素数普遍公式

素数普遍公式目录[隐藏]一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题一、引言二、素数普遍公式三、素数的个数四、公式的用途五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义思考题[编辑本段]一、引言2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔素数普遍公式，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。

2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。

黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。

也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。

希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。

实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。

[编辑本段]二、素数普遍公式公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。

（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。

（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。

.（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。

见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。

屉部贞世朗编。

259页）。

（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=p k m k+a k 。

(1)其中p1，p2，.....，p k表示顺序素数2，3，5，,,,,。

a≠0。

即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，p km+0形。

若N<P（k+1）的平方[注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。

（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。

(2)例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x 9+2=5x5+4。

29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。

29小于7的平方49，所以29是一个素数。

以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。

求得了（3，3*）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，1 1，17，23。

求得了（5，5*）区间的全部素数。

k=3时,---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|---------------------|---------|----------|--------|---------|n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|------------------------------------------------------------求得了（7，7*）区间的全部素数。

由孙子定理知，（1）式和（2）式在p1p2....pk范围内有(2-1)(3-1)（5-1）....(p k-1)个解，两式的本质是从p1p2....pk中除去pm（m〉1)的合数，这一点与埃拉托塞筛法不同，埃氏筛是用p1，p2，...，pk去筛p(k+1)平方以内的合数，剩下的就是p* (k+1)以内的素数了。

例如用2，3，5，去筛49以内的合数，剩下的就是（7，7*）区间的素数了。

但是，（1）（2）式是用p1，p2，..，pk 去筛p1p2...pk以内的pi m（i≤k)形的数，连同p1，p2，...，pk也筛掉了。

切比雪夫证明了“p*(k+1)<p1p2...pk对于由4开始的所有的K 都是对的。

例如，3*>2，5*>2×3，7*>2×3×5，11*<2×3×5×7。

从11开始都是这样了。

（参见[数学欣赏]汉斯拉德海著220页“数30的一个性质”北京出版社1981.6）所以，若K≥4时，（1）（2）式的计算结果只能取p(k+1)平方以内的值才是素数。

k=4时,- -------------------------- |7m+1 |7m+2 |7m+3 | 7m+4|7m+5 | 7m+6 |-----------------------------|--------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+1=5m+1=|-- 1 -- |-121- |-- 31--|- 151-|--61--|-181-- |------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m=1=5m+2=|-127-|--37-- |--157--|-67--|-187-- |-- 97-- |------------------------------|- -----|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+1=5m+3=|--43--|--163-|--73---|-193-|-103--|--13----|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+1=5m+4=|-169-|--79--,|-199-- |-109-|--19---|-139---|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+2=5m+1=|--71--|-191--|-101--|--11--|-131--|--41----|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+2=5m+2=|-197-|-107--|--17---|-137--|--47-- |-167-- |------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|----------n= 2m+1=3m+2=5m+3=|-113-|-- 23--|-143--|-- 53--|-173--|-- 83---|------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-n= 2m+1=3m+2=5m+4=|--29--|-149--|--59--|-179--|--89-- |--209-- |------------------------------|-------|--------|--------|-------|--------|---------|-求得了（11，11*）区间的全部素数。

共有（2-1）×（3-1）×（5-1）×（7-1）= 48个解。

小于11平方的解有27个，加上被筛掉的（m=1）四个数2，3，5，7。

减掉即不是素数也不是合数的“1”，共有：************(2-1)×(3-1)×(5-1)×(7-1)[ 121×------------------------------------+4-1]=30.个解。

方括号内取整数。

******************( 2×3×5×7)素数普遍公式实际上是由两个式子共同完成，仅从（1）式看不出素数的什么规律，一旦转为同余式组，整个线路就清晰了，因为在孙子定理的照耀下，我们知道，a≠0，即是在p1p2p3...pk范围内筛去p1m+0，p2m+0，p3m+0，...，pkm+0形的数，所以在p1p2p3...pk范围内有（2-1）×（3-1）×（5-1）×...×(pk-1)个解。

或者表示成(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)...(1-1/pk).（*）个解。

并且类似意大利数学家彼德罗们伐利的调和级数的定理，在向无穷所使用的“自我复制”,大家可以联想到原子核裂变的情况，物理与数学是相通的。

素数个数的公式[编辑本段]三、素数的个数设π（p*(k+1)表示不大于p*(k+1)素数个数（可以参见右图）：------------------------------（p1-1)(p2-1)(p3-1)......(p k-1)π(p*(k+1)=[ p*(k+1)×-------------------------------------------+k-1] 。

（ 3 ）------------------------------------------( p1p2......p k)利用（3）式计算素数个数可以相当精确。

下面是利用（3）式计算的一些结果。

-------------------------------------------------------------------------p(k+1) |--------- 利用（3）式计算的数值------- |---- 实际值---3----|------------4----------------------------------|----4--------5----|------------9----------------------------------|----9-----------7----|-----------15---------------------------------|----15---------11---|-----------30----------------------------------|---30---------13---|-----------39----------------------------------|---39----------17--|-----------60----------------------------------|---61----------19--|-----------71----------------------------------|---72---------23---|-----------97----------------------------------|----99----------29--|--------145------------------------------------|-----146--------31-|----------161----------------------------------|-----162--------37-|-----------219---------------------------------|----219-------101-|----------1251---------------------------------|---1252-----------------------------------------------------------------------------------------------上面的表格是说，例如，素数101的平方内，利用（3）式计算的是1251个素数，实际值是1252个素数。