勾股定理”的第一课时、勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范，它可以解决许多直角三角形中的计算问题、学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解、
教学目标：
1、让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，从探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程、培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，体会数形结合思想、
2、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题、
3、在经历数学知识的形成与应用过程中培养学生学习数学的兴趣；感受勾股定理的文化价值、
教学重点：
探索勾股定理的过程，会利用两边长求直角三角形的另一边长、
教学难点：
用割、补法求面积探索勾股定理、
教学方法与教学手段：
采用探究发现式教学，提供适当的问题情境、给学生自主探究交流的空间，引导学生有方向地探索、
教学过程：
（一）创设情境提出问题
1、同学们，我们已经学过三角形的一些基本知识，如果一个三角形的两条边分别长6和8，你能确定第三边的长吗？你能确定第三边的长的范围吗？
2、如果这两边所夹的角确定了，那么第三边的长确定吗？第三边的长是多少？
3、直角三角形两边长确定了，第三边的长确定吗？如何求第三边的长呢？这节课就让我们一起来探讨这个问题、板书：直角三角形三边数量关系、（这是对三角形三边的不等关系和三角形全等的判定的回顾，从学生的原有认知出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标、当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究）（二）实践探索猜想归纳
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2.7勾股定理的应用
【学习目标】
1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；
2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想。
3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
【学习重、难点】
重点：勾股定理的应用
难点：将实际问题转化为数学问题
【导学过程】
一、情境创设
欣赏生活中含有直角三角形的图片
二、探索活动
活动一第一组练习: 勾股定理的直接应用
（一） 知两边或一边一角型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，一直角边为a ，斜边为b ，则另一直角边c 满足c2 = .
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°.
（1）如果a=3，b=4， 则c= ；
（2）如果a=6，c=10， 则b= ；
（3）如果c=13，b=12，则a= ；
（4）已知b=3，∠A=30°，求a ，c.
（二）知一边及另两边关系型
1.如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，若BC ＝4 ， AB ＝x ，AC=8-x ，则AB= ,AC= .
2.在Rt △ABC 中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则
a= , c= .
（三）分类讨论的题型
1. 对三角形边的分类.
已知一个直角三角形的两条边长是3 cm 和4 cm ，求第三条边的长．
2. 对三角形高的分类
已知：在△ABC 中，AB ＝15 cm ，AC ＝13 cm ，高AD ＝12 cm ，求S △ABC ．
归纳总结：【思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？
利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论.
活动二 勾股定理的综合应用
折叠三角形
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
折叠四边形
已知如图，将长方形的一边BC 沿CE 折叠，使得点B 落在AD 边的点F 处，
已知AB=8，BC=10, 求BE 的长.
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况
方程思想
直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。
活动三:利用勾股定理解决最值问题
1如图，将一根25cm长的细木棍放入长，宽高分别为8cm、6cm、和
cm的长方体无盖盒子中，求细木棍露在外面的最短长度是多少？
2如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
3 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的
最短距离是（）.
（A）3 （B )√5 （C）2 （D）1
分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）完善整合
作业布置:
4有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树多高。
一.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,
斜边长为c,那么222
a b c
+=.
二思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？
答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.
2.在直角三角形中找出直角边，斜边.
3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题
1.一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边长为______.
2.已知：如图，等边△ABC的边长是6 cm.
求⑴等边△ABC的高; ⑵S△ABC.
3：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,
求 1.CF 2.EC.