平抛运动斜面距离问题的解法赏析
高中物理当平抛遇到斜面
·当平抛遇到斜面斜面上的平抛问题是一种常见的题型，本文通过典型例题的分析，希望能帮助大家突破思维障碍，找到解决办法。
一．物体的起点在斜面外，落点在斜面上1.求平抛时间例1.如图1, 以v 0＝ m/s 的水平初速度抛出的物体, 飞行一段时间后, 垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上, 求物体的飞行时间解: 由图2知，在撞击处：(tan 30y v v =︒, ∴3y v t g==s.2.求平抛初速度例2.如图3，在倾角为370的斜面底端的正上方H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。
解：小球水平位移为0x v t =，竖直位移为212y gt =由图3可知，20012tan 37H gt v t-=， 《又0tan 37v gt =， 解之得：0153gH v =. 点评：以上两题都要从速度关系入手，根据合速度和分速度的方向（角度）和大小关系进行求解。
而例2中还要结合几何知识，找出水平位移和竖直位移间的关系，才能解出最终结果。
3.求平抛物体的落点例3．如图4，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。
从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。
若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ）A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点解：当v 水平变为2v 0时，若作过b 点的直线be ，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故A 对.图1图2图3图4；点评：此题的关键是要构造出水平面be ，再根据从同一高度平抛出去的物体，其水平射程与初速度成正比的规律求解.二、物体的起点和落点均在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角。
一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解。
用平抛运动的推论求解斜面上的平抛运动
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数理化学习 ( 高中版 )
y1 =
1 2
g
t21,
y2
=
1 2
g
t22
两小球着地情况有几种可能性:
( 1) 均落在水平上, 于是有 y1 = y2
可得 x1 x2
=
v1 v2
=
12, 故 ( A ) 正确.
( 2) 均落在斜面上, 则由推论 1有 y1 = y2 , x1 x2
可得 x1 x2
解析: 作出在撞击处的速度矢量图如图 2 所示, 由推论 1知:
vy =
v0 tan3 0
得 vy = 3v0 = 9. 8 3 m / s
由 vy =
gt, 得
t=
vy g
=
3s
例 2 如图 3 所
示, 两 个相 对的 斜 面,
倾角分别为 37 和 53 .
在顶点 把两 个小 球 以
相同初速度分别向左、
一、平抛运动常见的几个推论 推论 1: 任意时刻的合速度 (合位移 ) 与两 分速度 (分位移 ) 构成直角三角形. 推论 2: 从抛出点开始, 经过任意时刻的速 度与水平方向夹角 的正切值等于位移与水平 方向夹角 的正切值的 2倍, 即 tan = 2 tan . 推论 3: 平抛运动任意时刻末速度的反向 延长线交于水平位移的中点. 二、用推论解斜面上的平抛运动 1. 推论 1在斜面上平抛运动中的应用 例 1 如图 1所示, 以 v0 = 9. 8 m / s的水平 初速度抛出的物体, 飞行一段时间后, 垂直地 撞在倾角 为 30 的斜面上, 求物体的飞行时 间?
=
23 3
解得 cos =
3 21
vB
=
vA cos
2019高三专题突破14平抛运动规律的应用之多体平抛运动问题与斜面上的平抛运动问题Word版含解析
专题14 平抛运动规律的应用之多体平抛运动问题与斜面上的平抛运动问题一、 多体平抛运动问题1．多体平抛运动问题是指多个物体在同一竖直平面内平抛时所涉及的问题。
2．三类常见的多体平抛运动(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
3. 解题技巧(1)物体做平抛运动的时间由物体被抛出点的高度决定，而物体的水平位移由物体被抛出点的高度和物体的初速度共同决定。
(2)两条平抛运动轨迹的交点是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
【典例1】如图所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )．A ．a 的飞行时间比b 的长B ．b 和c 的飞行时间相同C ．a 的水平速度比b 的小D ．b 的初速度比c 的大 【答案】 BD【典例2】如图所示，A 、B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t 在空中相遇。
若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )A ．tB ．22t C.2t D.4t 【答案】C【解析】 设两球间的水平距离为L ，第一次抛出的速度分别为v 1、v 2，由于小球抛出后在水平方向上做匀速直线运动，则从抛出到相遇经过的时间t ＝v1＋v2L，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则从抛出到相遇经过的时间为t ′＝2(v1＋v2L ＝2t，C 项正确。
【跟踪短训】1. 如图所示，两个小球从水平地面上方同一点O 分别以初速度v 1、v 2水平抛出，落在地面上的位置分别是A 、B ，O ′是O 在地面上的竖直投影，且O ′A ∶AB ＝1∶3。
高中物理模块要点回眸5平抛运动与斜面结合的问题新人教版必修2(new)
第5点平抛运动与斜面结合的问题解答斜面上的平抛运动问题时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移或速度与水平方向夹角的关系，通过分解位移或速度使问题得到顺利解决。
对点例题一水平抛出的小球落到一倾角为β的斜面上时，其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图1中虚线所示。
则小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为（)图1A。
tan β B。
2tan β C。
错误! D.错误!解题指导由图可知小球在竖直方向下落的距离y与水平方向通过的距离x之比等于tan α，即错误!＝tan α，tan θ＝错误!，又由于tan θ＝2tan α。
所以错误!＝tan α＝错误!，故选项D正确。
答案D1。
（多选）如图2所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球由静止释放,运动到底端B的时间为t1。
若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A点经过的时间为t2,落到斜面底端B点经过的时间为t3，落到水平面上的C点经过的时间为t4，则（）图2A.t2＞t1B.t3＞t2C。
t4＞t3D。
t1＞t4答案BD解析设斜面高为h,倾角为θ，则当小球沿斜面下滑时，其加速度a＝g sin θ，由错误!＝错误!at错误!得t1＝错误!错误!，小球平抛时，由h＝错误!gt2得t3＝t4＝错误!＞t2＝错误!，故t1＞t3＝t4＞t2，选项B、D正确.2.如图3为湖边一倾角为θ＝37°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O。
一人(身高忽略不计）站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO＝50 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
则：图3（1）若要求小石子能直接落到水面上，v0最小是多少？（2)若小石子不能直接落到水面上,落到斜面时速度方向与水平面夹角的正切值是多少？答案(1)16.33 m/s (2）1.5解析(1）若小石子恰能落到O点,v0最小,有AO cos θ＝v0t,AO sin θ＝错误!gt2，解得v≈16。
平抛运动与斜面问题的探讨
） 时， 火 车将 做离 心 （ 或近 心 ） 运动， 车 轮将 会 挤压 轨
道 内侧 （ 或外侧） 产 生侧 压 力 Ｆ， 此 时侧 压 力 Ｆ多 大 ？ （ 重力 加速度 为 ｇ ， 不讨论 车轮与轨道 的摩擦 问题 ） 参 考答 案 ：
正值 ， 表 明小 珠 受 大 环 的 支 持力 ， 反作用是压力 ； 若 Ｎ 为 负值 ， 表 明小 珠 受 大环 压 力 ， 反作用是“ 抬力” 。 悬 线 中 的张力 １ 、 极小 ， 则 大 环所 受 “ 抬力” 的 竖 直 分 量最大 。由两 小珠 在 下滑 过 程 中机 械 能 守恒 ， 得
１ ． 如 图 ６所 示 ， 质量 为 Ｍ 的立
Ａ． 轰 炸机 的飞行 高度 Ｂ ． 轰炸 机 的飞行 速度
Ｃ ． 炸 弹 的 飞 行 时 间 Ｉ ） ． 炸 弹 投 时 的 动 能
中掌 生数理亿 ． 富二 赢三使用
图 ６
方 体块 放 在 粗 糙 的 水 平 面 上 ， 立 方
向上 的匀 速 直 线 运 动 和 竖 直 方 向上 的 自由 落 体 运
动， 只要 掌 握 了运 动 的合 成 与 分 解 的平 行 四边 形 定
则， 一 般 的平 抛 运 动 问题 都 能 够 解 决 。但 当平 抛 运 动 与斜 面 相 结 合 时 ， 求 解 起 来 就 要 困 难 一 些 了 。下 面 我们 结合 例 子来探 究 这类 问题 的求 解策 略 。
的 距 离 ｄ一 １ Ｉ Ｔ Ｉ ， 取 ｇ —ｉ ０ ｍ／ ｓ ， 空
动 过程 中 ， 小 球 在槽 内做 周 期性 变 速 圆 周运 动 ， 立 方
体块 始 终静 止在 地 面 上 。试 求 在 。取 以下 数 值 时 ，
平抛运动与斜面模型
平抛运动与斜面模型平抛运动是一种古老的物理模型，它描述了当一个物体以一定的初速度被投掷出去时，沿着水平方向运动，并受到重力的作用而沿着竖直方向下落的运动状态。
这种运动状态被称为平抛运动，是物理学中比较简单的一种运动状态，也是一些很有用的实际问题中的基础。
平抛运动的数学模型是基于牛顿的力学定律和基本运动学公式建立的。
当一个物体以初速度v0在地面上被投掷出去时，它会以固定的速度沿水平方向移动，其水平速度不变，可以用以下方程表示：x = v0t其中，x为物体沿水平方向移动的距离，t为运动的时间。
如果物体受到重力的作用，它将沿竖直方向运动，竖直方向的速度将会发生改变。
物体的竖直运动可以由以下公式描述：y = v0t - 1/2gt^2其中，y为物体沿竖直方向下落的距离，g为重力加速度，t为运动的时间。
在这个运动状态中，物体沿着抛出角度的曲线运动，其运动轨迹可以表示为：y = xtanθ-1/2gx²/(v0cosθ)²其中，θ为抛出角度，在这个运动状态中，这个抛出角度是重要的参数之一，它会影响物体的运动轨迹。
如果初始速度v0和抛出角度θ已经确定，我们就可以使用这些公式来计算出物体在任意时间和任意位置的运动状态。
平抛运动模型有许多实际运用，其中之一是对于物体的落点的预测。
在一些体育比赛中，比如说击球运动、投掷项目等，通过预测体育器材的抛出速度和角度，运动员可以估算出它们的运动轨迹和落点。
此外，平抛运动模型也被广泛应用于医院等领域，在判断怪物或人的跳跃速度、分析运动员的动作时我们需要用到平抛运动模型。
斜面模型是一种质点受到斜面力作用而在斜面上滑动的物理模型。
当一个物体放置在斜面上后，受到位置和重力的相互作用，它在斜面上沿着向下的方向开始滑动，这种滑动称为斜面运动。
斜面运动的模型包含了许多因素，比如物体的重量、斜面的夹角、摩擦系数等，这些因素都会影响物体在斜面上的滑动状态。
基于运动学和力学原理，可以把这些因素纳入斜面运动的数学模型中。
模型10 斜面上的平抛运动(解析版)
【变式训练 3】(多选)如图所示,一质点以速度 v0 从倾角为 θ 的斜面底端斜向上抛出,落到斜面上的 M 点且速 度水平向右。现将该质点以 2v0 的速度从斜面底端朝同样方向抛出,落在斜面上的 N 点。下列说法正确的是 ( )。
【解析】(1)设石块击中物块的过程中,石块运动的时间为 t 对物块,运动的位移 s=vt 对石块,竖பைடு நூலகம்方向有(l+s)sin37°= gt2 水平方向有(l+s)cos37°=v0t 解得 v0=20m/s。 (2)对物块有 x1=vt 对石块,竖直方向有 h= gt2
解得 t= =4s
水平方向有 +x1=v1t 联立可得 v1=41.7m/s。 【典例 3】(多选)如图所示,从倾角为 θ 的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜 面上,当抛出的速度为 v1 时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为 α1;当抛出速度为 v2 时,小球到达斜面时 速度方向与斜面的夹角为 α2,则( )。
根据几何关系可知，水平位移 x＝tahnα＝60 m
水平方向上，v0＝xt＝20 m/s.
(2)竖直方向上的位移 y＝12gt2
水平方向上位移 x＝v0t 根据平抛运动规律可知 tanα＝yx＝2gvt0 竖直分速度 vy＝gt
根据平行四边形定则可知，合速度 v＝ v20＋v2y
联立解得 v＝
13 2
【变式训练 2】如图所示,在倾角为 37°的固定斜坡上有一人,前方有一物块沿斜坡匀速下滑,且速度 v=15 m/s, 在二者相距 l=30 m 时,此人以速度 v0 水平抛出一石块打击物块,人和物块都可看成质点。(已知 sin 37°=0.6,g=10 m/s2)
(1)若物块在斜坡上被石块击中,求 v0 的大小。 (2)当物块在斜坡末端时,物块离人的高度 h=80 m,此刻此人以速度 v1 水平抛出一石块打击物块,同时物块开始 沿水平面运动,物块速度 v=15 m/s,若物块在水平面上能被石块击中,求速度 v1 的大小。 【答案】(1)20m/s (2)41.7m/s
斜面上平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直（远离）斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角a二是位移偏向角3,画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tan a= 2tan 3如果物体落到斜面上，则位移偏向角3和斜面倾角B相等, 此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论I：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处,方向与水平方向的夹角为幅贝U tan启2tan如设其末速度方向与水平方向的夹角为0,位移证明：如右图所示，由平抛运动规律得V y gt tan 0= - =v-,V x V0+ 丄y o= 1gl!= gtan"= x o 2 v o t 2v o,所以tan 0= 2tan（j）o推论H：做平抛（或类平抛）运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中证明：如右图所示，tan片yox oy otan 0= 2tan $= x o/2即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点。
（1）在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
⑵它们与水平方向的夹角关系为tan 0= 2tan札但不能误认为0= 2如【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为0的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上, 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足（）A. tan 0= sin 0 C. tan 0= tan 0B. tan 0 = cos0 D. tan 0= 2tan 0［解析］竖直速度与水平速度之比为：tan 0= V0，竖直位移与水平位移之比为: tan 0=2v o t，故tan 0= 2tan 0,D正确。
例析平抛运动与斜面的组合问题
例析平抛运动与斜面的组合问题许文将平抛运动与斜面组合是一种常见的深化平抛运动的构题方式。
这类组合问题往往通过斜面的一些隐含条件，能很好地考查同学们对平抛运动规律的理解与运用。
下面通过实例剖析平抛运动与斜面组合的几种经典构题方式，探究各种组合问题的命题规律，总结求解问题的分析方法。
一、起点在斜面外、落点在斜面上的平抛起点在斜面外、落点在斜面上的平抛运动问题往往会给出做平拋运动的物体落在斜面上的速度方向与斜面的夹角或物体落在斜面上的位置。
斜面往往会隐含着物体做平抛运动末速度的方向、平抛运动的水平位移与竖直位移间的关系。
通常根据斜面的倾角，由几何关系、三角函数等数学知识找出相关的隐含条件，才能使问题得以顺利求解。
例1如图1所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面时运动的时间为t，重力加速度为g。
则下列说法中正确的是（）。
点评本题中斜面约束了小球的平抛运动，斜面的倾角隐含着小球做平抛运动的末速度方向、水平位移与竖直位移间的关系。
通过相关的数学知识找出这种隐含条件是分析求解这类问题的关键。
例2如图2所示，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰好落在b点。
若小球的平抛初速度变为v，落点位于c点，则（）。
A.v0B.√2v0C.2v0D.v>3v0例3如图4所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，现测得AB：BC：CD=5：3：1，则（）。
A.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动时间之比为1：2：3B.从A、B、C三处抛出的三个小球落在斜面上时的速度与初速度间的夹角之比为1：1：1C.从A、B、C三处抛出的三个小球的初速度大小之比为3：2：1D.从A、B、C三处抛出的三个小球的运动轨迹可能在空中相交解析因为AB：BC：CD=5：3：1，所以从A、B、C三处抛出的三个小球做平抛运动的位移大小之比为点评本题中三个小球的运动均为同一斜面上的平抛运动，上述求解过程中充分利用了斜面上平抛运动的几个二级结论，即运动时间t∞v0，合位移s∞v0，末速度与初速度方向间夹角a与斜面倾角θ之间满足tan a=2tanθ，实现了快速求解问题的目标。
与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．两种情况的特点及分析方法对比如下：方法内容斜面飞行时间总结分解速度水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt合速度：v＝v x2＋v y2特点：tan θ＝v xv y＝v0gtt＝v0g tan θ分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2合位移：s＝x2＋y2特点：tan θ＝yx＝gt2v0t＝2v0tan θg分解位移，构建位移三角形【例1】如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()A.23s B.223s ， C. 3 s D.2 s【例2】如图所示，AB为固定斜面倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？【例3】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．【例5】如图所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m ．g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．课后作业1.如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落到了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打在斜面上，则v1、v2之比为()A．1∶2B．2∶1 C．3∶2 D．2∶32.如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O 点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g取10 m/s2)()A．2 s B. 2 s C．1 s D．0.5 s3.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则()A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/sB.小球击中斜面时的速度大小为4 m/sC.小球做平抛运动的水平位移是1.6 mD.小球做平抛运动的竖直位移是1 m4.将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 3 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是()A.斜面的倾角是60°B.小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方D.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处5.如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶46.如图所示，从斜面上的A 点以速度v 0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，已知AB ＝75 m ，α＝37°，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )A.物体的位移大小为60 mB.物体飞行的时间为6 sC.物体的初速度v 0大小为20 m/sD.物体在B 点的速度大小为30 m/s7.如图所示，可视为质点的小球，位于半径为3m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点.过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A.553 m/sB.4 3 m/sC.3 5 m/sD.152m/s8.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求： (1)小球水平抛出的初速度大小v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x .与斜面有关的平抛运动参考答案【例1】【答案】 C【解析】 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有：tan 30°＝v 0v y ，v y ＝gt ，联立得：t＝v 0g tan 30°＝3v 0g＝ 3 s ，故C 正确． 【例2】【答案】 (1)4v 0 23g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0 212g【解析】 (1)设飞行时间为t ，则有：水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t 竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2解得：t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g .(2)方法二(结合斜抛运动分解)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动．小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得：t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y22g y ＝v 0 2sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0 212g.【例3】【答案】 A【解析】 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 20tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误.【例4】【答案】 (1)6.75 m 0.9 s (2)32【解析】 (1)如图所示，小球落到B 点时位移与初速度的夹角为37°，设运动时间为t . 则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得：t ＝0.9 s所以x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)设小球落到B 点时速度方向和水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.【例5】【答案】 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下 【解析】 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有： AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2联立解得：L ＝5 2 m ，t ＝1 s.(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s 竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v yv 0＝1 解得：α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下．课后作业1.【答案】C【解析】球A 做平抛运动，根据分位移公式，有x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，又tan 30°＝yx ，联立解得v 1＝32gt ；小球B 恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝v 2v y ＝v 2gt ，则得v 2＝33gt ，可得v 1∶v 2＝3∶2，故C 正确，A 、B 、D 错误． 2.【答案】C【解析】设小球撞到斜面AB 中的一点D 上，则小球的水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t ，则根据几何关系可得v 0t ＝10 m －12gt 2，代入数据解得t ＝1 s ，故选项C正确． 3.【答案】 A【解析】 P 点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝v 0v y ，解得：v y ＝v 0tan 37°＝334 m/s＝4 m/s ，小球击中斜面时的速度大小为：v ＝v 20＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，A 正确，B 错误；小球运动的时间：t ＝v y g ＝410 s ＝0.4 s ，可知水平位移：x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m ，竖直位移：y ＝12gt 2＝12×10×0.42 m ＝0.8 m ，C 、D 错误.4.【答案】 C【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt，解得θ＝30°，A 错误；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2＝15 m ，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m ，B 错误；若小球的初速度为v 0′＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P 、A 之间，C 正确，D 错误。
平抛运动与斜面、球面结合的题型整理与归纳
x tan y
2vo ，故 A 项正确。 g tan
tan
x tan vo vo 与 关系弄混，故易错选 B 项。 vy g t y
以上两题是物体从空间某一点飞向斜面的题目，题目情景类似但解 题关键点不同，要找准关键点必须要画图，再找关系，所以，笔者认为可 以把解题思路概括为“画平抛运动轨迹草图——根据题意，画准平抛运动 草图——分辨解题关键是用位移还是用速度各分解量之间的关系——列式 解决平抛运动问题除了要用好以上两个矢量分解关系外，解题步骤 至关重要。下面用两个物理量分解的矢量图和规律对平抛运动与斜面、球 面结合的两种题型进行解析。 一、平抛运动与斜面结合 例 1：如图所示，小球以 vo 正对倾角 的斜面水平抛出，若小球垂直 打在斜面上，则飞行时间 t 为（重力加速度为 g ）（ ） 求解”。这样的解题思路对于从斜面上飞出落到斜面上的题目，同样可以 提高正确率。 例 3：如图所示 , 斜面倾角为 , 从此斜面上 M 点以速度 vo 将一小球 水平抛出 , 它落在斜面 N 点处 , 则小球从 M 点到 N 点的运动时间和从 M 点 到离开斜面最远处运动时间之比为 ( )
）
vy vo
2v A、 o g tan
2v tan B、 o g
v C、 o g tan
D、vo tan
g t v tan , 则从 M 点到离开斜面最远处的运动时间 t o vo g
平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题(解析版)
平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题特训目标特训内容目标1平抛运动基本规律(1T -4T )目标2平抛运动与斜面相结合的问题(5T -8T )目标3平抛运动与圆面相结合的问题(9T -12T )目标4平抛运动与任意曲面相结合的问题(13T -16T )【特训典例】一、平抛运动基本规律1如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为H ≈3.2m 、h ≈2.4m 的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距L ≈1m 。
由此估算刹车时的车速最接近()A.40km /hB.50km /hC.70km /hD.90km/h【答案】A【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为v 。
对于物品A ，水平方向上，有x A =vt 1竖直方式上，有h =12gt 21对于物品B ，水平方向上，有x B =vt 2竖直方式上，有H =12gt 22根据题图分析可知L =x B -x A 解得汽车的行驶速度v =9.33m/s =33.6km/h所以刹车时的车速最接近40km/h 故选A 。
2如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架ABCD -A 1B 1C 1D 1，已知：AB :AD :AA 1=1:1:2，从顶点A 沿不同方向平抛小球(可视为质点)。
关于小球的运动，则()A.所有小球单位时间内的速率变化量均相同B.落在平面A 1B 1C 1D 1上的小球，末动能都相等C.所有击中线段CC 1的小球，击中CC 1中点处的小球末动能最小D.当运动轨迹与线段AC 1相交时，在交点处的速度偏转角均为60°【答案】C【详解】A ．所有小球都是做平抛运动，只受重力，加速度为重力加速度g ，所有小球单位时间内的速度变化率相同，故A 错误；B ．所有落在平面A 1B 1C 1D 1上的小球，下落高度相同，由t =2h g可知下落时间相同，而落到C 1点的小球水平位移最大，所以落到C 1点的小球的抛出初速度v 0最大，所以落到C 1点的小球的末速度最大，即落到C 1点的小球的末动能最大，故B 错误；C ．所有击中线段CC 1的小球水平位移相同，设为x ，击中线段CC 1某点的小球的位移偏转角为θ，那么下落到该点的高度h 为h =x tan θ又由平抛规律和动能定理有h =12gt 2；x =v 0t ；mgh =E k -12mv 20联立上式得E k =mgx tan θ+14tan θ可知当tan θ=12时，E k 有最小值，再结合题目的几何关系知该点应为线段CC 1的中点，故C 正确；D ．当运动轨迹与线段AC 1相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值为tan θ=1再根据平抛推论知，所有小球速度偏转角相同，其正切值为tan ∂=2tan θ=2由此可知在交点处的速度偏转角均不为60°，故D 错误；故选C 。
平抛运动斜面距离问题的解法赏析
平抛运动斜面距离问题的解法赏析无锡市堰桥中学 周维新平抛运动是生活中常见的运动，也是高中物理曲线运动中典型的运动形式。
因此平抛运动高考中的重点和热点。
学生在处理较为简单的问题时，进行分解合成处理还能完成，但是对于较为复杂的问题时就感觉到束手无策。
本文就平抛运动中较为复杂的斜面距离问题的解法作如下探讨。
例题：如图，AB 斜面倾角为37°，小球从A 点以初速度v 0=20m/s 水平抛出，恰好落到B 点，求： （1）物体在空中飞行的时间；AB间的距离；（2）小球在B点时速度的大小和方向； （3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大，最大距离是多少g=10m/s 2；1、分解法第（3）问的传统解法将平抛运动分解到斜面方向和垂直于斜面方向：沿斜面方向：V //=V 0cos37º=20×0.8=16m/s ，a //=gsin37º=10×0.6=6m/s 2匀加速直线运动。
垂直斜面方向：V ⊥= V 0sin37º=20×0.6=12m/s ，a ⊥=gcos37º=10×0.8=8m/s2匀减速直线运动。
当垂直斜面方向的速度减为零时，球离斜面距离最远。
t===1.5s ，最远距离S==。
此种解法沿用了离地最高必有在垂直地面方向的速度为零的结论。
球离斜面距离最大，则球在垂直斜面上的速度必为零。
因而本解法采用正交分解，可以巩固学生的运动合成与分解知识，同时拓展对平抛运动的处理方法。
平抛运动分解为两个方向的匀变速直线运动，学生较易理解但运算较繁。
2、追击解法设斜面上有一个点，该点沿斜面作匀速直线运动。
该点的水平分速度v 0=20m/s 与小球的平抛初速度相等，竖直方向的分速度v y = v 0tan37°=15m/s ，所以小球由A 点平抛运动到B 点时，该点也恰好从A 点匀速运动到B 点，在运动过程中该点始终在小球的正下方。
化曲为直,巧解平抛运动遇到斜面问题
化曲为直，巧解平抛运动遇到斜面问题作者：谭程来源：《广东教育·高中》2012年第09期在学习平抛运动时经常会遇到平抛运动与斜面相遇的问题，这类问题主要有两种：一是物体的起点在斜面外开始做平抛运动，最后落点在斜面上，二是物体的起点就在斜面上开始做平抛运动最后落点均在斜面上．而这两类问题主要聚焦在三个识点上:分别是求物体的速度、时间和位移．解决这类问题可通过化曲为直的思想进行求解，下面我们来具体分析一下这两类问题中的三个知识点：第一类：物体的起点在斜面外开始做平抛运动，最后落点在斜面上1．求物体从斜面外平抛到斜面的初速度．【例1】如图1所示,一个物体以υ0的初速度水平抛出,恰好垂直碰到一个倾角为的斜面，此时物体的速度大小为20m/s，则物体做平抛( )A． 0m/sB． 15m/sC． 20m/sD． 25m/s解析：当物体垂直打在斜面上时设其速度为υ，竖直方向的速度为υy，根据平行四边形定则可做出速度的矢量合成图，如图2所示，根据几何关系有：υ=■=20m/s．由此可解得物体做平抛运动的初速度为：v0=v·sin300=10m/s．答案：A2．求物体从斜面外平抛到斜面的时间．【例2】如图3所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α =53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，重力加速度g=10m/s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，求：（1）小球水平抛出的初速度υ0是多少？（2）小球从平台运动到斜面顶端的时间 t是多少？（3）斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？解析：（1）由题意可知小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，如图4所示，否则小球会弹起，根据图2有vy=v0tan53°在竖直方向根据匀变速直线运动的规律有v2y=2gh代入数据解得υy＝4 m/s，υ0＝3 m/s．（2）设小球从抛出到刚运动到斜面的时间为t1，在竖直方向根据自由落体运动的规律由υy＝gt1解得t1＝0.4 s．（3）面顶端与平台边缘的水平距离为s＝υ0t1＝3×0.4 m＝1.2m．[学法指导]以上两题都采用了化曲为直的巧妙方法,将平抛运动化解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,从而巧妙地解决了斜面以外的物体平抛运动到斜面上的时间以及做平抛运动的初速度.3．求平抛物体的落地点．【例3】如图5，斜面上有a、b、c、d 四个点，ab=bc=cd．从a点正上方的O点以速度υ水平抛出一个小球，它落在斜面上b点．若小球从O点以速度2υ水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（）A． b与c之间某一点B． c点C． c与d之间某一点D． d点解析：假设这个小球分别以υ0、2υ0的初速度从同一点O处水平抛出，且落在同一水平面上，由于两次平抛出的高度是相同的，设以2υ0水平抛出后的水平位移为s2，以υ0水平抛出后的水平位移为s1，根据匀速直线运动运动的规律可知s2=2s1，于是我们可以这样做：过b 点做垂直于直线Oa的直线eb交Oa于C，再连接ce，由相似三角形的规律可知ce垂直于Ce．可见当水平速度变为2υ0时，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A正确．[学法指导]此题的关键是要构造出水平面，再根据从同一高度平抛出去的物体，让它们落在同一水平面，然后再根据水平射程与初速度成正比的规律作出平抛速度以2υ0的平抛落点，从而很巧妙地找到了平抛速度为2υ0时的运动轨迹与斜面的交点．第二类：物体的起点在斜面上开始做平抛运动，最后落点在斜面上此类问题的特点是物体的位移与水平方向的夹角即为斜面的倾角．一般要从位移关系入手，根据位移中分运动和合运动的大小和方向（角度）关系进行求解．1．求小球落在斜面上的速度及在斜面上的位移．【例4】如图6，在倾角为α的斜面上A点，以初速υ0水平抛出一小球，小球落在斜面上的B点，不计空气阻力，求：（1）小球落到B点的速度多大？（2）求小球从A点运动到B点的位移．解析：（1）水平方向做匀速直线运动，则水平位移为：x=υ0t．竖直方向做自由落体运动，则竖直方向的位移为：y=■gt2．根据几何关系有：■=■=tanα．由上式可求得小球在空中的运动时间为：t=■．小球在竖直方向的速度为：υy=gt=2υ0tanα．根据平行四边形定则小球落到斜面上的速度为：υ=■=υ0■．（2）AB两点的位移为：sAB=■=■2=■■．[学法指导]此题问题求解的关键是将小球在竖直方向的位移与水平方向的位移、小球的合位移构成一个三角形，再利用该三角形与斜面的相似性进行求解是解决这类问题的突破口．2．求平抛时距离斜面的最大高度．【例5】如图7，在倾角为θ的斜面顶端A处以速度υ0水平抛出一小球，小球落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求从抛出开始计时，经过多长时间小球离斜面的距离达到最大？这个最大距离是多少？解析：从抛出开始计时，设经过t时间小球离斜面的距离达到最大，此时小球的速度与斜面平行，设最大距离为H，如图8所示，设此时小球竖直方向的速度为υy，速度为υ，根据平行四边形定则有：υy=gt=υ0tanθ．所以小球运动的时间为：t1=■．此时水平方向的位移为：x=υ0t=■．竖直方向的位移：y=■gt2=■．在图8中根据几何关系有：■+y=xtanθ．解得最大距离为：H=■．[学法指导]本题中要抓住题目的隐含条件，小球瞬时速度υ与斜面平行时小球离斜面最远，再应用运动的合成与分解求解．还要结合几何知识，找出水平位移、竖直位移小球离斜面最大高度之间的关系：■+y=xtanθ，才能解出最终结果．三、对一个有用结论的推导【例6】如图9所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足（）A．tanφ=sinθB．tanφ=cosθC．tanφ=tanθD．tanφ=2tanθ解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ =■，竖直位移与水平位移之比为：tanθ =■，故tanφ =2 tanθ ，D正确．[学法指导]由例题6可看出从斜面上平抛出来又落在斜面上的物体其速度方向的偏角φ和位移方向与水平方向之间的夹角θ之间的关系是：tanφ=2tanθ．(作者单位：阳山县阳山中学)。
第16讲 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型(解析版)
第16讲 斜面上的平抛运动模型及类平抛运动模型一.知识总结斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。
1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论） (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
(2)刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
(3)运动的时间与初速度成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝2v 0tan θg 。
(4)位移与初速度的二次方成正比⎝ ⎛⎭⎪⎫s ＝2v 20tan θg cos θ。
(5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
2．常见的模型模型方法分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形分解位移，构建位移三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角基本 规律水平：v x ＝v 0竖直：v y ＝gt 合速度：v ＝v 2x ＋v 2y水平：v x ＝v 0 竖直：v y ＝gt 合速度：v ＝v 2x ＋v 2y水平：x ＝v 0t 竖直：y ＝12gt 2 合位移： s ＝x 2＋y 2方向：tanθ＝v xv y方向：tanθ＝v yv x方向：tanθ＝yx运动时间由tanθ＝v0v y＝v0gt得t＝v0g tanθ由tanθ＝v yv0＝gtv0得t＝v0tanθg由tanθ＝yx＝gt2v0得t＝2v0tanθg3.类平抛运动模型（1）模型特点：物体受到的合力恒定，初速度与恒力垂直，这样的运动叫类平抛运动。
如果物体只在重力场中做类平抛运动，则叫重力场中的类平抛运动。
学好这类模型，可为电场中或复合场中的类平抛运动打基础。
（2）.类平抛运动与平抛运动的区别做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝F合m。
斜面上平抛运动问题
斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有垂直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿垂直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tan α＝2tan β，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得tan θ＝v y v x ＝gt v 0， tan φ＝y 0x 0＝12·gt 2v 0t ＝gt 2v 0， 所以tan θ＝2tan φ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tan φ＝y 0x 0tan θ＝2tan φ＝y 0x 0/2即末状态速度方向的反向延长线与x 轴的交点B 必为此时水平位移的中点。
注意：(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tan θ＝2tan φ，但不能误认为θ＝2φ。
【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上， 物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )A ．tan φ＝sin θB ．tan φ＝cos θC ．tan φ＝tan θD ．tan φ＝2tan θ[解析]竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝gt v 0，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝gt 22v 0t，故tan φ＝2tan θ， D 正确。
当平抛遇上斜面
重点辅导Җ㊀山东㊀赵财昌㊀㊀平抛运动是最常见的曲线运动之一,是应用运动的合成与分解知识的典型案例,体现了化繁为简的处理问题的方法,历来是高考的重点和热点．斜面是高中物理中运动学㊁力学中最常见的物理情境之一．当平抛运动遇上斜面,将会上演怎样的精彩呢?以下主要从两个方面与大家分享．１㊀起点、落点都在斜面上物体从斜面上以初速度v ０水平抛出,经过时间t㊀㊀图１又落回该斜面,如图１所示,斜面倾角为θ,速度偏向角(速度与水平方向的夹角)为α．从图中可以直观看出位移偏向角(位移与水平方向的夹角)等于斜面的倾角θ．由几何关系和平抛运动的规律可得t a n θ＝yx ＝１２gt ２v ０t ＝g t ２v ０＝１２t a n α,所以速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的２倍,即t a n α＝２t a n θ;运动时间t ＝２v ０t a n θg．㊀㊀图２例１㊀跳台滑雪是一项勇敢者的运动,运动员穿专用滑雪板,在滑雪道上获得一定的速度后从跳台飞出,在空中飞行一段距离后着陆．现有某运动员从跳台O 处沿水平方向飞出,在斜坡A 处着陆,如图２所示,测得O ㊁A 间的距离L ＝４０m ,斜坡与水平方向的夹角θ＝３０ʎ,山坡可以看成一个斜面,不计空气阻力,g 取１０m s －２．试计算:(１)运动员起跳后在空中飞行的时间和在O 处的速度大小;(２)运动员在空中离开坡面的最大距离．运动员离开O 点后做平抛运动,O ㊁A 间的距离４０m 就是运动员的位移大小,位移偏向角等于斜面的倾角３０ʎ,将位移分解为竖直方向和水平方向,利用平抛运动的规律即可求出飞行时间和初速度;欲求运动员在空中离开坡面的最大距离,可以将运动员的运动分解为垂直斜面的匀减速直线运动和沿斜面的匀加速直线运动,再求出垂直斜面方向的加速度,根据匀变速直线运动的规律求出最大距离．(１)如图２所示,运动员下降高度h ＝L s i n θ,又由平抛运动规律得h ＝１２g t ２,代入数据解得t ＝２s ．运动员水平位移x ＝L c o s θ,又由平抛运动规律得x ＝v ０t ,代入数据解得v ０＝１０３m s －１．(２)如图３所示,建立平面直角坐标系,正交分解初速度和重力,则垂直斜面方向:v ０y ＝v０s i n θ,m gc o s θ＝m a y ．当运动员离斜面最远时,垂直斜面方向的分速度减为０,设最远距离为H ,则v ２０y ＝２a y H ．代入数据解得H ＝５３２m．图３起点和落点都在斜面上的平抛运动,起点与落点之间的距离就是物体位移的大小,位移偏向角等于斜面的倾角．如果已知位移(合位移或分位移)大小或者时间,常常分解位移,利用斜面的倾角与位移之间的关系分析求解;对于某些特殊问题,也可以根据需要将平抛运动分解为其他方向的匀变速直线运动．㊀㊀图４例２㊀如图４所示,一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(㊀㊀)．A．t a n φ＝s i n θ㊀㊀B ．t a n φ＝c o s θC ．t a n φ＝t a n θD．t a n φ＝２t a n θ２４重点辅导物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角为φ,位移的偏向角等于斜面的倾角θ,由前面分析可知速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的２倍,即t a n φ＝２t a n θ,故选项正确．㊀图５变式㊀如图５所示,从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出,小球均落在斜面上．当抛出的速度为v １时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α１;当抛出速度为v ２时,小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α２．不计空气阻力,则(㊀㊀)．A．当v １＞v ２时,α１＞α２B ．当v １＞v ２时,α１＜α２C ．无论v １㊁v ２关系如何,均有α１＝α２D．α１㊁α２的关系与斜面倾角θ有关㊀㊀图６斜面倾角为θ,即位移的偏向角为θ,由图６可知速度偏向角为θ＋α,由速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的２倍,可得t a n (θ＋α)＝２t a n θ,此式表明小球到达斜面时速度方向与斜面间的夹角与初速度无关,仅与斜面倾角θ有关,所以α１＝α２,故选项C 正确．对于起点和落点都在斜面上的平抛运动,要注意斜面倾角㊁速度偏向角㊁位移偏向角三个角度之间的关系:位移偏向角等于斜面倾角,速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的２倍．只有熟练掌握平抛运动的二级结论,做题时才会事半功倍．㊀图７例３㊀如图７所示的两个固定斜面,倾角分别为３０ʎ和６０ʎ．在斜面顶端将两个小球A ㊁B 以同样大小的初速度分别向左㊁向右水平抛出,小球都落在斜面上,若不计空气阻力,则A ㊁B 两个小球下落高度之比为(㊀㊀)．A．１ʒ２㊀㊀㊀B ．３ʒ１C ．１ʒ９㊀㊀D．９ʒ１由前面分析可知小球从水平抛出到落回斜面的时间t ＝２v ０t a n θg．平抛运动在竖直方向做自由落体运动,所以小球下落高度h ＝１２gt ２．联立解得h ＝２v ２０ta n ２θg,所以h A h B ＝t a n ２３０ʎt a n２６０ʎ＝１９．故选项C 正确．平抛运动的物体下落的高度由时间决定,所以解答本题的关键是推导出小球运动时间的表达式,或者根据二级结论直接得出的运动时间的表达式．２㊀起点不在斜面上,而落点在斜面上物体从斜面外水平向斜面抛出,最后落在斜面㊀㊀图８上,常见的一种情况是物体垂直打在斜面上,即速度方向与斜面垂直,如图８所示,由几何关系可知垂直打在斜面上的速度与竖直向下的分速度之间夹角等于斜面倾角θ,所以t a n θ＝v x v y ＝v ０g t ;空中运动的时间t ＝v ０gt a n θ．㊀㊀图９例４㊀(２０１０年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如图９虚线所示,小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为(㊀㊀)．A．t a n θ㊀㊀㊀B ．２t a n θC ．１t a n θ㊀D．１２t a n θ由上面分析可知小球运动的时间为t ＝v ０gt a n θ,小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比y x ＝１２gt ２v ０t ＝１２t a n θ．故选项D 正确．㊀㊀㊀图１０变式１㊀如图１０所示,O 为斜面的底端,在O 点正上方的A ㊁B 两点分别以水平初速度v A ㊁v B 正对斜面抛出两小球,两个小球都垂直击中斜面,击中的位置分别为P ㊁Q (图中未画出),O P ＝３O Q ,空气阻力忽略不计,则(㊀㊀)．A．２O B ＝A B ㊀㊀㊀B ．３O B ＝A BC ．２v A ＝v B ㊀D．３v A ＝v B３４重点辅导如图１１所示,根据几何关系得O P O Q ＝v A t Av B t B＝３１．设斜面倾角为θ,由前面分析可知小球运动时间t ＝v ０g t a n θ,所以t At B ＝v A v B ．联立解得v A v B ＝３１,即v A ＝３v B ,所以C ㊁D 错误．小球A 的抛出点到O 点距离h A ＝y ＋xt a n θ＝１２g t ２A ＋v A t A t a n θ＝v ２A (１２gt a n ２θ＋１g )．图同理,小球B 的抛出点到O 点距离h B ＝v ２B(１２gt a n ２θ＋１g )．因此O A O B ＝v ２A v ２B ＝３１,即２O B ＝A B ,所以选项A 正确,选项B 错误．对于物体从斜面外水平向斜面抛出,最后垂直打在斜面上的问题,常常需要分解速度,找到斜面倾角与速度的关系,即t a n θ＝v ０v y ＝v ０g t,充分分析斜面倾角与位移之间的几何关系,挖掘隐含条件．㊀㊀图１２变式２㊀两个小球先后从同一高度,以水平初速度v ０向倾角为θ的固定斜面抛出,如图１２所示．第一个小球垂直撞在斜面上,第二个小球落在离抛出点最近位置的斜面上,则两个小球在空中的运动时间之比为(㊀㊀)．A．２１㊀㊀B ．１１㊀㊀C ．１２㊀㊀D．１４㊀㊀图１３当小球垂直打在斜面时,由前面分析可知运动时间为t ＝v ０gt a n θ．当小球落在斜面上离抛出点最近的位置时,如图１３所示,则t a n θ＝v ０t ᶄ１２g t ᶄ２,解得t ᶄ＝２v ０g t a n θ,所以t t ᶄ＝１２．故选项C 正确．解答本题的关键是要理解 小球落在斜面上离抛出点最近的位置 和 小球垂直撞在斜面上 的物理意义,从而进一步找到斜面倾角和速度的关系及斜面倾角和位移的关系㊀㊀图１４例５㊀斜面上有A ㊁B ㊁C ㊁D 四个点,如图１４所示,A B ＝B C ＝C D ,从A 点正上方的P 点以水平速度v 抛出一小球,小球落在B 点,若从P 点以水平速度２v 抛出一小球,不计空气阻力,则小球落在斜面上的(㊀㊀)．A．B 与C 间的某一点㊀㊀B ．C 点C ．C 与D 间的某一点㊀㊀D．D 点如图１５所示,过B 点作水平线A １B C １,交P A 于A １,C １在C 点正下方,由于A B ＝B C ,所以A １B ＝B C １,如果B 点后面的斜面是水平面,根据平抛运动的规律可知,当小球的速度变为２v 时,小球应该落在C １点,而当B 点后面是斜面时,小球会落在斜面上B 与C 间的某一点,故选项A 正确．图１５根据平抛运动的规律,高度相同时,水平位移与初速度成正比．物体从相同高度以不同的水平速度抛向斜面,落在斜面上的位置不同,为了利用上述关系,可以虚拟一个水平面,根据位移关系确定落点位置．３㊀总结平抛运动与斜面相结合的问题,高考中频频出现,情境设置往往推陈出新,但万变不离其宗．考生首先要熟练掌握平抛运动的特点和规律,然后明确 三二一 ,即三个角度:斜面倾角㊁速度偏向角㊁位移偏向角;二个关系:速度偏向角与速度的关系,即t a n α＝v y v ０,位移偏向角与位移的关系,即t a n θ＝yx,且t a n α＝２t a n θ;一种方法:运动的合成与分解,平抛运动常常分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,但有时根据需要也可以分解为其他方向的匀变速直线运动．总之,根据题意,建立起三个角度与速度㊁位移之间的关系,在此基础上展开思维,即可找到解决这类问题的钥匙．(作者单位:山东省青岛市即墨区美术学校)４４。
平抛运动与斜面、曲面结合的问题(解析版)--高考物理热点模型
1平抛运动与斜面、曲面结合的问题模型概述1．模型概述：在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角关系求解．2.各种类别：1)平抛与竖直面结合水平：d =v 0t竖直：h =12gt 22)平抛与斜面结合①顺着斜面平抛情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下处理方法：分解位移．x =v 0t y =12gt 2tan θ=yx可求得t =2v 0tan θg .情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下处理方法：分解速度v x =v 0v y =gt tan θ=v y vx可求得t =v 0tan θg .②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v x v y=v 0gt可求得t =v 0g tan θ.3)平抛与圆面结合①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．处理方法：由半径和几何关系制约时间t ：h =12gt2R ±R 2-h 2=v 0t联立两方程可求t .②小球恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB 垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角相等．处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v y v x=gt v可求得t =v 0tan θg .③小球恰好从圆柱体Q 点沿切线飞过，此时半径OQ 垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．处理方法：分解速度．v x =v 0v y =gt tan θ=v y v x=gt v可求得t =v 0tan θg .4)与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．典题攻破1.平抛运动与斜面结合的问题1.(2024·辽宁·模拟预测)如图所示，斜面的倾角为θ，斜面的长度为L 。
【问题】斜面上平抛运动问题
【关键字】问题斜面上的平抛运动问题一、情景描述：如果物体是从斜面上平抛的，若以斜面为参考系，平抛运动有笔直(远离)斜面和平行斜面两个方向的运动效果，如果题目要求讨论相对斜面的运动情况，如求解离斜面的最远距离等，往往沿笔直斜面和平行斜面两个方向进行分解，这种分解方法初速度、加速度都需要分解，难度较大，但解题过程会直观简便。
平抛运动中的“两个重要结论”是解题的关键，一是速度偏向角α，二是位移偏向角β，画出平抛运动的示意图，抓住这两个角之间的联系，即tanα＝2tanβ，如果物体落到斜面上，则位移偏向角β和斜面倾角θ相等，此时由斜面的几何关系即可顺利解题。
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ。
证明：如右图所示，由平抛运动规律得tanθ＝＝，tanφ＝＝·＝，所以tanθ＝2tanφ。
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如右图所示，tanφ＝tanθ＝2tanφ＝即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点B必为此时水平位移的中点。
注意：(1)在平抛运动过程中，位移矢量与速度矢量永远不会共线。
(2)它们与水平方向的夹角关系为tanθ＝2tanφ，但不能误认为θ＝2φ。
【典例精析】：如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足()A．tanφ＝sinθ B．tanφ＝cosθC．tanφ＝tanθ D．tanφ＝2tanθ[解析]竖直速度与水平速度之比为：tanφ＝，竖直位移与水平位移之比为：tanθ＝，故tanφ＝2tanθ， D正确。
(注意：只要落点在斜面上，该结论与初速度大小无关)关于物体在斜面上运动，若选取鞋面为参照物时，我们可以更具所需将速度沿加速度方向和笔直于加速度方向分解、将加速度沿速度方向和笔直于速度方向分解或者两者同时进行分解从而进行有效阶梯【典例精析】：如右图所示，足够长斜面OA的倾角为θ，固定在水平地面上，现从顶点O以速度v0平抛一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球在飞行过程中经过多长时间离斜面最远？最远距离是多少？解法一：常规分解方法(不分解加速度)当小球的速度方向与斜面平行时，小球与斜面间的距离最大。
高一物理：与斜面(曲面)结合的平抛运动
与斜面（曲面）结合的平抛运动题型一顺着斜面平抛宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度0v 抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，球的体积公式是34π3V R 。
求：（1）该星球表面的重力加速度g ；（2）该星球的密度；（3）该星球的第一宇宙速度。
【解题技巧提炼】（1）落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下（如图）处理方法：分解位移．x ＝v 0ty ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg.（2）物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下（如图）处理方法：分解速度v x＝v0，v y＝gttanθ＝v yv0.t＝v0tanθg从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个规律（推论）（1）位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切值。
（2）刚落到侧面时的末速度方向都平行，竖直分速度与水平分速度（初速度）之比等于斜面倾斜角正切值的2倍。
（3（4（5）当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面最远所用的时间为平抛运动时间的一半。
题型二对着斜面平抛如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块。
（小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求：（1）抛出点O离斜面底端的高度；（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ。
【解题技巧提炼】垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如图）处理方法：分解速度．v x ＝v 0v y ＝gttan θ＝v x v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ.题型三与圆弧面有关的平抛运动（多选）如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M 、N 与圆心等高且在同一竖直面内。
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平抛运动斜面距离问题的解法赏析
无锡市堰桥中学 周维新
平抛运动是生活中常见的运动，也是高中物理曲线运动中典型的运动形式。
因此平抛运动高考中的重点和热点。
学生在处理较为简单的问题时，进行分解合成处理还能完成，但是对于较为复杂的问题时就感觉到束手无策。
本文就平抛运动中较为复杂的斜面距离问题的解法作如下探讨。
例题：如图，AB 斜面倾角为37°，小球从A 点以
初速度v 0=20m/s 水平抛出，恰好落到B 点，求： （1）物体在空中飞行的时间；AB
间的距离；
（2）小球在B
点时速度的大小和方向； （3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大，
最大距离是多少g=10m/s 2；
1、分解法
第（3）问的传统解法将平抛运动分解到斜面方向和垂直于斜面方向：沿斜面方向：V //=V 0cos37º=20×0.8=16m/s ，a //=gsin37º=10×0.6=6m/s 2匀加速直线
运动。
垂直斜面方向：V ⊥= V 0sin37º=20×0.6=12m/s ，a ⊥=gcos37º=10×0.8=8m/s
2匀减速直线运动。
当垂直斜面方向的速度减为零时，球离斜面距离最远。
t=
==1.5s ，最远距离S==。
此种解法沿用了离地最高必有在垂直地面方向的速度为零的结论。
球离斜面距离最大，则球在垂直斜面上的速度必为零。
因而本解法采用正交分解，可以巩固学生的运动合成与分解知识，同时拓展对平抛运动的处理方法。
平抛运动分解为两个方向的匀变速直线运动，学生较易理解但运算较繁。
2、追击解法
设斜面上有一个点，该点沿斜面作匀速直线运动。
该点的水平分速度v 0=20m/s 与小球的平抛初速度相等，竖直方向的分速度v y = v 0tan37°=15m/s ，所以小球由A 点平抛运动到B 点时，该点也恰好从A 点匀速运动到B 点，在运动过程中该点始终在小球的正下方。
在竖直方向，小球自由落体追击该点匀速直线运动，当小球在竖直方向上的速度等于该点的竖直方向上的速度时，两点间有最大距离，此时小球与斜面间的距离也最大。
解答如下：
研究对象：点 V 点x = 20m/s V 点y = 15m/s
小球：V 球x = 20m/s V 球y =gt
当V 球y = V 点y 时，点和球之间有最大距离y CD （如图）
t=
==1.5s y CD = y 点-y 球=V 点y
t-=15×1.5-5×
1.52=11.25m
则球与斜面间大最大距离S=y CD cos37º=9m
追击解法也采用运动的分解，但增加了研究对象，充分利用追击问题中的规律：两物速度相同时距离有极值。
思维独特，想法新颖，运算较为简便，具有一定创造性，有利与学生发散性思维的培养。
3、数学几何法
在数学中，直线和曲线间的距离最大时，必有曲线的切线与直线平行。
结合物理中的知识，平抛曲线的切线为速度的方向。
即小球在与斜面距离最大的位置与水平方向的夹角为37º。
由此可以求得
C点的速度V
此时竖直方向的分速度V Cy= v0tan37º=15 m/s，平抛运动
竖直方向作自由落体运动，可求得时间t===1.5s，
下落高度h==5×1.52=11.25m。
此时小球水平方向运动距离X=v0t=20×
1.5=30m，又数学几何知识可知y CD=Xtan37º-h
则球与斜面间大最大距离S=y CD cos37º=（20×1.5×0.75-11.25）×0.8=9m
数学几何法同样运用运动分解，把物理和数学中几何知识相结合。
切入点
非常清晰，但几何关系稍稍复杂。
该解法可以提高学生的数学应用能力及知识的综合应用能力。
总的来说这三种都抓住了“球与斜面距离最大”这一物理要求，分别得到相
应的物理条件：分解法转化为垂直斜面方向的速度为零；追击法转化为两者速度相等；数学几何法转化为速度方向平行于斜面。
但总的来说都归到平抛运动处理的基本思想：化曲为直—分解。
通过对这些解法的讨论和分析，教师强化平抛运动的处理的基本方法是分解合成，同时训练学生的思维，提升学生对物理条件的分析建模能力，提高学生对知识的综合用能力。
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