最新初中数学之韦达定理

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初中韦达定理证法六种

『韦达定理证法六种』

韦达定理是数学中有名的一种定理，它可以用来证明三角形的角是有角度的，并有六种不同的证明方式及其对应的几何证明。下面介绍一下韦达定理的六种证明方式：

一、反证法。反证法的意思是证明一个论断其不成立，也就是说证明论断没有被证明，即它不成立。在韦达定理的反证法中，我们拿到非韦达定理的三角形，然后证明它不是韦达定理求得的结果。这样，既然找不到合适的三角形来证明韦达定理，就可以验证出该定理的真实性。

二、对偶原理。对偶原理的意思是，如果两个命题中的一个为假，另一个也为假。在韦达定理的证明中，根据对偶原理，如果两个三角形（A，B）有任何相同的角，有相同的面积，则韦达定理成立。

三、拓扑定理。拓扑定理指的是，如果在某结构中两个点到另外两个点的路径有三条，则这两个点之间有三个连通路径。这里，证明三角形角度小于或等于180°时拓扑定理也可以成立，因此韦达定理也证明了。

四、全等定理。全等定理说，如果某两个图形的顶点和边的长度完全相等，则它们的形状也完全相等。这里，应用韦达定理的全等定理，

使用两个完全相等的三角形来证明该定理。

五、力学定理。力学定理主要指的是，在结构物中，所有外力汇于一点处，因此它们的合力为零。在韦达定理的证明中，用力学定理可以证明一定条件下三角形角度小于等于180°，从而证明韦达定理。

六、叉乘定理。叉乘定理是指，两个向量叉乘（即点积）的结果为它们仅共有一个公共顶点的三角形的面积乘以2。这里，在韦达定理的证明中，可以借助前一条的错角公式将叉乘定理应用到三角形形状中，从而证明角度小于或等于180°，最终证明韦达定理成立。

韦达定理经典例题及解题过程

一、引言

韦达定理是数学中一个重要的定理，它在解决线性方程组、二次方程等问题中具有广泛的应用。本文将通过经典例题的解析，让你更好地理解和掌握韦达定理，从而在实际问题中灵活运用。

二、韦达定理简介

1.定义

韦达定理是指：对于一个n次多项式方程，设其n个根为x1，x2，...，xn，那么这n个根的和等于-系数b/a，乘积等于常数项c/a。

2.公式

韦达定理公式如下：

x1 + x2 + ...+ xn = -b/a

x1x2x3...xn = c/a

3.性质

韦达定理除了可以求解多项式方程的根之外，还可以用于分析多项式的性质。例如，可以判断多项式是否为单调函数、奇函数、偶函数等。

三、经典例题解析

1.例题1：线性方程组解的性质

已知线性方程组：

ax + by = c

dx + ey = f

求解线性方程组，可以利用韦达定理得到：

x = -b/a，y = -c/a

2.例题2：二次方程的根与系数关系

对于二次方程：

ax^2 + bx + c = 0

根据韦达定理，可以得到：

x1 + x2 = -b/a

x1x2 = c/a

3.例题3：线性方程组在矩阵形式下的应用

已知线性方程组：

Ax = B

求解线性方程组，可以先将系数矩阵A和常数矩阵B进行行列式运算，得到行列式D。然后，利用韦达定理，求解D的逆矩阵，最后得到解：x = D^-1B

四、解题步骤与技巧

1.识别问题类型

在解决问题时，首先要识别问题类型，判断是否适用于韦达定理。例如，线性方程组、二次方程等问题都可以利用韦达定理求解。

2.运用韦达定理公式

初中数学精品试题：韦达定理

例：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根．

求：m+n=，m•n=；

变式一：已知方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，求下列代数式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．

变式二：设a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b﹣1=0，且a≠b，则a+b=

变式三：设a2+1=3a，b2+1=3b．则代

数式b

的值为

一、精题精炼

变式四：若一元二次方程2x 2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m 的取值范围．

二、问鼎巅峰

已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，则x31＋14x2＋55＝______．

三、参考答案

【例题】直接根据根与系数的关系求解；

得m+n=﹣=3，mn=；

变式一：解：∵方程4x2﹣2x﹣1=0的两个根为x1，x2，

∴x1+x2=，x1•x2=﹣；

（1）原式===﹣2；

（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=﹣2×（﹣）=；

（3）原式===﹣3；（4）原式=（x1+x2）2﹣4x1x2=﹣4×（﹣）=．

变式二：对于a2﹣2a﹣1=0，b2﹣2b ﹣1=0两个方程．

我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0两个根，

由韦达定理可得：a+b=2；

变式三：当a≠b，对于a2+1=3a，b2+1=3b

两个方程．我们可以把a，b看作是一元二次方程x2﹣3x+1=0两个根，由韦达定理可得：a+b=3，ab=1

所以：+===3

当a=b，则原式=2

∴答案为2或者3

变式四：，解得m＜1．问鼎巅峰

【解析】∵x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实根，

∴x21＋4x1＋2＝0，x1＋x2＝－4，x1·x2＝2，

初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)

初中数学竞赛：韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：

运用韦达定理，求方程中参数的值；

运用韦达定理，求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；

利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。

韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。

韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。

【例题求解】

【例1】已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为。思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例

【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么

a a

b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2

思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。

注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。

初三数学韦达定理经典题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.

求解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求.

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且x1≤x2，由韦达定理得

∴x1x2-x1-x2=2，

所以x1=2，x2=4;x1=—2，x2=0.

所以k=1,或k=-1/7

韦达定理在方程论中有着广泛的应用，在考试中也不例外。

因式分解同步练(答疑题)

关于因式分解同步练习知识学习，下面的题目需要同学们认真完成哦。

因式分解同步练（答疑题）

解答题

9．把以下各式水解因式：

10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．

11．未知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，谋x2+2xy+y2的值．

答案：

9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2

通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。

因式分解同步练(填空题)

同学们对因式分解的内容还熟悉吧，下面需要同学们很好的完成下面的题目练习。

因式分解同步练（填空题）

填空题

6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2

7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）．

8．未知a2+14a+49=25，则a的值就是_________．

答案：

5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12

初中数学运用“韦达定理”解题的题型详解

韦达定理是初中数学中的一条非常重要的定理，涉及的章节包括一元二次方程，二次函数。在中考中也多有涉及。

一、已知一元二次方程的一个根，求另一根

例1：关于x的一元二次方程（m﹣1）x²﹣x﹣2=0，若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．

分析本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决．应用时应把方程化为一般形式ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情选择用两根之和或两根之积．

二、一元二次方程根、两根关系及字母系数的互求

例2 已知关于x的一元二次方程x²＋6x＋a＝0（a为常数）的一

个根为√11－3，求a的值．

三、求两根和、积及其代数式的值．

例3．若x₁，x₂是关于x的方程x²﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x₁²﹣3x₁﹣x₂﹣6的值是_________．

分析：通过韦达定理求出x₁+x₂与x₁x₂的值，将其整体代入到所求的代数式中求值。

四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根

例4 试检验4＋3√2与4－3√2是不是方程x²－8x＋4＝0的两根。

分析本题可分别把两数代入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是．

五、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号

例5 m为何值时，关于x的一元二次方程(m＋3)x²－mx＋1＝0的两个根，

(1)均为正数； (2)一正一负； (3)均为负数，

分析本题用常规方法有一定难度．利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结合，比较容易确定两根的符号．

初中韦达定理公式变形6个

韦达定理，也被称为韦达方程或韦达公式，是代数学中一个重要的定理。它用于求解二次方程的根，公式形式为：对于二次方程ax²+ bx + c = 0，它的两个根x1和x2满足以下关系：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

然而，韦达定理还可以通过一些变形得到其他形式的公式。下面将介绍六个韦达定理的公式变形。

1."韦达递推公式"变形：

这个变形公式可以用于计算高次多项式的和积。假设

a_0,a_1,a_2,...,a_n是一个多项式的系数，则它的和为：

S=a_0+a_1+a_2+...+a_n

而它的积为：

P=a_0*a_1*a_2*...*a_n

那么，可以得到以下关系：

S=a_1+a_2+a_3+...+a_n

P=a_0*a_1*a_2*...*a_(n-1)

也就是说，多项式的和等于系数去掉第一个之后的和，而多项式的积等于系数去掉最后一个之后的积。

2."韦达方程公式"变形：

这个变形公式可以用于求解三次方程的根。对于三次方程 ax^3 +

bx^2 + cx + d = 0，它的三个根x1, x2和x3满足以下关系：x1+x2+x3=-b/a

x1*x2+x1*x3+x2*x3=c/a

x1*x2*x3=-d/a

3."韦达积公式"变形：

这个变形公式可以用于计算四次多项式的积。假设

a_0,a_1,a_2,a_3,a_4是一个四次多项式的系数，则它的积为：P=a_0*a_1*a_2*a_3*a_4

那么，可以得到以下关系：

P=(a_0*a_2*a_4)*(a_1*a_3)

也就是说，四次多项式的积等于奇次幂系数的乘积乘以偶次幂系数的

初中数学韦达定理习题及答案

考点:单项式乘单项式;幂的乘方与积的乘方;同底数幂的除法;整式的除法｡1923992
分析:根据单项式乘单项式的法则,单项式除单项式的法则,幂的乘方的`性质,同底数幂的除法的性质,对各选项计算后利用排除法求解.
解答:解:①3x3(﹣2x2)=﹣6x5,正确;
②4a3b÷(﹣2a2b)=﹣2a,正确;
③应为(a3)2=a6,故本选项错误;
整式的乘除与因式分解单元测试卷(选择题)
下面是对整式的乘除与因式分解单元测试卷中选择题的练习,希望同学们很好的完成｡
整式的乘除与因式分解单元测试卷
选择题(每小题4分,共24分)
1.(4分)下列计算正确的是()
A.a2+b3=2a5B.a4÷a=a4C.a2a3=a6D.(﹣a2)3=﹣a6
2.(4分)(x﹣a)(x2+ax+a2)的计算结果是()
初中数学韦达定理习题及答案
初中数学韦达定理习题及答案
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理｡
求实数k,使得方程kx+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数.
解:若k=0,得x=1,即k=0符合要求.
若k≠0,设二次方程的两个整数根为x1､x2,且X1≤X2,由韦达定理得
分析:根据多项式乘多项式法则,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,计算即可.

初中数学：韦达定理要点详解及例题解析！逢考必有

在初中阶段，数学无疑是同学们必须重点掌握的学科，因为其分值占比会高出其他科目许多，也就是说中考数学成绩一般的话，那么势必会影响最后中考总成绩的。所以将初中数学的基础知识啃透掌握是非常重要的，可是初中数学有很多的重难点分支，包括像方程、函数、几何等知识，那么怎样才能将这些必考知识啃透掌握呢？

下面老师就来重点给大家说一下方程这部分知识，其实说到方程不少同学会不以为意，解方程不是很简单的数学题形吗？那只是解一元一次方程，可是随着学习难度的加升，解方程所涉及到的知识点难度也是越来越大，像在一元二次方程当中会考察根与系数之间的关系，这就需要同学们运用韦达定理的相关知识来进行解答了，而且运用韦达定理还可以推算出一元n次方程根与系数之间的关系。

韦达定理的运用非常广，啃透掌握不仅对初中数学成绩会有很大提升，对于以后高中的学习帮助也是会非常大的。鉴于此，老师总结了韦达定理的相关要点详解，并附有例题解析。值得同学们注意的是，这些知识点逢考必有，因此希望同学们务必打印收藏！

2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案

韦达定理

1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a

(2)x 1∙x 2=

c a 2.拓展公式：

(1)x 21

+x 22

=(x 1+x 2)2-2x 1x 2

(2)

1x 1+1

x 2=x 1+x 2x 1x 2

(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21

+x 2

x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2

(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21

-x 1x 2+x 22

)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2

(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2

(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1

x 2

+k (x 1+x 2)+k 2

(8)1x 21+1x 22=x 21

+x 2

(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2

题型训练

1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．

(1)求实数k 的取值范围；

(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-1

且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k

，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3

=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2

=-1，∵k >-1

人教版初中数学韦达定理

韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在中学数学教学和中考中有着广泛的应用。可以将其应用归纳为：

①不解方程求方程的两根和与两根积；

②求对称代数式的值；

③构造一元二次方程；

④求方程中待定系数的值；

⑤在平面几何中的应用；

⑥在二次函数中的应用。

韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果方程有两个实数根x1，x2，那么

说明：定理成立的条件△≥0

韦达定理专题训练

一、引言

韦达定理是初中数学中的一项重要的定理，它可以用来求解三角形中各种角度和边长的关系。本文将详细介绍韦达定理的定义、证明方法以及应用。

二、韦达定理的定义

韦达定理是指在任意三角形ABC中，如果D点在边BC上，则有以下公式成立：

AB²=AD·AC+BD·BC

其中，AB表示三角形ABC中边AB的长度，AC表示边AC的长度，BC表示边BC的长度，AD表示线段AD的长度，BD表示线段BD的长度。

三、韦达定理的证明方法

1. 利用勾股定理证明

首先，我们可以利用勾股定理证明韦达定理。假设∠A=90°，则有：

AB²=AC²+BC²

接下来我们将D点移动到线段AC上，并将线段AD和BD分别设为x 和y，则有：

AC=x+BD

BC=y-AD

代入勾股定理公式中得：

AB²=(x+BD)²+(y-AD)²

=x²+y²+2xBD-2xAD-2xBC+BD²+AD²

=x²+y²+(2xBD-2xBC)+(BD²+AD²)

又因为：

2xBD=(x+y)-(AC-BC)

2xBC=(x+y)-(AC+BC)

代入上式中得：

AB²=x²+y²+(x+y)²-(AC-BC)²-(AC+BC)²+(BD²+AD²)

化简可得：

AB²=AD·AC+BD·BC

这就是韦达定理的证明方法之一。

2. 利用向量证明

另外，我们也可以利用向量的方法来证明韦达定理。假设三角形ABC 的三个顶点分别为A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)，则有：

AB=(x2-x1, y2-y1)

AC=(x3-x1, y3-y1)

初三数学：(新)韦达定理快速求解一元二次方程

利用韦达定理求解一元二方程

● 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）

➢ 求解方法：

①配方法（即将方程变为的0)(2=+m x 形式）

✧ 配方法解一元二次方程的基本步骤：

①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1；

③把常数项移到方程的右边；

④两边加上一次项系数的一半的平方；

⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式；

⑥两边开方求其根。

②公式法 a

ac b b x 242-±-= （前提是将原方程要化为一般形式ax 2+bx+c=0，abc 对号入座）

③分解因式法（主要包括提公因式、十字相乘，即将方程转化为0))((=++q bx p ax 的形式）

ax 2+bx+c=0(a≠0) 有两解x 1与x 2

韦达定理（根与系数的关系）：x 1+x 2=a b - x 1·x 2=a

c 例：解方程x 2-8x+15=0

假设方程的两个根为x 1与x 2

根据韦达定理有 x 1+x 2=8 x 1·x 2=15

（新方法：）

令x 1=4+u x 2=4-u （令x 1=

221x x ++u x 2=221x x +－u ）则x 1·x 2=(4+u )(4-u )=15，即16-u

2=15

u 2=1，即u=1或u=-1 （注任选一u 值，最后得到方程的解一致）

所以x 1=5，x 2=3

韦达定理初三常考题型

【原创版】

1.韦达定理的概述

2.初三阶段韦达定理的常考题型

3.应对韦达定理题型的解题技巧

4.总结

正文

【1.韦达定理的概述】

韦达定理，又称 Vieta 定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）提出的一种有关多项式的定理。该定理主要描述了多项式的系数与其根之间的关系。简单来说，韦达定理就是一个关于多项式方程根与系数的性质定理。

【2.初三阶段韦达定理的常考题型】

在初三数学阶段，韦达定理常常出现在各类题型中，主要包括以下几种：

1) 求解多项式方程的根

2) 根据多项式的根与系数关系，判断多项式的性质

3) 利用韦达定理解决有关多项式的最大值、最小值问题

4) 结合其他数学知识点，如代数余子式、韦达定理与行列式的关系等

【3.应对韦达定理题型的解题技巧】

面对韦达定理相关题型，同学们可以运用以下技巧来解题：

1) 熟练掌握韦达定理的基本内容，了解多项式系数与根之间的关系

2) 学会利用韦达定理快速求解多项式方程的根

3) 对于涉及多项式性质判断的题目，要善于运用韦达定理进行分析

4) 对于求解多项式的最值问题，可以利用韦达定理将问题转化为求解线性方程组

【4.总结】

韦达定理是初三数学阶段的一个重要知识点，同学们需要掌握其基本内容和应用技巧。

初中数学韦达定理习题及答案

A.x3+2ax+a3B.x3﹣a3C.x3+2a2x+a3D.x2+2ax2+a3
3.(4分)下面是某同学在一次检测中的计算摘录:
①3x3(﹣2x2)=﹣6x5②4a3b÷(﹣2a2b)=﹣2a③(a3)2=a5④(﹣a)3÷(﹣a)=﹣a2
其中正确的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.(4分)若x2是一个正整数的平方,则它后面一个整数的平方应当是()
21/34≈0.618.
解答:解:由表可知:老芽数总是前面两个数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和,
所以第8年的老芽数是21a,新芽数是13a,总芽数是34a,
则比值为21/34≈0.618.
点评:根据表格中的数据发现新芽数和老芽数的规律,然后进行求解.本题的关键规律为:老芽数总是前面两个数的和,新芽数是对应的前一年的老芽数,总芽数等于对应的新芽数和老芽数的和.
整式的乘除与因式分解单元测试卷(选择题)
下面是对整式的乘除与因式分解单元测试卷中选择题的练习,希望同学们很好的完成｡
整式的乘除与因式分解单元测试卷
选择题(每小题4分,共24分)
1.(4分)下列计算正确的是()
A.a2+b3=2a5B.a4÷a=a4C.a2a3=a6D.(﹣a2)3=﹣a6

初中数学韦达定理

韦达定理是初中数学中的重要内容之一，它被广泛应用于代数求解

和几何问题中。韦达定理又称为韦达三角法则，它的基本思想是通过

构造一个带有重心的三角形，利用各边与重心的连线之间的比例关系

来求解未知量。本文将详细介绍韦达定理的定义、原理以及应用实例。

一、定义和原理

韦达定理是指在一个三角形中，确定三个顶点所对应边的长度和重

心之间的关系。其中，重心是指三角形三条中线的交点，它将全部三

条中线按照长度等分。韦达定理表示如下：

设在一个三角形ABC中，AD为三角形的一条中线，将其分为两条

相等的线段，由D可以构造三条平行于三边的线段BE、CF和AG，那么有以下关系成立：

AB + AC = 2AD

BC + BA = 2BE

CA + CB = 2CF

二、韦达定理的证明

我们来证明一下韦达定理。设三角形ABC的重心为G，连接GD，

并且延长至与AB相交于E，与AC相交于F。由于G是三条中线的交点，所以AG=2GD。同样的，通过类似的角度对应关系可以得到

BE=2AB、CF=2AC。

根据平行线原理，我们知道三角形AGB与三角形GCF是相似的，所以可以写出一个比例等式：

AB/AG = GC/CF

将AG和CF的值代入后，我们得到：

AB/2GD = GC/2AC

通过移项可以得到：

AC/GD = GC/AB

同理，可以得到：

AB/GD = GB/AC

将这两个等式相加，我们得到：

AC/GD + AB/GD = GC/AB + GB/AC

化简后得到：

(AB + AC)/GD = (GC + GB)/AB

再次移项可得：