素数普遍公式
素数普遍公式
素数普遍公式
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一、引言
2000连年前在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔
素数普遍公式文章出处
，以布劳维尔为首的直觉主义学派以为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000连年来，数论学最重要的一个任务，确实是寻觅素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，花费了庞大的心血，始终未获成功。曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向试探，用素数普遍公式逼近“零点”来解决。在1900年的上说：对黎曼公式进行了完全讨论以后，或许就能够够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的概念，就应该有一个公式。
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二， 素數普遍公式
公元前250年同樣是古希臘的數學家埃拉托塞尼發明了一種篩法：
（一） 要取得不大於某個自然数n 的所有素數，只要在2---n 中將不大於.n 的素
數的倍數全数劃去即可。（《自然杂志》1991年11期）
（二） 由（一）能够推出定理： “ 假设n 是合数，那么它有一个因子d 知足
1<d ≤.n ”
。（关于这必然理讀者能够參見《基礎數論》13页，U 杜德利著，上海科技出版社）。
（三） 由（二）那个定理的反面能够推出定理：“ 假设自然數n 不能被不大于n
的任何素數整除，那么n 是素数”。（关于那个定理能够參見《代數學辭典》
259页上海教育出版社）因此定理的内容發生了等價轉換。
（四） 咱们還能够把（三）这一段漢字转换成為英語字母的等價形式：
（关于那个轉換讀者能够參見《談談素數表達式》）(中等數學)1999年2期吴振奎教授） k k k a m p a m p a m p n +==+=+= 222111 。 （1） 這裡1p ，2p ，…表示順序素數2，3，5，…。 i a =1，2，…，i p －1。也确实是i a 不
素数公式
素数公式
素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录
1 多项式形式的素数公式
2 丢番图方程形式的素数公式
3 带高斯函数的素数公式
3.1 Mills 公式
3.2 威尔逊定理的利用
3.3 另一个用高斯函数的例子
4 递推关系
5 其他公式
6 参见
7 参考文献
多项式形式的素数公式
可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。接下来考虑P(1
+ kp)的值。由于，我们有。于是P(1 + kp)是p的倍数。为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式
P(n) = n2 + n + 41
的值都是素数。对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。这种情况共有5种，它们是3，5，11，17，41。例如
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明
引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为
∏=-
⋅=i
j j
i p n n y 1
)11()(. 证明：I.当i=1时,
∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )1
1()211(2)(1
1p n n n n n y -⋅=-⋅=-
= 结论成立。 Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：
∏=-
⋅=k
j j
k p n n y 1
)1
1()( 成立。 当i=k+1时，
∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-
⋅
=k
j j
k p n n y 1
)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有
1
+k p n
个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅k
j j
k p p n 11)1
1( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=k
j j k k
j j k p p n p n n y 111
1)1
1()11()(
)11()11(11
+=-⋅-⋅=∏k k
j j p p n ∏+=-⋅=11)1
1(k j j p n
∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-
⋅
=1
1
1)1
1()(k j j
k p n n y 成立。 由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。 引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p
为连续素数，
0≤k ≤i 且k p
素数与奇合数规律
哥德巴赫猜想是这样猜着的
爱新新罗·熙国维
前 言
欧几里得约在公元前330～275年提出表达素（质）数的数学规律，至今2200多年间，人们的努力均未能果。
《运动论》的“数的全息律”告知我们：数学中的无穷大只是相对无穷大，不是绝对无穷大，追求绝对无穷大的数是不可能的，也是错误的。无穷的概念，实质上就是运动的概念，当然，数也就在运动中诞生，首当者是无理数，整数只是夹杂在其中的点点滴滴。
也是《运动论》在鲁卡斯（Lucas ）数中找到了“新的余数公式（M ）式”，并由它衍生出： r M r /α=
——（M ）
2/)15(2/1+=α
r — 奇数
素数与奇合数的诸多规律。
素数与奇合数的判别
一、除法与筛法
1．被除数b 被a 数除，得商数q ，其间的关系以分数形式表为
q a
b
= ——(q )
当a 、b 、q 都是正整数时，称b 可被a 整除。此时形象地把除法关系比喻作“筛子”，b 可被a 除，比喻作可被a “筛掉”，得q 。
2．当b 不能被a 整除时，有关系式 c q a b +∙=
——(b )
a c <≤1，c 正整数
即b 不能被a 整除，或说，b 无整数因子。比喻作b 不能被a “筛掉”。 3．我们把二项式展开式的系数公式称为“二项式系数筛子”：
q K
K n n n n n K =∙∙∙----=
4321)]
1([)2)(1()(
q 正整数
分母为K 个递升的阶乘数；分子为K 个递降的连乘数；n 为二项式的乘方数（指数）；K 为二项式展开式的项数。
4.正整数N 的最小素数因子不大于N 。
以小于或等于N 的整数除N ，可以很快确知N 数有无整数因子。埃拉托色奈斯(Eratosthenes)最早以这种除法建立了素数“筛子”。
素数通项公式
素数通项公式
素数通项公式是指能够表示出所有素数的通项公式。素数是指大于
1且只能被1和自身整除的自然数，如2、3、5、7等。对于素数的研究在数学领域具有重要的意义，因为素数是构成其他整数的基本单位，也是许多数论问题的核心。
素数通项公式的提出，可以帮助数学家们更好地理解素数的特性和分布规律。然而，目前还没有找到一种通用的素数通项公式，能够准确地表示出所有的素数。这是因为素数的分布规律非常复杂，迄今为止仍然是数论领域的一个未解之谜。
尽管没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们已经发现了一些特殊情况下的素数通项公式。例如，欧拉在18世纪提出了欧拉函数，它可以计算出给定正整数n的素数个数。欧拉函数的公式中包含了一些特定的数学函数，如幂函数、对数函数等。
数学家们还发现了一些与特定数学函数相关的素数通项公式。例如，费马素数是指形如2^(2^n)+1的素数，其中n是非负整数。费马素数通项公式可以表示出所有费马素数。然而，费马素数通项公式只能得到一部分费马素数，而不能得到全部。
除了特殊情况下的素数通项公式，数学家们也通过计算机模拟和数值计算等方法，得到了大量的素数。通过这些数值数据，他们可以研究素数的性质和规律。例如，素数定理是指当自然数n趋向无穷
大时，素数的个数近似等于n/ln(n)。这个定理为研究素数的分布规律提供了一个重要的参考。
尽管目前还没有找到通用的素数通项公式，但是数学家们的研究工作仍在继续。他们希望通过理论推导和数值计算等方法，找到更多的素数通项公式，揭示素数的奥秘。同时，他们也希望通过研究素数的特性和分布规律，解决一些与素数相关的数论难题，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想等。
素数有哪些性质
素数有哪些性质
素数具有以下性质：
1.质数的定义：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的
数称为质数。换句话说，这个数除了1和它本身以外不再有其他的因数。
2.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数都可以分解成几个素数连乘积的形式，而
且这种分解是唯一的。
3.无限性：素数的个数是无限的。
4.公式：素数的个数公式是一个增函数或常数函数。
5.存在性：若n为正整数，在到之间至少有一个质数。若n为大于或等于2的正整数，
在n到n!之间至少有一个质数。
6.个位数特性：所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。
7.质因数分布：n!中质因子k的个数==[n/k] + [n/k^2] + [n/k^3] + ……。
8.应用：素数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质
数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。
质数规律公式
质数规律公式
质数是指只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5、7、
11等。寻找质数一直是数学领域中的经典问题，其规律和公
式也一直备受关注和研究。虽然目前还没有找到质数的普遍规律，但是有一些相关的参考内容可以提供给人们进行进一步研究和探索。
1. 质数定理（Prime Number Theorem）：
质数定理是研究质数分布的重要定理之一，由法国数学家Jacques Hadamard和Charles Jean de la Vallée Poussin分别在1896年独立提出。质数定理表明，在自然数N趋近无穷大时，质数的数量大致接近于N/ln(N)，其中ln(N)表示以e为底的N
的自然对数。虽然这个定理不能直接给出质数的具体值，但是它对质数分布的数量特征提供了重要的参考。
2. 伯努利数（Bernoulli Number）：
伯努利数是以瑞士数学家Jakob Bernoulli和Johann Bernoulli
命名的一组重要数列。虽然伯努利数与质数的直接关系并不明确，但是它们在数论中起到了重要的作用。一些数论研究表明，伯努利数与质数的某些特征存在一定的关联，例如它们在一些质数的取值上可以相互补充和衍生。
3. 费马小定理（Fermat's Little Theorem）：
费马小定理是法国数学家Pierre de Fermat在17世纪提出的重
要定理之一，它建立了质数与幂的关联性。费马小定理表明，如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a^p-1与p互质。这个定理为后续研究质数的降幂表示和判断提供了一定的依据，
佛罗德数公式
佛罗德数公式
佛洛依德（Leonard Eugene Dickson）在《整数运算》一书中提出了佛洛依德公式，用于计算大型素数。该公式的中文表述如下：设p是大于5的素数，则p能表示成为如下形式之一：
p = x^2 + y^2 （其中x, y为整数且均不为0）
p = 2x^2 + 2xy + 3y^2 （其中x, y为整数且均不为0）
p = 2x^2 - 2xy + 3y^2 （其中x, y为整数且均不为0）对于每个素数p，都存在两个满足p = x^2 + y^2的整数x和y。然而，对于第二种和第三种形式，可能会有多个满足条件的x和y。因此，计算第二种和第三种形式需要额外的步骤，以确定哪种形式是符合条件的。
质数个数公式
质数个数公式
质数个数公式，也称欧拉公式，是用来计算小于等于某个数的质数个数的公式。它的表达式如下：
π(x) = Li(x) - ∑p ≤x ln(p) + O(√x log(x))
其中，π(x)表示小于等于x的质数个数；Li(x)表示x的自然对数的积分；ln(p)表示p的自然对数；∑p ≤x表示p从2到x的所有质数的和；O(√x log(x))表示x趋近于无穷大时的误差项，通常被称为“大O符号”。
这个公式的意义是，我们可以用数学方法计算出小于等于某个数x的所有质数的个数π(x)，而无需逐个遍历判断每个数是否为质数。虽然这个公式包含了一定的误差项，但随着x的增大误差会逐渐变小，因此可以用来快速估算质数的个数。
一些素数个数计算
一些素数个数计算
根据自然数数列因子分布规律和不遵从自然数数列的数列因子分布规律，用这两种方法建立计算公式求算素数个数.
标签：数列素数个数计算项差分布规律猜想
一、欧几里得素数
概念：都是整数，其形式为En=Pn+1，其中Pn是Pn的质数阶乘。
前几个欧几里得数3 7 31 211 2311 30031 510511 ……
因为是En=Pn+1，数列中的项差分布与自然数数列项差分布不同，所以，就不能用求自然数数列的奇质数方法计算。根据欧几里得数的阶乘性质和素数个数分布与计算原理，每一个欧几里得数是否奇质数，只能单独计算。
根据欧几里得数的性质，第1、2、3项欧几里得数不可能有因子，只能是奇质数；第4项211因子可能是11和13，不可能是2、3、5、7，以及≥17的奇质数，所以第4项是奇质数的可能性为1×10/11×12/13≈0.839，以后以此类推。欧几里得素数总个数计算公式F=1（第1项）+1（第2项）+1（第3项）+1×10/11×12/13（第4项）+1×12/13×16/17×18/19×22/23×28/29×30/31×36/37×40/41×42/43×46/47（第5项）+……
随着欧几里得数的不断增大，F也不断缓慢增大，所以，欧几里得素数有无限个。
以上的单个计算方法，适合于随机抽取（项差不遵从自然数数列项差分布规律）的一组数列和自然数数列的奇质数个数计算。项数越多，计算值越准确。
二、费马素数
概念：形式为2n+1（n=2m，m取值为0、1、2、3……则n为1、2、4、8……）前几个费马数是3、5、17、257、65537、4294967297……求其中的素数个数。
素数通项公式
素数通项公式
素数通项公式是数学中的一个重要公式，它可以用来表示素数的通项。素数是大于1且只能被1和自身整除的正整数。素数通项公式的发现对于数论的研究具有重要意义，也为解决一些实际问题提供了便利。
素数通项公式的具体形式是：P(n) = n^2 + n + 41，其中P(n)表示第n个素数。这个公式由欧拉在18世纪中叶提出，并被证明在n取遍自然数时，P(n)都能够得到素数。这个公式的发现引起了当时数学界的广泛关注，并被认为是一个重要的突破。
素数通项公式的证明过程较为复杂，需要运用到数论中的一些高级知识和技巧。在这里，我们将不涉及具体的证明过程，而是通过一些例子来展示素数通项公式的应用和意义。
我们可以通过计算来验证素数通项公式的正确性。例如，当n取1时，P(1) = 1^2 + 1 + 41 = 43，是一个素数。当n取2时，P(2) = 2^2 + 2 + 41 = 47，也是一个素数。以此类推，通过计算可以发现，当n取任意自然数时，P(n)都能够得到素数。这正是素数通项公式的重要性所在。
素数通项公式的应用不仅限于数论领域，还涉及到其他一些实际问题的解决。例如，在密码学中，素数通项公式可以用来生成一类特殊的素数，被称为欧拉素数。这些素数具有一些特殊的性质，可以
用来构造安全性更高的加密算法。
在计算机科学中，素数通项公式也被广泛应用于生成随机数。由于素数具有较好的随机性和不可预测性，因此可以用来生成高质量的随机数序列，用于密码学、模拟实验等领域。
总的来说，素数通项公式是数学中的一个重要公式，它不仅具有理论意义，还有许多实际应用。通过素数通项公式，我们可以方便地计算出任意位置的素数，为数论研究和实际问题的解决提供了便利。同时，素数通项公式的应用也拓展了数学在密码学、计算机科学等领域的应用范围，为相关领域的发展做出了贡献。
质数计算公式
计算质数的公式有很多种，以下是一些常见的方法：
1.试除法：对于一个大于等于2的正整数n，从2开始到根号n为止依次试除n，若都不能整除，则n是质数。
2.埃氏筛法：先将2~n之间的数全部写出来，然后将其中最小的质数2的倍数（除了2自己）标记成合数，再找到下一个未被标记的数p（p>2），把它的倍数都标记成合数。重复以上步骤直到p^2>n时才停止，那么此时所有未被标记为合数的数就是质数。
3.欧拉筛法：先按埃氏筛法筛选出质数，但在标记合数时不仅仅只用当前素数的倍数，而是将每个合数都标记了且只标记一次。相比埃氏筛法，其时间复杂度更低。
ler-Rabin素性检验：该方法不是一种准确求解质数的算法，而是用随机算法对数进行检测是否可能为质数。简单来说，如果一个大数n是质数，那么在模n意义下，a^(n-1) ≡1 (mod n)，其中a为小于n的任意一个正整数。该方法的时间复杂度接近O(k log^3 n)，其中k为检验次数，通常要求k≥10。
注：以上算法均有优化方式，可进一步提高效率。
素数普遍公式
素数普遍公式
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一、引言
二、素数普遍公式
三、素数的个数
四、公式的用途
五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义
思考题
一、引言
二、素数普遍公式
三、素数的个数
四、公式的用途
五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义
思考题
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一、引言
2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔
素数普遍公式
，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。
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二、素数普遍公式
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.
（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
质数数学公式
质数数学公式
质数是只能被1和它本身整除的正整数。在数学中，质数是一个非常重要的概念，因为它们在许多数学问题中都扮演着关键的角色。
质数有许多重要的性质和公式，其中一些如下：
1. 质数分解定理：每个正整数都可以唯一地表示为质数的乘积。
2. 质数个数定理：质数的个数是无限的，并且可以用n/ln(n)
来估计，其中n是大于等于2的正整数，ln是自然对数函数。
3. Wilson定理：如果p是一个质数，那么(p-1)! ≡ -1 (mod p)。
4. 费马小定理：如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a^p ≡ a (mod p)。
5. 素数分布定理：素数在一定范围内的分布是随机的，但是随
着范围的增大，素数分布的密度会逐渐变小。
以上是一些与质数相关的重要公式和定理。对于数学爱好者来说，研究质数是一项令人兴奋的任务，因为这种数字的神秘性和复杂性仍然是人类数学中的一个未解之谜。
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最新发现素数通项公式
最新发现素数通项公式
引言“2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式[1]的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学[2]最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。”
一些当代数学家甚至于认为不可能存在这样的公式。
作者认为，这个词条说明了该问题是世界顶级难题。素数通项公式价值连城，远比哥德巴赫猜想[3]珍贵、功用大[4]。
劳维尔们的直觉错了。因为素数的构成单一，不可改变，无法解析，只能够反向探究合数结构、自然数运算。
研究进展、吸人眼球的成果：费马素数猜想式2^(2^n)+1[5]，梅森质数猜想式2^p-1 [6]。
这两个数的指数不大时，已知素数都很少，更多是合数；指数稍大就无法计算、判断。不仅如此，而且公式没有给出证明。再有，类似这两个代数式的式子很多。例如把其指数改变成奇数、偶数，2改变成3、5、7···。这样，根本无法一一研究，研究成果、功用难言重要，或许不值得研究。因此，一些数学家把这两个公式作为了研究课题，偏失了方向，收获难言硕大。
这两个公式，不过是指数特殊的普通代数式而已。素数的判定定理证明了它们表计素数的纯粹性、该代数式只能表计极少部分自然数，证明了它们表计素数的有限性。
其实p=2n+1(或减1)就是素数通项公式[7]，剩下探索的问题、任务，就是解析n的构成形式、种类、性质、规律罢了。
这么原始、平常、简单的公式，数学家们都熟视无睹、证明束手无策，其原因就是他们没有解析合数的构成、自然数运算。
自然数学之素数公式
自然数学之素数公式
一．素数的判别：
素数也称为质数，它是只能被1和自身整除的自然数。所以人们在判断一个数是不是素数素数就需要将这个数逐一除以这个数开平方内的所有素数。即我们常用的筛法。但这方法有一缺点，需要相当多的素数储备。当一个数相当大，我们储备的素数不够多时,我们就无法判别。
那么有没有其他方法能判别和获得素数呢？有！就是要在此发表的素数公式。这个公式不是凭空想象出来的，是根据自然数学的基础理论和定律获得。
二．自然数学的简单介绍：
物体，时间，数量是自然数学的三个要素。它们的的定义是：
1，物体：具有质量为物，占有空间为体，统称为物体。
2，时间：物体的变化过程为时间。
3，数量：在物体不变的情况下，对指定范围内的同一概念物体的计量。
这样自然数学和应用数学的数字在数轴的表现方式就会产生了明显的不同。
现在的应用数学的数值在数轴的表现方式是这样的：每个数都是数轴上的一个点。
自然数学的数值在数轴的表现方式这样的：每个数都是数轴上的一个线段。
从上可以看到0和负数在自然数学中都是自然数。为什么将0和负数归入自然数和自然数的基础理论等以后有机会再作详细介绍。
三，素数公式：
这个公式非常简单，如果用自然数学表达，可能会让人产生误会。用应用数学有两个表达方式。它们的计算方法是一样的。
同余式：
函数式：
获得素数公式的原理和定律等讲解自然数学基础理论时再公布。
四：为什么命名为素数公式：
将以上公式作为组合公式：
把2，3，4，……n/2分别代人a，如果公式全部成立，那么n必定是素数。否则必定是合数。将以上公式单独应用：
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素数普遍公式
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一、引言
二、素数普遍公式
三、素数的个数
四、公式的用途
五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义
思考题
一、引言
二、素数普遍公式
三、素数的个数
四、公式的用途
五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义
思考题
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一、引言
2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔
素数普遍公式
，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。
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二、素数普遍公式
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 （三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。 （四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=p k m k+a k 。(1) 其中p1，p2，.....，p k表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，p km+0形。若N （五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示： N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。(2) 例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x 9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。 以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。 例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。 k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，1 1，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。 k=3时, ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| ---------------------|---------|----------|--------|---------| n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| ------------------------------------------------------------ 求得了（7，7*）区间的全部素数。 由孙子定理知，（1）式和（2）式在p1p2....pk范围内有(2-1)(3-1)（5-1）....(p k-1)个解，两式的本质是从p1p2....pk中除去pm（m〉1)的合数，这一点与埃拉托塞筛法不同，埃氏筛是用p1，p2，...，pk去筛p(k+1)平方以内的合数，剩下的就是p* (k+1)以内的素数了。例如用2，3，5，去筛49以内的合数，剩下的就是（7，7*）区间的素数了。但是，（1）（2）式是用p1，p2，..，pk 去筛p1p2...pk以内的pi m（i≤k)形的数，连同p1，p2，...，pk也筛掉了。切比雪夫证明了“p*(k+1) pk对于由4开始的所有的K 都是对的。例如，3*>2，5*>2×3，7*>2×3×5，11*<2×3×5×7。从11开始都是这样了。（参见[数学欣赏]汉斯拉德海著220页“数30的一个性质”北京出版社1981.6）所以，若K≥4时，（1）（2）式的计算结果只能取p(k+1)平方以内的值才是素数。k=4时, - -------------------------- |7m+1 |7m+2 |7m+3 | 7m+4|7m+5 | 7m+6 | -----------------------------|--------|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m+1=5m+1=|-- 1 -- |-121- |-- 31--|- 151-|--61--|-181-- | ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m=1=5m+2=|-127-|--37-- |--157--|-67--|-187-- |-- 97-- | ------------------------------|- -----|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m+1=5m+3=|--43--|--163-|--73---|-193-|-103--|--13----| ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m+1=5m+4=|-169-|--79--,|-199-- |-109-|--19---|-139---| ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m+2=5m+1=|--71--|-191--|-101--|--11--|-131--|--41----| ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m+2=5m+2=|-197-|-107--|--17---|-137--|--47-- |-167-- | ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------- n= 2m+1=3m+2=5m+3=|-113-|-- 23--|-143--|-- 53--|-173--|-- 83---| ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|- n= 2m+1=3m+2=5m+4=|--29--|-149--|--59--|-179--|--89-- |--209-- | ------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|- 求得了（11，11*）区间的全部素数。共有（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）= 48个解。小于11平方的解有27个，加上被筛掉的（m=1）四个数2，3，5，7。减掉即不是素数也不是合数的“1”，共有： ************(2-1)×(3-1)×(5-1)×(7-1) [ 121×------------------------------------+4-1]=30.个解。方括号内取整数。 ******************( 2×3×5×7) 素数普遍公式实际上是由两个式子共同完成，仅从（1）式看不出素数的什么规律，一旦转为同余式组，整个线路就清晰了，因为在孙子定理的照耀下，我们知道，a≠0，即是在p1p2p3...pk范围内筛去p1m+0，p2m+0，p3m+0，...，pkm+0形的数，所以在p1p2p3...pk范围内有（2-1）×（3-1）×（5-1）×...×(pk-1)个解。或者表示成(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...(1-1/pk).（*） 个解。并且类似意大利数学家彼德罗们伐利的调和级数的定理，在向无穷所使用的“自我复制”,大家可以联想到原子核裂变的情况，物理与数学是相通的。