人教版八年级数学-全等三角形

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人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。

求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。

经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。

例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。

例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。

例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。

全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。

②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。

③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。

④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。

⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。

温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。

全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。

人教版八年级数学-全等三角形

典型较高难ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题 - 1
题意：如图，△ABC为等腰直角三角形，其中AC=BC，∠ACB=90°，AD平分
C
BC；过C点做AD的垂线，分别交AD于F、交AB于E，试证明：∠ADC=∠BDE。
解： ∵ 由题意可知，∠CAB=∠ABC=45°，CD=DB，CF⊥AD，∠ADC
分别与∠CAD、∠DCF互余，∴ ∠DCF=∠CAD 过C点做AB边的中垂线，与AD、AB分别相交于F’、D’点，
∴ △AEB ≌ △AEC ······ 第一步
∴ ∠BAE=∠CAE ······ 第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出 G
错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。
E
答：不正确，第一步使用了SSA（边边角）判定三角形全等，是错的。另外，
第一、第二步的因果关系也颠倒了，先证明角相等，才有三角形全等。
，可知：由EF两点间线段最小，
又 ∵ PP2=EP2 , PP1=FP1
B
转化为△PP1P2周长最小
难度系数
F P1
P
P2 E
A C
写在最后 - 解题总结
性质定理是基础
基础
几何数学思维是导向
导向
适当的辅助线是解题关键辅助线
THANKS!
本课件由于编者水平有限，不当之处在所难免，请读者批评指正！
解：过E点分别做AB、AC的垂线，分别交AB、AC于G、F
∵EB=EC，∠GBE=∠FCE，∠EGB=∠EFC，∴ △EGB ≌ △EFC , ∴ EG=EF
B
以角平分线定律逆推(或利用直角三角形的HL定律证明△AEG ≌ △AEF)，E点位于∠BAC角

人教版数学八年级上册复习课件：第12章《全等三角形》

三个角对应相等的两个三角形全等吗？
三个角对应相等的两个三角形不一定全等
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？
A
\
==
B
D
C
两边和其中一边的对角对应相等的两
个三角形不一定全等
找第三边 (SSS) （1）：已知两边----
找夹角（SAS)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
A
D
E
F
B
C
已知，如图,AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点,试说明:BF=CF.
证明：在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD ∴ △ABD≌ △ACD(SSS) ∴∠BAD= ∠CAD又∵F是AD延长线上一点，∴∠BAF= ∠CAF 在△ABF和△ACF中
AB=AC ∠BAF= ∠CAF
（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”
学而不思则罔
回
头
一
看
你有哪些收获呢？
，我
与大家共分享！
想
说
…
课后作业
合
作
学习 ‘
请同学们回去后自己找几个你认为与
乐
本章有关的题目与
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(AAS)
已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ ΔDEF (1)若要以“SAS”为依据，还缺条件＿AB＿=＿DE＿＿； (2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件∠＿A＿CB＿= ∠＿D；FE

2024年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形专题三三角形全等基本模型

(1)求证：△ ABD ≌△ ACE ；
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专题三
三角形全等基本模型
【证明】∵∠ BAC ＝∠ DAE ，∴∠ BAC －∠ DAC ＝
∠ DAE －∠ DAC ，
即∠ BAD ＝∠1，
＝，
在△ ABD 与△ ACE 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABD ≌△ ACE (SAS).
5. [母题教材P55复习题T3] 如图，点 D 在 BC 上， AB ＝
AD ，∠ BAD ＝∠ CAE .
(1)添加条件：
AC ＝ AE (答案不唯一)
(只需写出一
个)，使△ ABC ≌△ ADE ；
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专题三
三角形全等基本模型
(2)根据你添加的条件，写出证明过程.
(2)【证明】∵∠ BAD ＝∠ CAE ，
∴∠ BAD ＋∠ DAC ＝∠ CAE ＋∠ DAC ，
即∠ BAC ＝∠ DAE ，
又∵ AB ＝ AD ， AC ＝ AE ，
∴△ ABC ≌△ ADE (SAS).
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专题三
三角形全等基本模型
6. [2024佛山禅城区一模]如图，已知 AB ＝ AC ， AD ＝
AE ，∠ BAC ＝∠ DAE ，且 B ， D ， E 三点共线.
BA 到点 E ，使得 BE ＝ BC ，连接 DE . 若∠ ADE ＝
44°，求∠ ADB 的度数.
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人教版八年级数学上册专题(三) 全等三角形判定与性质的综合运用

Rt△ODE≌Rt△OCE(AAS)，∴DE＝CE
类型三：证明两直线平行
4．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
解：在△DOC 与△BOA 中，O∠CD＝OOC＝ A，∠BOA， OD＝OB，
∴△DOC≌△BOA(SAS)，∴∠D＝∠B，∴AB∥CD
类型四：证明两直线互相垂直 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC，证明：∵AC＝2AB，D是AC的中点，∴AB＝ AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ ED，∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BED＋ ∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝90°，∴BE⊥EC
3．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CDபைடு நூலகம்AC＝BD.求证：DE＝CE.
解：∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°，在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，DACC＝＝CBDD，，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，∴∠ACD
＝∠BDC，在 Rt△ODE 和 Rt△OCE 中，∠∠OOEDDE＝＝∠∠OOECCE＝，90°，∴ OE＝OE，
∴∠A＝∠D
类型二：证明两线段相等 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC， CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE. 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又CE⊥BD，∴∠BEC＝90°，又∵∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC，又BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS)， ∴AD＝BE

人教版八年级数学上册第12章全等三角形复习课

△ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？
∴ BE=AD
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
D
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
第12章全等三角形复习课
全章知识结构图
三角形全等（全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
图形的全等
命题与证明（定义、命题、公理、定理）
——证明
基本作图
画线段
画角画垂线画垂直平分线画角平分线
一.全等三角形：
1.什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、
BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个
关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，
④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作
为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。
请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：
如果……那么……）（1）
(1)定义（重合）法；
解题 (2)SSS；
中常 (3)SAS；
不包括其它形
用的 4种
(4)ASA；
状的三角形
方法 (5)AAS.
直角三角形全等特有的条件：HL.

人教版初中数学八年级上册第十二章全等三角形

人教版数学八年级上册
12.1 全等三角形/
12.1 全等三角形
导入新知
12.1 全等三角形/
观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？
导入新知
12.1 全等三角形/
你能再举出生活中的一些类似例子吗？
素养目标
12.1 全等三角形/
3. 初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.
12.1 全等三角形/
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？
①
②
③
④
⑤
探究新知
12.1 全等三角形/
归纳总结
全等图形定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 全等形性质：如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
探究新知下面哪些图形是全等图形？
12.1 全等三角形/
大小、形状完全相同
课后作业
作业内容
12.1 全等三角形/
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
2. 熟练掌握全等三角形的性质，并能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题.
1. 熟记全等形及全等三角形的概念;能够正确找出全等三角形的对应边、对应角.
探究新知
12.1 全等三角形/
知识点 1 全等图形的定义及性质
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
探究新知
正确的结论并证明.
解：结论：EF∥NM
其他结论吗？
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
巩固练习
12.1 全等三角形/
如图，△ABC ≌△CDA，AB 与CD，BC 与DA 是对应边，

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

人教版八年级数学上册第12章全等三角形知识点复习总结及常考题型练习

全等三角形　第十二章全等三角形知识框架：：一、知识框架知识概念：：二、知识概念基本定义：：1.基本定义⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平理解移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

　⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.基本性质：：2.基本性质⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对理解应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。

　(3)全等三角形的周长相等、面积相等。

　(4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

　全等三角形的判定定理：：3.全等三角形的判定定理⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.证明两个三角形全等的基本思路：：4.证明两个三角形全等的基本思路5.角平分线角平分线：：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等　证明的基本方法：：6.证明的基本方法⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）　⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题学习全等三角形应注意以下几个问题：：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；　(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；　(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；　(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。

人教版八年级数学上全等三角形

初中数学试卷全等三角形知识导引1、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应边相等；（2）全等三角形的对应角的角平分线相等，对应边上的中线、高线分别相等；2、全等三角形的判定方法：（1）定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形；（2）边角边（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（3）角边角（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（4）角角边（AAS）：有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；（5）边边边（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。

3、会用三角形全等的判定定理来证明有关问题，并会进行有关计算。

4、全等三角形知识是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线的位置关系等常见的几何问题。

利用全等三角形证明问题时，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下几类基本图形：典例精析例1：如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A、甲、乙B、甲、丙C、乙、丙D、乙例2：如图，点D，E分别在线段AB，AC上，BE，CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需要添加的一个条件是（写出一个条件即可）。

例2—1：如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AC＝AB，，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN。

其中正确的结论是（把你认为所有正确结论的序号都填上）。

例3：众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排这三个条件，是这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）、（2）、（3），导出方案（4）。

人教版八年级数学上册第12章第5课时三角形全等的判定——HL

∴AB＝CB＋AC＝AD＋BE.
小结：在一线三直角模型中，推出对应角相等，进而判定全等，得到相关线段相等，最后判断数量关系.
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数学
★12.(1)如图(1)，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，试说明 BC⊥CE 的理由； (2)如图(2)，若△ABC 向右平移，使得点 C 移到点 D，AB⊥ AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索 BD⊥CE 的结论是否成立，并说明理由．
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数学
10.如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( C) A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE 与△CBE 不一定全等 D．∠1＝∠2
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数学
7.【例 3】如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，且 BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：∵BD，CE 分别是△ABC 的高，
第十二章全等三角形
第5课时三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等． 2．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题． 3．通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运用知识的能力.
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，BBCE＝＝CCBD ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结：根据高的定义求出∠BEC＝ ∠CDB＝90°，再根据 HL 证明.
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11.如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.求证：Rt△ABE≌ Rt△CBF.

人教版八年级数学上册第4课时“斜边、直角边”判定三角形全等

课堂练习
2.（1）如图， ∠ACB=∠ADB=90 °,要使
△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加
的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全等的理由. ① ____A_D__=_B_C___ （ HL ）； ② ____B_D__=_A_C___ （ HL ）； ③∠__D_A__B_=_∠__C_B__A（AAS）； ④ ∠__D__B_A_=_∠__C__A_B（AAS）.
例如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D, AC=BD.求证 BC=AD.
证明：∵ AC⊥BC,BD⊥AD，
∴ ∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AB=BA, AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴BC=AD.
探究新知
你能用几种方法判定两个直角三角形全等呢？ “定义、SSS、SAS、ASA、AAS”以及“HL”
的距离相等吗？为什么？
相等
课堂练习
证明：∵ DA⊥AB，EB⊥AB ∴ ∠A=∠B=90 ° 在Rt△ACD和Rt△BCE中，
AC=BC
CD=CE ∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL） ∴ AD=BE
2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为
E，F，CE=BF，求证：AE=DF.
小结
通过本节课的学习，同学们有哪些收获？ 1.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一
般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL”.
2.两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等，只需找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）即可.
课堂练习

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.2三角形全等的判定(第4课时图文详解)

通过本课时的学习，需要我们掌握：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形
判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法：HL.
八年级数学上册第12章全等三角形
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE
B
A
E
F
C
D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
∵ AE=CF
∴AF=CE 又∵ AB=CD
A
E
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)
∴ BF=DE
D
B
八年级数学上册第12章全等三角形
我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ 1、边边边(SSS) 2、边角边(SAS) 3、角边角(ASA) 4、角角边(AAS)
八年级数学上册第12章全等三角形
A 如图，AB ⊥ BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若A= D，AB=DE，
F
E
B
C
则△ ABC与 △DEF 全等（填“全等”或“不全
等”）根据 ASA （用简写法）.
D
八年级数学上册第12章全等三角形
（2）若A=D，BC=EF，则 △ABC与△ DEF 全等（填
“全等”或“不全等”）根据 AAS .（用简写法）
（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△ DEF 全等（填“全等”或“不全等”）根据 SAS （用简写法）
八年级数学上册第12章全等三角形
第12章全等三角形
八年级上册
八年级数学上册第12章全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第4课时
八年级数学上册第12章全等三角形

人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习课(共25张PPT)

【思维模式】在证明线段相等或角相等的题目中，通常通过证明这两条线段或角所在的三角形全等来得到线段相等或角相等，若这两条线段或角在不可能全等的两个三角形中，还可寻求题目中的已知条件或图形中的隐含条件通过等量代换来达到证明全等的目的．
例3：第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O．点P，D分别在AO和BC上，PB＝ PD，DE⊥AC于点E．
O，请写出图中一组相等的线段______________．
5．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x＝
_____．
20
AC＝BD或BC＝AD OD＝OC或OA＝OB．
考点3 等腰、等边三角形与全等的综合（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）等腰直角三角形与全等三角形的综合问题；（2）等边三角形与全等的综合问题．
D．1cm
例1：如图，AD是等腰直角三角形ABC的底角的平分线，∠C＝ 90°，求证：AB＝AC＋CD．
【思维模式】（1）不管是过点D作AB的垂线也好，还是延长AC也好，实际上都是利用了角平分线的轴对称性构造的全等三角形，得出一些相等的线段或相等的角解决问题；（2）人教课本书后习题给出了角平分线的另一条性质，即图中 CD∶BD＝AC∶AB，这一结论在解决很多面积有关问题的时候，也能带来方便．
6．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，D为AB边上一点．求证：BD＝AE．
考点4 角平分线的性质与判定（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）直接考查角平分线基本图形能得到的一些基本结论；（2）角平分线与其它知识（如中位线、等腰、垂直平分线等）的综合（后面再列举）．

人教版八年级数学-全等三角形-“边角边”判定三角形全等

学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程．
五、小结与作业 1．师生小结： (1)“边角边”判定两个三角形全等的方法． (2)在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角． 2．布置作业：教材习题12.2第3，4题．
本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得出“边角边”的判定方法．不仅学习了知识，也训练了思维能力，对三角形全等的判定(SAS)掌握的也好，但要强调书写的格式的规范，同时让学生感受到在证明角形全等来解决．
解：(1)AC⊥CE.理由：由SAS证△ABC≌△CDE，∴∠ACB＝∠E， ∵ED⊥CD，∴∠ECD＋∠E＝90°，∴∠ACB＋∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE
(2)成立．以图②为例，理由如下：由SAS证△ABC1≌C2DE， ∴∠AC1B＝∠E，∵ED⊥BD，∴∠EC2D＋∠E＝90°，∴∠EC2D＋ ∠AC1B＝90°，∴∠C2MC1＝90°，即AC1⊥C2E
易误与“SSA”混淆导致出错．
AB＝AD，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，∴BC＝DE
10．在△ABC和△A′B′C′中：①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；
④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′.则下列条件中，不能保证△ABC≌△A′B′C′的是
()
D
A．①②③ B．①②⑤ C．①③④ D．①③⑤
11．如图，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DC，延长BA至点E，若∠B＝ 48°，则∠CAE＝__9_6_°.
∴DM＝DN
15．如图，A，F，C，D四点在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，且 AB＝DE，求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)∠CBF＝∠FEC.

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一、基础知识
（三）全等三角形的判定
2.直角三角形全等的判定 HL(斜边直角边定理)
斜边和一条直角边对应相等
三角形全等.
的两直角
（三）全等三角形的判定
练一练
1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是（C ） A. 有两边和夹角对应相等 B. 有三边分别对应相等 C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等
图8
二．强化训练
3、如图，已知AD∥BC，AE＝CF，根据所给条件能否证明△ADF≌△CBE？若能，
给予证明；若不能，请补充一
个条件使其全等，并写出证明．
二、强化训练
解：根据所给条件不能证明△ADF≌△CBE，添加条件AD＝CB，证明如下：
∵AD∥BC， ∴∠A＝__∠_C___ ∵AE＝CF，则AE＋EF＝CF＋EF， ∴AF＝ CE. 又∵ AD ＝CB， ∴△ADF≌ △CBE.( SA)S
（二）全等三角形的性质
练一练
1．如图4，△ABD≌△ACE，点B和点C是
对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则BE
的长是（ B ）
A．1 B．2
图4
C．4 D．6
一、基础知识
2.如图5，两个三角形全等，其中某些边的长度及某些角的度数已知，则∠2的度数为 __5_2_°__．
图5
一、基础知识
二、强化训练
6.如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证： ∠ABC=∠DCB.
二、强化训练
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ∠AEB= ∠DFC=90° 在Rt△AEB与Rt△DFC中， AB=DC AE=DF
∴ △AEB ≌ △DFC(HL) ∴ ∠ABC=∠DCB
A. ∠E＝∠B
E
B. ED＝BC C. AB＝EF
A
F1 2C
D
D. AF＝CD
B 第4题
图6
一.基础知识
（三）全等三角形的判定练一练 4.如图7，△ABC中，AD⊥BC，若根据 “HL”判定△ABD≌△ACD，则需添加条件 ___A_B_=_A__C．
图7
二．强化训练
1.如图8，点M是AB的中点，∠1＝∠2， ∠C=∠D，判定△AMC≌△BMD的方法是( D ) A.SAS B. ASA C. SSS D. AAS 2.下列方法中，不能判定两个三角形全等的是( D ) A. SAS B. ASA C. SSS D. SSA
（三）ห้องสมุดไป่ตู้等三角形的判定
1.一般三角形全等的判定 (1)SAS(边角边) 两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等； (2)ASA(角边角) 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等； (3)AAS(角角边) 两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等；
(4)SSS(边边边)三边对应相等的两三角形全等
二、强化训练
4、已知：△ABC中，AB=AC，D.E分别为 AB.AC的中点.求证：∠ABE=∠ACD
二、强化训练
证明：∵AB=AC D.E分别为AB.AC中点 ∴AD=___A_E___ ∴在△ADC与△AEB中
AD=__A_E_____ ∠A＝∠A AC=__A__B___ ∴△ADC≌△AEB（SAS） ∴∠ABE=__∠_A__C_D
三、应用举例例1 如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．
解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm， ∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm， ∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)．
练一练 1．如图1，△AOC≌△BOD，则对应角是_∠_A__和_∠__B_, _∠_C_和__∠_D__, _∠_A_O__C_和__∠_B_O__D____ ，
对应边是_A__O_和__B_O_，__O__C_和__O_D_,_A_C_和__B_D___
C
B
O
A
D
图1
2.如图2，把△ABC绕A点旋转一定的角度，得到△ADE，则对应角是 ∠_B__C_A_和__∠_D__E_A_,∠__B_A_C_和__∠_D__A_E_,___ _∠_D_和__∠_B_.__
四、巩固练习教材练习第1题．教材习题12.1第1题．补充题： 1．全等三角形是( ) A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的三角形 C．面积相等的两个三角形 D．能够完全重合的三角形
2．下列说法正确的个数是( )
①全等三角形的对应边相等；
②全等三角形的对应角相等；
③全等三角形的周长相等；
本节课通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力．
一、基础知识
（一）全等形.全等三角形 1.能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 3.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．一个图形经过平移.翻折.旋转后，其位置改变，但形状 . 大小没有改变，即平移.翻折. 旋转前后的图形全等．
得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状．
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如 △ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点 D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF， AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．
一、基础知识
（三）全等三角形的判定练一练
2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（D）
A. 有三个角相等 B. 有一条边和一个角相等 C. 有一条边和一个角相等 D. 有一条边和两个角相等
一、基础知识
3、如图6，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么
要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件
是（）D
二、强化训练
5.已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA. 求证：∠CAD=∠DBC.
二、强化训练
证明：在△ABC与△BAD中
AC=BD ∠CAB＝∠DBA AB=BA ∴△ABC≌△BAD（SAS） ∴∠CBA=∠DAB ∵∠ CAB-∠DAB = ∠DBA - ∠ CBA ∴ ∠CAD=∠DBC
12．1 全等三角形
1．了解全等形及全等三角形的概念． 2．理解全等三角形的性质．
重点探究全等三角形的性质．难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．
一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？二、探究新知 1．动手做 (1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？ (2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念．能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
④全等三角形的面积相等．
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，
AB＝8，EF＝5，求∠DFE的度数与DE的长．
补充题答案： 1．D 2．D 3．∠DFE＝35°，DE＝8
五、小结与作业 1．全等形及全等三角形的概念． 2．全等三角形的性质．作业：教材习题12.1第2，3，4，5，6题．
2．观察观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．
总结知识点：对应顶点、对应角、对应边．全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．如：△ABC≌△A′B′C′.
3．探究 (1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．
对应边是_A_C_和__A_E_,_A_B_和__A_D__,B_C__和_DE
D B
C
E
A
图2
3.如图3所示，图中两个三B角形能完全重合，
下列写法正确的是（）
A．△ABE≌△AFB B．△ABE≌△ABF C．△ABE≌△FBA D．△ABE≌△FAB
F
B
A
E
一、基础知识
（二）全等三角形的性质 1.全等三角形的对应边相等； 2.全等三角形的对应角相等； 3.全等三角形的对应中线.对应角平分线. 对应高相等；全等三角形的周长.面积相等．

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